Grupos de Lie

Universidade Federal do Paraná 1◦ semestre 2017.

Programa de Pós-Graduação em Matemática Grupos de Lie

Prof. Olivier Brahic

Lista de exercícios 5

Representações

Na sequência, so consideremos representações no corpo K = C.

Exercício 1. [solução]

O objetivo deste exercício é de mostrar que o centro de GLn(C) é o subgrupo das homotetias, dado

por H := {λIn∈ GLn(C) | λ ∈ C∗}.

Consideremos a representação natural de GLn(C) em Cn, dada pela identidade

ρ :=id : GLn(C) → GLn(C).

a) Mostre que ρ é irredutível.

b) Mostre que qualquer elemento de H é um automorsmo da representação ρ. c) Conclua usando o Lema de Schur.

Exercício 2. [solução]

a) Seja G um grupo compacto, e ρ : G → C∗_{um morsmo de grupos de Lie. Mostre que ρ(G) ⊂ S}1_.

b) Deduza todos os morsmos de grupos de Lie S1 _{→ C}∗_.

Dica: temos Lie(S1_{) = R, e a exponencial é dada por θ 7→ e}iθ_.

Exercício 3. (Representações de grupos abelianos.) [solução]

a) Mostre que qualquer representação C-linear irredutível de dimensão nita de um grupo de Lie abeliano tem grau 1 (ou seja, o espaço vetorial sobre o qual G age é de dimensão 1 em C.). b) Determine todas as representações irredutíveis de S1_.

Exercício 4. [solução]

Seja G um grupo de Lie. Queremos estudar as representações K-lineares de dimensão nita de G, onde K = R ou C. Dadas duas representações irredutíveis (ρ1, V1) e (ρ2, V2) de G, consideremos:

Hom(ρ1, ρ2) := {f : V1, → V2 linear | f ◦ ρ1(g) = ρ2(g) ◦ f ∀ g ∈ G}.

1. a) Mostre que se Hom(ρ1, ρ2) = {0}se ρ1 e ρ2 não são equivalentes.

b) Mostre que End(ρ1) :=Hom(ρ1, ρ1) é um corpo (não necessariamente comutativo).

c) Mostre que se K = C, então End(ρ1) = C.

2. Suponha agora que G = S1_{= R/Z.}

a) Mostre que a seguinte aplicação dena uma representação R-linear de dimensão 2 de G: ρ : S1 −→ SO2(R)

θ 7−→cos θ − sin θ sin θ cos θ



b) Determine End(ρ).

3. Suponha agora que G = SU2(C). Seja H o subespaço vetorial real de M2(C) ' C4 denido por:

H :=a −¯b b ¯a  ∈ M_{2(C) | a, b ∈ C}  . a) Determine a dimensão de H em R.

b) Mostre que G age em H por multiplicação à direita, e que essa ação, denotada ρ, é irredutível. c) Determine End(ρ).

Exercício 5. [solução]

Determine uma base Hilbertiana de L2_(Rn_/Zn_{, C) e mostre que qualquer função f : R}n _{→ C de}

quadrado integrável, e 1-periódica en qualquer variável é limite de

f (x) = X

m1,...,mn∈Z

Z

[0,1]n

f (t)e−2iπm1t1_{. . . e}−2iπmntn

!

e2iπ(m1x1+···+mnxn)

no sentido da norma L2_.

Exercício 6. (Representações irredutiveis de SU2(C)) [solução]

a) Mostre que sl2(C) é uma álgebra de Lie complexa, e que é isomorfa à complexicação da álgebra

b) Seja ρ : SU2(C) → GLn(C) uma representação. Mostre que dρ se estende por C-linearidade

numa C-representação dρC: sl2(C) → gln(C). Mostre que se ρ é irredutível, então dρC também

o é.

c) Deduza todas as representações irredutíveis de SU2(C).

d) Determine os caracteres de todas as representações irredutíveis de SU2(C). (Dica: dado um

caractere χ, basta calcular os valores χ(a(θ)) de χ em matrizes da forma

a(θ) =e −iθ ₀ 0 eiθ  . Exercício 7. [solução]

1. Notemos Ad : SU2(C) → Aut(su2) a representação adjunta do grupo SU2(C).

a) Mostre que a imagem Ad(SU2(C)) de Ad é isomorfa a um subgrupo de SO3(R). Dica: pode

se começar por identicar su2 ' R3

b) Mostre que ker Ad = {±idC2}.

c) Deduza que Im(Ad) ' SO3(R) e depois, que Ad fornece um isomorsmo de grupos

topoló-gicos SO3(R) = SU2(C)/{±id}.

