Formulação corrotacional do Método dos Elementos Finitos para viga 2D Programação em Scilab

Formulação corrotacional do Método dos Elementos Finitos para viga

2D

Programação em Scilab

Conteúdo

1. Formulação corrotacional do Método de Elementos Finitos - viga 2D ... 2

2. Programa viga 2D ... 4 2.1 Programa principal ... 4 2.2 Sub-rotinas (funções) ... 6 Função krenk ... 6 Função apontador ... 7 Função contfg ... 7 Função contkg ... 7 Função Dfint ... 7 Função DK ... 8 Função ensamfg ... 9 Função ensamkg ... 9

3. Exemplo numérico - pórtico de Williams ... 9

Solução: ... 10

4. Elemento de viga de Timoshenko ... 11

5. Elemento de ligação semirrígida ... 12

6. Método da Fatias ... 12

5.1 Método das fatias para a discretização da seção do elemento de concreto armado ... 13

6. Exercícios propostos ... 14

6.1 Exercício proposto 1 ... 14

6.2 Exercício proposto 2 ... 15

1. Formulação corrotacional do Método de Elementos Finitos -

viga 2D

A não linearidade geométrica é considerada por meio da formulação corrotacional (YAW, 2009; CRIESFIELD, 1991). Esta descrição cinemática visa separar de forma explícita os deslocamentos de corpo rígido das deformações sofridas pelo elemento, através da utilização de um sistema de coordenadas auxiliar que acompanha o elemento, como descrito na Figura 1. (MELO, 2015).

Figura 1: Configurações inicial e corrente devido a deformações de flexão para uma viga. Fonte: Rodrigues (2011).

É importante notar que há apenas três modos de deformação para o elemento de viga plano, conforme ilustrado na Figura 1, sendo um modo associado à deformação axial do elemento (u) e dois associados às deformações de flexão (1 e 2).

A formulação corrotacional de Elementos Finitos para a viga 2D com dois nós e três graus de liberdade/nó é descrita a seguir. Assume-se que não há deformação de cisalhamento na viga e, então, a seção transversal permanece plana e normal ao eixo da mesma. Na configuração inicial, as coordenadas dos nós 1 e 2 do elemento de viga no sistema global são (X1, Y1) e (X2,

Y2), respectivamente. O comprimento original (indeformado) L0 da viga é dado pela seguinte

equação (YAW, 2009):

(1)

Para o elemento de viga na sua configuração corrente, as coordenadas nodais globais são (X1 + u1, Y1 + v1) para o nó 1 e (X2 + u2, Y2 + v2) para o nó 2, em que ui é o deslocamento

do nó i na direção X e vi é o deslocamento do nó i na direção Y, com i = 1, 2. O comprimento

corrente L é (YAW, 2009):

(2)

O vetor de deslocamentos globais p do elemento i é dado por:

. (3)

O deslocamento axial local (ul) do elemento é calculado por:

(4)

Entretanto, se a diferença entre L e L0 for pequena, a equação (4) fical mal condicionada

uℓ por (L + Lo) / (L + Lo) o que resulta em um fórmula melhor condicionada:

(5)

A deformação específica  é assumida constante e é determinada por  = ul/L0. A força

axial (N) da viga é então dada por:

(6)

na qual A é a área da seção transversal e E é o módulo de Young. Usando a análise estrutural padrão, os momentos locais nas extremidades do elemento de viga ( e ) são relacionados com as rotações nodais locais (1l e 2l), e são dados por:

(7)

na qual I é o momento de inércia da seção transversal. As rotações nodais locais são computadas por: (8) (9)

na qual 1 = 1 + 0 e 2 = 2 + 0. Os ângulos 1 e 2 são as rotações nodais globais calculadas do sistema de equações globais, e as expressões para os ângulos inicial 0 e corrente da barra  são, respectivamente:

(10)

(11)

A matriz de rigidez tangente elementar Kel é determinada em função da parcela da

matriz de rigidez dependente do material KM e da matriz de rigidez geométrica ou das tensões

iniciais KG, dada pela seguinte expressão (YAW, 2009; MELO, 2015):

(12)

na qual

(13)

(14)

(15)

sendo o raio de giração, os vetores z e r são, respectivamente:

(16) (17) e a matriz B é: (18)

As expressões seguintes são utilizadas para calcular os valores do seno e cosseno do ângulo , respectivamente:

(19)

(20)

O vetor de forças internas elementar (Fel) é determinado por:

. (21)

Desde que os deslocamentos transversais locais sejam nulos, as forças transversais locais de cisalhamento são calculadas com base em estáticas simples, uma vez que os momentos finais são conhecidos no sistema local. Supondo que nenhuma força seja aplicada entre os nós de uma viga e somando momentos em torno do nó 2, a força de cisalhamento no nó 1 é

(22)

e para o nó 2, V2 = -V1.

