Universidade Politécnica
BETÃO ARMADO
Manual de Exercícios – volume 1
1. Durante 12 dias fabricou-se um betão, cuja composição e condições de fabrico se mantiveram
rigorosamente constantes, tendo-se retirado diariamente amostras para a moldagem de cubos de 15 cm de aresta: Todos os cubos foram conservados dentro de água e ensaiados à rotura por compressão aos 28 dias de idade. Os valores obtidos encontram-se no quadro seguinte:
a) Determine o valor médio e característico da tensão de rotura à compressão do referido betão
de acordo com a NP EN 206-1:2005 (Betão – Parte 1: Especificação, Desempenho, Produção e Conformidade).
b) De acordo com o REBAP indique a classe do referido betão e especifique os valores médios
que estimaria para as seguintes propriedades:
i) Resistência à tracção; ii) Módulo de elasticidade; iii) Coeficiente de Poisson;
iv) Coeficiente de dilatação térmica linear.
c) Determine a resistência à compressão, à tracção e módulo de elasticidade que seria obtida
para o betão nas seguintes idades (o cimento utilizado é da classe 32,5 N):
i) Aos 14 dias; ii) Aos 90 dias; iii) 1 Ano.
d) Desenhe o diagrama de cálculo do betão a utilizar para o dimensionamento de secções. 2. Considere a estrutura da figura abaixo na qual, se pretende determinar os esforços necessários ao
dimensionamento aos estados limites últimos.
Considere: Permanente: g = 20 kN/m
Acção variável: q = 25 kN/m (Ψo=0,6), Q=500 kN (Ψo=0,4)
Aço A400
Para a execução da estrutura, foram ensaiados 6 cubos de betão, tendo-se obtido os seguintes valores de tensão de rotura à compressão:
i 1 2 3 4 5 6
σ[MPa] 25,7 28,0 29,7 23,8 27,0 31,5
a) Qual é a classe do betão?
b) Qual o módulo de elasticidade do betão em causa aos 28 dias de idade?
c) Qual é o nível máximo de tensão de compressão a aplicar neste betão aos 20 dias? d) Qual é o nível máximo de tensão de tracção a aplicar neste betão aos 10 dias? e) Qual é o valor de cálculo de resistência deste betão à tracção?
3. Considere a estrutura da figura abaixo que representa o pavimento onde irá funcionar o
dormitório do Internato “Cantinho do Céu”.
Dados a considerar:
Materiais: Betão B30; Aço A400 Acções: Peso próprio;
Revestimento=2.0kN/m2;
Sobrecarga de utilização Secção da viga: 0.30x0.85 m2
Espessura da laje: 0.15m
a) Determine, para as secções S1 e S2 da viga, os valores de cálculo dos esforços em ELU.
b) Calcule, para as mesmas secções, os esforços para as combinações rara, frequente e quase -
permanente.
c) Trace os diagramas envolventes dos esforços determinados na alínea a).
4. Determine as armaduras de modo a verificar a segurança aos estados limites últimos de pilares
(com secção transversal 0,20x0,20m2) representados na figura seguinte, que serão executados com
betão da classe B25 e aço do tipo A400.
a) Permanente: Ng = 180 kN
Acção variável: Nq = 243 kN (pavimento de uma habitação)
Ne =54 kN (sismo)
b) Permanente: Ng = 73 kN (tracção)
Acção variável: Nq = 37 kN (tracção/pavimento de um hospital)
5. Considere a estrutura da figura abaixo na qual, se pretende verificar a segurança estrutural do
elemento BC.
Considere:
Permanente: g = 20 kN/m
Acção variável: q = 25 kN/m (Ψo=0,6), Q=500 kN (Ψo=0,4)
Betão B20/Aço A400
6. A figura abaixo representa uma estrutura linear de betão armado (B25/A400) que faz parte de um
muro e suporte de uma estrada marginal. O elemento vertical do muro suporta, por um lado, as águas do mar e, por outro lado, um aterro que constitui a estrada. O elemento horizontal apresenta um peso próprio desprezável.
a) Determine as dimensões ideais para o elemento horizontal.
b) Determine as armaduras a colocar no elemento horizontal de modo a verificar a segurança
aos Estados Limites Últimos.
c) Elabore e apresente desenhos para a execução do elemento horizontal.
7. Considere 8 elementos de ma treliça de betão armado B20/A235 que compõe a estrutura de
cobertura de uma habitação corrente solicitada pelas seguintes acções características: g = 10 kN/m
Q = 70 kN (Ψo=0,7; Ψ1=0,7; Ψ2=0,4)
i 1 2 3 4 5 6 7 8
Ngi [kN] 42,2 20,0 -91,7 -24,0 0,0 0,0 -50,0 0,0
NQi [kN] 92,2 0,0 -146,0 0,0 92,2 0,0 -146,0 0,0
NWi [kN] 0,0 0,0 -75,0 0,0 71,2 22,5 -37,5 -27,0
a) Calcule os esforços normais de cálculo em cada um dos 8 elementos, para verificar a
segurança aos estados limites últimos.
b) Dos 8 elementos analisados em a), identifique os mais comprimido e o mais traccionado. c) Dimensione os elemento mais comprimido e o mais traccionado.
d) Desenhe as secções calculadas em c).
8. Determinar a capacidade resistente à compressão simples de um elemento sujeito ao esforço
axial de secção transversal quadrada de 25x25cm2. A armadura principal (resistente) é
composta por 812. Materiais: B25/A400.
9. Determinar a capacidade resistente à flexão simples de uma secção rectangular de 30x50cm2,
cuja armadura principal de tracção é composta por 425. Materiais: B30/A400.
10. A figura abaixo ilustra uma estrutura de betão armado (B25/A235). Determine e represente as
armaduras que se devem colocar nos elementos verticais de modo a verificar a segurança aos estados limites últimos de segurança.
Acções a considerar:
Permanente: g = 46 kN/m
Acção variável: q = 37 kN/m (pavimento de um centro comercial) w=7,3 kN/m (vento)
Nesta estrutura a secção transversal dos pilares P1 e P2 são de 0,20x0,20m2 e 0,20x0,30m2,
11. Dimensione a secção transversal ideal para os elementos verticais da estrutura representada na figura abaixo. Acções: Permanente: g = 35 kN/m Acção variável: Q3 = 300 kN/m Q2 = 200 kN Q1 = 100 kN
Função: Parque de estacionamento
Determine as armaduras para aqueles elementos de modo a verificar a segurança aos estados limites últimos. A estrutura será em Betão armado (B25/A400).
Elabore os desenhos para a execução da estrutura.
12. Um tirante de secção quadrada encontra-se sujeito às seguintes acções características:
NGk=200kN,
NQ1k=150kN (Ψ0=0.4, Ψ1=0.3, Ψ2=0.2),
NQ2k=180kN (Ψ0=0.7, Ψ1=0.6, Ψ2=0.4).
Dados: B25, A400, ambiente pouco agressivo.
a) Dimensione e desenhe uma secção de betão armado que satisfaça a segurança em relação ao
estado limite último de resistência. O tirante tem armadura mínima?
b) Para a combinação característica de acções calcule as tensões no betão e no aço. Verifique se é
respeitada a tensão limite do aço especificada no REBAP.
13. Dimensione a secção transversal ideal para os elementos verticais da estrutura representada na
figura abaixo. Acções: Permanente: g = 35 kN/m Acção variável: Q3 = 300 kN/m Q2 = 200 kN Q1 = 100 kN
Determine as armaduras para aqueles elementos de modo a verificar a segurança aos estados limites últimos. A estrutura será em Betão armado (B25/A400).
Elabore os desenhos para a execução da estrutura.
14. Dimensionar e pormenorizar um pilar de betão armado para suportar um esforço de cálculo
Nsd=5700kN (compressão).
Considere betão B30, Aço A500, ambiente muito agressivo.
15. Dimensionar e pormenorizar um tirante de betão armado para suportar os seguintes esforços
(valores característicos): NGk=0kN, NQk=460kN.
Considere B30, A500 e recobrimento de todas armaduras igual a 2,5cm.
