Avaliação da sensibilidade de modelos de composição de carteiras à
incerteza nos parâmetros
Luis Vital Maluf Cunha Vianna (Engenharia de Produção EPUSP) luis.vianna@itau.com.br Celma de Oliveira Ribeiro (Engenharia de Produção EPUSP) celma@usp.br
Resumo
Este trabalho avalia diferentes modelos de composição de portfolio, através de uma análise de sua sensibilidade à variação da matriz de covariância. A partir da distribuição do estimador da matriz de covariância analisa-se o desempenho dos modelos de Markowitz, Konno e Valor em Risco Condicional considerando-se o impacto causado no risco da carteira por perturbações na matriz de covariância.
Palavras chave: Otimização, Finanças, Gerenciamento de risco
1-Introdução
O estudo formal de modelos de risco em mercados financeiros tem recebido grande destaque na literatura na última década. O modelo clássico de gestão de carteiras foi apresentado em 1952 por Markowitz e, apesar de não ser muito utilizado na prática, é didaticamente uma referência para se entender como determinar uma carteira ótima a partir da minimização de uma função de avaliação de risco.
No início dos anos 90 foi proposta uma medida de risco como alternativa àquela utilizada no modelo de Markowitz. Konno e Yamazaki utilizaram o desvio médio absoluto do retorno dos ativos como alternativa à variância na otimização de um portfolio. A principal justificativa para este modelo é a simplicidade computacional, já que o modelo de Markowitz se baseia em modelos de programação quadrática, enquanto que o modelo de Konno recai em um problema de programação linear, computacionalmente mais simples de ser resolvido.
Nenhuma metodologia de avaliação de risco de mercado abalaria tanto os conceitos de gestão de carteiras como o valor em risco (Value at Risk ou VaR). O VaR é uma métrica percentílica definida como o mínimo retorno esperado para um dado nível de confiança. Sua simplicidade em resumir a avaliação do risco de uma instituição utilizando um único número o tornaria um padrão de mercado no final dos anos noventa. Com a evolução e a melhor compreensão dos eventos relacionados à distribuição do retorno dos ativos, surge uma medida de risco que utiliza em sua estrutura, informações sobre eventos que ocorrem nas caudas das distribuições de probabilidades. Esta medida, denominada valor em risco condicional (Conditional Value at Risk ou ), tem ocupado destaque na literatura mais recente a respeito de risco e conduz a modelos lineares de grandes dimensões quando empregada para composição de portfolios.
O objetivo central da pesquisa é compreender qual a medida de risco mais apropriada para a gestão de carteiras de ativos financeiros, tendo em vista aspectos de implementação computacional. Inicialmente será analisado como distribuir recursos entre diversos ativos financeiros de forma a obter um portfolio com mínimo risco. Em seguida, aprofundar-se-á o estudo em questões relativas a robustez e a complexidade computacional de modelos de composição de portfolio que utilizam medidas de risco distintas.
Na seção 2 são apresentadas as medidas de risco abordadas na pesquisa, seus estimadores e respectivos modelos de otimização. Na seção 3 implementam-se os modelos utilizando séries de retornos de ativos do índice Bovespa. Na seção 4 é proposta uma estratégia para perturbação da matriz de covariâncias que possibilita uma análise mais aprofundada da sensibilidade dos modelos à incerteza presente nos estimadores de covariância. Finalmente, na seção 5, são apresentadas as conclusões.
2-Medidas de risco e modelos de composição de portfolio
A preocupação de um investidor na gestão de sua carteira de ativos é retratada pelo tipo de risco que controla, seja este o risco de crédito, de liquidez, o risco operacional, o legal, entre outros. Neste trabalho só há interesse no risco de mercado, que consiste na possibilidade de ocorrerem flutuações adversas nos preços dos ativos que compõem um portfolio. A literatura possui uma expressiva quantidade de trabalhos científicos que tratam de medidas de risco e que levam a diferentes modelos de composição de portfolios. Em linhas gerais, uma medida de risco nada mais é que uma função que atribui a cada composição de portfolio, x, um número que representa o risco. Trata-se o retorno da carteira como uma variável aleatória com distribuição de probabilidade conhecida, e a medida de risco depende também desta distribuição.