2. Programa viga 2D

2.1 Programa principal

//PROGRAMA PÓRTICO 2D - ANÁLISE NÃO LINEAR GEOMÉTRICA //Viga de Euler-Bernoulli //____________________________________________ clear clc exec('krenk.sci',0); exec('Dfint.sci',0); exec('DK.sci',0); exec('apontador.sci',0); exec('ensamfg.sci',0); exec('contfg.sci',0); exec('contkg.sci',0); exec('ensamkg.sci',0); //ENTRADA DE DADOS

//_______________________________ //tol - tolerância

//deltal - comprimento de arco inicial //Nd - número desejável de iterações

//kmax - número máximo de iterações por passo //nmax - número máximo de passos de carga //P - incremento de carga

txt = ['tolerância:';'número máximo de iterações:';'número de passos de carga:';'comprimento de arco inicial:';'número de iterações desejadas por passo de carga:';'incremento de carga:'];

sig = x_mdialog('Parâmetros método de solução',txt,['10^-6';'150';'30';'0.03';'3';'-0.5']) tol =evstr(sig(1));

kmax =evstr(sig(2)); nmax =evstr(sig(3)); deltal =evstr(sig(4)); Nd=evstr(sig(5)); P=evstr(sig(6)); [coord,inci,NTEL,NTNOS,NTGL,NNOSCC,dofno,E,E0,A,I,NOCC,Fr,itipo]=krenk(P); //PROCESSAMENTO //______________________________ //INICIALIZAÇÃO //______________________________ udesl=zeros(NTGL,1); //vetor de deslocamento deltau=zeros(NTGL,1); DELTAU=zeros(NTGL,1); vu(1,1)=0; vf(1,1)=0; lambda=0; deltal0=deltal; coord0=coord; ktotal=0;

tic //inicia um cronômetro

winH=waitbar('Processamento ...'); //inicia barra de progresso realtimeinit(0);

for np=1:nmax //passos de carga

[K]=DK(udesl,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,coord0,E,A,I,itipo); //matriz de rigidez deltaur=K\Fr;

Dlambda=deltal/norm(deltaur);

if DELTAU'*deltaur<0 //determina o sinal do incremento de carga Dlambda=-Dlambda;

end

DELTAU0=Dlambda*deltaur; DELTAU=DELTAU0;

[Fint]=Dfint(udesl+DELTAU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,coord0,E,A,I,itipo); //vetor de força interna g=(lambda+Dlambda)*Fr-Fint; //vetor de forças desequilibradas

k=0; realtime(np);

while k<kmax //ciclo iterativo k=k+1; //contador de iterações

[K]=DK(udesl+DELTAU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,coord0,E,A,I,itipo); //matriz de rigidez deltaug=K\g;

deltaur=K\Fr;

dlambda=-(DELTAU0'*deltaug)/(DELTAU0'*deltaur); //subincremento de carga deltau=deltaug+dlambda*deltaur; //subincremento de deslocamento

DELTAU=DELTAU+deltau; //incremento de deslocamento Dlambda=Dlambda+dlambda; //incremento de carga

[Fint]=Dfint(udesl+DELTAU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,coord0,E,A,I,itipo); //vetor de força interna g=(lambda+Dlambda)*Fr-Fint; //vetor de forças desequilibradas

if norm(g)<=tol*norm(Fr) //CRITÉRIO DE PARADA break

end

end

udesl=udesl+DELTAU; //deslocamento total lambda=lambda+Dlambda; //parâmetro de carga total deltal = deltal0*(Nd/k)^0.5;

vu(1+np,1)=-udesl(5*3-1,1); vf(1+np,1)=lambda; ktotal=ktotal+k;

waitbar(lambda,winH); //barra de progresso

end

close(winH); //fecha a barra de progresso

t=toc() //lê o cronômetro

//Saída de dados (pós-processamento) //_______________________________ //Trajetória de equilíbrio

plot(vu/0.368,vf,'b-','marker','o','markerFaceColor','c','markerEdgeColor','k','markersize',5); gca().grid=[111]; //Linhas de grade

xlabel('Deslocamento vertical v/h (in/in)','fontsize',3); //eixo x ylabel('Força P (lb)','fontsize',3); //eixo y

legend('NR - NLG',2); //legenda //resultados numéricos (console) disp('Resultados numéricos')

disp('a) Número total de iterações (ktotal):',ktotal)

disp('b) Número médio de iterações por passo (kmédio):',kmedio) disp('c) Tempo de processamento em segundos (t):',t)

