Identificação de sistema e projeto de controle no espaço de parâmetros para uma pequena aeronave não tripulada

(1)

André Fialho Coelho

Identificação de sistema e projeto de controle

no espaço de parâmetros para uma pequena

aeronave não tripulada

Campos dos Goytacazes – RJ

2017

(2)

André Fialho Coelho

Identificação de sistema e projeto de controle no espaço

de parâmetros para uma pequena aeronave não tripulada

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense, como requisito parcial para conclusão do curso de Bacharelado em Engenharia de Controle e Automação.

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense - IFF Campos – Centro Programa de Graduação em Engenharia de Controle e Automação

Orientador: Dr. Alexandre Carvalho Leite

Coorientador: Dipl.-Ing. Tin Muskardin (Centro Aeroespacial Alemão –

DLR)

Campos dos Goytacazes – RJ

2017

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Biblioteca Anton Dakitsch CIP - Catalogação na Publicação

Elaborada pelo Sistema de Geração Automática de Ficha Catalográfica da Biblioteca Anton Dakitsch do IFF com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).

C672i

Coelho, André Fialho

Identificação de sistema e projeto de controle no espaço de parâmetros para uma pequena aeronave não tripulada / André Fialho Coelho - 2017.

63 f.: il. color.

Orientador: Alexandre Carvalho Leite Coorientador: Tin Muskardin

Trabalho de conclusão de curso (graduação) -- Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense, Campus Campos Centro, Curso de Bacharelado em Engenharia de Controle e Automação, Campos dos Goytacazes, RJ, 2017.

Referências: f. 58 a 61.

1. Identificação de sistemas. 2. Projeto de controle no espaço de parâmetros. 3. Método Output Error. 4. Método Two Step. 5. VANT. I. Leite, Alexandre Carvalho, orient. II. Muskardin, Tin, coorient. III. Título.

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André Fialho Coelho

Identificação de sistema e projeto de controle no espaço

de parâmetros para uma pequena aeronave não tripulada

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense, como requisito parcial para conclusão do curso de Bacharelado em Engenharia de Controle e Automação.

Trabalho aprovado. Campos dos Goytacazes – RJ, 10 de agosto de 2017:

Dr. Alexandre Carvalho Leite

Professor de Engenharia de Controle e Automação – IFF

Orientador

M.Sc. Felipe Nunes Radtke

Professor de Engenharia de Controle e Automação – IFF

Membro interno

Eng. Leonam da Silva Direito Pecly

Mestrando em Engenharia e Tecnologia Espaciais – INPE

Membro externo

Campos dos Goytacazes – RJ

2017

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Agradecimentos

A Deus por ter me mostrado os caminhos para chegar até aqui. Sem Ele nada teria sido possível.

Ao Instituto Federal Fluminense por ter me proporcionado meios de me formar como Engenheiro de Controle e Automação.

Ao meu orientador, Prof. Alexandre Leite, por ter me ensinado um pouco de sua forma de pensar e de resolver problemas, a qual eu sempre admirei. Agradeço pelo seu apoio, solicitude e exemplo.

Ao meu coorientador, Tin Muskardin, por ter sido sempre solícito e disposto a ensinar e auxiliar, características que fazem dele um grande engenheiro e pesquisador.

À minha família por todo amor e apoio. Por me proporcionar um lar onde eu pude crescer nos âmbitos pessoal e profissional.

À minha futura esposa, Raquel, por sempre estar ao meu lado e me apoiar incondi-cionalmente no meu sonho de me tornar um bom engenheiro.

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“Foi ela quem tudo fez!” (Dom Bosco)

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Resumo

Testes iniciais em controle cooperativo para pousos autônomos de um veículo aéreo não tripulado (VANT) em um carro em movimento apresentaram resultados promissores. No entanto, a identificação de um modelo de simulação de alta fidelidade é um passo de grande importância para o desenvolvimento de estratégias de controle mais efetivas, que permitam o controle cooperativo de VANTSs de Grande Altitude e Longa Resistência (HALE -em inglês) com veículos terrestres autônomos. Nesse contexto, este trabalho t-em como objetivo desenvolver um modelo confiável para a aeronave Penguin BE usada em testes de pouso cooperativo no Centro Aeroespacial Alemão (DLR) e projetar controle de atitude de arfagem de alto desempenho com auxílio da abordagem no espaço de parâmetros. O procedimento de identificação do sistema foi realizado aplicando os métodos Output Error e Two Step e um modelo longitudinal linear da aeronave foi desenvolvido. O projeto de controle no espaço de parâmetros foi aplicado ao modelo identificado para sugerir um conjunto de ganhos alternativos àqueles que estão atualmente em uso, os quais foram ajustados em voo, utilizando-se o método de Ziegler-Nichols, que não será viável no âmbito das missões estratosféricas

Palavras-chave: Identificação de sistemas. Projeto de controle no espaço de parâmetros.

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Abstract

Initial tests in cooperative control for autonomous landings of an Unmanned Aerial Vehicle (UAV) on a moving car have presented promising results. However, the identification of a high-fidelity simulation model is a step of great importance towards the development of more effective model predictive control strategies, which rely on precise models to allow cooperative control of High Altitude, Long Endurance (HALE) UAVs with autonomous ground vehicles. In this context, this work aims to develop a reliable model for the Penguin BE aircraft used in cooperative landing tests at the German Aerospace Center (DLR), and to design a high-performance pitch attitude controller applying the parameter space approach. The system identification procedure has been carried out by applying both, the Output Error and the Two Step methods, and a linear longitudinal model of the aircraft has been developed. Parameter Space Control has been applied to the identified model in order to suggest a set of alternative gains to the ones that are currently in use, which have been fine-tuned in flight, using the Ziegler-Nichols method, which will not be viable in the scope of stratospheric missions.

Keywords: System identification. Parameter space control design. Output Error Method.

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Lista de ilustrações

Figura 1 – Pouso cooperativo bem-sucedido com conjunto de demonstração. . . . 14

Figura 2 – Elektra One Solar. . . 14

Figura 3 – VANT Penguin BE. . . 15

Figura 4 – Modelo Simulink R _{do Penguin BE, criado utilizando-se o conjunto de} blocos AeroSim. . . 16

Figura 5 – Exemplo da entrada DLR 3211. . . 20

Figura 6 – Diagrama de blocos do método Output Error. . . . 22

Figura 7 – Diagrama de blocos do Software OEM. . . 23

Figura 8 – Diagrama de blocos simplificado de uma aeronave. . . 27

Figura 9 – Entradas ótimas nos domínios do tempo e da frequência. . . 33

Figura 10 – Manobras realizadas em voo nos domínios do tempo e da frequência. . 35

Figura 11 – Gráficos de Bode dos termos derivativos. Os retângulos tracejados azuis, vermelhos e pretos representam as regiões identificáveis das manobras fugoide, período curto e throttle doublet, respectivamente. . . . 38

Figura 12 – Entradas utilizadas na fase de identificação. . . 40

Figura 13 – Entradas utilizadas na fase de validação. . . 40

Figura 14 – Estados simulados com o modelo a priori e estados medidos. . . . 41

Figura 15 – Estados estimados com o método Output Error e estados medidos. . . 43

Figura 16 – Estados longitudinais e laterais medidos e estados gerados a partir da integração das equações de movimento de 6DOF com vieses estimados adicionados. . . 45

Figura 17 – Forças e momentos reconstruídos e resultantes da regressão linear. . . . 47

Figura 18 – Estados medidos e estimados com o método Two Step. . . . 49

Figura 19 – Estados medidos e estimados com os métodos Output Error e Two Step. 51 Figura 20 – Desempenho do sistema no espaço de parâmetros. Todas as regiões de especificação à esquerda. Interseção entre todas as especificações à direita. Figuras do lado esquerdo: amarelo – sistema estável; azul – máximo sobressinal menor que 5%; verde – tempo de acomodação inferior a 10 segundos; vermelho – tempo de subida menor que 1 segundo; preto – ganhos atualmente em uso. Figuras do lado direito: preto – ganhos onde todas as especificações são atendidas ao mesmo tempo; verde – ganhos atualmente em uso. . . 55

Figura 21 – Interseção entre as especificações no espaço de parâmetros tridimensio-nal. Esferas pretas – ganhos onde todas as especificações são atendidas ao mesmo tempo; esfera verde – ganhos atualmente em uso. . . 56