) (x W
No modelo clássico de Markowitz (1952), uma referência mundial em finanças, o risco é medido através da variância do retorno da carteira. Mais atual, o modelo proposto por Konno; Yamazaki (1991) utiliza o desvio médio absoluto como medida de risco. Por sua vez o modelo do Valor em Risco Condicional, proposto por Uryasev et al. (2001), analisa as caudas da distribuição de probabilidades dos fatores de risco. Dentre as três medidas citadas, esta última é a única em concordância com a definição de medida coerente de risco proposta por Artzner (2000).
O problema de composição de portfolios pode ser escrito genericamente como: Minimizar W(x) Sujeito a 0 1 ) (R x R E n i i i ≥
∑
=∑
= = n i i x 1 1 0 ≥ i x i=1,...,nOs valores são os retornos esperados de cada ativo e a fração de cada ativo no portfolio é representada por . A primeira inequação assegura que o retorno obtido no processo de otimização atinja um patamar . A restrição
∑
garante que a soma das frações dos ativos não ultrapassa a unidade. Por fim, impede operações de venda a descoberto (short selling). Como o real valor das médias é desconhecido, o conjunto de pontos viáveis é aproximado por outro, determinado a partir de séries históricas, considerando-se a média amostral ) (Ri E i x∑
= ≥ n i i i x R R E 1 0 ) ( 0 R = = n i i x 1 1 0 ≥ i x∑
= = T i it i r T r 1 1, onde T é o número de observações e as observações do i-ésimo ativo realizadas para cada instante t
it r ) ,..., 2 , 1 (t= Τ ..
Para o modelo de Markowitz, a função objetivo é dada por:
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =
∑
∑
= = 2 1 1 ) ( ) ( n i n i i i i i K x E R x E E R x WAo empregar estimadores reescreve-se então este problema como: Minimizar WˆM(x)=x ∑ˆ x ´ Sujeito a
∑
= ≥ n i i ix R r 1 0∑
= = n i i x 1 1 0 ≥ i x , i=1,...,n com ∑ˆ =[ ]
σˆij , onde 1 ) )( ( ˆ 1 ) ( ) ( − − − =∑
= T r r r r T t j t j i t i ij σKonno; Yamazaki (1991) apresentaram uma estratégia alternativa para a minimização do risco de um portfolio, considerando o desvio médio absoluto como medida de risco O modelo de Konno é definido por Minimizar ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =
∑
∑
= = n i n i i i i i K x E E R x E E R x W 1 1 ) ( ) ( ) ( Sujeito a 0 1 ) (R x R E n i i i ≥∑
=∑
= = n i i x 1 10 ≥
i
x i=1,...,n
A idéia deste modelo é reduzir dificuldades computacionais presentes minimização da variância. Utiliza-se um estimador para aproximar o desvio médio absoluto (KONNO; YAMAZAKI, 1991), recaindo-se no seguinte:
K Wˆ WK Minimizar WˆK=
∑
= + T t t t w v T 1 ) ( . 1 Sujeito a 0 1 = + −∑
= t t n i i itx v w a t =1,...,T 0 1 R x r n i i i ≥∑
=∑
= = n i i x 1 1 0 ≥ i x ,i =1,...,n T t w vt ≥0, t ≥0, =1,...,As constantes ait são obtidas a partir da série histórica de retornos: ait =rit −ri.
