Disciplina:
Sistemas Fluidomecânicos
Análise de
Turbomáquinas
Análise de Turbomáquinas
•
O método empregado para a análise de
turbomáquinas depende essencialmente dos
dados a serem obtidos.
•
Volume de controle finito: metodologia
empregada para se obter informações sobre
vazão, variação de pressão, torque e potência,
aplicando o princípio da quantidade de
•
Volume de controle infinitesimal aplicado
sobre elementos de pás individuais:
metodologia usada para se obter informações
sobre ângulos de pás e perfis de velocidade.
•
Como nesta disciplina estamos trabalhando
com escoamentos idealizados, será
empregada a aproximação por volume de
controle finito
.
Princípio da Quantidade de
Movimento Angular
•
Abaixo, a equação geral do princípio da
quantidade de movimento:
⃗ × ⃗ +
⃗ × ⃗
∀ +
=
=
⃗ ×
∀ +
⃗ ×
⃗
Eq. 4.47 5ª ed.
•
Detalhando:
•
O vetor ⃗ localiza cada elemento de massa ou de
volume do sistema com respeito ao sistema de
coordenadas.
• ⃗
é a força de superfície exercida sobre o sistema.
•
Primeiro termo da equação: torque exercido pelas
forças de superfícies atuantes no VC.
•
Segundo termo: torque devido à ação da gravidade
sobre o fluido dentro do VC.
⃗ × ⃗ +
⃗ × ⃗
∀ +
=
volume Torque no eixo motor
=
⃗ ×
∀ +
⃗ ×
⃗
•
No outro lado:
•
A primeira integral estima o momento da quantidade
de movimento (QM) do sistema.
•
SC, índice mostrado na segunda integral, significa
superfície de controle. A segunda integral é
relacionada ao fluxo de momento de QM através da
superfície do VC.
volume x densidade = massa
massa x velocidade = quantidade de movimento (força!)
quantidade de movimento x vetor localização = momento da quant. movimt.
Equação de Euler para
Turbomáquinas
•
Para a análise de turbomáquinas, é
conveniente escolher um volume de controle
fixo abrangendo o rotor, a fim de avaliar o
torque no eixo.
•
A equação 4.47 é simplificada pois não são
consideradas significativas as forças de
superfície nem as relativas ao campo
•
Para um escoamento permanente:
⃗ × ⃗ +
⃗ × ⃗
∀ +
=
=
⃗ ×
∀ +
⃗ ×
⃗
= 0 (insignificante)
= 0 , pois o Volume de controle é fixo
• Volume de controle finito e componentes da velocidade absoluta para análise de quantidade de movimento angular.
VC sobre um rotor genérico de uma turbomáquina. O eixo Z, alinhado com o eixo de rotação do rotor, é perpendicular ao plano XY
•
Para um escoamento permanente:
O fluido entra no rotor com velocidade V1
O fluido sai do rotor com velocidade V2
Índice t: tangencial Índice n: radial
•
Integrando:
•
ou, na forma escalar:
•
A eq. 10.1c é chamada de equação de Euler
para turbomáquinas.
=
⃗ ×
⃗
Eq. 10.1a5ª ed.=
−
̇
=
−
̇
Eq. 10.1c•
As velocidades tangenciais são convencionadas como
positivas quando no mesmo sentido da rotação do
rotor.
•
Isto faz o torque no eixo T
eixopositivo para bombas,
ventiladores, sopradores e compressores (consomem
torque, este entra no VC), e negativo para turbinas
(torque é gerado, sai do VC).
•
A potência ̇
gerada ou consumida no eixo do
rotor é dada pelo produto escalar da velocidade
angular do rotor pelo torque
.
̇
=
=
−
̇
Eq. 10.2a•
A equação 10.2a pode ser escrita de duas outras
formas de grande utilidade.
•
Seja U = r , onde U é a velocidade tangencial do
rotor no raio r :
•
Dividindo por ̇ , obtemos a chamada altura de
carga, ou carga, adicionada ao escoamento:
̇
=
−
̇
Eq. 10.2b5ª ed.