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Lista de tabelas

Tabela 1 – Características das medidas estatísticas utilizadas na validação de modelos 29 Tabela 2 – Valores atuais dos ganhos e intervalo de busca em grade . . . 30 Tabela 3 – Características das entradas ótimas de deflexão do profundor e

configu-ração do acelerador. . . 32 Tabela 4 – Características das manobras realizadas em voo . . . 34 Tabela 5 – Identificabilidade das derivadas . . . 37 Tabela 6 – Medidas estatísticas dos estados simulados utilizando-se o modelo a

priori – conjunto de identificação . . . . 42 Tabela 7 – Medidas estatísticas dos estados simulados utilizando-se o modelo a

priori – conjunto de validação . . . . 42 Tabela 8 – Medidas estatísticas dos estados resultantes do método Output Error –

conjunto de identificação . . . 43 Tabela 9 – Medidas estatísticas dos estados resultantes do método Output Error –

conjunto de validação . . . 44 Tabela 10 – Vieses de medição estimados para cada manobra . . . 46 Tabela 11 – Medidas estatísticas dos estados reconstruídos – conjunto de validação 46 Tabela 12 – Termos da regressão linear e seus respectivos valores . . . 46 Tabela 13 – Medidas estatísticas de forças e momentos estimados com o método

Two Step – conjunto de identificação . . . . 47 Tabela 14 – Medidas estatísticas das forças e momentos estimados com o método

Two Step – conjunto de validação . . . . 48 Tabela 15 – Medidas estatísticas das forças e momentos obtidos por Lee (2017)

-conjunto de identificação . . . 48 Tabela 16 – Medidas estatísticas das forças e momentos obtidos por Lee (2017)

-conjunto de validação . . . 48 Tabela 17 – Medidas estatísticas dos estados resultantes do método Two Step –

conjunto de identificação . . . 48 Tabela 18 – Medidas estatísticas dos estados resultantes do método Two Step –

conjunto de validação . . . 49 Tabela 19 – Medidas estatísticas dos estados obtidos por Lee (2017) - conjunto de

identificação . . . 50 Tabela 20 – Medidas estatísticas dos estados obtidos por Lee (2017) - conjunto de

validação . . . 50 Tabela 21 – Indicadores de desempenho do sistema de controle utilizado nos testes

de voo . . . 52 Tabela 22 – Definição das derivadas concisas . . . 63

(11)

Lista de símbolos

u, v, w Velocidades lineares ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente, no referencial do corpo

ax, ay, az Acelerações lineares ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente, no

referencial do corpo

φ, θ, ψ Ângulos de rolagem, arfagem e guinada, respectivamente

p, q, r Taxas de rolagem, arfagem e guinada, respectivamente

ω Velocidade angular do motor

h Altitude da aeronave

X, Z Forças axial e normal, respectivamente

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Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . 12

1.1 Trabalhos anteriores na mesma aplicação . . . 13

1.2 A aeronave Penguin BE . . . 14

1.3 Modelo a priori . . . 15

2 IDENTIFICAÇÃO E PROJETO DE CONTROLE PARA O PEN-GUIN BE . . . 18

2.1 Projeto de entradas ótimas . . . 18

2.2 Método Output Error . . . 21

2.2.1 Estimação de máxima verossimilhança e formulação da função custo . . . . 22

2.3 Método Two Step . . . 24

2.3.1 Reconstrução do trajeto de voo . . . 24

2.3.2 Estimação das componentes das forças e momentos . . . 25

2.4 Validação dos modelos . . . 27

2.5 Projeto de controle no espaço de parâmetros . . . 29

3 RESULTADOS E DISCUSSÃO . . . 32

3.1 Considerações sobre o experimento . . . 32

3.2 Resultados da identificação do sistema . . . 41

3.2.1 Resultados do modelo a priori . . . . 41

3.2.2 Resultados do método Output Error . . . . 42

3.2.3 Resultados do método Two Step . . . . 44

3.2.3.1 Resultados da reconstrução do trajeto de voo . . . 44

3.2.3.2 Resultados da identificação de parâmetros . . . 46

3.2.4 Comparação entre os métodos de identificação . . . 50

3.3 Resultados do Projeto de Controle no Espaço de Parâmetros . . . . 52

4 CONCLUSÃO E PERSPECTIVAS FUTURAS . . . 57

REFERÊNCIAS . . . 58

APÊNDICES

62

APÊNDICE A – DERIVADAS AERODINÂMICAS LONGITUDINAIS CONCISAS E DINÂMICA DO MOTOR . . . 63

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12

1 INTRODUÇÃO

Estudos recentes realizados no Centro Aeroespacial Alemão (DLR) visam desenvol-ver novas tecnologias para aterrissar veículos aéreos não tripulados (VANT) de Grande Altitude e Longa Resistência (HALE – em inglês) em uma plataforma montada no topo de um veículo terrestre que, de forma cooperativa com o VANT, controla posição e velocidade até que um pouso bem sucedido seja relizado. O objetivo principal é eliminar a necessidade de um trem de pouso montado na aeronave e também facilitar aterrissagens em situações de vento cruzado. Como resultado, a massa total da aeronave seria significativamente reduzida, permitindo a sua operação por longos períodos de tempo, uma vez que este tipo de VANTs exige estruturas muito leves e, ao mesmo tempo, baterias pesadas, necessárias para o voo durante a noite, o que restringe a sua capacidade de carga. Se um sistema de pouso cooperativo confiável para tais VANTs for desenvolvido com sucesso, um grande passo será tomado em direção a sua utilização comercial. A principal vantagem de tais aeronaves estratosféricas ultraleves consiste em sua versatilidade para serem utilizadas em inúmeras aplicações, incluindo tarefas que normalmente são realizadas por satélites, como por exemplo observação da terra, pesquisas atmosféricas e redes de comunicação. Os VANTs HALE são opções atrativas para complementar ou substituir satélites devido a altos custos, necessidade de lançamento em foguetes e dependência de órbitas intrínsecos à utilização desses veículos espaciais.

Aterrissagens cooperativas bem-sucedidas já foram realizadas com a utilização de um conjunto de demonstração (Figura 1), composto por uma pequena aeronave não tripulada, chamada Penguin BE, e um carro guiado por um motorista humano. No entanto, um modelo de alta fidelidade do VANT faz-se necessário para eliminar ou reduzir a necessidade de sintonia dos parâmetros de controle e para melhorar o desempenho do sistema através de projetos de controle ótimo. Além disso, um modelo de simulação confiável da aeronave aceleraria o processo de desenvolvimento de estratégias de controle cooperativo mais efetivas para finalmente permitir os primeiros testes com VANTs HALE reais e veículos terrestres não tripulados. A abordagem aplicada atualmente, Controle Preditivo Baseado em Modelo (MPC – em inglês), visa gerar trajetórias viáveis e ótimas, com base no conhecimento a priori dos veículos. Portanto, modelos deficientes comprometeriam a aplicação dessa técnica.

Nesse contexto, este trabalho tem como objetivo desenvolver um modelo confiável para a aeronave Penguin BE utilizada em testes de pouso cooperativo, bem como analisar o controle de atitude de arfagem que está atualmente em utilização e sugerir projetos alternativos dentro das especificações predefinidas.

(14)

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 13

Duas abordagens diferentes foram aplicadas na identificação do sistema. São elas método Output Error no domínio do tempo e método Two Step. O design de controle é realizado através da aplicação da análise no espaço de parâmetros. O trabalho é dividido em duas partes principais: o Capítulo 2 fornece uma explicação sobre os métodos de identificação utilizados e como os mesmos foram aplicados, bem como uma visão geral das ferramentas de validação do modelo adotadas. Esse capítulo também fornece uma apresentação do projeto de controle no espaço de parâmetros e a forma como foi adaptado para a aplicação pretendida. Além disso, artigos científicos relacionados a cada subtópico também são mencionados. Em sequência, o Capítulo 3 apresenta os resultados dos métodos de identificação e uma comparação entre eles, bem como os resultados do projeto de controle e análise no espaço de parâmetros.

1.1 Trabalhos anteriores na mesma aplicação

Foram publicados alguns artigos em periódicos e conferências sobre a aterrissagem cooperativa de VANTs HALE no Centro Aerospacial Alemão. O conceito foi primeiramente introduzido por Laiacker et al. (2013), que se concentra principalmente na apresentação do sistema multi-sensor utilizado nos pousos. O artigo fornece detalhes específicos sobre a estimação de estados baseada em visão computacional e os métodos de fusão de dados dos sensores empregados.

