APLICAÇÃO NO ENSINO DE CÁLCULO NUMÉRICO NA ENGENHARIA DE ALIMENTOS: CONTROLE DO CRESCIMENTO MICROBIANO
1. INTRODUÇÃO
Quando nos defrontamos com um problema que não possui solução analítica torna-se imprescindível o uso de métodos numéricos. Esses métodos são empregados de diferentes formas de acordo com a situação e fornecem soluções aproximadas com o uso de cálculos computacionais (CUNHA, 2000).
Com isso pode-se aplicar em: sistemas lineares e não lineares determinação de raízes de equações, interpolação de valores tabelados, etc. O método que será utilizado no presente trabalho é o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) para ajuste polinomial de dados experimentais (MARCOS, 2011). É muito comum o uso de softwares no emprego de cálculos complexos, para a estimativa dos resultados desejados, pelos softwares Scilab, Matlab e do Octave.
Análises microbianas no leite UHT após aberto são de extrema importância para a segurança alimentar dos consumidores (ROSALINO, 2013). Tal informação vem descrita na embalagem, ficando a critério da empresa estabelecer um prazo limite da validade de seu produto, uma vez que cada indústria (é responsável pela qualidade do mesmo).
No presente trabalho buscou-se exemplificar a aplicação do cálculo numérico na engenharia de alimentos com o uso de ajuste exponencial utilizando dados fictícios de uma análise microbiológica no leite UHT após aberto acondicionado em geladeira. Os dados considerados são da Tabela 1.
Tabela 1: Numero de Unidade formadora de colônias por tempo. Tempo
(horas)
0 6 12 36 48
N(UFC/mL) 100 200 400 6400 25600
Fonte: Autores, (2017).
Para aferir o controle do número de bactérias que se desenvolvem no leite UHT a fim de qualificar se o mesmo está próprio para o consumo, será realizada uma modelagem numérica para minimização de erros na contagem visando à saúde dos consumidores.
Em geral, espera-se que neste tipo de trabalho o discente desenvolva competências baseadas nos conteúdos ou conceitos de determinadas disciplinas, como no caso de Cálculo, quais não sejam contempladas de forma isolada, mas sim, que propiciem uma aprendizagem dinâmica e construtiva (FILHO; RIBEIRO, 2009).
2. METODOLOGIA
Para determinar o tempo de consumo do leite após aberto e condicionado em geladeira utilizou-se o método mínimo quadrado por ajuste exponencial a partir de dados de uma análise microbiológica hipotética. Sabe-se que o número de Unidades Formadoras de Colônia (UFC) dos micro-organismos deterioradores do leite
aceitável é menor ou igual a 409.600 UFC/mL. Utilizaram-se os dados da Tabela 1 com os resultados obtidos na análise, para modelar uma equação que estime o número de UFC do leite UHT após um determinado tempo. A Eq. (1) que definem o ajuste exponencial.
axF x e (1)
Linearizou-se a Eq. (1) utilizando a função inversa da exponencial.
lnF x lnlneax (2)
A fim de utilizar o método de ajuste linear, pois temos a equação de uma reta Eq.(3).
ln(F x )axb (3)
Foi utilizado um método computacional e então se fez um algoritmo para resolver a equação, onde se utilizou da equação de Vandermonde que é uma matriz em que os termos de cada linha estão em progressão geométrica (CAMPOS FO, 2001).
Construímos uma matriz 2x2, e então utilizamos a letra “A” para a matriz de Vandermonde, V das variáveis e B os termos independentes. E isso nos resulta na equação matricial dos MMQ onde “n” é o número de variáveis. Portanto teremos:
2 0 0 0 0 0 s in ln ln n n n i i i i i i n n i V Variáveis i iA Matriz dos coeficientes B Termo dependentes
x x x F x a b x n F x
(4)Para resolver esse sistema vamos usas das propriedades de álgebra linear, ou seja, usando a matriz transposta:
T T
A Av A B (5)
Isolando o vetor das incógnitas teremos:
T
1 Tv A A A B (6)
Utilizamos o algoritmo desenvolvido no Scilab para calcular os parâmetros a e b.