16. Uma peça de secção 0.20x0.20m2 está submetida unicamente a esforços axiais, que podem ser de
tracção ou de compressão. Os valores característicos das acções permanentes e variáveis são os seguintes: Materiais: B25/A400
Permanente: NGk = + 120kN (tracção)
Acção variável 1: NQ1k = ± 200kN (tracção ou compressão) (ψ0 = 0.7)
Acção variável 2: NQ2k = − 500kN (compressão) (ψ0 = 0.8)
Calcular a armadura necessária a dispor tendo em vista a segurança ao Estado limite último de resistência à compressão e a tracção.
17. A figura abaixo representa um pórtico de um alpendre para uma estação de serviço que se
pretende construir e betão armado (B30/A400) no bairro do Zimpeto. As acções permanentes g, variável q (sobrecarga em terraço inacessível) e vento w são de 18,0; 5,0; e 9,0 kN/m, respectivamente.
a) Determine as dimensões ideais para os elementos do pórtico.
b) Determine as armaduras a dispor no pórtico de modo a verificar a segurança aos ELU. Caso
existam diversas secções críticas, use a sua escolha, alternativamente, métodos analíticos, modelos simplificados, tabelas e ábacos.
18. Dimensionar uma viga de betão armado para suportar um momento flector Msd=300kNm.
Considere B30/A500, recobrimento c=25mm em todas as armaduras.
Para a solução obtida, modifique a armadura para suportar um momento flector Msd=750kNm.
19. Determinar as dimensões da secção da viga representada na figura, sendo o betão da classe
B25 e o aço do tipo A400.
Para além do acima solicitado determine a secção considerando como 2ª e 3ª hipóteses:
i) Admitindo que a base, por razões arquitectónicas, seria de b = 0,30 m.
ii) Admitindo agora que a altura, por razões arquitectónicas, seria de h = 0,60 m. 20. Considere a viga representada na figura seguinte. Materiais: B30/A400
Calcule a máxima sobrecarga q que pode actuar com segurança sobre a viga.
21. Calcular a armadura necessária para uma secção rectangular de 30x60cm2, sujeita a um
momento flector cujo valor de cálculo é de 300kNm.
Use os diversos métodos vistos na aula Materiais: B30/A400.
22. Calcular a armadura necessária para secção rectangular de 30x50cm2 sujeita a um momento
flector cujo valor de cálculo é de 375kNm. Materiais: B25/A400
23. Dimensione um pilar de betão armado para suportar o conjunto de esforços indicado abaixo.
Considere B30/A400, a/h=0.1, A=A’.
Combinação 1 Combinação 2
Nsd=3100kN Nsd=1200kN
24. Determinar o valor de cálculo do momento-flector resistente duma secção rectangular de
1.00x0.50m2, com armadura de compressão dupla da de tracção (A’/A=2.0), sendo esta igual a
60cm2 de aço A235.
A secção esta sujeita a um esforço normal cujo valor de calculo e de 9150kN e o betão e da classe B30. Calcular as tensões nas armaduras e no betão.
25. Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo indicados.
Nsd = -1200 kN
Msd,y = 150 kNm
Msd,z = 100 kNm
Materiais: A400/ B25
26. Determinar a armadura de esforço transverso (estribos verticais) necessária para absorver um
esforço transverso de cálculo de 180 kN, numa viga de secção rectangular com 30cm de base e 45 cm de altura útil.
O betão é da classe B30 e o aço é da classe A400.
27. Considere a viga em betão armado a seguir representada sujeita à flexão simples. Dados:
Secção: (0,30x0,60) m2
Ambiente pouco agressivo Betão B25 e Aço A400NR
Determinar a capacidade resistente ao esforço transverso da viga esquematizada na figura abaixo.
28. Consideremos uma secção rectangular de uma viga com base 0,30m e altura 0,60 m,
submetida a um momento torsor de 20 kNm.
29. Vamos considerar a viga indicada na figura 11 (repare-se que só a sobrecarga é excêntrica).
Os apoios permitem a rotação de flexão mas impedem a rotação de torção.
Admita-se que a armadura de flexão é de 425+220 (25,92cm2) na alma e que os varões
longitudinais no banzo são 2 e de 10 mm.
Dimensione-se as armaduras de torção e de esforço transverso a colocar na viga, sendo as cargas permanentes e sobrecargas uniformemente distribuídas com os valores respectivos de 30kN/m e 20kN/m.
Os materiais são B30 e A400. O recobrimento é de 2,5 cm.
30. A viga representada na figura está sujeita a esforços de flexão e possui o eixo neutro ao nível
indicado. Os materiais são o B25 e o A400NR.
a) Admitindo o bloco rectangular de tensões, determine o conjunto de esforços a que a viga está
submetida, considerando toda a armadura.
b) Supondo agora que a viga está submetida a um esforço de torção pura, indique o Momento
Torsor máximo a que a viga resiste.
31. Para as lajes representadas abaixo:
a) Defina as espessuras e dimensione as armaduras (B25/A400) a colocar nas lajes de modo
a verificar a segurança aos estados limites últimos. Ambiente moderadamente agressivo.
b) Defina o sistema estático e as cargas a atribuir as vigas que apoiam as lajes. c) Elabore desenhos para a execução das lajes.
Pavimento de um recinto desportivo revestido com parquet na parte superior e reboco de 25mm na parte inferior.
Pavimento de um edifício comercial revestido com tijoleira na parte superior e reboco de 30mm de espessura na parte inferior.
Pavimento de uma habitação revestido com tijoleira na parte superior e com tecto falso de gesso na parte inferior.
32. Considere o pilar (A-B), indicado na figura abaixo, que representa uma parte de estrutura
classificada de nós fixos, segundo o REBAP.
Da análise estrutural obtiveram-se os seguintes esforços: Para a carga permanente: Ng=1872kN
Determine:
a) A secção do pilar (A-B).
b) As armaduras necessárias para a verificação da segurança aos ELU c) Pormenorize as armaduras e secção obtida.
33. Considere a estrutura indicada na figura que e actuada pelas seguintes acções:
Acção permanente: 20kN/m Sobrecarga na travessa: 20 kN/m Acção sísmica: FE=28kN
Considerando duas combinações de acções: 1ª – Carga permanente + sobrecarga
2ª – Carga permanente + sismo
a) Dimensione a secção do pilar
b) Determine as armaduras necessárias para verificação da segurança aos ELU c) Pormenorize as armaduras e secções obtidas.
34. A figura representa o pórtico tipo de um edifício não contraventado na direcção X e
contraventado na direcção Y. O pilar AB está submetido aos esforços de 1ª ordem indicados, que já incluem o efeito das imperfeições geométricas.
a) Considerando que a sapata A proporciona encastramento, e que para fora do plano a
extremidade B do pilar está ligada a vigas de 5.0m de vão e secção h=0.20m e b=0.50m, determine as esbeltezas do pilar AB nas direcções X e Y.
b) Determine os esforços finais de cálculo (com encurvadura) para dimensionamento do pilar
AB, desenhando à escala a respectiva secção corrente de betão armado.
35. Considere o pilar indicado na figura incluindo numa estrutura classificada de nós moveis. Da
análise estrutural obtiveram-se os seguintes esforços:
Dados:
Carga permanente: N=1600kN Sobrecarga: Nq=600kN
Sismo: NE=200kN ME=400kNm
Admitindo vigas com b=30cm e h=50cm, pilares com b=40cm e h=60cm e adoptando como materiais B25 e A500NR, dimensione o pilar.
36. O edifício representado destina-se a uma utilização como habitação, possuindo uma cave
enterrada, um R/C, 3 pisos elevados e um terraço. Os pavimentos são constituídos por lajes aligeiradas de vigotas com 0.28m de espessura. O núcleo de rigidez associado às caixas de escadas e de elevadores é constituído por paredes de betão armado com 0.25m de espessura. A
estrutura do edifício inclui ainda pilares com secção 0.25x0.25m2 e vigas com secção 0.25x0.55m2,
assinalados na planta. A fundação assegura encastramento a todos os elementos nela apoiados.
Dados: B30, A500, cnom = 2.5cm.
