Capítulo 2: Princípio de Hamilton

(1)

Mecˆ

anica Anal´ıtica

Cap´ıtulo 2: Princ´ıpio de Hamilton

H. Ter¸cas

Instituto Superior T´ecnico

(2)

2.1 C´alculo variacional

2.2 O Princ´ıpio de Hamilton

2.3 Multiplicadores de Lagrange

(3)

2.1 C´

alculo variacional

Neste cap´ıtulo, procedemos a uma nova formula¸cão (mais abstracta e elegante) da mecânica Lagrangeana. É baseada nos métodos do cálculo das varia¸cões, que passamos a apresentar.

Seja F = F [y(x), y0(x), x] um funcional (i.e. uma fun¸cão diferenciável que admite como variáveis fun¸cões - também estas diferenciáveis). Definamos o seu integral na forma

I = Z b

a

F [y(x), y0(x), x]dx.

A quantidade I representa uma determinada grandeza f´ısica (exemplo: a energia, o pre¸co, a tensão superficial, a temperatura, a humidade...) que pretendemos que seja extrema (máximo ou m´ınimo). Por outras palavras, pretendemos determinar as fun¸cões y(x) e y0(x) tornam I estacionária.

(4)

a

b y(x)

yα1(x)

yα2(x) Designe-se por yα(x) uma fam´ılia de fun¸c˜oes

de parˆametro α constru´ıda a partir da fun¸c˜ao de interesse y(x),

yα(x) = y(x) + αη(x)

que satisfazem a condi¸c˜ao de extremos fixos, η(a) = η(b) = 0. A condi¸c˜ao de

esta-cionariedade é, então, aquela que correspondem a varia¸cões nulas de I sob a açcão da varia¸cão de α, i.e. se a derivada variacional for nula

δI ≡ dI dα _α=0 = 0.

Usando a defini¸c˜ao1, e notando que δy = dyα dα _α=0 , δy0 = dy 0 α dα _α=0 0 = Z b a ∂f ∂yδy + ∂f ∂y0δy 0 dx (1)

(5)

Integrando por partes o segundo membro da Eq. (1), temos Z b a ∂F ∂y0δy 0 _{dx =} ∂F ∂y0δy b a − Z b a d dx ∂F ∂y0 δy dx,

onde o primeiro termo se anula pela condi¸cão de extremo fixo δy(a) = δy(b) = 0. Assim, Z b a ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 δy dx = Z b a ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 dyα dα α=0 dx = 0. Embora a varia¸cão δy seja nula nos extremos, ela é arbitrária no intervalo ]a, b[. O integral é nulo, portanto, se

∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 = 0.

(6)

A equa¸cão anterior expressa a condi¸cão de m´ınimo de I através de uma equa¸cão diferencial para as suas variáveis y(x) e y0(x).

Tal condi¸cão é uma das ferramentas fundamentais do cálculo variacional, permitindo investigar uma série de problemas de optimiza¸cão.

Para uma discuss˜ao interessante deste tema com problemas que podem in-teressar a um/a jovem f´ısico/a, eu aconselho as notas p´ublicas deRiccardo Cristoferi, da Universidade de Radboud (Holanda).

Para os amantes da matemática e dos seus formalismo, uma boa referência é o livroAn Introduction To The Calculus Of Variations, de Charles Fox. De resto, google is your best friend...

(7)

• Exemplo 1: Distˆancia m´ınima no plano. Para a determinar, comecemos pelo elemento infinitesimal de distˆancia no plano,

ds2= dx2+ dy2= dx2 1 + dy 2 dx2 ⇒ ds = ± " 1 + dy dx 2#1/2 dx.

Escolhendo o sinal positivo por raz˜oes ´obvias, podemos escrever

S = Z b a ds = Z b a F [y(x),y0_(x),x] z }| { p 1 + y0_(x)2_dx.

Assim, temos que ∂F ∂y− d dx ∂F ∂y0 = 0 ⇔ d dx y0(x) p1 + y0_(x)2 ! = 0 ⇒ y 0_(x) p1 + y0_(x)2 = m,

onde m ´e uma constante. Tomando o quadrado e integrando, obtemos facilmente a equa¸c˜ao da recta, y(x) = mx + b.

