Análise de clusters, singular spectrum analysis e cross validation na previsão de velocidade do vento

(1)

Guilherme Cruvello da Silveira Martins

An´

alise de Clusters, Singular Spectrum

Analysis e Cross Validation na Previs˜

ao de

Velocidade do Vento

Niter´oi - RJ, Brasil 7 de Dezembro de 2017

(2)

Universidade Federal Fluminense

Guilherme Cruvello da Silveira Martins

An´

alise de Clusters, Singular

Spectrum Analysis e Cross

Validation na Previs˜

ao de Velocidade

do Vento

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Mois´es Lima de Menezes

Niter´oi - RJ, Brasil

(3)

Universidade Federal Fluminense

Guilherme Cruvello da Silveira Martins

An´

alise de Clusters, Singular Spectrum

Analysis e Cross Validation na Previs˜

ao de

Velocidade do Vento

Monografia de Projeto Final de Gradua¸cão sob o t´ıtulo “Análise de Clusters, Singular Spectrum Analysis e Cross Va-lidation na Previsão de Velocidade do Vento”, defendida por Guilherme Cruvello da Silveira Martins e aprovada em 7 de Dezembro de 2017, na cidade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constitu´ıda pelos professores:

Prof. Dr. Mois´es Lima de Menezes Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dra. M´arcia Marques de Carvalho Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dr. Marco Aur´elio dos Santos Sanfins Departamento de Estat´ıstica – UFF

(4)

M379 Martins, Guilherme Cruvello da Silveira

Análise de Clusters, singular spectrum analysis e cross validation na previsão de velocidade do vento / Guilherme Cruvello da Silveira Martins. – Niterói, RJ: [s. n.], 2017.

46f.

Orientador: Prof. Dr. Moisés Lima Menezes

TCC ( Graduação de Bacharelado em Estatística) – Universidade Federal Fluminense, 2017.

1. Análise de Cluster. 2. Velocidade do vento. I. Título.

(5)

Resumo

A demanda de energia elétrica cresce exponencialmente com o aumento da popula¸cão mundial e da moderniza¸cão. Ser capaz de gerar e consumir energia limpa é um enorme desafio. Neste cenário, a energia eólica surge como uma poss´ıvel fonte de energia comple-mentar à energia hidrelétrica instalada no Brasil. Porém, este tipo de energia depende de série fatores climaticos que mudam constantemente com o tempo. Por este motivo, ser capaz de prever a velocidade do vento é um importante papel para o planejamento e a gestão das cidades. Este trabalho propôs a modelagem estat´ıstica de séries temporais com o aux´ılio da filtragem Singular Spectrum Analysis e da divisão Cross Validation. A primeira técnica busca decompor e reconstruir a série temporal sem a componente rui-dosa, já o segundo método busca reestimar a série de forma iterativa com a adi¸cão de uma nova observa¸cão a cada instante de tempo. Para valida¸cão da previsão estat´ıstica foram utilizados as seguintes estat´ısticas de aderência: RM SE, BIC, R2 e M AP E nos dados mensais de velocidade média do vento (em m/s) do munic´ıpio de Campos dos Goytaca-zes no Estado do Rio de Janeiro de janeiro de 2012 à dezembro de 2016. Os resultados apontam para essa amostra um ajuste melhor nos modelos in-sample após aplica¸cão do filtro SSA. Já para previsão fora da amostra teve as melhores estat´ısticas de aderência com a combina¸cão do filtro SSA junto da divisão do Cross Validation, mostrando ser um resultado promissor para o planejamento da energia eólica como fonte de energia.

Palavras-chaves: Singular Spectrum Analysis; An´alise de Cluster; Velocidade do Vento; Cross Validation

(6)

Sum´

ario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introdu¸c˜ao p. 9

1.1 Contextualiza¸c˜ao . . . p. 9

1.2 Revis˜ao bibliogr´afica . . . p. 10

1.3 Proposta . . . p. 11

1.4 Estrutura . . . p. 11

2 Objetivos p. 12

3 Materiais e M´etodos p. 13

3.1 Banco de dados . . . p. 13 3.2 Componentes de uma S´erie Temporal . . . p. 15

3.3 Modelos de Holt-Winters . . . p. 15

3.4 Modelos de Box & Jenkins . . . p. 16

3.4.1 Componente Autorregressiva AR(p) . . . p. 17

3.4.2 Componente M´edias M´oveis M A(q) . . . p. 17

3.4.3 Componente Ordem de Integra¸c˜ao . . . p. 17

3.4.4 Estima¸c˜ao do modelo Box & Jenkins . . . p. 17

3.5 Automatiza¸c˜ao das previs˜oes . . . p. 18

(7)

3.7 Time series cross validation . . . p. 20 3.8 Filtragem SSA . . . p. 21

3.8.1 Decomposi¸c˜ao . . . p. 21

3.8.2 Reconstru¸c˜ao . . . p. 22

3.9 Clusteriza¸c˜ao Hier´arquica . . . p. 24

3.10 Resumo da Metodologia . . . p. 25

4 An´alise dos Resultados p. 27

4.1 An´alise com a divis˜ao treino/teste sem a filtragem SSA . . . p. 27

4.2 An´alise com Cross validation sem a filtragem SSA . . . p. 30

4.3 An´alise com a divis˜ao treino/teste com a filtragem SSA . . . p. 32

4.4 An´alise com Cross validation com a filtragem SSA . . . p. 39

5 Conclus˜ao p. 43

(8)

Lista de Figuras

1 S´erie original de m´edia mensal de velocidade do vento - Campo dos

Goy-tacazes - jan/12 a dez/16. . . p. 13

2 Boxplot da s´erie original de m´edia mensal de velocidade do vento - Campo

dos Goytacazes - jan/12 a dez/16. . . p. 14

3 Representa¸c˜ao da t´ecnica Cross Validation . . . p. 20

4 Representa¸cão das distâncias medidas na Clusteriza¸cão Hierárquica . . p. 25

5 Fluxograma da Metodologia . . . p. 26

6 Valores ajustados(in-sample): divis˜ao treino/teste sem SSA . . . p. 28

7 Previs˜ao 12 meses a frente (out-of-sample): divis˜ao treino/teste sem SSA p. 29

8 Valores ajustados: cross validation sem SSA . . . p. 31 9 Previs˜ao 12 meses a frente (out-of-sample): cross validation sem SSA . p. 32

10 Componentes harmˆonica e de tendˆencia na filtragem SSA com

cluste-riza¸cão hierárquica . . . p. 33 11 Componente ruidosa na filtragem SSA com clusteriza¸cão hierárquica . . p. 34

12 Série filtrada via SSA com clusteriza¸cão hierárquica e série original . . p. 35

13 Valores ajustados: divis˜ao treino e teste com SSA . . . p. 37

14 Previs˜ao 12 meses a frente (out-of-sample): divis˜ao treino/teste com SSA p. 38

15 Valores ajustados: cross validation com SSA . . . p. 40

(9)

Lista de Tabelas

1 Estat´ıstica Descritiva da S´erie Temporal . . . p. 14

2 Coeficientes do modelo Box & Jenkins: treino/teste sem a filtragem SSA p. 28

3 Estat´ısticas de aderˆencia in-sample: treino/teste sem SSA . . . p. 29 4 Estat´ısticas de aderˆencia (out-of-sample): treino/teste sem SSA . . . . p. 30