Uryasev et al. (2001) sugerem uma medida de risco denominada Valor em Risco Condicional (Conditional Value-at-Risk ou CVaR). Para distribuições contínuas, o é definido como a média das perdas residentes na porção
α CVaR
α da cauda da distribuição. O Valor em Risco Condicional ou é uma das medidas de risco que satisfazem a definição formal de medida coerente de risco sugerida por Artzner (1999). Segundo Uryasev et al. (2001), os valores de
e são definidos respectivamente por α CVaR α VaR CVaRα
( )
α{
ζ α( )
ζ α}
α =VaR x, =min :F x, ≥1− VaR ) (x α φ =∫
≥ − − = )) ( ( ) , ( 1 ) ( ) , ( ) 1 ( ) ( x R VaR y x f f x y p y dy x CVaR α α αPara cada x, a função de perda, f(x,y), é uma variável aleatória com distribuição em ℜ induzida por , sendo que y que possui distribuição de probabilidade . Para contornar a inconveniência de se trabalhar com a integral presente em
y p(y)
) (x α
φ , Uryasev et al. (2001) caracterizam )φα(x em termos da função definida em dada por
, onde . O modelo de otimização para o é expresso por:
α
F
X×ℜ[
f x y]
p y dy x F n y ( , ) ( ) ) 1 ( ) , ( 1∫
ℜ ∈ + − − − + =ζ α ζ ζ α [t]+ =max{t,0} CVaR Minimizar∑
= − ℜ × ∈ = + − J j j CVar X x z J W 1 1 ) , ( . 1 . ) 1 ( ˆ ς α ςSujeito a ≥−
∑
−ς , = n i i ij j Y x z 1 . j=1,...,J 0 ≥ j z 0 1 R x r i n i i ≥∑
=∑
= = n i i x 1 1 0 ≥ i x , j=1,...,n ℜ ∈ ζOs J vetores Yj são obtidos a partir através de simulação com distribuição multivariada p(y).
3-Análise dos modelos
Para realizar a análise utilizou-se uma série de retornos de dez ações que fazem parte do índice Bovespa. Cada um dos modelos foi implementado e foram construídas as curvas risco × retorno, como mostra a Figura 1. Verifica-se uma proximidade muito grande entre as curvas obtidas em cada um dos modelos testados, devido ao fato dos retornos apresentarem distribuição próxima à normal. Pode-se constatar também, nos três modelos, a concentração das soluções em poucos ativos, sendo que alguns ativos não foram selecionados para nenhum valor de . Este efeito é conhecido na literatura como corner solution e dificulta a implementação dos portfolios, pois tornam impraticável a gestão dinâmica da carteira. Sob o ponto de vista de implementação, o modelo mais complexo computacionalmente foi o CVaR, que exige a simulação de variáveis normais multivariadas e apresenta um elevado número de restrições (no exemplo foram utilizados 5000 pontos, que geraram igual número de inequações). Dos modelos em estudo, este foi o único que exigiu a utilização do aplicativo CPLEX. Os dois outros modelos foram inicialmente implementados no software MatLab, e posteriormente implementados na linguagem GAMS .
0 R -1.7E-03 -1.2E-03 -7.0E-04 -2.0E-04 3.0E-04 8.0E-04
2.1E-02 2.6E-02 3.1E-02 3.6E-02 4.1E-02
desvio padrão Ret o rn o CVaR Konno Markowitz
Como a análise dos gráficos risco retorno não permite detectar diferenças significativas que identifiquem uma medida de risco como sendo a melhor ou a pior, é importante analisar a sensibilidade dos parâmetros às incertezas decorrentes do processo de estimação. A análise dos modelos de otimização de portfolio se baseia no comportamento histórico do retorno dos ativos e a existência de algum evento extraordinário no período de amostragem, por exemplo, pode introduzir ruídos nas estimativas. O modelo mais adequado, portanto, deverá ser aquele que apresenta maior estabilidade quando as estimativas dos parâmetros são perturbadas.
×
De maneira análoga ao método proposto por Pafka; Kondor (2002), a perturbação será feita através do estimador da matriz de covariância original , obtida através da série histórica dos ativos. Ao invés da abordagem simplificada utilizada por aqueles autores, a perturbação dos parâmetros será feita através da distribuição de Wishart (ANDERSON, 1966), que é a distribuição do estimador de matriz de covariâncias. Serão geradas, por simulação com distribuição de Wishart, matrizes de covariância perturbadas .
