Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Elétrica
TE 810 – Processamento Digital de Sinais
Aluno: Edgard Massahiro Munetiko
O CEPSTRUM: Um guia para
processamento.
Resumo: Este artigo é uma revisão tutorial sobre o Cepstrum focado em processamento de dados. O Cepstrum power, complex e phase serão mostrados de forma simplificada para o leitor. Problemas relacionados com deslocamento de fase, componentes de fase linear, sobreamostragem, superposição de espectros (aliasing) e preenchimento de seqüência de dados com zeros serão discutidos.
I
Introdução:Este trabalho tem dois objetivos: primeiro apresentar um guia sobre o Cepstrum, que está constantemente sendo incrementada de forma diversificada ; e segundo, pesquisar procedimentos de processamento de sinais cepstrum, que encontra aplicações nas análises de dados.
Fundamentalmente, técnicas cepstrum são adequadas para análise de dados que contém ecos (wavelets) ou reverberações de ondas fundamentais, cuja forma necessita ser conhecida, a priori. O cepstrum power é geralmente usado para determinar o tempo de chegada da onda fundamental e seus ecos e amplitudes relativas; o processamento do cepstrum complex pode determinar a forma de onda. Suas aplicações abrangem radares e sonares, onde o processamento do cepstrum pode ser utilizado para reduzir reflexos interferentes; sismologia marítima e terrestre, explorações e detecções sísmicas, onde a determinação da profundidade da fonte são feitas e mapeadas; eletroencefalograma (EEG) ou ondas cerebrais são correlacionadas e muitas outras aplicações.
O artigo será dividido da seguinte forma: Primeiro será apresentado uma pequena revisão histórica e a formulação matemática para processamento de seqüências discretas por técnicas cepstrum. Na seqüência será apresentado os problemas de fase encontrados no cepstrum complex, e depois serão apresentados outros problemas, por exemplo, aliasing, sobreamostragem, e a adição de zeros. Na próxima seção será apresentado o enjanelamento de seqüência de dados original e a seqüência cepstrum. Após isto será discutido o processamento de dados na área de hidroacústica. Finalmente, será concluído com um resumo, recapitulação e algumas observações gerais.
II
O CepstraHistoricamente, o cepstrum possui suas raízes no problema geral de deconvolução de dois ou mais sinais. Esta literatura abrange predição linear, deconvolução preditiva, filtragem inversa e deconvolução. Isto resulta que o cepstrum complex está relacionado com a deconvolução de dois sinais: a onda fundamental e o trem de impulsos.
A. O Power cepstrum
O power cepstrum foi inicialmente descrito por Bogert et al. em 1963 como uma técnica heurística para determinar o tempo de chegada do eco em um sinal composto. Basicamente, estes autores definiram o cepstrum de uma função como o espectro de potência do logaritmo do espectro de potência daquela função.
Estes autores mostraram rapidamente que o efeito do eco irá manifestar por si mesmo como uma ondulação no espectro. A “freqüência” desta ondulação é facilmente determinada calculando o espectro do log spectrum onde esta freqüência aparece como o pico. Contudo, a unidade da “freqüência” desta ondulação no log spectrum é em unidades de tempo, ou seja, a variável independente do gráfico é o tempo. Para evitar confusão, Bogert et al. introduziram novos termos:
Frequency quefrency Spectrum Cepstrum phase Saphe amplitude Gamnitude filtering Liftering harmonic Rahmonic period repoiod
entre outros. Hoje em dia, as duas mais conhecidas palavras são cepstrum e quefrency.
Na prática, o cesptrum power é funcional se a onda fundamental e o trem de pulsos, cujas convoluções compreendem os dados compostos, ocupam diferentes intervalos de quefrency.
