[Quero + atividades] Especial matemática FUVEST

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Especial matemática FUVEST

1. (Fuvest 2016) Uma dieta de emagrecimento atribui a cada alimento um certo número de pontos, que equivale ao valor calórico do alimento ao ser ingerido. Assim, por exemplo, as combinações abaixo somam, cada uma, 85

pontos:

- 4 colheres de arroz + 2 colheres de azeite + 1

fatia de queijo branco.

- 1 colher de arroz + 1 bife + 2 fatias de queijo branco.

- 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + 2

fatias de queijo branco. - 4 colheres de arroz + 1 bife.

Note e adote: 1 colher de arroz 1 colher de azeite 1 bife Massa de alimento (g) 20 5 100 % de umidade + macronutriente minoritário + micronutrientes 75 0 60 % de macronutriente majoritário 25 100 40

São macronutrientes as proteínas, os carboidratos e os lipídeos.

Com base nas informações fornecidas, e na composição nutricional dos alimentos, considere as seguintes afirmações:

I. A pontuação de um bife de 100 g é 45.

II. O macronutriente presente em maior quantidade no arroz é o carboidrato.

III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem vegetal e de carboidrato, a razão

número de pontos do lipídeo

número de pontos do carboidrato é 1,5.

É correto o que se afirma em a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III.

2. (Fuvest 2012) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto.

Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos?

a) 49 144 b) 14 33 c) 7 22 d) 5 22 e) 15 144

3. (Fuvest 2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ

entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e

O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são

(Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria 900 km;π 3.)

a) junho; 7°. b) dezembro; 7°. c) junho; 23°. d) dezembro; 23°. e) junho; 0,3°. 4. (Fuvest 2016) Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente 2

bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa.

Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter 2 azuis seja 1? 3 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

5. (Fuvest 2016) Cada aresta do tetraedro regular

ABCD mede 10. Por um ponto P na aresta AC,

passa o plano α paralelo às arestas AB e CD.

Dado que AP3, o quadrilátero determinado pelas interseções de α com as arestas do tetraedro tem área igual a

a) 21 b) 21 2 2 c) 30 d) 30 2 e) 30 3 2

6. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, um círculo de centro P(a, b) tangencia as retas de equações

yx e x0. Se P pertence à parábola de equação yx2 e a0, a ordenada b do ponto P

é igual a a) 22 2 b) 32 2 c) 42 2 d) 52 2 e) 62 2

7. (Fuvest 2016) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão

2 3 7

1 1 1

S

2 log 2016 5 log 2016 10 log 2016

      O valor de S é a) 1 2 b) 1 3 c) 1 5 d) 1 7 e) 1 10

8. (Fuvest 2016) Os pontos A, B e C são colineares, AB5, BC2 e B está entre A e C.

Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r

perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r

com AD. Então, AP BP vale a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

9. (Fuvest 2016) Em uma classe com 14 alunos,

8 são mulheres e 6 são homens. A média das notas das mulheres no final do semestre ficou 1

ponto acima da média da classe. A soma das notas dos homens foi metade da soma das notas das mulheres. Então, a média das notas dos homens ficou mais próxima de

a) 4,3 b) 4,5 c) 4,7 d) 4,9 e) 5,1

10. (Fuvest 2016) Quando a Lua está em quarto crescente ou quarto minguante, o triângulo formado pela Terra, pelo Sol e pela Lua é retângulo, com a Lua no vértice do ângulo reto. O astrônomo grego Aristarco, do século III a.C., usou este fato para obter um valor aproximado da razão entre as distâncias da Terra à Lua, d ,_L e da Terra ao Sol, d ._S

É possível estimar a medida do ângulo α, relativo ao vértice da Terra, nessas duas fases, a partir da observação de que o tempo t ,₁ decorrido de uma lua quarto crescente a uma lua quarto minguante, é um pouco maior do que o tempo t ,₂ decorrido de uma lua quarto minguante a uma lua quarto crescente. Supondo que a Lua descreva em torno da Terra um movimento circular uniforme, tomando t₁14,9 dias e t₂14,8 dias, conclui-se que a razão dL dS seria aproximadamente dada por a) cos 77,7 b) cos 80,7 c) cos 83,7 d) cos 86,7 e) cos 89,7

11. (Fuvest 2016) Um veículo viaja entre dois povoados da Serra da Mantiqueira, percorrendo a primeira terça parte do trajeto à velocidade média de 60km h, a terça parte seguinte a 40km h e o restante do percurso a 20km h. O valor que melhor aproxima a velocidade média do veículo nessa viagem, em km h, é a) 32,5 b) 35 c) 37,5 d) 40 e) 42,5

12. (Fuvest 2016) No quadrilátero plano ABCD,

os ângulos ABCˆ e ADCˆ são retos, ABAD1, BCCD2 e BD é uma diagonal.

