UFABC – UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
CECS – CENTRO DE ENGENHARIA, MODELAGEM E CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
Engenharia Aeroespacial – Estruturas Aeroespaciais
ESZS011-17 – TEORIA DA ELASTICIDADE
Segundo Quadrimestre – 2017
-Prof. Dr. Wesley Góis – CECS – UFABC
wesley.gois@ufabc.edu.br
SALA 353, Bloco Delta
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
1. Equações Diferenciais de Equilíbrio
Em um sólido em equilíbrio sob ação de um sistema de forças, considere um paralelepípedo infinitesimal, de arestas dx, dy e
dz paralelas aos eixos
coordenados. x y z
B , B , B
B
Força
de
massa,
volúmica
por
unidade de volume
Do equilíbrio de forças do elemento, são escritas três equações nas direções dos eixos x,y e z. Na direção y, por exemplo, obtém-se :
y xy y y xy xy zy zy zy y
dxdz
dy dxdz
dydz
dx dydz
y
x
dxdy
dz dxdy
B dxdydz
0
z
σ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
σ
τ
τ
σ
σ
τ
τ
σ
σ
τ
τ
σ
σ
τ
τ
ττττ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
+
+
−
+
+
−
−
−
+
+
+
+
−
−
+
+
+
+
−
−
−
+
+
−
+
+
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂∂
−
+
+
+
=
−
−
+
+
+
+
+
+
=
=
−
+
+
+
=
∂∂∂∂
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
xy y zy y
B
0
x
y
z
τ
σ
τ
τ
τ
σ
σ
τ
τ
τ
σ
τ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Ou seja,Analogamente, considerando o equilíbrio de forças nas direções x e z, são obtidas as duas outras equações. As três equações de equilíbrio de momentos conduzem à simetria das tensões de cisalhantes:
xy yx
,
xz zx,
yz zyτ
τ τ
τ τ
τ
τ
τ τ
τ τ
τ
τ
τ τ
τ τ
τ
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
Ficam assim instituídas as chamadas equações diferenciais do equilíbrio :
xy y zy y
B
0
x
y
z
τ
σ
τ
τ
σ
τ
τ
σ
τ
τ
σ
τ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
xy xz x xB
0
x
y
z
ττττ
ττττ
σσσσ
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
yz xz z zB
0
x
y
z
ττττ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
τ
∂∂∂∂
σ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Notação indicial: ji , jB
i0
σσσσ
+
+
+
+
=
=
=
=
2. Relações Deformação-Deslocamento
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
((((
))))
u
====
u x , y , z
((((
))))
v
====
v x , y , z
((((
))))
w
====
w x , y , z
ur
u
d
v
w
====
x y z xy xz yzεεεε
εεεε
εεεε
γγγγ
γγγγ
γγγγ
xu
x
εεεε
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
yv
y
εεεε
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
zw
z
εεεε
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
xyu
v
y
x
γγγγ
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
+
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
xzu
w
z
x
γγγγ
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
+
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
yzv
w
z
y
γγγγ
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
+
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
3. Equações de Compatibilidade de Deformações
Quando o sólido se deforma, passando da configuração inicial a configuração final deformada, o correspondente campo de deslocamentos é representado por funções contínuas e unívocas, tendo em vista a preservação da continuidade do meio sólido no processo.
Por outro lado, da mesma forma que o campo de tensões não é arbitrário, devendo atender às equações diferenciais de equilíbrio, também o campo de deformações deve obedecer a equações de compatibilidade que assegurem um campo de deslocamento contínuo e unívoco. Em outras palavras, devem-se estabelecer condições para que, fixadas as seis componentes de deformação, seja possível garantir a integrabilidade das relações deformação-deslocamento, de modo a ser obtido um campo de deslocamentos u, v e w cinematicamente admissível. Essas relações suplementares, obrigatoriamente existentes entre as componentes de deformação, são obtidas eliminando nas relações deformação-deslocamento as componentes de deslocamento. Por exemplo, derivando adequadamente as equações que contem e , vem:
x
,
yε ε
ε ε
ε ε
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
2 3 x 2 2u
y
x y
εεεε
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
2 3 y 2 2v
x
x
y
εεεε
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
2 3 3 xy 2 2u
v
x y
x y
x
y
γγγγ
∂∂∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
= −
−
−
−
= −
= −
−
−
−
= −
−
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
Somando membro a membro, tem-se a primeira das equações de compatibilidade de deformações: 2 2 2 y xy x 2 2
0
y
x
x y
ε
γ
ε
ε
γ
γ
ε
γ
εεεε
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂∂
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
∂ ∂
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
Por um procedimento semelhante, são instituídas cinco outras relações ligando entre si as componentes de deformação, completando o conjunto de seis equações independentes de compatibilidade de deformações:
2 2 2 z xz x 2 2
0
z
x
x z
ε
γ
ε
γ
ε
γ
ε
γ
εεεε
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂∂
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
∂ ∂
2 2 2 y z yz 2 20
z
y
y z
ε
γ
ε
γ
ε
γ
ε
εεεε
γ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂∂
∂
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂ ∂
2 2 2 2 xy xz yz x 22
y z
x z
x y
x
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γγγγ
γ
εεεε
∂
∂
∂
∂
∂∂∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂∂
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
2 2 2 2 y xy yz xz 22
x z
y z
x y
y
ε
γ
γ
ε
ε
γ
γ
γ
γ
ε
γ
γ
γγγγ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂∂
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
2 2 2 2 yz xy z xz 22
x y
y z
x z
z
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
ε
γ
ε
ε
γ
γ
ε
γ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
−
=
=
+
+
−
−
=
+
−
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
Estas seis equações representam as condições necessárias ( e suficientes, no caso de domínios simplesmente conexos) para a geração, a partir das seis componentes de deformação, de um campo de deslocamentos contínuo e unívoco. É conveniente relembra que uma região simplesmente conexa é aquela em que qualquer curva fechada pode ser continuamente reduzida até um ponto sem sair da referida região. Já no caso oposto (como por exemplo num cilindro vazado ou num toro), a região é multiplamente conexa.
