4 Visualização por pontos

(1)

Uma vez gerados os pontos, estes s˜ao renderizados e recebem efeitos de

profundidade e ilumina¸cão, através da defini¸cão da cor, opacidade e tamanho.

Al´em disso, os pontos pertencentes a silhueta da superf´ıcie s˜ao identificados e

destacados. 4.1

ˆ

Angulos de Euler no R4

Para visualizar objetos no R4 _´_{e necess´}_{ario especificar e ajustar}

inter-ativamente a orienta¸cão e rota¸cão dos objetos em questão. A orienta¸cão de

um sitema de coordenadas fixo, eixos X, Y, Z e W , com respeito ao sistema

de coordenadas de referˆencia pode ser expresso por uma matrix ortogonal

An×n = (aij) da seguinte forma:

q = A p,

onde q = (q1, ..., qn)T ´e um vetor expresso nas coordenadas de referˆencia e p

= (p1, ..., pn)T ´e o mesmo vetor expresso nas coordenadas fixo.

Para realizar a rota¸c˜_{ao de objetos no R}4_{a matriz A pode ser escrita como}

produto de 6 matrizes de rota¸cão básica. A rota¸cão básica é a rota¸cão de um

parˆametro dentro de um plano gerado por dois vetores bases do sistema de

coordenadas. Neste trabalho foi escolhido usar as matrizes de rota¸c˜ao b´asica

dos ˆangulos de Euler.

Os ˆ_{angulos de Euler no R}4 _{podem ser divididos em trˆ}_{es fases de rota¸c˜}_ao,

como segue:

1. A primeira fase orienta o eixo W por três rota¸cões básicas nos planos XY ,

Y Z e ZW , atrav´es das matrizes dos ˆangulos de Euler R4

xy(θ1), R4yz(θ2) e

R4

zw(θ3), respectivamente.

2. A segunda fase orienta o eixo Z em sua posi¸c˜_{ao final no R}3 _{por duas}

rota¸cões básicas nos planos XY e Y Z, através das matrizes R3

xy(θ4) e R3 yz(θ5) , respectivamente. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912351/CA

(2)

3. Na última fase uma única rota¸cão orienta os eixos X e Y para suas

posi¸c˜_{oes finais no R}2 _{ortogonal ao eixo Z anteriormente orientado,}

fazendo uso da matriz R2

xy(θ6).

Dessa forma, a orienta¸c˜ao de objetos por ˆ_{angulos de Euler no R}4 pode

ser expressa como:

q = A p =⇒ q = R4_xy(θ1)R4yz(θ2)R4zw(θ3)R3xy(θ4)R3yz(θ5)R2xy(θ6) p,

onde as matrizes dos ˆangulos de Euler s˜ao expressas por:

R4 xy(θ1) =       cos(θ1) − sin(θ1) 0 0 sin(θ1) cos(θ1) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1       R4 yz(θ2) =       1 0 0 0 0 cos(θ2) − sin(θ2) 0 0 sin(θ2) cos(θ2) 0 0 0 0 1       R4_zw(θ3) =       1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos(θ3) − sin(θ3) 0 0 sin(θ3) cos(θ3)       R3_xy(θ4) =       cos(θ4) − sin(θ4) 0 0 sin(θ4) cos(θ4) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1       R3 yz(θ5) =       1 0 0 0 0 cos(θ5) − sin(θ5) 0 0 sin(θ5) cos(θ5) 0 0 0 0 1       R2 xy(θ6) =       cos(θ6) − sin(θ6) 0 0 sin(θ6) cos(θ6) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1       PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912351/CA

(3)

Figura 4.1: Rota¸c˜ao da superf´ıcie impl´ıcita definida pela equa¸c˜ao complexa

w = z2.

Os ângulos θ1, θ2, θ3, θ4, θ5 e θ6 são parâmetros definidos pelo usuário e

uma vez definidos novos ˆangulos os efeitos s˜ao recalculados.