Cada pavimento encontra-se submetido às seguintes acções (valores característicos):
Permanente (R/C e pisos): 9.0kN/m2 (p.p. laje + rev. + div. + paredes fachada + pilares +
vigas)
Permanente (Terraço): 5.0kN/m2 (p.p. da laje + rev.)
Sobrecarga (R/C e pisos): 2.0kN/m2 (y0 = 0.4)
Sobrecarga (Terraço): 1.0kN/m2 (Ψ0 = 0.0)
Pretende-se analisar o troço P1 do pilar P para o fenómeno da encurvadura local nas direcções X e Y (acção de base sobrecarga).
Considere nulos os momentos de 1ª ordem em P1, isto é, M0Edx = M0Edy = 0.
a) Avalie o esforço axial de cálculo NEd actuante em P1. Determine o comprimento de
encurvadura de P1 na direcção X considerando o pilar articulado ao nível do Piso 1. Idem
para a direcção Y.
b) Estando P1 armado com 4Ø20 determine os esforços finais (com encurvadura) para
dimensionamento deste troço de pilar. Verifique a segurança do pilar.
37. O edifício industrial cuja planta se encontra representada, de um único piso, está contraventado
nas direcções X e Y. Os efeitos de 2ª ordem no pilar P1, em que se pretende estudar o fenómeno da encurvadura, são desprezáveis na direcção X, mas têm de ser considerados na direcção Y. As fundações de P1 e P2 não asseguram transmissão de momentos flectores, sendo o pórtico P1-P2
solicitado por uma carga de cálculo uniformemente distribuída pEd=60kN/m aplicada na viga, e
por duas forças concentradas de cálculo FEd=990kN aplicadas nos nós (ver figura). O diagrama de
momentos flectores de cálculo de 1ª ordem M0Ed,x do pórtico P1-P2 encontra-se representado na
figura (admita M0Ed,y = 0); o esforço axial de cálculo em P1 vale NEd = 1200kN. Dados: C20/25,
a) Determine a esbelteza do pilar P1 segundo a direcção Y. Identifique, justificando, a
localização da correspondente secção crítica de encurvadura.
b) Considerando que na direcção Y o efeito das imperfeições geométricas na secção crítica
de encurvadura de P1 pode ser representado por uma excentricidade de 0.01m, determine
os esforços finais para o dimensionamento do pilar P1. Justifique.
c) Dimensione a armadura a dispor no pilar P1 (A’/A=1.0). Desenhe a secção final à escala
1/10, assinalando todas as armaduras necessárias.
Nota: se não tiver resolvido as alíneas anteriores dimensione o pilar atendendo apenas
aos esforços de 1ª ordem.
38. Na Figura está representado um painel publicitário que é suportado por um pilar de betão
armado com dimensões de 0.30×0.40m2. Considere que o pilar está perfeitamente encastrado na
sua base e suponha que o peso do painel é de 16 kN. Este painel tem uma configuração standard de modo a poder ser colocado em várias zonas do país e tem dimensões de 2.0×2.0m2. Considere
um coeficiente de força para a acção do vento igual a 2.0. (Caso não consiga determinar o valor da acção do vento, considere que esta é igual a 2.0 kN/m2).
Os materiais utilizados são B30 e A400, podendo-se considerar um ambiente moderadamente agressivo.
a) Identifique qual a secção que condicionará o dimensionamento e quantifique os esforços
necessários para realizar a verificação de segurança em estados limites últimos, tendo em conta apenas efeitos de 1ª ordem.
b) Determine o comprimento efectivo de encurvadura e a esbelteza do pilar nas duas direcções. c) Verifique se é necessário proceder à verificação de segurança à encurvadura numa e noutra
direcção e quantifique as excentricidades adicionais a considerar.
d) Dimensione as armaduras (constantes ao longo da altura do pilar) necessárias e represente-as
convenientemente, desprezando o efeito de torção.
e) Verifique a adequabilidade das dimensões de secção do pilar, caso o efeito de torção fosse
39. Para suportar o equipamento de iluminação de um passeio junto ao mar e de uma praça
adjacente, vai ser utilizado um pilar de betão armado de 0,45×0,5m2. As acções a que o pilar se
encontrará sujeito serão a do peso próprio do equipamento de iluminação (14 kN), que actua com uma excentricidade de 20cm na direcção xx, e a acção do vento. Um estudo aerodinâmico do equipamento indica que, para a zona em que vai ser instalado, a acção do vento é desprezável excepto na situação em que actua com uma direcção inclinada 45º em relação à direcção da excentricidade, traduzindo-se neste caso por uma carga pontual de 2,83 kN. O processo construtivo utilizado implica um encastramento perfeito da base do pilar, conferido pela sapata. Admita que os materiais utilizados são o aço A400 e o betão B25. Posto isto:
a) Identifique a secção crítica do pilar para o dimensionamento, e quantifique os esforços de 1ª
ordem a considerar na verificação da segurança em estados limites últimos.
b) Avalie se é necessário verificar a segurança em relação à encurvadura, e calcule, se for caso
disso, as excentricidades adicionais a considerar.
c) Dimensione a armadura longitudinal de que este pilar necessita para resistir às solicitações a
que se encontra sujeito, constante em toda a sua altura. Considere que o ambiente é muito agressivo.
d) Sem efectuar quaisquer cálculos, avalie as possíveis implicações de adoptar um equipamento
de iluminação ligeiramente mais barato, que no entanto é 20% mais pesado do que o inicialmente escolhido.
40. A figura representa a planta e um corte da estrutura de suporte de um reservatório de água,
realizada por uma grelha de quatro vigas com a secção de 0.30x0.60, apoiada em quarto pilares de secção quadrada 0.30x0.30. As sapatas dos pilares proporcionam um encastramento que se pode considerar perfeito. Materiais: B30; A400.Os esforços de 1ª ordem relativos à combinação de
acções que se considera condicionante para o dimensionamento do pilar P estão representados na figura.
a) Qualifique a mobilidade da estrutura nas direcções OX e OY. Esboce as deformadas de 2ª
ordem do pilar P, identificando as respectivas secções críticas;
b) Quantifique a esbelteza do pilar nas duas direcções
c) Quantifique os esforços de dimensionamento do pilar, supondo a secção constante ao longo
de todo o seu comprimento
d) Dimensione as armaduras e represente a secção transversal do pilar a escala conveniente.
41. A estrutura representada na Figura 2 é constituída por uma grelha de vigas com 0.35×0.70m2 de
secção transversal e servirá de apoio a equipamentos mecânicos. Os pilares estão ligados a sapatas de fundação que lhes conferem um grau de encastramento parcial.
A secção do topo do pilar P1 está sujeita aos seguintes esforços de 1ª ordem: Nsd=100kN;Msd,x=60kNm; Msd,y=80kNm.
Nsg=60kN;Msg,x=30kNm; Msg,y=45kNm.
Os materiais utilizados são betão B30 e aço A400NR. O ambiente é moderadamente agressivo.
a) Quantifique o comprimento efectivo de encurvadura e a esbelteza do pilar P1 nas duas
direcções, admitindo que a estrutura é de nós móveis em ambas as direcções.
b) Verifique se é necessário proceder à verificação de segurança à encurvadura numa e noutra
direcção e quantifique as excentricidades adicionais a considerar.
c) Dimensione as armaduras (constantes ao longo da altura do pilar) necessárias e represente-as
42. Na figura abaixo representa-se, em alçado, a estrutura de um depósito de água, a ser construído
recorrendo ao betão B20 e ao aço A235NR. Admita os seguintes dados: Dimensões: vigas 0,2×0,3m2
pilares 0,2×0,5m2;
Nk(Pilar P1)=2600kN;
Nk(Pilar P2)=1350kN (peso próprio+sobrecarga)
a) Tendo em conta a planta estrutural representada na figura 2: a. Classifique a estrutura quanto à sua mobilidade.
b. Admitindo que a secção crítica do pilar P1 se encontra ao
nível da fundação, e que esta lhe confere encastramento perfeito, indique os esforços de cálculo a considerar no dimensionamento do pilar em estados limites últimos.
c. Dimensione e desenhe em esquema devidamente cotado todas as armaduras a
considerar no pilar P1.