2. Mostre que qualquer representação ρ0_{: SO}

3(R) → Gl(V ) induz uma representação ρ : SU2(C) →

Gl(V ) de SU2(C) tal que ρ(±id_C2) = id_V e que, reciprocamente, qualquer representação ρ :

SU2(C) → Gl(V ) de SU2(C) tal que ρ(±id_C2) = id_V é da forma ρ = ρ0 ◦Ad, onde ρ0 é uma

representação de SO3(R).

3. Mostre que ρ é irredutível se e somente se ρ0 _{é irredutível.}

4. Deduza todas as representações irredutíveis de SO3(R).

Resoluções:

Solução do Ex.1 [enunciado]

a) É claro que um subespaço V ⊂ Cn_{é invariante por qualquer elemento de GL}

n(C), então V = {0}

ou V = Cn _{isto é, ρ é irredutível.}

b) Para qualquer h ∈ H, temos ρ(M) ◦ h = M ◦ h = h ◦ M = h ◦ ρ(M).

c) A representação ρ sendo irredutível, pelo lema de Schur, temos h = λid, com λ ∈ C∗_.

Solução do Ex.2 [enunciado]

a) O grupo G sendo compacto e ρ sendo contínua, ρ(G) é compacto. Suponha que existe z ∈ p(G) − S1, então a sequência (zn)n∈N pertence em ρ(G) mas não é limitada, o que contradiz o

b) Se ρ : S1 _{→ C}∗ _{é um morsmo de grupos de Lie, então pela questão precedente, ρ toma valores}

em S1_{⊂ C e obtemos um morsmo ρ : S}1_{→ S}1_{. A diferencial de ρ na identidade é uma aplicação}

dρ1 : R → R, logo é da forma dρ1(X) = αX onde α ∈ C. Pela relação exp ◦(dρ1) = ρ ◦ exp,

obtemos que, necessariamente:

dρ1(X + 2π)) = dρ1(X) + 2nπ,

onde n ∈ Z. Logo α = n ∈ Z e ρ é dada por ρ(z) = zα_{. Reciprocamente, é imediato que qualquer}

aplicação da forma z 7→ zα_{, onde α ∈ Z dena uma representação de S}1 _{em C.}

Solução do Ex.3 [enunciado]

a) Se ρ : G → GL(V ) é uma representação de um grupo abeliano, então ρ(G) é um subgrupo abeliano de GL(V ). Segue que o espaço vetorial h gerado por ρ(G) é uma subálgebra de Lie abeliana de gl(V ). Em particular, h é uma subálgebra solúvel de gl(V ). Pelo Teorema de Lie, o elementos de h admitem um autovetor comum v ∈ V . Em particular, Cv é uma subrepresentação de ρ. Logo se ρ é irredutível, então necessariamente, V = Cv.

b) Pela questão a) e o exercício 1, as C-representações ireductíveis de S1 _{são dadas por e}iθ_{7→ e}ikθ_,

onde k ∈ Z.

c) Pela questão a), basta exibir todos os morsmos de grupos de Lie ρ : S1_{× · · · × S}1_{→ S}1_{. Usando}

o fato que:

ρ(x1, · · · , x1) = ρ(x1, 1, . . . , 1) · · · ρ(1, . . . , 1, xn).

e que cada aplicação ρk : xk 7→ ρ(1, . . . , 1, xk, 1, . . . , 1) dena um morsmo S1 → S1, logo é

necessariamente da forma ρ(xk) = xα_kk onde αk∈ Z, obtemos que:

ρ(x1, . . . , xn) = n Y 1 xα1 1 · · · xαnn (xi ∈ S1 ⊂ C)

onde (α1, . . . , αk) ∈ Zn. Reciprocamente, verica-se facilmente que qualquer aplicação desta

forma dena um morsmo.