) 0 ( ˆ ∑ ) (P ∑ 4- Implementação e resultados
A fim de comparar o desempenho dos modelos foram geradas P matrizes de covariância, , através de simulação com distribuição de Wishart (ANDERSON, 1966). Esta simulação utiliza como base a matriz original, construída a partir da série histórica do retorno dos ativos, e o número de ativos que compõem o portfolio (que define o número de graus de liberdade da distribuição qui-quadrado utilizada no algoritmo). Para cada um dos três modelos foram gerados P problemas de otimização, cada um deles associado a uma matriz perturbada
.
{ }
P p P 1 ) ( = ∑ ) 0 ( ˆ ∑{ }
P p P 1 ) ( = ∑Para o modelo de Markowitz a implementação é trivial, uma vez que a função objetivo depende explicitamente da matriz de covariância. São gerados P problemas distintos um para cada uma das matrizes obtidas por simulação. No modelo de Konno os retornos diários de cada um dos ativos, para uma janela de tempo
) ( P
∑
n T , são utilizados para modelagem do problema, de tal forma que a matriz de covariância não é empregada diretamente na formulação. Com base nas informações contidas nas matrizes , simula-se uma nova série de T retornos , que será utilizada na montagem do problema perturbado. Calcula-se também a partir de novos estimadores de média ) ( P ∑ ( p) ti r ) ( p ti r ) ( p i
r . No caso do Valor em Risco Condicional, a aproximação da integral (URYASEV ET AL., 2001) é feita a partir da fatoração de Cholesky da matriz e da simulação dos retornos. A partir da fatoração de Cholesky das matrizes de covariância são geradas novas séries de retornos ,
[
f x y]
p y dy n y ( , ) ( )∫
∈ℜ + −ζ ) 0 ( ˆ ∑ ) ( ˆ p ∑ ( p) ti r i=1,...,n e e construídos novos problemas. T t=1,...,A partir dos problemas perturbados, avalia-se o desempenho dos modelos. Denota-se por o valor ótimo do problema original, com parâmetros obtidos a partir das séries históricas. A partir
) 0 (
da perturbação através da distribuição de Wishart, analisa-se, para cada medida de risco em estudo, a distribuição da variável aleatória (0)
) (
δ δ P
q= , onde é o valor da medida de risco com parâmetros perturbados para a mesma solução ótima .
) ( P δ * 0 x
Foram gerados 50 problemas perturbados P para cada medida de risco. Os novos valores de risco foram comparados aos resultados originais e a distribuição dos valores da variável q são representados nos histogramas abaixo para cada um dos três modelos.
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% - 0.3 0 0.7 0 1.1 0 1.5 0 1.9 0 2.3 0 2.7 0 3.1 0 3.5 0 3.9 0 4.3 0 4.7 0 5.1 0 5.5 0 Mai s
distribuição de q para Konno
% média=3.66 desvio padrão = 0.85 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% - 1.5 0 3.5 0 5.5 0 7.5 0 9.5 0 11. 50 13. 50 15. 50 17. 50 19. 50 21. 50 Mai s
distribuição de q para Markowitz
%
média=10.58
desvio padrão = 4.50
Figura 2 – Resultado para Markowitz Figura 3 – Resultado para Konno
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% - 0.1 5 0.3 0 0.4 5 0.6 0 0.7 5 0.9 0 1.0 5 1.2 0 1.3 5 1.5 0 1.6 5 1.8 0 1.9 5 Mai s
distribuição de q para o valor em risco condicional
%
média=1.37 desvio padrão = 0.15
Figura 4 – Resultado para CVaR
Verifica-se que, para o modelo de Markowitz, o fator de amplificação do risco q apresenta uma distribuição com média 10,58 vezes acima do valor do risco obtido na otimização do problema original. Isso corresponde a afirmar que o modelo de Markowitz, apesar de sua simplicidade e de ser considerado um marco em finanças, é extremamente sensível à perturbação de seus parâmetros. Para o modelo de Konno, a média de foi 3,66 vezes superior ao o risco original. Nota-se, portanto, que o modelo de Konno é mais robusto que o modelo de Markowitz. Observa-se ainda que o desvio padrão da distribuição de no caso de Markowitz é muito grande, o que representa uma grande dispersão nos valores, enquanto que no caso do modelo de Konno esta
q q
dispersão é menor. Apesar da amplificação do risco estar elevada para Konno, a distribuição apresentou uma dispersão dos dados bem menor em relação à apresentada por Markowitz. A melhor robustez se deve ao fato do desvio médio absoluto não depender diretamente da estrutura da matriz de covariâncias, o que não se observa no modelo de Markowitz.