5 Estat´ısticas de aderˆencia in-sample: cross validation sem SSA . . . p. 31

6 Estat´ısticas de aderˆencia out-of-sample: cross validation sem SSA . . . p. 32

7 Matriz de correla¸c˜ao das componentes via SSA . . . p. 35

8 Coeficientes do modelo Box & Jenkins: treino/teste com a filtragem SSA p. 36

9 Estat´ısticas de aderˆencia in-sample: treino/teste com SSA . . . p. 37

10 Estat´ısticas de aderˆencia in-sample: treino/teste . . . p. 38

11 Estat´ısticas de aderˆencia out-of-sample: treino/teste com SSA . . . p. 39

12 Estat´ısticas de aderˆencia out-of-sample: treino/teste . . . p. 39 13 Estat´ısticas de aderˆencia in-sample: cross validation com SSA . . . p. 40

14 Estat´ısticas de aderˆencia in-sample: cross validation . . . p. 41

15 Estat´ısticas de aderˆencia out-of-sample: cross validation com SSA . . . p. 42

(10)

9

1 Introdu¸

c˜

ao

1.1 Contextualiza¸

c˜

ao

A demanda por energia vem crescendo conforme o aumento da popula¸cão mundial e da migra¸cão de grande parte para popula¸cão para os centros urbanos. Atender a nova demanda de energia sem causar danos para o meio ambiente é uma tarefa desafiadora. A energia eólica é uma das alternativas para a redu¸cão, na matriz energética, primordial-mente de uso de combust´ıveis fósseis que são causadores de efeito estufa, bem como, pelo fato de ser considerada uma energia renovável (TOLMASQUIM, 2012).

Apesar dos avan¸cos tecnológicos sobre a energia eólica existe uma preocupa¸cão com a gera¸cão de energia em larga escala, uma vez que a gera¸cão de energia dependeria estri-tamente do vento, de própria velocidade do vento e de outros fatores climáticos. Desta forma, estudos de previsão de energia de origem eólica de qualidade são necessários uma vez que a mesma não pode ser acumulada ou armazenada para momentos de escassez.

Uma forma de planejamento da oferta e demanda por energia é feita através do co-nhecimento prévio destas variáveis, que pode ser obtido à partir do uso da análise de séries temporais, que é uma técnica em estat´ıstica que utiliza dados históricos ordenados para realizar previsões a partir de modelos adequados (CARDOSO et al., 2005). Diversos métodos podem ser utilizados para melhorar estas modelagens e um destes métodos se baseia na filtragem da série antes de sua modelagem. Singular Spectrum Analysis (SSA) é uma técnica que, dentre outras coisas, pode filtrar uma série temporal à partir da remo¸cão de uma componente ruidosa (MENEZES et al., 2014). As análises in-sample e out-of-sample são formas de avalia¸cão do desempenho do ajuste do modelo. Nesta técnica, busca-se avaliar o poder preditivo do modelo na amostra de teste (out-of-sample) apenas com os dados modelados após trabalhar amostra de treinamento (in-sample) com os dados históricos. Time Series Cross Validation (doravante chamada apenas de Cross Validation) é uma abordagem que permite melhorar a acurácia do modelo. A partir desta técnica, as modelagens in-sample e out-of-sample são atualizadas a cada instante de tempo com o

(11)

1.2 Revis˜ao bibliogr´afica 10

novo dado permitindo uma an´alise de forma simultˆanea e interativa (HYNDMAN et al., 2013).

1.2 Revis˜

ao bibliogr´

afica

Dalmaz (2007) utilizou redes neurais para a previsão da velocidade do vento em dife-rentes regiões de Santa Catarina para investigar o potencial de gera¸cão de energia eólica. Como métrica de aderência da previsão estat´ıstica foi utilizado o RM SE (root mean square error ), concluindo que a região de Água Doce possui alto pontencial para viabiliza¸cão da constru¸cão de um parque eólico.

Cardoso e Balestrassi (2005) propuseram investigar modelo quantitativo representa-tivo para previsão da volatilidade de séries de demanda de energia elétrica para con-sumidores livres. Para isso, foi aplicado o modelo de heterocedasticidade condicional autoregressiva (GARCH), que é um modelo de série temporais com alta volatilidade dos dados, em um banco de dados medido em horas coletadas pela DEI (Duke Energy In-ternational ), umas das maiores empreasas de gera¸cão de energia no Brasil. Os autores do estudo apresentaram resultados satisfatórios utilizado o modelo GARCH, bem como recomendou aprofundamento dos estudos em outros viés de modelos da fam´ılia GARCH que pudessem, de alguma forma, melhorar o poder de predi¸cão do modelo estat´ıstico.

Malta e Borges (2009) utilizaram dois aspectos diferentes para a realiza¸cão de mode-lagens de séries temporais de velocidade média do vento. O primeiro aspecto diz respeito a caracteriza¸cão das propriedades da série temporal através das estat´ısticas descritivas e uma análise gráfica como maneiras entender o próprio comportamento da mesma com fa-tores exógenos correlacionados. O segundo aspecto consite em predizer o comportamento futuro utilizando o próprio histórico como input do modelo estat´ıstco. Neste caso, os pes-quisadores direcionaram a pesquisa em séries temporais para as estat´ısticas de aderência que validaram a performance do modelo quanto ao erro de previsão.

Hyndman et al. (2015) compararam estat´ısticas de aderências tradicionais com técnicas modernas de estima¸cão do erro provenientes da área de machine learning. Entre elas, inclui-se o médodo K-Fold Cross Validation, utilizado primordialmente em problemas de classifica¸cão, e o método Time Series Cross Validation, que é uma versão adaptada do método anterior para dados que apresentam autocorrela¸cão e problemas de estacionari-dade da série. No estudo foi provado a eficiência de utilizar o Time Series Cross Validation tendo obtido menores erros de previsão ao serem aplicados em modelos de redes neurais

(12)

1.3 Proposta 11

e autoregressivos.

1.3 Proposta

O trabalho propôs a previsão da série de velocidade do vento através de técnicas de séries temporais. Para isso, foram apresentados modelos da fam´ılia Holt-Winters e Box & Jekins. Além disso, foi feito o uso da clusteriza¸cão hierárquica na fase de agrupamento da abordagem Singular Spectrum Analysis(SSA) com o objetivo de remover a componente ruidosa da série. Para validar a previsão estat´ıstica foi utilizado o método Time Series Cross Validation que dividiu a amostra em diversas amostras de treinamento e teste. Como medidas de aderência foram utilizados o erro médio percentual absoluto (M AP E), o R2_{, o crit´}_{erio de informa¸c˜}_{ao bayesiano (BIC) e ra´ız quadrada do erro quadr´}_{atico m´}_edio

(RM SE).

1.4 Estrutura

Além dessa introdu¸cão este trabalho se subdivide em 4 cap´ıtulos. No cap´ıtulo 2 se encontra os objetivos. No capitulo 3, além do banco de dados, são apresentados os materiais e métodos. No cap´ıtulo 4 estão as análises dos resultados e as conclusões são apresentadas no cap´ıtulo 5.

(13)

12

2 Objetivos

Os objetivos deste trabalho são os de verificar qual o melhor critério de sele¸cão de modelo ao se aplicar o cross validation e a divisão treino/teste através das estat´ısticas de aderência e da análise gráfica; verificar se há melhora na qualidade da filtragem SSA ao se utilizar a clusteriza¸cão hierárquica; verificar o ganho preditivo dos modelos aos se aplicar a abordagem SSA; Avaliar a eficiência dos estudos de séries temporais como forma de planejamento e de viabilidade de inclusão da energia eólica. Para atingir esses objetivos, foi utilizado o softaware estat´ıstico R Programming Language para toda análise de dados e previsão estat´ıstica.

