Otimização de um sistema de elevadores a partir da simulação de eventos discretos

(1)

Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica Curso de Estat´ıstica

Fabio Mascarenhas Loureiro

Otimiza¸

c˜

ao de um Sistema de Elevadores `

a partir da

Simula¸

c˜

ao de Eventos Discretos

Niter´oi 2013

(2)

Fabio Mascarenhas Loureiro

Otimiza¸

c˜

ao de um Sistema de Elevadores `

a partir da

Simula¸

c˜

ao de Eventos Discretos

Monografia apresentada ao Curso de Estat´ıstica da UFF, como requisito para a obten¸c˜ao do grau de BACHAREL em Estat´ıstica.

Orientadora: Jessica Quintanilha Kubrusly

Doutora em Matem´atica

Niter´oi 2013

(3)

Otimiza¸

c˜

ao de um Sistema de Elevadores `

a partir da

Simula¸

c˜

ao de Eventos Discretos

Monografia apresentada ao Curso de Estat´ıstica da UFF, como requisito para a obten¸c˜ao do grau de BACHAREL em Estat´ıstica.

Aprovado em Mar¸co de 2013

BANCA EXAMINADORA

Jessica Quintanilha Kubrusly

Doutora em Matem´atica

Valentin Sisko

Doutor em Estat´ıstica

Victor Hugo de Carvalho Gouvˆea

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Loureiro, Fábio Mascarenhas

Otimização de um Sistema de Elevadores a partir da Simulação de Eventos Discretos / Fábio Mascarenhas Loureiro;

Jessica Quintanilha Kubrusly, orientadora. Niterói, 2012.

56 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Estatísticaa ) – Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matemática e Estatística, Niterói, 2012.

1. Processos Estocásticos. 2. Geração de Variáveis

Aleatórias. 3. Geração de processo de Poisson homogêneo e não homogêneo. 4. Simulação de Sistemas de Filas. I. Kubrusly, Jessica Quintanilha, orientadora. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Matemática e Estatística. III. Título.

(5)

ajudaram e me apoiaram at´e aqui mas que n˜ao resistiram para compartilhar deste momento junto a mim.

(6)

Resumo

Quando se lida com problemas de modelagem estocástica é comum nos depa-rarmos com sistemas complexos que, em alguns caso, são imposs´ıveis de se resolver de forma anal´ıtica. Diante disto, é comum usarmos a simula¸cão para entender e estudar fenômenos desta natureza. Este trabalho apresenta um estudo para um sistema de eleva-dores, que pode ser considerado um desses sistemas complexos. Este sistema foi modelado segundo duas perspectivas. Na primeira, os elevadores param em todos os andares, já na segunda, cada elevador para em andares espec´ıficos. O objetivo principal do trabalho é decidir em qual dos dois sistemas o tempo médio de espera dos passageiros é menor. Palavras-chaves: Processos Estocásticos, Gera¸cão de Variáveis Aleatórios, Gera¸cão de Processo de Poisson Homogêneo e não Homogêneo, Simula¸cão, Simula¸cão de Sistemas de Filas.

(7)

Gostaria de agradecer primeiramente à minha mãe (Nadia), por todo o apoio que me foi dado. Sei que passamos tempos dif´ıceis e talvez não seja tão mais fácil daqui em diante, mas tenho certeza que poderei sempre contar com a sra.

Agrade¸co tamb´em ao meu tio (Geraldo), pessoa que me auxiliou e transformou isto poss´ıvel. Sei que muitas coisas poderiam ser diferentes sem sua ajuda e portanto serei eternamente grato.

Não poderia deixar de agradecer algumas pessoas que fizeram parte do meu desenvolvimento pessoal (DCE): Linda, Cissa, Dani, Thalita, Paola, Keilane, Leo(a), Luciana(p), Nadine, Pablo, Bruno, Evandro, Riba, Barrientos, Gar¸com da Mineira, China, Orelha, Nariz, Paulista, Ubá, José, Natan e Lage.

Agrade¸co tamb´em aos que ajudaram no meu crescimento acadˆemico: Linda novamente, Bruna, Fernanda, Kiese, Carol, Marcela, Evelyne, Guilherme, Clark e Lex.

Ao falar dos meus conhecimento acadêmicos, nunca poderia deixar de agra-decer minha orientadora (Jessica). Agrade¸co por todo o tempo dedicado, paciência e puxões de orelha que me deu. Aprendi muito com a sra. e espero podermos trabalhar juntos novamente.

Gostaria ainda de não só agradecer, mas também dedicar este trabalho a quatro pessoas. Pessoas que foram e continuarão sendo muito importantes na minha vida.

Pai (H´elio), depois que entrei na faculdade nunca mais o vi, mas saiba, aonde estiver, que sempre quis poder conversar e dizer tudo que cresci e evolu´ı.

Regina, você pode não ver o término desta etapa da minha vida, não fisica-mente, mas sei que está olhando e torcendo por mim. Obrigado pela ajuda no in´ıcio da faculdade e por me dar a oportunidade de ter te conhecido. Ao pegar o diploma, lembrarei da sua fala: “Estarei velhinha e indo lá te ver formando!”. Tenho certeza que estará!

Tia (Bené), nunca esquecerei a sra. Você tinha um sentimento por mim e pela minha mãe que inexplicavelmente é maior do que o de muitas pessoas que já passaram

(8)

por nossas vidas. N˜ao s´o agrade¸co, mas afirmo que sempre lembrarei do aux´ılio e “dicas” que me deu em vida. Obrigado!

Por último, mas não menos importante, gostaria de agradecer a pessoa que me incentivou e acreditou desde sempre na minha capacidade, meu avô (Carlos). É com uma alegria, seguida de profunda tristeza, que escrevo este agradecimento. Vô, infelizmente não está comigo agora, mas cada etapa, cada passo que der, estarei lembrando de tudo que me disse e me ensinou. O sr. ajudou a construir a pessoa que sou hoje e, por todo o tempo, paciência, dedica¸cão e incentivo que me deste serei eternamente grato. Você teve a mim como um filho e eu o considero como tal! Não poderei abra¸cá-lo após minha apresenta¸cão nem após meu último dia na faculdade, mas sempre lembrarei de você. Por isso, mesmo não estando comigo fisicamente, estará sempre presenta na minha vida.

(9)

Lista de Figuras 7

Lista de Tabelas 8

1 Introdu¸c˜ao 9

2 Gera¸cão de Variáveis Aleatórias 11

2.1 N´umeros Pseudo-Aleat´orios . . . 11

2.2 Gera¸cão de Variáveis Aleatórias . . . 13

2.2.1 M´etodo da Transformada Inversa - V. A. Discreta . . . 14

2.2.2 M´etodo da Transformada Inversa - V. A. Cont´ınuas . . . 15

2.2.3 Gera¸c˜ao de uma exponencial . . . 17

3 Gera¸c˜ao de um Processo de Poisson 19 3.1 Processo de Poisson . . . 19

3.1.1 Tempo entre Eventos . . . 20

3.2 Processo de Poisson n˜ao-Homogˆeneo . . . 21

3.3 Gera¸c˜ao de Processo de Poisson Homogˆeneo . . . 21

3.4 Gera¸cão de Processo de Poisson não-Homogêneo . . . 22

4 Simula¸c˜ao de Sistemas 24 4.1 Conceituando Eventos Discretos . . . 25

4.2 Sistema com um servidor e fila ´unica . . . 26

4.3 Sistema com v´arios servidores e fila ´unica . . . 28

(10)

4.5 Determinando o n´umero de simula¸c˜oes realizadas . . . 34

4.5.1 Crit´erio de Parada das Simula¸c˜oes . . . 35

5 Aplica¸cão Prática: Simulando um Sistema de Elevadores 36 5.1 Introdu¸cão . . . 36

5.2 Algoritmo . . . 37

5.2.1 Sistema 1: n elevadores parando em todos os andares . . . 37

5.2.2 Sistema 2: n elevadores parando em andares intercalados . . . 40

5.2.3 Coment´arios . . . 43

5.3 Resultados da Simula¸c˜ao . . . 44

5.4 Modelo simulado para λ homogˆeneo . . . 44

5.5 Modelo simulado para λ n˜ao homogˆeneo . . . 47

(11)

2.1 Fun¸cão de distribui¸cão acumulada de uma variável aleatória discreta. . . . 14

4.1 Sistema com um servidor em fila ´unica . . . 26

4.2 Sistema com k servidores e fila ´unica . . . 29

4.3 Sistema com k servidores e k filas . . . 32

5.1 W resultante da simula¸c˜ao de 3 elevadores e λ = 2. . . 46

5.5 Curvas das fun¸c˜oes das taxas de chegada λ(t). . . 48

5.6 W resultante da simula¸c˜ao de 4 elevadores e λ1(t). . . 50

(12)

Lista de Tabelas

5.1 Tempos que incidem sobre os modelos simulados. . . 43

5.2 Vari´aveis que definem os sistemas. . . 43

5.3 Tempo m´edio (minutos) no sistema 1 para λ homogˆeneo. . . 45

5.4 Tempo m´edio (minutos) no sistema 2 para λ homogˆeneo. . . 45

5.5 Tempo médio (minutos) no sistema 1 para λ não homogêneo. . . 49

(13)

1 Introdu¸

c˜

ao

Ao modelar um sistema que envolve variáveis estocásticas muitas vezes é pre-ciso optar entre um modelo mais fiel à realidade ou outro modelo que seja mais matemati-camente tratável. Como por exemplo, ao modelar um sistema bancário pode-se optar por um modelo mais realista que considere chegadas não homogêneas ao longo do dia, varia¸cão no tempo de atendimento entre diferentes atendentes, poss´ıveis faltas de funcionários ou até mesmo pausas durante o expediente. Porém para que esse sistema tenha uma solu¸cão anal´ıtica é preciso simplificá-lo bastante, por exemplo, considerar as chegadas homogêneas e descartar as demais complica¸cões citadas.

