CURSO ON LINE MATEMÁTICA FINANCEIRA CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES

(1)

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Aula 04

1 Progressão Geométrica ... 2 1.1 Conceito ... 2 1.2 Cálculo da razão ... 2 1.3 Termo Geral ... 3

1.4 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita ... 3

1.5 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita ... 4

1.6 Exercício Resolvido ... 4

2 Disposição gráfica do montante composto ... 5

3 Descontos Compostos ... 6

3.1 Conceito ... 6

3.2 Desconto Racional (por dentro) Composto ... 7

3.3 Desconto Comercial (por fora) Composto ... 9

3.4 Exercícios Resolvidos – Descontos Compostos ... 10

3.5 Demonstração da fórmula dos valores tabelados ... 25

4 Equivalência Composta de Capitais ... 25

4.1 Conceito ... 25

4.2 Exercícios Resolvidos ... 26

5 Relação das questões comentadas nesta aula ... 42

6 Gabaritos ... 49

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PROFESSOR: GUILHERME NEVES 1 Progressão Geométrica

Faremos uma breve exposição teórica sobre as Progressões Geométricas com o intuito de, futuramente, poder utilizar livremente as fórmulas nos assuntos subsequentes de Matemática Financeira.

1.1 Conceito

Considere uma sequência de números reais , , , … , .

Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real .

O número real é denominado razão da progressão geométrica.

é o primeiro termo, é o segundo termo, e assim por diante. O termo de ordem n é chamado n-ésimo termo.

Exemplos:

Progressão Geométrica Primeiro termo ( ) Razão ( )

3, 6, 12, 24, 48, 96, … 3 2 96, 48, 24, 12, 6, 3, … 96 1 2 2, 2, 2, 2, 2, … 2 1 1, 2, 4, 8, 16, 32, … 1 2 5, 0, 0, 0, 0, … 5 0 1.2 Cálculo da razão

Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é diferente de 0 (ver último exemplo do tópico anterior).

Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o cociente entre dois termos consecutivos.

No nosso primeiro exemplo, 6 ₃ 12 ₆ 2.

No nosso segundo exemplo, 48 ₉₆ 24 ₄₈ 1 _2.

No nosso terceiro exemplo, 2 ₂ 2 ₂ 1.

(3)

PROFESSOR: GUILHERME NEVES 1.3 Termo Geral

Considere a progressão geométrica , , , … , . Existe uma expressão que permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão.

Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a razão.

·

Em que é o primeiro termo, é a razão da progressão e é o termo de ordem n (n-ésimo termo).

Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica 3, 6, 12, 24, … ?

Resolução

Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, 11. Utilizemos a fórmula do termo geral:

· ·

3 · 2 3.072

Obviamente não seremos obrigados a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não somos obrigados a conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer da P.G. Vejamos um exemplo análogo ao da progressão aritmética (aula 1). Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o décimo sexto termo sabendo que a razão da progressão é 3.

Resolução

Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo. Assim, a expressão do termo geral ficará:

·

4 · 3 2.916

1.4 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita

(4)

· 1 1

Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. 3, 6, 12, 24, … .

Resolução

A razão, como já vimos, é igual a 2.

· 1 1 3 · 2 1 2 1 3 · 1.024 1 1 3 · 1.023 3.069

1.5 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita

Se , , , … , , … é uma P.G. com razão 1 1, então:

1

Exemplo

Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. 9, 6, 4, … .

Resolução

Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro: 6 9 2 3 Assim, 1 9 1 2₃ 9 1/3 9 · 3 1 27

Observação: Utilizaremos este conceito no estudo das Rendas Perpétuas.

1.6 Exercício Resolvido

01. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, obtém-se:

(5)

PROFESSOR: GUILHERME NEVES (B) 5.115 (C) 4.995 (D) 5.015 (E) 4.895 Resolução

Ora, o problema nos forneceu o primeiro e o sétimo termos de uma P.G. e nos pede a soma dos dez primeiros termos. Para calcular a soma dos termos de uma P.G. precisamos apenas do primeiro termo e da razão. A relação entre o primeiro e o sétimo termos de acordo com a fórmula do termo geral é a seguinte:

· 320 5 ·

64 2 2

Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos será: · 1 1 · 1 1 5 · 2 1 2 1 5 · 1023 5.115 Letra B

2 Disposição gráfica do montante composto

Sabemos que o montante no regime composto é calculado a partir da fórmula · 1 .

Obviamente estamos considerando que o capital aplicado é constante e que a taxa de juros também é constante. Vamos considerar que 1 . A fórmula toma o seguinte aspecto:

·

Temos claramente que o montante é uma função exponencial do tempo. Como as grandezas envolvidas são sempre não-negativas, consideraremos a parte do gráfico da função exponencial que se encontra no primeiro quadrante. Observe ainda que quando n=0, o montante é igual ao capital inicial C. Isto porque:

(6)

· · 1

Desta forma, o gráfico do montante em função do tempo terá o seguinte aspecto:

3 Descontos Compostos

3.1 Conceito

A operação de desconto foi estudada na aula 02. Foi visto que desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. Os principais elementos de uma operação de desconto são:

Valor Nominal, Valor de Face, Valor Futuro (N)

É o valor que está escrito no título. É o valor que deve ser pago na data do vencimento.