(14)

13

3 Materiais e M´

etodos

3.1 Banco de dados

Para este estudo foi utilizada a s´erie mensal de velocidade m´edia do vento (em m/s) do munic´ıpio de Campos dos Goytacazes no Estado do Rio de Janeiro de janeiro de 2002 `

a dezembro de 2016 extra´ıda do site do INMET – Instituto Nacional de Meteorologia (http://www.inmet.gov.br) totalizando 180 observa¸cões na amostra. A figura 1 apresenta o comportamento da série temporal original de média mensal de velocidade do vento.

Figura 1: S´erie original de m´edia mensal de velocidade do vento - Campo dos Goytacazes - jan/12 a dez/16.

(15)

3.1 Banco de dados 14

A tabela 1 apresenta as principais estat´ısticas descritivas da série utilizada analisada mês a mês.

Tabela 1: Estat´ıstica Descritiva da Série Temporal Mês M´ın. Média Mediana Máx. Desvio Padrão JAN 0.76 1.88 2.12 2.80 0.63 FEV 0.55 1.73 1.96 2.76 0.74 MAR 0.24 1.40 1.62 2.72 0.76 ABR 0.18 1.23 1.51 2.09 0.62 MAI 0.29 1.14 1.35 2.12 0.57 JUN 0.25 1.16 1.31 1.83 0.53 JUL 0.28 1.30 1.59 1.86 0.53 AGO 0.58 1.71 2.01 2.57 0.66 SET 0.98 1.99 2.14 2.81 0.63 OUT 0.78 1.83 2.01 2.80 0.67 NOV 0.59 1.67 1.90 2.93 0.83 DEZ 0.40 1.52 1.72 2.44 0.66 ´

E poss´ıvel verificar na tabela 1 e na figura 2 que a velocidade média do vento tem comportamento aproximadamente homogêneo entre os meses, tendo valores menores nos meses de mar¸co à junho quando comparado com os demais meses. Além disso, o mês de setembro detêm a maior média da variável velocidade média dos ventos, porém a maior velocidade máxima pode ser encontrada em novembro.

Figura 2: Boxplot da s´erie original de m´edia mensal de velocidade do vento - Campo dos Goytacazes - jan/12 a dez/16.

(16)

3.2 Componentes de uma S´erie Temporal 15

3.2 Componentes de uma S´

erie Temporal

Uma série temporal é o conjunto de observa¸cões de uma mesma variável quantitativa de interesse medida ao longo do tempo em per´ıodos regulares (horas, dias, meses etc). A mesma pode ser dividida em quatro componentes conforme mencionados a seguir:

• Tendência Linear: Mostra a evolu¸cão da série ao longo prazo desconsiderando qualquer efeito de curto prazo sendo causado por flutua¸cões ou pontos irregulares (outliers) da série.

• Sazonalidade: É representada pelo comportamento repetitivo da série no mesmo intervalo de tempo. Geralmente são picos ou vales bem definidos naquele per´ıodo. Por exemplo, muitas séries temporais sofrem o efeito da sazonalidade devido a fatores climáticos (Exemplo: verão x inverno).

• Fator C´ıclico: Diferentemente da sazonalidade, este fator se repete num per´ıodo maior que um ano. Embora seja menos comum de aparecer nas séries temporais, ele costuma aparecer em séries de PIB e entre outras séries econõmicas de longo prazo.

• Irregular: É a componente não explicada pelas componentes descritas acima. Pode ser tanto aleatório quanto não aleatório, mas pontual devido a falha humana ou evento extraordinário.

Um exemplo da série temporal com componente aleatória é apresentado em (3.1).

yt = a + bxt+ t, (3.1)

onde que a + bxt é a componente determin´ıstica e t é a componente estocástica.

3.3 Modelos de Holt-Winters

Segundo Hyndman et al. (2002), o método de Holt Winters, também conhecido como suaviza¸cão exponencial tripla, é utilizado para séries que apresentam n´ıvel, tendência e sazonalidade. Para cada um das três componentes são definidos hiperparâmetros que decaem exponencial com o passar do tempo. Este método pode ser definido como sendo

(17)

3.4 Modelos de Box & Jenkins 16

uma média móvel ponderada exponencialmente, onde para observa¸cões mais recentes são dados pesos maiores próximo de 1. Este modelo também é dividido quanto a sazonalidade da série temporal, podendo ter sazonalidade aditiva se a mesma é constante para todo intervalo de tempo ou sazonalidade multiplicativa se a mesma diminui ou aumenta com o passar do tempo. A equa¸cão de previsão do modelo multiplicativo é definida em (3.2).

ˆ

Zt+n = (Lt+ nTt)St−s+n (3.2)

onde Lt representa o n´ıvel da s´erie, Tt a tendˆencia, sazonalidade por St, t o instante de

tempo, s a frequˆencia e n o n´umero de passos a frente.

Dessa forma, para atualizar a equa¸cão de previsão se faz necessário obter estima¸cões do n´ıvel, da tendência e dos fatores sazonais visto anteriormente. Esses valores podem ser obtidos pelas equa¸cões (3.3), (3.4) e (3.5).

Lt= α Zt St−s + (1 − α)(Lt−1+ Tt−1) (3.3) Tt = β(Lt− Lt−1) + (1 − β)Tt−1 (3.4) St= γ Zt Lt + (1 − γ)St−s (3.5)

onde α é a constante de amortecimento do n´ıvel, β é a constante de amortecimento da tendência, γ é a constante de amortecimento dos fatores sazonais.

3.4 Modelos de Box & Jenkins

O modelo da fam´ılia Box & Jenkins conhecido por ARIM A(p, d, q), modelo autorre-gressivo integrado de médias móveis, ganhou notoriedade no meio acadêmico, bem como na indústria por ter tido resultados satisfatórios de acurácia na previsão de uma série temporal (HYNDMAN, 2013). Este modelo pode ser divido em três componentes e sua equa¸cão é apresentada em (3.6):

φ(B)(1 − B)dZt = θ(B)at, (3.6)

onde φ(B) é o polinômio autoregressivo de ordem p, B é o operador de Retardo, θ(B) é o polinômio de médias móveis e at é o erro estat´ıstico do modelo.

(18)

3.4 Modelos de Box & Jenkins 17

3.4.1 Componente Autorregressiva AR(p)

A componente autorregressiva, AR(p), utiliza a própria série temporal defasada em tantos p a fim de entender o comportamento predominante da série temporal. A equa¸cão do modelo autorregressivo é apresentada em (3.7):

Zt = φ1Zt−1+ φ2Zt−2+ ... + φpZt−p+ at, (3.7)

onde p é a ordem autorregressiva, φi são parâmetros do modelo para i = 1, 2, 3, ..., p e at

´e o erro da previs˜ao.

3.4.2 Componente M´

edias M´

oveis M A(q)

Enquanto o modelo AR(p) é constitu´ıdo por combina¸cões lineares das observa¸cões defasadas, os modelos de médias móveis M A(q) utilizam combina¸cões lineares dos erros defasados do modelo estat´ıstico para própria previsão estat´ıstica. A equa¸cão do modelo de média móveis é apresentada em (3.8):

Zt= at− θ1at−1− θ2at−2− ... − θqat−q (3.8)

onde q é a ordem de média móveis, θi são parâmetros do modelo para i = 1, 2, 3, ..., q e at

´e definido pelo erro da previs˜ao.