O cosseno do ângulo BCDˆ vale a) 3 5 b) 2 5 c) 3 5 d) 2 3 5 e) 4 5

13. (Fuvest 2016) De 1869 até hoje, ocorreram as seguintes mudanças de moeda no Brasil: (1) em 1942, foi criado o cruzeiro, cada cruzeiro valendo mil réis; (2) em 1967, foi criado o cruzeiro novo, cada cruzeiro novo valendo mil cruzeiros; em 1970, o cruzeiro novo voltou a se chamar apenas cruzeiro; (3) em 1986, foi criado o cruzado, cada cruzado valendo mil cruzeiros; (4) em 1989, foi criado o cruzado novo, cada um valendo mil cruzados; em 1990, o cruzado novo passou a se chamar novamente cruzeiro; (5) em 1993, foi criado o cruzeiro real, cada um valendo mil cruzeiros; (6) em 1994, foi criado o real, cada um valendo 2.750 cruzeiros reais.

Quando morreu, em 1869, Brás Cubas possuía

Se esse valor tivesse ficado até hoje em uma conta bancária, sem receber juros e sem pagar taxas, e se, a cada mudança de moeda, o depósito tivesse sido normalmente convertido para a nova moeda, o saldo hipotético dessa conta seria, aproximadamente, de um décimo de

Dados:

Um conto equivalia a um milhão de réis.

Um bilhão é igual a 109 e um trilhão é igual a 12 10 . a) real. b) milésimo de real. c) milionésimo de real. d) bilionésimo de real. e) trilionésimo de real.

14. (Fuvest 2016) A igualdade correta para quaisquer a e b, números reais maiores do que zero, é a) 3a3b3  a b b) 2 2 1 1 b a a b     c) ( a b)2  a b d) 1 1 1 ab  a b e) 3 3 2 2 a b a b a ab b  _{ }  

15. (Fuvest 2015) Dadas as sequências 2 n a n 4n4, b_n2n2, c_n a_{n 1} a_n e n 1 n n b d , b 

 definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações:

I. a_n é uma progressão geométrica; II. bn é uma progressão geométrica; III. c_n é uma progressão aritmética; IV. d_n é uma progressão geométrica.

São verdadeiras apenas a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I e III. d) II e IV. e) III e IV. Gabarito: Resposta da questão 1: [E]

Sejam x, y, z e w, respectivamente, o número de pontos correspondentes a uma colher de arroz, uma colher de azeite, uma fatia de queijo branco e um bife. Tem-se que 2z x w 2z 4x w x . 3 4x 2y z 4x y 2z y z        _  _{    }   _{ }

Em consequência, como 4x2y z 85, temos

2z

4 2z z 85 z 15.

3

     

Logo, vem x10 e y15.

Além disso, como 4xw85, encontramos de imediato w45.

[I] Verdadeira. De fato, pois w45.

[II] Verdadeira. O carboidrato é o macronutriente presente em maior quantidade no arroz.

[III] Verdadeira. Com efeito, pois uma colher de azeite representa 15 pontos para uma massa de

5 g, e uma colher de arroz representa 10 pontos para 0,25 20 g 5 g. Portanto, a razão entre os pontos é 15 1,5.

10

Resposta da questão 2:

[C]

Resposta de Biologia: São artrópodes da classe

inseto: besouro, barata, formiga, abelha e gafanhoto. Portanto, 5 animais. São artrópodes não insetos: aranha, escorpião, carrapato e ácaro (aracnídeos); lagosta, camarão e caranguejo (crustáceos).

Resposta de Matemática: Escolhendo dois

animais aleatoriamente, temos o espaço amostral do experimento: 12,2 12! C 66 2!.10!  

Escolhendo artrópode que não seja inseto, temos 7,2

7!

C 21

2!.5!

 

Portanto, a probabilidade pedida será: P =

21 7 P 66 22   . Resposta da questão 3: [A]

[Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Geografia]

Os raios solares que atingem a Terra são paralelos. Portanto: 360 900 7,2 2 3 7500 θ      

A cidade de Alexandria situa-se no hemisfério norte, território do Egito, onde o solstício de verão acontece no dia 21 de junho, quando o Sol dispõe sua radiação na perpendicular à linha do Trópico de Câncer.

[Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Matemática]

Considere a figura.

Como os raios solares são paralelos, segue que

AOB  e, portanto, AB OA 900 7500 0,12rad 0,12 180 7,2 . 3         

Além disso, como Assuã e Alexandria estão situadas no hemisfério norte, e o solstício de verão ocorre no mês de junho nesse hemisfério, segue que as observações foram realizadas em junho.

Resposta da questão 4:

[B]

Seja n o número de bolas vermelhas que deverão ser colocadas na caixa. Desse modo, como o número de casos favoráveis é 6

2       e o número de casos possíveis é n 6 , 2        temos 2 6 _6! 2 1 1 2! 4! (n 6)! n 6 3 3 2! (n 4)! 2 n 11n 60 0 n 4.     _            _{ }         Resposta da questão 5: [A] Considere a figura.

