IME-UFF
CONTROLABILIDADE LOCAL PARA UM SISTEMA N-DIMENSIONAL DE BOUSSINESQ COM N-1 CONTROLES ESCALARES
Miguel Roberto Nu˜nez Ch´avez
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Pro-grama de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica do Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica da U-niversidade Federal Fluminense, IME-UFF, como parte dos requisitos necess´arios `a ob-ten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
Orientadores: Juan Limaco Ferrel D.Sc. Luiz Alberto Viana D.Sc.
Niter´oi Mar¸co de 2015
CONTROLABILIDADE LOCAL PARA UM SISTEMA N-DIMENSIONAL DE BOUSSINESQ COM N-1 CONTROLES ESCALARES
Miguel Roberto Nu˜nez Ch´avez
DISSERTA ¸C ˜AO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO DE
MA-TEM ´ATICA E ESTAT´ISTICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
(IME-UFF) COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESS ´ARIOS PARA A
OB-TEN ¸C ˜AO DO GRAU DE MESTRE EM MATEM ´ATICA.
Examinada por:
Prof. Juan Limaco Ferrel D.Sc., (Orientador)
Prof. Luiz Alberto Viana D.Sc., (Coorientador)
Prof. Enrique Fernandez - Cara, Ph.D.
Prof. Ademir Fernando Pazoto, D.Sc.
NITER ´OI, RJ – BRASIL MAR ¸CO DE 2015
Miguel Roberto Nu˜nez Ch´avez,
Controlabilidade Local para um sistema N-dimensional de Boussinesq com N-1 controles escalares
Aluno: Miguel Roberto Nu˜nez Ch´avez, Niter´oi: IME-UFF, 2015.
IX, 88 p. 29, 7cm.
Orientadores: Juan Limaco Ferrel D.Sc. Luiz Alberto Viana D.Sc.
Disserta¸c˜ao de mestrado – Equa¸c˜oes Diferenciais Parci-ais – Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, IME-UFF, 2015.
Referˆencias Bibliogr´aficas: p. 86 – 87. 1. Preliminares
2. Controlabilidade Local da Equa¸c˜ao de Navier-Stokes 3. Controlabilidade Local para um sistema N-dimensional de Boussinesq com N-1 controles escalares
I. D.Sc., Juan Limaco Ferrel et al.
II. Universidade Federal Fluminense, IME, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica
`
Agradecimentos
Agrade¸co primeiramente a Deus pelo dom da vida e por ter me dado for¸cas para concluir o mestrado.
A meus pais e irm˜aos, que s˜ao minha for¸ca especial para seguir adiante.
Ao professor Juan pela orienta¸c˜ao e dedica¸c˜ao desde que iniciei o mestrado, por resolver minhas d´uvidas, por me fazer estudar mais e poder melhorar cada dia.
Ao professor Dr. Sebasti˜ao Firmo, pelo convite para ingressar no Programa de Mestrado da UFF.
A todos meus amigos do mestrado pelas conversas e momentos compartilha-dos nesses ´ultimos dois anos.
`
Resumo da Disserta¸c˜ao apresentada ao IME-UFF como parte dos requisitos necess´arios para a obten¸c˜ao do grau de Mestre em Ciˆencias (M.Sc.)
CONTROLABILIDADE LOCAL PARA UM SISTEMA N-DIMENSIONAL DE BOUSSINESQ COM N-1 CONTROLES ESCALARES
Miguel Roberto Nu˜nez Ch´avez
Mar¸co/2015
Orientadores: Juan Limaco Ferrel D.Sc., Luiz Alberto Viana D.Sc.
