UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEM ´ATICA
DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA PURA E APLICADA
Introdu¸
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ao ao C´
alculo Num´
erico
2a. Edi¸
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ao
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Alvaro Luiz de Bortoli Carolina Cardoso Maria Paula Gon¸calvesFachin
Rudnei Diasda Cunha
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Alvaro Luiz de Bortoli ´e professor adjunto da UFRGS, desempenhando suas atividades junto ao Departamento de Matem´atica Pura e Aplicada, do Instituto de Matem´atica, desde 1996. ´E formado em Engenharia Mecˆanica pela UFRGS (1987); Mestre em Engenharia Mecˆanica pela UFSC (1990); e Doutor em Aerodinˆamica e Aeroelasticidade pela UFSC e Deutsches
Luft-und Raumfahrt Institut, Alemanha (1995).
Carolina Cardoso ´e Bacharel em Matem´atica (ˆenfase Matem´atica Aplicada e Computacional) pela UFRGS (1998) e Mestre em Matem´atica Aplicada pela UFRGS (2001).
Maria Paula Gon¸calves Fachin ´e professora adjunta da UFRGS, desempenhando suas atividades junto ao Departamento de Matem´atica Pura e Aplicada, do Instituto de Matem´atica, desde 1990. ´E Licenciada em Matem´atica pela UFRGS (1986); Mestre em Matem´atica pela UFRGS (1990); e Doctor of
Philosophy in Computer Science pela University of Kent at Canterbury, Reino Unido (1994).
Rudnei Dias da Cunha ´e professor adjunto da UFRGS, desempenhando suas atividades junto ao Departamento de Matem´atica Pura e Aplicada, do Instituto de Matem´atica, desde 1994. ´E Bacharel em Ciˆenciasde Computa¸c˜ao pela UFRGS (1988) e Doctor of Philosophy in Computer Science pela University of
Kent at Canterbury, Reino Unido (1992). Exerceu asfun¸c˜oes de programador de computadores e analista de sistemas no
Sum´
ario
1 Aritm´etica no Computador 6
1.1 Introdu¸c˜ao . . . 6
1.2 Representa¸c˜ao em bin´ario e decimal . . . 7
1.2.1 Bits, bytes e palavras . . . . 7
1.2.2 Convers˜ao entre representa¸c˜oes . . . 7
1.3 Representa¸c˜ao de n´umeros em um computador . . . 10
1.3.1 Representa¸c˜ao de n´umeros inteiros . . . 11
1.3.2 Representa¸c˜ao de n´umeros reais . . . 12
1.3.2.1 Representa¸c˜ao racional de n´umeros reais . . . 12
1.3.2.2 Representa¸c˜ao de n´umerosreaisem ponto-fixo . . . 13
1.3.2.3 Representa¸c˜ao de n´umerosreaisem ponto-flutuante . . . 13
1.3.2.4 Tratamento do zero . . . 14
1.3.3 Caracteriza¸c˜ao de uma representa¸c˜ao . . . 14
1.3.4 Arredondamentos . . . 16
1.3.5 Opera¸c˜oesaritm´eticas de ponto-flutuante . . . 20
1.3.5.1 Errosem opera¸c˜oesaritm´eticasde ponto-flutuante . . . 20
1.4 Perda de d´ıgitos s ignificativos . . . 22
1.4.1 Subtra¸c˜ao de valoresquase idˆenticos . . . 22
1.4.2 Teorema sobre a perda de precis˜ao . . . 24
1.5 Condicionamento de um problema . . . 25
1.6 Computa¸c˜oesest´aveise inst´aveis . . . 26
1.7 Desastres causados por erros aritm´eticosno computador . . . 27
1.7.1 Falha do sistema de m´ıs s eis “Patriot” . . . 27
1.7.2 Explos˜ao do foguete Ariane 5 . . . 28
1.8 Exerc´ıcios . . . 28
2 C´alculo de Ra´ızes de Fun¸c˜oes N˜ao-Lineares 29 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 29
2.2 M´etodo da Bissec¸c˜ao . . . 30
2.3 M´etodo da pos i¸c˜ao fals a . . . 33
2.3.1 Melhorando o m´etodo da pos i¸c˜ao fals a . . . 36
2.3.2 An´alis e do erro . . . 37
2.4 M´etodo de Newton-Raphs on . . . 38