Alguns anos depois, Muskardin et al. (2016) apresentou detalhes sobre o algoritmo de controle cooperativo e os resultados das primeiras simulações. O desenvolvimento subsequente e os primeiros resultados de aterrissagens bem-sucedidas com o conjunto de demonstração são apresentados em Muskardin et al. (2016). Por fim, Muskardin et al. (2017) também adiciona novos avanços na aplicação e resultados de experimentos de pouso

adicionais. As principais melhorias apresentadas são a inclusão de estimação de estados baseadas em visão computacional e algumas alterações na estrutura de controle de alto nível da missão, a fim de proporcionar aterrissagens cooperativas mais seguras e suaves.

Além disso, três trabalhos de mestrado foram produzidos dentro da aplicação. O primeiro, Balmer (2015), preocupa-se principalmente com modelagem, simulação, e desenvolvimento e teste de estratégias de controle de aeronaves, incluindo o Sistema de Controle de Energia Total (TECS) (KASTNER; LOOYE, 2013). O segundo, Persson (2016), realiza uma análise linear do sistema cooperativo, desenvolve estratégias de controle e apresenta os resultados dos primeiros testes. O terceiro, Lee (2017), visa identificar modelos de alta fidelidade tanto para o Penguin BE quanto para o VANT opcionalmente pilotado Elektra One Solar1 _{(Figura 2). Os resultados e os métodos empregados na análise}

da aeronave Penguin BE são comparados com os alcançados neste trabalho.

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Figura 1 – Pouso cooperativo bem-sucedido com conjunto de demonstração. Fonte: Muskardin et al. (2017).

Figura 2 – Elektra One Solar. Fonte: Lee (2017).

1.2 A aeronave Penguin BE

A aeronave utilizada no conjunto de demonstração, cujo modelo longitudinal é identificado neste trabalho, é um VANT Penguin BE (Figura 3), desenvolvido pela UAV Factory2. O mesmo é um veículo elétrico não tripulado de asa alta com uma configuração de cauda em V negativa, alimentado por um cartucho de baterias de 640 Wh composto por

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48 células de polímero de lítio. Além disso, essa aeronave é propulsionada por um motor de corrente contínua sem escovas e uma hélice de 19×11 polegadas em configuração de empurrar. O veículo possui 3,3 metros de extensão de asa e 2,27 metros de comprimento. Seu peso sem carga, incluindo o cartucho de baterias e o trem de pouso padrão, é de 14,9 kg, suportando uma carga útil máxima de 6,6 kg. (UAV FACTORY)

Figura 3 – VANT Penguin BE. Fonte: UAV Factory.

A instrumentação do VANT Penguin BE do DLR fornece medidas das variáveis utilizadas na identificação do sistema. A unidade de medição inercial (IMU) do tipo LORD MicroStrain3 _{3DM-Gx3-25 mede acelerações lineares, velocidades angulares e orientação}

a uma taxa de amostragem de 100 Hz. O sistema pitot-estático Swiss Air-Data4 PSS-8, montado no nariz da aeronave, fornece dados de velocidade e temperatura a uma taxa de amostragem de 20 Hz. O receptor Flex-Pak6 RTK da Novatel5 _{compreende um}

GPS diferencial e é responsável por medir latitude, longitude e altitude a uma taxa de amostragem de 20 Hz. Além disso, uma rede local sem fio (WLAN) estabelece a comunicação com a estação terrestre.

1.3 Modelo a priori

A primeira tentativa de modelar e simular o VANT Penguin BE do DLR foi realizada por Balmer (2015). Em sua dissertação, o autor desenvolveu um modelo no software Simulink R _{da aeronave, que foi criado utilizando-se o conjunto de blocos AeroSim}

(UNMANNED DYNAMICS). Para modelar a aerodinâmica, foi realizada uma integração entre o solucionador de fluxo potencial chamado Athena Vortex Lattice (AVL) (DRELA; YOUNGREN, 2004) e um software para o projeto e análise de aerofólios isolados subsônicos,

3 _{<http://www.microstrain.com/>} 4 _{<http://www.swiss-airdata.com/>} 5 _{<http://www.novatel.com/>}

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XFOIL (DRELA; YOUNGREN, 2000). Um procedimento semelhante foi aplicado por Klöckner (2013). Além disso, um modelo de propulsão foi desenvolvido a partir de dados experimentais e informações fornecidas pelo fabricante. Para estimar os momentos de inércia, os componentes da aeronave foram modelados como cascos ocos (fuselagem), placas planas (asas e cauda) ou massas pontuais (outras partes). Uma estimativa dos estados da aeronave foi calculada a partir da introdução das forças e momentos modelados nas equações de movimento não lineares de seis graus de liberdade (6DOF – em inglês). Uma visão geral do modelo resultante pode ser visto na Figura 4.

Como mencionado por Balmer (2015), o modelo concebido apresentou imprecisões que comprometeram sua utilização no design de controle das malhas internas. Portanto, os parâmetros de controle tiveram de ser reajustados em voo aplicando-se o método de Ziegler-Nichols.

Figura 4 – Modelo Simulink R _{do Penguin BE, criado utilizando-se o conjunto de blocos}

AeroSim.

Fonte: Balmer (2015).

Apesar das imprecisões mencionadas, um trabalho desenvolvido por Persson (2016) descreveu um esforço para obter um modelo linear do VANT Penguin BE através da trimagem e linearização do modelo apresentado por Balmer (2015). O modelo no espaço de estados resultante, que descreve a dinâmica longitudinal da aeronave é apresentado na

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Capítulo 1. INTRODUÇÃO 17 Equação 1.1 .            ˙u ˙ w ˙ q ˙ θ ˙ ω            =            −0,10 0,39 −1,4 −9,8 0,006 −0,64 −3,6 22 −0,6 0 0,19 −2,8 −5,6 0 −0,001 0 0 1 0 0 21 1,2 0 0 −2,6                       u w q θ ω            +            0,38 0 −7,3 0 −65 0 0 0 0 2027              δe δt   (1.1)

Onde u e w são as velocidades lineares ao longo dos eixos x e z, respectivamente, no referencial do corpo; q corresponde à taxa de arfagem; θ indica o ângulo de arfagem; e ω denota a velocidade angular do motor. δe e δt são os comandos do profundor e de

aceleração, respectivamente. Todos os estados e medidas estão no Sistema Internacional de Unidades (SI).

O sistema apresenta um total de cinco polos, com um polo real que diz respeito à dinâmica do motor e dois pares de complexos conjugados relacionados aos movimentos fugoide e período curto, descritos na Seção 2.1.

Fugoide: -0,03072 +_{− 0,5349j} Período curto: -4,5935 +_{− 7,7958j} Dinâmica do motor: -2,6515

Por ser a representação linear mais precisa da aeronave que havia disponível, esse modelo foi utilizado nesse trabalho como a priori.

(19)

18

2 IDENTIFICAÇÃO E PROJETO DE

CON-TROLE PARA O PENGUIN BE

2.1 Projeto de entradas ótimas

O projeto de entradas ótimas consiste em definir um conjunto de manobras, com base no conhecimento a priori do sistema, que melhor excita os modos da aeronave, na tentativa de maximizar o efeito de sua dinâmica nas medições dos estados. Esse passo é crucial para identificação da aeronave, uma vez que a estimação de um dado parâmetro é impossível, a menos que sua variação afete os dados que estão sendo analisados. Portanto, a precisão e a confiabilidade das estimativas estão intimamente relacionadas com a quantidade de informação sobre o parâmetro desejado disponível na resposta medida. Essa quantidade de informação, por sua vez, depende claramente da natureza da entrada fornecida para sistemas dinâmicos lineares e não lineares, inclusive aeronaves, (SHANNON, 1948).

Desde Milliken Jr. (1947), o projeto de entradas ótimas tem sido amplamente considerado como um passo de grande importância para fins de estimação de parâmetros de aeronaves. Muitos trabalhos foram desenvolvidos na área até a atualidade. Mehra (1974), Hamel e Jategaonkar (1996) apresentam revisões sobre o tópico. Qian, Nadri e Dufour (2017) é um estudo mais recente sobre a mesma aplicação, focada na identificação de sistemas não lineares.

