7. RETIFICAÇÃO E NORMALIZAÇÃO DE IMAGENS

7. RETIFICAÇÃO E NORMALIZAÇÃO

DE IMAGENS

7.1 CONCEITO INICIAL

Segundo (Andrade, 1998), retificar uma imagem consiste em projetá-la, segundo seu próprio feixe perspectivo, para um plano horizontal. Isso significa que, através da retificação, é possível modificar e até mesmo eliminar completamente os ângulos de atitude da câmara em relação a um dado referencial, bem como a distância focal da imagem resultante. Tal fato pode ser evidenciado mais claramente na Figura 7.1.

Figura 7.1 – Imagem original, com suas devidas inclinações e imagem retificada de modo a não es-tar

No caso da fotogrametria aérea/orbital, ou seja, a fotogrametria com vistas ao mapeamento em larga escala, interessa transformar as imagens em perfeitamente verticais, ou seja: eliminar os ângulos φ e ω, gerando, então, imagens perfeitamente verticais. Vale lembrar que, para imagens aéreas, φe ωdevem ser menores que 5o_{. Caso se queira,}

pode-se alterar além dos ângulos já citados, o ângulo de deriva κe a distância focal da imagem, o que serve para uniformizar todas as imagens de um mesmo vôo (ou mesmo de vôos diferentes).

O objetivo primordial da retificação para a fotogrametria aérea/orbital é gerar uma nova imagem vertical sem as distorções introduzidas pela atitude do sensor durante a tomada da imagem. A imagem resultante poderá, inclusive, está isenta dos erros de deslocamento devido ao relevo. Nessa hipótese, deve-se realizar o processo da ortorretificação.

A retificação é orientada à imagem, sendo necessário o conhecimento dos parâmetros de orientação interior e exterior da mesma. A seguir serão apresentados alguns dos métodos matemáticos mais utilizados para este fim.

7.2 MODELOS MATEMÁTICOS

Existem basicamente duas formas para a realização das operações de retificação, a saber: transformações (afim, polinomial, projetiva, etc.) e princípio da colinearidade.

7.2.1 TRANSFORMAÇÃO AFIM

A já conhecida transformação afim também pode ser utilizada para a retificação aproximada de uma imagem. Consiste em, conhecendo-se as coordenadas de, no mínimo três pontos não-colineares no sistema de

coordenadas da imagem inicial e no sistema de coordenadas da imagem final, através de um ajustamento pelo método paramétrico, calcular os coeficientes de transformação entre ambos os sistemas. Tais coeficientes são a0, a1, a2 e b0, b1, b2. A formulação da transformação afim é a seguinte:

x = a0 + a1 . x' + a2 . y' (7.1)

y = b0 + b1 . x' + b2 . y' (7.2)

(x, y) representa o sistema de coordenadas de imagem final, enquanto (x', y') é o sistema de imagem inicial.

Neste caso, deseja-se corrigir as distorções causadas pela rotação da câmara em relação a um referencial. Dispõe-se de uma imagem inicial, em sistema de pixels (discreto) e quer-se chegar a outra imagem digital, porém retificada. O sistema de coordenadas desta segunda imagem também é discreto. Sem embargo, pode-se reescrever as equações (7.1) e (7.2) como:

coluna = a0 + a1 . coluna' + a2 . linha' (7.3)

linha = b0 + b1 . coluna' + b2 . linha' (7.4)

Resta ainda uma condição para executar-se o ajustamento: alguns pontos de controle (no mínimo três) são necessários. Para estes pontos, deve-se conhecer suas coordenadas no sistema da imagem retificada. Uma boa saída é escolher os cantos do objeto a ser retificado, se o mesmo for retangular. Caso queira-se eliminar totalmente a distorção causada pela rotação da câmara, esses cantos terão de ser obrigatoriamente os cantos da imagem retificada, ou seja, as coordenadas (0,0) ; (0,l); (c,l) e (c,0), onde c e l são valores arbitrados e que devem ser obtidos aproximadamente caso se deseje manter a proporcionalidade.