2.2 Sub-rotinas (funções)

Função krenk

function [coord, inci, NTEL, NTNOS, NTGL, NNOSCC, dofno, E, E0, A, I, NOCC, Fr, itipo]=krenk(P) //Entrada de dados (pré-processamento)

//NTNOS -> NÚMERO TOTAL DE NÓS //NTEL -> NÚMERO TOTAL DE ELEMENTOS

//NTGL -> NÚMERO TOTAL DE GRAUS DE LIBERDADE

//NNOSCC -> NÚMERO DE GRAUS RESTRITOS (CONDIÇÕES DE CONTORNO) NTNOS=9; NTEL=8; NTGL=NTNOS*3; NNOSCC=6; //coordenadas nodais //coord(i,1)= coordenada x //coord(i,2)= coordenada y coord =[00 ; 3.2340.092 ; 6.4680.184 ; 9.7020.276 ; 12.9360.368 ; 16.170.276 ; 19.4040.184 ; 22.6380.092 ; 25.8720];

//incidência dos elementos //inci(i,1) = elemento //inci(i,2) = nó i //inci(i,3) = nó j inci=[112 ; 223 ; 334 ; 445 ; 556 ; 667 ; 778 ; 889 ]; //Tipo do elemento

//elemento barra -> itipo(nel,2)==1 //elemento viga -> itipo(nel,2)==2 //material 1 -> itipo(nel,3)==1 //material 2 -> itipo(nel,3)==2 for i=1:NTEL itipo(i,1) = i; itipo(i,2) =2; itipo(i,3) =1; end

//graus de liberdade por nó

if (itipo(i,2)==2) dofno(i,1)=inci(i,2)*3-2; //NÓ I dofno(i,2)=inci(i,2)*3-1; dofno(i,3)=inci(i,2)*3; dofno(i,4)=inci(i,3)*3-2; //NÓ J dofno(i,5)=inci(i,3)*3-1; dofno(i,6)=inci(i,3)*3; end end

//propriedades dos materiais de cada barra

for m=1:NTEL if itipo(m,3)==1 //material 1 E0(m)=1; E(m)=E0(m); A(m)=1.885*10^6; I(m)=9.274*10^3; end end

//Vetor de força de referência Fr Fr=zeros(NTGL,1);

Fr(3*5-1,1)=P;

//impõe as condições de contorno (graus de liberdade restritos) NOCC=[1239*3-29*3-19*3];

endfunction

Função apontador

function [IPO, TAM]=apontador(m, itipo) //ELEMENTO VIGA 2 NÓS COM 3GL/NÓ

if (itipo(m,2)==2) IPO(1)=1; IPO(2)=2; IPO(3)=3; IPO(4)=4; IPO(5)=5; IPO(6)=6; TAM=6; end endfunction Função contfg

function [Fint]=contfg(NOCC, NNOSCC, Fint)

for I=1:NNOSCC Fint(NOCC(1,I))=0;

end

endfunction

Função contkg

function [K]=contkg(NOCC, NNOSCC, NTGL, K)

for J=1:NNOSCC for I=1:NTGL K(NOCC(1,J),I)=0; K(I,NOCC(1,J))=0; end K(NOCC(1,J),NOCC(1,J))=1; end endfunction Função Dfint

function [Fint]=Dfint(udesl, NOCC, NNOSCC, NTGL, NTEL, dofno, inci, coord0, E, A, I, itipo) //Determina o vetor global de forças internas

Fint=zeros(NTGL,1);

for m=1:NTEL for i=1:6

end

X1=coord0(inci(m,2),1); X2=coord0(inci(m,3),1); Y1=coord0(inci(m,2),2); Y2=coord0(inci(m,3),2);

L0(m)=sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2); //comprimento indeformado L0 L(m)=sqrt((X2+u(4)-X1-u(1))^2+ (Y2+u(5)-Y1-u(2))^2); //comprimento deformado L C=(X2+u(4)-X1-u(1))/L(m);