A posi¸c˜ao inicial dos modelos ´e θ1 = θ2 = θ3 = θ4 = θ5 = θ6 = 0.0 e a

cada comando do usuário o ângulo escolhido é acrescido em 0.1 radianos.

Ob-serve na figura 4.1 a superf´ıcie impl´ıcita em diversos ˆangulos de visualiza¸c˜ao,

conforme descritos abaixo:

(a) θ1 = 4.5, θ2 = 1.7, θ3 = 1.0, θ4 = 0.4, θ5 = 0.0, θ6 = 0.0 (b) θ1 = 2.8, θ2 = 1.0, θ3 = 1.0, θ4 = 0.0, θ5 = 0.9, θ6 = 0.4 (c) θ1 = 0.0, θ2 = 0.0, θ3 = 0.0, θ4 = 0.0, θ5 = 1.7, θ6 = 0.5 (d) θ1 = 1.1, θ2 = 8.7, θ3 = 0.2, θ4 = 0.0, θ5 = 0.0, θ6 = 0.0 4.2 Proje¸c˜ao e Observadores

Considere Π : R4 → R2 _{a proje¸c˜}_{ao sobre o plano XY, tal que}

Π(x, y, z, w) = (x, y) e φ : R4 _{→ R}2 _{a transforma¸c˜}_{ao combinada da proje¸c˜}_ao

Π com a matriz de rota¸c˜ao A, φ(p) = Π(A(p)).

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912351/CA

(4)

O par de vetores obs1 e obs2, correspondem a ´ultima e a pen´ultima

linha da matriz de rota¸c˜ao A, respectivamente, pois para e1 = (0, 0, 0, 1) e

e2 = (0, 0, 1, 0) segue que:

obs1 = A−1e1 =⇒ obs1 = Ate1

obs2 = A−1e2 =⇒ obs2 = Ate2.

4.3 Silhueta

Abaixo ser˜ao apresentadas as principais defini¸c˜oes e resultados

relaciona-dos aos pontos silhueta de uma superf´ıcie no R4_{, que podem ser encontrados,}

juntamente com suas demonstra¸c˜oes, em (11) e (23).

Defini¸c˜ao 4.1 Um ponto p pertence a silhueta de uma superf´ıcie, com

respei-to a uma proje¸cão φ, se o plano tangente à superf´ıcie no ponto p é projetado

em uma reta ou em um ponto.

Proposi¸c˜ao 4.2 Sejam t1, t2 os vetores tangentes a superf´ıcie no ponto p.

Ent˜ao p ´e um ponto silhueta com respeito a φ se, e somente se t1, t2, obs1 e

obs2 s˜ao linearmente dependentes.

Proposi¸c˜ao 4.3 Sejam m1, m2 dois vetores linearmente independentes no

plano ortogonal ao plano gerado pelos vetores obs1 e obs2, e n1, n2 os vetores

normais a superf´ıcie no ponto p. Ent˜ao p ´e um ponto silhueta com respeito a

φ se e somente se n1, n2, m1 e m2 s˜ao linearmente dependentes.

Com isso, os vetores m1 e m2 s˜ao obtidos atrav´es das primeira e

se-gunda linhas da matriz de rota¸c˜ao A, respectivamente, sendo assim

linear-mente independentes e ortogonais a obs1 e obs2. Da´ı, a curva silhueta da

su-perf´ıcie com respeito a proje¸cão φ é determinada pela solu¸cão da equa¸cão

det(n1, n2, m1, m2) = 0.

Levando em conta os poss´ıveis erros num´ericos, no algoritmo, ´e

estabeleci-do um parˆametro de limiar para esse determinante. Ou seja, se dado um ponto

P pertencente a superf´ıcie S, |det(n1(P ), n2(P ), m1(P ), m2(P ))| < δ ent˜ao P

pertence a curva silhueta de S. Nos exemplos amostrados neste trabalho o

parˆametro de limiar ´e δ = 10−2.