Um exemplo que serve para clarificar este modelo de transformação é o da figura 7.2. Nela, tem-se uma imagem da fachada de um pequeno edifício, obviamente eivada das distorções convencionais. Sua representação retificada pode ser vista ao lado. Como a fachada é

retangular, pode-se utilizar seus cantos como pontos de controle e dizer automaticamente que estes serão os cantos da imagem final. Para dar um valor aproximadamente igual à proporção base X altura da fachada à imagem final, é possível, por exemplo, verificar quanto valem as alturas (pela direita e pela esquerda) e as bases (embaixo e em cima) do prédio na imagem distorcida e tirar uma média. Esta foi a estratégia adotada neste caso, chegando-se ao resultado a seguir.

Figura 7.2 – Imagem original, com suas devidas distorções e imagem retificada de modo a

não estar rotacionada. Os pontos de controle estão marcados com cruzes vermelhas.

Tem-se em mãos, agora, valores de coordenadas de quatro pontos no sistema da imagem original (obviamente, pois o usuário terá de escolhê-las) e no sistema da imagem final (no caso da figura 7.2, porque foram arbitrados os cantos da imagem). Arranjando-se os termos em forma matricial, chega-se a:

¦

coluna1 linha1 coluna2 linha2 coluna3 linha3 coluna4 linha4

§

=

¦

1 coluna1' linha1' 0 0 0 0 0 0 1 coluna1' linha1' 1 coluna2' linha2' 0 0 0 0 0 0 1 coluna2' linha2' 1 coluna3' linha3' 0 0 0 0 0 0 1 coluna3' linha3' 1 coluna4' linha4' 0 0 0 0 0 0 1 coluna4' linha4'

§

E

¦

a0 a1 a2 b0 b1 b2

§

(7.5)

Um ajustamento pelo método paramétrico pode ser realizado, tendo, como valores finais: a0, a1, a2 e b0, b1, b2 ajustados.

7.2.2 TRANSFORMAÇÃO PROJETIVA

A transformação projetiva é expressa da seguinte forma:

x = c11x'Ac12y'Ac13 c₃₁x'Ac32y'A1 (7.6) y = c21x'Ac22y'Ac23 c₃₁x'Ac32y'A1 (7.7)

Esta transformação requer quatro pontos de controle no mínimo para sua execução. Outro inconveniente da mesma é que ela mapeia planos em planos, sendo desaconselhável para a retificação de superfícies tridimensionais (um terreno, por exemplo). Para superfícies planas, ou aproximadamente planas (uma fachada “bem-comportada”, por exemplo), ela chega a apresentar melhores resultados finais que a transformação afim.

7.2.3 OUTRAS TRANSFORMAÇÕES

Ao invés de se utilizar a transformação afim, pode-se escolher modelos menos completos (isto é, que modelam menos parâmetros, porém, que exigem menos pontos de controle), facilitando o esforço computacional do ajustamento por mínimos quadrados. Como exemplos, citam-se as transformações isogonal e ortogonal.

Polinômios de maior ordem também podem ser empregados, porém, deve-se ter em mente que estes implicarão em maior volume de cálculos, e também em não-linearidade do modelo a ser ajustado.

7.2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE AS TRANSFORMAÇÕES MATEMÁTICAS APRESENTADAS

As transformações já citadas são de uso e implementação relativamente simples. Porém, é claro que estas não modelam de forma o mais eficaz possível o problema da retificação, uma vez que elas não têm como variáveis ou injunções os valores dos ângulos de rotação aos quais a câmara foi submetida.

Explica-se: no caso da retificação, é de interesse a eliminação (ou modificação) das distorções causadas por tais ângulos. Entretanto, nessas transformações, não se modelam tais ângulos. O que se faz é uma correção aproximada dos mesmos. Assim, para uma retificação mais acurada, faz-se necessária a entrada de tais valores no ajustamento.