Admitindo agora que se pretendeu ampliar a capacidade do reservatório, e tendo em conta a nova planta estrutural representada na figura abaixo, determine a nova esbelteza do pilar P1. Com a
43. Considere uma viga simplesmente apoiada com um vão de 4,0metros e secção transversal
0.40x0.20m2, constituída por betão B20 e Aço A235 em um ambiente moderadamente agressivo,
solicitada por uma acção permanente (g=16,7kN/m) e variável (q=8,3kN/m). A segurança aos ELU é garantida com nas seguintes condições:
Armadura longitudinal: tracção (4Ø20), Compressão (2Ø12) Armadura transversal: 2RØ8@15
Verifique a segurança aos estados limites de utilização – abertura de fendas.
44. Considere a estrutura representada na figura seguinte.
Materiais:
Betao B30 Aco A400NR
Recobrimento: 2.5cm Ac,tirante: 0.25×0.25m2
a) Verifique o estado limite último de resistência no tirante.
b) Calcule a abertura característica de fendas no tirante para uma combinação frequente de
acções.
45. Considere a viga indicada na figura. Os apoios permitem rotação de flexão mas impedem a
rotação de torção. A viga está sujeita à acção do peso próprio e de uma sobrecarga, sendo ambas acções uniformemente distribuídas ao longo da viga.
Dados: B25/A400; Pp=30kN/m; Q=20kN/m γg=1.35 γq=1.5
a) Dimensiona as armaduras de meio vão e dos apoios.
b) Indique qual o comprimento de amarração das armaduras longitudinais junto à face inferior
na secção de apoio.
c) Pormenorize as armaduras na secção a meio vão.
d) Calcule a armadura de torção associada ao esforço transverso e as armaduras totais no apoio. 46. Considere a estrutura da figura seguinte:
Materiais: B30, A400NR Acções: Peso próprio Revestimento = 2,0 kN/m2 Sobrecarga = 3,0 kN/m2 Coeficientes de combinação: Ψ1=0,4; ψ2=0,2 Espessura da laje: 0,15m
a) Faça a verificação da segurança ao estado limite de abertura de fendas na secção S1.
47. Dimensione ao estado limite de largura de fendas um tirante de betão armado (B25, A400NR)
com 4 metros de comprimento e secção de (0.25x0.25) m2, destinado a receber os seguintes
esforços axiais característicos: NG=200kN (acções permanentes)
NQ=140kN (sobrecarga; Ψ1=0.6)
A estrutura encontra-se em meio moderadamente agressivo (wmax=0.2mm – combinações
frequentes de acções).
Materiais:
Betao B25/Aco A400NR
Ambiente moderadamente agressivo
a) Calcule o momento de fissuração.
b) Verifique o estado limite de abertura de fendas.
49. A figura representa uma viga solicitada por cargas uniformemente distribuídas aplicadas em toda
a sua extensão. A viga foi realizada com os materiais B30 e A500, encontrando-se submetida a um ambiente pouco agressivo.
Acções: gk = 30 kN/m; qk = 40 kN/m (ψ1=0,7; ψ2=0,5).
Armadura superior: 5Ø16. Armadura inferior: 3Ø25+2Ø20.
Defina qual a condição para que uma secção se considere fendilhada nas condições de serviço:
a) De acordo com a definição anterior determine as zonas da viga que se encontram
fendilhadas (fendilhação na face superior e/ou inferior).
b) Indique quais as combinações de acções a utilizar para a verificação do estado limite de
fendilhação.
c) Para as secções críticas calcule as tensões no aço e no betão nas condições da alínea
anterior.
50. Considere uma viga no exterior de um edifício, simplesmente apoiada, com um vão de 7,00m e
secção transversal rectangular (0,30x0,70 m2). Esta viga está sujeita a uma carga permanente
uniformemente distribuída gk=16.6 KN/m e uma força concentrada variável aplicada a meio vão
de Qk=100 kN. (Betão B25, Aço A500)
a) Dimensione as armaduras da viga tendo em conta as verificações ao estado limites último
de resistência.
b) Verifique o estado limite de fendilhação calculando a abertura de fendas. c) Verifique o estado limite de fendilhação sem calcular a abertura de fendas.
51. Considere uma viga rasa no interior de um edifício, simplesmente apoiada, com um vão de 4,00m
uniformemente distribuída gk=24,0 KN/m e uma carga variável uniformemente distribuída
qk=8,0 KN/m (ψ2=0,6). (Betão C25/30, Aço A500).
a) Dimensione as armaduras da viga tendo em conta as verificações ao estado limites
último de resistência utilizando Ø20mm.
b) Verifique o estado limite de fendilhação calculando a abertura de fendas. c) Verifique o estado limite de fendilhação sem calcular a abertura de fendas.
52. Considere uma viga simplesmente apoiada com 6,0m de vão sujeita a uma carga permanente gk
=25 kN/m e a uma sobrecarga qk = 30 kN/m (ψ1=0,6; ψ2=0,2). Betão B25, aço A400, φ =2,5.
a) Dimensione a viga em Estado Limite Último admitindo que tem uma largura de 0,25
m e que não utiliza armadura de compressão.
b) Verifique o Estado Limite de Deformação sem calcular a flecha. 53. Uma viga em consola com 2.0m de vão, perfeitamente encastrada num
elemento vertical, servirá de apoio a uma laje e a uma parede de alvenaria na sua extremidade. A sua secção transversal, constante, está representada na figura.
Acções a considerar:
Permanentes: gk=20kN/m, Gk=30kN (na extremidade)
Variáveis: qk=10kN/m (ψ1=0,4, ψ2=0,2).
Materiais B25, A400
a) Indique qual a combinação de acções a utilizar para verificar o Estado Limite de
Deformação e de largura de fendas.
b) Para as condições da alínea anterior calcule a flecha máxima.
54. Verifique a segurança em relação ao estado limite de utilização - abertura de fendas, da secção
representada na figura.
Dados:
Msd=150kNM, Mfreq=100kNm
d=0,56m, Øest=6mm
Materiais:
Betão B25/ Aço A400NR
Ambiente moderadamente agressivo
55. Considere uma viga simplesmente apoiada com 6.5metros de vão e secção transversal
0.35x0.65m2, constituída por B25 e A500 em um ambiente pouco agressivo.
Dados a considerar:
Acção variável: q= 25kN/m (Ψ1=0.6, Ψ2=0.5)
Armadura longitudinal de tracção: 3Ø25 Armadura transversal: 2RØ8@20
Recobrimento: 30mm
a) Calcule o momento de fissuração.
b) Verifique o estado limite para a abertura de fendas.
56. A Figura 1 representa uma viga simplesmente apoiada nas duas extremidades, estando nestas
impedida a rotação em torno do seu eixo longitudinal. Sobre esta viga descarrega uma laje, conforme exemplifica a secção transversal representada na figura 1.b), e está solicitada apenas por cargas permanentes gk = 11.5 kN/m2 e pela sobrecarga qk = 1.8 kN/m2 (valores característicos).
Materiais: B25; A400NR; Ambiente: Moderadamente agressivo.
a) Identifique os casos de carga a considerar no dimensionamento da viga, e refira a importância
de cada um deles.
b) Para o caso de carga em que a sobrecarga produz efeito favorável, desenhe o diagrama de
momentos torsores.
c) Determine o valor de todos os esforços de dimensionamento a considerar na secção critica da
viga (V, M, T).
d) Dimensione e desenhe em secção transversal todas as armaduras necessárias à verificação dos
Estados Limites Últimos em termos de resistência, admitindo que na secção crítica de dimensionamento actua a seguinte combinação de esforços:
Vsd = 200kN ; Msd = 300 kNm ; Tsd = 10 kN.m
57. Considere a consola indicada composta por 2 tramos rectilíneos e sujeita a uma carga concentrada
na extremidade de valor Psd = 50 kN.