Definição: O power cepstrum de uma seqüência de dados é o quadrado da transformada Z do logarítmo do quadrado da amplitude da transformada Z da seqüência de dados:
2 2 1
))
|
)
(
|
(log
(
)
(
nT
Z
X
z
x
pc −=
Quando esta definição é avaliada no círculo unitário, temos (1):
2 1 2
|
)
(
|
log
2
1
)
(
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
∫ − c n pcnT
X
z
z
dz
x
π
onde X(z) é a transformada Z da seqüência de dados x(nT).
Alternativamente, a potência mais externa pode ser eliminada. Portanto, se temos uma convolução de duas seqüências, então (2):
)
(
*
)
(
)
(
nT
f
nT
g
nT
x
=
Ou (3) 2 2 2)
(
.
)
(
)
(
z
F
z
G
z
X
=
Ou (4) 2 2 2)
(
log
.
)
(
log
)
(
log
X
z
=
F
z
G
z
Se aplicarmos (1), temos (5):termo
nT
g
nT
f
nT
x
pc(
)
=
pc(
)
+
pc(
)
+
Se o power cepstra de f e g ocupam diferentes quefrency, (5) pode ser reduzido para
)
(
)
(
)
(
nT
f
nT
g
nT
x
pc=
pc+
pcPara o caso de um sinal composto consistindo do sinal básico de forma de onda e um eco simples, temos (6):
)
(
)
(
)
(
nT
nT
a
nT
n
T
g
=
δ
+
δ
−
oOnde
δ
(nT
)
representa o pulso unitário. De (3), resulta (7):(
)
2 2 2 01
)
(
)
(
naz
z
F
z
X
=
+
−e se avaliarmos (4) no circulo unitário ( jT
e
z
=
ω ), então(8):))
cos(
2
1
log(
)
(
log
)
(
log
0 2 2 2T
n
a
a
e
F
e
X
jT jTω
ω ω+
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
+
=
)
cos(
1
2
1
log
)
1
log(
)
(
log
0 2 2T
n
a
a
a
e
F
jTω
ωm m m
T
n
a
m
T
n
a
))
cos(
(
)
1
(
))
cos(
1
log(
0 0 1 1 0 0ω
ω
∑
∞ = +−
=
+
Onde)
1
(
2
2 0a
a
a
+
=
Vemos que o logaritmo do quadrado da magnitude da transformada Z do sinal composto contém ondulações cossenoidais cujas gammitude e quefrencys estão relacionados com a amplitude do eco e atraso (n0T), respectivamente.
Usando (9) em (8), podemos pegar a inversa da transformada Z de (8) para obter o termo entre colchetes em (1) que terão picos na quefrency em (n0T) e seus múltiplos. Estes picos
serão detectáveis desde que o log ( jT) e
F ω seja aproximadamente limitado a (n0T), por exemplo, o período da ondulação não deve ser maior do que (n0T)-1. O tempo de chegada do eco pode
ser estimado, simplesmente verificando o tempo de ocorrência do primeiro pico no power cepstrum. Além disso, é possível usar (9) para estimar a amplitude do eco. Deve-se verificar que os picos no power cepstrum podem ser removidos por filtragem rejeita faixa (notch liftering) para se obter uma estimativa do power cepstrum da forma de onda fundamental.,
O power cepstrum possui aplicações em dados sísmicos, sonares, discursos e EEG. Vimos que uma ocorrência de um eco em um sinal no domínio do tempo leva a que equivale a uma modulação no domínio da freqüência.
B. O Cepstrum Complex e recuperação de onda fundamental
O complex cepstrum possui informações sobre a fase de um dado composto, e pode ser usado não só para determinação de eco, mas também a recuperação de onda fundamental. Este processo é conhecido como deconvolução homomórfica, ou filtragem homomórfica e possui aplicações em dados sísmicos, discursos, processamento de imagens e análise de EEG.