S=(Y2+u(5)-Y1-u(2))/L(m); if itipo(m,2) ==2 //elemento de viga felem=zeros(6,1);

beta0=atan((Y2-Y1)/(X2-X1));

beta=atan((Y2+u(5)-Y1-u(2))/(X2+u(4)-X1-u(1))); beta1=u(3)+beta0;

beta2=u(6)+beta0;

teta1=atan((cos(beta)*sin(beta1)-sin(beta)*cos(beta1))/(cos(beta)*cos(beta1)+sin(beta)*sin(beta1))); teta2=atan((cos(beta)*sin(beta2)-sin(beta)*cos(beta2))/(cos(beta)*cos(beta2)+sin(beta)*sin(beta2))); ul=(L(m)^2-L0(m)^2)/(L(m)+L0(m));

N=E(m)*A(m)*ul/L0(m);

M1=2*E(m)*I(m)/L0(m)*(2*teta1+teta2); M2=2*E(m)*I(m)/L0(m)*(teta1+2*teta2); V1=(M1+M2)/L(m); V2=-V1; B=[-C -S 0 C S 0; -S/L(m) C/L(m) 1 S/L(m) -C/L(m) 0; -S/L(m) C/L(m) 0 S/L(m) -C/L(m) 1]; felem=B'*[N;M1;M2];

[Fint]=ensamfg(m,felem,dofno,itipo,Fint); end

end

[Fint]=contfg(NOCC,NNOSCC,Fint); endfunction

Função DK

function [K]=DK(udesl, NOCC, NNOSCC, NTGL, NTEL, dofno, inci, coord0, E, A, I, itipo) //Determina a matriz global de rigidez

K=zeros(NTGL,NTGL); for m=1:NTEL for i=1:6 u(i)=udesl(dofno(m,i),1); end X1=coord0(inci(m,2),1); X2=coord0(inci(m,3),1); Y1=coord0(inci(m,2),2); Y2=coord0(inci(m,3),2);

L0(m)=sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2); //comprimento indeformado L0

L(m)=sqrt( (X2+u(4)-X1-u(1))^2+ (Y2+u(5)-Y1-u(2))^2 ); //comprimento deformado L C=(X2+u(4)-X1-u(1))/L(m);

S=(Y2+u(5)-Y1-u(2))/L(m);

if itipo(m,2) ==2 //elemento de viga KELEM=zeros(6,6); r=[-C; -S; 0; C; S; 0]; z=[S; -C; 0; -S; C; 0]; B=[-C -S 0 C S 0; -S/L(m) C/L(m) 1 S/L(m) -C/L(m) 0; -S/L(m) C/L(m) 0 S/L(m) -C/L(m) 1]; beta0=atan((Y2-Y1)/(X2-X1));

beta=atan((Y2+u(5)-Y1-u(2))/(X2+u(4)-X1-u(1))); beta1=u(3)+beta0;

beta2=u(6)+beta0;

teta1=atan((cos(beta)*sin(beta1)-sin(beta)*cos(beta1))/(cos(beta)*cos(beta1)+sin(beta)*sin(beta1))); teta2=atan((cos(beta)*sin(beta2)-sin(beta)*cos(beta2))/(cos(beta)*cos(beta2)+sin(beta)*sin(beta2))); ul=(L(m)^2-L0(m)^2)/(L(m)+L0(m));

N=E(m)*A(m)*ul/L0(m);

M1=2*E(m)*I(m)/L0(m)*(2*teta1+teta2); M2=2*E(m)*I(m)/L0(m)*(teta1+2*teta2); ri=sqrt(I(m)/A(m)); Cl=E(m)*A(m)/L0(m)*[100; 04*ri^22*ri^2; 02*ri^24*ri^2]; KM=B'*Cl*B; K1=N/L(m)*z*z'; K2=(M1+M2)/L(m)^2*(r*z'+z*r'); KELEM=KM+K1+K2; [K]=ensamkg(m,KELEM,dofno,itipo,K);

end end

[K]=contkg(NOCC,NNOSCC,NTGL,K); endfunction

Função ensamfg

function [Fint]=ensamfg(m, FELEM, dofno, itipo, Fint) [IPO,TAM]=apontador(m,itipo);

for I=1:TAM

P=dofno(m,IPO(I)); if (P>0)

Fint(P,1)=Fint(P,1)+FELEM(I,1); end

end

endfunction

Função ensamkg

function [K]=ensamkg(m, KELEM, dofno, itipo, K) [IPO,TAM]=apontador(m,itipo);

for I=1:TAM for J=1:TAM P=dofno(m,IPO(I)); Q=dofno(m,IPO(J)); if (P>0& Q>0) K(P,Q)=K(P,Q)+KELEM(I,J); end end end endfunction

3. Exemplo numérico - pórtico de Williams

Considere o pórtico mostrado na Figura 2, cujas rigidezes axial e à flexão são EA = 1,885  106 lb e EI = 9,274  103 lb in2, respectivamente. Este pórtico é conhecido como pórtico de Williams (WILLIAMS, 1964). Considera-se as ligações rígidas.