Materiais: B40 e A400 NR. Ambiente moderadamente agressivo. Despreze o peso próprio da viga nos cálculos.
a) Apresente os diagramas de esforços no tramo 1 e tramo 2 da consola.
b) Admitindo que a consola tem secção constante, pré-dimensione a sua secção transversal. c) Para uma secção transversal de 0.40 × 0.60m2, determine as armaduras na secção de
encastramento e represente-as num desenho devidamente cotado.
d) Discuta como procederia ao dimensionamento completo do tramo 1 da consola.
58. Considere a estrutura contínua plana de betão armado representada na figura, submetida às
acções actuantes de cálculo aí indicadas. A ligação pilar-sapata não assegura qualquer transmissão de momentos.
Os materiais a usar são o betão B25 e o aço A400. O meio é pouco agressivo.
a) Obtenha os diagramas de esforços actuantes de cálculo da estrutura (VSd e MSd) em Estado
Limite Último.
b) Dimensione as armaduras principais de flexão da viga e da consola. Represente em alçado a
sua disposição e esquematize eventuais dispensas que poderá efectuar.
c) Proceda ao estudo da dispensa da armadura inferior, interrompendo os varões que achar
adequado.
d) Efectue o dimensionamento da armadura de esforço transverso da consola.
e) Represente, através de dois cortes transversais (vão e consola) devidamente cotados, as
59. A viga representada repete-se a cada 7.0m, recebendo uma laje maciça de betão armado com
0.20m de espessura. A laje está solicitada pelo seu peso próprio, pelos revestimentos (1.5kN/m2),pelo peso de divisórias (tijolo furado leve, com 0.10m de espessura, incluindo reboco
em ambas as faces, pé-direito de 3.0m) e pela sobrecarga qk relativa a uma utilização como
restaurante. A força concentrada Qk=60kN (Ψ0=0.4, Ψ1=0.3, Ψ2=0.2) corresponde a uma acção de
natureza variável, independente de qk.
a) Determine os valores característicos das acções uniformemente distribuídas transmitidas pela
laje à viga.
b) Desenhe as envolventes dos diagramas dos esforços de cálculo Msd e Vsd correspondentes ao
estado limite último de resistência da viga (combinações fundamentais).
c) Represente o diagrama de momentos flectores que conduzirá à máxima flecha no vão central,
na combinação quase permanente de acções. Idem para a flecha na consola direita.
60. A viga representada, de secção 0.60x0.80m2 e ligada com continuidade a dois pilares, recebe a
meio vão uma força concentrada com valor de cálculo FEd=1.0MN, excêntrica de 0.50m em relação
ao eixo da viga. Pode adoptar-se o modelo de cálculo indicado e desprezar-se o peso próprio da viga. Dados: B35, A500, cnom=30mm.
b) Dimensione as armaduras longitudinais e transversais a dispor na viga, tendo em linha de
conta a segurança face aos estados limites últimos de resistência e todas as disposições construtivas aplicáveis.
c) Represente as referidas armaduras num corte longitudinal e num corte transversal,
desenhados à escala 1/20.
61. A viga AD representada, apoiada em B e D sem continuidade com os pilares, recebe em A e C
cargas concentradas com os valores característicos a seguir indicados:
(i) em A pode actuar exclusivamente a acção variável Qk1=60kN (ψ0=0.7);
(ii) em C uma viga secundária introduz uma acção permanente Gk=70kN e pode fazer
actuar a acção variável Qk2 = 40kN (ψ0=0.5).
O peso próprio da viga AD já está simplificadamente incluído no valor da carga permanente Gk;
as acções Qk1 e Qk2 são independentes. Na figura representam-se também os diagramas de cálculo
MEd, tendo em vista o dimensionamento das armaduras longitudinais da viga. Materiais: C25/30,
A400.
b) Em esquemas estruturais represente as cargas concentradas (com os correspondentes
coeficientes parciais de segurança) que conduzem às combinações 1 e 2 assinaladas nos diagramas de cálculo MEd (não é necessário desenhar diagramas de momentos flectores).
c) Para a viga AD trace o diagrama de momentos flectores envolvente de cálculo resultante
desta translação.
d) Dimensione uma solução de armaduras longitudinais inferiores para o vão BD da viga
para 50%. Desenhe à escala a solução final de armaduras inferiores para este vão BD, cotando devidamente as correspondentes interrupções.
e) Calcule o comprimento de amarração estritamente necessário para a armadura inferior no
apoio D. Demonstre que é possível realizar esta amarração sem recurso a dobragem de varões.
62. A viga simplesmente apoiada da figura, de 6m de vão e secção transversal em T, recebe uma
carga uniformemente distribuída com o valor de cálculo psd=90kN/m (peso próprio incluído).
Dados: B20, A500, c=25mm.
a) Dimensione a armadura longitudinal da viga, supondo-a constante em todo o vão. b) Dimensione uma solução de estribos verticais para fazer face aos esforços transversos.
c) Represente num corte longitudinal e num corte transversal, devidamente cotados, a solução
final de armaduras longitudinais e estribos verticais.
63. Considere a viga simplesmente apoiada em consola abaixo representada.
a) Desprezando a contribuição da armadura comprimida e do banzo em betão, determine o
valor de cálculo do momento resistente nas secções:
B, com base no método do diagrama rectangular e,
C, com base no processo de tabelas.
b) Para MRd=105.5kNm na secção C e uma carga permanente de 18,0kN/m, que inclui o peso
próprio, determine qual a sobrecarga máxima uniformemente distribuída que a consola pode suportar em segurança.
Materiais: B30/A500NR. Recobrimento: c=2.5cm Ambiente: pouco agressivo.
6.0m 2.0m
A C
Problemas de testes e exames de anos anteriores
64. Considere o pilar P representado, com 4.0m de altura e secção transversal de 0.40x0.60m2,
encastrado na sapata de fundação, pertencente a um pórtico de um edifício industrial.
O pórtico está contraventado na direcção Y, e nesta direcção os efeitos de 2ª ordem no pilar P podem ser ignorados. Na direcção X o pilar é não contraventado.
Materiais: Betão B30 Aço A500 Acções: FGk=340kN (centrada no eixo de P) FQk = 495kN (com excentricidade de
0.50m em relação ao eixo de P, medida segundo X)
Ambiente Muito agressivo
a) Classifique a estrutura quanto à mobilidade segundo as direcções X e Y. Justifique. b) Verifique a necessidade de verificação à encurvadura do pilar.
c) Dimensione e desenhe, em secção transversal e longitudinal, a armadura necessária.
Considere, se necessários os efeitos de 2ª ordem.
65. Observe a figura abaixo que representa um sistema estrutural constituído por elementos lineares
que deve garantir resistência aos estados Limites últimos.
Dados a considerar:
Cargas permanentes, g = 20 KN/m Sobrecarga, q = 12 KN/m (ψ0 = 0.7)
Betão B20, Aço A400 NR Ac=0.25x0.65m2
Ambiente pouco agressivo
Despreze o peso próprio da estrutura g e q actuam em simultâneo.
a) Considere a esquematização da figura abaixo que representa a solução estrutural para o vão
AB da estrutura em que se pretende que avalie a sua capacidade resistente aos esforços diferentes esforços a que está sujeita.
6.0m A B g 3.0m C q
66. Na figura representa-se um pilar de um edifício industrial, sujeita às acções da cobertura, do
vento e de uma ponte rolante.
Dados a considerar:
Cargas permanentes, Gk = 750 KN
Sobrecargas, Qk1 = 75 KN (ψ0 = 0.2; ψ1 = ψ2 = 0)
Qk2=50kN (ψ0 = 0.8; ψ1 = 0.7; ψ2 = 0.6)
Acção do vento wk = 15kN/m (Ψo=0.4, Ψ1=0.2, Ψ2=0)
Betão B30, Aço A400 NR Ambiente pouco agressivo
Tendo em vista a segurança aos ELU de resistência, determine as armaduras longitudinais e transversais a dispor e proceda à sua pormenorização. Faça todas verificações necessárias. Despreze os efeitos de encurvadura.
67. Verifique a segurança ao estado limite último da viga indicada na figura dimensionando e
pormenorizando as armaduras necessárias.
