1.Médias e proporcionalidade
1.Médias e proporcionalidade………...2………...2
2.Média aritmética simples
2.Média aritmética simples………..4………..4
3.Média aritmética ponderada
3.Média aritmética ponderada………..10………..10
4.Proporcionalidade directa
4.Proporcionalidade directa………...16………...16
5.Proporcionalidade inversa
5.Proporcionalidade inversa………..25………..25
6.Percentagem sem preço de venda
6.Percentagem sem preço de venda……….28……….28
7.Percentagem sem preço de compra
7.Percentagem sem preço de compra………..28………..28
8.Descontos sucessivos 8.Descontos sucessivos………...33………...33 Exercícios……….39 Exercícios……….39 Bibliografia Bibliografia……….53……….53
1.Médias e proporcionalidade
1.Médias e proporcionalidade
A
A Média Média Aritmética, Aritmética, ferramenta ferramenta muito muito útil útil que que nos nos permite permite tratar tratar de de uma uma formaforma simplificada conjuntos vastos de informação.
simplificada conjuntos vastos de informação.
É usual ouvirmos expressões como: É usual ouvirmos expressões como:
• Velocidade média de
• Velocidade média de circulação;circulação; • Preço médio da carne de vaca; • Preço médio da carne de vaca;
• Idade média dos alunos do ensino superior; • Idade média dos alunos do ensino superior;
E tantas outras que nos chegam pelos jornais pela rádio e pela televisão, no dia a E tantas outras que nos chegam pelos jornais pela rádio e pela televisão, no dia a -dia, em qualquer tipo de situação e referente a qualquer informação.
dia, em qualquer tipo de situação e referente a qualquer informação.
Vamos
Vamos aprender aprender a a formar formar de de obter obter essa essa medida medida - - média média - - e e interpretar interpretar o o seuseu significado, porque, qualquer conjunto de dados só tem interesse desde que permita a significado, porque, qualquer conjunto de dados só tem interesse desde que permita a sua mensuração, só desta forma se poderão
sua mensuração, só desta forma se poderão efectuar cálculos e trabalhos.efectuar cálculos e trabalhos.
Não seria útil, nem prático, enumerar as idades de 20 alunos de uma turma, perde-se Não seria útil, nem prático, enumerar as idades de 20 alunos de uma turma, perde-se tempo e interesse na análise, torna-se muito mais útil transformar esse conjunto de tempo e interesse na análise, torna-se muito mais útil transformar esse conjunto de dados num único dado ou valor e r
dados num único dado ou valor e referir a idade média desses 20 alunos.eferir a idade média desses 20 alunos.
A
A Média Média Aritmética Aritmética é é característica característica de de um um tipo tipo de de medidas medidas estatísticas, estatísticas, de de tendênciatendência central, e de entre estas a mais usual.
Na turma A 40% dos alunos são rapazes;Na turma A 40% dos alunos são rapazes;
Fazem parte dos nossos dias Fazem parte dos nossos dias pelo que há que entender muito bem o seupelo que há que entender muito bem o seu
significado. significado.
Estes exemplos referem-se a medidas
Estes exemplos referem-se a medidas simples que permitem estabelecer comparaçõessimples que permitem estabelecer comparações entre diversos grupos, entre as quais
entre diversos grupos, entre as quais se encontram:se encontram:
• A Proporção e a Razão • A Proporção e a Razão • A Percentagem
2.Média aritmética simples
2.Média aritmética simples
Começamos por estudar a média aritmética simples, que se obtém através da divisão Começamos por estudar a média aritmética simples, que se obtém através da divisão da soma do conjunto de dados
da soma do conjunto de dados de que dispomos pelo seu número de que dispomos pelo seu número total.total.