7.2.5 EQUAÇÃO DA COLINEARIDADE

Neste caso, utiliza-se o princípio da colinearidade, já utilizado anteriormente (Capítulo 5) para a orientação exterior e o ajustamento, porém, com alguns coeficientes modificados, de modo a adequar-se ao problema aqui proposto.

As equações são as seguintes:

xN=BfN r11xpAr12ypBr13fp r₃₁x_pAr32ypBr33fp (7.8) yN=BfN r₂₁x_pAr22ypBr23fp r₃₁x_pAr32ypBr33fp (7.9)

Na figura 7.3, encontram-se identificadas graficamente as variáveis envolvidas:

distância focal com a qual ela foi obtida.

O sistema xN, yNe fNequivale à imagem retificada, sendo, em geral

utilizado fN igual a fp, porém não necessariamente há que se seguir tal

convenção.

Observa-se que a cada ponto da imagem original, corresponde um outro na imagem retificada. Os valores da matriz de rotação modelam as rotações entre os eixos. Em geral, se usa para estes valores os mesmos ângulos de atitude da câmara, de modo a eliminá-los na imagem final. Nada impede, entretanto, que sejam utilizados outros, de modo a se criar uma imagem com inclinação específica.

Figura 7.3 – Princípio da colinearidade para a retificação de imagens

utilizando-se o método paramétrico não-linear, tendo, como resultados, os valores ajustados dos coeficientes de transformação entre os dois sistemas. Um problema, porém, continua a existir: embora seja modelada uma transformação onde x e y possam assumir valores reais, o espaço representado deve ser discreto (pixels). Assim, de modo a exibir, na imagem final, a distribuição radiométrica mais adequada possível, diversos métodos de reamostragem dos níveis de cinza dos pixels são necessários. A seguir, serão vistos alguns deles.

7.3 REAMOSTRAGEM

O grande problema da reamostragem encontra-se, como já dito, na determinação exata do tom de cinza a ser destinado aos pixels da nova imagem. Como exemplo, um determinado pixel, que encontra-se na coluna 430 e linha 289 possui o nível de cinza igual a 17. De acordo com a transformação utilizada para executar a retificação, a posição equivalente deste ponto (430; 289) na nova imagem deve ser (427,35; 288,78). A figura 7.4 demonstra graficamente, a situação apresentada.

Como apresentado, a imagem original encontra-se com seu grid de pixels em vermelho-escuro. Já a nova imagem encontra-se representada através do quadriculado azul-marinho sobreposto. Essa representação gráfica demonstra claramente o problema decorrente da transformação utilizada para retificar uma imagem e os inconvenientes decorrentes da dos eventuais resultados a serem obtidos. Neste caso, vê-se que o pixel de nível de cinza 17 da imagem original deve influenciar radiometricamente ao menos outros quatro da imagem retificada (colunas 427 e 428 e linhas 288 e 289). A reamostragem, neste caso, faz-se necessária para que os novos pixels tenham a cor que deveriam ter por estarem em tal posição. Vários métodos então, foram desenvolvidos para realizar esta correspondência. Os mais utilizados são: vizinho mais próximo, interpolação bilinear, splines bicúbicas e polinômios de Lagrange, conforme citado em (Andrade, 1998).

Figura 7.4 – O problema da reamostragem: compatibilizar a radiometria da imagem original para uma nova distribuição de pixels

7.3.1 REAMOSTRAGEM POR VIZINHO MAIS PRÓXIMO

Este método apenas atribui o valor do nível de cinza de determinado pixel da imagem reamostrada ao pixel da imagem original que estiver mais próximo. Trata-se então, apenas de um arredondamento. Para o caso anteriormente citado, o pixel (427; 289) – que é o arredondamento de (427,35; 288,78) – da imagem final receberá o nível de cinza (tonalidade) igual a 17. Este método possui 0,5 pixel de erro, e isso leva a descontinuidades na imagem reamostrada. Algumas de suas vantagens, segundo (Novo, 1992) são seu rápido processamento e fácil implementação. Além disso, esta reamostragem não altera os valores radiométricos da imagem original.