3.4.3 Componente Ordem de Integra¸

c˜

ao

Uma série é dita estacionária se o comportamento dela é bem definido, isto é, a média é igual a zero e a variância constante para todo intervalo. Se uma série não é estacionária, sucessivas diferen¸cas são necessárias para torná-la estacionária. Seja ∆Zt = Zt− Zt−1 o

operador de diferen¸ca e seja d o número de diferen¸cas necessárias para este objetivo. A componente de Ordem de Integra¸cão I(d) se juntará às componentes AR(p) e M A(q) e formará o modelo ARIM A(p, d, q)

3.4.4 Estima¸

c˜

ao do modelo Box & Jenkins

A estima¸cão do modelo ARIM A no presente trabalho é calculada através da fun¸cão de máxima verossimilhan¸ca, onde se faz necessário algumas suposi¸cões matemáticas. Logo,

(19)

3.5 Automatiza¸c˜ao das previs˜oes 18

dado um modelo linear em (3.9):

yt = x

0

tb0+ at (3.9)

Onde (yt, x

0

t) s˜ao considerados independentes e indentificamente distribu´ıdos, bem

como os regressoes s˜ao considerados estoc´asticos, temos que:

at|xt∼ N (0, σ2) (3.10)

yt|xt∼ N (x

0

tb0, σ2) (3.11)

Dessa forma, a fun¸cão de máxima verossimilhan¸ca exata é dado por:

L(y|x, σ) =YfYt|Xt(yt|xt, σ) =Y(σ22π)−12exp(− 1 2σ2(yt− x 0 tb0)2) = (σ22π)−T2exp(− 1 2σ2 T X t=1 (yt− x 0 tb0)2) (3.12)

E a fun¸c˜ao logar´ıtmica ´e dado por:

l(y|x, σ) = −T 2log(σ 2 ) −T 2log(2π) − 1 2σ2 T X t=1 (yt− x 0 tb0)2 (3.13)

Onde l representa o da log fun¸c˜ao de m´axima verossimilhan¸ca.

3.5 Automatiza¸

c˜

ao das previs˜

oes

Um dos diferenciais deste atual trabalho é nova abordagem de automatiza¸cão das previsões estat´ısticas sem interven¸cão humana para escolha dos parâmetros dos modelos estat´ısticos. Na abordagem clássica de séries temporais predomina o uso da análise do correlograma, que consiste em um gráfico da fun¸cão de autocorrela¸cão da variável de estudo a fim de identificar comportamentos t´ıpicos dos modelos ARIM A.

(20)

3.6 Medidas de aderˆencia 19

pode ser utilizado quando há necessidade de realizar previsões estat´ısticas para dezenas, centenas ou até mesmo para milhares de séries temporais num curto espa¸co de tempo. No cenário atual, onde as empresas estão interessadas em utilizar o maior número de dados para se tornar competitivas no mercado, fica evidente a importância de automatizar qualquer tipo de processo, inclusive o processo de gera¸cão de previsão estat´ıstica.

3.6 Medidas de aderˆ

encia

As medidas de aderência são utilizadas para comparar a previsão estat´ıstica gerada pelo modelo com valores reais da amostra de treinamento. Para o atual trabalho são apresentadas as métricas MAPE (Mean Average Percentage Error ), o coeficiente de de-termina¸cão do modelo (R2_{), o crit´}_{erio de informa¸c˜}_{ao bayesiano (BIC) e ra´ız quadrada do}

erro quadrático médio (RMSE) que dizem respeito a qualidade do modelo estat´ıstico para previsão.

A estat´ıstica MAPE mede em percentual do quanto o modelo estat´ıstico est´a desvi-ando do real valor, conforme ´e apresentado em (3.14):

M AP E = N X k=1 Zt− ˆZt Zt N × 100, (3.14)

Onde N é o número de padrões, Zt representa o valor real no instante t, ˆZt representa o

valor ajustado no instante t.

O coeficiente de determina¸cão (R2) é uma medida de ajustamento do modelo es-tat´ıstico, isto é, o quanto as variáveis preditoras explicam o evento estimado (variável resposta). Essa medida assume valores entre 0 e 1 e é representado na equa¸cão (3.15):

R2 = 1 − PT t=1(Zt− ˆZt)2 PT t=1(Zt− ¯Z)2 ! , (3.15)

Onde ¯Z representa a m´edia das observa¸c˜oes.

O critério de informa¸cão bayesiano (BIC) utiliza o princ´ıpio da parcimônia penalizando modelos com muitas variáveis. Valores menores de BIC são prefer´ıveis.

(21)

3.7 Time series cross validation 20

Onde Lpé o máximo da fun¸cão de verossimilhan¸ca, p número de parâmetros e n tamanho

da amostra

Por último, o RMSE é forma de analisar o erro na escala do evento estimado (dife-rentemente do MAPE). Primeiro, eleva-se ao quadrado a diferen¸ca entre o ajustado e o real para não cancelar erros positivos com negativos, após cacula-se a média, e por fim retira-se a ra´ız quadrada a fim de retornar a escala original conforme é visto em (3.17):

RM SE = v u u u t N P k=1 (Zt− ˆZt)2 N . (3.17)

3.7 Time series cross validation

Segundo estudos de Hyndman et al. (2015), Cross Validation é uma forma de mensu-rar a performance do modelo estat´ıstico mais apropriadamente do que método de hold-out (in-sample e out-of-sample), onde se divide a série temporal em apenas dois subgrupos denominados amostra de treino e amostra de teste. Uma vantagem desse novo cenário é a redu¸cão do problema conhecido como Overfitting, isto é, quando o erro da modela-gem medido pela amostra teste é baixo ou aceitável para colocar o modelo em produ¸cão, no entanto, para dados futuros o mesmo modelo apresenta erros superiores aos medidos anteriormente inviabilizando a continua¸cão do processo de previsão estat´ıstica. A me-todologia alternativa proposta pelo atual estudo é dado pelo método Cross Validation conforme apresentado na figura 3.

(22)

3.8 Filtragem SSA 21

Na figura 3, os pontos azuis representam a amostra de treinamento (dentro da amos-tra) e os pontos vermelhos são a amostra de teste (fora da amostra) usados para estimar o erro de previsão um passo à frente. A cada itera¸cão o modelo acrescenta uma nova observa¸cão na amostra treinamento, que, por sinal, é a amostra de teste (ponto verme-lho) obtida no per´ıodo anterior, reestima os parâmetros e recalcula o erro para o próximo passo à frente. Este processo pode ser refeito inúmeras vezes definido pelo usuário e no final calcula-se a média simples dos erros de previsão de um passo à frente. Com isto, o usuário espera-se diminuir a variância das previsões estat´ısticas, uma vez que foram esti-mados inúmeras previsões de um passo à frente. Enquanto o método de hold-out estima a previsão uma única vez e calcula o erro.

Note que apesar de a figura representar apenas um passo à frente, nada impede que usuário possa estimar mais de um passo à frente pelo método do Cross Validation.

3.8 Filtragem SSA

Singular Spectrum Analysis (SSA) é uma técnica não paramétrica que permite de-compor uma série temporal em sinal e ru´ıdo. É uma técnica útil para filtrar dados de séries temporais. SSA é um método recente e poderoso em séries temporais que incor-pora elementos de análise clássica de séries temporais, estat´ıstica multivariada, geometria multivariada, sistemas dinâmicos e processamentos de sinais (ELSNER, 1996). SSA tem sido aplicada com sucesso em diversas áreas: na matemática e f´ısica a economia e ma-temática financeira, na meteorologia e oceanografia a ciências sociais (GOLYNANDINA et al., 2001).

O método SSA é um procedimento que pode ser utilizado, dentre outras aplica¸cões, na remo¸cão de ru´ıdo e de séries temporais (GOLYNANDINA et al., 2001; HASSANI et al., 2012). A versão básica do método SSA pode ser dividida em duas etapas: decomposi¸cão e reconstru¸cão.