Tendo o conjunto
Tendo o conjunto Χ={ x1 , Χ={ x1 , x2, x3,..., xnx2, x3,..., xn}}
Em que (1,2,3, .... n), são os elementos que compõem o conjunto N, e N representa o Em que (1,2,3, .... n), são os elementos que compõem o conjunto N, e N representa o número total
número total de elementos / observações, pertencentes ao conjunto Χ vamos de elementos / observações, pertencentes ao conjunto Χ vamos definir:definir:
Vamos em primeiro lugar explicar o sentido da expressão: Vamos em primeiro lugar explicar o sentido da expressão:
Ou seja o símbolo
Calculemos os seguintes somatórios: Exercício Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4 Exercício 5
Os ordenados dos empregados de determinada unidade
produtiva durante o mês de Dezembro foram de 800 u.m.,
Qual o valor do ordenado médio praticado no mês de
Dezembro?
O ordenado médio durante no mês de Dezembro para esta unidade produtiva foi de 800 u.m..
Exercício 6
Considerando os mesmos dados do exemplo 5 vamos considerar que havia mais um nível salarial (passando N de 5 para 6), sendo o ordenado praticado neste nível de 2.000 u.m..
Os preços de seis modelos de T- Shirt vendidos num Centro Comercial são os seguintes:
Qual o preço médio das T-Shirts?
Que conclusões se podem tirar?
Das T Shirts disponíveis cada uma custa em média 5.488 u.m.; se tiver 5.488 u.m. posso comprar qualquer T Shirt?
Não apenas aquela que custar menos ou igual que 5.488 u.m., ou então posso comprar duas desde que a soma dos seus preços seja 5.488. Nunca poderei adquirir a T Shirt F.
1. 20,22,20,18,25,23,27,24,24,28,20
2. 20,22,20,18,25,23,27,24,24,200,20
3. 5,4,5,7,2,1,8,4,9,5,4,1,1,4,5,1
4. 113,105,108,107,110,105,113,109
Resolução: Exercício 9Vamos calcular qual o preço médio dos modelos disponíveis:
Pela média apurada ficamos a saber que o preço médio dos modelos disponíveis naquele salão automóvel é de 5.625 u.m..
Esta informação não é suficientemente elucidativa sobre os modelos disponíveis.
Será útil calcular o preço médio dos modelos de alta cilindrada e o preço médio dos modelos de baixa cilindrada.
Esta informação foi calculada com os mesmos dados da anterior mas presta ao consumidor um serviço mais elucidativo e completo.
No entanto, não é ainda uma informação completa, não dá qualquer informação sobre o número de carros vendidos.
Para dar resposta mais consentânea a esta e outras questões vamos aprofundar o nosso estudo introduzindo o conceito de Média Aritmética Ponderada.
3.Média aritmética ponderada
Como vimos anteriormente, calcular um valor médio não basta.
Se tivermos presente o exemplo das T Shirts podemos constatar que o preço médio não nos informa sobre o preço médio das T Shirts vendidas, se por exemplo só foram vendidas, T Shirts simples de 2.700 o preço médio serão 2.700.
Na Média Aritmética Ponderada vamos efetuar a ponderação do
número de elementos observados, pelos valores que assumem e
ainda pelo número de vezes que ocorrem, ou seja:
Vamos definir:
Exercício 1
Voltando a um exercício anterior vamos introduzir o número de empregados que se encontram em cada nível salarial:
Vamos aumentar uma coluna neste quadro para evidenciar a ponderação do numero de ocorrências (número de empregados) pelo ordenado praticado:
Conclui-se assim que dos 20 empregados o ordenado médio auferido durante o mês de Dezembro foi 793,5 u.m.
Exercício 11
No seguimento do exercício anterior e do exercício 6 vamos agora introduzir o número de empregados que auferiram 2.000 u.m. durante o mês de Dezembro:
Vamos aumentar uma coluna neste quadro para evidenciar a ponderação do número de ocorrências (número de empregados) pelo ordenado praticado:
Conclui-se assim que dos 21 empregados o ordenado médio auferido durante o mês de Dezembro foi 850,95 u.m.
Sabemos que esta informação não é a mais correcta do ponto de vista real, pois apenas 1 empregado auferiu mais do que 820 u.m. mas é mais correcta do ponto de vista estatístico. Sendo o valor apurado pela Média Aritmética Ponderada (850,95) mais aproximado da realidade do que o apurado pela Média Aritmética Simples (1.000).