(8)

-• Exemplo 2: A geodésica. Qual a distância m´ınima entre dois pontos num espa¸co curvo? A questão é em tudo semelhante ao exemplo anterior, com a única diferen¸ca (importante) de que o intervalo infinitesimal agora envolve da métrica,

ds2= gµνdxµdxν= gµν dxµ dτ dxν dτ dτ 2_{⇒ ds =} r gµν dxµ dτ dxν dτ dτ, onde τ ´e um parˆametro da curva xµ(τ ). Repetindo o processo,

S = Z b a ds = Z b a F [x(τ ),x0(τ ),τ ] z }| { q gµνx0µ(τ )x0ν(τ ) dτ. ∂F ∂xα− d dτ ∂F ∂x0α = 0 ⇔ ∂gµν ∂xαx 0µ_x0ν₋ d dτ [gµν(x 0ν_δ µα+ x0µδνα)] = 0

(9)

⇔∂gµν ∂xαx 0µ_x0ν ₋ d dτ (gανx 0ν_{+ g} µαx0µ) = 0,

onde usamos o facto de que gµν depende de xαmas n˜ao das velocidades

x0α. Temos de trabalhar o segundo termo d dτ (gανx 0ν_{+ g} µαx0µ) = ∂gαν ∂xβ x 0β_x0ν_{+ g} ανx00ν+ ∂gαµ ∂xβ x 0β_x0µ_{+ g} αµx00µ.

Os termos proporcionais a x00 s˜ao iguais (os dois ´ındices mudos est˜ao contra´ıdos), podendo escrever-se como 2gανx00ν. Assim, temos

∂gµν ∂xαx 0µ_x0ν₋∂gαν ∂xβ x 0β_x0ν₋∂gαµ ∂xβ x 0β_x0µ_{− 2g} ανx00ν = 0.

(10)

Trocando os ´ındices mudos ν ↔ β, µ ↔ ν e µ ↔ β no primeiro, segundo e terceiro termos, respectivamente, e colocando x0βx0µem evidˆencia, temos

1 2 −∂gµβ ∂xα + ∂gαµ ∂xβ + ∂gαβ ∂xµ | {z } Γαβµ x0βx0µ+ gανx00ν= 0.

Finalmente, multiplicando tudo por gνα = gνα, temos a equa¸c˜ao da geod´esica

x00ν+ Γν_µβx0µx0β= 0, onde Γν_µβ ´e o s´ımbolo de Christofel2

Γν_µβ = gναΓαβµ= 1 2g να ∂gαµ ∂xβ + ∂gαβ ∂xµ − ∂gµβ ∂xα .

(11)

2.2 O Princ´ıpio de Hamilton

Como pudemos perceber, o método variacional resultam em equa¸cões que são formalmente equivalentes às equa¸cões de Euler-Lagrange, de-terminadas no Cap´ıtulo 1 através do Princ´ıpio dos trabalhos virtuais de D’Alembert.

Neste momento, estamos em condi¸cões de construir as bases da Mecânica de uma forma mais abstracta e sofisticada, com recurso a um princ´ıpio variacional: o Princ´ıpio de Hamilton. De acordo com este, a trajectória de um determinado sistema f´ısico (descrita pelas coordenadas generalizadas qi(t)) é tal que a açcão é m´ınima. Matematicamente, o princ´ıpio de

Hamilton estabelece que a condi¸c˜ao de extremo,

δS = δ Z b

a

L(qi, ˙qi, t)dt = 0,

implica, por hipótese, uma condi¸cão de m´ınimo. Por esta razão, é também conhecido como Princ´ıpio da Açcão M´ınima.

(12)

Seguindo a deriva¸c˜ao feita no ponto 2.1, calculamos a derivada variacional de S para a fam´ılia de traject´orias qi,α = qi+ αηi (e, portanto, δqi =

dqi dα _α=0 = ηi) na forma δS = Z b a ∂L ∂qi δqi+ ∂L ∂ ˙qi δ ˙qi dt = 0.