3.8.1 Decomposi¸

c˜

ao

Segundo Menezes et al. (2014), a etapa de decomposi¸cão pode ser subdividida em duas partes: Incorpora¸cão e decomposi¸cão em valores singulares (SVD – Singular Value Decomposition).

(23)

3.8 Filtragem SSA 22

que L é um parâmetro a ser estimado e é chamado de comprimento da janela (Golynandina et al., 2001). Entende-se por Incorpora¸cão o procedimento no qual uma série temporal ZT é levada a uma matriz X chamada “Matriz Trajetória” dada por (3.18).

X =        z1 z2 z3 . . . zk z2 z3 z4 . . . zk+1 .. . ... ... . .. ... zL zL+1 zL+2 . . . zT        (3.18)

A matriz X ´e uma matriz Hankel, ou seja, os elementos de xi,j tal que i+j = constante

s˜ao iguais.

Considere S = XX0. Os autovalores de S dispostos em ordem de significância λ1 ≥ · · · ≥ λL ≥ 0 são obtidos e os respectivos autovetores U1, . . . , UL são encontrados.

Considere V0 = (X0UL)/

√

λ, como S é positivo semi-definido, então a matriz trajetória X pode ser expressa pela decomposi¸cão em valores singulares (SVD) apresentada em (3.19):

X = E1+ E2+ · · · + EL, (3.19)

onde El =

√

λUlVl0, para todo l = 1, . . . , L. A cole¸c˜ao (

√

λl, Ul, Vl) ´e conhecida como

auto-tripla da expansão SVD de X. Os elementos da autotripla são definidos respectivamente por: valor singular, vetor singular à esquerda e vetor singular à direita de X (Menezes et al., 2014). A contribui¸cão de cada componente em (3.19) pode ser mensurada pela razão de autovalores λl/PL_l=1λl.

3.8.2 Reconstru¸

c˜

ao

Segundo Menezes et al. (2014), a etapa de reconstru¸cão está subdividida em duas partes: agrupamento e média diagonal. A etapa de agrupamento consiste no procedimento de agrupar algumas sequências de matrizes elementares resultantes da decomposi¸cão SVD em grupos disjuntos e, após isso, somá-las, gerando novas matrizes elementares.

Considere a sequencia PL

l=1El de matrizes elementares da expans˜ao de SVD. Agrupe

as mesmas em m grupos disjuntos utilizando algum método, por exemplo, por meio de análise de componentes principais, análise gráfica de vetores singulares ou agrupamento hierárquico e assumir que o conjunto de ´ındices gerado é dado por {I1, . . . , Im}, de modo

(24)

3.8 Filtragem SSA 23 Ppi j=1XIij (MENEZES et al., 2014). X = L X l=1 El = m X i=1 XIi (3.20)

O objetivo do agrupamento é diminuir o número de componentes na expansão da matriz trajetória X. A contribui¸cão de cada componente é mensurada pela razão (3.21) (MENEZES et al., 2014). Ppi j=1λIij PL l=1λl . (3.21)

Considere a matriz trajet´oria X e assuma que L∗ = min(L, K) e K∗ = max(L, K). Considere x(i)_l,k um elemento na linha l e coluna k na matriz XIi. O elemento y

(i)

t da

componente hy_t(i)i

1×T

da série temporal [yt]_1×T é calculado por meio da média diagonal

da matriz elementar XIi definida em (3.22), a partir da matriz elementar XIi.

y_t(i)=                  t P l=1 x(i)_l,t−l+1 t , se 1 ≤ t < L ∗ L∗ P l=1 x(i)_l,t−l+1 L∗ , se L ∗ _{≤ t < K}∗ T −K∗+1 P l=t−K∗+1 x(i)_l,t−l+1 T −K∗₊₁ , se K ∗ _{≤ t ≤ T} (3.22)

Cada componente hy_t(i)i

1×T

concentra parte da energia da s´erie temporal original

[yt]1×T que pode ser mensurada pela raz˜ao de autovalores pi P j=1 λIij/ d P l=1 λl. De acordo com

Hassani et al. (2012), podemos classificar as componentes SSA hy_t(i)i

1×T

de uma série temporal arbitrária [yt]_1×T em três categorais: tendência, componentes harmônicas (ciclo

e sazonalidade) e ru´ıdo (GOLYANDINA et al., 2001).

Um dos principais conceitos estudados em SSA é a propriedade de separabilidade (Hassani et al., 2012). Tal propriedade caracteriza quão bem separados estão as diferen-tes, componendiferen-tes, umas das outras. Uma boa medida de separabilidade é a Correla¸cão Ponderada. Por correla¸cão ponderada weighted correlation ou w-correla¸cão, podemos en-tender como uma fun¸cão que quantifica a dependência linear entre duas componentes SSA

(25)

3.9 Clusteriza¸c˜ao Hier´arquica 24

Y_T(1) e Y_T(2) definida em (3.23) (MENEZES et al., 2014).

ρ(w)_ij =

Y_T(i), Y_T(j)

w

||Y_T(i)||w||Y (j) T ||w

. (3.23)

onde ||Y_T(i)||w =

r Y_T(i), Y_T(i) w ; ||Y_T(j)||w = r Y_T(j), Y_T(j) w ;Y_T(i), Y_T(j) w = T P k=1 wky (i) k y (j) k e wk= min{k, L, T − k}.

Através da separabilidade, pode-se verificar estatisticamente se duas componentes SSA estão bem separadas, em termos de dependência linear. Segundo Hassani et al. (2012), o valor absoluto da w-correla¸cão é pequeno, então as componentes SSA corres-pondentes são classificadas como w-ortogonais (ou quase w-ortogonais); caso contrário, são ditas mal separadas. Salienta-se que comumente utiliza-se a correla¸cão ponderada na fase de agrupamento SSA (GOLYANDINA et al., 2001).

3.9 Clusteriza¸

c˜

ao Hier´

arquica

A clusteriza¸cão hierárquica é uma técnica da estat´ıstica que permite agrupar diferentes observa¸cões do banco de dados em subgrupos de acordo com um conjunto de variávies. Essa técnica é bastante explorada em cenários de Churn, isto é, cenários de cancelamentos de servi¸cos entre cliente e empresa (ANDRADE, 2004).

Existem diversas técnicas de clusteriza¸cão tais como: a Clusteriza¸cão Hierárquica, K-Means, Dynamic Time Warping. Todas essas técnicas baseiam-se numa medida de similariedade ou dissimilariedade entre as observa¸cões, tendo como as principais medidas: a Euclediana e a Mahalanobis.

Em séries temporais, o banco de dados é composto de apenas duas informa¸cões: o tempo e a variável de estudo. Dessa forma, não existe nenhum conjunto de variáveis que possam ser utilizadas para clusteriza¸cão com o intuito de separar as séries temporais em grupos distintos. No entanto, quando utilizada junto à filtragem SSA é poss´ıvel separar as componentes de tendência, harmônica e ruidosa.

Em rela¸cão à clusteriza¸cão hierárquica, que foi aplicada no presente estudo, é realizada através da metodologia de agrupamento aglomerativo (MIRANDA et al., 2014), onde cada item é considerado como um grupo individual no primeiro momento e recursivamente vão fundindo a outros grupos de menor distância até que se obtenha a clusteriza¸cão final. A

(26)

3.10 Resumo da Metodologia 25

outra abordagem considera um único grupo no primeiro momento para, recursivamente, ocorrerem as divisões até chegar a clusteriza¸cão desejada. A distância entre os grupos será calculada pela distância Euclidiana (OCHI et al., 2014), dado em (3.24):

d(Xi, Xj) = " _p X l=1 (xil− xjl)2 #1₂ (3.24)

onde X representa a variável e x as respectivas observa¸cões da variável e l representa a dimensão dos dados de 1 à l.