Solução do Ex.4 [enunciado]

1. a) Pelo lema de Schur, um morsmo entre duas representações irredutíveis é ou nulo, ou um isomorsmo. Segue o resultado.

b) É claro que End(ρ1)é um anel pela adição e a multiplicação. Pelo lema de Schur, qualquer

elemento naõ nule de End(ρ1)é um isomorsmo de V , logo invertível.

c) Caso K = C, então o lema de Schur diz que qualquer isomorsmo de uma representação irredutível é uma homotetia.

a) É fácil ver que ρ determina um isomorsmo ρ : S1 _{→ SO}

2(R). O grupo S2(R) age

tran-sitivamente nos vetores de norma 1 em R2_{, em particular, ele não pode deixar nenhum}

subespaço de dimensão 1 invariante.

Assim, a representação ρ é irredutível, e claramente de dimensão 2. b) Note que, S1 _{sendo abeliano, temos ρ(S}1_{) ⊂ End(ρ). Seja M =}a c

b d 

∈End(ρ). Então para qualquer θ, temos M.ρ(θ) = ρ(θ).M. Caso θ = π/2, obtemos que:

−b −d a c  =c −a d −b  ou seja, b = −c e a = d. Reciprocamente, temos que:

a −b b a



= √ 1

a2_{+ b}2ρ(θa,b)

onde θa,bé determinado pelas condições:

cos(θa,b) = a √ a2_{+ b}2, sin(θa,b) = b √ a2_{+ b}2.

En conclusão, End(ρ) identica-se com: End(ρ) ' R1 0_{0 1}



⊕ R0 −1_{1 0}  Segue que End(ρ) ' C pelo fato que:

0 −1

1 0



= −I2.

Suponha agora que G = SU2(C). Seja H o subespaço vetorial real de M2(C) ' C4 denido por:

H :=a −¯b b ¯a  ∈ M2(C) | a, b ∈ C  .

a) O subsepaço H é um subespaço de M2(C) ' C4 ' R8. ele é enteiramente determinado

pelos valores de a, b ∈ C, logo é de dimensão 4 em R.

b) Para mostre que G age em H por multiplicação à direita, basta ver que H é estável por multiplicação à direita por qualquer elemento de SU2(C), o que é fácil por cálculo. Outra

maneira de ver isto é que uma matriz pertence em H exatamente se tem colunas um vetor (a, b) ∈ C, e o seu ortogonal (direto) de mesma norma (−¯b, ¯a). Ou seja, se M ∈ H então

1

||M ||M ∈ SU2(C). Deduza-se imediatamente que H = R+SU2(C). Em particular, H é

estável por multiplicação a direita pois SU2(C) é um grupo. Um grupo agindo nele mesmo

por multiplicação à direita de maneira transitiva, segue que esta representação é irredutível. Aqui pode-se argumentar também do fato que os elementos de SU2(C) agem transitivamente

c) Aplica-se um método semelhante à questão 2 − c). Um elemento a c b d



em End(ρ) tem que comutar com 0 −1

1 0 

e 0 i 0 i 

. Segue que a = d e b = c, logo M é uma homotetia. Em conclusão End(ρ) ' C.

Solução do Ex.5 [enunciado] Uma base Hilbertiana de L2_(Rn_/Zn_{) é dada pelos caracteres de}

Rn/Zn. Pela questão a) do exercício 3, estes caracteres são dados pela questão c) do exercício 3. Uma função 1-periódica em cada variável f : Rn_{→ C determina uma aplicação ˜f : S}1_{× · · · × S}1_{→ C}

tal que f(x1, . . . , xn) = ˜f (˜x1, . . . , ˜xn), onde ˜x denota a classe módulo Z de x ∈ R no quociente R/Z.