Valor Atual, Valor Presente, Valor Líquido, Valor Descontado (A)

O valor líquido é obtido pela diferença entre o valor nominal e o desconto.

Desconto (D)

Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. É a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto.

Os elementos da operação de desconto composto são os mesmos dos elementos da operação de desconto simples. A única coisa que irá mudar é a natureza da taxa.

M

(7)

O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto

racional, também chamado de desconto por dentro. O desconto racional é o

desconto “teoricamente” correto. Existe também o desconto comercial ou desconto por fora. É o desconto sem fundamentação teórica, mas muito praticado no mercado financeiro.

Desconto composto é aquele obtido pela aplicação do regime de capitalização composta. Pode ser, também, de dois tipos (por fora e por dentro).

Nesta aula estudaremos o Desconto Racional Composto e o Desconto Comercial Composto.

Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é a modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime da operação (simples ou composto).

3.2 Desconto Racional (por dentro) Composto

A operação de desconto racional composto, por definição, é equivalente a uma operação de juros compostos.

Enquanto que na operação de juros compostos, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional composto teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.

O desconto composto por dentro ou desconto composto racional é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título.

Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, podemos fazer um desenho comparativo.

Capital Inicial

JUROS COMPOSTOS

Juros Montante

(8)

Æ O valor atual do desconto racional composto corresponde ao capital

inicial da operação de juros compostos.

Æ O valor nominal do desconto racional composto corresponde ao

montante da operação de juros compostos.

Æ O desconto da operação de desconto racional composto corresponde ao juro da operação de juros compostos.

Correspondência entre os elementos das operações

Juros Compostos Desconto Racional Composto (por dentro)

Capital Inicial (C) Valor Atual (A)

Montante (M) Valor Nominal (N)

Juro (J) Desconto (D)

Vamos então “deduzir” a fórmula da operação de desconto racional simples (por dentro).

Juros Compostos:

(1

)

n

M

= ⋅ +

C

i

Desconto Racional Simples:

Valor Atual 0 (Data zero) Linha do tempo Desconto Valor Nominal DESCONTO RACIONAL

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

(9)

Vejamos um esquema comparativo entre o regime simples e o regime composto.

Desconto Racional Simples (por dentro)

Desconto Racional Composto (por dentro)

(1

)

N

= ⋅ + ⋅

A

i n

₍₁

₎

n

N

= ⋅ +

A

i

A única coisa que mudou foi o “lugar do n”. Ao passarmos do regime simples para o regime composto, o n (número de períodos) foi para o expoente.

O mais importante de tudo é lembrar que a operação de desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos.

3.3 Desconto Comercial (por fora) Composto

Vimos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. Na operação de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. Obviamente, no desconto racional composto (que equivale ao juro simples) a taxa incide sobre o valor atual.

O desconto comercial composto não é o “teoricamente” correto. A taxa no desconto comercial composto incide sobre o valor nominal.

Vimos a semelhança entre os descontos racionais simples e composto.

Desconto Racional Simples (por dentro)

Desconto Racional Composto (por dentro)

(1

)

N

= ⋅ + ⋅

A

i n

₍₁

₎

n

N

= ⋅ +

A

i

Qual é a diferença entre as duas fórmulas? Que no desconto composto o “n” foi para o expoente. O mesmo acontecerá com o desconto comercial composto.

Desconto Comercial Simples (por fora)

Desconto Comercial Composto (por fora)

(10)

(1

)

A

= ⋅ − ⋅

N

i n

₍₁

₎

n

A

= ⋅ −

N

i

Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto.

3.4 Exercícios Resolvidos – Descontos Compostos

02. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de a) R$ 21.780,00 b) R$ 21.600,00 c) R$ 20.702,00 d) R$ 19.804,00 e) R$ 19.602,00 Resolução

Sabemos que a operação de desconto racional (por dentro) composto equivale à operação de juro composto.

Assim, · 1 20.000 · 1 0,10 24.200

A relação entre o valor atual e o valor nominal na operação de desconto comercial composto é a seguinte:

1

24.200 · 1 0,1 19.602,00

Letra E

03. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado

que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo do valor nominal do título?

(11)

PROFESSOR: GUILHERME NEVES b) R$ 107 561,00. c) R$ 102 564,00. d) R$ 97 561,00. e) R$ 110 000,00. Resolução

A operação de desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos.

N A · 1 i N A · 1 0,05

N 1,1025 · A

O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 10.000 1,1025 · A 10.000 0,1025 · A 10.000 A 97.560,98 N 97.560,98 10.000 107.560,98 107.561,00 Letra B

04. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$ 50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto comercial de 20% ao ano. O valor do desconto composto é, então,

a) R$ 10.000,00 b) R$ 18.000,00 c) R$ 22.653,86 d) R$ 24.000,00 e) R$ 20.000,00 Resolução

No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual e o valor nominal do título é dada pela expressão

· 1

(12)

Assim, o desconto composto é igual a D = 50.000 – 32.000 = 18.000,00.