Materiais: Betão 30 Aço: A400; Recobrimento = 2.5cm Acções: Peso Proprio
Restantes cargas permanentes, gk = 20 KN/m
Sobrecarga, Q = 75 KN (ψ0 = 0.7)
68. A figura representa a planta e um corte da estrutura de suporte de um reservatório de água, que
será realizada em betão armado da classe B30 e aço A400 na zona do Zimpeto por uma grelha de
2Ø12 5Ø16 2RØ8@15 2.0m 2RØ6@20 3.0m 0. 6 0 0.30
As sapatas dos pilares proporcionam um encastramento que se pode considerar perfeito. Os esforços de 1ª ordem relativos à combinação de acções que se considera condicionante para o dimensionamento do pilar P são os seguintes:
Extremidade superior: Msd,y= +40kNm Msd,x= 0kNm Nsd=650kN
Extremidade Inferior: Msd,y= -30kNm Msd,x= 0kNm Nsd=650kN
a) Qualifique a mobilidade da estrutura nas direcções OX e OY. b) Quantifique a esbelteza do pilar nas duas direcções.
c) Quantifique os esforços de dimensionamento do pilar, supondo a secção constante ao longo
de todo o seu comprimento.
d) Dimensione as armaduras e represente-as em secção transversal e longitudinal do pilar. e) Justifique a necessidade de Verificação do Estado Limite Últimode Encurvadura. Indique, por
que razão, é possível, em alguns casos, dispensar esta verificação em pilares.
f) “O dimensionamento de um pilar pode ser efectuado a partir da envolvente dos esforços que
nele actuam”. Comente a afirmação.
g) “A estrutura de um edifício corrente, que não possua paredes ou núcleos resistentes em betão
armado, é sempre de nós móveis”. Comente esta afirmação.
69. Verifique a segurança ao estado limite último da viga indicada na figura dimensionando e
pormenorizando as armaduras necessárias.
Materiais:
Betão B30 Aço A400
Recobrimento = 2.5cm Acções:
Restantes cargas permanentes, gk = 20 KN/m
Sobrecarga, Q = 75 KN (ψ0 = 0.7)
70. Considere a estrutura representada na figura que constitui um dos elementos de suporte de uma
pala de um estádio de futebol. As sapatas dos pilares proporcionam um encastramento que se pode considerar perfeito. A estrutura será em betão armado e está sujeita às acções indicadas.
Materiais:
Betão B30 Aço A400NR
Acções:
Peso próprio da viga
Restantes cargas permanentes, 6kN/m Sobrecargas,
q=12kN/m (ψ0=0.6; ψ1=0.4; ψ2=0.3)
Q1=300kN (ψ0=0.8; ψ1=0.7; ψ2=0.6)
Vento, wk=15kN/m (Ψo=0.4, Ψ1=0.2, Ψ2=0)
Ambiente Muito agressivo
a) Classifique a estrutura quanto à mobilidade. Justifique.
b) Admitindo que a estrutura é de nós móveis em ambas as direcções, verifique a necessidade de
verificação à encurvadura do pilar.
c) Quantifique os esforços de dimensionamento do pilar, supondo a secção constante ao longo
de todo o seu comprimento.
d) Dimensione e desenhe, em secção transversal e longitudinal, a armadura transversal e
longitudinal a colocar no elemento vertical, em esquema devidamente cotado. As armaduras estarão em cedência? Justifique.
e) Justifique a necessidade de Verificação do Estado Limite Último de Encurvadura. Indique,
por que razão, é possível, em alguns casos, dispensar esta verificação em pilares.
71. Observe a figura abaixo que representa o sistema estrutural de apoio a uma laje de betão armado
com 0,20m de espessura a ser construída na Cidade de Maputo, Bairro Triunfo. A estrutura apresentada é constituída por elementos lineares e deve garantir resistência para uma largura de influência de 5,0m.
Para além do seu peso próprio, a laje está solicitada pelos revestimentos (1,5kN/m2) e pela
sobrecarga relativa a uma utilização como café.
Pré-dimensione as secções e dimensione os elementos que compõem a estrutura tendo em vista a verificação da segurança aos estados limites últimos de resistência. Para a determinação da solução utilize, alternativamente, os seguintes métodos: tabelas e processos analíticos.
Os materiais para a construção da estrutura são definidos pelos resultados dos ensaios apresentados na tabela.
i 1 2 3 4 5
Valor da Tensão de Cedência do Aço [MPa] 415 348 370 360 512 Valor da tensão de rotura do betão [MPa] 32.2 33.7 30 21.7 28.9
Para a solução obtida na consola CD, avalie a capacidade resistente e modifique a armadura de modo a suportar um momento flector Msd=650kNm. Utilize o método de fórmulas
simplificadas.
72. Considere a estrutura representada na figura que constitui um dos elementos de suporte de uma
pala de um estádio de futebol. A estrutura será em betão armado e está sujeita às acções indicadas.
Materiais: Betão B30; Aço A400NR Acções: Peso próprio da viga
Restantes cargas permanentes, 6kN/m Sobrecargas,
Q=12kN/m (ψ0=0.6; ψ1=0.4; ψ2=0.3)
Q1=300kN (ψ0=0.8; ψ1=0.7; ψ2=0.6)
Ambiente Muito agressivo
Despreze os efeitos de encurvadura
a) Considere o corte A-A’ que representa a secção transversal da viga CD. Verifique a sua
resistência última, dimensionando, pelas equações de equilíbrio, as armaduras longitudinais e transversais a dispor. As armaduras estarão em cedência? Justifique.
b) Para o pilar BC, dimensione uma secção rectangular, que permita garantir segurança ao ELU
de resistência. Considere, por razões arquitectónicas a sua largura igual a 0,30m. Calcule as tensões e extensões extremas nas armaduras e no betão.
c) Apresente os desenhos de execução da estrutura (alçados, cortes, varões perfeitamente
identificados e cotados).
73. Observe a figura abaixo que representa o sistema estrutural de apoio a uma laje de betão armado
com 0,20m de espessura na qual, se pretende garantir a segurança aos estados limites últimos de resistência aos esforços normais e de flexão. A estrutura apresentada é constituída por elementos lineares e deve garantir resistência para uma largura de influência de 5,0m. Para além do seu peso próprio, a laje está solicitada pelos revestimentos (1,5kN/m2) e pela respectiva sobrecarga.
Dados adicionais a considerar:
Materiais: B20/A400NR
Ambiente Muito agressivo Despreze o peso próprio da viga
a) Determine pelo método de fórmulas simplificadas a sobrecarga
correspondente à solução estrutural indicada na figura (vão AC da viga ACD) e avalie a sua capacidade de carga atendendo que, se pretende alterar a sua utilização associando-a a uma nova sobrecarga de 6,0kN/m2.
b) Para a consola CD da viga ACD, considerando os dados da alínea
anterior (secção transversal e sobrecarga determinada),
dimensione pelo método analítico e pormenorize as armaduras longitudinais necessárias a dispor.
c) Para o elemento BC, dimensione e pormenorize as armaduras longitudinais e transversais
necessárias a dispor. Considere: Nsgk=-197kN; Nsqk1=-121,2kN ((Ψo=0.6; Ψ1=0.4; Ψ2=0.2);
Nsqk2=115,2kN ((Ψo=0.6; Ψ1=0.3; Ψ2=0.2).
74. Considere uma laje que serve de parque de estacionamento adjacente ao terraço de um edifício
comercial na zona baixa da Cidade de Maputo. A laje é apoiada num conjunto de vigas apoiadas numa parede resistente, conforme a esquematização da figura.
A armadura longitudinal é constituída, na alma, por 2Ø25+3Ø20 (dispostos numa só camada) e por 2Ø12, no banzo; a armadura transversal é constituída por estribos de 2 ramos, na alma, de 8mm de diâmetro, no banzo, de 6mm de diâmetro.