Há diferentes formas de mensurar a distância entre as observa¸cões de um banco, podendo ser através da distância m´ınima (single linkage) entre dois pontos ou através da distância máxima (complete linkage) e a distância média ((average linkage). A figura 4 representa essas distâncias em um universo bi-dimensional.

Figura 4: Representa¸cão das distâncias medidas na Clusteriza¸cão Hierárquica

3.10 Resumo da Metodologia

Em linhas gerais, este trabalho investigou o melhor cen´ario de previs˜ao estat´ıstica para dados de velocidade do vento provenientes do site do INMET - Instituto Nacional de Meteorologia.

A primeira parte foi executada utilizando os dados brutos, isto ´e, sem filtragem SSA. Os dados foram subdivididos em amostra de treinamento e amostra de teste conforme o princ´ıpio do Cross Validation. Feito isso, foram utilizados os modelos de Holt-Winters

(27)

3.10 Resumo da Metodologia 26

e de Box & Jekins para previsão com horizonte de doze meses à frente. Como medidas de aderência do modelo foram utilizadas as estat´ısticas MAPE, R2, RMSE e BIC que mediram a qualidade da modelagem estat´ıstica.

Uma segunda etapa levou em conta a filtragem da série via SSA com uso de clus-teriza¸cão hierárquica antes de usar o Cross Validation e das modelagens propriamente ditas. Após a defini¸cão dos clusters, o processo se repete novamente pelas etapas descri-tas acima. A figura 5 apresenta o fluxograma da metodologia aplicada neste trabalho.

(28)

27

4 An´

alise dos Resultados

Com o objetivo de maximizar a acurácia da previsão out of sample, bem como testá-la e validá-la pela divisão treino/teste e pela divisão do time series cross validation foram feitos quatro compara¸cões distintas. Foram realizadas diversas modelagens com o objetivo de se obter a melhor configura¸cão de parâmetros não apenas entre as fam´ılias de modelos, mas entre os próprios modelos propostos anteriormente neste estudo tais como os modelos de Holt-Winters e de Box & Jenkins. Desta forma, este cap´ıtulo se divide em quatro subse¸cões, sendo as duas primeiras tratando a divisão treino/teste sem a filtragem SSA e as duas últimas tratando esta mesma divisão com a filtragem SSA.

4.1 An´

alise com a divis˜

ao treino/teste sem a

filtra-gem SSA

Come¸cando do mais simples para o mais complexo, isto é, sem a filtragem SSA e com a divisão treino/teste. Este cenário é considerado mais simples uma vez que o modelo estat´ıstico é estimado uma única vez e não há necessidade de pré-processamento dos dados.

Como já discutido no cap´ıtulo de Materiais e Métodos na se¸cão de Automatiza¸cão das previsões, os modelos estat´ısticos são estimados de maneira automática, sem aux´ılio de correlogramas, através das fun¸cões ets e auto.arima do pacote forecast do R. Essas fun¸cões possuem uma sele¸cão de modelos built-in que retorna o modelo com menor AIC. Após rodar as fun¸cões, o software R retém a configura¸cão do melhor modelo para posteriormente ser realizada a previsão estat´ıstica fora da amostra.

O modelo Holt-Winters escolhido teve a configura¸cão de erro aditivo, sazonalidade adiditiva e ausência da componente de tendência. Por sua vez, o modelo da fam´ılia Box & Jenkins teve a configura¸cão de um SARIM A(0, 0, 1) × (2, 0, 0) representado pela

(29)

4.1 An´alise com a divis˜ao treino/teste sem a filtragem SSA 28

equa¸c˜ao de previs˜ao em (4.1):

(1 − Φ1B12− Φ2B24)Zt = (1 + θ1B)at (4.1)

E os respectivos parˆametros do modelo Box & Jenkins com os p-valores apresentados na tabela 2.

Tabela 2: Coeficientes do modelo Box & Jenkins: treino/teste sem a filtragem SSA θ1 Φ1 Φ2

Coeficiente 0.391 0.617 0.171 Erro padr˜ao 0.060 0.083 0.084 P -valor 0.000 0.000 0.042

A figura 6 apresenta em preto a s´erie orginal e em vermelho os valores ajustados do treinamento dos modelos.

(30)

4.1 An´alise com a divis˜ao treino/teste sem a filtragem SSA 29

Foi poss´ıvel observar que ambos os modelos foram capazes de capturar a componente de sazonalidade da série, porém em alguns picos há ausência de sobreposi¸cão das duas curvas. Além do gráfico, a tabela 3 apresenta as principais estat´ısticas de aderência para o ajuste dos modelos.

Tabela 3: Estat´ısticas de aderˆencia in-sample: treino/teste sem SSA RM SE R2 M AP E BIC Holt-Winters 0.26 0.80 0.16 389 SARIM A(0, 0, 1) × (2, 0, 0) 0.29 0.75 0.18 59

Apesar de apresentar um BIC maior, o modelo de Holt-Winters obteve melhores resultados nas demais estat´ısticas de aderˆencia indicando ser o modelo mais prop´ıcio para esta abordagem.

Após a análise in-sample, os 12 últimos meses dos dados foram utilizados como amos-tra de teste, ou seja, previsão out-of-sample. A figura 7 apresenta um zoom sobre este per´ıodo para cada modelo obtido. Na ocasião, a linha preta se refere aos dados originais e a linha vermelha, a previsão estat´ıstica.

(31)

4.2 An´alise com Cross validation sem a filtragem SSA 30

Pode-se perceber na figura 7 que o modelo de suaviza¸c˜ao exponencial de Holt-Winters acompanhou mais proximamente os dados originais que o modelo de Box & Jenkins. A tabela 4 apresenta as estat´ısticas de aderˆencia desta abordagem.

Tabela 4: Estat´ısticas de aderˆencia (out-of-sample): treino/teste sem SSA RM SE R2 M AP E BIC Holt-Winters 0.32 0.48 0.36 479 SARIM A(0, 0, 1) × (2, 0, 0) 0.36 0.22 0.62 88

De acordo com os dados apresentados na tabela 4, o modelo de Holt-Winters, com exce¸cão do BIC, apresentou melhores estat´ısticas de aderência assim como na análise in-sample, confirmando ser este o poss´ıvel candidato a modelo para esta série de velocidade do vento.

4.2 An´

alise com Cross validation sem a filtragem

SSA

O segundo cenário, por sua vez, utiliza o cross validation e sem filtragem SSA para previsão estat´ıstica. A cada itera¸cão o modelo é reestimado com a adi¸cão de uma nova observa¸cão. Logo, diversas configura¸cões podem aparecer e, por conta disso, não será poss´ıvel mencionar o modelo estat´ıstico.

A figura 8 apresenta as séries ajustadas pelas duas classes de modelos: Holt-Winters e Box & Jenkins. Na ocasião, as linhas pretas são da série original e as linhas vermelhas, das séries ajustadas pelos modelos.

(32)

4.2 An´alise com Cross validation sem a filtragem SSA 31

Figura 8: Valores ajustados: cross validation sem SSA

Os valores ajustados ficaram próximos daqueles vistos na se¸cão anterior. Ou seja, ambos foram capazes de capturar a componente de sazonalidade da série, porém em alguns picos há ausência de sobreposi¸cão das duas curvas.

A tabela 5 apresenta as estat´ısticas de aderˆencia desta abordagem.

Tabela 5: Estat´ısticas de aderˆencia in-sample: cross validation sem SSA RM SE R2 _{M AP E} _BIC

Holt-Winters 0.26 0.78 0.16 400 ARIM A 0.29 0.76 0.18 55

Como foi visto anteriormente, o modelo de Holt-Winters sobressaiu novamente com as melhores estat´ısticas de aderˆencia com excess˜ao apenas do BIC.