Letra B

05. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos de desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos, analise as afirmativas a seguir:

I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por: , em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a taxa de juros.

II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto comercial (d), ambas no regime de juros simples, é expressa por

1 , Em que n é o número de períodos.

III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juros compostos e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por:

Assinale

a) se somente a afirmativa III estiver correta.

b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se todas as afirmativas estiverem corretas.

d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.

Resolução

I. Falsa.

A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a uma operação de juros simples.

Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional simples teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.

O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título.

Æ O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital inicial da operação de juros simples.

(13)

Æ O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montante da operação de juros simples.

Æ O desconto da operação de desconto racional simples corresponde ao

juro da operação de juros simples.

Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em uma operação de juros simples em que o juro é igual ao desconto racional simples!!

Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional simples (por dentro).

Juros Simples:

J

= ⋅ ⋅

C i n

Desconto Racional Simples:

Vejamos: Para fazermos uma comparação entre as taxas, devemos ter o mesmo valor atual e o mesmo valor nominal. Dessa forma, os descontos também são iguais.

Lembrando que 1 1 1 1 1

D

= ⋅ ⋅

A i n

(14)

1 A proposição II, portanto, é verdadeira.

III. Verdadeira. A taxa de desconto comercial composto é aplicada no valor nominal (valor futuro).

Letra D

06. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto de 3% ao mês.

a) R$ 140,00 b) R$ 104,89 c) R$ 168,00 d) R$ 93,67 e) R$ 105,43 Resolução A = 840,00.

Sabemos que a operação de desconto racional composto equivale à operação de juros compostos; onde o valor nominal equivale ao montante e o valor descontado equivale ao capital inicial. Temos a seguinte expressão:

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

4

840 (1 0, 03)

N

=

⋅ +

4

840 1, 03

N

=

⋅

Para calcular o valor de 1,034, calcularemos primeiramente 1,032 e em seguida multiplicaremos 1,032 por 1,032 1,032 = 1,0609 1,034 = 1,032 x 1,032 = 1,0609 x 1,0609 = 1,1255088 4

840 1, 03

840 1,1255088

945, 43

N

=

⋅

=

⋅

≅

.

(15)

Como estamos interessados no valor do desconto, utilizaremos o fato de que em qualquer tipo de desconto o valor do desconto é igual à diferença entre o valor nominal e o valor atual.

D

=

N

−

A

945, 43 840

105, 43

D

=

−

=

Letra E

07. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. Despreze os centavos.

Quando o enunciado diz que o título é descontado por R$ 10.000,00 quer dizer que o valor atual é R$ 10.000,00.

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

4

10.000 (1 0, 03)

N

=

⋅ +

4

10.000 1, 03

10.000 1,1255088

N

=

⋅

=

⋅

11.255, 00

N

=

Letra A

08. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. (dado que 1,054 = 1,215506)

a) R$ 25.860,72 b) R$ 28.388,72

(16)

c) R$ 30.000,00 d) R$ 32.325,90 e) R$ 36.465,18

Resolução

Temos a seguinte expressão que relaciona o valor nominal e o valor descontado no desconto racional composto.

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

O que acontece aqui é que o problema nos forneceu o valor do desconto. O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

Assim,

6.465,18

N

− =

A

Substituindo o valor de N por A.(1+i)n temos:

(1

)

n

6.465,18

A

⋅ +

i

− =

A

4

(1 0, 05)

6.465,18

A

⋅ +

− =

A

Lembre-se que A em álgebra significa 1.A (um vezes A).

4

1, 05

1 6.465,18

A

⋅

− ⋅ =

A

Podemos então colocar A em evidência:

4

(1, 05

1)

6.465,18

A

⋅

− =

4

6.465,18

1, 05

1 1, 215506 1

A

=

−

6.465,18

30.000, 00

0, 215506

A

=

(17)

PROFESSOR: GUILHERME NEVES Letra C

09. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale

a) 399,00 b) 398,00 c) 397,00 d) 396,00 e) 395,00 Resolução Dados do problema: N = 24.200,00 n = 2 meses i = 10% a.m. = 0,10 a.m.

1º) Desconto comercial composto (D)

Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto comercial composto:

(1

)

n

A

= ⋅ −

N

i

2

24.200 (1 0,10)

A

=

⋅ −

2

24.200 0, 90

24.200 0,81

A

=

⋅

=

⋅

19.602, 00

A

=

E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que

D = 24.200 – 19.602

D = 4.598,00

2º) Desconto racional composto (d)

(18)

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

2

24.200 = ⋅ +

A

(1 0,10)

24.200 = ⋅

A

1, 21

24.200 20.000, 00

1, 21

A

=

E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que

d = 24.200,00 – 20.000,00 d = 4.200,00.

Dessa forma, a diferença D – d = 4.598,00 – 4.200,00 = 398,00

Letra B

10. (MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. a) R$ 600,00 b) R$ 620,15 c) R$ 624,47 d) R$ 643,32 e) R$ 672,00 Resolução

Temos nessa questão, novamente, dois tipos de desconto. Um desconto comercial simples e um desconto racional composto. Dois regimes: simples e composto. Duas modalidades: comercial e racional.