Formalmente, o cepstrum complex de uma seqüência de dados é a transformada z inversa do logaritmo complexo da transformada z da seqüência de dados (10):
∫
−=
c ndz
z
z
X
j
nT
x
^ 1))
(
log(
2
1
)
(
π
onde x^(0)=log[x(0)] e X(z) é a transformada z da seqüência de dados x(nT). Frequentemente X^(z) é usado para denotar log X(z), então, x^(nT), o complex cepstrum, é a transformada inversa de z X^(z).
Se existe a convolução de duas seqüências, então (11): x(nT)=f(nT)*g(nT) ou (12): X(z)=F(z)G(z) e (13): X^(z)=logX(z)=logF(z)+log G(z) ou (14): x^(nT)=f^(nT)+g^(nT).
Adicionalmente, se f^ e g^ocupam diferentes intervalos de quefrency, então o complex cepstrum pode ser filtrado para remover uma ou outra seqüência convolucionada. Se a informação da fase é mantida, o complex cepstrum pode ser invertido.
A fig. 1 ilustra um sistema de recuperação de forma de onda ou deconvolução homomorfica que não funciona em computação off-line mas sim em tempo real. Exemplos de lifters (filtros)
long pass, short pass e notch são também ilustrados. Estes filtros são análogos aos filtros passa-alta, passa-baixa e filtros rejeita-faixa no domínio da freqüência.
1) Desdobramento de fase: O cálculo do cepstrum complex é complicado pelo fato do logaritmo complexo possuir vários valores. Se a parte imaginária é calculada em módulo de 2π, avaliada como seu valor principal, então aparecerá uma descontinuidade na curva de fase. Este problema pode ser resolvido fazendo-se as seguintes observações:
1) a parte imaginária do log(X(z)) deve ser contínuo e periódico (no circulo unitário) com periodo (2π/T);
2) Como o cepstrum complexo de uma função real deve ser também real, segue que a parte imaginária do log(X(z)) deve ser uma função ímpar de ω.
A fase também pode ser desdobrada (unwrapped) calculando-se a fase relativa entre amostras adjacentes do espectro.
Nota-se também que a fase nunca varia mais do que π/2 entre amostras.
Muitos procedimentos de desdobramento de fase foram desenvolvidos, como a integração de fase derivativa, um procedimento de integração numérica adaptativa, e um procedimento recursivo para remover a fase linear.
Desdobramento de fase é desnecessário para sinais da classe de fase mínima, por exemplo, uma seqüência cuja transformada z não possui pólos ou zeros fora do circulo unitário.
Veremos agora que os impulsos que aparecem no complex cepstrum podem ser causados pela presença de um eco. Estes impulsos são não-zero em somente um lado da origem, e portanto referidos como fase mínima ou máxima de um trem de pulsos.
O complex cepstrum é definido por (15): ).. 3 ( 3 ) 2 ( 2 ) ( ) ( ^ ) ( ^ 0 3 2 0 nT nT a T n nT a T n nT a nT f nT
x = + δ − − δ − + δ − Deste modo, o complex cepstrum de um sinal
composto consiste de sua onda fundamental mais um trem de δ localizado nas freqüências (quefrency) positiva no atraso do eco (e seus múltiplos) cujas amplitudes estão diretamente relacionas a amplitude do eco. Filtros rejeita-faixa e interpolação podem ser realizadas para se remover estas funções δ.
A forma de onda fundamental pode ser recuperada invertendo-se as operações usadas para se calcular o complex cepstrum (fig. 1). Se o cepstrum complex da onda básica e o trem de impulsos são suficientemente separados na freqüência (quefrency), então uma filtragem passa-baixa pode ser usada para se recuperar a onda básica. Analogamente, o trem de impulsos pode ser recuperado usando um filtro passa-alta (long-pass liftering).
C) As relações entre o Cepstrum Power e Complex
O Cepstrum Complex e Power estão relacionados. A relação formal pode ser obtida a partir de (16): 2
))
(
^
)
(
^
(
)
(
nT
x
nT
x
nT
x
pc=
+
−
O Cepstrum Power é, então quatro vezes o quadrado da parte par do cepstrum complex. Isto vem do fato de cepstrum power ser o quadrado da transformada inversa do dobro da parte real do log spectrum; e como verificado anteriormente, o cepstrum power não contém informação de fase.