O objetivo principal desta disserta¸c˜ao ´e estabelecer a existˆencia de N −1 controles escalares para o sistema N − dimensional de Boussinesq, dado por
∂y
∂t − ∆y + (y.∇)y + ∇p = v1O+ θeN em Ω × (0, T ), div y = 0 em Ω × (0, T ), ∂θ ∂t − ∆θ + (y.∇θ) = h1O em Ω × (0, T ), y = 0, θ = 0 sobre Γ × (0, T ), y(0) = y0, θ(0) = θ0 em Ω, (1)
Abstract of Dissertation presented to IME-UFF as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
LOCAL CONTROLLABILITY FOR THE N-DIMENSIONAL BOUSSINESQ SYSTEM WITH N-1 SCALAR CONTROLS
Miguel Roberto Nu˜nez Ch´avez
March/2015
Advisors: Juan Limaco Ferrel D.Sc., Luiz Alberto Viana D.Sc.
The main goals of the dissertation is to establish existence of N −1 scalar controls for N − dimensional Boussinesq system, given by
∂y
∂t − ∆y + (y.∇)y + ∇p = v1O + θeN in Ω × (0, T ), div y = 0 in Ω × (0, T ), ∂θ ∂t − ∆θ + (y.∇θ) = h1O in Ω × (0, T ), y = 0, θ = 0 on Γ × (0, T ), y(0) = y0, θ(0) = θ0 in Ω, (2)
Sum´
ario
Introdu¸c˜ao 1
1 Preliminares 4
1.1 T´opicos de An´alise Funcional . . . 4
1.2 Teoria das Distribui¸c˜oes Escalares . . . 6
1.3 Espa¸cos Lp(Ω) . . . . 7
1.4 Espa¸cos de Sobolev . . . 9
1.5 Espa¸cos Lp(0, T ; X) . . . . 10
1.6 Distribui¸c˜oes Vetoriais . . . 13
1.7 Resultados Principais . . . 14
1.7.1 Existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes para o sistema de Navier-Stokes . . . 17
1.7.2 Existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes para o sistema de Boussinesq 24 1.7.3 Controlabilidade Exata por Trajet´orias e Controlabilidade Nula Local . . . 25
2 Controlabilidade Local do Sistema de Navier-Stokes 27 2.1 Resultados e estrat´egias . . . 28
2.2 O problema de controle linearizado . . . 30
2.2.1 M´etodo da penaliza¸c˜ao . . . 30
2.2.2 Desigualdade de Observabilidade . . . 36
2.2.3 Decrescimento exponencial do controle e da solu¸c˜ao . . . 49
2.3 O problema n˜ao linear . . . 53
2.3.1 Defini¸c˜ao dos pesos especiais . . . 53
3 Controlabilidade Local para um sistema N-dimensional de
Boussi-nesq com N-1 controles escalares 63
3.1 Alguns resultados preliminares . . . 66
3.1.1 Desigualdade de Carleman para o sistema 3.1.2 . . . 66
3.2 Controlabilidade nula do sistema 3.0.8 . . . 69
3.3 Demonstra¸c˜ao do teorema 3.0.5 . . . 82
Introdu¸
c˜
ao
As equa¸c˜oes que descrevem o movimento de um fluido incompress´ıvel, que est˜ao na atmosfera terrestre, nas correntes oceˆanicas e no fluxo ao redor de ve´ıculos s˜ao chamadas de equa¸c˜oes de Navier - Stokes dadas por
∂y ∂t − ∆y + (y.∇)y + ∇p = f em Q, div y = 0 em Q, y = 0 sobre Σ, y(0) = y0 em Ω, (3)
onde y ´e a velocidade do fluido, p ´e press˜ao do fluido, f ´e uma for¸ca externa que atua sob o fluido e y0 ´e a velocidade inicial do fluido. A equa¸c˜ao div y = 0
representa a incompressibilidade do fluido, ou seja, nos diz que o volume ocupado por um conjunto se desloca ao longo das trajet´orias sem variar com o tempo. Estas equa¸c˜oes s˜ao obtidas aplicando os princ´ıpios de conserva¸c˜ao da mecˆanica e termodinˆamica de um fluido.