1º) Desconto Comercial Simples

Sabemos, pela teoria exposta na aula 2, que a taxa do desconto comercial simples é incidida sobre o valor nominal !

(19)

Assim, temos que

D

= ⋅ ⋅

N i n

672 = ⋅

N

0, 03 4

⋅

672 = ⋅

N

0,12

672 672, 00

67.200

5.600 0,12

0,12

12 N

=

Assim, o valor nominal é igual a R$ 5.600,00.

2º) Desconto Racional Composto

Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. Temos a seguinte relação:

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

Assim,

(1

)

n

N

A

i

=

+

4

5.600 (1 0, 03)

A

=

+

Para efetuar esse cálculo você terá duas saídas. i) Efetuar o cálculo na base da mão.

4

5.600

5.600 4.975,53

(1 0, 03)

1,1255088

A

=

+

ii) Utilizando tabelas financeiras.

(20)

Uma que fornece os valores de (1+i)n.

Essa tabela não ajuda muito. Pois o nosso real problema é efetuar 5.600 1,125508. A outra tabela fornecida é a seguinte.

Essa tabela será utilizada na aula sobre Sistemas de Amortização. E no presente momento, para que nos serve?

Para utilizarmos um artifício.

O artifício serve para calcular os valores de

(

)

1

1+i n . No nosso caso, para

calcular 4 4

5.600

1

5.600 (1 0, 03)

(1 0, 03)

A

=

⋅

+

Temos a seguinte relação:

(

)

( 1) 1 1 n n i n i a a i = ¬ − − ¬ +

Os valores de

a

n i¬ constam na tabela acima.

(21)

PROFESSOR: GUILHERME NEVES ( 1) 4 4

5.600

1

5.600

5.600 (1

)

(1

)

n i n i

A

a

i

⎡

¬ − ¬

⎤

=

⋅

=

⋅

_⎣

−

_⎦

+

[

4 3% 3 3%

]

5.600 A

=

⋅

a

_¬

−

a

_¬

Esses valores são tabelados.

[

]

5.600 3, 717098 2,828611

A

=

⋅

−

5.600 0,888487

A

=

⋅

4.975, 53

A

=

.

Agora que sabemos utilizar essa tabela vamos resolver novamente essa questão uma maneira um pouco mais rápida.

Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. Temos a seguinte relação:

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

Assim, ( 1)

5.600

5.600 (1

)

n

(1

)

n n i n i

N

A

a

i

⎡

¬ − ¬

⎤

=

⋅

_⎣

−

_⎦

+

[

4 3% 3 3%

]

5.600 A

=

⋅

a

_¬

−

a

_¬

(22)

[

]

5.600 3, 717098 2,828611

A

=

⋅

−

5.600 0,888487

A

=

⋅

4.975, 53

A

=

.

Ou seja, utilizando esse artifício, trocamos uma divisão de um número natural por um número com 6 casa decimais para efetuar uma subtração e uma

multiplicação.

O novo desconto será d = N – A = 5.600 – 4975,53 = 624,47

Letra C

11. (APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 deve ser descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais próximo do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês. a) R$ 92,73 b) R$ 84,86 c) R$ 87,33 d) R$ 90,00 e) R$ 82,57 Resolução

Valor de face é o mesmo que valor nominal.

Vejamos a expressão do desconto racional composto:

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

(1

)

n

N

A

i

=

+

(23)

PROFESSOR: GUILHERME NEVES ( 1)

1

1.000

1.000 (1

)

n n i n i

A

a

i

⎡

¬ − ¬

⎤

=

⋅

=

⋅

_⎣

−

_⎦

+

[

3 3% 2 3%

]

1.000 A

=

⋅

a

_¬

−

a

_¬

Vejamos a tabela fornecida na prova.

Assim,

[

3 3% 2 3%

]

1.000 A

=

⋅

a

_¬

−

a

_¬

[

]

1.000 2,828611 1, 913469

A

=

⋅

−

1.000 0,915142

A

=

⋅

915,14

A

=

Dessa forma, o valor do desconto é 1.000 – 915,14 = 84,86

Letra B

12. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a

a) R$ 40.000,00 b) R$ 36.000,00 c) R$ 34.000,00

(24)

d) R$ 32.000,00 e) R$ 30.000,00

Resolução

· 1 25.000 · 1

2º) Desconto Comercial Composto

· 1

1 23.040

1

Como o valor nominal é o mesmo nos dois descontos, podemos igualar as duas expressões obtidas:

25.000 · 1 23.040 1 1 · 1 23.040 25.000 1 · 1 2.304 2.500 1 · 1 48 50 1 0,96 0,04 0,2 Sabemos que: 25.000 · 1 25.000 · 1 0,2 36.000 Letra B

(25)

PROFESSOR: GUILHERME NEVES 3.5 Demonstração da fórmula dos valores tabelados

Queremos mostrar que ( 1)

1 (1

)

n i n i n

a

i

¬

−

− ¬

=

₊

. 1 ( 1) 1

(1

)

1 (1

)

1 (1

)