Lembremos que o isomorsmo R/Z → S1 _{e dado pela aplicação θ → e}2iπθ_{. Pelo Teorema de}

Peter-Weyl (ou Teorema de Plancherel neste caso) sabe-se que qualquer função ˜f : (S1)n→ C de quadrado integrável verica, para qualquer ˜x = (˜x1, . . . , ˜xn) ∈ (S1)n

˜ f (˜x) = X m1,...,mn∈Z Z y∈(S1₎n ˜ f (˜y)ρm1,...,mn(˜y)d˜y ! ρm1,...,mn(˜x)

onde d˜y é a medida de Haar em S1_{× · · · × S}1_{. Trocando ˜x por e}2iπx_{, obtemos o resultado.}

Solução do Ex.6 [enunciado]

a) Por denição, sl2(C) é o subconjunto de M2(C) das matrizes complexas de trace nulo, em

particular é um C-espaço vetorial . Verica-se facilmente que o colchete [X, Y ] = XY − Y X dena uma aplicação C-bilinear [ , ] : sl2(C) × sl2(C) → sl2(C). Segue que sl2(C) é uma álgebra

de Lie complexa.

Notemos E, F, H as seguintes matrizes: E :=0 1 0 0  F :=0 0 1 0  H :=1 0 0 −1 

então claramente {E, F, H} forma uma base de sl2(C). Alem disso, calcula-se facilmente que:

[H, E] = 2E, [H, F ] = −2F, [E, F ] = H.

Por outro lado, notemos g = su2⊕ isu2. Vimos na questão 5-d) do exercício 5 da lista 4 que g

admite uma base {X, Y, Z} tal que:

[X, Y ] = 2iY, [X, Z] = −2iZ, [Y, Z] = X Dena-se um isomorsmo de C-espaços vetoriais ψ : g → sl2(C) tomando:

ψ(X) = H, ψ(Y ) = −iF, ψ(Z) = −iE.

Verica-se facilmente que ψ é um isomorsmo de álgebras de Lie, calculando que: ψ([x, y]) = [ψ(X), ψ(Y )], ψ([X, Z]) = [ψ(X), ψ(Z)], ψ([Y, Z]) = [ψ(Y ), ψ(Z)].

Outra maneira de mostrar é de vericar que qualquer matriz em sl2(C) se decompõe de maneira

b) Seja ρ : SU2(C) → GLn(C) uma representação. Então, dρ : su2 → gl(V ) é um morsmo de

álgebras de Lie de Lie reais. É imediato vericar que dρ se estende por C-linearidade num morsmo de álgebras de Lie complexas dρC: su2⊕ i.su2→ gl(V ⊕ iV ), denido por

dρ_C(U + iV ) := dρ(U ) + i.dρ(V ). Usando o isomorsmo su2⊕ isu2

ψ

' sl_{2(C) da questão precedente, obtemos uma C-representação} dρ_C: sl2(C) → gln(C).

Seja W ⊂ V um subespaço invariante de dρC, em particular dρ(X)(W ) ⊂ W para qualquer

X ∈ su2. Pela denição da exponencial exp(dρ(X)) = P_k!1(dρ(X))k, logo dρ(X)(W ) ⊂ W ⇒

exp(d(ρ(X)))(W ) ⊂ W e, exp(dρ(X)) sendo invertível, necessariamente, exp(dρ(X)) = W. Segue que:

ρ(eX)(W ) = exp(dρ(X))(W ) = W.

O grupo de Lie SU2 sendo conexo, ele é gerado por esu2, e segue facilmente que W é SU2(C)

invariante, logo W = V ou W = {0}, pois ρ é irredutível por hipótese. Segue que dρC é irredutível.

c) Pela questão precedente, qualquer representação irredutível de SU2(C) induz uma representação

dρ_Cde sl2(C) que é irredutível, logo isomorfa a uma das representações irredutíveis πm: sl2(C) →

gl_C(Vm) de sl2(C). Aqui, Vm:= n P : C2 → C | P (z1, z2) = m X k=0 akxkym−k (ak∈ C, ∀k = 0 . . . m) o

denota o espaço de polinômios homogêneos de grau m em C2_.

Seja A : V → Vm um tal isomorsmo de representações, temos:

A ◦ dρ_C(X) = πm(X) ◦ A ⇔ A ◦ dρC(X) ◦ A −1_{= π}

m(X),

o que implica por exponenciação que, para qualquer X ∈ su2(C) ⊂ sl2(C), temos:

A ◦ exp(dρ(X)) | {z } =ρ(eX₎ ◦A−1 = exp(πm(X)) | {z } =ρm(eX) .