Sejam Q, R e S, respectivamente, as interseções de α com as arestas BC, BD e AD. Desde que α é paralelo à aresta AB, temos SR e PQ paralelos a

AB. Analogamente, concluímos que PS e QR são paralelos a CD. Ademais, sabendo que arestas opostas de um tetraedro regular são ortogonais, tem-se que o quadrilátero PQRS é um retângulo. Sendo ABCD regular, os triângulos APS e CQP

são equiláteros, e, portanto, a área pedida é igual a 2

3 7 21 m .

Resposta da questão 6:

[B]

Considere a figura, em que PQa e OQ b a .2

Sabendo que yx é bissetriz dos quadrantes ímpares e OP é bissetriz de SOQ, temos

POQ22 30 '. Além disso, do triângulo OPQ, vem

PQ tgPOQ a cotg22 30 '. OQ     Logo, sendo 1 cos 45 cotg22 30 ' 2 1, 1 cos 45        

concluímos que a 2 1 e, portanto, 2 ba  3 2 2. Resposta da questão 7: [E] Lembrando que _b a 1 log a , log b  c b b log a  c log a e c c c

log a b log a log b, com a, b e c reais positivos diferentes de 1, temos

2 3 7 2016 2016 2016 5 2 2016 2016 1 1 1 S

2 log 2016 5 log 2016 10 log 2016 1

(5 log 2 2 log 3 log 7) 10 1 log 2 3 7 10 1 log 2016 10 1 . 10                    Resposta da questão 8: [D]

Considere a figura, em que M é o ponto médio de

BD.

Os triângulos BPM e DPM são congruentes por LAL, pois MBMD, MP é lado comum e

BMPDMP. Daí, temos BPDP e, portanto,

AP BP AC  5 2 7.

[C]

Sejam S_h e S ,_m respectivamente, a soma das notas dos homens e a soma das notas das mulheres. Sabendo que S_m  2 S ,_h temos

m h m h h h S S S S 3 S 1 1 8 14 4 14 S 28.         

Portanto, segue que a resposta é Sh 28 _4,7.

6  6 

Resposta da questão 10:

[E]

Sabendo que a velocidade é constante no movimento circular uniforme, temos

2 360 2 89,7 . 14,8 14,9 α α α       Portanto, como L S d cos , d

α  segue que a resposta é L S d cos89,7 . d   Resposta da questão 11: [A]

Seja 3S a distância total percorrida. Logo, tem-se que a velocidade média, V, no percurso total é dada por 3S V S S S 60 40 20 3 2 3 6 120 360 11 32,7km h.         Resposta da questão 12: [C] Considere a figura.

Do triângulo ACD, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos 2 2 2 _{2 2} AC AD CD AC 1 2 AC 5.       

Desse modo, vem

CD 2

cos ACD cos ACD .

AC 5

  

Como os triângulos ACD e ACB são congruentes por LAL, segue que BCD 2 ACD e, portanto,

2

2

cosBCD 2 cos ACD 1 2 2 1 5 3 . 5       _{ }     Resposta da questão 13: [D] Tem-se que 3 3 3 3 3 3 18 1 real 2,75 10 10 10 10 10 10 2,75 10 réis.         

Portanto, como 300 contos300 10 6  3 10 réis,8

segue que o saldo hipotético dessa conta hoje seria 8 18 9 3 10 1 1 , 10 2,75 10 10    

ou seja, aproximadamente um décimo de bilionésimo de real.

Resposta da questão 14:

[E]

[A] Tomando a2 e b1, temos 3_93. Absurdo.

[B] Tomando a2 e b1, vem 1 1. 2 5  

Absurdo.

[C] Tomando a2 e b1, segue que 32 21.

Absurdo.

[D] Tomando a2 e b1, obtém-se 1 1 1. 3 2

Absurdo.

[E] De fato, pois

3 3 2 2 2 2 2 2 a b (a b)(a ab b ) a b, a ab b a ab b  _    _{ }    

para quaisquer a e b reais positivos.

Resposta da questão 15:

[E]

[I] Falsa. Tem-se que a_{n 1} (n2) .2 Logo, como a razão 2 2 n 1 2 n a (n 3) 1 1 a _{(n 2)} n 2  _  __{ } _    

não é constante, segue que a_n não é uma progressão geométrica.

[II] Falsa. De fato, a razão 2 2 2 2 (n 1) n 2n 1 n 2n 1 n 1 n n b 2 2 2 b ₂       _{  }

não é constante. Daí, podemos concluir que b_n

não é uma progressão geométrica.

[III] Verdadeira. A diferença entre quaisquer dois termos consecutivos da sequência c_n é

2 2 n 1 n 2 2 a a (n 1) 4(n 1) 4 (n 4n 4) n 2n 1 4n 4 4 n 4n 4 2n 5.                     

Desse modo, c_n é uma progressão aritmética de primeiro termo 7 e razão igual a 2.

[IV] Verdadeira. De (II), temos d_n22n 1, que é uma progressão geométrica de primeiro termo 8 e razão igual a 4.