Exercício 12
Vamos voltar ao exercício 7 - T Shirt - vamos introduzir as quantidades vendidas de cada modelo:
Vamos aumentar uma coluna neste quadro para evidenciar a ponderação do número de ocorrências (quantidade vendida) pelo preço unitário:
Conclui-se assim que das 50 T Shirt vendidas o preço médio foi de 4.732,8 u.m..
Exercício 13
Voltemos ao exemplo dos automóveis disponíveis onde já se dispunha da indicação das quantidades vendidas, podemos assim construir a tabela seguinte:
Conclui-se assim que dos 13 carros vendidas o preço médio foi de 3.730,77 u.m..
Este resultado é diferente do obtido no cálculo da Média Aritmética Simples, 5.625 u.m. porque não entramos em linha de conta com um dos modelos mais caros e que não teve qualquer venda, e também porque os preços estão ponderados pelas quantidades vendidas.
A Proporção de indivíduos de uma dada categoria é definida através do quociente entre o número de indivíduos pertencentes a essa categoria e o número total de indivíduos considerados.
Devendo as categorias ser mutuamente exclusivas e exaustivas (um indivíduo só pertence a 1 grupo de cada vez).
Consideremos que um certo número de pessoas foi classificado em 4 categorias.
Essas categorias são, naturalmente mutuamente exclusivas e exaustivas, ou seja um indivíduo não pode pertencer a mais do que uma categoria ao mesmo tempo:
N1 - Pessoas incluídas na categoria 1 N2 - Pessoas incluídas na categoria 2 N3 - Pessoas incluídas na categoria 3 N4 - Pessoas incluídas na categoria 4 N - Número total de pessoas e
N= N1 +N2+N3+N4
A proporção de pessoas pertencentes a cada categoria é determinada mediante o cálculo ni/N, ou seja:
• Proporção de pessoas incluídas na categoria 1 = N1 / N • Proporção de pessoas incluídas na categoria 2 = N2 / N • Proporção de pessoas incluídas na categoria 3 = N3 / N • Proporção de pessoas incluídas na categoria 4 = N4 / N
Analisemos o seguinte exemplo para compreendermos melhor este conceito:
Consideremos o número de sócios praticantes e não praticantes de futebol em 2 clubes:
Em primeiro lugar vamos calcular a tabela de proporções dos sócios praticantes e não praticantes:
0,053 do total de sócios do Clube 2 pratica Futebol de Salão; 0,106 do total de sócios do Clube 2 pratica Futebol de Campo; 0,841 do total de sócios do Clube 2 não são praticantes;
Esta tabela pode ser lida da seguinte forma:
0,574 do total de sócios praticantes do Clube 1 pratica Futebol de Salão; 0,426 do total de sócios praticantes do Clube 1 pratica Futebol de Campo; 0,332 do total de sócios praticantes do Clube 2 pratica Futebol de Salão; 0,668 do total de sócios praticantes do Clube 2 pratica Futebol de Campo;
Uma terceira análise pode ser a tabela de proporções dos sócios praticantes no total de sócios de cada clube:
0,826 do total de sócios do Clube 1 não são praticantes; 0,159 do total de sócios do Clube 2 são praticantes; 0,841 do total de sócios do Clube 2 não são praticantes;
Razão
O valor da proporção pode também ser denominado Razão, isto é a proporção entre duas variáveis, ou seja a expressão proporção é também a igualdade expressa entre duas razões.
Quando dizemos 4 é o dobro de 2, estamos a calcular a razão entre estes dois números, quatro a dividir por dois é dois (4 /2=2), a razão é 2, ou o dobro.
Quando dizemos 9 é o triplo de 3, estamos a calcular a razão entre 9 e 3, nove a dividir por três é três (9/3=3), ou o triplo.
Podemos ainda pares de números diferentes cuja razão é a mesma, por exemplo 2 e 1, 6 e 3 porque:
Se multiplicarmos os meios, o seu produto será igual ao produto dos extremos:
a . d = b . c
No caso concreto das seguintes expressões:
20 e 50 são os extremos 10 e 100 são os meios
a razão as proporção é 20/10, ou 100/50, ou seja 2 e 20 × 50 = 10 × 100
Podemos resolver equações através da utilização destas noções.