Integrando por partes e usando a condi¸c˜ao de extremos fixos, δqi(a) =

δqi(b), juntamente com o facto de que as coordenadas generalizadas qi

s˜ao independentes, obtemos as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange d dt ∂L ∂ ˙qi −∂L ∂qi = 0.

O interessante em rela¸cão a esta formula¸cão é dupla

• O princ´ıpio de Hamilton ´e compat´ıvel com o princ´ıpio de d’Alembert • _{E automaticamente v´}´ _{alido para Lagrangeano generalizados,}

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Podemos recuperar, de forma imediata, a invariˆancia para a adi¸c˜ao de derivadas totais

L0 = L +dF dt. Usando a defini¸cão de açcão,

δS0= δS + δ Z b

a

dF

dt dt = δS + δ [F (b) − F (a)] = δS.

∴ A adi¸cão de uma derivada total ao Lagrangeano adiciona uma constante espúria à açcão (as equa¸cões de E-L ficam invariantes).

(14)

2.3 Multiplicadores de Lagrange

At´e a este ponto, assumimos que as n coordenadas generalizadas qi(t)

são todas independentes entre si. É este facto que nos permite isolar cada um dos pré-factores que multiplicam δqi na derivada variacional de

S (resultando em cada uma das n eqs. do movimento).

Em algumas situa¸cões, podemos estar interessados em generalizar o princ´ıpio de Hamilton para coordenadas ligadas, i.e. que se relacionam através de uma equa¸cão de liga¸cão.

A estratégia é, então, a seguinte:

• Promover as coordenadas ligadas qk a grau de liberdade

• Adicionar os constrangimentos fk(qi) ao Lagrangeano recorrendo a

multiplicadores indeterminados (multiplicadores de Lagrange). • Determinar as equa¸c˜oes do movimento e concretizar a liga¸c˜ao (i.e.

(15)

Consideremos, ent˜aon+mcoordenadas, tais que as primeiras i = (1, ..., n)

s˜ao independentes (e, portanto, graus de liberdade) e as ´ultimas k =

(n + 1, ..., m) sãoligadasde acordo com as liga¸cões holónomas do tipo fk(qi, ˙qi, t) = 0.

Promovamos asm coordenadas ligadasa grau de liberdade, por um mo-mento. Nesse caso, a fun¸cão de liga¸cão pode tomar qualquer valor n˜ ao-nulo (por outras palavras: podemos entender graus de liberdade como coordenadas ligadas para as quais não conhecemos as liga¸cões fk). Assim,

definamos o seguinte Lagrangeano constrangido

Lλ(qi, ˙qi, t) | {z } n+m =L(qi, ˙qi, t)+ m X k=n+1 λkfk(qi, ˙qi, t).

Continuamos a invocar o princ´ıpio da ac¸c˜ao m´ınima,

δSλ= Z b a δL + δ m X k=n+1 λkfk ! dt = 0.

(16)

O primeiro termo ´e o habitual (voltamos a introduzir o s´ımbolo de soma para clareza) Z b a δL dt = Z b a n X i=1 ∂L ∂qi δqi+ ∂L ∂ ˙qi δ ˙qi dt = Z b a n X i=1 ∂L ∂qi − d dt ∂L ∂ ˙qi δqi dt.

O segundo termo, apesar de diferente, ´e do mesmo tipo (condi¸c˜ao de extremos fixos, δqk(a) = δqk(b) = 0)

Z b a δ m X k=n+1 λkfk dt = Z b a m X k=n+1 m X j=1 ∂(λkfk) ∂qj δqj+ ∂(λkfk) ∂ ˙qj δ ˙qj dt = Z b a m X k=n+1 m X j=1 ∂(λkfk) ∂qj − d dt ∂(λkfk) ∂ ˙qj δqj dt

(17)

´

E de notar que agora temos duas somas que percorrem os ´ındicesi = (1, ..., n) ej = (1, ..., n, n + 1, ..., m) = ({i}, ..., m). ´E aqui que entra, de facto, a promo¸c˜ao a grau de liberdade das coordenadas ligadas:

n X i=1 → m X j=1 , e a informa¸cão da liga¸cão estará exclusivamente estabelecida assim que voltar-mos a fixar fk= 0. Podemos, então, colocar δqj em evidência

δSλ= 0 = Z b a m X j=1 " ∂L ∂qi − d dt ∂L ∂ ˙qi + m X k=n+1 ∂(λkfk) ∂qj − d dt ∂(λkfk) ∂ ˙qj # δqj.