modo a facilitar a pronta utilização em implementações computacionais. As mesmas foram transcritas a seguir:

A'(k,l) = A(i,j) para dx P 0,5 e dy P 0,5 (7.10) A'(k,l) = A(i+1,j) para dx U 0,5 e P 0,5 (7.11) A'(k,l) = A(i,j+1) para dx P 0,5 e dy U 0,5 (7.12) A'(k,l) = A(i+1,j+1) para dx U 0,5 e dy U 0,5 (7.13)

A notação empregada (e que será adotada também nas equações para os outros métodos) é a seguinte:

“A'” é o valor reamostrado do pixel; “A” é o valor do pixel na imagem original;

“dx” e “dy” são os valores calculados, em números reais, das coordenadas definidoras da posição de um pixel (na imagem a ser reamostrada) e os seus valores inteiros menores.

7.3.2 REAMOSTRAGEM POR INTERPOLAÇÃO BILINEAR

O valor do nível de cinza, neste método, será determinado a partir dos quatro pixels da imagem inicial que a ele são vizinhos.

Com este método, segundo (Novo, 1992), haverá uma maior precisão geométrica e o desaparecimento de descontinuidades. Entretanto, há que se considerar o maior processamento de cálculos e a alteração dos valores de níveis de cinza da imagem original.

Segue a fórmula contida em (Andrade, 1998).

A(k,l) = A(i,j) + dx [A(i+1,j) – A(i,j)] + dy [A(i,j+1) – A(i,j)] + (7.14) + dx dy [A(i,j) – A(i+1,j) – A(i,j+1) + A(i+1,j+1)]

7.3.3 REAMOSTRAGEM POR MÉTODOS DE VIZINHANÇA 4 X 4 PIXELS

Estes métodos apresentam um resultado de melhor visualização, incorrendo em menos erros de interpolação. Entretanto, recaem em cálculos muito mais complexos, uma vez que utilizam cálculos envolvendo os tons dos 16 pixels vizinhos, além de terem, obviamente, a modificação dos tons da imagem original.

(Andrade, 1998) apresenta as formulações para os métodos de

splines bicúbicas e polinômio de Lagrange. As mesmas são inteiramente

transcritas a seguir.

Para splines bicúbicas:

Primeiro, define-se uma função “df(x)”:

df(x) = |x|3 _{– 2 |x|}2 _{+1, se |x| P 1}

df(x) = –|x|3 _{+ 5 |x|}2 _{– 8 |x| + 4, se 1 T |x| P 2 (7.15)}

df(x) = 0, se x U 2

E uma outra função “a(n)”:

a(n) = df(dx+1)*A(i–1,j+n–2) + A(i,j+n–2)*df(dx) + (7.16) + A(i+1,j+n-2)*df(dx–1) + A(i+2,j+n–2)*df(dx–2)

Por fim, “A'(k,l)” equivale a:

A'(k,l) = a(1) df(dy+1) + a(2) df(dy) + a(3) df(dy–1) +a(4) df(dy-2) (7.17)

a(n) = A(i–1,j+n–2)*(dx–1)*(dx–2)*dx/(–6) + + A(i,j+n–2)*(dx+1)*(dx–1)*(dx–2)/2 + (7.18) + A(i+1,j+n–2)*(dx+1)*(dx–2)*dx/(–2) + + A(i+2,j+n–2)*(dx+1)*(dx–1)*dx/6 A(k,l) = a(1)*(dy–1)*(dy–2)*dy/(-6) + + a(2)*(dy+1)*(dy–1)*(dy–2)/2 + (7.19) + a(3)*(dy+1)*(dy–2)*dy/(–2) + + a(4)*(dy+1)*(dy–1)*dy/6

(Stucki, 1979) apud (Andrade, 1998) apresenta um quadro comparativo quanto aos erros e número de operações matemáticas envolvidos nos quatro processos apresentados. Esta informação está contida na tabela 7.1

