Introdução ao Método de Elementos Finitos

1

Introdução ao

Método de Elementos Finitos

Jaime Arturo Ramírez

Unidade 1

2

Método de Elementos Finitos

• Apresentação do curso

– O que se estuda aqui? – O que é preciso saber? – O que vamos fazer?

3

Apresentação do curso

• O que se estuda neste curso??

– ⇒ Aplicação do método de elementos finitos ao estudo de problemas de contorno, principalmente de Eletromagnetismo.

• Problemas de contorno ???

4

5

Aplicações

• Projeto e análise de dispositivos

eletromagnéticos, como máquinas elétricas,

transformadores, fornos de indução, sondas de

ensaios não destrutivos, dispositivos de

microondas, antenas, guias de onda,

equipamentos médicos, dispositivos

semicondutores, equipamentos de alta tensão,

etc ...

6

O que precisa??

• Conceitos matemáticos básicos (revisaremos,

rapidamente);

• Eletromagnetismo básico (revisaremos

rapidamente)

• Programação Orientada a Objetos - (não

revisaremos!!)

7

Conceitos Básicos

• Cálculo vetorial, operadores diferenciais e

teoremas integrais básicos

• Equações de Maxwell

• Uma visão do método de elementos finitos,

« do ponto de vista do usuário »

8

Área de OPAC

Definição do objeto modelado (Pré-processamento)

•Geometria / Modelo;

•Parâmetros / Condições de contorno / características dos materiais;

•Adicionar informações ao modelo automaticamente. Exemplo: malha de elementos finitos.

PAC - Projeto Assistido por Computador (graduação) Geometria Computacional (pós-graduação)

Processamento do Modelo

•Método de elementos finitos •Métodos de equações integrais

Pós-processamento

(Extração de informações a partir dos dados vindos do Processamento do modelo) •Visualização (PAC);

•Grandezas de Engenharia (Elementos finitos / equações integrais); •Análise de sensibilidade (Otimização);

Otimização

•Métodos determinísticos (Otimização); •Métodos estocásticos (Algoritmos genéticos);

9

Cálculo vetorial, operadores diferenciais e

teoremas integrais básicos

• Ref.: Annita Macedo, Eletromagnetismo, Capítulo 1

– Revisão das operações básicas com vetores: produto escalar, produto vetorial, definição e significado físico;

– Operadores diferenciais de primeira ordem: gradiente, divergente e rotacional - definição e significado físico; – Teoremas integrais básicos: Teorema da Divergência e

teorema de Stokes;

– Operadores diferenciais de segunda ordem: definição e inter-relação. 10

Produto escalar

a . b = a

.b

+ a

.b

+ a

.b

a . b = abcos(θ)

Resultado: um escalar.

– Nulo, quando os dois vetores são ortogonais;

– Módulo máximo, quando os dois vetores estão na mesma direção.

a b

11

Produto vetorial

•Nulo, quando os dois vetores estão na mesma direção;

•Módulo máximo, quando os dois vetores são perpendiculares

•Perpendicular ao plano definido pelos dois vetores 12

Operador

∇

k

z

j

y

i

x

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

• Um vetor que é apenas um operador

matemático, sem significado físico

• O significado físico aparece quando o

13

Gradiente

k

z

f

j

y

f

i

x

f

f

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

• Seja f(x, y, z) um função escalar contínua,

com derivadas contínuas até ordem 1

• Gradiente de f:

• Significado físico:

– o gradiente é um vetor;

– o gradiente aponta na direção de máxima variação de uma função;

– o gradiente é perpendicular às superfícies f(x,y,z) = c (c constante).

14

• Seja

v(x, y, z) = v_x(x,y,z)i + v_y(x,y,z)j + v_z(x,y,z)k um campo vetorial contínuo, com derivadas contínuas até ordem 1

• Divergente de v:

• Significado físico:

– produto escalar de ∇ e v – o divergente é um escalar;

– outros significados após vermos o teorema da divergência

Divergente

z

v

y

v

x

v

v

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇ r

.

15

Teorema da divergência

∫

∫

∫

∇

=

=

dS

n

v

S

d

v

dV

v

r

r

.

r

r

.

r

.

Divergente: interpretação física

∫

∫

∫

∇

=

=

dS

n

v

S

d

v

dV

v

r

r

.

r

r

.

r

.

• Suponha que vamos reduzindo V até que ele se torne um ponto

Divergente diferente de 0 Divergente igual a 0 vr

S

vr

17

• Seja

v(x, y, z) = v_x(x,y,z)i + v_y(x,y,z)j + v_z(x,y,z)k • Rotacional de v:

• Significado físico:

– produto vetorial de ∇ e v – o rotacional é um vetor;

– outros significados após vermos o teorema de Stokes

Rotacional

Teorema de Stokes

=

=

∇

=

∇

∫

∫

∫

l

d

v

dS

n

v

x

S

d

v

x

r

.

r

r

.

r

r

.

r

19 • Circulação 0 Circulação diferente de zero

Rotacional: interpretação física

• Suponha que vamos reduzindo S até que ela se torne um ponto

Rotacional igual a 0 Rotacional diferente de 0 vr C vr C

=

=

∇

=

∇

∫

∫

∫

l

d

v

dS

n

v

x

S

d

v

x

r

.

r

r

.

r

r

.

r

Operadores de segunda ordem

2 2 2 2 2 2 2

.

z

f

y

f

x

f

f

f

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

=

∇

∇





















∇

∇

∇

=

∇

=

∇

∇

v

v

v

v

v

.

r

r

0

=

∇

∇ f

x

∇ E

x

r

=

0

E

r

=

∇

V

21

Operadores de segunda ordem

0

.