De acordo com Jategaonkar (2015), duas abordagens são comumente aplicadas no projeto de manobras ótimas. A primeira é baseada em propriedades estatísticas da estimativa e é realizada assumindo-se que a quantidade de informações sobre um parâmetro específico nos dados analisados é uma função do modelo geral e das entradas fornecidas. Portanto, mantendo-se os parâmetros fixados em valores predeterminados com base no conhecimento prévio do sistema, a variação do conteúdo de informação será determinada principalmente pelas excitações aplicadas à aeronave. A partir disso, um procedimento de otimização, tendo características das entradas como parâmetros, é realizado com a intenção de alcançar a quantidade máxima de informação sobre o sistema. Essa quantidade geralmente é determinada pela matriz de Fisher (FISHER, 1934), dada pela Equação 2.1.

Fij = E ( ∂2_{ln p(z | Θ)} ∂Θi∂Θj ) (2.1) onde p(z | Θ) representa a função de densidade de probabilidade condicional das medições

(20)

(JATE-Capítulo 2. IDENTIFICAÇÃO E PROJETO DE CONTROLE PARA O PENGUIN BE 19

GAONKAR, 2015). Uma visão mais detalhada sobre a abordagem estatística pode ser encontrada em Gupta e Hall Jr. (1975), onde projetos de entradas ótimas nos domínios do tempo e da frequência são demonstrados.

A segunda abordagem, a qual é utilizada neste trabalho, é uma abordagem de engenharia baseada na frequência dos modos de vibração natural da aeronave. Nesse método, as frequências naturais de um modelo a priori da aeronave são computadas, e sinais de entrada são convenientemente projetados para exibir energia máxima em torno dessas frequências. Essa abordagem baseia-se no princípio de que sinais determinísticos podem ser representados por uma combinação linear de exponenciais complexas no domínio do tempo, cada uma representando componentes com determinada amplitude em um ponto específico no domínio da frequência. Isso é obtido ao computar-se a Transformada de Fourier dos sinais (FOURIER, 1878). Dessa forma, um conjunto de entradas multistep é convenientemente projetado para exibir componentes maiores em uma faixa suficientemente ampla de frequências para excitar as vibrações naturais do modelo a priori e também levar em consideração incertezas contidas no mesmo. A utilização de sinais de multistep também é justificado pela sua relativa facilidade de serem executados manualmente. Outros tipos de sinais, como a entradas de Mehra e DUT, também podem ser utilizados (PLAETSCHKE; SCHULZ, 1979). No entanto, essas abordagens levam a manobras variadas leve e continuamente, as quais geralmente requerem um piloto automático para serem executadas corretamente.

Para os fins deste trabalho, apenas os modos longitudinais da aeronave são excitados, são eles fugoide, ou período longo, e período curto. O movimento fugoidal é uma oscilação de baixa frequência levemente amortecida (geralmente entre 0,1 rad/s e 1 rad/s) na velocidade axial u, que também é visível na atitude de arfagem θ, na altitude h e, em menor grau, no ângulo de ataque α e na taxa de arfagem q. O modo de curto período, em contraste, é uma oscilação amortecida de alta frequência (tipicamente entre 1 rad/s e 10 rad/s) na atitude de arfagem θ, que afeta principalmente a taxa de arfagem q e o ângulo de ataque α (COOK, 2012).

De acordo com Jategaonkar (2015), sendo o modo de curto período bem amortecido, requer-se uma entrada com rápidas variações para excitá-lo. O sinal utilizado para induzir essa oscilação será o chamado DLR 3211 (KALETKA et al., 1989), que consiste em um pulso com três passos de tempo (∆t) de duração e amplitude de 0,8, outro pulso com 2∆t e amplitude de -1,2, seguido por um pulso positivo e um negativo de duração 1∆t cada e amplitude de 1,1. No caso desse sinal, as amplitudes apresentadas correspondem à relação entre a amplitude de cada pulso e o valor absoluto médio de todas as amplitudes na manobra. Um exemplo da entrada DLR 3211 é mostrado na Figura 5.

O modo fugoidal, sendo pouco amortecido, pode ser excitado satisfatoriamente por um sinal de pulso. Foi escolhido um ∆t adequado para a manobra fugoide, de modo que

(21)

Capítulo 2. IDENTIFICAÇÃO E PROJETO DE CONTROLE PARA O PENGUIN BE 20

Figura 5 – Exemplo da entrada DLR 3211. Fonte: Próprio autor.

sua banda seja larga o suficiente para levar em consideração as incertezas no modelo a

priori e sua energia não seja desnecessariamente distribuída em um intervalo de frequências

excessivamente grande. Além disso, um doublet (pulso positivo seguido de pulso negativo) no acelerador também é utilizado para excitar o movimento de longo período com o intuito de identificar o efeito da dinâmica do motor no sistema. Em geral, essa manobra é executada variando-se diretamente o impulso aplicado na aeronave. No entanto, um modelo satisfatório do motor ainda não foi obtido e a relação entre comando do acelerador e impulso não foi mapeada. Os passos de tempo das manobras throttle doublet e DLR 3211 são calculados de tal forma que seu pico de energia aconteça na frequência natural do modo que elas pretendem excitar. As fórmulas apresentadas em Jategaonkar (2015) para obter os melhores passos de tempo para as manobras doublet e DLR 3211 são mostradas nas Equações 2.2 e 2.3, respectivamente.

∆tDBLT = 2,3 ωn (2.2) ∆t3211 = 1,6 ωn (2.3) onde ∆tDBLT e ∆t3211 indicam os passos de tempo das manobras doublet e DLR 3211,

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Jategaonkar (2015) também afirma que, para identificação de parâmetros, após a manobra ser realizada, deve-se permitir que o sistema oscile livremente durante pelo menos um período de oscilação do movimento pretendido.

As manobras projetadas foram utilizadas como entradas do modelo Simulink R

apresentado por Balmer (2015). Sua amplitude foi ajustada para evitar instabilidade e saturações dos atuadores.

Em última análise, gráficos de Bode contendo a resposta em frequência de cada termo do modelo a priori foram utilizados com o intuito de verificar se o conjunto de manobras projetadas é suficiente para estimar todos os parâmetros. A terminologia "termo", neste caso, é utilizada para denotar a multiplicação de uma derivada concisa por um estado, ex. xuu. Nesta etapa, uma regra prática, apresentada por Plaetschke e Schulz

(1979) é utilizada. Este critério afirma que um derivado não é considerado identificável, a menos que seu termo represente pelo menos 10% da magnitude do maior termo na faixa de frequência da manobra.

2.2 Método Output Error

De acordo com (JATEGAONKAR, 2015), o método Output Error (OEM) é a abordagem mais adotada na estimação no domínio do tempo de parâmetros de aeronaves (WANG; ILIFF, 2004; MORELLI; KLEIN et al., 2005). Essa técnica consiste em ajustar iterativamente os parâmetros do modelo para minimizar o erro entre os dados medidos, provenientes dos testes de voo, e dados gerados pela integração das equações do modelo no espaço de estados.

Na aplicação desse método, a configuração de espaço de estados apresentada na Seção 1.3 foi adotada como modelo a priori e as derivadas consideradas identificáveis de acordo com a regra de 10% apresentada na Seção 2.1 foram estimadas para um ajuste satisfatório entre dados medidos e simulados. Além disso, termos constantes foram adicionados às equações de estados para levar em consideração os vieses de medição. Para tal, o sistema foi considerado como mostrado na Equação 2.4.

˙x(t) =Ax(t) + Bu(t) + bx, x(t0) = x0

y(t) =Cx(t) + by

(2.4) onde bx e by denotam vetores de vieses nos estados e nas medidas, respectivamente.

A identificação pelo método Output Error foi realizada através da aplicação do Software OEM, apresentado por Jategaonkar (2015), com algumas modificações para adaptação ao caso a ser analisado. As Figuras 6 e 7 exibem os esquemas em diagramas de blocos do método Output Error e sua implementação utilizando-se o Software OEM, respectivamente.

(23)

Figura 6 – Diagrama de blocos do método Output Error. Fonte: Jategaonkar (2015).