(5)

Visualiza¸c˜ao

Nesta se¸cão serão descritas as técnicas de visualiza¸cão para os pontos

gerados no cap´ıtulo anterior. 4.4.1

Cor dos pontos

Foram implementados quatro tipos de varia¸c˜ao de cores dos pontos de

renderiza¸cão da superf´ıcie. A primeira faz uso da técnica Colora¸cão de Dom´ınio

(Domain Coloring) (6) para atribuir cores aos pontos de uma superf´ıcie

determinada por uma fun¸c˜ao de valores complexos, a segunda e a terceira s˜ao

uma nova proposta que utiliza os ˆangulos entre os observadores e as normais

a superf´ıcie impl´ıcita e a quarta apresenta uma varia¸c˜ao de cores conforme a

varia¸c˜ao dos valores da coordenada w dos pontos.

Colora¸c˜ao de dom´ınio complexo

Para visualizar a superf´ıcie impl´ıcita S = f−1(0, 0) originada de uma

equa¸c˜ao de valores complexos foi utilizado um diagrama de colora¸c˜ao de

dom´ınio. As cores do diagrama variam entre os tons de vermelho, verde e azul,

com cores secund´arias e terci´arias, totalizando doze tonalidades. A intensidade

da cor aumenta conforme se aproxima do centro do c´ırculo, ao qual ´e atribuida

a cor branca, e diminui em dire¸cão ao raio máximo rmax, quando este é atingido

´e atribuida a cor preta.

Figura 4.2: Diagrama de colora¸c˜ao de dom´ınio.

Dado um n´umero complexo w = reiθ, o argumento θ representa uma cor

e o m´odulo r = |w| representa uma intensidade, conforme mostra a figura 4.2

e ´e explicitado na tabela 4.4.1: PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912351/CA

(6)

Varia¸c˜ao do argumento Cor em RGB 0 ≤ θ ≤ π₆ RGB(β2_r, 0, 0) π 6 ≤ θ ≤ π 3 RGB(β 2 r, β 1 r, 0) π 3 ≤ θ ≤ π 2 RGB(β 2 r, β 2 r, 0) π 2 ≤ θ ≤ 2π 3 RGB(β 1 r, β 2 r, 0) 2π 3 ≤ θ ≤ 5π 6 RGB(0, β 2 r, 0) 5π 6 ≤ θ ≤ π RGB(0, β 2 r, β 1 r) π ≤ θ ≤ 7π₆ RGB(0, β2_r, β2_r) 7π 6 ≤ θ ≤ 4π 3 RGB(0, β 1 r, β 2 r) 4π 3 ≤ θ ≤ 3π 2 RGB(0, 0, β 2 r) 3π 2 ≤ θ ≤ 5π 3 RGB(β 1 r, 0, β 2 r) 5π 3 ≤ θ ≤ 11π 6 RGB(β 2 r, 0, β 2 r) 11π 6 ≤ θ ≤ 2π RGB(β 2 r, 0, β 1 r)

Tabela 4.1: Distribui¸c˜ao das cores do Diagrama de colora¸c˜ao de dom´ınio.

O parâmetro β é um valor atribu´ıdo pelo usuário e controla a intensidade

da cor, mais clara ou mais escura.

As superf´ıcies impl´ıcitas S = f−1(0, 0) definidas pelas fun¸c˜oes:

f (x, y, z, w) = (x − z2+ w2, y − 2zw)

f (x, y, z, w) = (z − cos(x) cosh(y), w + sin(x) sinh(y))

f (x, y, z, w) = (x − z3_{+ 3zw}2_{+ 3z + 2, y − 3z}2_{w + w}3_{+ 3w)}

f (x, y, z, w) = (x − z2_{+ w}2_{− 2, y − 2zw)}

f (x, y, z, w) = (x − ez_{cos(w), y − e}z_sin(w)),

cujos resultados podem ser vistos nas figuras 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 e 4.7 s˜ao

originadas das equa¸c˜oes complexas:

w = z2

w = cos(z)

w = (z + 1)2_{(z − 2)}

w = z2_{− 2}

w = ez_,

respectivamente, onde para cada ponto P (x, y, z, w) pertencente a S,

corres-ponde w = x + yi e z = z + wi. Uma cor ´e associada a cada um desses pontos

P (x, y, z, w) usando que w = x + yi, e logo θ = arctan(y_x) (os quadrantes s˜ao

considerados para o ˆangulo variar de 0 a 2π) e r =p(x2_{+ y}2_).