Se estivermos perante a seguinte questão, se duas pessoas comerem 6 bolachas por dia quantas bolachas são necessárias para alimentar 10 pessoas?
A razão entre o número de pessoas 2 para 10 terá que ser a mesma que se vai
a razão da proporção é de 1/5
Proporcionalidade directa
Quando as duas variáveis de uma proporção aumentam uma em função da outra, numa razão constante, estamos perante Proporcionalidade Directa, sendo utilizada a expressão de que as duas variáveis são directamente proporcionais.
Sejam as duas variáveis x e y
Vamos definir y como função de x tal que y seja igual a k vezes x, em que k é a razão da proporção
O valor de y será sempre maior que x, tomemos por exemplo os seguintes valores: x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5
Sendo k = 3 , obtemos os seguintes valores para y : y = 3 , 6 , 9 , 12, 15
Num agrupamento de escola fez-se o seguinte estudo
No conjunto X está representado o número de turmas de cada escola.
O conjunto Y representa o número de alunos de cada escola.
A partir da aplicação f: X→ Y, constituem-se os pares ordenados (4,72); (6,108) e
(10,180) formados com os elementos x de X e y de Y.
Da aplicação inversa f -1: Y
→X, obtêm-se os pares ordenados (72,4); (108,6) e
(180,10).
O quociente entre os elementos de cada par ordenado da aplicação f é dado por K = y / x, e da aplicação inversa por K -1=1 / K
Apuremos esses quocientes:
K = y / x
Verificamos que o quociente entre os elementos de cada par ordenado da aplicação f é CONSTANTE (K = y / x = 18)
K -1= x / y
4/72 = 1/18 ; 6/108 = 1/18 e 10/180 = 1/18
O quociente entre os elementos dos pares ordenados da aplicação f -1 é igualmente
CONSTANTE.
Estamos na presença de dois quocientes, 18 e 1/18, que são constantes e podemos representá-los por K e K -1 = 1/K.
A aplicação dos conjuntos X em Y é bijectiva.
Então, quando se verificam estas duas condições diz-se que existe uma relação de PROPORCIONALIDADE DIRECTA e que a CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE (K = y / x) é 18.
Podemos concluir que, em média, existem 18 alunos por cada turma.
Esta relação de proporcionalidade directa pode representar-se através de um gráfico de eixos cartesianos, assim:
Concluímos que uma relação de proporcionalidade directa é representada por uma recta que passa pela origem.
5.Proporcionalidade inversa
Quando as duas variáveis de uma proporção diminuem uma em função da outra, numa razão constante, estamos perante Proporcionalidade Inversa, sendo utilizada a expressão de que as duas variáveis são inversamente proporcionais.
Sejam as duas variáveis x e y:
Vamos definir y como função de x tal que y seja igual a k vezes x, em que k é a razão da proporção expressa em 1 a dividir por k, ou o inverso de k
O valor de y será sempre menor que x, tomemos por exemplo os seguintes valores:
x = 2 , 4 , 6 , 8 , 10
Sendo k = 1/2 obtemos os seguintes valores para y:
y = 1 , 2 , 3 , 4 , 5
Expressões como metade, a terça parte, a dízima, etc., são indicadores de proporcionalidade inversa.
No conjunto X está representado o número de horas necessárias para efectuar este percurso de Aveiro a Almada ou vice-versa.
O conjunto Y representa a velocidade média do veículo em km/h.
A partir da aplicação f: X→ Y, constituem-se os pares ordenados (5,54); (3,90) e
(2,135) formados com os elementos x de X e y de Y.
Da aplicação inversa f -1: Y
→X, obtêm-se os pares ordenados (54,5); (90,3) e (135,2).