´
E conhecido que o sistema de Navier-Stokes tem uma ´unica solu¸c˜ao fraca y quando N = 2. No entanto, quando N = 3, este sistema possui uma solu¸c˜ao, mas a unicidade ´e uma quest˜ao em aberto.
As equa¸c˜oes que modelam a transferˆencia de calor num fluido incompress´ıvel, s˜ao chamadas as equa¸c˜oes de Boussinesq. A seguir citaremos alguns fatos hist´oricos: Rayleigh no ano 1916, utiliza um conjunto de simplifica¸c˜oes feitas por Boussinesq (1903) para as equa¸c˜oes de Navier-Stokes com condutividade t´ermica de um fluido incompress´ıvel, mas pelo prest´ıgio de Rayleigh na Inglaterra, essas simplifica¸c˜oes foram atribu´ıdas a Boussinesq.
O sistema de Boussinesq ´e dado por ∂y
∂t − ∆y + (y.∇)y + ∇p = f + θeN em Q, divy = 0 em Q, ∂θ ∂t − ∆θ + y.∇θ = 0 em Q, y = 0, θ = 0 sobre Σ, y(0) = y0, θ(0) = θ0 em Ω, (4)
onde y, p, f, y0 s˜ao interpretados como no sistema 3, θ ´e a temperatura do fluido, θ0
´e a temperatura inicial do fluido e a equa¸c˜ao θt− ∆θ + y.∇θ = 0 nos diz como evolui
a temperatura. Como o sistema de Boussinesq tem certa semelhan¸ca com o sistema de Navier-Stokes, sabemos que tamb´em tem solu¸c˜ao fraca y quando N = 2, 3. No entanto a unicidade desta solu¸c˜ao s´o ´e conhecida quando N = 2.
Os primeiros trabalhos usando desigualdade do tipo Carleman para a contro-labilidade nula de uma equa¸c˜ao parab´olica, foram desenvolvidos por Fursikov e Imanuvilov [1], [2], [3], [4], [5] e logo por Enrique Fernandez-Cara e Sergio Guerrero [6], [7].
Para estudar a controlabilidade nula de problemas parab´olicos n˜ao lineares costume-se usar t´ecnicas envolvendo o Teorema do ponto fixo (de Kakutani) e ou Teorema da fun¸c˜ao inversa em dimens˜ao infinita (Teorema de Liusternik).
Nosso trabalho ´e baseado em [8], bem como em [9], [10], [11], [6].
Esta disserta¸c˜ao ´e divida em 3 cap´ıtulos:
No primeiro cap´ıtulo, mencionaremos resultados e rudimentos b´asicos que precisa-mos nos cap´ıtulos seguintes.
No segundo cap´ıtulo, desenvolveremos as notas de um curso ministrado pelo professor J. P. Puel sobre a controlabilidade local do sistema de Navier-Stokes, utilizando para isso a desigualdade de Carleman, a desigualdade de Observabilidade, o teorema de Lax-Milgram e o teorema de Liusternik. Isto ser´a feito para entender um pouco mais acerca do tema principal da disserta¸c˜ao. Apesar de tratarmos neste cap´ıtulo do problema de controlabilidade para o sistema de Navier-Stokes os resultados obtidos s˜ao similares para o sistema de Boussinesq. Assim ficar´a mais
claro para o leitor a ideia do trabalho.
No terceiro cap´ıtulo estudaremos o tema principal desta disserta¸c˜ao: a controla-bilidade local para um sistema N -dimensional de Boussinesq com N − 1 controles escalares. Para fazer isto aplicaremos t´ecnicas cl´assicas. Primeiramente linearizare-mos o sistema, em seguida, definirelinearizare-mos os pesos para a desigualdade de Carleman associada ao sistema adjunto relativo ao problema linear. Como consequˆencia ime-diata deduziremos a desigualdade de Observabilidade. Com ajuda do teorema de Lax-Milgram obteremos um resultado de controlabilidade nula para o sistema line-arizado e com alguns resultados de regularidade adicionais concluiremos a demons-tra¸c˜ao do resultado principal. Por ultimo, obteremos a controlabilidade nula local para o sistema de Boussinesq aplicando o teorema de Liusternik para uma aplica¸c˜ao H : E → F , onde E e F s˜ao dois espa¸cos de Banach adequados.