É interessante destacar o resultado obtido para o modelo do Valor em Risco Condicional, que é, sem dúvida, o modelo mais atual e mais complexo. Dos três modelos apresentados, é o único cuja formulação se preocupa com os eventos extremos da distribuição de probabilidade de perdas. A média de , neste caso, foi 1,37 vezes maior que o risco calculado na otimização do problema original, o que torna modelo do valor em risco condicional o mais estável entre os três modelos analisados. A média da distribuição foi inferior ao apresentado pelos outros dois modelos. A dispersão dos dados também foi significativamente inferior, como pode ser observado na figura 4. É necessário reforçar que, como o número de perturbações foi baixo, coincidentemente não houve ocorrências de valores de q inferiores a unidade. A estabilidade deste modelo se relaciona ao fato do CVaR ser uma medida de risco que avalia os eventos concentrados nas extremidades da distribuição de probabilidades do retorno do portfolio, enquanto que a covariância e o desvio médio absoluto avaliam o quanto os dados estão dispersos em relação à média. Qualquer perturbação que desloque a média de maneira considerável ou que afete a dispersão terá a tendência de desestabilizar os respectivos estimadores. No não se verifica este problema.
q
CVaR
5 – Conclusões
A pesquisa teve como objetivo o estudo e análise de medidas de risco na gestão de carteiras de ativos financeiros. Procurou-se identificar empiricamente qual o impacto causado pelo uso de estimadores no desempenho de modelos de tomada de decisão que minimizam o risco de carteiras. Foram estudados conceitos e definições de algumas medidas de risco e foram implementados os modelos de Markowitz, Konno e valor em risco condicional. Com o intuito de verificar a robustez dos modelos, a perturbação dos parâmetros foi feita diretamente no estimador da matriz de covariâncias ( ), utilizando a distribuição de probabilidade deste, que é uma distribuição de Wishart (ANDERSON, 1966).
∑ˆ
A implementação do modelo de Markowitz é trivial e, dos modelos estudados é, sem dúvida, o de compreensão mais simples. O modelo de Konno requer, para implementação, que a função objetivo seja linearizada e a dimensão do problema resultante depende do número de observações. Os dois modelos se mostraram instáveis frente à perturbação dos parâmetros utilizando matriz de Wishart. O modelo do valor em risco condicional exige um esforço computacional maior em relação aos outros dois modelos, apesar de recair em um problema linear. A grande quantidade de restrições inseridas na modelagem do valor em risco condicional afeta o desempenho. Por outro lado, é menos sensível a perturbações da matriz de covariância, já que analisa eventos ocorridos nas caudas das distribuições de probabilidade e não se preocupa diretamente com a relação entre as variáveis expressa pela matriz de covariância. Conseqüentemente, deve ser menos afetado por incertezas neste parâmetro. Este resultado é consistente com a literatura da área (SZEGÖ, 2002).
