Propriedades: O vetor que define a normal dessa face é dado por : SÓLIDOS PLATÔNICOS 1

SÓLIDOS PLATÔNICOS1

Propriedades

:

 Os sólidos platônicos são considerados poliedros regulares definidos por um número

F

de faces e

V

vértices.

 As faces dos 5 sólidos platônicos são definidas por polígonos regulares com o número de lados dado por

E

e comprimento dado por

S

.

 Esses poliedros obedecem à restrição de Euler:

F + V = E +2

 Para cada um dos 5 sólidos existe uma esfera inscrita de raio

R

e outra circunscrita (mesmo centro) de raio

G

;

 Esses poliedros podem ser definidos por uma combinação dada por

{P,Q},

onde

P

representa o número de arestas por face e

Q

representa o número de faces que se encontram em cada vértice. A notação

{P,Q}

é denominada como símbolo de Schläfli.  Para cada um desses poliedros existe um ângulo diedro (



).

 Para o dodecaedro e o icosaedro o ângulo diedro é definido pela razão áurea (

μ

) da seguinte maneira:

.

 A razão áurea (

μ

) é constante dado pelo irracional positivo ( ) e aparece em várias formas geométricas, como por exemplo o retângulo definido pelo lado maior (m) e menor (n). Ele será considerado um retângulo áureo se a relação m/n for igual a

μ

.  Cada face (

F

) de qualquer um dos 5 sólidos é delimitada por um polígono regular de

E

lados, centro (

P

); ângulo interno (



); raio do círculo circunscrito (



) e normal definida pelo vetor ( ). O ponto

P

, para uma esfera com centro em

C

, é definido por:

P

.

O vetor

que define a normal dessa face é dado por :

.

A figura 1 contém a ilustração de uma face de um tetraedro. A face de um tetraedro é definida por um triangulo equilátero com raio do círculo circunscrito (



) e normal definida pelo vetor ( ). Essa definição pode ser extrapolada para os demais poliedros, cuja esfera inscrita tem centro em

C

e raio

R

.

O versor será definido a partir de um sistema de coordenadas esféricas (

R,



,



), considerando o centro da esfera de raio

R

na origem, tal como ilustrado na figura 2.

1

Link1: http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/tetraedro-br.html Link2: https://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid#frb-inline

Figura 1 –face de um poliedro definido por um triângulo equilátero com centro em P e

vetor

normal

.

Figura 2. Sistema de coordenadas esféricas e a sua transformação para o sistemas de coordenadas cartesianas com centro na origem.

As tabelas a seguir contêm os valores das propriedades mencionadas acima para o 5 sólidos com centro na origem e comprimento de aresta definido por

S

.

 

 



Tetraedro

F

V

E

{P,Q}

R

G



(RAD)



(RAD)



4 4 6 {3,3}

Região Coord. Esféricas Direção Vértice (ou ponto de referencia do plano)

Phi (



)

Teta (



) i

j

k

X

Y

Z

Topo {apenas

um vértice}

=0

0

sen()cos()

sen()sen()

cos()

C

X

+ iG

C

Y

+ jG

C

Z

+ kG

Lateral {3 faces equidistantes de

Teta (



)

}

C

X

+ iR

C

Y

+ jR

C

Z

+ kR

Base {apenas uma face}

=-

0

Hexaedro

F

V

E

{P,Q}

R

G



(RAD)



(RAD)



6 8 12 {4,3}

Região Coord. Esféricas Direção Vértice (ou ponto de referencia do plano)

Phi (



)

Teta (



) i

j

k

X

Y

Z

Topo Vertice

sen()cos()

sen()sen()

cos()

C

X

+ iG

C

Y

+ jG

C

Z

+ kG

Face

₀

C

X

+ iR

C

Y

+ jR

C

Z

+ kR

Lateral {4 faces equidistantes de Teta (



)

}

Base (Face)

0

Octaedro

F

V

E

{P,Q}

R

G



(RAD)



(RAD)



8 6 12 {3,4}

Região Coord. Esféricas Direção Vértice (ou ponto de referencia do plano)

Phi (



)

Teta

(



)

i

j

k

X

Y

Z

Topo (vértice

semente)

=0

0

sen()cos()

sen()sen()

cos()

C

X

+ iG

C

Y

+ jG

C

Z

+ kG

Lateral I {4 faces equidistantes de

Teta (



)

}

C

X

+ iR

C

Y

+ jR

C

Z

+ kR

Lateral II {4 faces equidistantes de

Teta (



)