Cap´ıtulo 1
Preliminares
Neste cap´ıtulo, apresentaremos alguns resultados necess´arios para a compreens˜ao dos cap´ıtulos seguintes.
1.1
T´
opicos de An´
alise Funcional
Defini¸c˜ao 1.1.1. (Convergˆencia Fraca) Sejam E um espa¸co normado e (xn)n∈N
uma sequencia de E. Dizemos que xn converge fracamente a x em E, e escrevemos
xn* x se, e somente se, hϕ, xni → hϕ, xi, para todo ϕ ∈ E0.
Defini¸c˜ao 1.1.2. (Convergˆencia Fraca Estrela) Sejam E um espa¸co normado, x ∈ E0 e (ϕn)n∈N uma sequˆencia de E0. Dizemos que ϕn converge a ϕ em E0 com
respeito `a topologia fraca estrela e escrevemos ϕn ∗
* ϕ se, e somente se, hϕn, xi →
hϕ, xi, para todo x ∈ E.
Proposi¸c˜ao 1.1.3. Sejam E um espa¸co de Banach e (xn)n∈N uma sequˆencia em E.
Ent˜ao:
(i) Se xn* x se, e somente, hf, xni → hf, xi, para todo f ∈ E0;
(ii) Se xn → x ent˜ao xn* x;
(iii) xn* x ent˜ao (kxnk)n∈N ´e limitada e kxk 6 lim inf kxnk;
(iv) Se xn * x em E e fn→ f em E0, ent˜ao hfn, xni → hf, xi.
Defini¸c˜ao 1.1.4. Dizemos que um espa¸co m´etrico E ´e separ´avel se existe um sub-conjunto D ⊂ E que ´e enumer´avel e denso.
Defini¸c˜ao 1.1.5. Seja E um espa¸co normado e seja J a inje¸c˜ao canˆonica de E em E00, definido por J (x)f := f (x) para todo f ∈ E0 e todo x ∈ E. Dizemos que E ´e reflexivo se J (E) = E00.
Teorema 1.1.6. (Teorema de Banach − Alaoglu − Bourbaki) Seja E um es-pa¸co normado. Ent˜ao o conjunto
B0E = {f ∈ E0; kf k0E 6 1} ´e compacto com respeito `a topologia fraca estrela. Demonstra¸c˜ao. Ver Brezis [12].
Teorema 1.1.7. Seja E um espa¸co de Banach separ´avel. Ent˜ao o conjunto BE0 = {f ∈ E0; kf k0E 6 1} ´e metriz´avel com respeito `a topologia fraca estrela. Reciprocamente, se BE0 ´e metriz´avel na topologia fraca estrela, ent˜ao E ´e separ´avel. Demonstra¸c˜ao. Ver Brezis [12].
Corol´ario 1.1.8. Sejam E um espa¸co de Banach separ´avel e (fn)n∈Numa sequˆencia
limitada em E0. Ent˜ao existe uma subsequˆencia (fnk)k∈N de (fn)n∈N que ´e
conver-gente com respeito `a topologia fraca estrela. Demonstra¸c˜ao. Ver Brezis [12].
Teorema 1.1.9. Seja E um espa¸co de Banach reflexivo e suponhamos que (xn)n∈N⊂
E seja uma sequˆencia limitada em E. Ent˜ao existe uma subsequˆencia (xnk)k∈N de
(xn)n∈N que converge com respeito `a topologia fraca.
Demonstra¸c˜ao. Ver Evans [13].
Teorema 1.1.10 (Lax-Milgram). Sejam H um espa¸co de Hilbert e b : H × H → R uma forma bilinear, cont´ınua e coerciva em H. Ent˜ao para todo ξ ∈ H0 existe um ´
unico u ∈ H tal que
b(u, v) = hξ, viH0×H para todo v ∈ H.