Método Vizinhança Operações de

adição e multiplicação Erros de interpolação Vizinho mais próximo 1x1 1 15,70% Interpolação bilinear 2x2 8 3,70% Splines bicúbicas 4x4 110 0,30% Polinômio de Lagrange 4x4 80 quase 0

Tabela 7.1 – Métodos de reamostragem (fonte: Stucki, 1979 apud Andrade, 1998)

7.4 NORMALIZAÇÃO DE IMAGENS

Outro processo extremamente útil é a normalização de imagens. Diferentemente da retificação, que é feita imagem a imagem, a normalização é “orientada” ao par estereoscópico, porém sem restringir-se

à área de superposição das imagens.

O objetivo principal da normalização é gerar um novo par de imagens digitais que se adeqüe à assim chamada geometria epipolar.

Normalmente, um par estereoscópico não está adequado à geometria epipolar. Cada imagem está eivada de ângulos de rotação diferentes da outra, além de estarem deslocadas em Y e em Z. Como visto na figura 7.5, embora as linhas que se originam dos centros perspectivos, passando pelos pontos p e p' se encontrem no ponto P (no terreno), não se pode dizer que C', C, p', p e P estejam em um mesmo plano. Da mesma forma, observa-se que p e p' não se encontram na mesma linha em cada uma das imagens. Isso dificultaria bastante caso fosse realizado um processo de correlação automática, uma vez que a janela de procura na segunda imagem deveria ser bastante grande, ampliando o tempo de processamento. Some-se a isso o não paralelismo entre a linha que une os dois centros de perspectiva e os sistemas de coordenadas (x, y, z) de cada um dos centros de perspectiva.

A geometria epipolar é materializada pela presença de um plano epipolar e de linhas epipolares. O plano epipolar é definido pelos dois centros de perspectiva das imagens e por um ponto no espaço objeto (P). Na figura 7.6, encontra-se representado em verde claro. As linhas epipolares são as interseções do plano epipolar com os planos das imagens normalizadas. Uma linha epipolar está representada em azul-marinho na mesma figura.

Dessa forma, normalizar um estereopar é torná-lo compatível com a geometria epipolar, seguindo, então, a configuração demonstrada na figura 7.6. Pode-se ver que, para um par normalizado, C', C, p', p e P estão em um mesmo plano, os pontos p e p' estão na mesma linha, tanto na imagem direita quanto na esquerda. Ainda vê-se que as linhas epipolares encontram-se paralelas aos sistemas de coordenadas centrados nos centros de perspectiva. Uma situação ideal como essa permite muito mais facilmente a execução de algoritmos de localização automática de pontos homólogos, uma vez que ambos devem estar em uma mesma linha, diminuindo a área de procura na segunda imagem.

eliminar todos os ângulos de atitude da aeronave (convém lembrar que para a retificação, apenas φe ωobrigatoriamente deveriam ser zerados). Além disso, os componentes de base BY e BZ do par também devem ser eliminados, para que ambas as imagens estejam em uma mesma altura e com seus pontos homólogos em uma mesma linha (linha epipolar). É importante dizer que BX não é eliminado. Eliminar BX (base fotogramétrica) seria equivalente ao ato de colocar uma imagem sobre a outra, impossibilitando completamente a possibilidade de se tirar proveito das condições geométricas advindas do princípio da colinearidade e da geometria epipolar. Por isso, apenas a distância em X relativa entre uma imagem e a outra deve ser mantida, qualquer outro tipo de movimento não.

Figura 7.5 – Um par esteroscópico não-normalizado (note-se a não-coplanaridade de

C',C,p',p e P e a localização em linhas diferentes de p e p')

Caso ainda seja necessário, uma rotação adicional ainda pode ser executada, a fim de otimizar a reamostragem para a geometria epipolar. O produto final, embora dotado de uma rigidez geométrica muito boa,

ainda não elimina o deslocamento devido ao relevo (como já dito, apenas a ortorretificação é capaz de realizar tal tarefa).