Com o avan¸co da computa¸cão surgiu uma terceira possibilidade para analisar sistemas estocásticos. A ideia é implementar e simular sistemas considerando alguns complicadores a fim de tornar a modelagem o mais fiel poss´ıvel à realidade. A análise do sistema será feita a partir das observa¸cões geradas pelas simula¸cões realizadas. Dessa forma não será fornecida uma solu¸cão anal´ıtica, porém a partir dessas observa¸cões será poss´ıvel fazer inferências sobre o sistema. Vale ressaltar que para uma boa representa¸cão da realidade é recomendável que os parâmetros da simula¸cão sejam bem estimados a partir de um estudo prévio.

O objetivo deste trabalho é implementar e simular um sistema de elevadores a fim de estudar o tempo de espera dos clientes. Para isso serão considerados duas alternativas: a primeira considera que todos os elevadores param em todos os andares e existe uma única fila, já a segunda considera que cada elevador para em andares espec´ıficos. Dessa forma espera-se comparar as duas alternativas e concluir em qual delas o cliente passa menos tempo na fila.

No Cap´ıtulo 2 será introduzido o conceito de números pseudos-aleatórios assim como algumas formas de gera¸cão de variáveis aleatórias. No Cap´ıtulo 3 serão definidos Processos de Poisson Homogêneo e não Homogêneo e formas de gera¸cão desses processos estocásticos. No Cap´ıtulo 4 serão conceituado alguns tipos de simula¸cão, apresentados alguns exemplos de simula¸cão com filas e por fim feita uma breve discussão sobre o número de simula¸cões a serem realizadas. No Cap´ıtulo 5 será apresentado o problema do elevador

(14)

1 Introdu¸cão 10 bem como os resultados obtidos. Por fim, no Cap´ıtulo 6 serão feitas as conclusões e as considera¸cões finais com rela¸cão ao trabalho.

(15)

2 Gera¸

c˜

ao de Vari´

aveis Aleat´

orias

2.1 N´

umeros Pseudo-Aleat´

orios

Uma sequência de números pseudo-aleatórios é uma cadeia de valores gerados `

a partir de uma regra, tal que, estes tentam “imitar” da melhor maneira poss´ıvel uma variável aleatória distribu´ıda uniformemente no intervalo (0, 1). O intuito disto é criar um conjunto de valores sequenciais que, apesar de não serem de fato aleatórios, não apresentem previsibilidade aparente.

Um dos métodos mais utilizados para se tentar realizar tal simula¸cão é o m´ e-todo congruencial multiplicativo (Ross, 2006; Gentle, 2003). A proposta deste gerador é construir uma sequência de números pseudo-aleatórios onde, primeiramente é gerada uma sequência de números naturais {xn}∞n=1 de acordo com a expressão (2.1), que calcula, de

forma recursiva, sucessivos valores xn, para n ≥ 1, a partir de valores iniciais x0, a e m:

xn= axn−1 mod m (2.1)

A constante x0 ´e chamada de semente e pode ser qualquer valor real. As

constantes a e m são inteiras e o termo mod m representa o resto da divisão por m. Tem-se então que a sequência de números pseudo-aleatório no intervalo (0, 1) é definida por

un =

xn

m (2.2)

Exemplo 2.1.1. Ao definir x0 = 1, a = 5 e m = 139, os dez primeiros termos da sequˆencia

(16)

2.1 N´umeros Pseudo-Aleat´orios 12 x1 = 5 × 1 mod 139 = 5 x2 = 5 × 5 mod 139 = 25 x3 = 5 × 25 mod 139 = 125 x4 = 5 × 125 mod 139 = 69 x5 = 5 × 69 mod 139 = 67 x6 = 5 × 67 mod 139 = 57 x7 = 5 × 57 mod 139 = 7 x8 = 5 × 7 mod 139 = 35 x9 = 5 × 35 mod 139 = 36 x10 = 5 × 36 mod 139 = 41

Observe que, como a fun¸c˜ao mod m retorna o resto da divis˜ao por m, xn ∈

{0, 1, . . . , m − 1}, neste caso, xn ∈ {0, 1, . . . , 138}. Posterior a isto pode-se calcular a

sequência de valores un ∈ [0, 1). Os dez primeiros números pseudo-aleatórios gerados

para os parˆametros definidos ser˜ao:

u1 = 5/139 = 0, 0359 u2 = 25/139 = 0, 1799 u3 = 125/139 = 0, 8993 u4 = 69/139 = 0, 4964 u5 = 67/139 = 0, 4820 u6 = 57/139 = 0, 4101 u7 = 7/139 = 0, 0504 u8 = 35/139 = 0, 2518 u9 = 36/139 = 0, 2590 u10 = 41/139 = 0, 2950

Como foi visto, este método utiliza 3 parâmetros para ser inicializado e todos devem ser fornecidos pelo programador, assim, é razoável que se tome algumas medidas para maior eficiência do método.

Primeiramente, pela forma de cálculo utilizado, acaba que em algum momento a sequência comece a se repetir. Desta forma, caso seja escolhido um m pequeno, a sequência se repetirá com maior rapidez. Assim, é comum e de maior eficácia a utiliza¸cão

(17)

de um m relativamente grande. Entretanto, pode-se observar que se a divisão por m resultar em 0, todos os outros termos da sequência serão nulos. Logo, busca-se utilizar, além de m grande, m primo. Com isto, espera-se dificultar o fato da sequência gerada se anular à partir de um dado momento. Observe também que, apesar dos recursos computacionais estarem bastante evolu´ıdos, por uma limita¸cão, Ross (2006) sugere que seja utilizado m = 231_{− 1, sendo este o maior valor comput´}_{avel primo para computadores}

de 32 bit.

Para os valores de a e x0 não há muitas recomenda¸cões, porém como x0 será

o valor que definirá toda a sequência gerada, é natural que sejam utilizados critérios de escolha para o mesmo de forma que, cada vez que se for gerar uma sequência, estas sejam diferentes umas das outras. Para a Ross (2006) sugere o valor de a = 75.

Segundo tais critérios, espera-se que a sequência gerada seja aparentemente derivada de uma variável com distribui¸cão U nif orme (0, 1) para todo x0 escolhido e que

a mesma irá demorar um tempo consideravelmente grande até recome¸car a gera¸cão. Outro tipo de método para a gera¸cão de números pseudo-aleatórios, ainda dentro da fam´ılia de geradores congruenciais, é o método misto. Neste modelo, o valor será gerado segundo a equa¸cão por

xn = (axn−1+ c) mod m. (2.3)

Neste modelo, cada número é calculado dependendo do anterior, bem como no método multiplicativo, e a, c e m são números inteiros, tais que a < m e c < m. Neste caso, a divisão un = xn/(m − 1) resulta num número pseudo-aleatório real pertencente ao

intervalo (0, 1).

Para este trabalho só foi utilizado o método congruencial multiplicativo, assim, para maiores detalhes acerca de outros métodos de gera¸cão veja Ross (2006).

2.2 Gera¸

c˜

ao de Vari´

aveis Aleat´

orias

Existem diversos métodos para gera¸cão de variáveis aleatórias. O método da transformada inversa é um deles, ele utiliza a fun¸cão de distribui¸cão acumulada da variável aleatória a ser gerada junto com uma sequência de números pseudo-aleatórios.

(18)

2.2 Gera¸cão de Variáveis Aleatórias 14 Neste cap´ıtulo serão apresentados as formas de gera¸cão de variáveis aleatórias discretas e cont´ınuas, utilizando o método da transformada inversa. Para mais detalhes sobre este ou outros métodos de gera¸cão, veja Ross (2006).

2.2.1 M´

etodo da Transformada Inversa - V. A. Discreta

Para este método usaremos o fato da fun¸cão de distribui¸cão acumulada FX de

uma variável aleatória X discreta ser sempre uma fun¸cão do tipo escada. Come¸cada em 0 e finalizada em 1. Logo, Im(Fx) = (0, 1). Assim, a forma de se gerar uma variável

aleatória discreta a partir do método da transformada inversa, deve-se primeiro gerar um número pseudo-aleatório no intervalo (0, 1] e em seguida verificar em qual “patamar” da distribui¸cão acumulada se encontra o número gerado, ou seja, em qual intervalo xi, xi+1

se localiza a vari´avel U ∼ U nif (0, 1) gerada.

Figura 2.1: Fun¸cão de distribui¸cão acumulada de uma variável aleatória discreta.

Explicitando de forma lógica o método voltado para uma distribui¸cão discreta segue que: seja X = x0, x1, x2, . . . os poss´ıveis valores ordenados da variável aleatória

X que se quer gerar e P0, P1, . . . , Pn as respectivas probabilidades, podemos obter um

elemento de forma aparentemente aleat´oria segundo o pseudo-c´odigo definido abaixo.