A figura 9 apresenta as previs˜oes fora da amostra pelas duas classes de modelos: Holt-Winters e Box & Jenkins.

(33)

4.3 An´alise com a divis˜ao treino/teste com a filtragem SSA 32

Figura 9: Previs˜ao 12 meses a frente (out-of-sample): cross validation sem SSA

Pode-se perceber na figura 9 que os modelos tiveram desempenho similar na previs˜ao fora da amostra. A seguir foram apresentas as estat´ısticas de aderˆencia desta abordagem.

Tabela 6: Estat´ısticas de aderˆencia out-of-sample: cross validation sem SSA RM SE R2 _{M AP E} _BIC

De acordo com os resultados apresentados na tabela 6, pode-se perceber que a classe de modelos ARIM A se comportou melhor que a classe de modelos de suaviza¸c˜ao exponencial de Hol-Winters uma vez que as medidas RM SE, M AP E e BIC foram menores que as observadas nesta segunda classe.

4.3 An´

alise com a divis˜

ao treino/teste com a

filtra-gem SSA

A filtragem SSA foi realizada com o aux´ılio do pacote Rssa do CRAN R. Este pacote permite ao usuário a decomposi¸cão e reconstru¸cão da série original, bem como auxilia

(34)

por meio de diversos gráficos, a escolha dos autovetores necessários para reconstru¸cão da série. No entanto, o pacote Rssa do R também possui um mecanismo automatizado para escolha dos autovetores no momento da reconstru¸cão da série baseado na clusteriza¸cão hierárquica que foi utilizado neste trabalho.

A figura 10 apresenta o resultado da decomposi¸cão do SSA nas componentes harmônica e de tendência da série orginal.

Figura 10: Componentes harmônica e de tendência na filtragem SSA com clusteriza¸cão hierárquica

A figura 11 apresenta a componente ruidosa da série orginal que posteriormente será removida no momento da reconstru¸cão do algoritmo de filtragem SSA.

(35)

Figura 11: Componente ruidosa na filtragem SSA com clusteriza¸c˜ao hier´arquica

Por fim, a figura 12 apresenta o resultado da reconstru¸cão da série orginal com apenas as componentes de tendência e harmônica identificadas pela filtragem SSA via cluste-riza¸cão hierárquica. Ainda na figura 12 há a série original para comparativo, mostrando que os picos foram suavizados.

(36)

Figura 12: Série filtrada via SSA com clusteriza¸cão hierárquica e série original

O tamanho da janela escolhida pelo algoritmo SSA foi igual a metade das observa¸cões da série, enquanto a clusteriza¸cão utilizada dos autovalores foi dado pela clusteriza¸cão hierárquica utilizando a matriz de correla¸cão de pesos como input.

A tabela 7 apresenta a matriz de correla¸cão das componentes da série temporal pela fase de decomposi¸cão do algoritmo SSA.

Tabela 7: Matriz de correla¸cão das componentes via SSA Tendência Harmônica Ruidosa Tendência 1.00 -0.04 0.05 Harmônica -0.04 1.00 0.07 Ruidosa 0.05 0.07 1.00

De acordo com a tabela 7, o algoritmo clusterizou apropriadamente as componentes dado que as correla¸c˜oes entre elas foram pr´oximas de zero.

Ap´os o pr´e-processamento dos dados com o filtro SSA, mais uma vez foi dividido a amostra em treino/teste e verificado o ajuste dos modelos.

(37)

A equa¸c˜ao do modelo de Box & Jenkins para este cen´ario foi apresentada em (4.2):

(1 − φ1B − φ2B2 − φ3B3− φ4B4− φ5B5)(1 − Φ1B12)Zt = (1 + θ1B + θ2B2)at (4.2)

E a tabela 8 mostra a significˆancia dos parˆametros do modelo Box & Jenkins com os respectivos p-valores.

Tabela 8: Coeficientes do modelo Box & Jenkins: treino/teste com a filtragem SSA φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 θ1 θ2 Φ1

Coeficiente 0.852 -0.354 0.502 -0.452 0.322 0.714 1.000 0.779 Erro padro 0.079 0.098 0.093 0.102 0.080 0.021 0.039 0.051 P -valor 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

A figura 13 apresenta os valores ajustados in-sample dos modelos de Holt-Winters e de Box & Jenkins. Na ocasião, as linhas pretas são dos dados originais e as linhas vermelhas são dos valores ajustados pelos modelos com a série filtrada via SSA.

(38)

Figura 13: Valores ajustados: divis˜ao treino e teste com SSA

`

A partir dos dados apresentados na figura 13 pode-se perceber que os modelos ajusta-dos acompanham os daajusta-dos da série filtrada SSA com maior precisão se comparados com os dados originais. A tabela 9 apresenta as estat´ısticas de aderência desta abordagem.

Tabela 9: Estat´ısticas de aderˆencia in-sample: treino/teste com SSA RM SE R2 _{M AP E} _BIC

Holt-Winters 0.12 0.95 0.09 192 SARIM A(5, 0, 2) × (1, 0, 0) 0.09 0.96 0.10 118

Pode-se perceber, nos resultados apresentados na tabela 9, que o modelo de Box & Jenkins teve melhor desempenho devido aos valores menores das estat´ısticas de aderˆencia e maior valor do R2_.

(39)

Para verificar se o ganho no desempenho do modelo é consequência da filtragem SSA, a tabela 10 apresenta os resultados das estat´ısticas de aderência in-sample treino/teste sem e com a filtragem SSA.

Tabela 10: Estat´ısticas de aderˆencia in-sample: treino/teste RM SE R2 _{M AP E} _BIC

Holt-Winters sem SSA 0.26 0.80 0.16 389 Holt-Winters com SSA 0.12 0.95 0.09 192 ARIM A sem SSA 0.29 0.75 0.18 59 ARIM A com SSA 0.09 0.96 0.10 118

A tabela 10 confirma o resultado melhor dos modelos estat´ısticos com a filtragem SSA, conforme já visto anteriormente na análise gráfica.

A figura 14 apresenta a previsão fora da amostra para divisão treino/teste após o pré-processamento dos dados via SSA.

Figura 14: Previs˜ao 12 meses a frente (out-of-sample): divis˜ao treino/teste com SSA

De acordo com os gr´aficos apresentados na figura 14, o modelo Box & Jenkins tem uma pequena vantagem para previs˜ao fora da amostra do que Holt-Winters, uma vez que

(40)

4.4 An´alise com Cross validation com a filtragem SSA 39

acompanha com mais precis˜ao a curva dos valores observados entre os meses de Mar¸co `a Outubro.

A tabela 11 apresenta as estat´ısticas de aderˆencia fora da amostra para os dois mo-delos.

Tabela 11: Estat´ısticas de aderˆencia out-of-sample: treino/teste com SSA RM SE R2 _{M AP E} _BIC

Holt-Winters 0.47 0.13 0.72 513 SARIM A(5, 0, 2) × (1, 0, 0) 0.40 0.06 0.62 290

As estat´ısticas de aderˆencia apresentadas na tabela 11 corroboram para a escolha do modelo Box & Jenkins frente ao Holt-Winters por ter obtido resultados menores de RM SE, M AP E e BIC.

A tabela 12 apresenta os resultados das estat´ısticas de aderˆencia out-of-sample treino/teste sem e com a filtragem SSA.