(7)

Figura 4.3: Varia¸c˜ao de cores da superf´ıcie impl´ıcita definida pela equa¸c˜ao

complexa w = z2_.

complexa w = cos(z). PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912351/CA

(8)

complexa w = (z + 1)2_{(z − 2).}

complexa w = z2− 2. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912351/CA

(9)

complexa w = ez_.

As regi˜oes brancas de cada superf´ıcie indicam os locais onde h´a uma raiz

da fun¸c˜ao que a define. Al´em disso, nas ra´ızes com multiplicidade acima de 1

a varia¸c˜ao de cores aumenta conforme o n´umero dessa multiplicidade, como

observa-se na figura 4.5 na raiz z = −1. Nas imagens os eixos X, Y, Z e W recebem as cores vermelho, verde, azul e amarelo, respectivamente.

ˆ

Angulo entre os observadores e as normais da superf´ıcie

O intuito desta técnica é amostrar, através de cores, as partes da

superf´ıcie conforme a varia¸c˜ao dos ˆangulos θ1 e θ2 formados pelos observadores

obs1 e obs2, respectivamente, com o plano Π gerado pelas normais n1 e n2 a

superf´ıcie em um ponto, como ilustrado na figura 4.8.

Figura 4.8: Ilustra¸c˜ao do ˆangulo formado entre as normais da superf´ıcie e o

obs1. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912351/CA

(10)

Para o caso do obs1, primeiramente calcula-se a proje¸c˜ao P1 deste vetor sobre o plano Π.

P1 = hobs1, ñ1i ñ1+ hobs1, ñ2i ñ2

onde ñ1 e ñ1 são os vetores n1 e n2 ortonormalizados.

Em seguida, calcula-se o cosseno do ˆangulo θ1 e atribui-lhe o sinal do

maior produto interno entre as normais e o observador.

cos(θ1) =

hobs1,P1i

kP1k =phobs1, ˜n1i

2_{+ hobs}

1, ˜n2i2

Para atribui¸c˜ao do sinal dos cossenos escolheu-se privilegiar o sinal do

maior produto interno entre o observador e as normais. Logo,

S1 = sign(hobs1, ˜n1i + hobs1, ˜n2i) cos(θ1)

O cálculo do ângulo θ2 entre obs2 e o plano Π é análogo e obtem-se:

S2 = sign(hobs2, ˜n1i + hobs2, ˜n2i) cos(θ2)

Diante disso, duas formas de varia¸c˜ao de cores foram implementadas.

Na primeira delas verifica-se a rela¸c˜ao entre os sinais dos valores S1 e S2 dos

cossenos conforme a tabela 4.2. Essa t´ecnica pode ser observada nas figuras

4.9 e 4.10.

Sinal de S1 Sinal de S2 Cor atribuida

≥ 0 ≥ 0 vermelho

< 0 ≥ 0 amarelo

≥ 0 < 0 verde

< 0 < 0 azul

Tabela 4.2: Varia¸c˜ao de cores conforme os valores de S1 e S2

(11)

Figura 4.9: Varia¸c˜ao de cores da superf´ıcie impl´ıcita definida pela fun¸c˜ao

f (x, y, z, w) = ((y − 0.2w)2 _{+ z}2 _{− 1, x}2 _{+ y}2 _{+ (z + w)}2 _{− 0.49) conforme}

os valores de S1 e S2.

f (x, y, z, w) = (y2_{+ z}2_{− 1, x}2_{+ y}2_{+ (z + w)}2_{− 1.44) conforme os valores de}

S1 e S2.