Diagramas de Velocidade
• Diagramas de velocidade são úteis para definir as
componentes de velocidade do fluido e do rotor na entrada e na saída.
Perfil da pá saída
• Uma situação idealizada é mostrada na figura abaixo:
• O escoamento no rotor é idealizado entrando e saindo
tangencialmente ao perfil da pá (modelo chamado de entrada sem choque).
•
1 e
2 são os ângulos de entrada e saída da pá, medidos a partir da direção circunferencial.saída
•
A velocidade do rotor na entrada é
=
•
A velocidade absoluta do fluido é a soma vetorial da
velocidade tangencial do rotor (U
1na entrada) com a
velocidade do fluido em relação à pá (V
rb1).
•
O diagrama de velocidades na saída é similar ao da
entrada.
•
Estes diagramas permitem estimar o torque e a potência
ideais consumidos ou entregues pelo rotor,
representando o máximo desempenho sob condições
ideais de projeto (limite superior de desempenho).
Exemplo 10.1
•
Bomba centrífuga idealizada.
•
Água a 150 gpm entra axialmente no impulsor de
uma bomba centrífuga, através de uma entrada com
diâmetro de 1,25 pol. A velocidade de entrada é axial
e uniforme. O diâmetro de saída do impulsor é de 4
pol. O fluxo sai do impulsor a 10 pés/s em relação às
pás radiais. A rotação do impulsor é de 3450 rpm.
•
(a) Determinar a largura b
2de saída do impulsor, (b)
o torque entregue ao impulsor e (c) a potência
requerida predita pela equação de Euler para
turbinas.
VC fixo
• Q
= 150 gpm 0,0094635 m
3/s (galão EUA)
• V
rb2= 10 pés/s 3,0480 m/s
• R
1= 0,625 pol. = 0,015875 m
• R
2= 2 pol. = 0,0508 m
•
= 3450 rpm = 361,283 rad/s
•
água= 1000 kg/m
3VC fixo
•
Vazão: ̇ =
= ̇ =
2
= 2 = 0,0094635 3,048 × 2 × × 0,0508 = 0,00973• Da equação da quantidade de movimento angular com fluxo de saída uniforme:
• Entretanto, na entrada não há momento angular na direção z, portanto: • Desenvolvendo:
=
−
̇
=
̇
=
= = 0,0508 × 3450 × 2 × 60 × 1000 × 0,0094635= 8,8232 Nm
• Calculando a potência: • Respostas • a) 9,73 mm; b) 8,82 Nm; c) 3187,7 W ou 4,28 hp
̇
=
̇
=
3450 × 2 ×
60
× 8,8232 = 3187,7 W ≈ 4,28 ℎ
Exemplo 10.2
Um ventilador de fluxo axial opera a 1200 rpm. O diâmetro na ponta da pá é de 1,1m e o diâmetro do cubo é de 0,8m. O fluido é ar na condição padrão e o escoamento considerado
incompressível. Não há mudança na componente axial da velocidade através do rotor.
Ventilador de Fluxo Axial Idealizado
VC estacionário, é o canal de escoamento Fluxo z Rm
Os ângulos de entrada e de saída da pá são de 30° e 60°
respectivamente. Pás de guia de entrada dão ao fluxo absoluto que entra no primeiro estágio um ângulo de 30°.