Após esta “promo¸cão” a grau de liberdade das m coordenadas ligadas, podemos então invocar a independência dos δqj, tal que

d dt ∂L ∂ ˙qj − ∂L ∂qj =Qλ_j, Onde definimos a for¸ca generalizada de liga¸c˜ao

Qλ_j = m X k=n+1 ∂(λkfk) ∂qj − d dt ∂(λkfk) ∂ ˙qj .

(18)

Aqui fica claro que λk gera a informa¸c˜ao sobre as for¸cas de liga¸c˜ao no

sistema, que aparecem como consequˆencia da restri¸c˜ao das coordenadas (como veremos, λk tem muitas vezes unidades f´ısicas de for¸ca).

Na maioria dos casos de interesse, λk = λk(t) (quando muito; na verdade

assistido quase sempre ao caso λk = const. A dependˆencia no tempo s´o

vem se for produzida externamente) Qλ_j =X k λk ∂fk ∂qj − d dt ∂(λkfk) ∂ ˙qj .

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• Exemplo 1: A conta no aro. Consideremos uma conta de massa m num aro de raio R. Qual é a for¸ca que mantém a conta a uma distância fixa r = R?

A liga¸c˜ao que temos de usar ´e, neste caso, f (r) = r − R. Promovemos r a grau de liberdade,

Lλ(r, ˙r, θ, ˙θ) = 1 2m

˙r2+ r2θ˙2+ mgr cos θ + λf (r). Da equa¸c˜ao de Euler-Lagrange para a coordenada radial,

d dt ∂L ∂ ˙r − ∂L ∂r = λ ⇐⇒ m¨r − mr ˙θ 2 − mg cos θ = λ. O valor de λ é agora fixado fazendo uso da equa¸cão de liga¸cão, r = R, ¨r = 0, o que resulta em

Qλ_r = λ∂f ∂r = −

(20)

• Exemplo 2: O disco que rola sem deslizar. Consideremos um disco de raio R que rola, sem deslizar, por uma rampa de inclina¸c˜ao ϕ.

g( ˙X, ˙θ) = R ˙θ − ˙X = 0 =⇒ f (X, θ) = Rθ − X + c = 0 Promovendo X e θ a graus de liberdade,

Lλ(X, ˙X, θ, ˙θ) = 1 2m

˙_X2_{+ R}2_θ_˙2_{+ mgX sin ϕ + λf (r).}

Das equa¸c˜ao de Euler-Lagrange, d dt ∂L ∂ ˙θ − ∂L ∂θ = λR ⇐⇒ mR ¨θ = λ d dt ∂L ∂ ˙X − ∂L ∂X = −λ ⇐⇒ m ¨X − mg sin ϕ = −λ Usando agora que R ¨θ = ¨X, vem 2λ = mg sin ϕ, pelo que

Qλ_θ = λ∂f ∂θ = 1 2mgR sin ϕ, Q λ X= λ ∂f ∂X = − 1 2mg sin ϕ

(21)

2.4 Simetria e conserva¸c˜

ao

No cap´ıtulo anterior, deparámo-nos com algumas invariâncias contidas nas equa¸cões do movimento. Estamos em condi¸cões de poder estabelecer, de forma genérica, a rela¸cão entre simetria e leis de conserva¸cão.

