[Bluebee-uet.com]1496159754dap-an-va-thang-diem-de-thi-gt2-giua-ky-de-so-4.pdf

(1)

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ Đáp án và Thang điểm

***** ĐỀ THI GIỮA KỲ HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 2

(Học kỳ II năm học 2016-2017)

Câu 1.(1,25đ)Khảo sát tính liên tục tại điểm O(0,0) của hàm số

         ) 0 , 0 ( ) y , x ( khi d ) 0 , 0 ( ) y , x ( khi y x x sin y y sin x ) y , x ( f 2 2 3 3 trong đó d là tham số. Bài giải.

Miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = R2_.(0,25đ)

Ta có ₂ ₂ 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y x ) y , x ( f 0                   0 y x y y x x 2 3 2 3    

 khi (x,y)  0(0,25đ) nên theo nguyên lý kẹp thì

0 y x y x lim ) y , x ( f lim ₂ ₂ 3 3 ) 0 , 0 ( ) y , x ( ) 0 , 0 ( ) y , x (       .(0,25đ) Do đó, nếu c = 0 thì f(0,0) = 0 và    f(x,y) f(0,0) lim ) 0 , 0 ( ) y , x

( hàm số f(x,y) đang xét liên tục tại

điểm (0,0)(0,25đ); ngược lại, nếu c  0 thì f(0,0) = c  0 tức là    f(x,y) f(0,0) lim ) 0 , 0 ( ) y , x ( hàm số f(x,y)

đang xét không liên tục tại điểm (0,0).(0,25đ)

Câu 2.(1,5đ)Cho hàm số ₂ ₂ 2 2 y ) 3 x ( 1 1 y ) 3 x ( ) y , x ( f       

2.1. Tìm miền xác định D của hàm số f(x,y); 2.2. Tìm lim f(x,y) ) 0 , 3 ( ) y , x (  . Bài giải. 2.1. Hàm số ₂ ₂ 2 2 y ) 3 x ( 1 1 y ) 3 x ( ) y , x ( f      

 xác định khi (x – 3)2 + y2  0  hoặc x  3 hoặc y  0 nên miền xác định của hàm số là D = R2\{(3,0)}, tức là tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy không nằm trên trục tọa độ Ox và đường thẳng x = 3.(0,5đ) 2.2. Đặt t = (x – 3)2 + y2  t  0 khi (x,y)  (3,0). Biến đổi



_



_



1 1 t 1 1 1 t t 1 1 t 1 1 t t 1 1 t y ) 1 x ( 1 1 y ) 3 x ( ) y , x ( f ₂ ₂ 2 2                     2 1 1 1 0 1 1 1 t 1 lim ) y , x ( f lim 0 t ) 0 , 3 ( ) y , x (           .(1,0đ) Câu 3.(0,75đ) Chứng minh rằng hàm số y z arctan z x arctan x y arctan ) z , y , x ( f    thỏa mãn phương trình Laplace 0 z ) z , y , x ( f y ) z , y , x ( f x ) z , y , x ( f 2 2 2 2 2 2          trong không gian R3_. Bài giải. Ta có ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ z x z y x y z 1 . z x 1 1 x y . x y 1 1 x ) z , y , x ( f                             

(2)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) z x ( xz 2 ) y x ( xy 2 x ) z , y , x ( f        (0,5đ), tương tự ta cũng có 2 2 2 2 2 2 2 2 ) x y ( yx 2 ) z y ( yz 2 y ) z , y , x ( f       và ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ 2 ) y z ( zy 2 ) x z ( zx 2 z ) z , y , x ( f       0 z ) z , y , x ( f y ) z , y , x ( f x ) z , y , x ( f 2 2 2 2 2 2           (0,25đ).