Gera discreta

1

2

Gerar uma variável aleatória U ∼ U nif (0, 1), isto é, um número pseudo-aleatório;

3

Definir i = 0 e F = P0;

4

Se U < F , retorna xi;

(19)

Incrementa i : i = i + 1;

6

Incrementa F : F = F + Pi;

7

Voltar para a linha 5.

8

Veja que desta forma, garantimos que a probabilidade de gerar X igual a xi

´

e dada por Pi, ou seja P (X = xi) = Pi. A exemplo, na figura 2.1 como P0+ P1 < U <

P0+ P1+ P2, o elemento gerado seria x2.

Exemplo 2.2.1. Considere uma variável aleatória X com distribui¸cão dada por:

X 0 1 2

P(X = xj) = pj 1/4 1/2 1/4

Nesse exemplo, mostramos abaixo como pode-se gerar X usando como base o pseudo-c´odigo gera discreta.

U = u, onde u ∼ U nif (0, 1)

1

se U < 0.25, ent˜ao retorna x = x1 = 0, sen˜ao:

2

se U < 0.75, ent˜ao retorna x = x2 = 1, sen˜ao:

3

retorna x = x3 = 2

4

Note que para se obter uma amostra com v´arios elementos, basta replicar o procedimento descrito diversas vezes.

2.2.2 M´

etodo da Transformada Inversa - V. A. Cont´ınuas

O método da transformada inversa para a gera¸cão de variáveis aleatórias cont´ı-nuas só pode ser aplicado para gerar uma variável aleatória quando é conhecida a inversa da sua fun¸cão de distribui¸cão acumulada, denotada por F−1. Segue então que, seja X uma variável aleatória cont´ınua, então Fx é uma fun¸cão cont´ınua não-descrescente, tal

(20)

2.2 Gera¸cão de Variáveis Aleatórias 16 Supondo X variável aleatória tal que F−1 é conhecida, pode-se utilizar o pseudo-código descrito abaixo para se obter uma observa¸cão aparentemente aleatório de X.

Gera cont´ınua

1

2

Gerar uma variável aleatória U ∼ U nif (0, 1), isto é, um número pseudo-aleatório;

3

Retornar X = F−1(U ).

4

Veja que assim observa¸cão gerada realmente vem de uma popula¸cão cuja dis-tribui¸cão acumulada é dada por F :

P (Saida ≤ x) = P (F−1(U ) ≤ x) = P (U ≤ F (x)) = F (x)

Exemplo 2.2.2. Seja X uma variável aleatória com densidade f (x) = 2x, 0 < x < 1. Logo, a distribui¸cão acumulada é dada por

F (x) =          0, se x < 0 x2_{, se 0 ≤ x < 1} 1, se x ≥ 1

Suponha que se quer gerar um valor de X e para isso o pseudo código “Gera cont´ınua”. Primeiramente deve-se encontrar a fun¸cão de distribui¸cão acumulada inversa:

X2 = U ⇒ X = U1/2

Uma vez encontrada a inversa da distribui¸cão acumulada, basta aplicá-la na fun¸cão implementada.

U = u, onde u ∼ U nif (0, 1);

1

Retorne x =√U

(21)

Este método é bastante eficaz e possui uma forma bem rápida e direta de se gerar valores aleatórios, porém, ele exige que se saiba além da fun¸cão acumulada, saber inverter a mesma. Para as distribui¸cões continuas tais que a distribui¸cão acumulada não é conhecida, por exemplo a da distribui¸cão Normal, são utilizados outros métodos que tratam melhor destas especificidades, como o método da aceita¸cão e rejei¸cão. Neste trabalho nos limitaremos a falar apenas do método da transformada inversa, já que é mais simples, em termos de implementa¸cão, e funciona bem na gera¸cão de todas as distribui¸cões aqui usadas. Para maiores detalhes acerca do modelo de aceita¸cão e rejei¸cão pode-se verificar Ross (2006).

2.2.3 Gera¸

c˜

ao de uma exponencial

A distribui¸cão exponencial é um dos pilares do processo de Poisson, desta forma, saber gerar variáveis aleatórias com tais caracter´ısticas é fundamental para o de-senvolvimento deste trabalho que tem como base a simula¸cão de um processo de Poisson. Esta rela¸cão será mais bem explicitada no cap´ıtulo 3.

Defini¸cão 2.2.3. Seja X uma variável aleatória cont´ınua com fun¸cão de densidade de probabilidade dada por

f (x) = λe−λx (2.4)

Então, diz-se que X tem distribui¸cão exponencial com parâmetro λ.

Logo, seja X ∼ Exponencial(λ), então sua fun¸cão de distribui¸cão acumulada será dada por

F (x) = 1 − e−λx, x ≥ 0. (2.5)

Veja que a distribui¸cão exponencial possui uma fun¸cão de distribui¸cão acumu-lada invers´ıvel:

F (x) = 1 − e−λx ⇒ F−1(u) = −ln(1 − u)

λ .

(22)

2.2 Gera¸cão de Variáveis Aleatórias 18

Vide então que o método da transformada inversa pode ser facilmente utilizado para a gera¸cão de variáveis aleatórias com distribui¸cão exponencial como é mostrada no pseudo-código Gera exponencial implementado a seguir.

Gera exponencial 1 2 Gerar U ∼ U nif (0, 1); 3 Retornar X = −ln(1−U )_λ 4

Podemos simplicar ainda mais este código uma vez que U ∼ U nif (0, 1) ⇒ 1 − U ∼ U nif (0, 1). Logo, podemos alterar nosso método de gera¸cão para uma forma um pouco mais simples, computacionalmente e matematicamente. Desta forma, temos que

Gera exponencial 1 2 Gerar U ∼ U nif (0, 1); 3 Retornar X = −ln(U )_λ 4

(23)

3 Gera¸

c˜

ao de um Processo de Poisson

Nesta sessão primeiro serão definidos os processos de Poisson, homogêneos e não-homogêneos. Em seguida serão apresentados métodos de gera¸cão desses processos.

3.1 Processo de Poisson

Um processo de Poisson pode ser dito como um caso particular de um processo de contagem (Ross, 1996) e por isto ´e fundamental entender o que ´e um processo de contagem para depois sim definirmos um processo de Poisson.

Um processo estoc´astico {N (t), t ≥ 0} ´e dito como um processo de contagem quando:

i. N (t) ´e o total de eventos ocorridos at´e o instante t; ii. N (t) ≥ 0;

iii. N (t) ´e um valor oriundo de um contagem, portanto deve ser um valor inteiro; iv. Dado s < t, ent˜ao N (s) < N (t);

v. Dado s < t, ent˜ao N (t) − N (s) deve ser igual ao n´umero de eventos ocorridos no intervalo (s, t].

Um processo de contagem é dito possuir incrementos independentes se o n´ u-mero de eventos que ocorrem em intervalos de tempos disjuntos, forem variáveis aleatórias independentes. Ou seja, se um processo de contagem possui incrementos independentes, o número de eventos que ocorrem até o instante s, N (s), deve ser independente do número de eventos que ocorrem entre os instantes t e s, N (t) − N (s).

Defini¸cão 3.1.1. Um processo de contagem é denominado processo de Poisson Homogêneo com taxa λ, λ > 0, se

(24)

3.1 Processo de Poisson 20 ii. O processo possui incrementos independentes;

iii. O número de eventos em qualquer intervalo de tamanho t possui distribui¸cão Poisson com média λt, ou seja, para todo s, t ≥ 0,

P {N (t + s) − N (s) = n} = e−λt(λt)

n

n! , n = 0, 1, . . .

Observe que `a partir de iii temos que E[N (t)] = λt e devido a isto λ ´e chamado de taxa do processo.

3.1.1 Tempo entre Eventos

Proposi¸cão 3.1.2. Seja {N (t), t ≥ 0} um processo de Poisson homogêneo de taxa λ ≥ 0 e T1 o instante de ocorrência do primeiro evento. Então T1 ∼ Exp(λ).

Demonstra¸c˜ao:

FT 1(t) = P (T1 ≤ t)

= 1 − P (T1 > t)

= 1 − P (nenhum evento ocorrer em (0, t)) = 1 − P (N (t) = 0) =    0 , se t < 0; 1 − e−λt , se t ≥ 0. Logo, FT1(t) = 1 − e

−λt_{, t ≥ 0. O que nos faz concluir que T}

1 ∼ Exp(λ)

Veremos agora um resultado mais geral.

Proposi¸cão 3.1.3. : Seja {N (t), t ≥ 0} um processo de Poisson homogêneo de taxa λ ≥ 0 e Ti o instante de ocorrência do i−ésimo evento. Seja X1 = T1 e Xi = Ti− Ti−1para i ≥ 2

o intervalo de tempo entre as ocorrˆencias de ´ındices i e i − 1. Ent˜ao, Xi ∼ Exp(λ).

(25)

3.2 Processo de Poisson n˜

ao-Homogˆ

eneo

O processo de Poisson não-homogêneo se faz necessário quando o número médio de ocorrências varia no decorrer do tempo t.