As cargas actuantes são: gk = 20,0kN/m (restantes cargas permanentes inc. peso próprio),
0.75
Materiais:
Betão: B30 Aço A400NR
Despreze o peso próprio da viga
Tendo em vista a segurança aos estados limites últimos, pretende-se que faça a análise da viga, face às questões a seguir:
a) Comente a adequabilidade da armadura definida acima admitindo apenas a resistência da
peça aos esforços de flexão e transversos.
b) Dimensione e desenhe, em secção transversal e longitudinal, a armadura necessária para que
a peça resista aos esforços a que está sujeita. Faça todas as verificações necessárias.
75. A figura ilustra o corte da planta de uma oficina Auto que se pretende erguer na zona da
Machava. Para a montagem e desmontagem de motores dos veículos no seu interior, dispõe-se de uma viga de betão armado apoiada em pequenas consolas (conforme a figura) compostas por guinchos que penduram a carga e, por sistemas mecânicos a transportam para o pavimento. A capacidade máxima do guincho é de 250kg.
Para além das acções da viga de betão armado e seu devido peso, o pilar do edifício está sujeita às seguintes acções características: carga permanente G=750kN, sobrecarga Q=75 KN (ψ0=0.2;
ψ1=ψ2=0).
Dados adicionais a considerar:
Peso próprio Sobrecarga: qk=12kN/m (ψ0=0.7; ψ1=0.6; ψ2=0.4) Vento: wk=15kN/m (Ψo=0.4; Ψ1=0.2; Ψ2=0) Materiais Betão: B25 Aço: A400NR
Ambiente: Moderadamente agressivo
a) Determine os esforços necessários ao dimensionamento das vigas e pilares tendo em vista a
segurança aos Estados Limites últimos de resistência e/ou de encurvadura.
b) Efectue o Pré-dimensionamento das secções a atribuir aos elementos. Considere, os esforços
c) Pelo método que achar conveniente e tendo em conta as soluções das alíneas anteriores,
determine as armaduras longitudinais e transversais necessárias para que seja garantida a segurança aos Estados Limites Últimos. Pormenorize-as em cortes, plantas e/ou alçados que achar conveniente.
d) Para a viga, verifique a segurança ao estado limite de fendilhação (abertura característica de
fendas). Considere a solução estrutural determinada nas alíneas anteriores.
76. A figura abaixo representa a planta e um corte da estrutura de suporte de um reservatório de
água, realizada por uma grelha de quatro vigas apoiadas em um pilar. O reservatório será apoiado sobre uma laje em betão armado com 20cm de espessura terá uma capacidade de 5000 litros. As sapatas dos pilares proporcionam um encastramento que se pode considerar perfeito. Os materiais utilizados são B30 e A400, podendo-se considerar um ambiente moderadamente agressivo e revestimentos (1,0kN/m2). Considere ainda, que o pilar esta sujeito também à acção
da vento wk=8kN/m2 em ambas direcções. Despreze o peso próprio do reservatório.
a) Dimensione uma secção transversal circular necessária para o pilar tendo em vista a
verificação da segurança aos estados limites últimos.
b) Tendo em conta a planta estrutural representada na figura: a. Classifique a estrutura quanto à sua mobilidade.
b. Avalie se é necessário verificar a segurança em relação à encurvadura, e calcule, se for
caso disso, as excentricidades adicionais a considerar.
c. Dimensione a armadura longitudinal e transversal de que este pilar necessita para resistir
às solicitações a que se encontra sujeito. Verifique e desenhe em esquemas devidamente cotados todas as armaduras a considerar.
77. A figura abaixo representa a planta e o corte do piso de um passadiço com 15cm de espessura. A
estrutura de suporte do passadiço é constituída por elementos lineares (vigas e pilares) conforme representado.
a) Dimensione as armaduras longitudinais e transversais necessárias de modo que se verifique a
segurança aos estados limites últimos de resistência na viga V1. Considere: Ambiente pouco
agressivo, Materiais: B25/A400NR.
b) Pormenorize a solução estrutural da viga em cortes longitudinais e transversais definidas na
alínea anterior.
78. A figura abaixo representa a planta e um corte da estrutura de suporte de um reservatório de
água, realizada por uma grelha de quatro vigas apoiadas em um pilar. O reservatório será apoiado sobre uma laje em betão armado com 20cm de espessura terá uma capacidade de 5000 litros. As sapatas dos pilares proporcionam um encastramento que se pode considerar perfeito. Os materiais utilizados são B30 e A400, podendo-se considerar um ambiente moderadamente agressivo e revestimentos (1,0kN/m2). Considere ainda, que o pilar esta sujeito também à acção
da vento wk=8kN/m na direcção x-x. Despreze o peso próprio do reservatório.
a) Dimensione uma secção transversal rectangular necessária para o pilar tendo em vista a
verificação da segurança aos estados limites últimos.
b) Tendo em conta a planta estrutural representada na figura: a. Classifique a estrutura quanto à sua mobilidade.
b. Avalie se é necessário verificar a segurança em relação à encurvadura, e calcule, se for
caso disso, as excentricidades adicionais a considerar.
c. Dimensione a armadura longitudinal e transversal de que este pilar necessita para
resistir às solicitações a que se encontra sujeito. Verifique e desenhe em esquemas devidamente cotados todas as armaduras a considerar.
79. Observe a figura abaixo que representa a planta de piso de um passadiço em betão armado e o
seu respectivo sistema estrutural de apoio. A estrutura (sistema estrutural) é constituída por elementos lineares e deve garantir a segurança aos Estados limites Últimos.
Dados adicionais a considerar
Espessura do passadiço: 0,20m Peso próprio do passadiço Revestimentos: 1,5kN/m2
Sobrecarga de utilização
Armadura transversal no elemento ACD: estribos de 2RØ8//0.15m.
Ambiente moderadamente agressivo Despreze o peso próprio da viga
Materiais
Betão: B30 Aço: A500NR
a) Efectue o pré-dimensionamento das secções transversais a atribuir aos elementos que a
constituem.
b) Para a consola AC do elemento ACD, dimensione e pormenorize as armaduras
longitudinais necessárias a dispor. Use o método analítico.
c) Para o vão CD do elemento ACD e pelo método de tabelas, avalie a sua capacidade de
carga atendendo que se pretende alterar a sua utilização para uma lanchonete. A segurança aos estados limites últimos é garantida nas seguintes condições:
Armadura longitudinal: inferior 2Ø25+1Ø16 e superior 2Ø12;
Armadura transversal: estribos de dois ramos Ø8@20.
d) Para os elementos BC e BD, Proceda ao dimensionamento e pormenorização das
armaduras longitudinais e transversais necessárias. Efectue todas as verificações necessárias.
80. Pretende-se construir um piso em betão armado para uma lanchonete com o esquema estrutural
de apoio representado segundo ilustra a figura abaixo. O referido sistema estrutural é constituído por elementos lineares e deve garantir a segurança aos Estados limites Últimos para uma largura de influência de 4,0m.
Características da Obra:
Local: Matola Rio
Material: Betão B30 e Aço A400 Revestimentos: 1,0kN/m2
Espessura do piso: 0,18m
Armadura transversal no elemento ACD: estribos de 2RØ8//0.15m.
Aço: A400NR
Pré-dimensione as secções e dimensione os elementos que compõem a estrutura tendo em vista a verificação da segurança aos estados limites últimos de resistência. Para a determinação da solução utilize, alternativamente, os seguintes métodos: Tabelas, fórmulas simplificadas e processos analíticos.
Para definição do betão a utilizar foram moldados e ensaiados cubos de 15cm de aresta aos 28 dias de idade e tendo-se obtido os seguintes resultados:
i 1 2 3 4 5
Tensão de rotura do betão
(MPa) 32.2 33.7 30.0 21.7 28.9
81. A figura representa a estrutura da cobertura do cais de uma estação ferroviária. A viga ACD
apoia-se num pilar, estando ligada na extremidade D ao tirante DE e prolongado-se na consola AC com 8.5m de vão. Está sujeita a uma acção permanente gk=12kN/m (incluindo o peso
próprio) e à uma sobrecarga qk=20kN/m (ψ0=0.6, ψ1=0.4, ψ2=0,2). Para além das acções
provenientes da cobertura, o pilar está sujeito à acção do vento wk=8kN/m (ψ0=0.4, ψ1=0.2,
Materiais
Betão: B30 Aço: A500NR
Ambiente moderadamente agressivo Despreze os efeitos de encurvadura
a) Considere a esquematização da figura abaixo que representa a solução estrutural para a
viga ACD da estrutura no qual, se pretende que verifique se a distribuição dos estribos ao longo da peça é suficiente para garantir a segurança à rotura. Justifique.
b) Para o pilar, dimensione uma secção rectangular, que permita garantir segurança aos
estados limites últimos. Considere, por razões arquitectónicas uma das dimensões condicionada à largura da viga ACD. Calcule as tensões e extensões extremas nas armaduras e no betão.