∇

=

∇

xr

v

∇ B

.

r

=

0

B

r

=

∇

x

A

r

v

x

x

∇

r

∇

vr

.

∇∇

Relação entre eles:

v

v

v

x

x

_∇

r

₌

_∇∇

_.

r

₋

_∇

r

∇

Grandezas: Equações de Maxwell

• Capítulo 2, Annita Macedo • Grandezas envolvidas:

– Campo elétrico, E (V/m)

− Densidade de fluxo elétrico ou indução elétrica, D (C/m2₎

− Campo magnético, H (A/m)

− Indução magnética, ou densidade de fluxo magnético, B (T, ou Wb/m2₎

− Densidade de corrente elétrica, J (A/m2₎

23

Grandezas: Equações de Maxwell

• Características de materiais (propriedades

constitutivas):

– Permeabilidade magnética, µ (H/m) – Permissividade elétrica, ε (F/m) – Condutividade elétrica, σ (1/(Ω.m))

24

Grandezas: Equações de Maxwell

• Carga:

• Corrente:

C

dV

Q

∫

=

ρ

A

dt

dQ

I

=

25

Grandezas: Equações de Maxwell

• Outras relações:

2

/ m

A

v

J

r

=

ρ

r

∫

=

A

S

d

J

I

r

.

r

∫

=

Φ

Wb

S

d

B

r

.

r

Equações de Maxwell

ρ

=

∇ D

r

.

r

0

.

=

∇ B

r

r

t

D

J

H

x

=

+

∂

_∂

∇

r

r

r

r

t

B

E

x

=

−

∂

_∂

∇

r

r

r

27

Equações constitutivas

[ ]

E

D

r

=

ε

r

B

r

=

[ ]

µ

H

r

[ ]

E

J

r

=

σ

r

• Os tensores se reduzem a escalares em meios isotrópicos.

• As propriedades constitutivas podem ser dependentes dos campos

28

Interpretação física das equações de Maxwell

+ ρ

ρ

=

∇ D

r

.

r

Q

S

d

D

dV

dV

D

=

=

∇

∫

∫

∫

r

r

r

.

.

ρ

29

Interpretação física das equações de Maxwell

+ ρ_m=0

0

.

=

∇ B

r

r

0

.

0

.

=

=

∇

∫

∫

S

d

B

dV

B

r

r

r

Lei de Gauss do Magnetismo

B é um vetor solenoidal: suas linhas de campo são fechadas

30

Interpretação física das equações de Maxwell

t

D

J

H

x

=

+

∂

_∂

∇

r

r

r

r

S

d

t

D

J

S

d

H

x

r

r

r

r

r

r

∫

∫

∇

=



_



+

∂

_∂



_



I

l

d

H

=

∫

r

.

r

31

Interpretação física das equações de Maxwell

t

B

E

x

=

−

∂

_∂

∇

r

r

r

S

d

t

B

S

d

E

x

r

r

r

r

r

∫

∫

∇

=

−



_



∂

_∂



_



dt

d

l

d

E

Φ

−

=

∫

r

.

r

Condições de interface

• Equações de Maxwell são válidas nos "pontos

ordinários" do domínio.

• Um ponto ordinário é aquele em que as

características físicas dos materiais são contínuas.

• Nos pontos não ordinários

•

33

Problemas que podem ser resolvidos com

as equações de Maxwell

• Problema direto: dadas as fontes do campo e as características dos materiais em todos os pontos e em todos os instantes, determinar os campos originados; • Problema inverso: dado o campo em todo o espaço e todo o tempo, determinar as fontes;

• Problema de pós-processamento: dado o campo eletromagnético em todo espaço e tempo e dadas certas distribuições de carga e correntes, encontrar parâmetros integrais (forças, conjugados, indutâncias, fluxos

magnéticos, tensões, etc.).

34

Uma visão do método de elementos

finitos, “do ponto de vista do usuário”

• Um programa baseado no método de elementos finitos obtém uma aproximação para a solução das equações de Maxwell em uma região do espaço;

• No programa FEMM, ao invés de solucionar as equações diretamente em termos dos campos, elas são escritas em termos do potencial vetorial magnético:

A

B

B

r

r

r

r

r

×

∇

=

⇒

=

∇

.

