Acadêmico(a) __________________________________________________________ Turma: _______________________________________________________________
Capítulo 2: MATRIZES 2.1. Definição
A teoria das matrizes e a teoria dos determinantes são pré-requisitos para resolução e discussão de um sistema linear. Define-se matriz m x n uma tabela de m por n números disposto em uma tabela de m linhas e n colunas.
𝐴𝑚𝑥𝑛: A é uma matriz que possui m linhas e n colunas. Ex: 𝐴2𝑥3 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2𝑥3 → [1 2 45 3 6] 𝐴4𝑥1 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 4𝑥1 → [ 3 −5 0 3 ] 𝐴𝑚𝑥𝑛 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑚𝑥𝑛 → [ 𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑗 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑖1 ⋯ 𝑎𝑖𝑗 ] 2.2 Classificação de Matrizes
1ª) Matriz Linha: Toda matriz da forma A1xn, ou seja, possui uma única linha. Ex: A= [3 0 −2]
2ª) Matriz Coluna: Toda matriz da forma Anx1,ou seja, possui uma única coluna
Ex : A= [−72 3
]
3ª) Matriz Quadrada: Toda matriz que possui o número de linhas igual o número ao
3 3
Matriz 3x3 A= [−2 −5 32 5 2
0 7 9
]
Diagonal principal: São os elementos da matriz quadrada cujos índices são
iguais
Dp= {aij | i=j} = {a11; a22; a33; ... aii}
Diagonal secundária: São os elementos de uma matriz quadrada em que os
índices tem soma igual a n+1 Ds= {aij | i≠j} = {a12; a31; a32; ... aij}
4ª) Matriz Nula: É toda matriz que possui os elementos iguais a zero
Ex: A= [
0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
5ª) Matriz Identidade: Toda matriz que possui a diagonal principal igual a 1 e os
demais termos iguais a 0 Ex: I2= [1 00 1]
2.3 Operações com Matrizes 2.3.1 Soma e subtração
A adição e subtração de matrizes são definidas somente para matrizes de mesma ordem. Para somar ou subtrair matrizes iguais, bastar somar ou subtrair os elementos correspondes de cara matriz.
Ex: 1- 𝐴 = [2 4
3 5] e 𝐵 = [−1 43 1] 𝐴 + 𝐵 = [2 + (−1) 4 + 4
2- A =[14 +26 8 −15 0 6 4 ] e B= [11 23 35 2 1 4 9 7 ] A – B = [14 − 11 2 − 236 − 5 8 − 2 −1 − 15 − 3 0 − 4 6 − 9 4 − 7 ] = [3 −211 6 −22 4 −3 −3 ]
2.4 Produto de um número (constante) por matriz
Multiplicar uma matriz por um número significa obter uma nova matriz com todos os elementos da primeira matriz multiplicado pelo número.
Ex: 1- 4𝑥 [−2 1/2 3 4 ] = [−8 2 12 16] 2- 2𝑥 [−25 10 ] = [−410 20 ] 2.5 Produto de matrizes
O produto de matrizes é definido quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, resultando em uma nova matriz com o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas igual ao da segunda matriz, isto é:
Quando a condição é satisfeita, os elementos da linha 1 da matriz A irá multiplicar os elementos das colunas da matriz B, gerando assim a primeira linha de elementos da
das colunas da matriz B, gerando a segunda linha da matriz C, e assim sucessivamente.
Ex: 𝐴3𝑥2 = [1 02 2 3 4
] 𝑒 𝐵2𝑥3 = [1 2 1
4 −5 3]
Lembrando que AB≠BA, já que:
𝐴3𝑥2𝑥𝐵2𝑥3 Número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, gerando uma matriz 3x3
𝐵2𝑥3𝑥 𝐴3𝑥2 Número de colunas de B é igual ao número de linhas de A, mas gera uma matriz 2x2.
2.6 Propriedades da multiplicação de Matrizes 1- Associativa: Considere a matriz 𝐴𝑚𝑥𝑛, 𝐵𝑛𝑥𝑝 𝑒 𝐶𝑝𝑥𝑞
Logo: ABC = A(BC) = (AB)C
2- Distributiva: Considere as matrizes 𝐴𝑚𝑥𝑛, 𝐵𝑚𝑥𝑛 𝑒 𝐶𝑛𝑥𝑝
Logo: (A+B)C = AC +BC
2.7 Matriz identidade
A matriz identidade é uma matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a um e os demais elementos iguais a zero.