Comecemos pela mais ´obvia. Seja qi uma coordenada da qual o

La-grangeano n˜ao depende explicitamente, i.e. L = L( ˙qi, t) apenas. Neste

caso, qi diz-se coordenada c´ıclica e satisfaz

∂L ∂qi = 0 ⇒ d dt ∂L ∂ ˙qi = 0. ∴ O momento can´onico pi ´e conservado

pi ≡

∂L ∂ ˙qi

(22)

• Exemplo 1: Conserva¸c˜ao do momento linear. Seja x a coordenada que descreve o movimento unidimensional de uma part´ıcula livre

L( ˙x) = 1 2m ˙x

2_.

Neste caso, x é uma variável c´ıclica (o Lagrangeano é simétrico para transla¸cões). Assim,

p = ∂L

(23)

• Exemplo 2: Conserva¸cão do momento angular. Sejam (r, θ) as coordenadas que descrevem o movimento de uma part´ıcula no plano, sob a açcão de um potencial V (r)

L(r, ˙r, ˙θ) = 1 2m

˙r2+ r2θ˙2− V (r).

Neste caso, θ é uma variável c´ıclica (o Lagrangeano é simétrico para rota¸cões). Assim,

pθ=

∂L ∂ ˙θ = mr

2_{θ = m (~}_˙ _{r × ~}_v)

(24)

Conserva¸c˜

ao da energia

A conserva¸cão da energia mecânica está associada à simetria temporal. Contudo, o tempo não entra no formalismo como uma coordenada, mas sim como parâmetro. Ainda assim, dizemos que o Lagrangeano é simétrico para transla¸cões no tempo sse

∂L ∂t = 0.

Comecemos por determinar, portanto, a derivada total do Lagrangeano

dL dt = ∂L ∂t + ∂L ∂qi ˙ qi+ ∂L ∂ ˙qi ¨ qi. = ∂L ∂t + d dt ∂L ∂ ˙qi ˙ qi+ ∂L ∂ ˙qi ¨ qi = ∂L ∂t + d dt ∂L ∂ ˙qi ˙ qi ,

(25)

Separando os termos nas derivadas totais e parciais, a última equa¸cão vem d dt ∂L ∂ ˙qi ˙ qi− L = −∂L ∂t. Se o Lagrangeano for simétrico para o tempo, então

Identidade de Beltrami d dt ∂L ∂ ˙qi ˙ qi− L = 0. ∴ A quantidade h(qi, ˙qi) ≡ ∂L ∂ ˙qi ˙ qi− L

´e conservada. Para Lagrangeanos do tipo L = T ( ˙q_i2) − V (qi), h representa

a energia mecˆanica do sistema

(26)

´

E importante notar que o funcional de energia h(qi, ˙qi) =

∂L ∂ ˙qi

˙ qi− L

nem sempre corresponde à energia mecânica do sistema. Embora a iden-tidade de Beltrami assegure a sua conserva¸cão sempre que o Lagrangeano não dependa explicitamente do tempo, h só corresponderá à energia mecânica (h = T + V ) para algumas situa¸cões. Na prática, para a maioria dos casos em que L = T − V ; quase nunca para problemas paramétricos, i.e. para sistemas que são actuados externamente através, onde há controle de um ou vários parâmetros da teoria.

A análise do significado f´ısico de h requer algum cuidado e devemos fazê-la sempre no contexto espec´ıfico de cada problema. Não conhe¸co - confesso - nenhum critério geral para garantir a correspondência un´ıvoca entre h e a energia mecânica de um sistema. Vejamos exemplos.

(27)

• Exemplo 1.1: A conta no aro que gira rigidamente. Considere uma conta de massa m no aro de raio R. Suponhamos que o aro ´e colocado a girar a uma velocidade constante ˙ϕ = ω.

L(θ, ˙θ) = 1 2m

R2θ˙2+ R2ω2sin2θ+ mgR cos θ. Como L 6= L(t), ent˜ao, pela identidade de Beltrami,

h(θ, ˙θ) = ∂L ∂ ˙θ ˙ θ − L = 1 2m R2θ˙2− R2ω2sin2θ− mgR cos θ = 1 2m

R2θ˙2+ R2ω2sin2θ− mgR cos θ − mR2ω2sin2θ. Neste caso, h = T + V − mR2ω2sin2θ = const. 6= T + V . Tal acontece porque ˙ϕ = ω esconde uma liga¸cão holónoma reónoma, f (t, ϕ) = ϕ − ωt.