Os quocientes entre os elementos de cada par ordenado são todos diferentes, isto é:
54 / 5 ≠ 90 / 3 ≠ 135 / 2
Mas, verificamos que é constante o quociente entre os elementos do conjunto Y pelo inverso dos elementos de X:
K = Y / ( 1 / x ) ⇒ K = XY
54 / (1 / 5) = 90 / (1 / 3) = 135 / (1 / 2)
Neste caso diz-se que há uma relação de proporcionalidade inversa em que a constante de proporcionalidade é 270 (K=XY)
Podemos concluir que o percurso entre Aveiro e Almada tem cerca de 270 km.
Esta relação de proporcionalidade directa pode representar-se através de um gráfico de eixos cartesianos, assim:
Concluímos que uma relação de proporcionalidade inversa é representada por uma curva que tende a tocar o eixo dos yy para xx muito baixos.
A expressão por cento, indicada pelo símbolo %, significa centésimos.
Assim, 25% é simplesmente outra maneira de exprimir 25 a dividir por 100 (25/100), ou 0,25 ou ¼.
Quando dizemos: O senhor Joaquim cobra 10% de comissão em cada andar que vende;
Queremos dizer: O senhor Joaquim exige 10 por cada 100 do preço do andar que vende.
Quando dizemos: certo investimento produz 6% ao ano;
Queremos dizer: o investimento produz 6 por cada 100 investidos.
Qualquer número expresso na notação decimal, pode ser escrito como uma percentagem, deslocando-se simplesmente a vírgula duas casas para a direita e acrescentando o símbolo %, ou multiplicando o número por 100 e acrescentando o símbolo %. Exemplificando: ½ = 0,5 = 50% 1/8 = 0,125 = 12,5% 11/4 = 2,75 = 275% 3 = 3,00 = 300% 9/8 = 1,125 = 112,5%
Inversamente para exprimir dada percentagem como um número suprimimos o sinal % e deslocamos a vírgula duas casas para a esquerda, ou dividindo o número por 100 e eliminando o símbolo %. Exemplificando: 75% = 0,75 = 75 / 100 8% = 0,08 = 8 / 100 5 ¼ % = 0,0525 = 525 / 1000 154% = 1,54 = 154/100 1000% = 10 = 1000/100
Aplicações diárias que exprimem os conceitos apresentados:
Espaços percorridos e tempos gastos;
Peso e volume de corpos de uma mesma substância; Custo e peso de uma mercadoria;
Tempo gasto com um percurso e velocidades.
Aplicação na actividade financeira:
As taxas de juro;
O juro calculado sobre capitais emprestados e capitais aplicados; A transformação de taxas de juro anuais em mensais, ou outras; O crescimento do juro em função do aumento dos capitais aplicados.
Portanto, 6 corresponde a 20 % de 30. Assim, o desconto será de euros, pelo que a camisola ficará em 24 euros (30 – 6 = 24).
2º processo
Sabemos que se o desconto é de 20%, a percentagem correspondente ao que vamos pagar será de 80%
(100 – 20 = 80). Então podemos calcular 80% de 30.
Assim obtemos 24 €, o preço final da camisola.
3º Processo
Como
Podemos obter 20 % de 30 fazendo 30 × 0,2 = 6
Exercício 1 Calcular: 4 % de 725 0,04 x 725 = 29 175% de 800 1,75 x 800 = 1.400 2 ½ % de 35.640,80 0,025 x 35.640,80 = 897,02 ¾% de 12.000,00 0,0075 x 12.000,00 = 90,00 Exercício 2 Exprimir em percentagem:
Quantos por cento de 40 são 20? 20 / 40 = 0,5 = 50%
Quantos por cento de 31 são 620? 620 / 31 = 20 = 2.000%
Achar Y, sabendo que 7% de Y são 5.25?
Y x 0.07 = 5,25 Y= 75
Exercício 4
Calcular:
25% de que número são 20? 20 / 0,25 = 80
3,5% de que quantia são 42? 42 / 0,035 = 1.200
125% de que quantia são 531,55? 531,55 / 1,25 = 425,24
7.Percentagem sem preço de compra
LUCRO – É a diferença entre o Preço de Venda e o Preço de Custo
LUCRO = PREÇO DE VENDA – PREÇO DE CUSTO
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de PREJUÍZO
Assim, podemos escrever:
Preço de custo + Lucro = Preço de Venda Preço de custo – prejuízo = Preço de Venda
Podemos expressar o lucro na forma de percentagem:
Exercício:
Uma mercadoria foi comprada por 5.000,00€ e vendida por 8.000,00 €
Calcula:
a) O Lucro obtido na transacção;
LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO = LUCRO x 100% preço de custo
Lucro = 8.000,00 € - 5.000,00 € Lucro = 3.000,00 €
Sobre um investimento de 2.500 Maria realizou um lucro de 131,15. Quantos por cento lucrou no investimento?