Figura 7.6 – Um par esteroscópico normalizado (note-se a coplanaridade de C',C,p',p e P e

a localização na mesma linha de p e p')

7.4.1 MODELO MATEMÁTICO

O processo da normalização envolve um modelo matemático que pode ser melhor representado matricialmente.

A equação da normalização pode ser sucintamente representada por:

RN = RB . RT (7.20)

Onde “RB” equivale a RΩ Rφ Rκ(não se deve confundir com “R”, que é a

Na figura 7.7, ficam melhor evidenciadas as relações matemáticas entre os componentes de base do par estereoscópico. Com elas, pode-se calcular RΩ, até então desconhecido.

Figura 7.7 – Um par esteroscópico normalizado e seus correspondentes não-normalizados,

referenciados a um sistema cartesiano (livre adaptação de Digital Photogrammetry - An Addendum to the Manual of Photogrammetry)

Note-se os triângulos retângulos em violeta. Seus lados são paralelos aos eixos do sistema cartesiano, e representam os componentes de base BX, BY e BZ (ou seja, a diferença entre X' e X, Y' e Y e Z' e Z). Os ângulos relativos κ e ω também estão representados.

Por relações trigonométricas:

Ú=arctg

¢

BY

BX

£

(7.21) Ú=Barctg

¢

BZ

Ω será igual à média aritmética entre ω1 e ω2:

Ð=è1Aè2

2 (7.23)

Um exemplo de algoritmo de reamostragem por geometria epipolar foi desenvolvido na The Ohio State University. O algoritmo de Schenk-Choo constitui-se em uma transformação do tipo:

T4 = T3(T2(T1(linhai, colunaj)[epipolar])) (7.24)

Figura 7.8 – Proposta de algoritmo de Shenck-Choo

(retirada de Choo, Schenk, Madani, 1992)

Cada um destas transformações tem seu significado próprio, a saber: T1: Constitui-se na transformação entre imagem digital e analógica

correspondentes.

T2: Normalização da imagem analógica (ou seja, retificação aliada à eliminação dos componentes de base.

T3: Definição do sistema de coordenadas para a imagem epipolar.

T4: Transformação entre a imagem epipolar vazia e a imagem digital origial para a reamostragem dos níveis de cinza (o algoritmo parte de uma imagem em branco e sobre ela executa a reamostragem). A figura 7.8 mostra graficamente tal conjunto de operações.

7.5 CONCLUSÃO

A retificação (eliminação das distorções causadas pelos ângulos de atitude da câmara) e a normalização (eliminação dos ângulos e componentes de base BX e BY) de imagens permitem a preparação das imagens propriamente ditas para a execução de outras tarefas fotogramétricas. Pode-se dizer, inclusive, que este capítulo marca o fim das tarefas de preparação das imagens para extração de informações. A partir dele, todas as tarefas seguintes gerarão produtos-fim da fotogrametria, tais como: modelos digitais do terreno - MDT's, originais de restituição fotogramétrica, fotocartas, ortoimagens e ortofotocartas.

Outro fato a ser ressaltado quanto à normalização de imagens é a aplicação destinada primariamente à extração semi-automática de MDT's (objeto de análise mais profunda no capítulo a seguir). Isso, no entanto, não impossibilita a utilização de pares normalizados, por exemplo, em outras aplicações. Os próprios MDT's também podem ser gerados de forma manual, a partir de pares não-normalizados, e ainda o são com freqüência. Assim, em caso de economia orçamentária ou de tempo, essa etapa pode ser descartada sem maiores prejuízos à linha de produção cartográfica.

A retificação (eliminação das distorções causadas pelos ângulos de atitude da câmara) já possuiu maior relevância na época da fotogrametria analógica e analítica, no entanto, hoje em dia, com a maior facilidade na

produção de ortoimagens e ortomosaicos, a retificação pura e simples não tem sido mais tão empregada, podendo, inclusive, não ser efetuada caso não haja necessidade de uso da mesma. Reserva-se a ela, principalmente, a utilização em fotogrametria com fotos oblíquas, a curta distância ou com câmaras não-métricas.

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