(1

)

n n n i n i n n

i

a

i

− ¬ − ¬ −

+

−

+

−

=

−

⋅ +

Para subtrair frações de denominadores diferentes, devemos calcular o m.m.c. dos denominadores. Em seguida, dividir o m.m.c. por cada denominador e multiplicar pelo numerador. Observe que (1 ) ₁ 1

(1 ) n n i i i i i − ⋅ + _{= +} ⋅ + 1 1 ( 1) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) n n n n n i n i n n n i i i i i a a i i i i i i − − ¬ − ¬ − ⎡ ⎤ + − − + − ⋅ + + − + − _⎣ _⎦ − = − = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ( 1)

(1

)

1 (1

)

(1

)

(1

)

(1

)

1 1

(1

)

(1

)

n n n n n i n i n n

i

a

i

¬ − ¬

+

− − +

+ +

+

− +

− + +

−

=

⋅ +

( 1)

(1

)

(1

)

1 1

(1

)

(1

)

n n n i n i n n

i

a

i

¬ − ¬

+

− +

− + +

−

=

⋅ +

( 1) 1 (1 ) n i n i n a a i ¬ − − ¬ = ₊

4 Equivalência Composta de Capitais

4.1 Conceito

Dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, são ditos equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa de juros, produzem, nessa data, valores iguais.

Praticamente não há diferenças nos problemas de equivalências entre os dois regimes: simples e composto. O que vai mudar é a natureza da taxa.

O problema precisa deixar claro outras duas informações: a taxa de juros e a data focal. A taxa de juros já é nossa conhecida. E o que é a data focal? É a data de referência.

(26)

Não é permitido em Matemática Financeira comparar valores que estão em datas diferentes.

Temos, na equivalência composta de capitais, uma informação que nos ajudará bastante.

Em juros compostos, se dois conjuntos de capitais são equivalentes em determinada data focal, então eles também serão equivalentes em qualquer outra data focal. Isso não ocorre a juros simples.

Assim, para resolver os problemas de equivalência composta de capitais, podemos escolher qualquer data para ser a data focal.

Além disso, temos um fato importante: todas as questões de equivalência composta de capitais serão resolvidas utilizando o DESCONTO RACIONAL

COMPOSTO. Ou seja, trabalharemos com taxa de juros compostos.

Vejamos a fórmula do montante composto:

(1

)

n

M

= ⋅ +

C

i

Para facilitar o entendimento, chamaremos o montante de valor futuro e representaremos por F. O capital inicial será chamado de valor atual e será indicado por A.

Assim,

(1

)

(1

)

n n

F

A

i

A

i

= ⋅ +

⇔ =

+

No fundo, só há um único problema de Matemática Financeira: deslocar quantias no tempo.

Essa é a fórmula fundamental de equivalência de capitais:

i) Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1+i)n.

ii) Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por (1+i)n.

Ou seja, para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1+i)n. Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1+i)n.

4.2 Exercícios Resolvidos

(27)

seguinte forma: dois anos após a data do fechamento do negócio, R$ 20.000,00; três anos após a data do fechamento do negócio, R$ 30.000,00. Sabendo que o empréstimo foi contraído a uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, conclui-se que Carlos tomou emprestada, em reais, a quantia de:

a) 20.000₂₄ 30.000₃₆ 1, 03 + 1, 03 b) 20.000₂ 30.000₃ 1, 03 + 1, 03 c) 1, 032×20.000 1, 03+ 3×30.000 d) 1, 03 20.000 1, 03× + 2×30.000 e) 2, 06 20.000 3, 09 30.000× + × Resolução

Temos o seguinte “desenho” do problema.

A quantia que Carlos tomou emprestada está na data 0 (presente). O valor de X reais na data 0 equivale a R$ 20.000,00 daqui a 2 anos (24 meses) mais R$ 30.000,00 daqui a 3 anos (36 meses).

E como calcularemos o valor de X?

Obviamente o valor de X não é igual a R$ 50.000,00 (R$ 20.000,00 + R$ 30.000,00). Isso porque não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Devemos transportar esses valores na linha do tempo. Para isso, lembre o fato de que

(28)

Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1+i)n. Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1+i)n.

No nosso caso, estamos interessados em transportar valores do futuro para o presente. Para isso devemos dividir esses valores por (1+i)n.

Ou seja, R$ 20.000,00 daqui a dois anos valem hoje

(

)

24 24

20.000 20.000 1, 03 1 0, 03+ = .

Assim como R$ 30.000,00 daqui a três anos valem hoje

(

)

36 36 30.000 30.000 1, 03 1 0, 03+ = . Dessa forma, 20.000₂₄ 30.000₃₆ 1, 03 1, 03 X = + . Letra A

14. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na resposta.) a) R$ 2.122,00. b) R$ 1.922,00. c) R$ 4.041,00. d) R$ 3.962,00. e) R$ 4.880,00. Resolução

Temos o seguinte “desenho” do problema:

Resolução 4 1 3 2.000,00 2.000,00 X

(29)

Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 3.