A malha de elementos finitos consiste de oito elementos de viga. Foram considerados nas análises os seguintes parâmetros para o método de solução: 0l = 0,03; kmáx = 150; Nd = 3;

tolerância tol = 1,0  10-6; e P = 0,5 lb. O critério de convergência é dado por: ||g||  tol ||Fr||.

Figura 2: Modelo estrutural do pórtico de Williams. Fonte: Adaptado de Rocha (2006).

Solução:

Entrada de dados (método de solução)

Barra de progresso

Resultados numéricos (ktotal, kmédio e t)

4. Elemento de viga de Timoshenko

O elemento de viga de Timoshenko clássico com dois nós é definido com interpolações lineares para u, v e  no sistema de coordenadas locais. Essas interpolações são dadas por, respectivamente (SILVA, 2011):

(34)

(35)

 (36)

A curvatura , a deformação por cisalhamento  e a deformação  são definidas por, respectivamente:  (37)  (38) (39)

Para o cálculo da matriz de rigidez dependente do material KM, a matriz D é a matriz

constitutiva dada por:

(40)

em que G é o módulo transversal de cisalhamento e é o fator de correção da energia de cisalhamento. O vetor de forças internas elementar (Fel) é determinado por:

na qual os momentos locais nas extremidades do elemento de viga ( e ) são: (42)

e a força normal N é calculada conforme a Equação (6).

5. Elemento de ligação semirrígida

A ligação semirrígida é simulada pelo elemento de ligação proposto por Del Savio (2004) cujo comprimento é nulo. Na matriz de rigidez Klig são consideradas as rigidezes axial

(Sa), translacional (St) e rotacional (Sr), a qual pode ser expressa matematicamente por:

(23)

com

(24)

O elemento de ligação é inserido nos pontos de intersecção entre membros da estrutura (entre vigas e colunas ou nos apoios), onde se encontram as ligações semirrígidas.

Esse elemento comporta-se adequadamente para qualquer tipo de carregamento e permite simular análises elastoplásticas das ligações, dada a curva momento-rotação que descreve o comportamento da ligação, e simular análises elastoplásticas da estrutura, inserindo elementos de ligação nos pontos onde se esperam que apareçam as rótulas plásticas.

6. Método das Fatias

Na análise não linear física utilizando elementos de viga, as deformações variam suavemente na seção transversal, mas o mesmo não ocorre com as tensões, principalmente no caso de materiais com comportamento inelástico, como é o caso dos modelos de elastoplásticos e de dano contínuo.

O Método das Fatias tem sido largamente utilizado na análise fisicamente não linear para integração das tensões e módulo tangente na seção transversal dos elementos.

Nesse método a seção transversal é dividida em nf fatias horizontais de mesma altura (y), e em cada uma dessas fatias toma-se a deformação e a tensão correspondentes ao ponto no centro geométrico da fatia. Considere a divisão de uma seção retangular pelo Método das Fatias conforme a Figura 3.

A expressão para o cálculo da altura da fatia (y) e a ordenada do centro da fatia ( ) podem ser calculadas por, respectivamente (MELO, 2015):

(25)

Figura 3: Divisão de uma seção retangular pelo Método das Fatias.

O momento de inércia da fatia i é:

(27)

As ridezes axial (EA) e à flexão (EI) são calculadas por, respectivamente (MOREIRA, 2016): (28) (29)

Os esforços internos N e M podem ser calculados por:

(30) (31)

na qual i é a tensão no centro da fatia i.

O Método das Fatias é um método simples, mas que apresenta uma convergência que depende de onde as fatias são divididas, porque o valor no centro da fatia pode não ser representativo para toda a área da fatia, principalmente se o ponto estiver próximo a uma descontinuidade da função tensão-deformação do material naquela seção.