82. A figura abaixo representa a planta e um corte da estrutura de suporte de um reservatório de
água, realizada por uma grelha de quatro vigas apoiadas em um pilar. O reservatório será apoiado sobre uma laje em betão armado com 20cm de espessura terá uma capacidade de 2000 litros. As sapatas dos pilares proporcionam um encastramento que se pode considerar perfeito. Os materiais utilizados são B30 e A400, podendo-se considerar um ambiente moderadamente agressivo e revestimentos (1,0kN/m2). Despreze o peso próprio do reservatório.
a) Identifique a secção crítica do pilar para o dimensionamento, e quantifique os esforços de 1ª
ordem a considerar na verificação da segurança em estados limites últimos.
b) Tendo em conta a planta estrutural representada na figura: a. Classifique a estrutura quanto à sua mobilidade.
b. Avalie se é necessário verificar a segurança em relação à encurvadura, e calcule, se for
caso disso, as excentricidades adicionais a considerar.
c. Dimensione a armadura longitudinal e transversal de que este pilar necessita para resistir
às solicitações a que se encontra sujeito. Verifique e desenhe em esquemas devidamente cotados todas as armaduras a considerar.
83. A figura abaixo representa a planta e o corte do piso de um passadiço com 15cm de espessura. A
estrutura de suporte do passadiço é constituída por elementos lineares (vigas e pilares) conforme representado.
a) Dimensione as armaduras longitudinais e transversais necessárias de modo que se verifique a
segurança aos estados limites últimos de resistência na viga. Considere: Ambiente pouco agressivo, Materiais: B25/A400NR.
b) Pormenorize a solução estrutural da viga em cortes longitudinais e transversais definidas na
alínea anterior.
84. A figura abaixo representa um pórtico que se pretende construir em betão armado (B25/A400) na
zona da Machava. Este pórtico suportará uma cobertura ordinária que transmite as cargas permanentes CG e variável (sobrecarga) CQ. A viga do pórtico servirá de caminho à uma ponte
Considere:
Acção Permanente: RG = 20 kN; CG = 400 kN
Acção variável: RQ = 60 kN; CQ = 300 kN
a) Determine as dimensões ideais para os diversos elementos que compõem o pórtico.
b) Determine as armaduras a colocar no pórtico de modo a verificar a segurança do pórtico aos
estados limites últimos. Para resolução do problema utilize alternativamente, sempre que possível, os métodos analíticos e simplificados.
c) Elabore desenhos para a execução do pórtico.
85. Observe a figura abaixo que representa um sistema estrutural constituído por elementos lineares
que deve garantir resistência aos Estados Limites Últimos.
Considere:
Carga permanente, g = 25,0 KN/m Sobrecarga, q=18,0KN/m (ψ0=0.7;
ψ1=ψ2 =0.6)
Betão B25/Aço A400 NR
Ambiente moderadamente agressivo
Armadura transversal na viga ABC: estribos de 2R Ø6//0.15m.
a) Determine os esforços necessários ao dimensionamento da estrutura aos esforços axiais e à
flexão. Trace as respectivas envolventes.
b) Considere o elemento CD realizado com uma secção de betão de dimensões 0,3x0,35m2, sendo
armado longitudinalmente com 10Ø12 e transversalmente por intermédio de cintas de Ø6//0,125m, de acordo com as seguintes três possibilidades de disposição das armaduras:
a. Discuta cada uma das soluções (A), (B) ou (C) do ponto de vista da disposição das armaduras longitudinais e transversais, e indique a que considera mais adequada. Justifique.
b. Especifique quais as razões que determinam a necessidade de numa secção os varões longitudinais terem de satisfazer distâncias mínimas entre si à face da secção do betão.
c. Verifique se para a solução considerada em (A) está garantida a segurança do elemento relativamente aos estados limites últimos de resistência.
c) Considere a esquematização da figura abaixo que representa a solução estrutural para o vão
BC da viga ABC da estrutura no qual, se pretende que verifique se as armaduras previstas se encontram bem dimensionadas. Se necessário proceda a correcções que entenda convenientes. Utilize para determinação da solução processos analíticos.
d) Pré-dimensione a secção transversal necessária a dispor no vão AB do elemento ABC e
proceda ao seu respectivo dimensionamento. Por razões arquitectónicas, a base (b) da viga está definida em 30cm, não podendo ser alterada. Pormenorize, em cortes longitudinais e transversais, as armaduras. Para a determinação da solução utilize, opcionalmente, um dos seguintes métodos: tabelas ou fórmulas simplificadas.
86. Considere uma cobertura com 20cm de espessura, suportada por um conjunto de pórticos
espaçados de 3.0 m destinada a esplanada de um café. A configuração de cada pórtico está representada na figura 1, sendo constituídos por uma viga e um pilar, e devem garantir resistência aos Estados Limites Últimos. Os pórticos se desenvolvem segundo a direcção y, tal como representado na figura 2.
Acções: Peso próprio Revestimentos: 1,5kN/m2 Sobrecarga Vento, wk=6,0kN/m2 (ψ0=0.4; ψ1= ψ2 =0,2) Materiais: Betão B30 Aço A500NR Ambiente: Moderadamente agressivo
a) Dimensione as armaduras longitudinais e transversais necessárias a dispor na viga BC de secção
transversal em “T”, representada na figura 1 acima e pormenorize.
b) Considere a esquematização da figura 3 que representa a solução estrutural para a viga BC,
projectada em seccao transversal rectangular. Para a zona de 2,0m junto ao apoio C, determine a capacidade resistente ao esforco transverso. Comente o seu resultado.
c) Para o pilar AB, dimensione as armaduras longitudinais e transversais a dispor e pormenorize-as
devidamente. Considere a largura do pilar condicionado à largura da viga (b=0,40m). Despreze os efeitos de encurvadura. Calcule as tensões e extensões extremas nas armaduras e no betão.
87. Considere uma laje que serve de parque de estacionamento adjacente ao terraço de um edifício
comercial com 20cm de espessura. A laje é apoiada num conjunto de pórticos que devem garantir a resistência para uma largura de influência de 4,0m. A configuração de cada pórtico está representada na figura 1, sendo constituídos por uma viga e pilares.
Acções: Peso próprio Revestimentos: 1,5kN/m2 Sobrecarga Vento, wk=18,0kN/m (ψ0=0.4; ψ1= ψ2 =0,2) Materiais: Betão B30 Aço A500NR Ambiente: Moderadamente agressivo
a) Dimensione as armaduras longitudinais e transversais necessárias a dispor na viga BC de
secção transversal em “T”, representada na figura 1 acima e pormenorize.
b) Tendo em conta a solução da alínea anterior, face ao estado limite ultimo de esforço
transverso, indique a região para a qual se aproveita a capacidade resistente do betão e dimensione se necessário, a armadura a dispor.
c) Dimensione e pormenorize as armaduras longitudinais e transversais, em corte longitudinal e
transversal, do pilar mais desfavorável. Considere a largura do pilar condicionado à largura da viga (b=0,40m). Despreze os efeitos de encurvadura. Calcule as tensões e extensões extremas nas armaduras e no betão.
88. Observe a figura abaixo que representa parte do sistema estrutural de um muro adjacente ao mar.
A estrutura apresentada é constituída por elementos lineares e deve garantir resistência para uma largura de influência de 4,5m.
Pré-dimensione as secções e dimensione os elementos que compõem a estrutura tendo em vista a verificação da segurança aos estados limites últimos de resistência. Para a