Dessa forma:

2.000 · 1 0,02 2.000

1 0,02 4.041,58

Letra C

15. (AFC – STN 2005 ESAF) Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ 30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a: a) R$ 35.000,00 b) R$ 27.925,00 c) R$ 32.500,00 d) R$ 39.925,00 e) R$ 35.500,00 Resolução

Queremos calcular o valor da prestação X de modo que pagar R$ 85.000,00 hoje seja o mesmo que pagar (seja equivalente) R$ 15.000,00 hoje, mais X

(30)

reais daqui a 6 meses, mais R$ 30.000,00 daqui a 12 meses, mais X reais daqui a 18 meses.

Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos escolher alguma data como referência. No regime composto, você pode escolher qualquer data para servir como referência. Dê preferência à última data (aquela que está na extrema direita do desenho). Isso porque estamos deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que

E é fato que preferimos multiplicar por (1+i)n a dividir por (1+i)n. Assim, nossa estratégia será transportar todos os valores para o futuro.

Temos dois conjuntos de capitais:

- A proposta do comprador (as quatro parcelas).

- A proposta da imobiliária (pagar R$ 85.000,00 a vista). Utilizaremos como data focal o 18º mês.

Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 18º mês. Para transportar R$ 85.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por

18

(1+i) .

Para transportar R$ 15.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por

18

(1+i) .

Para transportar X reais (6º mês) para o 18º mês devemos multiplicar por

12

(1+i) .

Para transportar R$ 30.000,00 (12º mês) para o 18º mês devemos multiplicar por 6

(1+i) .

Não precisamos transportar X reais (18º mês), pois ele já está na data focal.

Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:

18 18 12 6

(31)

85.000 2, 025816

⋅

=

15.000 2, 025816

⋅

+ ⋅

X

1, 601032 30.000 1, 265319

+

⋅

+

X

172.194, 36

=

30.387, 24 1, 601032

+

⋅ +

X

37.959, 57

+

X

1, 601032

⋅ +

X

=

172.194, 36 30.387, 24 37.959, 57

−

2, 601032

⋅

X

=

103.847, 55

2, 601032

X

=

39.925, 52

X

=

Letra D

16. (AFC – STN 2005 ESAF) Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela de R$ 20.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor de entrada deverá ser igual a:

a) R$ 23.455,00 b) R$ 23.250,00

(32)

c) R$ 24.580,00 d) R$ 25.455,00 e) R$ 26.580,00

Resolução

O problema se resume no seguinte:

Dar uma entrada de X reais e efetuar um pagamento de R$ 17.000,00 daqui a 8 meses é o mesmo que (é equivalente a) dar uma entrada de R$ 20.000,00 e efetuar um pagamento de R$ 20.000,00 daqui a 6 meses.

E é fato que preferimos multiplicar por (1+i)n a dividir por (1+i)n. Assim, nossa estratégia será transportar todos os valores para o futuro!

Temos dois conjuntos de capitais: Utilizaremos como data focal o 8º mês.

Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 8º mês. Para transportar R$ 20.000,00 (data 0) para o 8º mês devemos multiplicar por

8

(1+i) .

Para transportar R$ 20.000 (6º mês) para o 8º mês devemos multiplicar por

2

(1+i) .

Para transportar X reais (data 0) para o 8º mês devemos multiplicar por 8

(33)

Não precisamos transportar R$ 17.000,00 (8º mês), pois ele já está na data focal.

8 8 2

1, 02

17.000 20.000 1, 02

20.000 1, 02

X

⋅

+

=

⋅

+

⋅

8 8 2

1, 02

17.000 20.000 1, 02

20.000 1, 02

X

⋅

+

=

⋅

+

⋅

Utilizaremos o valor dessa tabela.

8

1, 02

17.000 20.000 1,171659 20.000 1, 0404

X

⋅

+

=

⋅

+

⋅

8

1, 02

23.433,18 20.808 17.000

X

⋅

=

+

−

8

1, 02

27.241,18

X

⋅

=

8 8

27.241,18

1 27.241,18

1, 02

X

=

⋅

Utilizando o fato de que ( 1)

1 (1

+

i

)

n

=

a

n i¬

−

a

n− ¬i 8 2% 7 2% 8

1 (1 2%)

+

=

a

¬

−

a

¬ 8 2% 7 2% 8

1 1, 02

=

a

¬

−

a

¬

(34)

PROFESSOR: GUILHERME NEVES 8

1 7, 325481 6, 471991

1, 02

=

−

Assim,

27.241,18 0,85349

X

=

⋅

23.250, 07

X

=

Letra B

17. (AFRF 2001/ESAF) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês.

Há duas alternativas de pagamento:

i) Pagar R$ 20.000,00 hoje, R$ 10.000,00 ao fim de trinta dias (1 mês) e R$ 31.200,00 ao fim de noventa dias (3 meses).

ii) Pagamento único ao fim de sessenta dias (2 meses).

8

1 0,85349

1, 02

=

(35)

Eis o desenho da questão:

Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1+i)n. Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )n

i + . Dessa forma: 20.000 · 1 0,04 10.000 · 1 0,04 31.200 1 0,04 21.632 10.400 30.000 62.032,00 Letra D

18. (Auditor Fiscal de Fortaleza 2003/ESAF) Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$ 100.000,00 que venceu há um ano mais um capital de R$ 110.000,00 que vai vencer daqui a seis meses?

Já que a taxa fornecida é semestral, coloquemos os prazos expressos em semestres.