As principais etapas seguidas neste trabalho para alcançar o erro mínimo de saída seguiram as diretrizes apresentadas em Jategaonkar (2015), que são

1. Atribuir valores inicias de parâmetros a partir do modelo a priori.

2. Computar saídas do modelo através da integração numérica das equações de estados, e compará-las com as medições.

3. Estimar a matriz de covariância do erro nas medições. 4. Minimizar a função custo definida na Equação 2.8. 5. Iterar no passo dois e checar a convergência.

A minimização da função custo foi realizada através da aplicação do método de Levenberg-Marquadt (JATEGAONKAR, 2015). Além disso, as equações de estado foram integradas numericamente pelo método de integração de Runge-Kutta de quarta ordem, o qual está incluido no Software OEM. (JATEGAONKAR, 2015) Somado a isso, o erro entre as medidas e as saídas do modelo foi minimizado e os parâmetros ótimos foram encontrados através de uma estimação de máxima verossimilhança.

2.2.1 Estimação de máxima verossimilhança e formulação da função custo

A estimação de máxima verossimilhança é baseada na maximização da função de verossimilhança definida na Equação 2.5. (FISHER, 1925)

p(z | Θ) =

N

Y

k=1

(24)

Figura 7 – Diagrama de blocos do Software OEM. Fonte: Jategaonkar (2015).

onde p(z | Θ) é a probabilidade de um conjunto de N observações z, dado o vetor de parâmetros desconhecidos Θ.

O procedimento consiste em encontrar valores adequados de Θ que maximizem

p(z | Θ). Em contraste com o que é realizado na abordagem estatística do projeto de

entradas ótimas, apresentado na Seção 2.1, no Método Output Error, as entradas gravadas em voo são aplicadas e os parâmetros do modelo são variados para maximizar a função de verossimilhança. Devido ao fato de que p(z | Θ) é, em muitos casos, exponencial, seu logaritmo negativo é comumente utilizado no processo de estimação de parâmetros, sem afetar a solução. A expressão do logaritmo da função de densidade de probabilidade p em relação às medidas z, parâmetros Θ e a matriz de covariância do erro de medição R é mostrada na Equação 2.6. (JATEGAONKAR, 2015)

L(z | Θ, R) = 1 2 N X k=1 [z(tk) − y(tk)]TR−1[z(tk) − y(tk)]+ N 2 ln [det(R)] + N ny 2 ln (2π) ! (2.6)

(25)

onde z(tk) e y(tk) representam as saídas medidas e estimadas, respectivamente, e ny é o

número de saídas do sistema.

A matriz de covariância do erro, R, é definida na Equação 2.7.

R = 1 N N X k=1 [z(tk) − y(tk)][z(tk) − y(tk)]T ! (2.7) O conjunto de parâmetros que asseguram a máxima verossimilhança entre as medidas de voo e as saídas do modelo resulta da minimização da Equação 2.6, que pode ser simplificada para Equação 2.8 (JATEGAONKAR, 2015).

J (Θ) = det(R) (2.8)

Essa definição da função custo garante a viabilidade computacional do método.

2.3 Método Two Step

O método Two Step é um procedimento de identificação de sistemas composto por dois passos, a saber, reconstrução do trajeto de voo (LOMBAERTS et al., 2010; TEIXEIRA et al., 2011; MULDER et al., 1999) e estimação dos componentes das forças e momentos por regressão linear. Suas vantagens são a possibilidade de estimar os vieses de medição independentemente dos termos derivativos, evitando correlações entre essas quantidades, a eliminação da necessidade de valores iniciais para os parâmetros e a garantia de convergência para o mínimo global dentro de duas iterações na segunda etapa. Essa abordagem foi realizada por diversos autores, incluindo Grymin e Farhood (2016), Grymin (2013) e Oliveira et al. (2005). Lee (2017) realizou identificação de sistema pelo método Two

Step da mesma aeronave analisada neste trabalho. No entanto, uma abordagem estocástica

baseada na utilização de um Filtro de Kalman Estendido (EKF) foi aplicada no primeiro passo, em vez da determinística, com base na estimação de máxima verossimilhança, realizada nesta composição. Martin e Feik (1982), Evans et al. (1985) e Jategaonkar (2015) afirmam que ambos os procedimentos geralmente produzem resultados semelhantes. No entanto, a abordagem determinística é mais vantajosa quando não há conhecimento a

priori exato sobre estatísticas de ruído.

2.3.1 Reconstrução do trajeto de voo

Reconstrução do trajeto de voo, também conhecida como verificação da compatibi-lidade dos dados, consiste em verificar a compatibicompatibi-lidade dos dados medidos, introduzindo as variáveis gravadas durante o voo nas equações cinemáticas de corpo rígido de 6DOF.

(26)

Isso permite a estimativa de erros de instrumentos presentes nas medições. O procedimento também é realizado utilizando-se o Software OEM apresentado na Seção 2.2.

Nesta fase, são utilizadas medições laterais e longitudinais, embora apenas as estimativas de erros presentes nas últimas sejam adotadas como entradas para o próximo passo.

As equações de estados não lineares utilizadas nesta etapa são mostradas na Equação 2.9.

˙u = −(qm− ∆q)w + (rm− ∆r)v − g sin θ + (aCGxm − ∆ax), u(t0) = u0

˙v = −(rm− ∆r)u + (pm− ∆p)w − g cos θ sin φ + (aCGym − ∆ay), v(t0) = v0

˙

w = −(pm− ∆p)v + (qm− ∆q)u − g cos θ cos φ + (aCGzm − ∆az), w(t0) = w0

˙

φ = (pm− ∆p) + (qm− ∆q) sin φ tan θ + (rm− ∆r) cos φ tan θ, φ(t0) = φ0

˙

θ = (qm− ∆q) cos φ − (rm− ∆r) sin φ, θ(t0) = θ0

˙

ψ = (qm− ∆q) sin φ sec θ + (rm− ∆r) cos φ sec θ, ψ(t0) = ψ0

˙h = u sin θ − v cos θ sin φ − w cos θ cos φ, h(t0) = h0

(2.9)

onde v denota a velocidade linear da aeronave ao longo do eixo y no referencial do corpo;

φ e ψ representam os ângulos de rolagem e guinada, respectivamente; h representa a

altitude da aeronave; pm, qm e rm são as taxas angulares medidas; aCGxm, aCGym e aCGzm são as

acelerações lineares medidas no centro de gravidade da aeronave; ∆ denota os vieses nas medições.

O Software OEM compara as equações de estados integradas e calcula os vieses através de estimação de máxima verossimilhança, apresentada na Seção 2.2. O procedimento é executado iterativamente com o intuito de minimizar os erros entre as saídas do modelo e os dados medidos. Uma boa correspondência entre ambos significa que os vieses estimados são semelhantes aos presentes nas medições. Isso é realizado através da minimização da função custo apresentada na Equação 2.8, tendo vieses de medição como parâmetros. Nessa parte, diferentes vieses para cada manobra foram considerados, como sugerido por Jategaonkar (2015).

Após a estimação dos vieses, as forças e os momentos longitudinais, que atuaram na aeronave durante o experimento de voo, puderam ser reconstruídos a partir de acelerações lineares e taxas angulares corrigidas. Uma vez que as manobras realizadas foram destinadas a excitar apenas a dinâmica longitudinal, as estimativas de vieses no movimento lateral não são confiáveis.

2.3.2 Estimação das componentes das forças e momentos

O segundo passo do método Two Step é a regressão linear dos termos das equações das forças e momentos. Após uma estimativa das acelerações lineares e taxas angulares ter

(27)

sido obtida, as forças e os momentos longitudinais totais (aerodinâmicos e de propulsão juntos) foram reconstruídos a partir das medidas corrigidas. No entanto, para obter-se expressões matemáticas para forças e momentos, é necessário descobrir as contribuições de cada estado no resultado do passo anterior. Para tal, as expressões de forças e momentos longitudinais totais são consideradas combinações lineares de estados e entradas, como mostrado na Equação 2.10.

X = X0+ Xuu + Xww + Xqq + Xδeδe + Xδtδt

Z = Z0+ Zuu + Zww + Zqq + Zδeδe

M = M0+ Muu + Mww + Mqq + Mδeδe

(2.10)

onde X, Z e M correspondem às forças axial e normal, e momento de arfagem reconstruídos, respectivamente. Os componentes que multiplicam entradas e estados no lado direito da equação são termos constantes que definem a quantidade de força ou momento que é gerada por cada variável. Esses termos correspondem aos termos de primeira ordem da expansão em série de Taylor das variáveis do lado esquerdo da equação em relação às do lado direito. Além disso, os subscritos 0 significam vieses nas equações de forças e momentos.