Câu 4.(1,25đ) Cho hàm số f(x,y,z) = x2y2z2. Tính gradf(x,y,z) và _   l ) z , y , x ( f

tại điểm M0(1,1,-1), biết

rằngl được xác định bởi véc tơ M₀M₁với M1(-1,-1,0). Bài giải. + Ta có                                                2 ) 1 .( 1 . 1 . 2 z ) 1 , 1 , 1 ( f 2 ) 1 .( 1 . 1 . 2 y ) 1 , 1 , 1 ( f 2 ) 1 .( 1 . 1 . 2 x ) 1 , 1 , 1 ( f z y x 2 z ) z , y , x ( f yz x 2 y ) z , y , x ( f z xy 2 x ) z , y , x ( f 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (0,25đ)                        k 2i 2 j 2k z ) 1 , 1 , 1 ( f j y ) 1 , 1 , 1 ( f i x ) 1 , 1 , 1 ( f ) 1 , 1 , 1 ( gradf (0,25đ) + Ta có M₀M₁(11)i(11) j(01)k2i2 jk M₀M₁  (2)2(2)212 3       do đó các cosin chỉ phương của véc tơ  l là , 3 2 cos , 3 2 cos 3 1 cos  .(0,5đ) + Suy ra       _ _ _ _ _       _ _          

 2i 2 j 2k . cos i cos j cos k l ) 1 , 1 , 1 ( f 3 1 3 k 3 1 j 3 2 i 3 2 . k 2 j 2 i 2      _ _ _       _ _     (0,25đ).

Câu 5.(2,0đ) Khảo sát cực trị của hàm số f(x,y) = 6x2y – 24xy – 6x2 + 24x + 4y3 – 15y2 + 36y + 1.

Bài giải.

Miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = R2_.

- Ta có





                               ) 6 y 5 y 2 x 4 x ( 6 36 y 30 y 12 x 24 x 6 y ) y , x ( f ) 1 y )( 2 x ( 12 2 x y 2 xy 12 24 x 12 y 24 xy 12 x ) y , x ( f 2 2 2 2

Suy ra hệ phương trình để xác định các điểm dừng (nếu có) của hàm số đang xét là

                                    0 6 y 5 y 2 x 4 x 0 ) 1 y )( 2 x ( 0 ) 6 y 5 y 2 x 4 x ( 6 0 ) 1 y )( 2 x ( 12 0 y ) y , x ( f 0 x ) y , x ( f 2 2 2 2 (0,25đ)

(3)

3                                                                                    3 x 1 x 1 y 2 1 y 2 y 2 x 0 3 x 4 x 1 y 0 2 y 5 y 2 2 x 0 6 y 5 y 2 x 4 x 0 1 y 0 6 y 5 y 2 x 4 x 0 2 x 2 2 2 2 2 2 (0,25đ)

Như vậy, hàm số đang xét có 4 điểm dừng M1(2,2); M2(2,12);M3(1,1);M4(3,1).

- Ta có





                                                ) 5 y 4 ( 6 y ) y , x ( f ) y , x ( C ) 5 y 4 ( 6 30 y 24 y ) y , x ( f ) 2 x ( 12 y x ) y , x ( f ) y , x ( B ) 2 x ( 12 24 x 12 y x ) y , x ( f ) 1 y ( 12 x ) y , x ( f ) y , x ( A 1 y 12 12 y 12 x ) y , x ( f 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



2(x 2) (y 1)(4y 5)



72 ) 5 y 4 ( 6 ). 1 y ( 12 ) 2 x ( 12 ) y , x ( C ) y , x ( A ) y , x ( B ) y , x (  2   2  2     2    (0,5đ) + Tại điểm dừng M1(2,2) ta có          0 12 ) 2 , 2 ( A 0 216 ) 2 , 2 (

nên nó là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu là fct = f(2,2) = 21.(0,25đ) + Tại điểm dừng M2(2,12) ta có           0 6 ) 2 1 , 2 ( A 0 108 ) 2 1 , 2 (

nên nó là điểm cực đại và giá trị cực đại là fcđ = f(2,1/2) = 111/4.(0,25đ)

+ Tại điểm dừng M3(1,1) ta có (1,1)1440nên nó không phải là điểm cực trị.(0,25đ) + Tại điểm dừng M4(3,1) ta có (3,1)1440nên nó không phải là điểm cực trị.(0,25đ)

Câu 6.(1,5đ)Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) = x2 + 3y2 + x – y trên miền đóng D là tam giác được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, y = 1 và x + y = 1.