D) A Fase Cepstrum
A transformada inversa da fase do logaritmo complexo gera picos nos intervalos de tempos de chegada dos ecos da mesma forma que a transformada inversa do log da magnitude (17):
)
1
log(
))
(
log(
)
(
^
jT jT j0Tae
e
F
e
X
ω=
ω+
+
−ω))
(
(
)
(
log
j T jTe
F
jphase
e
F
ω+
ω=
a
a
n
T
0 2cos
2
1
log(
2
1
+
+
ω
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
−T
n
a
T
n
a
j
o oω
ω
cos
1
sin
tan
1O quarto termo da direita produz ondulações (ripples) na fase, como o terceiro termo produz ripples na log da magnitude.
Formalmente o cepstrum phase de uma seqüência de dados pode ser definido como o quadrado da transformada inversa do dobro da fase da transformada z da seqüência de dados (18): 2 1
))
)
(
log
2
)
(
log
2
(
(
)
(
nT
Z
X
z
X
z
x
f=
−−
Ou (19): 2))
(
^
)
(
^
(
)
(
nT
x
nT
x
nT
x
f=
−
−
−
Então, o cepstrum power está para a fase, assim como o cepstrum power está para a magnitude.
III
Fase PerplexaMuitos problemas surgem no cálculo da seqüência de fase para o cepstrum complex. Alguns problemas serão listados abaixo:
A. Componentes da fase linear
A presença de componente linear na seqüência de fase introduz oscilações no cepstrum complexo, sendo representado por (20):
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ − − = − = = 0 , ) 1 ( cos 0 , 0 ) ( ^ n nT r n nT r n nT x LP n
π
Este termo é adicionado ao cepstrum da porção remanescente do dado analisado. A presença do termo de fase linear pode influenciar na escolha do filtro (liftering) a ser aplicado no cepstrum complex. Se o eco deve ser removido e a onda fundamental recuperada, então os picos de eco não deveriam ser removidos simplesmente substituindo-os com a média de seus pontos adjacentes, já que os pontos adjacentes possuem contribuições de componentes de fase linear (se não forem completamente removidos) que são opostos em sinal na contribuição do eco a ser removido.
B. Rejeita Espectro
Nota-se que zeros perto do circulo unitário na transformada z da seqüência do eco resulta em rejeição no espectro da seqüência onde os ruídos são dominantes. Sabemos que um algoritmo de desdobramento de fase (phase umwrapping) requer que a mudança em fase entre amostras deve ser menos de +/- π.
A mudança em fase é inversamente proporcional ao quadrado da magnitude do espectro. Se uma rejeição ocorre no espectro, então a mudança na fase pode ser difícil de se obter. Adicionalmente, a fase pode mudar de sinal rapidamente nestes espectros rejeitados.
IV
Outros problemas AliasingAliasing no Cepstrum é um problema presente, já que logaritmo complexo não linear introduz harmônicos em X^(z). A adição de zeros na seqüência de dados de entrada reduz o aliasing, pois torna o comprimento dos dados o maior possível.
Oversampling
Por causa da operação logarítmica não linear, a região de baixa potência no espectro pode contribuir tanto ou mais para o cepstrum como a região que contém o sinal no espectro. Quando isto acontece afeta a detecção dos ecos e a recuperação da forma de onda. Oversampling também pode agravar o desdobramento da fase e o aliasing,
Adição de zeros
Sabe-se que a adição de zeros da seqüência de dados aumenta a taxa de amostragem da transformada de Fourier discreta. Isto beneficia a cálculo do cepstrum de duas formas. A primeira é o aumento da taxa de amostragem no domínio da freqüência que reduz o aliasing no cepstrum. Segundo, aumentando a precisão com que a curva de fase é amostrada reduz o número de erros de desdobramento de fase. Os resultados da pesquisa mostraram que a adição de zeros resulta num modesto ganho quando o aliasing e os erros de desdobramento de fase não chegam a ser considerados um problema.