Aqui, ρm : SL2(C) → GLC(Vm) denota a representação natural de SL2(C) em Vm. O grupo

SU2(C) sendo conexo, segue facilmente que A induz um isomorsmo entre ρ e a restrição a

SU2(C) ⊂ SL2(C) da representação ρm.

d) Seja χm o caractere de ρm. Qualquer matriz de SU2(C) é conjugada a uma matriz da forma:

a(θ) =e

−iθ ₀

0 eiθ 

onde θ ∈ R. Basta calcular os valores de χm(a(θ)). Pela denição de πm, temos:

Em particular, a matriz de ρm(a(θ))na base (xkym−k)k=0...mé a matriz diagonal com coecientes

e2k−miθ. Concluamos que:

χm(a(θ)) = m X k=0 e(2k−m)iθ = e−imθ m X k=0 e2ikθ = e−imθ·e 2i(m+1)θ_{− 1} e2iθ_{− 1} = e i(m+1)θ−e−i(m+1)θ eiθ_{− e}−iθ = sin((m + 1)θ) sin(θ)

Solução do Ex.7 [enunciado]

1. a) A representação adjunta Ad de SU2 é um morsmo de grupos topológicos Ad : SU2 →

GL(su3). A forma de Killing em su3 sendo não-degenerada e denida negativa, tomando

uma base ortonormal de su2 para −K, obtém-se isomorsmos su2 ' R3 e GL(su2) '

Gl3(R). A forma de Killing sendo invariante pela representação adjunta, Ad toma valores

em O3(R) ⊂ Gl3(R) ' Gl(su2). O grupo SU2 sendo conexo, a imagem de Ad esta inclusa

na componente conexa SO3(R) de O3(R).

b) O núcleo da representação adjunta coincida com o centro do grupo, nosso caso ker Ad = Z(SU2). O método para encontrar o centro de SO3(R) (ver a questão f ) do exercício 5 da

lista 3) se aplica para mostrar que a centro de SUn é dado por Z(SUn) = {e

2iπk n id

Cn | k =

0 · · · n − 1}. Nosso caso, n = 2, temos Z(SU2) = {±id_C2}.

c) O núcleo de Ad é discreto, logo dAd : su2 → so3(R) é injetora. As álgebras su2 e so3(R)

sendo de dimensão 3, dAd é um isomorsmo, segue de exp ◦dAd = Ad ◦ exp e do fato que SO3(R) é conexo que Ad : SU2→ SO3(R) é sobrejetora.

Obtemos uma aplicação sobrejetora Ad : SU2 → SO3 com ker Ad = {±idC2} segue que

Ad passa ao quociente num isomorsmo SO3(R) ' SU2/{±id_C2}. Deduza que Im(Ad) '

SO3(R) e depois, que Ad fornece um isomorsmo de grupos topológicos SO3(R) = SU2/{±id}.

2. Claramente, ρ = ρ0_{◦Ad é um morsmo de grupos topológicos, como composta de grupos}

topoló-gicos. Alem disso ρ(−ìd) = ρ0_{◦Ad(−id) = ρ}0_{◦Ad(id) = id}

V, ou seja {±id} ⊂ ker(ρ). A reciproca

é imediata por passagem ao quociente por um subgrupo discreto normal incluso no núcleo. 3. Segue do fato que ker Ad = {±1} é feito de homotetias. Para g ∈ SU2, notemos ¯g a classe de g

em SO3. Para qualquer subespaço vetorial W de Cn, temos:

ρg(W ) | {z } =ρ−g(W ) = W ⇔ ρg(W ) = W e ρ−g(W ) = W
⇔ ρ0_¯g(W ) = W.

Segue que ρ é irredutível se e somente se ρ0 _{é irredutível.}

4. Basta estudar as representações irredutíveis de SU2 satisfazendo ρ(−id) = ρ(id). Com as

nota-ções da questão c) do exercício 6, pela denição de ρm, temos ρm(−id)(P (x, y)) = P (−x, −y).

Deduzamos que ρm(−id) = idm+1 se e somente se m é par. Em conclusão as representações

irredutíveis de SO3(R) são obtidas das (restrições a SU2 das) representações (irredutíveis) ρ2m