2.4.1 An´alis e do erro . . . 40
2.5 Deriva¸c˜ao num´erica . . . 41
2.5.1 O m´etodo de Newton-Raphson e as ra´ızescomplexasde f (x) . . . . 44
2.6 Exerc´ıcios . . . 44
3 C´alculo de Ra´ızes de Polinˆomios 45
3.1 Introdu¸c˜ao . . . 45
3.2 Resultados te´oricos . . . 45
3.3 Enumera¸c˜ao e localiza¸c˜ao de ra´ızesde polinˆomios . . . 46
3.3.1 Regra de Des cartes . . . 46
3.3.2 Regra de Du Gua . . . 47 3.3.3 Regra da lacuna . . . 47 3.3.4 Cota de Laguerre-Thibault . . . 48 3.3.5 Cota de Fujiwara . . . 48 3.3.6 Cota de Kojima . . . 48 3.3.7 Cota de Cauchy . . . 48
3.4 M´etodo de Newton-Vi´ete . . . 49
3.5 M´etodo de Horner . . . 51
3.5.1 C´alculo do quociente e do res to . . . 51
3.5.2 Defla¸c˜ao de um polinˆomio . . . 52
3.5.3 Calcular a expans˜ao de Taylor de um polinˆomio . . . 52
3.5.3.1 O m´etodo de Horner e sua rela¸c˜ao com a derivada de p(z) . . . . . 53
3.5.3.2 O m´etodo de Newton-Raphson usado em conjunto com o algoritmo parcial de Horner . . . 54
3.6 Ra´ızescomplexasde equa¸c˜oes polinomiais . . . 56
3.6.1 M´etodo de Bairs tow . . . 57
3.7 Exerc´ıcios . . . 60
4 Resolu¸c˜ao de Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares 61 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 61
4.2 Resolu¸c˜ao de Sistemas Triangulares de Equa¸c˜oes Lineares . . . 62
4.3 Resolu¸c˜ao de Sistemas de Equa¸c˜oesLinearespor Elimina¸c˜ao Gaussiana . . . 64
4.3.1 Dificuldades . . . 65
4.3.2 Elimina¸c˜ao Gaussiana e a Fatora¸c˜ao LU . . . . 67
4.3.3 O Custo Computacional da Fatora¸c˜ao LU . . . . 69
4.3.4 Resolu¸c˜ao de sistemas com m´ultiplostermosindependentes . . . 70
4.3.4.1 C´alculo da invers a de uma matriz . . . 70
4.4 Resolu¸c˜ao Iterativa de Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares . . . 73
4.4.1 Normas de vetores e de matrizes . . . 74
4.4.2 Normas de matrizes . . . 74
4.4.3 N´umero de condi¸c˜ao de uma matriz . . . 75
4.4.4 Erroscomputacionaise condicionamento . . . 76
4.4.5 M´etodos iterativos . . . 77
4.4.6 Refinamento iterativo . . . 78
4.4.7 M´etodo iterativo de Jacobi . . . 80
4.4.8 M´etodo iterativo de Gaus s -Seidel . . . 82
4.4.9 Extrapola¸c˜ao de um m´etodo iterativo . . . 85
4.5 M´etodo do Gradiente . . . 86
4.5.1 Forma Quadr´atica . . . 87
4.5.2 Descri¸c˜ao do m´etodo do Gradiente . . . 90
4.6 M´etodo dasDire¸c˜oes -Conjugadas . . . 94
4.7 M´etodo dos Gradientes -Conjugados . . . 98
4.8 Exerc´ıcios . . . 100
5 Resolu¸c˜ao de Sistemas de Equa¸c˜oes N˜ao-Lineares 102 5.1 Introdu¸c˜ao . . . 102
6 Autovalores e Autovetores 110
6.1 Introdu¸c˜ao . . . 110
6.2 Teoremas de limites s obre autovalores . . . 113
6.3 C´alculo de autovalorese autovetoresvia determinantes. . . 115
6.4 Autovaloresde uma matriz tridiagonal sim´etrica . . . 116
6.5 M´etodospara aproxima¸c˜ao de autovalorese autovetores . . . 120
6.5.1 M´etodo da potˆencia . . . 120
6.5.2 O m´etodo da potˆencia com transla¸c˜ao da origem . . . 123
6.5.3 M´etodo da itera¸c˜ao invers a . . . 124
6.5.4 O m´etodo da itera¸c˜ao inversa e o quociente de Rayleigh . . . 126
6.6 Exerc´ıcios . . . 126 7 Interpola¸c˜ao 128 7.1 Introdu¸c˜ao . . . 128 7.2 Interpola¸c˜ao polinomial . . . 129 7.3 Forma de Newton . . . 131 7.4 Forma de Lagrange . . . 132
7.5 Forma de Newton com diferen¸cas divididas . . . 134
7.6 Forma de Newton com diferen¸cas s imples . . . 137
7.7 Interpola¸c˜ao invers a . . . 138
7.8 Interpola¸c˜ao por “s plines ” . . . 139
