1 cm. 1 cm MÓDULO XVIII ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. 2. Área de um quadrado

MÓDULO XVIII

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

1. Definições

Superfície de um polígono ou região poligonal plana é a reunião do polígono com o seu interior.

Mas afinal, o que é área de uma superfície?

Medir uma superfície é compará-la com outra, tomada como unidade. O resultado da comparação é um número positivo, ao qual chamamos de área, aqui indicada por A.

Como não existe instrumento para medir a área de uma superfície, comparamos sua área com a área de uma figura mais simples, como o retângulo ou o quadrado.

Para exemplificar, considere um quadrado cujo lado mede 1cm e cuja área é igual a 1cm2.

1 cm

1 cm

Área do quadrado = 1cm2 ou A = 1cm2 Comparando esse quadrado com a figura

podemos afirmar que: se cada quadrado tem 1cm2 de área e a figura é formada por nove quadrados e meio, então esta superfície mede 9,5 x 1cm2 = 9,5cm2.

Exercício Proposto

EP.01) Um piso de 60m2 será revestido com tábuas de 1,2m2. Quantas tábuas ajustadas adequadamente serão necessárias?

2. Área de um quadrado

Considere novamente um quadrado cujo lado mede 1cm e cuja área é igual a 1cm2 e vamos comparar essa unidade de área com a nova área a ser obtida na figura a seguir:

5 cm

5 cm 1 cm

Como a figura apresenta um quadrado de 5cm de lado e cinco colunas de quadrados unitários, e em cada coluna há cinco deles, esse novo quadrado contém 5 x 5 = 25 quadrados unitários, sendo a área de cada um deles igual a 1cm2.

Logo, a área do quadrado de lado 5cm será: A = 25 x 1cm2 ou A = 52 cm2 ou A = 25 cm2

Assim, sendo a a medida do lado de um quadrado, a sua área A é dada por:

A

= a . a

A = a

Exercício Proposto

EP.02) (VUNESP – SP) O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4km2. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre: a) 200m e 201m b) 220m e 221m c) 401m e 402m d) 632m e 633m e) 802m e 803m a a

3. Área de um retângulo

Ainda considerando o quadrado de lado 1cm e unidade de área 1cm2, vamos calcular a área de um retângulo em que um de seus lados mede 6cm e o outro 4cm.

4 cm

6 cm 1 cm

1 cm

Observe que existem seis colunas e em cada coluna existem quatro quadrados de lado 1cm. Esse retângulo possui 6 x 4 = 24 quadrados de lado unitário e a área do retângulo será igual a:

A = 24 x 1cm2 ou A = 24cm2

Assim, sendo a e b as dimensões de um retângulo, a sua área A é dada por:

A = a . b

Exercício Proposto

EP.03) Querendo comprar um terreno, uma pessoa recortou estes anúncios:

JÓIA TERRENO Só R$ 45 000,00 FONE: 22-1018 TERRENO RARO 20 m x 25 m Só R$ 58 000,00 10 m x 30 m

Pelo que está escrito nos anúncios, vamos considerar que os terrenos são retangulares. Baseado nessas informações:

a) Qual desses dois terrenos tem área maior?

b) Em qual dos anúncios o metro quadrado de terreno está mais barato?

4. Área de um paralelogramo

Vamos obter a área de um paralelogramo de dimensões a e b, comparando com a área de um retângulo.

a

b

Recortando na linha tracejada, retiramos um triângulo retângulo e recolocamos conforme mostra a figura e obtemos um retângulo.

a

b

b

a

A área do paralelogramo será igual a: A = a . b,

igual a área de um retângulo com as mesmas dimensões do paralelogramo.