(28)

• Exemplo 1.2: A conta no aro que gira livremente. Permitamos, agora, que o aro gire livremente sobre o seu eixo. Como costumamos dizer, promovamos ϕ a grau de liberdade.

L(θ, ˙θ, ϕ, ˙ϕ) = 1 2m

R2θ˙2+ R2ϕ˙2sin2θ+ mgR cos θ. Mais uma vez, como ∂tL = 0,

h(θ, ˙θ, ϕ, ˙ϕ) = ∂L ∂ ˙θ ˙ θ +∂L ∂ ˙ϕϕ − L˙ = 1 2m R2θ˙2+ R2ϕ˙2sin2θ− mgR cos θ. Neste caso, h = T + V = const.

A diferen¸ca importante é que, no caso da rota¸cão livre, a liga¸cão holónoma reónoma equivale a transformar o problema num referen-cial em rota¸cão (que, como sabemos, é não inercial, não gozando, portanto, das mesmas propriedades de conserva¸cão).

(29)

Vejamos, agora, como a questão das transforma¸cões de coordenadas afec-tam a nossa percep¸cão da conserva¸cão da energia mecânica.

• Exemplo 2.1: Atrito sem Rayleigh. Em alguns casos, ´e poss´ıvel de-screver atrito sem recorrer aos potenciais de Rayleigh. Consideremos o seguinte Lagrangeano: L(q, ˙q, t) = eγt 1 2m ˙q 2₋k 2q 2 . A equa¸c˜ao do movimento produz

d dt ∂L ∂ ˙q − ∂L ∂q = 0 ⇐⇒ ¨q + γ ˙q + ω 2 0q = 0, (ω0= p k/m), que reconhecemos como a equa¸c˜ao do oscilador harm´onico amorte-cido. dh dt = − ∂L ∂t = −γe γ_t 1 2m ˙q 2 −k 2q 2 = −γL, onde h = ∂L ∂ ˙qq − L = e˙ γt_{(T + V ) 6= T + V . N˜}_{ao h´}_{a conserva¸}_c˜_{ao de}

(30)

• Exemplo 2.2: Atrito sem Rayleigh + transforma¸c˜ao. Revisitemos o exemplo anterior com a transforma¸c˜ao s = eγ/2tq.

L(s, ˙s) = 1 2m ˙s2+γ 2_s2 4 − γs ˙s −1 2ks 2₌1 2m ˙s −γ 2s 2 −1 2ks 2_.

Neste referencial, a equa¸c˜ao do movimento ´e ¨ s + ω2₀−γ 2 4 s = 0,

onde identificamos a frequˆencia de Re q(t), ω = q

ω2

0− γ2/4. J´a a

energia vem, desta vez, conservada h(s, ˙s) = ∂L ∂ ˙s˙s − L = 1 2m ˙s 2₊1 2ω 2_s2_{= T ( ˙s}2_{) + V (s).} ,,,

(31)

Teorema de N¨

other

Fechamos este cap´ıtulo com um resultado geral sobre as simetrias e as leis de conserva¸cão. É um dos triunfos do Princ´ıpio de Hamilton (e, portanto, do cálculo variacional) que tem tanto de abstracto como de poderoso. Para isso, comecemos por distinguir transforma¸cões discretas de trans-forma¸cões cont´ınuas. As últimas são caracterizadas pela existência de um parâmetro que as torna diferenciáveis. Em oposi¸cão, as primeiras são todas aquelas que não verificam esta propriedade.

O Teorema de Nöether diz-nos, em suma, que “para cada simetria cont´ınua do Lagrangeano, existe uma quantidade conservada associada”. Vejamos como o formulamos matematicamente e como é que podemos extrair as leis de conserva¸cão a partir da identifica¸cão das simetrias.