Defini¸cão 3.2.1. Um processo de contagem {N (t), t ≥ 0} é dito ser um processo de Poisson não-homogêneo com fun¸cão de intensidade λ(·), λ(t) ≥ 0, se

i. N (0) = 0;

ii. {N (t), t ≥ 0} possui incrementos independentes;

iii. limh→0P {exatamente 1 evento entre t e t + h}/h = λ(t);

iv. limh→0P {2 ou mais eventos entre t e t + h}/h = 0.

A fun¸c˜ao m(t), definida por m(t) =

Z t

0

λ(s)ds, t ≥ 0 (3.1)

´

e chamada de fun¸cão do valor médio e indica o número médio de ocorrências no intervalo (0, t). Utilizando este fato, segue que: N (t + s) − N (t) é uma variável aleatória com distribui¸cão de Poisson com média m(t + s) − m(t).

Proposi¸cão 3.2.2. Suponha que eventos ocoram de acordo com um processo de Poisson homogêneo com taxa λ. Suponha também que, independente de qualquer coisa que tenha acontecido, um evento que ocorra no instante t é contado com probabilidade p(t). Então este processo de contagem obedece um processo de Poisson não homogêneo com fun¸cão de intensidade λ(t) = λp(t).

A proposi¸cão acima está implementada e demonstrada em Ross (2006). Esse resultado será de grande utilidade para gerar um processo de Poisson não homogêneo.

3.3 Gera¸

c˜

ao de Processo de Poisson Homogˆ

eneo

Para se gerar um processo de Poisson Homogêneo, iremos utilizar como base o fato dos intervalos entre cada ocorrência serem variáveis aleatórias independentes e com distribui¸cão Exponencial, como mostrado na Se¸cão 3.1.1.

(26)

3.4 Gera¸cão de Processo de Poisson não-Homogêneo 22 Seguindo esta ideia, para gerar os instantes de ocorrência de eventos de acordo com o processo de Poisson Homogêneo serão efetivamente gerados os intervalos de tempo entre ocorrências consecutivas, que seguem o modelo exponencial.

Gera¸c˜ao do Pr´oximo Instante de Tempo

Vejamos agora o pseudo-código de uma fun¸cão que recebe como argumento o tempo corrente t e retorna o instante da próxima ocorrência de um processo de Poisson homogêneo de taxa λ. A fun¸cão será denotada por “Prox t h” e é implementada abaixo.

Prox t h 1 2 Entrada: t > 0; 3 Gera U ∼ U nif (0, 1); 4 t = t − ln(U )_λ ; 5 Retornar t. 6

Veja que se U ∼ U nif (0, 1), ent˜ao −ln(U )_λ ∼ Exp(λ), como j´a foi mostrado no Cap´ıtulo 2.

Uma vez já implementada esta fun¸cão, caso queira gerar n tempos de ocorrˆ en-cia de eventos, basta utilizar esta fun¸cão sucessivas vezes, atualizando sempre o t como o tempo da última ocorrência.

3.4 Gera¸

c˜

ao de Processo de Poisson n˜

ao-Homogˆ

eneo

Como já citado anteriormente, nem todos os processos que se deseja modelar são bem ajustados a um processo de Poisson homogêneo. Alguns sistemas podem não possuir suas taxas de chegada constantes ao longo do tempo, mas sim variáveis.

Desta forma, suponha que se quer gerar o instante da próxima ocorrência de um processo de Poisson com fun¸cão de intensidade λ(t). Primeiramente, deve-se escolher λ tal que λ(t) ≤ λ para todo momento de tempo t.

(27)

Posterior a isto, usaremos a Proposi¸cão 3.2.2 para gerar os elementos de um processo não homogêneo à partir de um homogêneo. Ou seja, se um evento de processo de Poisson homogêneo que ocorre com taxa λ em um tempo t é contado com probabilidade λ(t)/λ, então este processo de contagem de eventos será um processo de Poisson n˜ ao-homogêneo com fun¸cão de intensidade dada por λ(t). Assim, utilizando a simula¸cão de um processo de Poisson homogêneo e acrescentando uma probabilidade de contagem λ(t)/λ aos eventos, ter-se-á um processo de Poisson não-homogêneo.

Gera¸c˜ao do Pr´oximo Instante de Tempo t

Vejamos agora a implementa¸cão de uma fun¸cão que recebe o tempo t cor-rente no sistema e, utilizando os conceitos definidos acima, retorna o próximo instante de tempo de ocorrência de um evento decorrente de um processo de Poisson não-Homogêneo. Denotada por Prox t, veja abaixo o pseudo-código da mesma.

Prox t 1 2 Entrada: t > 0; 3 Gerar U ∼ U nif (0, 1); 4 t = t − ln(U )_λ ; 5 Gerar V ∼ U nif (0, 1); 6

Se V ≤ λ(t)/λ retorne t, sen˜ao:

7

Volte para a linha 4.

8

Note que os primeiros itens são idênticos à gera¸cão do processo de Poisson homogêneo e apenas foi acrescentada uma “chance” de contagem deste evento no processo.

(28)

24

4 Simula¸

c˜

ao de Sistemas

Apresentando o conceito de modelo, este é, por defini¸cão, uma representa¸cão estática do mundo. A simula¸cão então adiciona aspectos temporais ao “modelo” buscando representar como o sistema modelado varia no decorrer do tempo. Assim, a simula¸cão pode ser definida como uma representa¸cão tempo-variável do modelo (Sokolowski e Banks, 2009).

Observe também que a simula¸cão nos dá a vantagem de podermos conduzir múltiplos experimentos sobre um modelo em condi¸cões variáveis sem termos a necessidade de grandes recursos nem de modificar o sistema criado.

A simula¸cão possui basicamente duas vertentes, simula¸cão de eventos discretos e simula¸cão cont´ınua. A simula¸cão de eventos discretos decorre daqueles eventos que va-riam de um estado para outro com o passar do tempo enquanto que na simula¸cão cont´ınua tratamos de casos que se comportam continuamente ao longo do tempo independente dos eventos que ocorrem no sistema.

A exemplo, Sokolowski e Banks (2009) compara um semáforo a um carro. Equanto o semáforo só pode estar nas cores verde, amarelo ou vermelho (estados 1, 2 ou 3) independente do tempo, por outro lado, o carro não altera sua velocidade para zero instantaneamente mas sim vai variando sua velocidade, desacelarando, no decorrer do tempo. Esta mudan¸ca de velocidade é cont´ınua.

Diferenciar estes dois tipos de eventos é importante para a implementa¸cão dos processos que se seguirão. Neste trabalho serão abordados apenas modelos discretos e neste cap´ıtulo serão apresentados alguns tipos de sistemas e suas respectivas formas de simula¸cão.

Além do mais, ainda podemos classificar os modelos de simula¸cão em deter-min´ısticos ou estocásticos (existem outros tipos, porém menos usuais). Num modelo de simula¸cão determin´ıstico, este, não contém nenhuma variável aleatória, ou seja, para um conjunto conhecido de dados de entrada teremos um único conjunto de resultados de sa´ıda. Já nos modelos estocásticos, existem uma ou mais variáveis aleatórias como entrada, que levam a sa´ıdas aleatórias. É utilizado o modelo estocástico quando ao menos uma das

(29)

caracter´ısticas operacionais ´e dada por uma fun¸c˜ao de probabilidade.

Vide pela defini¸cão, então, que os modelos apresentados e os que serão imple-mentados ao longo do trabalho são modelos de simula¸cão estocástico de eventos discretos.

4.1 Conceituando Eventos Discretos

Primeiramente, vale conceituar alguns itens que serão usados frequentemente de agora em diante. A simula¸cão de eventos discretos pode ser definida como a va-ria¸cão ocorrida num modelo devido a uma sequencia cronológica de eventos que agiram, agem, sobre o mesmo; eventos são ocorrências instantâneas que causam a varia¸cão, mu-dan¸ca, do estado do sistema; e o estado do sistema é definido por uma ou mais variáveis que descrevem completamente um sistema para qualquer tempo dado.

Segue então que, o princ´ıpio de uma simula¸cão deve ser a defini¸cão das variáveis que serão utilizadas bem como os eventos poss´ıveis, pois serão eles que irão nortear nosso algoritmo para uma maior proximidade da realidade. Para o sistema deste trabalho usou-se basicamente três tipos de variáveis:

1. Variáveis que definem o sistema - São representadas pelas variáveis utilizadas na defini¸cão do sistema. Podem ser representadas pelo tempo máximo do sistema T e λ(t), dentre outras;

2. Variáveis de Interesse - São as variáveis que serão criadas durante o código visando análises futuras. Aqui estão inclu´ıdas variáveis como tamanho máximo de uma fila, quantidade de eventos ocorridos até o tempo T , maior tempo entre eventos, e quaisquer outras variáveis que se tenha interesse no experimento;

3. Variáveis de Controle - São aquelas que definem as mudan¸cas de estado do sis-tema, nos ajudando a controlar e conseguir realizar a simula¸cão. A real utilidade destas variáveis se tornará mais clara no decorrer do cap´ıtulo. Entretanto, podemos citar como exemplos desta variável o tempo t corrente e total de pessoas no sistema num dado instante.

Nas se¸cões a seguir serão vistos exemplos clássicos de sistemas estocásticos cuja simula¸cão é feita via eventos discretos. Muitos sistemas mais complexos, como o

(30)

4.2 Sistema com um servidor e fila ´unica 26 apresentado no cap´ıtulo 5 em geral podem ser decompostos em partes mais simples, como tais exemplos.