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
3. Lei de Hooke
((((
))))
x x y zE
E
σσσσ
νννν
ε
σ
σ
ε
σ
σ
ε
σ
σ
ε
=
=
=
=
−
−
−
−
σ
+
+
+
+
σ
((((
))))
y y x zE
E
σσσσ
νννν
ε
σ
σ
ε
σ
σ
ε
σ
σ
ε
=
=
=
=
−
−
−
−
σ
+
+
+
+
σ
((((
))))
z z x yE
E
σσσσ
νννν
ε
σ
σ
ε
ε
σ
σ
σ
σ
ε
=
=
=
=
−
−
−
−
σ
+
+
+
+
σ
xy xyG
ττττ
γγγγ
====
xz xzG
ττττ
γγγγ
====
yz yzG
ττττ
γγγγ
====
((((
E
))))
G
2 1
νννν
====
++++
x 1 xE
I
1
1 2
νννν
σ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
ε
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
=
+
=
=
+
+
=
+
+
−
+
+
−
−
+
−
y 1 yE
I
1
1
2
νννν
σ
ε
σ
σ
ε
ε
σ
ε
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
=
+
=
=
+
+
=
+
+
−
+
−
+
−
+
−
z 1 zE
I
1
1 2
νννν
σ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
ε
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
=
+
=
+
=
+
=
+
+
−
+
−
+
−
+
−
xyG
xyτ
γ
τ
γ
τ
γ
τ
====
γ
xzG
xzτ
γ
τ
γ
τ
γ
τ
====
γ
τ
τ
τ
τ
yz====
G
γ
γ
γ
γ
yz 1 x y zI
=
=
=
=
ε
ε
ε
ε
+
+
+
+
ε
ε
ε
ε
+
+
+
+
ε
ε
ε
ε
Lei de Hooke Generalizada para materiais homogêneos e isótropos:
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
4. Condições de Contorno
Na formulação do problema elástico, além das equações que devem ser satisfeitas no domínio, outras condições devem ser atendidas no contorno do sólido. De maneira geral, pode-se ter:
•Deslocamentos prescritos em do contorno;
•Forças prescritas em do contorno; u
ΓΓΓΓ
tΓΓΓΓ
u
u
v
v
w
w
====
====
====
x x xy xz x y xy y yz y z xz yz z zl
m
n
l
m
n
l
m
n
ρ
σ
τ
τ
ρ
ρ
σ
τ
τ
ρ
ρ
σ
τ
τ
ρ
ρ
σ
τ
τ
ρ
ρ
τ
σ
τ
ρ
ρ
τ
σ
τ
ρ
ρ
τ
σ
τ
ρ
ρ
τ
σ
τ
ρ
ρ
τ
τ
σ
ρ
ρ
τ
τ
σ
ρ
ρ
τ
τ
σ
ρ
ρ
τ
τ
σ
ρ
=
+
+
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
x x xy y xz zσ
ρ
σ
ρ
σ
ρ
σ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
====
====
====
l
=
=
=
=
1,m
= =
= =
= =
= =
n
0
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
5. Formulação Geral do Problema Elástico
O problema elástico, de maneira geral, fica formulado mediante 15 equações diferenciais e algébricas:
• 3 equações de equilíbrio;
•6 relações deformação-deslocamento; •6 relações tensão-deformação.
Envolvendo um total de 15 funções incógnitas das variáveis independentes x,y,z quais sejam:
6 componentes de tensão;
6 componentes de deformação; 3 componentes de deslocamento.
Equacionamento do Problema Elástico – 3D
Devendo ser ainda satisfeitas as condições de forças ou deslocamentos prescritos no contorno.
