Capítulo 1
1.1) a c ⋅ + a b⋅ + ⋅ = − b c 3 2 1.2) p =3 1.7) = = 124 64 239 87 P , , Q , 49 49 49 49 1.8) + = max u v 6 1.10)(
4b ,−2b)
1.17) Área= 3. AB(
+ BC . BC) (
+CD)
12Capítulo 2
2.1) = − + +(
−)
b. 1 m a 1 m y . x a. b 2 2 2.2) 3y + x − 10 = 0 2.3) y= −3x + 2 4 e = + 5 y x 2 12 2.4) −5 > y > −3 3 2.5) − +(
−)
= 2 2 5 9 x y 4 2 4 2.7) 4 5 2.8)3x
−
4y
=
11
e
5x
+
6y
=
12
2.9) q = 3 4 2.10) a) > − + 2 o o y p x 2p 2 b) O L.G. é a reta xo = p(
p>0)
Última Atualização:
27/12/2013
2.11) O L.G. de P é uma esfera com centro coincidindo com o centro (2,2,2)
do cubo, e raio igual à metade da diagonal do cubo, i.e. R=2 3
Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser: É dado um cubo de aresta 4.
Considere o ponto P variável no espaço de tal forma que a soma dos quadrados das distâncias de P às 6 faces do cubo é constante e vale 48. Determine o Lugar Geométrico de P.
2.12) 12
2.13) 3 3 2 . L
4 onde L é o comprimento da aresta do cubo
2.12) L.G. é a circunferência de equação: − + + = 2 2 9 1 1 x y 2 2 2
Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro na numeração da questão. A questão referida aparece como número 2.12 (repetido), em vez do número 2.32.
2.14) 2 L 3 3 2.15)
(
+)
= Max 138 x 2y 11 2.16) a)(
x − 3)
2 +(
y− 2 2)
2 = 9 b) y = +5 2 2 ± 4(
x − 3)
3 2.17) b) 3. a(
2 + 2ab − 2b2)
2 2.18) 2x + y = 5 e x = 2y 2.19) − + = 2 2 25 25 x y 4 16 2.20) x = z 2.22) β: x + y =12.23) = − 2 2 2 2 x 1 y R . x 2.24) R=145 2 + 15 29 49 2.25) − = − = − − 22 22 x y 44 35 35 z 3 5 35 2.26) V=100 9 unidades de volume 2.27) 278 21 2.28)
(
x²+ y²)
máx = 36 2.29) 6 2.30) 1 3 unidades de distância 2.31) −2x + y + z + 1 = 0 2.32) 1 3 unidades de distânciaNota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro na numeração da questão. A questão impressa com o 2.32 é uma repetição da questão 2.30.
2.33) x+ + =y 1 0
Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser:
Considere os feixes de retas concorrentes (onde p e q são parâmetros reais) abaixo. Determine a equação da reta comum aos dois feixes.
3.x – y + 3 + p.( x + y + 1) = 0 2.x + 2.y + 2 + q. (4.x – y + 2 ) = 0
Para o enunciado original, a resposta seria: “há infinitas retas comuns aos dois feixes”.
2.34) A segunda reta tem equação: y = 3x − 2
Existem duas circunferências que atendem à descrição do problema, e suas equações são dadas por:
− + + = 2 2 1 2 13 x y 5 5 5 e
+ + − = 2 2 9 18 73 x y 5 5 5 2.35) x+ +y 2z − 6− 6 =0
2.36) Dois pares de retas atendem às condições:
= − = −
y 2x 3 e 2y 9 x ou 2y= +x 3 e y= −2x + 9
2.37) x2 +
(
y+ 2)
2 = 82.38) Circunferência de centro (0,0) e raio 6
2.39) − = + = − = ∈ − y 2 x 1 z 1 t 2 2.40)
(
x−2)
2 +(
y+4)
2 = 18Capítulo 3
3.1) Eixos : 6 2 e 12, excentricidade : 3 3.2) Elipse de centro em a , 02 e semieixos maior e menor de
comprimentos a 2e b 2 , respectivamente. OBS: Sendo + = 2 2 2 2 x y 1
a b a equação da elipse dada, com A = (-a,0), temos que a equação do LG pedido é:
− + = 2 2 2 2 a x y 2 1 a b 2 2
3.3) O LG procurado é uma elipse de centro no ponto médio de AB e
semeixos maior de medida p − 2c
6 e menor de medida
(
−)
p . p 4c
12 sendo
2c a medida de AB . Do LG devemos excluir os 2 vértices localizados no eixo focal.
3.4) Par de hipérboles: x2 − y2 = ± 1 3
3.5) LG é a circunferência de centro B e raio (2a – d), a menos dos pontos colineares a A e B.
3.7) a) = − − 8 F 2 , 3 b) d: + + = 125 3x 4y 0 3
3.8) Elipse de eixos maior e menor de medidas 6 e 3, respectivamente, com exceção dos vértices do eixo foca
OBS: Sendo + =
2 2
2 2
x y
1
a b a equação da elipse dada, temos que a equação do LG pedido é: + = ≠ 2 2 x 4y 1 , y 0 9 9
3.9) Elipse de eixo maior AB e eixo menor de medida 4, com exceção dos pontos A e B.