O primeiro capital venceu há um ano, portanto 2 semestres. O segundo capital vencerá daqui a 6 meses, portanto 1 semestre.

Eis o desenho da questão:

3 X 2 1 0 10.000,00 20.000,00 31.200,00

(36)

Dessa forma: 100.000 · 1 0,10 110.000 1 0,10 121.000 100.000 221.000,00 Letra C

19. (AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamento por uma indústria poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00 ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na data da compra, as duas opções é

a) R$ 20.400,00 b) R$ 20.800,00 c) R$ 21.600,00 d) R$ 22.064,00 e) R$ 23.328,00 Resolução

Questão sobre equivalência de capitais.

É sempre importante construir o “desenho” da questão. Ei-lo:

semestres 110.000,00 1 0 ‐2 100.000,00 X

(37)

E é fato que preferimos multiplicar por (1+i)n a dividir por (1+i)n. Assim, nossa estratégia será transportar todos os valores para o futuro.

Temos dois conjuntos de capitais: - As duas parcelas de X reais. - O valor a vista de R$ 41.600,00 Utilizaremos como data focal o 2º ano.

Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 2º ano. Para transportar R$ 41.600,00 (data 0) para o 2º mês devemos multiplicar por

2

(1+i) .

Para transportar X reais (data 1) para o 2º ano devemos multiplicar por 1

(1+ . i)

Não precisamos transportar X reais (2º ano), pois ele já está na data focal.

1 2

1, 08

41.600 1, 08

X

⋅

+

X

=

⋅

2, 08

⋅ =

X

48.522, 24

23.328, 00

X

=

(38)

PROFESSOR: GUILHERME NEVES Letra E

20. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma rede de lojas, que atua na venda de eletroeletrônicos, anuncia a venda de notebook da seguinte forma: - R$ 1.125,00 à vista em boleto bancário; ou

- 3 prestações mensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a primeira prestação no ato da compra.

Embora na propaganda seja utilizada a expressão “sem juros”, os clientes que escolhem a segunda opção pagam juros ao mês de, aproximadamente:

(Utilize se necessário: √7 2,646.) a) 13,5% b) 20,0% c) 21,5% d) 19,0% e) 9,5% Resolução

Eis o “desenho” da questão.

Efetuemos o transporte dos valores para a data 0. As duas formas de pagamento devem ser equivalentes nesta data.

1.125 450 450 1 450 1 675 450 1 450 1 0 450,00 450,00 450,00 1.125,00 0

(39)

Para facilitar os cálculos, adotemos que 1

675 450 450 0

675 · 450 · 450 0

675 · 450 · 450 0 Simplificando os termos por 225:

3 · 2 · 2 0 √ 4 2 2 2 4 · 3 · 2 2 · 3 2 √28 6

Observe que o enunciado sugeriu utilizar √7 2,646. Assim, √28 √4 · 7 √4 · √7 2 · 2,646 5,292 2 5,292 6 Como 0, 2 5,292 6 1,215 1 1,215 0,215 21,5% Letra C

21. (AFTE-RO 2010 FCC) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade apresenta um valor de 1,176.

(40)

PROFESSOR: GUILHERME NEVES O valor de X é igual a a) R$ 17.280,00 b) R$ 15.000,00 c) R$ 14.400,00 d) R$ 13.200,00 e) R$ 12.000,00 Resolução

Desembolsando R$ 25.000,00 a um índice de lucratividade igual a 1,176, então o valor apurado no projeto (na data 0) é igual a 25.000 x 1,176 = 29.400. Adotando a data focal como a data 0, então devemos transportar os recebimentos para a data 0 e igualar a R$ 29.400,00.

Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1+i)n.

Para transportar X reais (data 1) para a data 0 devemos dividir por (1+ . i)1 Para transportar R$ 21.600,00 (data 2) para a data 0 devemos dividir por

2

(1+i) . Temos a seguinte equação de equivalência de capitais.

1 2 21.600 29.400 (1 ) (1 ) X i + i = + +

Como a taxa de atratividade é de 20% ao ano:

2

21.600

29.400 1, 20

X +

1, 20

=

15.000

29.400 1, 20

X +

=

14.400 1, 20

X =

1, 20 14.400

X

=

⋅

(41)

17.280, 00

X

=

Letra A

22. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será:

(A) R$ 525,68. (B) R$ 545,34. (C) R$ 568,24. (D) R$ 576,19. (E) R$ 605,00. Resolução

Escolhendo a data 2 como data focal. Para transportar uma quantia para o futuro devemos multiplicar o seu valor por 1 .

A equação da equivalência fica:

· 1 1.000 · 1 1,1 · 1.000 · 1 0,10 2,1 · 1.210 576,19 Letra D X X 2 1 0 1.000,00

(42)

PROFESSOR: GUILHERME NEVES 5 Relação das questões comentadas nesta aula

01. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, obtém-se: (A) 5.000 (B) 5.115 (C) 4.995 (D) 5.015 (E) 4.895

02. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de a) R$ 21.780,00 b) R$ 21.600,00 c) R$ 20.702,00 d) R$ 19.804,00 e) R$ 19.602,00

03. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado

que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ 100 000,00. b) R$ 107 561,00. c) R$ 102 564,00. d) R$ 97 561,00. e) R$ 110 000,00.

04. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$ 50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto comercial de 20% ao ano. O valor do desconto composto é, então,

a) R$ 10.000,00 b) R$ 18.000,00 c) R$ 22.653,86 d) R$ 24.000,00 e) R$ 20.000,00

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05. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos de desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos, analise as afirmativas a seguir:

I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por: , em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a taxa de juros.

III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juros compostos e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por:

Assinale

a) se somente a afirmativa III estiver correta.

b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se todas as afirmativas estiverem corretas.

d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.

06. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto de 3% ao mês.

a) R$ 140,00 b) R$ 104,89 c) R$ 168,00 d) R$ 93,67 e) R$ 105,43

07. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. Despreze os centavos.

a) R$ 11.255,00 b) R$ 11.295,00 c) R$ 11.363,00 d) R$ 11.800,00 e) R$ 12.000,00

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08. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. (dado que 1,054 = 1,215506) a) R$ 25.860,72 b) R$ 28.388,72 c) R$ 30.000,00 d) R$ 32.325,90 e) R$ 36.465,18

09. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale

a) 399,00 b) 398,00 c) 397,00 d) 396,00 e) 395,00

10. (MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. a) R$ 600,00 b) R$ 620,15 c) R$ 624,47 d) R$ 643,32 e) R$ 672,00

11. (APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 deve ser descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais próximo do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês. a) R$ 92,73 b) R$ 84,86 c) R$ 87,33 d) R$ 90,00 e) R$ 82,57

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12. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a

a) R$ 40.000,00 b) R$ 36.000,00 c) R$ 34.000,00 d) R$ 32.000,00 e) R$ 30.000,00

13. (Aneel 2004 ESAF) Carlos contraiu um empréstimo que deverá ser pago da seguinte forma: dois anos após a data do fechamento do negócio, R$ 20.000,00; três anos após a data do fechamento do negócio, R$ 30.000,00. Sabendo que o empréstimo foi contraído a uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, conclui-se que Carlos tomou emprestada, em reais, a quantia de:

a) 20.000₂₄ 30.000₃₆ 1, 03 + 1, 03 b) 20.000₂ 30.000₃ 1, 03 + 1, 03 c) 1, 032×20.000 1, 03+ 3×30.000 d) 2 1, 03 20.000 1, 03× + ×30.000 e) 2, 06 20.000 3, 09 30.000× + ×

14. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na resposta.) a) R$ 2.122,00. b) R$ 1.922,00. c) R$ 4.041,00. d) R$ 3.962,00. e) R$ 4.880,00.

15. (AFC – STN 2005 ESAF) Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$

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30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a: a) R$ 35.000,00

b) R$ 27.925,00 c) R$ 32.500,00 d) R$ 39.925,00 e) R$ 35.500,00

16. (AFC – STN 2005 ESAF) Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela de R$ 20.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor de entrada deverá ser igual a:

a) R$ 23.455,00 b) R$ 23.250,00 c) R$ 24.580,00 d) R$ 25.455,00 e) R$ 26.580,00

17. (AFRF 2001/ESAF) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês.

a) R$ 62.200,00 b) R$ 64.000,00 c) R$ 63.232,00 d) R$ 62.032,00 e) R$ 64.513,28

18. (Auditor Fiscal de Fortaleza 2003/ESAF) Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$ 100.000,00 que venceu há um ano mais um capital de R$ 110.000,00 que vai vencer daqui a seis meses?

a) R$ 210.000,00 b) R$ 220.000,00 c) R$ 221.000,00 d) R$ 230.000,00 e) R$ 231.000,00

19. (AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamento por uma indústria poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00

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ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na data da compra, as duas opções é

a) R$ 20.400,00 b) R$ 20.800,00 c) R$ 21.600,00 d) R$ 22.064,00 e) R$ 23.328,00

20. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma rede de lojas, que atua na venda de eletroeletrônicos, anuncia a venda de notebook da seguinte forma: - R$ 1.125,00 à vista em boleto bancário; ou

- 3 prestações mensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a primeira prestação no ato da compra.

Embora na propaganda seja utilizada a expressão “sem juros”, os clientes que escolhem a segunda opção pagam juros ao mês de, aproximadamente:

(Utilize se necessário: √7 2,646.) a) 13,5% b) 20,0% c) 21,5% d) 19,0% e) 9,5%

21. (AFTE-RO 2010 FCC) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade apresenta um valor de 1,176. O valor de X é igual a a) R$ 17.280,00 b) R$ 15.000,00 c) R$ 14.400,00 d) R$ 13.200,00 e) R$ 12.000,00

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22. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será:

(A) R$ 525,68. (B) R$ 545,34. (C) R$ 568,24. (D) R$ 576,19. (E) R$ 605,00.

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PROFESSOR: GUILHERME NEVES 6 Gabaritos 01. B 02. E 03. B 04. B 05. D 06. E 07. A 08. C 09. B 10. C 11. B 12. B 13. A 14. C 15. D 16. B 17. D 18. C 19. E 20. C 21. A 22. D