0

35

Potencial vetorial - Problema

magnetostático

J

A

r

r

r

r

=













_∇

_×

×

∇

µ

1

t

D

J

H

x

=

+

∂

_∂

∇

r

r

r

r

A

B

r

=

∇

r

×

r

B

r

=

µ

H

r

_H

r

₌

_∇

_x

_A

r

µ

1

Problema magnetostático - 2-D

J

A

r

r

r

r

=













×

∇

×

∇

µ

1

k

J

J

r

=

r

k

J

J

r

=

r

k

A

A

r

=

r

37

Magnetostática 2D

• Após substituições (desenvolvidas em aula):

• Equação de Poisson da Magnetostática 2-D

• Qual a interpretação física do potencial vetorial

em 2-D?

_J

y

A

y

x

A

x



_

=

−









∂

∂

∂

∂

+













∂

∂

∂

∂

_ν

_ν

Vetor potencial : interpretação física

• Linhas equipotenciais = “tubos de fluxo

magnético”;

• A

-A

= Φ / L

, onde L

é o comprimento em z.

• Traçado das linhas equipotenciais fornece uma

idéia da distribuição do fluxo magnético.

39

Vetor potencial : interpretação física

• Linhas equipotenciais = “tubos de fluxo magnético”;

40

Condições de contorno

• Condições de contorno:

– Dirichlet. A = A₀ ==> “Tubo de fluxo”

• ==> B_n= 0 .

– Neumann. . Geralmente

• ==> H perpendicular à fronteira (fronteira com um material de alta permeabilidade magnética, ou simetria ...)

• No FEMM, se nenhuma condição de contorno é

explicitada, a condição de Neumann homogênea

é imposta por default.

c

n

A =

∂

∂

=

0

∂

∂

n

A

41

O método de elementos finitos

• Apesar das equações que descrevem o problema serem simples (uma equação diferencial parcial de segunda ordem, mais condições de contorno), sua solução para o caso genérico não é ==> método de elementos finitos. • A idéia do método o dividir o problema em um grande

número de regiões com geometria simples

42

O método de elementos finitos

• Nestas regiões, a solução para A é aproximada por uma função simples.

• Se um número suficiente de regiões for utilizado, o valor aproximado vai ser quase igual ao valor exato.

• Esta é uma visão bastante simplificada do processo de aproximação, que vai ser detalhado posteriormente.

43

Passos para resolver o problema

no FEMM

• Entrar com a geometria;

• Entrar com as propriedades dos materiais;

• Entrar com as condições de contorno (obs:

default = condições de contorno de

Neumann);

• Gerar a malha de Elementos finitos;

• Resolver o problema;

• Explorar os resultados

44

1.3.Exemplos de cálculo no FEMM

• 1 - Eletroímã

45

1.3. Exemplos de cálculos no FEMM

Permeabilidade = 1000 Simetria

H_t=0 Neumann

A = constante= 0

==> 1/4 do problema pode ser simulado no FEMM. J=+1MA/m2 Permeabilidade=1

x

Problemas eletrostáticos

t

B

E

x

=

−

∂

_∂

∇

r

r

r

V

E

E

x

=

⇒

=

−

∇

∇

r

r

0

r

r

E

D

D

r

r

r

r

ε

ρ

=

=

∇.

∇

r

.

( )

ε

∇

r

V

=

−

ρ

ρ

ε

ε

_

=

−











∂

∂

∂

∂

+













∂

∂

∂

∂

y

V

y

x

V

x

47

Condições de contorno - eletrostática

• Condições de contorno:

– Dirichlet. V = V₀ ==> E perpendicular à fronteira

– Neumann. . Geralmente

• ==> E tangente à fronteira (simetria ...)

• No FEMM, se nenhuma condição de contorno é

explicitada, a condição de Neumann homogênea

é imposta por default.

c

n

V =

∂

∂

0

=

∂

∂

n

V

Exemplo: Capacitor quadrado

1 V 0 V 0 V 0 V 0 V Ar

49

Podemos reduzir o domínio de

cálculo ==> simetria

Problema a ser simulado

V = 1V (Dirichlet)

V = 0V (Dirichlet)

Simetria Neumann: Campo tangente!

51

Problema a ser simulado

V = 1V (Dirichlet)

V = 0V (Dirichlet)

Simetria

Neumann: Campo tangente! Neumann: Campo tangente!

1 cm 1 cm

Ar

52

Resolução por elementos finitos

Malha de elementos finitos Pode-se calcular com

53

Distribuição de Potencial

54

55

Exercícios

• Busque o FEMM e instale-o em seu computador:

www.ead.eee.ufmg.br/~renato/femm40bin.exe

• Entre e calcule os exemplos dados e faça os exercícios das páginas seguintes;

• Estude o manual: Help -> Help Topics;

– Outras formulações, como o caso harmônico no tempo (quase estático);

– Outras condições de contorno e seu significado; – Os métodos numéricos utilizados (item 6)

56

Exercício no FEMM

Capacitor cilíndrico com dois dielétricos Teflon -> ε=2.1. Nylon -> ε=3.8 1 cm 2 cm 3 cm Teflon Nylon •Considere a simetria

•Varie a densidade da malha

V = 0 V V = 100 V

57

Exercício no FEMM (2)