131,25 quantos por cento são de 2.500? são 131,25/2.500= 5,25%
Exercício 2
Um advogado consegue receber 90% de uma questão avaliada em 3.000 u.m. e cobra 15% da quantia recebida a titulo de honorários.
Que soma receberá o cliente?
E quantos por cento é do valor inicial?
O advogado recebe 0,9 de 3.000 , ou seja 2.700 u.m.
O advogado cobra 0,15 da importância recebida, ou seja dos 2.700 u.m., cobra 405 u.m.
O cliente recebeu 2.700 menos 405 u.m. ou seja 2.295 u.m.
8.Descontos sucessivos
Os descontos são uma prática corrente nas relações cliente-fornecedor e podem ser de natureza comercial e/ou financeira.
Os descontos comerciais são aqueles que representam reduções do preço de compra (revenda, quantidade, bónus).
Os descontos financeiros são reduções que se fazem ao valor a pagar no total das facturas, em geral, por pronto pagamento.
Descontos comerciais
Uma empresa de comércio por grosso de loiças e vidros pratica um desconto de 15% aos seus clientes que sejam pequenos retalhistas.
1- Determina o valor do desconto concedido pela venda de um serviço de jantar cujo preço de catálogo era de 625,00€.
2- Determina o preço de catálogo de um jarro que deu origem a um desconto de
45,00€.
então, f (625)= 0,15 x 625 ⇒ f (625)= 93,75€
Pela via aritmética:
100 = 15 ⇒ y2 = 625 x 15 ⇒ y2 = 93,75€
625 y2 100
Recorrendo à relação de proporcionalidade directa entre dois conjuntos, temos:
Y 3 = K . x3 ⇒ x3 = y3 / K ⇒ x3 = 45 / 0,15 ⇒ x3 = 300,00€
Pela via aritmética:
100 = 15 ⇒ x3 = 45 x 100 ⇒ x3 = 300,00€
X3 45 15
Descontos financeiros
Uma empresa concede aos seus principais clientes um desconto de pronto pagamento de 3% quando recebe até ao 15º dia após a emissão da factura.
Determina o valor líquido e ilíquido duma fatura cujo cliente teve um proveito
financeiro de 36,00€.
Recorrendo à relação de proporcionalidade directa entre dois conjuntos, temos:
y = K . x e K = y / x
Como K = 97 / 100 ⇒ K = 0,97 e y = K . x
Então, y2= K.x2 ⇒ x2= 1940/0,97 ⇒ x2= 2000,00€
Pela via aritmética:
100 = 97 ⇒ x2 = 1940 x 100 ⇒ x3 = 2000,00€
X2 1940 97
Recorrendo à relação de proporcionalidade directa entre dois conjuntos, temos:
Exercícios
Média aritmética
Exercício 1
Calcular as médias aritméticas e observar os resultados:
Exercício 2
Considere o seguinte quadro de indemnizações pagas em consequência de acidentes de viação:
Conhecendo os salários pagos a um conjunto de 100 empregados em número de salários mínimos, determine o número médio de salários mínimos auferidos por cada um deles:
Exercício 4
Tendo presente os resultados percentuais de 25 análises para detecção de uma substância química apresente o resultado médio.
Exercício 5
Conhecendo as estaturas de 100 alunos de uma classe, determine a estatura média desses alunos:
Percentagens
Exercício 1
Escrever cada um dos números seguintes sob a forma de percentagem:
Exercício 2
Exprimir cada uma das seguintes percentagens como fracção decimal.
Exercício 3
Que percentagem de:
Exercício 5