3. RESULTADOS e DISCUSSÃO
Cabe salientar que com o algoritmo utilizado obteve-os parâmetros a e b, com base nestes paramentos foi possível obter uma equação que modele o crescimento bacteriano do leite.
100 0,115xF x e (7)
Com esta equação foi possível extrapolar os dados além dos estabelecidos pela tabela 1, podendo analisar o crescimentos microbiano para qualquer tempo em horas que se queira saber o número de UFC/mL no leite. De fato com a equação podemos analisar que em 72 horas o número de unidades formadoras de colônia encontradas no leite foi de 409.599 UFC/Ml.O resultado pode ser obeservado pela Figura 1.
Figura 1. Grafico representando a extrapolação do crescimento microbiano X Tempo.
Fonte: (Autores, 2017)
O programa utilizado para desenvolver o código foi o SciLab, muito utilizado em cálculo numérico e outras disciplinas, o código escrito foi extremamente eficiente pois por meio dele foi possível achar os parâmentros e modelar uma equação para o controle do crescimento microbiano, o código pode ser observado na Figura 2.
Figura 2 - Código escrito em SciLab para obter o ajuste por MMQ Fonte: (Autores, 2017).
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esse tipo de trabalho voltado para o ensino de nos discentes, faz com que saímos das aulas teóricas e então temos a oportunidade de pesquisar sobre um determinado assunto e linkar com outras componentes curriculares. Este trabalho de que corresponde a componente curricular de Cálculo numérico tem com resultado não apenas os que resolvem o problema quais serão mencionados abaixo, mas sim uma aprendizagem significativa nos fez migrar para outras áreas conhecimento, percebe-se o quanto isso se torna importante na vida dos acadêmicos, portanto é uma pratica que deveria ser utilizada em outras componentes para que dessa forma pudermos relacionar os conteúdos trabalhados com a prática.
Sabe-se que a curva de crescimento de microrganismos em alimentos tem uma característica exponencial, por esse motivo decidiu-se a utilização do método de ajuste de curva exponencial, para que haja o menor número de erros, ficando evidente que o método numérico dos mínimos quadrados é muito eficiente para modelar o crescimento microbiano.
Com a aplicação do método numérico foi possível, encontrar parâmetros satisfatórios que foram utilizados para modelar uma equação que demostrasse o crescimento microbiano. Aplicado a equação para o tempo de 72horas referentes há 3 dias foi possível saber que o leite ainda se mantinha em condições de consumo, ficando evidente que o método numérico dos mínimos quadrados é muito eficiente para modelar o crescimento microbiano, o que nos cabe fazer um estudo mais aprofundado para aplicar o método para o controle de crescimento microbiano de outros alimentos.
O cálculo numérico se torna uma componente fundamental para um futuro engenheiro pois através dele é possível obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Na maioria dos problemas de engenharia nos debatemos com
questões que não apresentam soluções extas e por meio dos métodos numéricos e suas ferramentas e aplicações, é possível resolver numericamente o problema, com a aplicação de seminários na componente curricular de cálculo numérico foi possível, buscar a aplicabilidade dos métodos numéricos em diferentes áreas das engenharias despertando o interesse dos futuros engenheiros.
5. REFERÊNCIAS
FILHO, E.; RIBEIRO, L. R. de C. Aprendendo com PBL - aprendizagem baseada em problemas: relato de uma experiência em cursos de engenharia da EESC-USP. Revista Minerva, v. 6, p. 23-30, 2009.
F. F. Campos Fo. Algoritmos Numéricos. LTC Editora, 2001.
M. C. C. Cunha. Métodos Numéricos. 2ª Edição, Editora da Unicamp, 2000. MARCOS. Utilização do Cálculo Numérico na Engenharia. Scraps.blogspot, 2011 Disponível em: <http://engineer-scraps.blogspot.com.br/2011/08/utilizacao-do-calculo-numerico-na.html>. Acesso em: 24 mai.2017
ROSALINO, F. A. Q. S. Trabalho de Conclusão de Curso. Roca.utfpr, 2012
Disponível em: <
http://repositorio.roca.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/755/1/LD_COALM_2012_2_11.pd f>. Acesso em: 30 set.2017.