7.9 Estudo do erro na interpola¸c˜ao . . . 142
7.9.1 Es timativa para o erro . . . 143
7.10 Exerc´ıcios . . . 144
8 Ajuste de dados experimentais 146 8.1 Introdu¸c˜ao . . . 146
8.2 M´ınimosquadrados- dom´ınio dis creto . . . 148
8.3 Ajus te linear . . . 148
8.4 Ajus te polinomial . . . 149
8.5 Ajustamento por fun¸c˜oesn˜ao linearesnosparˆametros– lineariza¸c˜ao . . . 150
8.5.1 Ajustamento por uma fun¸c˜ao exponencial . . . 150
8.5.2 Ajustamento por uma fun¸c˜ao potˆencia . . . 151
8.5.3 Ajustamento por uma fun¸c˜ao hiperb´olica . . . 151
8.5.4 Ajustamento por uma fun¸c˜ao do tipo y = a x 0+a1x . . . 151
8.5.5 Ajustamento por uma fun¸c˜ao do tipo y = a 1 0+a1x+a2x2 . . . 151
8.5.6 Ajustamento por uma fun¸c˜ao do tipo y = a eb x+c x2 . . . 151
8.6 Es colha do melhor ajus te . . . 151
8.7 M´ınimosquadrados- dom´ınio cont´ınuo . . . 154
8.7.1 Polinˆomiosortogonais . . . 157
8.8 Exerc´ıcios . . . 159
9 Integra¸c˜ao Num´erica 161 9.1 Introdu¸c˜ao . . . 161
9.2 Integra¸c˜ao num´erica via interpola¸c˜ao polinomial . . . 161
9.2.1 Regra do Trap´ezio . . . 162
9.2.2 M´etodo dosCoeficientesa Determinar . . . 165
9.2.3 Regra de Simps on . . . 166
9.2.4 Regra de Simpson com exatid˜ao cres cente . . . 167
9.2.5 Mudan¸ca do intervalo de integra¸c˜ao . . . 168
9.2.6 Quadratura Gaus s iana . . . 169
9.3 Integra¸c˜ao de fun¸c˜oes mal comportadas . . . 173
9.4 Intervalosde integra¸c˜ao infinitos. . . 174
9.5 Exerc´ıcios . . . 174
10 Solu¸c˜ao Num´erica de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias 178
10.1 Introdu¸c˜ao . . . 178
10.2 Problema de Valor Inicial . . . 180
10.2.1 Existˆencia da Solu¸c˜ao . . . 181
10.2.2 Errosna solu¸c˜ao num´erica . . . 181
10.2.3 M´etodo da S´erie de Taylor . . . 181
10.2.3.1 Vantagense desvantagens . . . 183
10.2.4 M´etodo de Euler . . . 183
10.2.5 M´etodo de Heum . . . 184
10.2.5.1 Erro de truncamento para o m´etodo de Heum . . . 185
10.2.6 M´etodos de Runge-Kutta . . . 186
10.2.6.1 M´etodo modificado de Euler . . . 187
10.2.6.2 M´etodo de Runge-Kutta de 4a Ordem . . . 187
10.2.6.3 Errosdo m´etodo de Runge-Kutta . . . 187
10.2.6.4 Avalia¸c˜ao da Fun¸c˜ao versus Ordem do M´etodo Runge-Kutta . . . 187
10.2.6.5 M´etodo Adaptativo de Runge-Kutta-Fehlberg . . . 188
10.2.7 M´etodos de passo m´ultiplo . . . 189
10.2.7.1 Convergˆencia, Estabilidade e Consistˆencia . . . 192
10.2.7.2 Erros de truncamento . . . 193
10.2.7.3 Errosde truncamento globais. . . 193
10.2.8 Sistemas de Equa¸c˜oesDiferenciaisOrdin´arias . . . 195
10.2.8.1 M´etodo da S´erie de Taylor . . . 196
10.2.8.2 M´etodo de Runge-Kutta . . . 196
10.2.9 Solu¸c˜ao via decomposi¸c˜ao em autovalores e autovetores . . . 197
10.2.9.1 O expoente de uma matriz . . . 198
10.2.10 Equa¸c˜oesr´ıgidas . . . 199
10.3 Problemas de Valor de Fronteira . . . 200
10.3.1 M´etodo do dis paro . . . 201
10.3.2 M´etodo de Newton . . . 203
10.3.3 M´etodo da coloca¸c˜ao . . . 203
10.3.4 Deriva¸c˜ao num´erica . . . 205
10.3.5 Solu¸c˜ao por diferen¸cas -finitas . . . 208
10.3.5.1 O cas o linear . . . 208
10.4 Exerc´ıcios . . . 209
11 Solu¸c˜ao Num´erica de Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais 212 11.1 Introdu¸c˜ao . . . 212
11.2 Equa¸c˜oesparab´olicas . . . 213
11.2.1 M´etodo expl´ıcito . . . 213
11.2.2 M´etodo de Crank-Nicols on . . . 216
11.2.2.1 Aproxima¸c˜ao ponderada . . . 217
11.2.3 Condi¸c˜oes de fronteira . . . 218
11.3 Equa¸c˜oesdiferenciaisparciaisel´ıpticas . . . 219