Os termos constantes da equação são inicialmente ajustados para zero, e seus valores ótimos são obtidos através da minimização de Levenberg-Marquadt da função custo de máxima verossimilhança adaptada (Equação 2.8), que tenta alcançar a maior semelhança entre as forças e momentos reconstruídos e aqueles gerados pelos polinômios lineares da Equação 2.10. Todo esse procedimento é executado através de uma adaptação do software OEM. O procedimento de minimização é encerrado após duas iterações. Como o modelo é linear nos parâmetros e nas variáveis independentes, a convergência é alcançada dentro de uma iteração. No entanto, o software precisa de uma segunda iteração para verificar se o valor mínimo foi realmente encontrado.

O método Two Step resulta em expressões lineares para forças e momentos totais. No entanto, se um modelo de espaço de estados linear da aeronave for necessário, as equações de movimento de 6DOF também devem ser linearizadas. A Figura 8 mostra um diagrama de blocos simplificado de um modelo de simulação não linear de uma aeronave. No método Two Step, foi obtido um modelo linear para o retângulo tracejado (forças e momentos totais). Porém, as equações de movimento de 6DOF foram utilizadas em sua forma não linear.

Com o intuito de analisar a correspondência entre os estados medidos e aqueles resultantes do Método Two Step, os estados longitudinais foram gerados através da aplicação das forças e momentos estimados nas equações dinâmicas longitudinais de 6DOF. As medidas dos estados laterais são incluídas, bem como as medidas das taxas angulares

(28)

Figura 8 – Diagrama de blocos simplificado de uma aeronave. Fonte: Próprio autor.

laterais corrigidas com os vieses estimados, como mostrado na Equação 2.11.

˙u = X m − qw + (rm− ∆r)vm− g sin θ ˙ w = Z m − (pm− ∆p)vm+ qu − g cos θ cos φm ˙ q = 1 Iyy M +(rm− ∆r)2− (pm− ∆p)2 Ixz+ (pm− ∆p)(rm− ∆r)(Izz− Ixx) ! ˙ θ = q cos φm− (rm− ∆r) sin φm (2.11) onde m é a massa da aeronave; Iyy, Izz, Ixx e Ixz indicam os momentos e um produto de

inércia da aeronave em relação aos eixos indicados nos índices; X, Z e M são as forças e momentos longitudinais estimados; O subscrito m representa as variáveis laterais medidas e ∆ indica os vieses estimados presentes nas taxas angulares laterais.

2.4 Validação dos modelos

Validação de modelos, como definido por Schlesinger et al. (1974), é um processo essencial para julgar a aplicabilidade dos modelos identificados ao propósito pretendido. Esse processo visa demonstrar a adequação entre dados modelados e medidos ou, no caso de sua inexistência, outros dados teóricos.

A fim de fornecer meios de comparação de resultados com Lee (2017), a validação do modelo realizada neste trabalho seguiu o mesmo procedimento apresentado por Lee.

(29)

por duas medidas estatísticas, a saber, Goodness of Fit (GOF) e Coeficiente de Desigualdade de Theil (TIC). O primeiro é um critério de análise residual para medir o ajuste do modelo, o qual pode ser avaliado por múltiplas métricas estatísticas. Neste projeto, o erro médio quadrático normalizado (NMSE) foi a métrica de GOF escolhida. Sua definição é fornecida pela Equação 2.12.

O Coeficiente de Desigualdade de Theil, de acordo com Jategaonkar (2015), fornece uma melhor compreensão sobre a correlação entre dados medidos e estimados. O mesmo é definido pela Equação 2.13. No processo de comparação de estimativas dos estados de sistemas dinâmicos, a medida NMSE pode, por vezes, ser inadequada. No que diz respeito ao erro médio quadrático entre os dados, uma linha reta pode ser considerada melhor do que um sinal que está fora de fase com a referência. Segundo Jategaonkar (2015), valores de TIC<0,3 indicam um bom acordo entre os dados.

O NMSE varia entre −∞ e 1, onde valores negativos significam que uma linha reta apresentaria uma correspondência maior com a referência do que o valor estimado, com −∞ como o pior ajuste possível. Valores positivos indicam que a estimativa é melhor do que uma linha reta. Um NMSE igual a 1 significa combinação perfeita entre os dados. Os valores de TIC variam entre 0 e 1. Quanto menor forem os valores, melhor será o ajuste. Por outro lado, foram aplicadas três análises estatísticas para avaliar forças e momentos resultantes da regressão linear, como realizado por Lee (2017). São elas R2, raiz do erro médio quadrático (RMSE) e raiz erro médio quadrático normalizada (NRMSE), definidos pelas Equações 2.14, 2.15 e 2.16, respectivamente. R2 _{varia entre 0 e 1. Zero}

indica que a estimativa é pior do que uma linha reta, e um indica uma estimativa perfeita. RMSE também é conhecido como o erro padrão de ajuste. Essa medida apresenta a mesma unidade que a variável dependente, e valores menores indicam melhor ajuste. NRMSE, por outro lado, é o valor de RMSE dividido pelo subtração entre os valores máximo e mínimo da variável, o que torna esta medida adimensional.

GOFi = N M SEi = 1 − ||zi(tk) − yi(tk)||2 ||zi(tk) − ¯zi(tk)||2 , i = 1, 2, . . . , ny (2.12) T ICi = q 1 N PN k+1[zi(tk) − yi(tk)]2 q 1 N PN k+1[zi(tk)]2+ q 1 N PN k+1[yi(tk)]2 , i = 1, 2, . . . , ny (2.13) R2_i = 1 − PN i=1[zi(tk) − yi(tk)]2 PN i=1[zi(tk) − ¯zi(tk)]2 , i = 1, 2, . . . , ny (2.14) RM SEi = s PN i=1[zi(tk) − yi(tk)]2 N , i = 1, 2, . . . , ny (2.15) N RM SEi = RM SEi zmax− zmin , i = 1, 2, . . . , ny (2.16)

(30)

Nas Equações 2.12 até 2.16, N é o número total de amostras, e ny é o número total de

saídas do sistema. z e y são os vetores de medida e de saída do modelo, respectivamente. ¯

z é o valor médio de z e ||.|| indica a norma de um vetor.

Um resumo das características das medidas estatísticas utilizadas neste trabalho é apresentado na Tabela 1. A coluna denominada "Variáveis" apresenta as variáveis avaliadas por cada medida, de acordo com o que foi realizado por Lee (2017). Todas as medidas podem ser utilizadas de forma intercambiável para avaliar estados, forças e momentos. Entretanto, para possibilitar uma comparação com os resultados obtidos por Lee (2017), as medidas foram aplicadas da mesma maneira. A coluna denominada "Limiar" define os limites que indicam bom ajuste entre medições e estimativas. Com exceção de TIC, um limiar para as outras medidas não foi encontrado na literatura de identificação de sistemas de aeronaves.

Tabela 1 – Características das medidas estatísticas utilizadas na validação de modelost.

Medida Intervalo Pior ajuste Melhor ajuste Limiar Variáveis (LEE, 2017)

GOF (NMSE) −∞ ∼ 1 −∞ 1 indefinido estados

TIC 0 ∼ 1 1 0 <0,3 estados

R2 −∞ ∼ 1 −∞ 1 indefinido forças e momentos

RMSE 0 ∼ +∞ +∞ 0 indefinido forças e momentos

NRMSE 0 ∼ 1 1 0 indefinido forças e momentos

Fonte: Próprio autor.

2.5 Projeto de controle no espaço de parâmetros

O projeto do controle no espaço de parâmetros é uma abordagem amplamente utilizada no ramo de controle robusto. Esse método consiste em projetar um sistema de controle para atender a algumas especificações de estabilidade e/ou desempenho, realizando-se um estudo sobre como a planta controlada realizando-se comporta em relação a variações de parâmetros (ACKERMANN, 1980). Em aplicações de controle robusto, tanto parâmetros de controle quanto da planta são comumente levados em consideração, o que geralmente inclui variações no controlador e no modelo, efeitos de quantização e falhas nos sensores. O objetivo é encontrar um controlador que se comporte de forma satisfatória, mesmo que ocorram variações normais ou, em alguns casos, anormais no sistema. Uma aplicação desta abordagem é descrita por Ackermann (2008), onde o autor cita seu esforço para encontrar um conjunto de ganhos fixos para um sistema de controle de uma aeronave, em vez de realizar agendamento de ganhos.