Na segunda forma de varia¸c˜ao das cores relacionadas aos cossenos dos

ˆ

angulos θ1 e θ2, observou-se a varia¸c˜ao do maior sinal entre S1 e S2.

Considere S = sign(S1 + S2)|S1||S2|, ent˜ao se S ≥ 0 atribui-se a cor

vermelha e se S < 0 atribui-se a cor verde, conforme pode ser visto nas superf´ıcies impl´ıcitas vistas nas figuras 4.11, 4.12, 4.13 e 4.14.

(12)

f (x, y, z, w) = (y2_{+ z}2_{− 1, x}2_{+ y}2 _{+ (z + w)}2 _{− 1) conforme o valor de S.}

f (x, y, z, w) = (x − z2+ w2, y − 2zw) conforme o valor de S.

complexa w = (z + 1)2_{(z − 2) conforme o valor de S.}

(13)

Figura 4.14: Varia¸c˜ao de cores da superf´ıcie impl´ıcita definida pela equa¸c˜ao complexa w = cos(z) conforme o valor de S.

Varia¸c˜ao da quarta coordenada dos pontos

Nos exemplos a seguir buscamos visualizar a varia¸c˜ao da coordenada

wr projetada de cada ponto da superf´ıcie S. Ou seja, para cada ponto

p(x, y, z, w) pertencente a S, considere q = Ap, onde q(xr, yr, zr, wr). Assim

foi implementada a seguinte escala de cores.

Considere m = inf([w]) − 1.0 e M = sup([w]) − 1.0, onde inf([w]) e

sup([w]) s˜ao o ´ınfimo e o supremo da quarta dimens˜ao da hipercaixa [h],

respectivamente. E, considere c ∈ [0, 1] tal que

c = wr−m

M −m,

onde wr ´e a quarta coordenada do ponto q(xr, yr, zr, wr) a que se quer

visualizar.

Diante disso foi feita uma interpola¸c˜ao das cores como mostrado na tabela

4.3.

Varia¸c˜ao do valor de c Cor em RGB

0 ≤ c ≤ 0.25 RGB(1,_0.25c , 0) 0.25 ≤ c ≤ 0.5 RGB(0.5−c 0.25, 1, 0) 0.5 ≤ c ≤ 0.75 RGB(0, 1,c−0.5_0.25 ) 0.75 ≤ c ≤ 1.0 RGB(0, 1−c 0.25, 1)

Tabela 4.3: Varia¸c˜ao de cores conforme os valores da coordenada wr de cada

ponto. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912351/CA

(14)

O resultado dessa t´ecnica pode ser visto nas superf´ıcies contidas nas figuras 4.15 e 4.16.

Figura 4.15: Varia¸c˜ao de cores da superf´ıcie definida pela equa¸c˜ao complexa

w = cos(z) conforme o valor da coordenada wr de cada ponto.

Figura 4.16: Varia¸c˜ao de cores da superf´ıcie definida pela equa¸c˜ao complexa

w = ez _{conforme o valor da coordenada w}

r de cada ponto. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912351/CA

(15)

Figura 4.17: Varia¸c˜ao de cores para superf´ıcie impl´ıcita definida pela equa¸c˜ao

complexa w = z2_{. (a) Varia¸c˜}_{ao para superf´ıcie impl´ıcita com valores}

com-plexos; (b) varia¸c˜ao conforme os valores de S1 e S2; (c) varia¸c˜ao conforme os

valor de S; (d) varia¸c˜ao conforme o valor da coordenada wr de cada ponto.

A figura 4.17 mostra a aplica¸cão das quatro técnicas de varia¸cão de cores

descritas na se¸c˜ao 4.4.1 para uma superf´ıcie impl´ıcita.

4.4.2

Opacidade da cor dos pontos

Depois de definida a cor ´e atribuida uma opacidade `a mesma. Os pontos

de silhueta tem opacidade m´axima. Os demais pontos tem a opacidade da

sua cor variada de acordo com os valores de α1 ∈ [0, 1] ou de α2 ∈ [0, 1] (3).