Admita que o fluxo relativo entra e sai do rotor nos ângulos
geométricos da pá e utilize as propriedades no raio médio da pá
para os cálculos. Para essas condições idealizadas:
(a) desenhe o diagrama de velocidade de entrada, (b) determine a vazão volumétrica,
(c) esboce as formas das pás do rotor,
(d) desenhe o diagrama de velocidade de saída,
(e) calcule a potência necessária para acionar o ventilador, (f) calcule o torque mínimo necessário para acionar o
Solução:
• Aplique a equação da quantidade de movimento angular a um volume de controle fixo:
Considerações:
1. Torques devido a forças superficiais ou de massa são desprezíveis;
2. Escoamento permanente;
3. Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída; 4. Escoamento incompressível;
5. Não há variação na área de escoamento axial; 6. Use o raio médio das pás do rotor, Rm.
• As formas das pás são:
• O diagrama de velocidade de entrada é:
1 = 30° Movimento da pá Vrb1 Vrb2
2 = 60° z
1= 30°V
rb1V
n1V
t1V
1
1 = 30°U =
.R
m Item (a) Item (c) Atenção:U foi estimado usando Rm. Porque?
•
Da continuidade, a vazão que entra é igual à vazão
que sai:
•
Como A
1= A
2, então V
n1= V
n2 1= 30° Vrb1 Vn1 Vt1 V1 1= 30° U = .Rm=
=
•
Como A
1= A
2, então V
n1= V
n2e o diagrama de
velocidade de saída é conforme mostrado abaixo:
2= 60°V
rb2V
n2V
t2V
2
2U =
.R
m Item (d)•
No raio médio das pás:
=
.
=
.
2
=
1200 × 2
60
.
1
2
1,1 + 0,8
2
= 59,69026 /
Dpá Dcubo Dm•
Da geometria do diagrama de velocidade de entrada:
1= 30° Vrb1 Vn1 Vt1 V1 1= 30° U = .Rm30° =
= .
30° = 29,84513 /
30° =
=
.
30° = 25,84664 /
30° =
=
.
30° = 14,92257 /
30° =
=
30°
. = 51,69328 /
•
A vazão em volume:
=
=
×
4
á−
= 25,84664 ×
4
1,1 − 0,8
= 11,57095
/
Item (b)= 11,6
/
•
Torque no eixo, para escoamento uniforme:
•
Do diagrama de velocidade de saída:
=
−
̇
Eq. 10.1c 5ª ed. 2= 60° Vrb2 Vn2 Vt2 V2 2 U = .Rm=
=
+
a30° =
=
+
30° ×
2= 60° Vrb2 Vn2 Vt2 V2 2 U = .Rm
=
=
+
30° ×
=
−
30° ×
=
59,69026 −
30° × 25,84664
25,84664
= 1,732050875
= 60°
=
=
60° × 25,84664 = 44,76769 /
=
−
̇
=
−
̇ =
= 0,475 × 44,76769 − 14,92257 × 1,2250 × 11,57095= 1,2250
/
= 200,942613 .
Item (e) ̇ = = 1200 × 2 60 200,9 = 25251,1934= 200,9 .
̇
= 25, 25
Item (f)Diagramas de Velocidade
• Se o fluido entrar no impulsor com uma velocidade absoluta puramente radial, não haverá quantidade de movimento angular e Vt1 será nula.
Perfil da pá saída
entrada
• Se Vt1 = 0, então
• Sabemos que
=
1
−
Eq. 10.2c5ª ed.=
Eq. 10.35ª ed.• Então
• Para um impulsor de largura w, a vazão em volume é
=
2
=
• Substituindo na equação 10.5:=
−
Eq. 10.5 5ª ed.=
−
=
−
• Reescrevendo:
• Ou
onde
Observa-se que a equação 10.7a prevê uma variação linear da altura de carga H em relação a vazão em volume Q.
Eq. 10.7a 5ª ed.
=
−
=
−
=
=
Eq. 10.7b 5ª ed.• A constante C1 representa a altura de carga ideal
desenvolvida pela bomba para vazão em volume zero (altura de carga de bloqueio).
• Por outro lado, a inclinação da curva de altura de carga versus vazão em volume (curva H – Q) depende do sinal e da
magnitude de C2.
=
−
=
=
Eq. 10.7b 5ª ed.Curvada para frente Curvada para trás Seção transversal Seção meridional Altura de c arg a H Vazão volumétrica Q Vrb2 (rel)
• Se
2 < 90°, ou seja, se as aletas forem viradas para trás (figura abaixo), então C2 > 0. A altura H diminui em proporção à Q.=
−
=
=
Eq. 10.7b 5ª ed.