No decorrer deste cap´ıtulo serão apresentados algumas aplica¸cões das teorias e algoritmos já implementados anteriormente para simularmos sistemas de fila/servidor. Na se¸cão 4.2 será apresentado como se construir a base de um algoritmo para um sistema de servidor e fila únicos. Nas se¸cões 4.3 e 4.4 serão implementados algoritmos para múltiplos servidores, com filas única e múltiplas.

4.2 Sistema com um servidor e fila ´

unica

Nesta se¸cão será apresentado um pseudo-código que realiza a simula¸cão de um sistema com um único servidor em fila única.

Neste tipo de sistema os clientes chegam e, caso o servidor esteja desocupado, são imediatamente atendidos. Caso contrário, o cliente entra na fila. Assim, os clientes serão atendidos na ordem em que chegaram. Este conceito é conhecido como FIFO (first in-first out) e é válido para todos os casos de sistemas com fila única. De forma simples pode-se exemplificar este sistema como um banco onde só esteja funcionando um caixa.

Sa´ıde de Clientes Entrada de Clientes

Figura 4.1: Sistema com um servidor em fila ´unica

Ao realizarmos a simula¸cão deste sistema podemos estar interessados em ana-lisar o tempo que cada cliente fica no sistema ou o tamanho máximo da fila. Veja que ambos são variáveis aleatórias que não conhecemos a distribui¸cão, uma vez que o sistema é complexo. O que queremos com a simula¸cão é observar poss´ıveis amostras dessas variáveis para poder fazer inferências em cima dela e com isso tomar decisões.

Para realizar a simula¸c˜ao utilizaremos as seguintes vari´aveis:

1. Variáveis que definem o sistema - tempo máximo T que o servidor irá funcionar; e taxa de chegada λ(t) dos clientes no sistema;

(31)

2. Variáveis de interesse - um array que guarda o horário de chegada dos clientes no sistema, denominado N A; um array que guarda o horário de sa´ıda dos clientes, denominado N D;

3. Vari´aveis de controle - tempo corrente (t); quantidade de pessoas no sistema em um dado instante t (n); tempo de chegada do pr´oximo cliente no sistema (tc); tempo

de sa´ıda do último cliente até o instante t (ta); e o número de pessoas que entraram

no sistema (S).

Para a implementa¸cão será considerado que os clientes chegam no sistema de acordo com um processo de Poisson, homogêneo ou não, dependendo da modelagem. Caso a escolha seja por chegadas de acordo com um processo homogêneo, a fun¸cão prox t citada no pseudo código a seguir deve ser implementada como prox t h da página 22, caso contrário, essa fun¸cão será definida por prox t da página 23. Assim, segue abaixo o pseudo-código para a simula¸cão de tal sistema.

Inicializa¸c˜ao: 1 t = 0; 2 ta= ∞; 3 tc= prox t(0); 4 n = 0; 5 S = 0. 6 N A = N D = N U LL; 7 8

Caso 1: tc < ta e tc< T (um cliente chega no sistema)

9 t = tc; 10 S = S + 1; 11 N A[S] = t; 12 tc= prox t(t); 13 n = n + 1; 14 se n = 1, gera ta; 15

16

17

Caso 2: ta ≤ tc e tc, ta< T (termina o atendimento de um cliente)

(32)

4.3 Sistema com v´arios servidores e fila ´unica 28 t = ta; 19 N D[S − n] = ta; 20 n = n − 1; 21 se n ≥ 1, gera ta; 22

se n = 0, ta= ∞; Volte para a linha 9.

23

24

Caso 3: T ≤ ta e T ≤ tc (sistema ´e esvaziado: n˜ao entram mais clientes)

25 se n = 0, FIM; 26 t = ta; 27 N D[S − n] = ta; 28 n = n − 1; 29

se n ≥ 1, gera ta e volta para a linha 27;

30

se n = 0, FIM.

31

No código mostrado não especificamos qual a fun¸cão para gerar ta. Isto se

deve ao fato de que este tempo pode ser qualquer fun¸cão G definida pelo pesquisador ao implementar o código. Neste caso o ideal seria fazer um estudo prévio da distribui¸cão mais adequada.

Note que para a obten¸cão de estat´ısticas tais como tempo médio de atendi-mento e ou total de clientes atendidos no sistema, basta analisarmos as variáveis N A, N D e S. A exemplo, sendo N A e N D arrays que guardam o horário de chegada e sa´ıda dos clientes, logo N A − N D é um array que guarda o tempo que cada cliente ficou no sistema.

Perceba que o código apresentado não possui muitas variáveis de interesse e ou de controle, todavia, este pseudo-código tem a inten¸cão de auxiliar, servindo como base, na constru¸cão de sistemas mais complexos com entradas e sa´ıdas semelhantes.

4.3 Sistema com v´

arios servidores e fila ´

unica

Na se¸c˜ao anterior foi implementado o pseudo-c´odigo para um sistema com um ´

unico servidor e fila únicos. Nesta, será constru´ıdo a sequência lógica para implementa¸cão de um sistema com k servidores e uma única fila.

(33)

Considere um sistema composto por k servidores. Uma vez que um cliente chega no sistema, este entra na fila caso todos os servidores estejam ocupados ou entra no primeiro que estiver livre.

Entrada de Clientes Clientes Sa´ıda de clientes Servidor k .. . Sa´ıda de clientes Servidor 1

Figura 4.2: Sistema com k servidores e fila ´unica

Suponha que se quer simular este sistema levando em considera¸cão as mesmas afirma¸cões feitas na se¸cão 4.2. Os clientes chegam conforme um processo de Poisson não homogêneo com taxa λ(t) e os tempos de atendimento dos servidores é determinado por um fun¸cão G.

Para este tipo de sistema deve-se levar em considera¸cão algo que não era im-portante para um sistema com um único servidor. Na se¸cão 4.2 seguia-se um sistema FIFO, coisa que neste tipo de sitema não podemos afirmar. Ou seja, o i-ésimo cliente que chega ao sistema não necessariamente será o i-ésimo cliente a sair do sistema, uma vez que este pode demorar mais no atendimento do que outro cliente que chegue depois dele.

Para a simula¸c˜ao deste sistema utilizaremos as seguintes vari´aveis:

1. Variáveis que Definem o Sistema - tempo máximo que o servidor irá funcionar (T ); e taxa de chegada dos clientes no sistema (λ(t));

2. Variáveis de Interesse - horários de chegada dos clientes no sistema, denominado N A; horários de sa´ıda dos clientes, denominado N D;

3. Vari´aveis de Controle - tempo corrente (t); quantidade de pessoas no sistema em um dado instante t (n); o tempo de chegada do pr´oximo cliente no sistema (tc);

um array com os hor´arios de sa´ıda dos clientes do servidor (ta); e a quantidade de

(34)

4.3 Sistema com vários servidores e fila única 30 Supondo que se tem os mesmso interesses da se¸cão 4.2, vejamos como pode-se implementar um pseudo-código para este tipo de sistema.

Inicializa¸c˜ao: 1 t = 0; 2 ta= (∞, . . . , ∞); 3 n = 0; 4 S = 0; 5 tc= prox t(0); 6 N A = N D = N U LL; 7 8

Caso 1: tc < min(ta) e tc < T (um cliente entra no sistema)

9 t = tc; 10 S = S + 1; 11 N A[S] = t; 12 tc= prox t(t); 13 n = n + 1; 14

se n ≤ k, seja i o ´ındice de um sevridor vazio, gere ta[i];

15

16

17

Caso 2: min(ta) ≤ tc e tc, min(ta) < T (um cliente termina o atendimento)

18

t = min(ta);

19

N D[j] = t, onde j corresponde a ordem de chegada cliente que est´a saindo do sistema;

20

n = n − 1;

21

seja i o ´ındice do servidor que terminou o atendimento;

22

se n ≥ k, gere ta[i]; sen˜ao fa¸ca ta[i] = ∞

23

24

25

Caso 3: T ≤ min(ta) e T ≤ tc (sistema ´e esvaziado)

26

se n = 0, FIM;

27

t = min(ta);

28

N D[j] = t, onde j corresponde a ordem de chegada do cliente que est´a saindo do sistema;

29

n = n − 1;

(35)

se n ≥ k, seja i o ´ındice do servidor que acabou o atendimento, gere ta[i], sen˜ao ta[i] = ∞

31

32

Volte para a linha 27;

33

Para o sistema simulado acima vale algumas considera¸cões. A variável ta, é

vetor de tamanho k onde cada posi¸cão corresponde a um servidor, sendo este ordenado segundo sua posi¸cão neste vetor. Ou seja, o tempo de atendimento do servidor i será representado por ta[i]. Note que as compara¸cões em cada caso utiliza min(ta), isto é,

o menor valor do vetor ta. Desta forma, sabemos o pr´oximo servidor que ser´a liberado.

A atualiza¸cão de N D tambem se difere da se¸cão 4.2, já que, como dito, os clientes não necessariamente são atendidos na mesma ordem em que entram no sistema.