Esta varia¸cão está relacionada ao sinal de S, calculado na se¸cão anterior. Se

S < 0 ent˜ao a opacidade varia de acordo com o valor de α1 e se S ≥ 0 a

opacidade varia conforme α2, esses valores são calculados através das fun¸cões

de decaimento abaixo:

α1 = S2λ

α2 = 0.2(log(|S| − 0.05) + 5)λ,

onde λ é um parâmetro definido pelo usuário. Se λ = 0 somente os pontos de

silhueta s˜ao amostrados, como pode ser observado nas figuras 4.18 e 4.19.

(16)

Figura 4.18: Amostragem da superf´ıcie impl´ıcita definida pela equa¸c˜ao

com-plexa w = cos(z) (`a esquerda) e somente de sua silhueta quando ´e atribu´ıdo

valor zero ao parˆametro λ (`a direita).

Esta t´ecnica de opacidade dos pontos cria efeitos de ilumina¸c˜ao na

superf´ıcie, como pode ser observado na imagem (a) da figura 4.19.

Figura 4.19: Amostragem da superf´ıcie impl´ıcita definida pela equa¸c˜ao

com-plexa w = ez (`a esquerda) e somente de sua silhueta quando ´e atribu´ıdo valor

zero ao parˆametro λ (`a direita).

(17)

Tamanho dos pontos

Figura 4.20: Superf´ıcie impl´ıcita definida pela fun¸c˜ao f (x, y, z, w) = (y2_{+ z}2₋

1, x2 _{+ y}2 _{+ (z + w)}2 _{− 1.44) renderizada com diferentes valores de λ. Acima}

`

a esquerda, λ = 0.1; acima `a direita, λ = 0.5; abaixo `a esquerda, λ = 1.0; e

abaixo `a direita, λ = 3.0.

Assim como a opacidade o tamanho dos pontos tamb´em varia de acordo

com os valores de α1 e α2. Os pontos da silhueta recebem um tamanho maior,

para terem mais destaque, os pontos em que S < 0 recebem o tamanho

2α1 e os pontos em que S ≥ 0 recebem 2α2. O tamanho dos pontos pode

ser controlado pelo usuário através do parâmetro λ, pois os valores de α1 e

α2 variam proporcionamente com o valor desse parˆametro, dando assim uma

maior ou menor cobertura da superf´ıcie, como pode ser observado nas figuras 4.20 e 4.21. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0912351/CA

(18)

Figura 4.21: Superf´ıcie impl´ıcita definida pela fun¸c˜ao f (x, y, z, w) = (y2+ z2−

1, x2 + y2 + (z + w)2 − 1) renderizada com diferentes valores de λ. Acima `a

esquerda, λ = 0.1; acima `a direita, λ = 0.5; abaixo `a esquerda, λ = 1.0; e

abaixo `a direita, λ = 1.8.

As imagens 4.22 e 4.23 mostram mais alguns resultados das t´ecnicas de

visualiza¸c˜ao apresentadas nesse cap´ıtulo.

(19)

Figura 4.22: Superf´ıcie impl´ıcita definida pela equa¸c˜ao complexa w = cos(z)

renderizada com as t´ecnicas de visualiza¸c˜ao apresentadas neste trabalho.

Figura 4.23: Superf´ıcie impl´ıcita definida pela equa¸c˜ao complexa w = ez

renderizada com as t´ecnicas de visualiza¸c˜ao apresentadas neste trabalho.

(20)

4.5

Interface Gr´afica

Figura 4.24: Interface gr´afica do algoritmo.

A figura 4.24 mostra a captura da interface gr´afica do algoritmo proposto

com a exposi¸cão dos parâmetros e recursos de intera¸cão do usuário com

o algoritmo, permitindo assim uma maior liberdade de uso do mesmo. ´E

importante ressaltar que a melhor visualiza¸c˜ao da superf´ıcie est´a diretamente

ligada com o bom ajuste dos parˆametros.