Assim, sendo a e b as dimensões de um paralelogramo, a sua área é dada por:

A = a . b

Exercício Proposto

EP.04) Uma rampa de acesso ao prédio de um órgão público possui a forma de um paralelogramo conforme a figura abaixo onde as medidas são dadas em metros:

Determine a área ocupada por essa rampa de acesso. Sugestão: determine a altura do paralelogramo utilizando Pitágoras e sen60º =

2 3

para depois determinar a área do paralelogramo. b a b a h 5 8 60º

5. Área de um triângulo em função da altura

Considere um triângulo cuja base mede b e altura mede h:

h

b

A

B

C

Traçamos uma reta por C paralela ao segmento AB e por A uma reta paralela ao segmento BC , até obtermos o ponto de encontro dessas duas retas, indicado por D. Assim obtemos o paralelogramo ABCD:

h

b A

B C

D

Fica fácil perceber que o triângulo possui a metade da área de um paralelogramo com as mesmas dimensões b e h do triângulo.

Assim, sendo b (base) e h (altura) as dimensões de um triângulo, sua área A será dada por:

h

b

h

b

EP.05) (UFSC) A base de um triângulo mede 132m e sua altura, em metros, é h. Se a base for aumentada em 22m e a altura em 55m, obtém-se um novo triângulo cuja área é o dobro da área do primeiro. Determine o valor de h.

6. Área de um triângulo em função dos lados

Sendo a, b e c as medidas dos lados de um triângulo, e considerando 2 c b a p= + + , o semi-perímetro do triângulo, a sua área A será dada por:

h A B C b c a c) b).(p a).(p p.(p A= − − −

Essa fórmula também é chamada de Fórmula de Herão.

Exercício Proposto

EP.06) Uma sala foi projetada no formato de um triângulo cujas medidas dos três lados são 500cm, 600cm e 700cm. Determine a área ocupada por essa sala, em m2.

7. Área de um triângulo eqüilátero em função do lado Sendo x a medida do lado de um triângulo eqüilátero, a sua área A será dada por:

x h 2 A B C x x x H

4

3

A

=

EP.07) Determine a área de um terreno que possua a forma da figura seguinte:

10m

10m 10m

20m

8. Área de um triângulo em função de dois lados e do ângulo compreendido entre eles

Sendo a e b dois lados de um triângulo e θ _{o ângulo} compreendido entre estes dois lados, a sua área A será dada por:

2

a

b

c

EP.08) (PUCCAMP-SP) A seguir, tem-se a representação da planta de um terreno quadrangular. A área, em metros quadrados, desse terreno é igual a:

h₁ 60º 45º h 2 30 m 24 m 40 m 35 m 9. Área do losango

Considere um losango cujas diagonais maior e menor medem D e d, respectivamente.

D

d

A

B

C

D

Traçando retas paralelas às diagonais passando pelos vértices do losango, observe que a área do losango é a metade da área de um retângulo ABCD, conforme se pode perceber na figura acima.

Assim, sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor de um losango, sua área A será dada por:

2 d . D A= Exercício Proposto

EP.09) (PUC-PR) Considere o quadrado e o losango inscrito nesse quadrado. A área da figura sombreada vale: a) 2 b) 16−8 2 c) 16 2 d) 8 2 e) 4 2 10. Área do trapézio

A área de um trapézio pode ser obtida através de dois triângulos.

Considere um trapézio ABCD, em que as bases medem B e b e a altura h. Podemos dividir esse trapézio em dois triângulos, conforme figura abaixo:

A B C D b B h A A 1 2

Lembrando que as áreas dos triângulos A1 e A2 são

dadas por 2 B.h A₁= e 2 b.h A₂= , a área A do trapézio será dada pela soma A1 + A2:

2 1 A A A= +
2 b.h 2 B.h A= +

2 b.h B.h A= +
.h 2 b B A       ₊ =

Assim, sendo B a base maior, b a base menor e h a altura de um trapézio, sua área A será dada por:

.h 2 b B A       + = 2 2 4

Exercício Proposto

EP.10) (INATEL-MG) A figura abaixo é a planta de um salão na escala 1:20. A área real deste salão é igual a: a) 5.600cm2

b) 56m2 c) 72m2 d) 36m2 e) 24m2

11. Área de um hexágono regular

Um hexágono regular possui 6 lados congruentes e é formado por 6 triângulos eqüiláteros, conforme figura abaixo:

R

R

a

_p

b

b

b

b

b

b

• R = raio da circunferência circunscrita ao hexágono regular;

• ap = apótema do hexágono;

Como o hexágono regular é formado por seis triângulos eqüiláteros, então podemos concluir que:

• R = b;

• ap = altura de um triângulo eqüilátero =

2 3 b

;

• Áreahexágono regular = 6 x Áreatriângulo equilátero

Áreahexágono regular = 6 x

4 3 b2

Áreahexágono regular = 3 x

2 3 b2

Assim, sendo b a medida do lado de um hexágono regular, sua área A será dada por:

2 3 b 3. A 2 = Exercício Proposto

EP.11) Determine a área do hexágono regular inscrito na circunferência abaixo, sabendo que o raio da circunferência mede 12cm.

12. Área do círculo

Primeiramente, vejamos a diferença entre circunferência e círculo.

Circunferência é um conjunto de pontos de um plano cuja distância fixa (raio R) a um ponto (centro O) dado desse plano é constante.

R O

De acordo com a definição, circunferência é apenas o contorno da figura acima. O perímetro da circunferência é igual a 2._π.R.

Círculo é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado O desse plano é menor ou igual a uma distância R (não nula) fixa.

O

Conforme a segunda definição, círculo é uma superfície, a reunião do contorno e da região interna na figura acima.

Tanto na circunferência quanto no círculo o diâmetro D é igual a duas vezes o raio, ou seja, D = 2.R.

Assim, sendo R o raio de um círculo, sua área A será dada por:

2 π.R A=

R = 12cm

Exercício Proposto

EP.12) (FAAP-SP) Na campanha eleitoral para as recentes eleições realizadas no país, o candidato de um determinado partido realizou um comício que lotou uma praça circular com 100 metros de raio. Supondo que, em média, havia 5 pessoas/m2, uma estimativa do número de pessoas presentes a esse comício é de, aproximadamente: a) 78.500 b) 100.000 c) 127.000 d) 10.000 e) 157.000

13. Área de um setor circular

O

m R

R

Sendo R o raio de um círculo e

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

um arco da circunferência do mesmo círculo, a área A de um setor circular definido pelos raios e pelo comprimento de arco será dada por:

2

.R

A

=

m

Para se chegar a esse resultado, considere a relação entre as grandezas área e comprimento abaixo:

Área (círculo) Comprimento (circunferência) 2 πR 2πR2 Asetor m

Como temos duas grandezas diretamente proporcionais, obtemos a proporção:

m R 2π A πR2 =
R 2π m πR A 2 =
2 mR A=

Também podemos determinar a área de um setor circular através do ângulo central determinado pelo setor no círculo:

x

R

O

A

B

R

Consideremos a relação entre as duas grandezas ângulo central e área do círculo indicados na figura acima:

Ângulo Área 2B B_R2

x

Como temos duas grandezas diretamente proporcionais, obtemos a proporção:

A πR x 2_π 2 =
2π x πR A 2 =
2 .x R A 2 =

Assim, sendo R o raio do círculo e x um ângulo central, em radianos, determinado por um setor nesse círculo, a área A do setor circular será dada por:

2

.

x

R

A

=

EP.13) (UEL-PR) Na figura abaixo, tem-se um setor circular de área 6π cm2. O comprimento da circunferência, em centímetros, é igual a: a) 12_π b) 11_π c) 10π d) 9π e) 8_π

14. Área de um segmento circular

A área A de um segmento circular é igual à área do setor circular correspondente, subtraído da área do triângulo que tem por base a corda do segmento e cujo vértice é o centro do círculo:

O

B

A

x

R

R

corda =

AB

Exercício Proposto

EP.14) Calcule a área de um segmento circular definido em um círculo de raio 1cm e ângulo central

3 2π _rad.