(32)

Alguns exemplos de transforma¸c˜oes discretas s˜ao • Paridade, P: P[f ] = −f

• Conjuga¸cão de carga, C: C[f ] → f∗ (para variáveis complexas!) • Inversão do tempo, T : T [f (t)] = f (−t)

As combina¸cões das simetrias CP e CPT são pilares fundamentais da f´ısica moderna (por exemplo, controlam ou não a adi¸cão de novas part´ıculas ao Modelo Standard).

Alguns exemplos de transforma¸cões cont´ınuas (infinitesimais) são • Transla¸cão: f (x) → f (x + ) = f (x) + x

• Rota¸c˜ao: f (~x) → f (~x + R(θ)~x) = f (~x) + R(θ)~x • Dilata¸c˜ao: f (x) → f (x).

Estas últimas transforma¸cões dizem-se homogéneas se f (x) = αf (x), onde α designa o grau da homogeneidade (só por curiosidade...)

(33)

Consideremos, para j´a, uma classe de transforma¸c˜oes cont´ınuas para as coordenadas generalizadas,

qi(t) → qi(t, ) = qi(t) + ηi(t).

A sua derivada variacional ´e, portanto, definida da forma usual δqi= dqi d ₌₀ = ηi.

Assumamos que o Lagrangeano ´e invariante para a transforma¸c˜ao acima L(qi) = L(qi+ ηi) =⇒ δL = dL d ₌₀ = 0. Neste caso, temos

0 = δL = ∂L ∂qi δqi+ ∂L ∂ ˙qi δ ˙qi = d dt ∂L ∂ ˙qi δqi+ ∂L ∂ ˙qi δ ˙qi= d dt ∂L ∂ ˙qi δqi .

(34)

Para a classe de transforma¸cões acima definida, temos então o resultado do Teorema de Nöether na sua forma fraca

Teorema de N¨oether Se δL = 0, ent˜ao I(qi, ˙qi) = ∂L ∂ ˙qi ηi= constante

A forma forte deste teorema ´e obtido definindo simetrias espacio-temporais, para as quais a seguinte fam´ılia de transforma¸c˜oes cont´ınuas se deve usar

qi(t, ) = qi(t) + ηi(t), τ (t, ) = t + ψ(t).

Neste caso, como t é um parâmetro do Lagrangeano (e não uma coor-denada generalizada), as derivadas variacionais devem ser tomadas para a açcão S, e não para o Lagrangeano (fica aqui o desafio de pensarmos nesta formula¸cão...)

(35)

• Exemplo 1. Conserva¸c˜ao do momento linear. Seja L(x, ˙x) = 1

2m ˙x

2

. Como sabemos, L é invariante para transla¸cões. Na linguagem do teorema de Nöether, a teoria é simétrica para a transforma¸cão

x(t) → x(t, ) = x(t) + .

Identificando ηx= 1 na classe de transforma¸c˜oes cont´ınua de que

faz parte, temos

I( ˙x) = ∂L

∂ ˙xηx= m ˙x. ´

E um exemplo trivial, assumamos. Mas o importante é agora estarmos na posse de uma ferramenta que nos permite calcular de forma sistemática quantidades conservadas nos nossos problemas f´ısicos, sem que para isso necessitemos de integrar as equa¸cões do movimento.

(36)

• Exemplo 2. Conserva¸c˜ao do momento angular. Seja L(x, ˙x, y, ˙y) = 1

2m( ˙x

2_{+ ˙}_y2_{) + V (}p

x2_{+ y}2_).

Como sabemos, L é invariante para rota¸cões, i.e. para a transforma¸cão3 xi(t) → xi(t, ) = xi(t) + Rijxj(t), Rij = 0 −1 1 0

Identificando ηi= Rijxj na classe de transforma¸c˜oes cont´ınua de

que faz parte, temos

I = ∂L ∂ ˙xi

ηi= m ˙xiRijxj= m (− ˙x1x2+ ˙x2x1) = m (x ˙y − ˙xy) ,

onde facilmente identificamos I = m(~r × ~v)z= `θ, i.e. a conserva¸c˜ao do

momento angular segundo z.

3_{Nota: (x}