Ackermann (2012) e Lavretsky e Wise (2013) são livros sobre controle robusto, que fornecem uma explicação detalhada da abordagem no espaço de parâmetros. Demirel e Guvenc (2010) e Saeki (2013) apresentam casos onde a técnica foi aplicada.

(31)

O foco deste trabalho difere ligeiramente dos objetivos de projeto de controle robusto. No entanto, um procedimento semelhante é aplicado. O objetivo é analisar o espaço de parâmetros de controle PID para um conjunto de requisitos de estabilidade e desempenho predefinidos e verificar se os ganhos de controle atualmente utilizados se encontram dentro ou próximos da interseção das especificações. Esses ganhos foram ajustados em voo utilizando-se o método de Ziegler-Nichols, que não exige um modelo. Desempenho semelhante do controlador ajustado no voo seria um possível indicador de que o modelo é adequado para projeto de controle. Isso eliminaria a necessidade de reajuste em voo e também permitiria o projeto de controle ótimo.

Para realizar essa análise, uma grid search, ou busca em grade, foi realizada em uma região em torno dos ganhos atualmente utilizados. Múltiplas combinações de ganhos proporcionais, integrais e derivativos foram testadas para verificar se o sistema em malha fechada resultante atenderia às especificações.

Para o propósito deste trabalho, foi analisado apenas o sistema de controle de atitude de arfagem, cuja lei de controle é dada pela Equação 2.17.

δe = − Kθ+

Kiθ

s

!

(θdes− θ) − Kq(qturn− q) (2.17)

onde Kθ, Kiθ e Kq são os ganhos proporcional, integral e derivativo, respectivamente. θ e

q são o ângulo e a taxa de arfagem medidos. θdes é a referência para θ e qturn é a referência

para q, a qual é utilizadas para a realização de curvas coordenadas.

Os requisitos são: sistema estável, máximo sobressinal menor que 5%, tempo de subida (Tr) menor que 1 segundo e tempo de acomodação (Ts), critério de 5%,

menor que 10 segundos. O resultado da análise é um conjunto de gráficos, em que cada especificação corresponde a um círculo de uma cor específica, que é plotada nas coordenadas correspondentes aos parâmetros testados, no caso de o sistema em malha fechada atender a esse requisito. Um total de quatro gráficos foram gerados, a saber,

Kθ × Kiθ, Kθ× Kq, Kq× Kiθ (Figura 20), e uma figura tridimensional (Figura 21). Os

ganhos adotados atualmente e o intervalo onde a busca em grade foi executada são mostrados na Tabela 2.

Tabela 2 – Valores atuais dos ganhos e intervalo de busca em grade.

Ganho Valor adotado atualmente Intervalo de busca em grade

Kθ 1 0,9 ∼ 1,2

Kiθ 0,14 s−1 0,05 ∼ 0,4 s−1

Kq 0,2 s 0,1 ∼ 0,4 s

Os intervalos de ganhos foram escolhidos de tal forma que o comportamento do sistema poderia ser analisado em múltiplos pontos em torno dos ganhos sintonizados em

(32)

voo. O intervalo de Kθ foi definido de forma a não abranger ganhos muito maiores do

que 1. Esse valor causou pequenas saturações ocasionais do atuador durante o voo, o que não comprometeram a eficácia do sistema de controle. Os ganhos Kiθ e Kq foram

configurados inicialmente para variar entre 0,1 e 0,4 segundos−1 e entre 0,1 e 0,4 segundos, respectivamente. No entanto, para encontrar um valor mínimo do primeiro que não cumpra com as especificações para quaisquer valores dos outros dois ganhos, o limite inferior do seu intervalo foi ligeiramente diminuído para 0,05 segundos−1. O passo de variação para todos os ganhos foi definido como 0,01.

(33)

32

3 RESULTADOS E DISCUSSÃO

3.1 Considerações sobre o experimento

As frequências naturais do modelo a priori são: 0,5358 rad/s e 9,0485 rad/s (0,085 Hz e 1,44 Hz), que correspondem aos modos fugoide e período curto, respectivamente. As características das entradas ideais projetadas são apresentadas na Tabela 3. ∆t é o passo de tempo ótimo. Amplitude máxima representa a maior amplitude das entradas para evitar instabilidade e saturação dos atuadores, testada no modelo apresentado por Balmer (2015). A amplitude máxima da manobra DLR 3211 representa a amplitude absoluta média desse sinal. A entrada do throttle doublet começa com o comando do acelerador igual a 0,5, aumenta até o valor máximo, diminui para zero e retorna para 0,5. Tempo de

oscilação representa o período mínimo de tempo que a aeronave deve ser permitida oscilar

livremente após a manobra, o que equivale ao período do modo que se pretende excitar, ver Seção 2.1.

Para o propósito deste trabalho, a largura de banda das entradas será considerada como o intervalo de frequências que exibem pelo menos 50% da energia máxima do sinal. Supõe-se que apenas a dinâmica dentro desse intervalo será excitada com energia suficiente para afetar as medidas. A análise da identificação das derivadas é realizada levando em consideração a magnitude de seus termos dentro da largura de banda dos sinais.

Tabela 3 – Características das entradas ótimas de deflexão do profundor e configuração do acelerador.

Manobra ∆t(s) Amplitude máxima Tempo de oscilação Largura de banda

Período curto 0,18 0,6 rad 0,81 s 1,76 ∼ 15,60 rad/s

Fugoide 1,6 0,18 rad 11,75 s 0 ∼ 1,73 rad/s

Throttle doublet 4,29 0,5 +_{− 0,5} 11,75 s 0,27 ∼ 0,85 rad/s

Os sinais de entrada no domínio do tempo, bem como o seu espectro de potência são mostrados na Figura 9.

Uma vez que não existe um requisito rigoroso no passo de tempo da entrada fugoide, um valor de ∆t igual a 1,6 segundos foi encontrado adequado, pois durações mais longas desestabilizariam facilmente o sistema. Para evitar isso, a deflexão do profundor teria que ser reduzida, o que reduziria significativamente a energia da manobra. Portanto, a vantagem de haver um maior conteúdo de energia em sinais com maiores ∆t descrito por Jategaonkar (2015) se torna, neste caso, ausente. Por outro lado, pequenos valores de ∆t geram sinais com conteúdos de energia espalhados por uma ampla gama de frequências, mas

(34)

Capítulo 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO 33

com magnitudes pequenas, que não são suficientes para excitar o sistema adequadamente (JATEGAONKAR, 2015). Nesse contexto, o passo de tempo da manobra fugoide foi escolhido de tal forma que sua banda não se sobrepusesse à da manobra de curto período.

(a) DLR 3211 no profundor no domínio do tempo.

(b) Espectro de potência do DLR 3211 no profundor.

(c) Pulso no profundor no domínio do tempo.

(d) Espectro de potência do pulso no pro-fundor.

(e) Throttle doublet no domínio do tempo.(f) Espectro de potência do Throttle doublet.

Figura 9 – Entradas ótimas nos domínios do tempo e da frequência. Fonte: Próprio autor.

Devido a restrições de tempo, não houve possibilidade de realizar manobras com os valores de ∆t ótimos, que foram encontrados utilizando-se as Equações 2.2 e 2.3, em testes de voo. Portanto, os dados de voo disponíveis foram utilizados na identificação do

(35)

sistema. O conjunto de entradas realizadas em testes de voo foi projetado por Lee (2017), que, em vez de centralizar o pico máximo de energia nas frequências naturais, definiu os valores de ∆t de forma que a largura de banda das manobras seria apropriada para identificar todos os parâmetros, exceto xδe, de acordo com a regra de 10%, apresentada

na Seção 2.1. Em relação ao número de parâmetros considerados identificáveis, ambos os métodos produziram os mesmos resultados, apesar do apresentado por Lee (2017) não garantir a otimalidade das entradas.

A Tabela 4 mostra as características das manobras realizadas em voo. As entradas no domínio do tempo, bem como sua resposta em frequência são mostradas na Figura 10.

Tabela 4 – Características das manobras realizadas em voo.