15. Área da coroa circular

Dadas duas circunferências concêntricas de raios R e r, R > r, a coroa circular é a região de pontos compreendida entre as duas circunferências, conforme a figura a seguir:

R r O

Assim, sendo R e r os raios de duas circunferências concêntricas, a área da coroa circular determinada por essas duas circunferências será dada por:

A = π_.(R2 _{– r}2₎

Para se chegar a esse resultado, considere a determinação da área da coroa circular pela diferença entre as áreas dos dois círculos determinados pelas duas circunferências:

A = ACÍCULO MAIOR – ACÍRCULO MENOR

A = _π.R2 – _π.r2
A = π_.(R2 _{– r}2₎

Exercício Proposto

EP.15) A figura abaixo representa um campo de beisebol:

Sabe-se que: 1. AB = AC = 99m 2. AD = 3m 3. 6 DF HI=

4. O arremessador fica no círculo localizado no centro do quadrado.

Se a área hachurada mede 1.458B _m2

, então a medida, em metros, do raio do círculo onde fica o arremessador é igual a:

Exercícios Complementares

EC.01) Qual a área, em metros quadrados, de um quadrado cujo lado mede 30cm?

EC.02) O chão da varanda de uma casa será coberto de ladrilhos hexagonais. Cada ladrilho tem 300cm2 de área e a varanda é retangular com seis metros de comprimento e três metros de largura. Aproximadamente, quantos ladrilhos serão utilizados para cobrir a varanda?

EC.03) Quantos azulejos quadrados, medindo 15cm de lado, são necessários para revestir uma área retangular que mede 90cm de comprimento por 120cm de largura? EC.04) (UFPR) Qual o valor da área da figura abaixo?

12 5 7 7 a) 95m2. b) 144m2. c) 169m2. d) 119m2. e) 109m2.

EC.05) (UNICAMP - SP) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1:50, as dimensões de uma sala retangular são 10cm e 8cm. Determine, em m2, a área real da sala projetada.

EC.06) (UEL-PR) Dois quadrados com os lados respectivamente paralelos, interceptam-se como mostra a figura a seguir. Se AM = MD, HM = ME e as áreas desses quadrados são 100cm2 e 144cm2, a área do quadrilátero MDNE, em centímetros quadrados, é igual a:

A B C N E M H G F D a) 30 b) 50 c) 60 d) 80 e) 120

EC.07) (MACK-SP) Na figura a seguir, AD//BC. B C D A 8 60º 60º 6 9

Então, a área do quadrilátero ABCD é: a) 24 3

b) 26 3 c) 28 3 d) 30 3 e) 32 3

EC.08) (FAAP-SP) Um pequeno escritório instalado num flat do “Residence” é formado por duas salas quadradas justapostas, conforme a figura a seguir. A figura é uma planta simplificada: A B D C y x _x x

Sabendo-se que as diagonais do retângulo ABCD medem 5

4 m, a área total xy do escritório, em m2, desprezando-se a espessura das paredes, é igual a:

a) 16 b) 32 c) 40 d) 28 e) 36

EC.09) (PUC-MG) A medida da área do quadrilátero ABCD, em unidades de área, é:

-2 -1 4 3 B A D C y x a) 10 b) 12 c) 14 d) 18 e) 24 EC.10) (CESGRANRIO-RJ) A C B

Na figura anterior, vemos uma “malha” composta de 55 retângulos iguais. Em três dos nós da malha são marcados os pontos A, B e C, vértices de um triângulo. Considerando-se a área S de cada retângulo, a área do triângulo ABC pode ser expressa por:

a) 4 S b) 6 S c) 12 S d) 18 S e) 24 S

EC.11) (FUVEST-SP) Dois irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e as seguintes medidas:

AD = 20m AB = 60m BC = 16m

A B C

D E

Para dividir o terreno em duas partes de mesma área eles usaram uma reta perpendicular a AB . Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros, deverá ser:

a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

EC.12) (FUVEST-SP) Os quadrados da figura têm lados medindo 10cm e 20cm, respectivamente. Se C é o centro do quadrado de menor lado, o valor da área hachurada, em cm2, é: C 10 cm a) 25 b) 27 c) 30 d) 35 e) 40

EC.13) (UFRJ) Na figura a seguir, o quadrado ABCD tem lados 6. Q1, Q2, Q3, e Q4 são quadrados de lado x. A

região hachurada tem área igual a 16:

Q1 Q2

Q4 Q3

6

x

Baseado nessas informações, determinar o valor de x.

EC.14) (ENEM) Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade, copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e pesou numa balança de precisão, obtendo 40g. Em seguida, recortou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões reais 100m x 100m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08g.

Planta

Praça de área conhecida

Com esses dados foi possível dizer que a área da cidade, em metros quadrados, é aproximadamente igual a:

a) 800 b) 10.000 c) 320.000 d) 400.000 e) 5.000.000

EC.15) Para ladrilhar uma sala são necessárias exatamente 400 peças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que a área da sala é de 36m2, determine:

a) a área de cada peça, em metros quadrados; b) o perímetro de cada peça, em metros.

EC.16) O TANGRAM é um quebra-cabeça de origem chinesa. È formado por cinco triângulos retângulos isósceles (T1, T2, T3, T4, e T5), um paralelogramo (P) e um

quadrado (Q) que, juntos, formam um quadrado, conforme a figura a seguir. T T T T T Q P 1 2 3 4 5

Em relação às áreas das figuras, é correto afirmar:

a) Se a área de Q é 1, então a área do quadrado maior é 4.

b) A área de T1 é o dobro da área de T3.

c) A área de T4 é igual à área de T5.

d) A área de T5 é um quarto da área do quadrado maior.

e) A área de P é igual a área de Q.

EC.17) Calcule a área de um hexágono regular cujo lado mede 6cm.

EC.18) Calcular a área de um setor circular de raio 4cm e ângulo central igual a

3 π _rad.

EC.19) (CESGRANRIO-RJ) No futebol de salão, a área de meta é delimitada por dois segmentos de reta com comprimentos iguais a 11m e 3m e dois quadrantes de círculos de raio igual a 4m, conforme a figura abaixo. A superfície da área de meta, aproximadamente, é igual a:

a) 25m2 b) 34m2 c) 37m2 d) 41m2 e) 6 m2 11m 4m 3m 4m 3m 4m 4m

EC.20) (UFV-MG) Aumentando-se 1m o raio r de uma circunferência, o comprimento e a área, ambos relacionados a essa circunferência aumentam, respectivamente, em: a) 2π m e 2(r + 1)π m2 b) 2π2 m e (2r + 1)π m2 c) 2_π m e (2r + 1)_π m2 d) 2_π m e (2r2 + 1)_π m2 e) 2π m2 e (r2 + 1)π m2

EC.21) Uma empresa tem o seguinte logotipo:

Se a medida do raio da circunferência inscrita no quadrado é 3cm, a área, em cm2, de toda a região pintada de preto é igual a: a) 4 9_π 9− b) 4 9π 18− c) 2 9_π 18− d) 4 9π 36− e) 2 9_π 36−

EC.22) (UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede a. Um dos arcos está contido na circunferência de centro C e raio a, e o outro é uma semicircunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro a. A área da região hachurada é:

a) Um quarto da área do círculo de raio a. b) Um oitavo da área do círculo de raio a c) O dobro da área do círculo de raio

2 a . d) Igual à área do círculo de raio

2 a . e) A metade da área do quadrado.

GABARITO Exercícios Propostos EP.01) 50 tábuas

EP.02) D

EP.03) a) RARO b) RARO EP.04) 20 3m2 EP.05) 77m EP.06) 6 6 m2 EP.07)

(

)

(

)