• Se
2 = 90°, ou seja, se as aletas forem radiais, então C2 = 0. A altura de carga H ficará independente da vazão Q.=
−
=
=
Eq. 10.7b 5ª ed.
• Se
2 > 90°, ou seja, se as aletas forem voltadas para frente, então C2 < 0, e a altura de carga H aumentará com a vazão Q. • Entretanto, pás curvadas para a frente quase nunca sãoutilizadas na prática porque tendem a um comportamento instável.
=
−
=
=
Eq. 10.7b 5ª ed.Potência Hidráulica
• O torque e a potência preditos pela aplicação da quantidade de movimento angular ao rotor, vistos até este momento, são valores idealizados.
• Na prática, a transferência de energia entre o rotor e o fluido tem perdas devido efeitos viscosos, desvios de escoamento uniforme e desvios de direção de fluxo em relação aos
ângulos das pás.
• A transformação de energia cinética em aumento de pressão pela dispersão do fluido introduz mais perdas.
• Dissipação de energia ocorre pelo atrito nos selos e mancais, e também pelo atrito entre o fluido e o rotor e carcaça, e calor é perdido para o ambiente.
• Para uma bomba, potência hidráulica é definida por ̇ = onde = + 2 + − + 2 + çã Eq. 10.8a 5ª ed. Eq. 10.8b 5ª ed.
• Para uma bomba real, a taxa de energia mecânica recebida é menor que a taxa de aumento de carga produzida. A eficiência de uma bomba é dada por:
= ̇
̇ =
Eq. 10.8c 5ª ed.
• Para avaliar a variação real na altura de carga, deve ser
conhecida a pressão, velocidade e elevação do fluido nas duas seções de medição.
• A velocidade do fluido pode ser estimada através da vazão volumétrica e dos diâmetros dos tubos.
• A pressão estática é medida em trechos retos a montante e a jusante da bomba, com a elevação de cada manômetro ou as leituras de pressão estática corrigidas para uma mesma
Exemplo 10.3
O sistema de escoamento empregado no teste de uma bomba centrífuga a 1750 rpm é mostrado abaixo. O líquido é água a 80oF e os tubos tem diâmetro de 6 pol. Os dados medidos em
teste são apresentados na tabela a seguir. O motor é trifásico, 460V, fator de potência 0,875 e eficiência constante de 90%.
Estimativa de características de uma bomba a partir de dados de teste
• Calcule a altura de carga líquida e a eficiência da bomba para uma vazão volumétrica de 1000 gpm. Monte os gráficos de altura de carga da bomba, potência e eficiência em função da vazão volumétrica. Vazão (gpm) Pressão de sucção (psig) Pressão de descarga (psig) Corrente do motor (amp)
• Para uma turbina hidráulica, a potência liberada pelo rotor (potência mecânica) é menor do que a taxa de energia
transferida do fluido para o rotor, porque o rotor tem de superar perdas de atritos mecânico e viscoso.
• A potência mecânica fornecida por uma turbina é relacionada à potência hidráulica através da equação abaixo:
= ̇ ̇ = onde ̇ = = + 2 + − + 2 + í Eq. 10.9c 5ª ed. Eq. 10.9a 5ª ed. Eq. 10.9b 5ª ed.
• A equação 10.9b indica que, para se obter potência máxima de uma turbina hidráulica, é importante minimizar a energia mecânica do escoamento na saída da turbina. Isto é realizado fazendo-se a pressão, velocidade e elevação do fluido, na
saída da turbina, tão menores quanto possível.
• Por isto a turbina é montada o mais próximo possível do nível do rio a jusante, o que é feito sempre considerando o
histórico de enchentes do rio.
= +
2 + − + 2 +
í
Eq. 10.9b 5ª ed.