Manobra ∆t(s) Amplitude Período de oscilação Largura de banda

Período curto 0,3 0,2 rad ∼7 s 1,04∼9,19 rad/s

Fugoide 1 0,2 rad ∼27 s 0∼2,78 rad/s

Throttle doublet 3 0,6 +_{− 0,4} ∼27 s 0,38∼1,22 rad/s

Conforme discutido anteriormente, o passo de tempo do fugoide foi escolhido de tal forma que a entrada não excitasse frequências já excitadas pela manobra de curto período. No entanto, uma vez que o modo fugoidal é levemente amortecido e exige energia relativamente baixa para ser excitado, a escolha de ∆t é um tanto flexível. Portanto, um passo de tempo de 1 segundo possivelmente produz resultados equivalentes ao selecionado anteriormente. No que diz respeito à manobra throttle doublet aplicada, o seu espectro de potência tem seu pico em cerca de 0,77 rad/s, enquanto a frequência natural do modo fugoidal do modelo a priori é excitada com cerca de 79% da energia máxima. Apesar de não ser ótima, esta manobra também deve ser suficiente, uma vez que a frequência natural do modo está dentro da banda da manobra e razoavelmente próxima ao seu pico. Por outro lado, a manobra DLR 3211 utilizada no teste de voo tem seu pico em cerca de 5,26 rad/s, enquanto a frequência natural do modo que se pretende excitar está localizada em um ponto que representa cerca de 56% do máximo energia. Considerando que esse valor ainda está dentro da largura de banda, a manobra também é considerada aceitável. Somado a isso, sabe-se que a frequência de oscilação real de modos amortecidos, isto é, sua frequência natural amortecida, é menor que a frequência natural (MILLER; MATTUCK, 2010).

Depois de examinar os passos de tempo das entradas gravadas, uma análise no domínio de frequência do modelo a priori foi realizada com o intuito de validar o conjunto de manobras. Para isso, assume-se que o modelo longitudinal linearizado da aeronave é da

(36)

(a) DLR 3211 no profundor no domínio do tempo.

(b) Espectro de potência do DLR 3211 no profundor.

(c) Pulso no profundor no domínio do tempo.

(d) Espectro de potência do pulso no pro-fundor.

(e) Throttle doublet no domínio do tempo.(f) Espectro de potência do Throttle doublet.

Figura 10 – Manobras realizadas em voo nos domínios do tempo e da frequência. Fonte: Próprio autor.

forma apresentada na Equação 3.1.

˙u = x0+ xuu + xww + xqq + xθθ + xωω + xδeδe

˙ w = z0+ zuu + zww + zqq + zθθ + zδeδe ˙ q = m0+ muu + mww + mqq + mωω + mδeδe ˙ θ = q ˙ ω = k0+ kuu + kww − 1 Tω ω + kω Tω δt (3.1)

(37)

onde x0, z0, m0, e k0 são vieses; xu, xw, xq, xθ, xω, xδe, zu, zw, zq, zθ, zδe, mu, mw, mq, mω

e mδe são derivadas concisas que possuem esse nome por representarem expressões maiores

envolvendo as derivadas dimensionais da aeronave. Essas são adotadas por uma questão de simplicidade de notação. As expressões equivalentes para as derivadas concisas podem ser encontradas em Cook (2012). ku, kw, _T1

ω,

kω

Tω são componentes da dinâmica do motor.

As derivadas concisas e componentes da dinâmica do motor estão definidos no Apêndice A. A equação da dinâmica do motor foi assumida como sendo dessa forma para levar em conta todos os componentes não nulos da quinta linha do modelo a priori. A transformada de Laplace dessa equação é mostrada no Apêndice A. Além disso, todos vieses são assumidos como zero, e os valores das derivadas são tirados do modelo a priori.

Foram gerados diagramas de Bode contendo cada termo do lado direito da Equa-ção 3.1 para investigar a identificabilidade dos parâmetros dentro do intervalo de cada manobra dos testes de voo, de acordo com a regra de 10% definida na Seção 2.1. Os gráficos podem ser vistos na Figura 11.

Os diagramas de Bode dos termos derivativos são gerados ao traçar-se a magnitude da resposta em frequência dos termos na Equação 3.1 como uma função do sinal de entrada, que para as figuras do lado esquerdo é o comando do profundor e para as figuras do lado direito é o comando de aceleração.

Para demonstrar o procedimento aplicado, a equação de força axial é considerada. As magnitudes da resposta em frequência de cada um dos termos, ou seja, xu, xw, xq,

xθ, xω e xδe, são plotadas em relação ao comando do profundor. As magnitudes a serem

computadas neste caso são mostradas na Equação 3.2.

xuu(ω) δe(ω) , xww(ω) δe(ω) , xqq(ω) δe(ω) , xθθ(ω) δe(ω) , xωω(ω) δe(ω) , xδeδe(ω) δe(ω) (3.2) onde o argumento (ω) indica a transformada de Fourier das variáveis.

Os componentes individuais são então computados a partir da equação de saída

y = C[u w q θ ω]T + Dδe, com as matrizes de observação C e D definidas como mostrado

na Equação 3.3, com os valores dos vetores provenientes do modelo a priori. Os índices subscritos indicam as matrizes de observação para os componentes correspondentes.

Cu = [−0,10 0 0 0 0], Du = [0] Cw = [0 0,39 0 0 0], Dw = [0] Cq = [0 0 − 1,4 0 0], Dq = [0] Cθ = [0 0 0 − 9,8 0], Dθ = [0] Cω = [0 0 0 0 0,006], Dω = [0] Cδe= [0 0 0 0 0], Dδe= [0,38] (3.3)

(38)

O mesmo procedimento foi realizado para o acelerador como entrada e para todas as outras equações, exceto a de θ uma vez que a primeira derivada dessa variável é considerada igual a q. Consequentemente, não há parâmetros a serem identificados nessa equação.

Os retângulos tracejados azuis, vermelhos e pretos mostrados nos gráficos de Bode delimitam a largura de banda das manobras fugoide, período curto e throttle doublet, respectivamente. Um estudo da melhor entrada para identificar cada derivada também é realizado analisando-se a magnitude máxima de um termo em comparação com os outros termos dentro do intervalo de cada manobra. Para evitar sobreposição e tornar a escolha mais clara, a margem esquerda da largura de banda da entrada de período curto foi definida para começar na frequência de corte direita da manobra fugoide. Partindo-se do princípio de que todas as frequências na largura de banda das entradas são excitadas, a investigação é realizada comparando-se a magnitude máxima de todos os termos dentro desse intervalo, mesmo que os valores máximos não ocorram na mesma frequência. Os resultados dessa análise são mostrados na Tabela 5.

Tabela 5 – Identificabilidade das derivadas.

Derivada Fugoide Período curto Throttle doublet

xu Melhor. Não identificável. Identificável.

xw Identificável. Melhor. Não identificável.

xq Identificável. Melhor. Identificável.

xθ Identificável. Identificável. Melhor.

xω Identificável. Não identificável. Melhor.

xδe Não identificável. Não identificável. Não identificável.

zu Identificável. Identificável. Melhor.

zw Identificável. Melhor. Não identificável.

zq Identificável. Melhor. Identificável.

zθ Melhor. Não identificável. Identificável.

zδe Identificável. Melhor. Não identificável.

mu Identificável. Não identificável. Melhor.

mw Identificável. Melhor. Não identificável.

mq Identificável. Identificável. Melhor.

mω Melhor. Não identificável. Identificável.

mδe Identificável. Melhor. Não identificável.

ku Melhor. Identificável. Identificável.

kw Identificável. Melhor. Identificável.

− 1

Tω Identificável. Melhor. Identificável.

kω

Tω Não identificável. Não identificável. Melhor.

(39)

(a) Termos de força axial. Profundor (esquerda) e acelerador (direita) como entradas.

(b) Termos de força normal. Profundor (esquerda) e acelerador (direita) como entradas.

(c) Termos de momento de arfagem. Profundor (esquerda) e acelerador (direita) como entradas.

(d) Termos de dinâmica do motor. Profundor (esquerda) e acelerador (direita) como entradas.

Figura 11 – Gráficos de Bode dos termos derivativos. Os retângulos tracejados azuis, vermelhos e pretos representam as regiões identificáveis das manobras fugoide, período curto e throttle doublet, respectivamente.