5.1 Método das fatias para a discretização da seção do elemento de

concreto armado

Consiste em dividir a seção transversal do elemento em fatias de concreto e aço de maneira que se possa obter a resposta desta seção a partir das respostas das fatias individuais para as quais as relações tensão-deformação realísticas são aplicadas (MATOS, 1998).

A representação das armaduras se dá pela distribuição da soma das áreas das barras de aço que ocupam uma mesma altura, ao longo da espessura da peça, constituindo, portanto, uma faixa retangular de igual área. Assim, haverá tantas faixas de armadura quantas forem as camadas de barras de aço (os estribos não são discretizados).

Salienta-se que a utilização do processo das fatias deve-se ao fato de considerar o estado uniaxial de tensões para cada fatia. Além disso, permite-se uma perfeita aderência entre o concreto e o aço. A discretização de uma seção transversal de elemento de concreto armado é exibida na Figura 4.

Figura 4: Discretização de uma seção transversal de elemento de concreto armado pelo Método

das Fatias.

A obtenção dos esforços solicitantes e as propriedades geométricas se transformam, por esse processo, num somatório:

(32) (33) nas quais,

é a tensão no concreto na fatia i;

é a tensão no aço na fatia; e é a área total da armadura.

6. Exercícios propostos

6.1 Exercício proposto 1

Seja o pórtico de Lee (LEE; MANUEL; ROSSOW, 1968) carregado por uma força P no local mostrado na Figura 5. A viga e a coluna têm área de seção transversal de 6,0 cm2, momento de inércia de 2,0 cm4 e módulo longitudinal igual a 7060,8 kN/cm2. Na Figura 6a, a configuração inicial do pórtico e vários configurações deformadas são mostradas.

A coluna é discretizada com 8 elementos de comprimento igual, enquanto a viga é discretizada com 2 elementos de viga de comprimento igual à esquerda da carga e 6 elementos de viga de comprimento igual à direita da mesma. O gráfico deslocamento versus carga na Figura 6b é o deslocamento vertical do nó sob a força P.

Obter com o programa desenvolvido no Scilab a trajetória de equilíbrio, considerando a teoria de Euler-Bernoulli e a mesma malha de elementos finitos.

Figura 5: Modelo estrutural do pórtico de Lee. Fonte: Yaw (2009).

Figura 6 - Pórtico de Lee: (a) configurações deformadas e (b) gráfico de carga versus

deslocamento vertical em comparação com os resultados de Souza (2000).

Fonte: Yaw (2009).

6.2 Exercício proposto 2

Seja o modelo estrutural do Pórtico de Lee apresentado na Figura 7. Este problema foi estudado por Silva (2011). Resolver utilizando os elementos de viga de Euler-Bernoulli (Seção 1) e de Timoshenko (Seção 4), e comparar as trajetórias de equilíbrio. A solução numérica é apresentada em Silva (2011). Adotar = 1,0.

Figura 7: Pórtico de Lee. Fonte: Silva (2011).

Referências

CRISFIELD, M. A. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Volume 1: Essentials. New York: John Wiley & Sons Ltd., 1991.

DEL SAVIO, A. A. Modelagem computacional de estruturas de aço com ligações

semi-rígidas. Dissertação (Mestrado) - Programa de Pós-Graduação, Departamento de Engenharia

Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro, 2004.

LEE, S.; MANUEL, F. S.; ROSSOW, E. C. Large deflections and stability of elastic frames.

J. Engrg. Mech. Div., ASCE, 94(EM2): p. 521–547, 1968.

MATOS, E. F. Análise não linear de pórticos planos de concreto armado considerando a

contribuição do concreto em tração. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia,

Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 1998.

MELO, C. D. R. Estudo do colapso progressivo de pórticos planos de concreto armado via

análise não linear. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil:

Estruturas e Construção Civil, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015.

MOREIRA, L. S. Análise não linear de vigas de concreto com protensão não aderente via

elementos finitos. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de

Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil: Estruturas e Construção Civil, Fortaleza, 2016.

SILVA, W. T. M. Análise não linear de pórticos planos utilizando uma formulação

co-rotacional e plasticidade por camadas. Dissertação (Mestrado) – Departamento de Engenharia

Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, 2011.

SOUZA, R. M. Force-based Finite Element for Large Displacement Inelastic Analysis of

WILLIAMS, F. W. An approach to the non-linear behaviour of the members of a rigid jointed plane framework with finite deflections. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied

Mathematics, v. 17, n. 4, p. 451-469, 1964.