Tabela 12: Estat´ısticas de aderˆencia out-of-sample: treino/teste RM SE R2 _{M AP E} _BIC

A previsão out-of-sample teve resultados melhores nas estat´ısticas de aderência para série original do que a filtrada pelo SSA.

4.4 An´

alise com Cross validation com a filtragem

SSA

Por último, foi implementado o Cross validation com SSA. A cada itera¸cão não so-mente adicionava uma nova observa¸cão como filtrava série de treinamento.

A figura 15 apresenta os valores ajustados in-sample dos modelos de Holt-Winters e de Box & Jenkins. Na ocasião, as linhas pretas são dos dados originais e as linhas vermelhas são dos valores ajustados pelos modelos.

(41)

Figura 15: Valores ajustados: cross validation com SSA

`

A partir dos dados apresentados na figura 15 pode-se perceber que os modelos mos-traram ser mais consistentes com a série filtrada SSA, dando uma maior precisão se comparados com um ajuste de modelos sem pré-processamento dos dados. A tabela 13 apresenta as estat´ısticas de aderência desta abordagem.

Tabela 13: Estat´ısticas de aderˆencia in-sample: cross validation com SSA RM SE R2 M AP E BIC

Pela tabela 13 percebe-se que ambos os modelos apresentaram desempenhos satis-fat´orios dentro da amostra de treinamento com uma pequena vantagem ao modelo Box & Jenkins que teve a estat´ıstica RM SE menor, bem como o BIC.

Para verificar se o ganho no desempenho do modelo é consequência da filtragem SSA, a tabela 14 apresenta os resultados das estat´ısticas de aderência in-sample no cross validation sem e com a filtragem SSA.

(42)

Tabela 14: Estat´ısticas de aderˆencia in-sample: cross validation RM SE R2 _{M AP E} _BIC

Os resultados apresentados na tabela 14 indicam que os modelos estat´ısticos utilizando as s´eries ap´os a filtragem SSA apresentam melhor desempenho.

A figura 16 apresenta a previsão fora da amostra para divisão cross validation após o pré-processamento dos dados via SSA.

Figura 16: Previs˜ao 12 meses a frente (out-of-sample): cross validation com SSA

De acordo com a figura 16, as previsões fora da amostra conseguem descrever o com-portamento da série original quando os modelos são feitos à partir da metodologia cross validation com a filtragem SSA. A tabela 15 apresenta as estat´ısticas de aderência out-of-sample.

(43)

Tabela 15: Estat´ısticas de aderˆencia out-of-sample: cross validation com SSA RM SE R2 _{M AP E} _BIC

De acordo com os resultados da tabela 15, percebe-se que os dois modelos tiveram comportamento similar se mostrando adequados na previs˜ao fora da amostra com o mo-delo Holt-Winters tendo resultados melhores em RM SE e M AP E, enquanto o ARIM A por sua vez foi melhor em R2 _{e BIC.}

A tabela 16 apresenta as estat´ısticas de aderˆencia para os modelos de Holt-Winters e de Box & Jenkins na abordagem cross validation sem e com a filtragem SSA

Tabela 16: Estat´ısticas de aderˆencia out-of-sample: cross validation RM SE R2 M AP E BIC Holt-Winters sem SSA 0.32 0.42 0.37 488 Holt-Winters com SSA 0.16 0.49 0.22 282 ARIM A sem SSA 0.30 0.28 0.35 74 ARIM A com SSA 0.17 0.57 0.24 203

Os resultados apresentados na tabela 16 mostram que a filtragem SSA promove um ganho preditivo quando a abordagem cross validation é utilizada. Nesta ocasião, a grande maioria das estat´ısticas de aderência apresentaram melhora, enquanto que na abordagem treino/teste esta caracter´ıstica não foi percebida.

(44)

43

5 Conclus˜

ao

A energia eólica é uma importante alternativa a atual matriz energética em com-bust´ıveis fósseis. Primeiro, por ser uma fonte inesgotável de energia e segundo por ser limpa e sustentável para todo o planeta. No entanto, uma das maiores dificuldade de implementa¸cão desse tipo de energia em larga escala está relacionada a sua dependência com os fatores climáticos estarem favoráveis a gera¸cão da energia.

Por conta disso, foi proposto a previsão da velocidade do vento através da modelagem estat´ıstica das séries temporais com o intuito de maximizar a acurácia out-of-sample. Neste trabalho foram utilizados os modelos Holt-Winters e Box & Jenkins em divisões de treinamento/teste e também em divisões do cross validation com os dados realizados do munic´ıpio de Campos dos Goytacazes entre os anos 2002 à 2016. Esses mesmos dados foram pré-processados através do filtro SSA, totalizando em quatro cenários distintos: 1) treino/teste e sem filtro; 2) cross validation e sem filtro; 3) treino/teste e com filtro; 4) cross validation e com filtro.

Após as modelagens, os resultados mostraram que o cenário de treino/teste e sem filtragem SSA na amostra de treinamento (in-sample) conseguiu acompanhar a curva dos valores observados da série, capturando o efeito sazonal. No entanto, foi visto que em alguns picos houve ausência de sobreposi¸cão das curvas em ambos os modelos estat´ısticos. Já com respeito a previsão fora da amostra (out-of-sample), o modelo Holt-Winters mos-trou ser superior, tendo mais proximidade com a curva dos valores reais.

Sobre o cenário 2, isto é, com divisão do cross validation e sem filtro SSA, o modelo era reestimado a cada inclusão de uma nova observa¸cão. Este método mostrou um re-sultado similar ao ajuste dos modelos no treinamento do cenário 1, enquanto a previsão fora da amostra (out-of-sample) resultou numa melhora frente ao cenário 1, tendo maior proximidade ainda com a curva dos valores reais.

Por fim, os cenários 3 e 4 utilizaram o filtro SSA como pré-processamento dos dados antes da modelagem estat´ıstica. Este filtro extraiu a componente ruidosa da série e

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5 Conclus˜ao 44

reconstru´ıu sem ela. Dessa maneira, a amostra foi dividida em treino/teste mais uma vez constituindo o terceiro cenário distinto do presente trabalho. Os resultados deste cenário apontaram uma melhora significante para os dois modelos estat´ısticos com rela¸cão ao ajuste dos dados, tendo maior sobreposi¸cão sobre as curvas do que os cenários 1 e 2. Ao comparar os resultados com e sem filtro in-sample na divisão treino/teste, os modelos que utilizaram a série filtrada tiveram ganhos consideráveis de acurácia. Já o mesmo não pode concluir na previsão out-of-sample, mostrando que a série sem filtro teve a melhor acurácia do que com filtro. O modelo Box & Jenkins sobressaiu como melhor modelo out-of-sample nesse cenário 3.

O último cenário, levou em considera¸cão o cross validation com filtro SSA. Os resulta-dos in-sample foram pareciresulta-dos para os dois modelos, com uma pequena vantagem para o modelo Box & Jenkins. Esse cenário teve as melhores estat´ısticas de aderência in-sample, logo também foi verificada a eficiência do filtro SSA quando comparado ao cenário 2: cross validation e sem filtro. A respeito da previsão fora da amostra (out-of-sample), esse cenário mostrou ter consistência em dados ou observa¸cões que não foram utilizados para estima¸cão dos parâmetros, mostrando a curva da previsão estat´ıstica bem próxima do real, garantindo ser o melhor cenário para previsão out-of-sample dos 4 cenários apresentados nesse estudo.

Estes resultados colaboram com a ideia de que as metodologias SSA com clusteriza¸cão hierárquica e cross validation aplicadas na modelagem e previsão de séries de velocidade do vento podem trazer resultados mais satisfatórios na tentativa de incluir a fonte eólica de energia no sistema elétrico brasileiro.

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