Caso queira inferir em cima dos dados simulados vale as considera¸cões realiza-das na se¸cão 4.2, basta utilizar N A, N D, S e qualquer outro tipo de variável de interesse que o pesquisador queira incrementar no pseudo-código implementado. São exemplos de variáveis que não estamos controlando neste pseudo-código: tamanho máximo da fila e quantidade de pessoas atendidas por servidor. Note também que os servidores atendiam todos segundo uma fun¸cão G e caso queira tornar os sistema mais real deve-se levar em considera¸cão uma distribui¸cão diferente para cada servidor, já que, usualmente, os atendentes, servidores, dificilmente atenderão de forma idêntica.

4.4 Sistema com v´

arios servidores e filas em paralelo

Nesta se¸cão iremos abordar o último caso de simula¸cão de sistemas. O sistema terá como base k servidores, como na se¸cão 4.3, porém iremos considerar que cada cliente escolhe ao chegar em qual servidor gostaria de ser atendido, criando-se desta forma uma fila espec´ıfica para cada servidor.

Como falado, representaremos um sistema com k servidores e k filas em para-lelo. Considere que os clientes escolhem em qual servidor ser˜ao atendidos de acordo com a quantidade de pessoas aguardando na fila do mesmo. Caso os servidores possuam filas de tamanhos semelhantes, o cliente escolhe a primeira destas.

Para este sistema, tal qual na Se¸cão 4.3, o sistema não segue um padrão F IF O. Entretanto, aqui o cliente opita por qual servidor será atendido logo na sua chegada,

(36)

en-4.4 Sistema com v´arios servidores e filas em paralelo 32 quanto que, no sistema da se¸c˜ao 4.3, os clientes escolhiam isto na exata hora do atendi-mento. Entrada de clientes Fila 1 .. . Entrada de clientes Fila k Sa´ıda de clientes Servidor k .. . Sa´ıda de clientes Servidor 1

Figura 4.3: Sistema com k servidores e k filas

Com isto, para realizarmos a confeçcão do pseudo-código deste sistema utili-zaremos as seguintes variáveis:

1. Variáveis que definem o sistema - tempo máximo que o servidor irá funcionar (T ); e taxa de chegada dos clientes no sistema λ(t);

2. Variáveis de interesse - horário de chegada dos clientes no sistema (N A); e horário de sa´ıda dos clientes (N D);

3. Vari´aveis de controle - tempo corrente (t); quantidade de pessoas no sistema em um dado instante (n); tempo de chegada do pr´oximo cliente no sistema (tc); vetor

com hor´arios de sa´ıdas dos clientes do sistema (ta); vetor que indica a quantidade

de pessoas na fila de cada servidor (f ila).

Com as variáveis definidas, tem-se que o pseudo-código para este tipo de sis-tema pode ser implementado como é mostrado a seguir.

Inicializa¸c˜ao: 1 t = 0; 2 ta= (∞, . . . , ∞); 3 n = 0; 4

(37)

S = 0; 5 f ila = (0, . . . , 0); 6 N A = N D = N U LL; 7 tc= prox t(0); 8 9

Caso 1: tc < min(ta) e tc < T (um cliente entra no sistema)

10 t = tc; 11 S = S + 1; 12 N A[S] = t; 13 n = n + 1; 14

seja i o ´ındice do servidor com fila menor;

15

f ila[i] = f ila[i] + 1; se f ila[i] = 1, gera ta[i];

16

17

18

Caso 2: min(ta) ≤ tc e min(ta) < T (um cliente termina o atendimento)

19

t = min(ta);

20

N D[j] = t, onde j corresponde a ordem de chegada do cliente que est´a saindo do sistema;

21

n = n − 1;

22

23

f ila[i] = f ila[i] − 1;

24

se f ila[i] ≥ 1, gera ta[i];

25

sen˜ao ta[i] = ∞;

26

27

28

Caso 3: T ≤ min(ta) e T ≤ tc (sistema ´e esvaziado)

29

se n = 0, FIM;

30

t = min(ta);

31

N D[j] = t, onde j corresponde ao ´ındice de chegada do cliente que est´a saindo do sistema;

32

n = n − 1;

33

34

f ila[i] = f ila[i] − 1;

35

se f ila[i] ≥ 1, gera ta[i]; sen˜ao, ta[i] = ∞;

36

Volte para a linha 30

(38)

4.5 Determinando o número de simula¸cões realizadas 34 Acerca deste sistema, valem os mesmos comentários feitos nas Se¸cões 4.2 e 4.3. No entanto, ao simularmos os sistemas com k servidores atendendo com um única fila ou com filas em paralelo podemos obter um resultado bastante conhecido.

Se mantivermos a mesma fun¸cão de atendimento G e chegada dos clientes com mesmo λ(t) para ambos os sistemas, podemos realizar compara¸cões em rela¸cão a performance de cada um. Observando os tempos de espera no sistema, os tamanhos máximos da fila e ou os tempos que cada servidor fica ocioso, dentre outras pos´ıveis variáveis, pode-se constatar um resultado bastante conhecido que é a preferência pela escolha de uma única fila.

Alcan¸car tal resultado seria bastante complexo, talvez até imposs´ıvel, analiti-camente devido a dificuldade em trabalhar com taxas de chegada não homogêneas, por exemplo.

4.5 Determinando o n´

umero de simula¸

c˜

oes realizadas

Um ponto importante quando se usa a simula¸cão para a tomada de decisões é o número de simula¸cões que garantem que o resultado obtido é confiável. Como em geral estamos analisando a média de alguma variável aleatória podemos nos basear na lei dos grandes números.

Lei dos Grandes N´umeros

A Lei dos Grandes números é uma das aplica¸cões de convergência de variáveis aleatórias, além de um resultado muito importante em probabilidade. De forma geral o teorema mostra que uma sequência de variáveis aleatórias definida pela média amostral de variáveis aleatórias identicamente distribu´ıdas e com esperan¸ca finita converge para a variável aleatória degenerada dada pela média populacional.

Existem duas versões principais dessa lei, a versão fraca e a forte. A dife-ren¸ca entre elas é o tipo de convergência usada: a lei fraca garante a convergência em probabilidade enquanto a versão forte garante a convergência quase certa.

Teorema 4.5.1. Lei Fraca dos Grandes N´umeros de Khintchin

(39)

tais que E[Xn] = µ < ∞. Ent˜ao, ¯ Xn P −−−→ n→∞ µ, onde ¯Xn= Pn i=1Xi n .

Teorema 4.5.2. Lei Forte dos Grandes N´umeros de Kolmogorov

Seja {Xn} uma sequência de variáveis aleatórias independentes, identicamente distribu´ıdas

tais que E[Xn] = µ < ∞. Ent˜ao,

¯ Xn q.c. −−−→ n→∞ µ, onde ¯Xn= Pn i=1Xi n .

4.5.1 Crit´

erio de Parada das Simula¸

c˜

oes

Seja T a vari´avel para a qual queremos determinar a sua m´edia e seja Ti a

observa¸cão dessa variável na simula¸cão i. Defina Wi = T1+T2+...+T_i i, ou seja, Wi é a média

amostral das primeiras i observa¸c˜oes da vari´avel T .

Pela lei dos grandes n´umeros podemos garantir que Wi −−−→

i→∞ E[T ]. Dessa

forma o número de simula¸cões será determinado pela variável Wi. Enquanto Wi varia

muito, deve-se continuar simulando. A partir do momento que Wi varia pouco com a

atualiza¸cão feita devido a novas simula¸cões, podemos assumir que Wi já está próximo do

seu limite, logo próximo de E[T ]. Nesse caso assumimos que o último Wi calculado é uma

(40)

36

5 Aplica¸

c˜

ao Pr´

atica: Simulando um Sistema

de Elevadores

Nos cap´ıtulos anteriores, vimos que a simula¸cão é bastante empregada quando não podemos resolver de forma anal´ıtica nossos problemas. Entretanto, vimos diversos modelos isolados que poderiam auxiliar um futuro programador a realizar a simula¸cão de um dado sistema.

Neste cap´ıtulo será apresentada uma aplica¸cão dos conceitos falados até agora para simular um sistema de elevadores. Nas Se¸cões 5.2 e 5.3 serão apresentadas desde a implementa¸cão do pseudo-código utilizado na simula¸cão do sistema até a extra¸cão das informa¸cões e posterior análise das mesmas. Serão realizada também compara¸cões acerca das melhores formas de disposi¸cão do sistema, visando otimizar os tempos de espera dos clientes.

5.1 Introdu¸

c˜

ao

Atualmente, devido a quantidade de prédios e até mesmo pela pratcidade, vemos uma grande utiliza¸cão dos elevadores. Entretanto, nem sempre são realizados estudos para se saber como alocar ou quantos elevadores utilizar.

Devido a isto, ´e comum nos depararmos com longas filas ou uma grande quanti-dade de elevadores que ficam em desuso por n˜ao considerar a taxa de chegada dos clientes naquele local.

Tendo em vista tais problemas, neste cap´ıtulo iremos abordar algumas manei-ras de se dispor um sistema de elevadores, de modo a poder otimizar o tempo gasto pelas pessoas na fila e a quantidade de elevadores ´otima.

Os sistemas levados em considera¸c˜ao foram dois:

Sistema 1: n elevadores parando em todos os andares; e Sistema 2: n elevadores parando em andares espec´ıficos.

(41)

Para o sistema 1, foi levado em considera¸cão uma fila única, já que, como falado na Se¸cão 4.4, um servidor com fila única é mais eficiente do que um com filas em paralelo. Para o sistema 2 foi considerada uma fila para cada elevador.