}

Dodecaedro

F V E {P,Q} R

G



(RAD)



(RAD)



12 20 30 {5,3}

Região

Coord. Esféricas

Direção Vértice (ou ponto de referencia

do plano)

Phi ()

Teta ()

_i

_j

_k

_X

_Y

_Z

Topo Vertice (semente)

0

C

X

+ iG

C

Y

+ jG

C

Z

+ kG

Face

0

sen(



)cos(



)

sen(



)sen(



)

cos(



)

C

X

+ iR

C

Y

+ jR

C

Z

+ kR

Lateral I

{5 faces equidistantes de Teta (

)}

com teta inicial deslocado de

Lateral II

{5 faces equidistantes de Teta (

)}e

teta inicial = 0

ICOSAEDRO

F V E {P,Q} R

G



(RAD)



(RAD)



20 12 30 {3,5}

Região

Coord. Esféricas

Direção Vértice (ou ponto de referência do

plano)

Phi ()

Teta (

1

)

i

j

k

X

Y

Z

Topo Vertice (semente)

sen(



)cos(



)

sen(



)sen(



)

cos(



)

C

X

+ iG

C

Y

+ jG

C

Z

+ kG

Faces {5 triângulos

equiláteros

equidistantes de

Teta1 (

1

)} e teta

inicial =

C

X

+ iR

C

Y

+ jR

C

Z

+ kR

Lateral I

{5 faces equidistantes de

Teta (

2

)} e teta inicial =

Lateral II

{5 faces equidistantes de

Teta (

3

)} e teta inicial =

Base

Faces {5 triângulos

equiláteros equidistantes

de Teta (



4

)} e teta inicial =

Modelagem dos sólidos platônicos por triangulação com estrutura de dados no formato STL (Standard Tessellation Language) Roteiro para implementação computacional

Os sólidos serão modelados de forma individual devido as suas diferenças em geometria e topologia.

Para cada um dos cinco sólidos serão criadas cinco estruturas idênticas em propriedades (quantidade e tipo) e métodos (apenas em quantidade).

Os métodos em cada uma dessas estruturas serão ligeiramente modificados em função das diferenças geométricas e topológicas de cada um dos cinco sólidos. As estruturas acima mencionadas farão uso de estruturas e métodos de uso geral.

A figura 3 contém a representação gráfica do modelo de estrutura para os cinco sólidos. Nessa figura as propriedades estão listadas no retângulo do meio e são comuns para qualquer um dos sólidos. Entretanto, os métodos listados no último retângulo serão modificados de acordo com o sólido selecionado.

DESCRIÇÃO GERAL DOS CINCO MÉTODOS: defPar; DefPrimVert; def_faces; tessellation e PrntStl

Os cinco métodos devem ser executados na ordem apresentada no título dessa seção. Dessa forma, a modelagem de qualquer um dos sólidos se inicia com uma chamada do método defPar.

Primeiro método

: defPar

Esse método deve ser desenvolvido especificamente para o sólido a ser modelado o que, por conseguinte, implicará em 5 implementações distintas. O seu propósito é definir os valores para as propriedades do sólido, tal como listado no retângulo intermediário da Figura 3. As sua interface é composta de três argumentos: Infpar; Vlr; Ct. No primeiro argumento, define-se qual propriedade (aresta “S”; raio da esfera inscrita “R” ou raio da esfera circunscrita “G”) está sendo utilizada para o dimensionamento do sólido. Seu valor é transferido por meio de uma string, podendo ser “S”; “R” ou “G”.

O segundo argumento (Vlr) contém o valor (número real) da propriedade informada. O terceiro argumento contém as coordenadas cartesianas do centro da esfera. Por meio dessa propriedade é possível realizar eventuais translações do sólido modelado. Esse centro (Ct) é definido com um “vértice”, o qual possui uma estrutura própria, tal como esquematizado na Figura 4.

Uma estrutura do tipo “vértice” é composta por quatro propriedades e um método. A propriedade Id contém um inteiro que é utilizado para enumerar uma lista de vértices. Isto é necessário para evitar uma duplicação de vértices, ou seja, uma vez determinado, um vértice deve ser referenciado por meio de seu identificador (Id), mas nunca recalculado. As demais propriedades definem os valores (real) para o ponto cartesiano desse vértice.

O método PrintVert possibilita a impressão da estrutura de dados que define um vértice, em conformidade com o formato STL, ou seja: “vertex X Y Z”

Figura 4. Modelo da estrutura de um vértice