A matriz identidade funciona como um elemento neutro da multiplicação de matrizes,, ou seja, qualquer que seja a matriz quadrada A de ordem n, tem-se que:
𝐴 ∗ 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛∗ 𝐴 = 𝐴
2.8 Matriz Transposta
Denominamos a matriz transposta de A por At. Considerando que A=(aij)mxn, tem-se que: At = (atji)nxm e atji = aij.
Para se obter a matriz transposta de uma matriz, basta inverter as linhas e as colunas da mesma. Ex: 1- 𝐴 = [2 5 6 1 3 3] → 𝐴𝑡 = [ 2 1 5 3 6 3] 2- 𝐴 = [−2 4 1 9] → 𝐴𝑡 = [−2 14 9]
Propriedades da matriz transposta 1- (𝐴𝑡)𝑡 = 𝐴
2- (𝐴 + 𝐵)𝑡= 𝐴𝑡+ 𝐵𝑡 3- (𝐴𝐵)𝑡= 𝐵𝑡∗ 𝐴𝑡 4- (𝑘𝐴)𝑡= 𝑘 ∗ 𝐴𝑡
2.9 Matriz inversa
Matriz inversa de A é aquela matriz B, tal que:
AB = BA = elemento neutro
Sabe-se que o elemento neutro no produto de matrizes é a matriz identidade (I), logo chama-se a matriz B de matriz inversa de A, representada por A-1
Definição: “Dada uma matriz inversível A, chama-se inversa de A a matriz A-1, tal que A*A-1= A-1*A= In”
3 4 Seja 𝐴−1 = [𝑥 𝑧 𝑦 𝑤] , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐴 ∗ 𝐴−1 = 𝐼 Logo: [1 2 3 4] ∗ [ 𝑥 𝑧 𝑦 𝑤] = [1 00 1]
Efetuando o produto entra A e A-1 tem-se:
[ 𝑥 + 2𝑦3𝑥 + 4𝑧 3 + 4𝑤𝑧 + 2𝑤] Igualando o produto das matrizes a identidade:
[3𝑥 + 4𝑦 3𝑧 + 4𝑤] = [𝑥 + 2𝑦 𝑧 + 2𝑤 1 0 0 1] Logo: {3𝑥 + 4𝑦 = 0 𝑥 + 2𝑦 = 1 e { 𝑧 + 2𝑤 = 0 3𝑧 + 4𝑤 = 1 Resolvendo as equações: 𝑥 = −2 𝑦 =6 4 𝑧 = 1 𝑤 = −1 2 Logo a matriz inversa de A é 𝐴−1 = [−26 1
4 −
1 2 ]
Lista de Exercícios
1- (UFV) Dada a matriz: 𝐴 = [
1 2 3 0 1 2 −1 1 −1 ], determine: a) A² b) A.At c) 2A+3At
2- (PUC) Os números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostrada a
seguir são tais que sua soma é igual a:
[𝑥 − 1𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧] ∗ [𝑦 + 2 1 −1
0 1 ] = [ 3−2 50]
3- (UEL) Considere as matrizes M e M² representadas a seguir:
𝑀 = [𝑎𝑏 −𝑎0 ] e 𝑀2 = [8 0 0 8] Qual o valor do número real a ?
4- (UEL) Sejam as matrizes A e B, 3x4 e pxq, respectivamente. Se a matriz A*B é 3x5,
qual o valor de p e q ?
5- Faça a multiplicação das matrizes abaixo, quando possível:
a) [ 2 4 7 3 10 −2 ] ∗ [ 0−2 6 21 3] b) [9 4 13 2 3 2] ∗ [ −1 0 0 6 3 4 ] c) [ −5 9 11 −2 4 3 0 7 15 ] ∗ [7 11 9 5 0 ] d) [ 0 4 6 2 ] ∗ [1 0 3]
5- (Vunesp) Seja A=[ aij] a matriz real 2x2 definida por aij=1se i≤j e aij= -1 se i>j.
Calcule:
a) A-1
a seguir?
𝑀 = [1 −1 0 −2]
7- (Unirio) Dada a matriz 𝐴 = [−5 −3
3 2 ], determine o valor de A-1+At-I2.
8- Qual o elemento a23 da matriz inversa de [
1 0 1 2 1 0 0 1 1
] ?
9- (Fuvest) Considere as matrizes:
A= (aij)4x7, tal que aij= i – j; B= (bij)7x9, tal que bij = i e C= AB. Calcule os elementos C63 e C38.