Na se¸cão seguinte serão explicitadas algumas considera¸cões feitas acerca dos sistemas simulados e como foram implementados.

5.2 Algoritmo

Nesta se¸cão será mostrado como foram implementados os códigos de ambos os sistemas e as compra¸cões, análises e discussões acerca dos dados obtidos serão realizados na se¸cão 5.3.

Veja que para as simula¸c˜oes seguintes foram inclu´ıdas uma lista de fun¸c˜oes ´

uteis para a implementa¸cão do algoritmo. Tais fun¸cões servirão para descrever de forma mais real´ıtica o fenômeno que se quer simular.

Para ambos os sistemas, também não foi levado em considera¸cão a entrada de passageiros nos andares superiores. Ou seja, os passageiros entram no sistema apenas pelo andar térreo e são levados de elvador para os andares desejados. Porém não está sendo considerado que eles peguem o elevador para descer e sair do sistema.

5.2.1 Sistema 1: n elevadores parando em todos os andares

Para a simula¸cão deste sistema, levou-se em considera¸cão a utiliza¸cão de n elevadores onde todos podem parar em qualquer andar. Para a implementa¸cão do mesmo, foram utilizadas as fun¸cões prox t e prox t h.

Para a realiza¸cão da simula¸cão foram utilizadas as seguintes variáveis:

1. Variáveis que definem o sistema - tempo máximo que o servidor irá funcionar (T ); taxa de chegada dos clientes no sistema (λ); número máximo de pessoas por elevador, (max elevador); quantidade de elevadores no sistema (n elevadores); e número de andares (n andares);

2. Vari´aveis de interesse - vetor com as horas de chegada de cada pessoa (N A); n´umero de pessoas por dia no elevador (Nc); vetor com as horas de embarques de

(42)

5.2 Algoritmo 38 cada passageiro (N D); e o n´umero de pessageiros que j´a embarcaram (Ne);

3. Variáveis de controle - tempo corrente (t); uma matriz n andares × n elevadores em que guarda a quantidade pessoas que irão saltar em cada andar de modo que em cada linha guarda-se o vetor de andares de cada elevador (andares); vetor que indica quando os elevadores acabam a viagem (temp viag); vetor com os instantes que os elevadores retornam ao térreo (temp volta); instante que o próximo cliente chega na fila (tc); e o número de pessoas na fila num dado instante t (n f ila).

Além das variáveis, foram utilizadas algumas fun¸cões úteis durante a simula¸cão com o intuito de gerar os andares escolhidos pelos passageiros, atualizar o tempo de viagem dos elevadores dentre outras.

Veja abaixo o pseudo-c´odigo para a implementa¸c˜ao do sistema simulado.

Inicializa¸c˜ao: 1 2 N A = N D = N U LL; 3 Nc = Ne = 0; 4 max f ila = 0; 5

andaresn andares×n elevadores = 0;

6 tc= prox t(0); 7 temp volta = (∞, . . . , ∞); 8 temp viag = (∞, . . . , ∞); 9 n f ila = 0; 10 11

Caso 1: tc < min(temp viag) e tc< min(temp volta) (um passageiro chega na fila)

12 13 t = tc; 14 Nc = Nc+ 1; 15 N A[Nc] = t; 16

Se existe algum elevador no t´erreo e seja i o seu ´ındice:

17

- - Ne= Ne+ 1;

18

- - N D[Ne] = t;

(43)

- - Atualizar o vetor andares[i, ] com o andar escolhido pelo passageiro;

20

- - Atualizar temp viag[i];

21

- - tc= prox t(t);

22

Caso não exista elevador no térreo, e seja k o elevador que irá descer primeiro;

23

- - Se n f ila = 0, ent˜ao:

24

- - - Atualizar temp volta[k];

25 t c = prox t(t); 26 n f ila = n f ila + 1; 27 28

Caso 2: min(temp viag) < tc , min(temp viag) < min(temp volta) (o elevador vai

29

parar)

30

31

Seja k o elevador que ir´a parar, t = temp viag[k];

32

temp viag[k] = ∞;

33

34

Caso 3: min(temp volta) < tc) e min(temp volta) < min(temp viag) (o elevador ser´a

35

recarregado)

36

37

Seja k o elevador que ser´a recarregado, t = temp volta[k];

38

andares[k, ] = 0, ou seja, toda a linha k da matriz andares ser´a zerada;

39

Se n f ila > max elevador, ent˜ao:

40

- - atualizar andares[k, ] segundo os andares escolhidos pelos passageiros;

41

- - N D[Ne, Ne+ 1, . . . , Ne+ max elevador] = t;

42

- - Ne= Ne+ max elevador;

43

- - n f ila = n f ila − max elevador;

44

- - atualizar temp viag[k];

45

- - atualizar temp volta[k];

46

Sen˜ao: – atualizar andares[k, ] segundo os andares esocolhidos pelos passageiros;

47 – N D[Ne, Ne+ 1, . . . , Ne+ max elevador] = t; 48 – Ne = Ne+ max elevador; 49 – n f ila = 0; 50

– atualizar temp viag[k];

51

– temp volta[k] = ∞;

(44)

5.2 Algoritmo 40 Note que este pseudo-código é bem mais complexo do que os apresentados até aqui. Entretanto, sua implementa¸cão é embasada no outros mais simples realizados no Cap´ıtulo 4.

5.2.2 Sistema 2: n elevadores parando em andares intercalados

Nesta se¸cão, iremos apresentar a simula¸cão de um sistema bastante seme-lhante com o anterior, entretanto, cada elevador parará em andares espec´ıficos é pr´ e-determinados. Elaborar este outro tipo de sistema tem como fim observarmos o compor-tamento do tempo médio de espera dos passageiros em rela¸cão ao primeiro sistema.

Para a defini¸cão dos intervalos de parada foi utilizada a divisão mais igualitária poss´ıvel dentre a quantidade de elevadores dispon´ıveis. Assim, supondo um sistema com três elevadores e onze andares, os intervalos seriam elevador1 = [1, 2, 3, 4], elevador2 =

[5, 6, 7, 8] e elevador3 = [9, 10, 11]. Note que o intervalo de andares ´e formado de forma

consecutiva.

Para as realiza¸cão da simula¸cão utilizou-se as seguintes variáveis:

1. Variáveis que definem o sistema - tempo máximo que o servidor irá funcionar (T ); taxa de chegada dos clientes no sistema (λ); número máximo de pessoas por elevador (max elevador); quantidade de elevadores no sistema (n elevadores); e o número de andares (n andares).

2. Vari´aveis de interesse - lista com as horas de chegada de cada pessoa em cada fila (N A); vetor com o n´umero de pessoas por dia em cada elevador (Nc); lista com

as horas de embarques de cada passageiro em cada elevador, (N D); e vetor com o n´umero de pessageiros que j´a embarcaram em cada elevador (Ne);

3. Variáveis de controle - tempo corrente (t); uma matriz n andares × n elevadores em que guarda a quantidade pessoas que irão saltar em cada andar de modo que em cada linha guarda-se o vetor de andares de cada elevador (andares); vetor que indica quando os elevadores acabam a viagem (temp viag); vetor com os instantes que os elevadores retornam ao térreo (temp volta); instante que o próximo cliente chega na fila (tc); e o número de pessoas na fila num dado instante t (n f ila).

(45)

primeiro. Isto ocorre pois estamos buscando otimizar o tempo médio de espera dos passa-geiros alterando apenas o comprtamento dos elevadores, mantendo os mesmos parâmetros e defini¸cões para ambos os sistemas.

Visto isso a atualiza¸cão dos tempos de viagem do elevador, entrada de passa-geiros no sistema, escolha de andares, dentre outros parâmetros, são os mesmos usados no sistema 1.

Abaixo segue o pseudo-c´odigo utilizado para a implementa¸c˜ao do sistema 2.

Inicializa¸c˜ao:

1

2

andares = 0, lembre que andares ´e um lista;

3 temp viag = (∞, . . . , ∞); 4 temp volta = (∞, . . . , ∞); 5 tc= prox th(0); 6 n f ila = (0, . . . , 0); 7

N A = N D = N U LL, note que ambos s˜ao listas;

8 Nc = Ne = (0, . . . , 0); 9 t = 0; 10 11

Caso 1: tc < min(temp viag) e tc< min(temp volta) (Chega um passageiro na fila)

12

13

t = tc;

14

Nc[j] = Nc[j] + 1, onde j corresponde ao elevador que o passageiro usar´a;

15

N A[[j]] = t, atualiza N A de acordo com o elevador escolhido;

16

Se existe algum elevador no t´erreo (passageiro entra direto):

17

- - Ne[j] = Ne[j] + 1;

18

- - N D[[j]] = t, atualiza N D de acordo com o elevador escolhido;

19

- - atualiza andares[[j]] de acordo com o andar escolhido;

20

- - atualiza temp viag[j];

21

- - tc= prox t(t);

22

Sen˜ao:

23

- - atualiza temp volta;

(46)

5.2 Algoritmo 42 - - tc= prox t(t); 25 - - n f ila[j] = n f ila[j] + 1; 26 27

Caso 2: min(temp viag) < tc) e min(temp viag) < min(temp volta) (Um elevador

28

vai parar)

29

30

Seja o elevador k com menor temp viag;

31 t = temp viag[k]; 32 temp viag[k] = ∞; 33 34

Caso 3: min(temp volta) < tc e min(temp volta) < min(temp viag) (Um elevador

35

ser´a recarregado)

36

37

Seja o elevador k com menor temp viag;

38

t = temp volta[k];

39

andares[[k]] = 0, zera a posi¸c˜ao k da lista;

40

Se n f ila[k] > max elevador:

41

- - atualiza andares[[k]] de acordo com os andares escolhidos;

42

- - N D[[k]][Ne[k], . . . , Ne[k] + max elevador] = t;

43

- - incrementar Ne mais max elevador elementos;

44

- - n f ila[k] = n f ila[k] − max elevador;

45

- - atualiza temp viag[k];

46

- - atualiza temp volta[k];

47

Sen˜ao:

48

- - atualiza andares[[k]] de acordo com os andares escolhidos;

49

- - N D[[k]][Ne[k], . . . , Ne[k] + max elevador] = t;

50

- - incrementar Ne mais max elevador elementos;

51

- - n f ila[k] = 0;

52

- - atualiza temp viag[k];

53

- - temp volta[k] = ∞;

(47)

5.2.3 Coment´

arios

Primeiramente, note que não foi enunciado sobre o tipo de fila utilizado no sistema 2. Isto se deve ao fato de, no sistema 2, o indiv´ıduo ao escolher o andar desejado, já escolhe automaticamente o elevador que lhe atenderá, criando diretamente uma fila para cada elevador.