Os ensaios realizados não permitiram concluir se algum dos três modelos é superior aos demais em termos da qualidade da solução obtida na redução de risco, uma vez que as curvas de risco retorno apresentaram grande similaridade. De certa forma este resultado era esperado, já que
análises de caráter empírico, realizadas com as distribuições de cada um dos retornos dos ativos de maneira isolada, demonstraram uma grande proximidade com a distribuição normal, e os modelos de Konno e Markowitz apresentam um bom comportamento nestes casos.
Um ponto interessante a ser observado é o fato de todos os modelos gerarem portfolios de difícil implementação, devido à concentração da carteira em poucos ativos. Tal fato dificulta a gestão dinâmica da carteira, já que freqüentemente são exigidas mudanças significativas de posição. Vale lembrar que no dia a dia do mercado, a mudança de posição de um determinado ativo para outro acarreta custos de transação, fato não levado em conta na modelagem. As mudanças bruscas de posição, nas quais são ofertados grandes volumes de um determinado ativo no mercado, podem interferir no preço do ativo.
Não deve ser esquecido que todos os modelos são construídos a partir de estimadores das medidas de risco, o que significa que sempre há uma margem de erro que pode levar a uma avaliação incorreta da realidade. Apesar da boa performance e da facilidade de se implantar computacionalmente os modelos estudados, deve-se ter em mente que qualquer modelo é uma ferramenta de apoio à decisão. Levam-se em conta não só os resultados quantitativos, mas também os fatores de ordem subjetiva.
Referências
ACERBI, C.(2002) - Spectral measures of risk: A coherent representation of subjective risk aversion, Journal of
Banking and Finance, Vol. 26, p. 1505-1518.
ANDERSON T. W. (1966) - An Introduction to Multivariate Statistical Analysis, John Wiley & Sons, Inc, 7ª ed., New York, 373 p.
ARTZNER, P., DELBAEN, F., EBER, J-M., HEATH, P. (1999) Coherent Measures of Risk, Mathematical Finance, Vol. 9, n.3, p. 203-228.
BROOKE, A., KENDRICK, D., MEERAUS, A., RAMAN, R. (1998) - GAMS – A user´s guide, GAMS Development Corporation.
CAI, X., TEO, K., YANG, X. ZHOU, X. (2000) - Portfolio Optimization Under a Minimax Rule, Management
Science, Vol. 46, n.7, p. 967-972
FRITTELLI, M., GIANIN, E.R. (2002) - Putting order in risk measures, Journal of Bank and Finance, Vol. 26, p.1473-1486.
GOLDFARB, D. IYENGAR, G. (2003) - Robust Portfolio Selection Problems, Mathematics of Operations
Research, Vol. 28, p..1-38
JÚDICE, J.J., RIBEIRO, C.O., SANTOS, J.P.J. (2003) - Análise Comparativa dos Modelos de Seleção de Carteiras de Acções de Markowitz e Konno, Investigação Operacional, Vol. 23, p.211-224.
KENETT, R.S., ZACKS, S., (1998) - Modern Industrial Statistics, Duxbury Press, 621p.
KONNO, H., YAMAZAKI, H. (1991) - Mean-Absolute Deviation Portfolio Optimization Model and its Applications to Tokyo Stock Market, Management Science, Vol. 37, p. 519-531
LUENBERGER, D.G. Investment Science, Oxford University Press, 1998 p. 137-172
Pafka, S., Kondor, I., Noisy covariance matrices and portfolio optimization, The European Physical Journal B, Vol. 27, p.277–280 (2002)
SZEGÖ, G. (2002) - Measures of Risk, Journal of Banking and Finance, Vol.26, p.1253-1272.
URYASEV, S., ROCKAFELLAR, R. T.,(2002) - Conditional Value-at-Risk for General Loss Distributions, Journal
URYASEV, S., PALMQUIST, J., KROKHMAL, P. (2001) - Portfolio Optimization with Conditional Value-at-Risk Objective and Constraints, Research Report
URYASEV, S., TESTURI, C. (2002) - On Relation between Expected Regret and Conditional Value-at-Risk,
Research Report