Bài giải.

Miền xác định của hàm số đang xét là R2_{và hiển nhiên là hàm số f(x,y) đang xét liên tục với mọi}

x, y trong miền xác định của nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D. (0,25đ)

Ta có hệ phương trình                 0 1 y 6 y ) y , x ( f 0 1 x 2 x ) y , x ( f để xác định các điểm dừng. Hệ phương trình này có 1 nghiệm duy nhất       6 1 y 2 1 x

, tức là có 1 điểm dừng (-1/2,1/6) là điểm nằm ngoài miền D nên ta không xét.(0,25đ)

Bây giờ ta xét giá trị của hàm số f(x,y) trên biên của miền D:

- Trên đường x = 1 thì f(1,y) = 3y2 – y + 2 với 0  y  1 nên fmin = f(1,1/6) = 23/12 và fmax = f(1,1)

= 4.(0,5đ)

- Trên đường y = 1 thì f(x,1) = x2 + x + 2 với 0  x  1 nên fmin = f(0,1) = 2 và fmax = f(1,1) = 4.

(0,25đ)

- Trên đường x + y = 1 thì f(x,1–x) = 4x2 – 4x + 2 với 0  x  1 nên fmin = f(1/2,1/2) = 1 và fmax =

(4)

4 So sánh các giá trị của hàm f(x,y) tìm được ở trên ta nhận được GTNN(f) = 1 tại điểm (1/2,1/2) và GTLN(f) = 4 tại điểm (1,1).(0,25đ)

Câu 7.(1,75đ)Tìm cực trị của hàm số f(x,y)x2 y2 với điều kiện 1 3 y 2 x   . Bài giải. Ta có 1 0 3 y 2 x ) y , x ( 0 1 3 y 2 x 1 3 y 2 x _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ . Lập hàm       _ _         1 3 y 2 x y x ) y , x ( ) y , x ( f ) , y , x ( L 2 2 (0,25đ)                              1 3 y 2 x ) , y , x ( L 3 y 2 y ) , y , x ( L 2 x 2 x ) , y , x ( L , (0,25đ) do đó ta được hệ phương trình xác định các điểm dừng là                                  13 72 13 12 y 13 18 x 0 1 3 y 2 x 0 3 y 2 0 2 x 2 0 0 0 . (0,25đ) Tại 13 72 0   ta có













                                                         2 y 13 12 , 13 18 f C 0 y x 13 12 , 13 18 f B 2 x 13 12 , 13 18 f A 2 y ) y , x ( f 0 y x ) y , x ( f 2 x ) y , x ( f y 2 y ) y , x ( f x 2 x ) y , x ( f 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (0,25đ) 2 2 2 2 0 0 2 dy 2 dx 2 Cdy Bdxdy 2 Adx ) y , x ( f d       .(0,25đ) Mặt khác ta có 0 dx 2 13 ) y , x ( f d dx 2 3 dy 0 dy 3 1 dx 2 1 ) y , x ( d 0 1 3 y 2 x ) y , x (             2 ₀ ₀  2   , tức là dạng toàn phương d2_f(x 0,y0) xác định dương, (0,25đ) do đó hàm số f(x,y)x2 y2đạt cực tiểu tại điểm        13 12 , 13 18 ) y , x ( 0 0 và giá trị cực tiểu 13 36 13 12 , 13 18 f fmin        .(0,25đ)