3.10) Mostra-se que as equações são equivalentes a:
(
−)
(
−)
+ = 2 2 o o 2 2 x x y y 1 a bUma parametrização para a equação da parábola proposta pode ser: = = 2 x t t y 2p 3.12) b) 2y= +1 x c) D = (3,5) 2 3.13) = − +
(
)
2 2 x AB y parábola h 4h3.18) =
(
−)
3 2 2 o o 2 S a. x y aLG de A, admitindo S constante é parábola de equação:
= − 1 2 3 2 a.S y a x 4 3.19) ± x= 2.y²+p p 2
(duas parábolas com vértice coincidindo com o foco da parábola original)
3.20) O LG terá equação: 2 x y− y xo − x yo ± K = 0 i) Par de hipérboles, se ≠ + 2 2 o o x y K 4
ii) Par de retas perpendiculares, se = +
2 2 o o x y K 4 3.22) O LG terá equação: − − = 2 2 7 162 x y 5 25 (hipérbole)
Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser:
De um ponto variável P traça-se uma reta de coeficiente angular m = 1,
que intercepta a reta de equação 5 . x – 16 = 0 em um ponto Q. Sendo
A = (5,0), determine o Lugar Geométrico dos pontos P sabendo-se que este se move de modo que PA = PQ.
3.24) O L.G. do ponto médio do segmento AC é a semi-circunferência de centro no ponto médio de AO e raio R/2.
3.27) O L.G. de A é dado pela equação paramétrica:
+ = 2 2 2 A A y x d k
Discutindo o LG para os casos particulares de k:
( )
< < → = → > → 0 k 1 elipse, com eixo principal na horizontal
k 1 circunferência de raio d e centro 0,0
k 1 elipse, com eixo principal na vertical
3.29) − 3 4
3.33) O LG é a diretriz da parábola.
3.37) O ângulo entre as curvas são: ± Arc tan
( )
6 3.38) x2 − y2 = 9 (hipérbole) 3.39) + = 2 2 2 2 a b 1 x ' y 'Gráfico: o esboço abaixo considera uma elipse tal que b > a. Note que, apesar da aparência hiperbólica, o LG não é uma cônica.
3.41) a) O LG é uma superfície cônica que compartilha o mesmo eixo do
cone e cuja geratriz vale: β = α
cos Arcsen
2
b) A área do segmento é dada por: S= 8 d sen2 α
3
3.42) x2 +
(
y−3)
2 = 4, com exceção dos pontos (0,1) e (0,5) 3.43) Hipérbole centrada em(
r , 2r−)
com semi-eixos valendo r. 3.44) O L.G. de M2 é a circunferência de centro F e raio 2.a3.46) Elipse com focos nos centros de C1 e C2 e eixo maior de medida
r1 + r2
3.47) Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um
erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser:
Considere a parábola y = x2 e o ponto variável P = (t, t2) pertencente a
parábola (t variando no conjunto dos reais). Seja h uma constante real, e os pontos A e B sobre a parábola com abcissas t – h e t + h, respectiveamente. Mostre que a área do triângulo PAB é constante, independente de t.
Capítulo 4
4.1) a) hipérbole b) elipse x" y" ( ) 1 .arctan 3 2 x y x y x" y" 45ºc) Duas retas concorrentes ( 2y + x = 0 e y = 2x – 1 )
d) Duas retas paralelas ( 2x + y = 0 e 2x + y + 3 =0 )
e) hipérbole : x y x y x y x" y" 45º
f) hipérbole g) parábola 4.2) a) hipérbole, θ = Rotação 1 3 Arc tan 2 4 b) elipse, θRotação =45o c) hipérbole, θRotação =45o x" y" x y
x"
y"
45ºx
y
4.3) a= − 4
b 15
4.4) Ponto de tangência = ( 2, 0)
Nota do Autor: A seção cônica aparece, em algumas versões impressas, escrita de forma errada. A correta equação deveria ser:
− − + − − =
2 2
x 4 x.y y 2x 4y 8 0
4.5) Existem dois valores de α que atendem à condição:
π π
α = ou α = 5
4 4
4.6) 7x + 15y + 7 = 0
4.7) O ângulo agudo é dado por:
− θ = 2 2 t p Arc tan p
Nota do autor: Alguns leitores chamaram atenção para umaa possível confusão com uma das palavras usadas para descrever P no enunciado. Em vez de “P está sobre a parábola”, a melhor escolha de palavras diria: “P está acima da parábola”.
4.10) O LG pedido é a elipse de equação: x2 + 2 y2 = 8
4.10) O LG pedido é a elipse de equação: x2 + 2 y2 = 2
4.12) Os possíveis valores de a são: 1 , 3 e 5
4 4
4.13) O L.G. é representado pelas duas curvas:
(
)
(
)
+ + − = − + − = 2 2 2 2 2 2 4x 4y 4 3 b y b 0 circunferência 4x 28y 4 3 b y b 0 hipérbole4.14) k= 5 2
4.18) O L.G. do ponto médio do segmento AB é a curva de equação
+ + − = 2 4y 6xy 3y 45 0 (hipérbole) Gráfico: 4.19) Tipo parábola 4.20) < − → − ≤ < → ≤ < → = → > → a 2 0 soluções 2 a 2 1 solução 2 a 5 2 soluções a 5 1 solução a 5 0 soluções 4.21) > → < ≤ → = → a 1 1 solução 0 a 1 2 soluções a 0 1 solução x y x" y" t s P B A
4.22) < → > → a 0 1 solução a 0 2 soluções