Além disto, visando aproximar a simula¸cão de um sistema mais real´ıstico, inclu´ımos ainda alguns tempos estimados que podem incidir neste tipo de fenômeno. Veja na Tabela 5.1 os os tempos e eventos que foram levados em considera¸cão.

Tabela 5.1: Tempos que incidem sobre os modelos simulados. Descri¸c˜ao do Parˆametro Valor Estimado

Tempo entre cada andar 7 segundos Tempo de entrada de cada passageiro 2 segundos Tempo de abertura do elevador 5 segundos Tempo de fechamento do elevador 5 segundos

Em rela¸cão aos parâmetros das variáveis que definem os sistemas, veja na Tabela 5.2 os valores usados.

Vale ressaltar que a complexidade do sistema 2 é bem maior do que a do sistema 1, entretanto seria ainda mais dif´ıcil implementá-lo caso não tivessemos come¸cado pelo sistema mais simples, parando em todos os andares.

Dito isto, foi utilizado o software estat´ıstico R, vers˜ao 2.15.1 para realizarmos a simula¸c˜ao e podermos analisar cada modelo.

Tabela 5.2: Vari´aveis que definem os sistemas. Vari´aveis que definem Sistema Sistema

os Sistemas 1 2

T 600 minutos

max elevador 6 pessoas

n elevadores 1, 2, 3, 4 e 5 elevadores

(48)

5.3 Resultados da Simula¸c˜ao 44

5.3 Resultados da Simula¸

c˜

ao

Ao analisarmos cada sistema simulado, nos deparamos com duas quest˜oes:

- Qual o tempo gasto pelos passageiros at´e saltarem no andar desejado ?; e

- A quantidade de dias simulados seria suficiente para afirmarmos que os resultados obtidos de fato retratam o real problema?

Ao visar isto, criamos duas vari´aveis. Um vetor T - onde Ti corresponde ao

tempo m´edio gasto pelos passageiros dentro do sistema no i-´esimo dia simulado - e outro vetor W - onde Wi = T1+T2+...+T_i i.

Com base na Lei dos Grandes Números apresentada na Se¸cão 4.5, utilizaremos o vetor W para checarmos se a quantidade de dias simulados foi suficiente e qual o tempo médio dentro de sistema por passageiro.

Entretanto, como já foi apresentado, a chegada dos passageiros no sistema pode se comportar de forma homogênea ou não homogênea. Por isto, realizamos simula¸cões distintas para cada tipo de taxa de chegada.

Inicialmente foram gerados para cada sistema cem itera¸c˜oes com a quantidade de elevadores variando de um `a cinco.

5.4 Modelo simulado para λ homogˆ

eneo

Para representarmos este tipo de sistema, onde a taxa de chegadas ´e constante, buscamos simular todos os casos para λ ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Os valores de convergência de W em cada sistema simulado estão expostos nas Tabelas 5.3 e 5.4, onde E corresponde a quantidade de elevadores utilizados. Lembre-se que tal valor pode ser interpretado como o tempo médio que cada passageiro demorou dentro do sistema, ou seja, o tempo médio desde sua chegada na fila até saltar no andar desejado.

Primeiramente, verifica-se que independente da taxa de chegada, os sistemas 1 e 2 apresentam resultados semelhantes para um único elevador. Isto nos dá confian¸ca de que os sistemas simulados estão de acordo com as expectativas e a implementa¸cão esta

(49)

Tabela 5.3: Tempo m´edio (minutos) no sistema 1 para λ homogˆeneo. E λ 2 3 4 5 6 7 8 1 41.695 132.761 230.337 324.331 418.957 514.106 608.711 2 0.952 3.457 43.576 90.672 138.307 185.859 233.248 3 0.703 0.785 1.364 16.574 49.006 80.570 113.154 4 0.693 0.738 0.929 3.321 26.281 52.836 79.196 5 0.685 0.735 0.930 3.312 25.211 49.693 72.886

Tabela 5.4: Tempo m´edio (minutos) no sistema 2 para λ homogˆeneo.

E λ 2 3 4 5 6 7 8 1 42.156 132.784 230.115 323.746 418.567 514.1801 609.400 2 1.243 3.488 24.218 53.521 91.702 132.000 172.005 3 0.966 1.133 1.471 2.298 13.223 30.344 49.700 4 0.888 0.982 1.097 1.344 2.189 6.500 13.809 5 0.843 0.908 0.980 1.064 1.206 1.531 2.674

correta, uma vez que os dois sistemas são idênticos para este caso. Por outro lado, não podemos generalizar quando nos referimos ao melhor sistema.

Ao observarmos os resultados obtidos para as taxas de chegada λ ∈ {2, 3} notamos que o sistema 1 apresenta tempos menores que os do sistema 2. Ou seja, neste caso poder´ıamos dizer que o melhor sistema, com menor tempo de atendimento, seria o primeiro.

Entretanto, conforme aumentamos a taxa λ, o sistema 2 passa a se mostrar bem mais eficiente. Note que para o caso de cinco elevadores e λ = 7, a diferen¸ca dos tempos m´edios estimados no sistema 1 (49,7 minutos) em rela¸c˜ao ao sistema 2 (1,5

(50)

5.4 Modelo simulado para λ homogˆeneo 46 minutos) ´e de mais de 40 minutos. E conforme fomos aumentando as taxas de chegada o segundo sistema continuou se mostrando bem mais eficiente, aumentando cada vez mais esta diferen¸ca dos tempos.

Como já falado anteriormente, os valores obtidos nas Tabelas 5.3 e 5.4, foram obtidos através do vetor W . Assim, dispomos nas Figuras 5.1, 5.2, 5.3 e 5.4 os gráficos dos vetores W ’s obtidos para os sistemas cujo λ ∈ {2, 3, 4, 5} e possuiam três elevadores.

(a) Sistema 1. (b) Sistema 2.

Figura 5.1: W resultante da simula¸c˜ao de 3 elevadores e λ = 2.

Veja que nos gráficos apresentados, os valores de convergência até λ = 3 de fato apontam para o sistema 1 como melhor modelo e, conforme incrementamos λ, o sistema 2 passa a ser bem mais eficáz do que o primeiro. De fato, já hav´ıamos constatado isto através das Tabelas 5.3 e 5.4.

(51)

Os gráficos apresentados são apenas um exemplo do comportamento dos sis-temas ao longo das itera¸cões, dias simulados, e apesar de estarem exposto apenas alguns modelos, todos obtiveram o mesmo comportamento. Todos os sistemas, independente da quantidade de elevadores ou da taxa de chegada, apresentaram convergência clara bem antes dos cem dias simulados.

5.5 Modelo simulado para λ n˜

ao homogˆ

eneo

Diferente do caso homogêneo, não podemos adotar um λ espec´ıfico para rea-lizar as compra¸cões. Assim, implementamos duas poss´ıveis fun¸cões λ(t) e realizamos as simula¸cões com o mesmo número de itera¸cões, dias simulados, e quantidade de elevadores utilizados para λ homogêneo. As fun¸cões criadas para λ(t) estão explicitadas na figura

(52)

5.5 Modelo simulado para λ não homogêneo 48 5.5, de modo que: λ1(t) =                            3.75, set < 120; 3(320 − t)/160, set < 300; 3(t − 270)/240, set < 480; 3(4200 − 7t)/960, set ≤ 600. λ2(t) =                            7.5, set < 120; 3(320 − t)/80, set < 300; 3(t − 270)/120, set < 480; 3(4200 − 7t)/480, set ≤ 600. (a) Fun¸cão λ1(t). (b) Fun¸cão λ2(t).

Figura 5.5: Curvas das fun¸c˜oes das taxas de chegada λ(t).

Nas tabelas 5.5 e 5.6 estão alocados os tempos médios de permanência dos passageiros em cada combina¸cão E × λ para os sistemas 1 e 2.

Primeiramente, os valores obtidos para um único elevador são semelhantes para ambas as fun¸cões, tal qual no modelo homogêneo.