V
EnjanelamentoA. Dados Compostos.
Detecção de ecos e extrações são degradadas pela aplicação de uma janela aos dados, utilizada para a redução de fugas, a menos que esta janela seja relativamente constante sobre a porção dos dados que contém os sinais compostos.
B. Log Spectrum
O enjanelamento do log spectrum para se reduzir fugas no cepstrum complex poderia ser falsamente interpretado como picos devido aos ecos. Enjanelamento do log spectrum irá introduzir alguma perda na resolução do tempo no domínio do cepstrum. Então, se os ecos podem ser filtrados (liftereds)do cepstrum complexo e se a recuperação do log spectrum pode ser corrigida, é possível se recuperar a onda fundamental.
C. Complex Ceptrum
Os ruídos são, geralmente, distribuídos por toda seqüência de dados, e os sinais compostos podem ocupar somente uma porção dos dados, é razoável que os componentes de alta freqüência (quefrency) do cepstrum complex podem frequentemente conter mais ruído do
que informação.
D. Sequence truncation
Como mencionado anteriormente, erros podem ser introduzidos truncando o eco se isto se estender além do fim dos dados. Adicionalmente, aliasing do trem de impulsos no cestrum complex podem ocorrer.
VI
Processamento de dados (Hidroacústica)O power cepstrum é usado para estimar a profundidade de uma carga explosiva conhecida pela análise dos dados recebidos em longos intervalos. Isto é realizado pela medição de um período de tempo da modulação no espectro que resulta em um pico no cepstrum power.
O cepstrum também é utilizado para investigar condições de multi-caminho em águas rasas. Mas os ecos não são idênticos na forma de onda, como é geralmente assumido. O cepstrum também é aparentemente afetado pelo considerável grau de flutuação no meio de transmissão, reflexos do fundo e espalhamento da superfície.
As informações utilizadas nos procedimentos de processamento hidroacusticos são os seguintes:
1) A taxa de amostragem em torno de 100 a 1000 amostras por segundo; 2) Os efeitos de enjanelamento não são consideráveis;
3) Adição de zeros e longos períodos de tempos são utilizados. É comum considerar que os dados hidroacústicos são estacionários, então valores médios podem ser empregados; 4) O espectro é frequentemente filtrado (liftered) da forma passa-alta. Esta é a forma de se eliminar fugas no domínio do cepstrum;
5) O atraso esperado do eco é 0,02 < n0T < 2 ou 3 segundos. A largura de banda é pelo
menos 50Hz.
VII
Conclusão A. Efeitos do ruídoOs efeitos dos ruídos foram discutidos neste artigo e mostrados duas formas de atenuar estes efeitos para extração de onda fundamental e detecção de eco, denominados enjanelamento de cepstrum complex e redução de erros devido a aliasing e desdobramento de fase adicionando zeros na seqüência de amostragem. É frisado em particular que o SNR sozinho é uma medida insuficiente para determinar a performance do cepstrum, e que a largura de banda relativa do sinal e ruído também é necessário.
B. Resumo
Sabemos que se x^(nT) representa o cepstrum complex, então o cepstrum power é e o cepstrum phase é: 2
))
(
ˆ
)
(
ˆ
(
)
(
nT
x
nT
x
nT
x
pc=
+
−
2))
(
ˆ
)
(
ˆ
(
)
(
nT
x
nT
x
nT
x
p=
−
−
Os problemas associados com desdobramento de fase, componentes de fase linear e rejeição de espectro scào descritos, juntamente com aliasing e sobreamostragem. A extensão da seqüência de dados de amostra adicionando zeros mostra os benefícios computacionais como a redução de aliasing no cepstrum e a redução de erros de desdobramento de fase.