1.2
Teoria das Distribui¸
c˜
oes Escalares
Defini¸c˜ao 1.2.1. Sejam Ω ⊂ RN um aberto limitado e ϕ : Ω ⊂ RN → R uma
fun¸c˜ao cont´ınua. O suporte de ϕ em Ω ´e definido por supp(ϕ) ={x ∈ Ω; ϕ(x) 6= 0}.
Defini¸c˜ao 1.2.2. Denotamos por C0∞(Ω) o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes cont´ınuas e infinitamente deriv´aveis em Ω, com suporte compacto em Ω.
Defini¸c˜ao 1.2.3. Dizemos que uma sequˆencia (ϕn)n∈N de fun¸c˜oes em C0∞(Ω)
con-verge para ϕ em C0∞(Ω) quando forem satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes: (i) Existe um conjunto compacto K ⊂ Ω tal que
supp(ϕ) ⊂ K e supp(ϕn) ⊂ K, ∀n ∈ N
(ii) Dαϕ
n→ Dαϕ uniformemente em K para todo multi-´ındice α.
Denotaremos por D(Ω) o espa¸co vetorial C0∞(Ω) munido com a no¸c˜ao de conver-gˆencia definida acima. Este espa¸co ´e denominado espa¸co das fun¸c˜oes testes.
Defini¸c˜ao 1.2.4. Uma distribui¸c˜ao escalar sobre D(Ω) ´e uma forma linear
T : D(Ω) → R cont´ınua com respeito `a topologia de D(Ω). Isto significa que T satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
(i) T (λϕ + µψ) = λT (ϕ) + µT (ψ), ∀ϕ, ψ ∈ D(Ω), ∀λ, µ ∈ R
(ii) T ´e cont´ınua, isto ´e, se uma sequˆencia (ϕn)n∈N converge em D(Ω) para ϕ, ent˜ao
T (ϕn) → T (ϕ) em R
O valor da distribui¸c˜ao T na fun¸c˜ao teste ϕ ser´a representado por hT, ϕi. Mu-nimos o espa¸co vetorial das distribui¸c˜oes escalares com a seguinte no¸c˜ao de conver-gˆencia:
Dizemos que a sequˆencia (Tn)n∈N converge para T , quando hTn, ϕi → hT, ϕi em R
para todo ϕ ∈ D(Ω).
O conjunto das distribui¸c˜oes escalares sobre Ω ´e um espa¸co vetorial real, denotado por D0(Ω).
Defini¸c˜ao 1.2.5. Dados uma distribui¸c˜ao T em D0(Ω) e um multi-´ındice α ∈ NN, definimos a derivada distribuicional de ordem α de T como sendo a forma linear e cont´ınua DαT : D(Ω) → R dada por
hDαT, ϕi = (−1)|α|hT, Dαϕi, para todo ϕ ∈ D(Ω).
Segue da defini¸c˜ao acima que cada distribui¸c˜ao T sobre Ω possui derivadas de todas as ordens.
Notemos que a aplica¸c˜ao
Dα : D0(Ω) → D0(Ω) ´e linear e cont´ınua, ou seja, se
lim n→+∞Tn = T em D 0 (Ω) ent˜ao lim n→+∞D αT n = DαT em D0(Ω).
1.3
Espa¸
cos L
p(Ω)
Defini¸c˜ao 1.3.1. Sejam Ω ⊂ RN um conjunto aberto e p ∈ R, com 1 6 p < +∞.
Definimos
Lp(Ω) = {f : Ω → R; f mensur´avel e Z
Ω
|f (x)|pdx < +∞}.
O espa¸co Lp(Ω), com 1 6 p < +∞, ´e um espa¸co de Banach a trav´es da norma
kf kLp(Ω) = Z Ω |f (x)|pdx 1/p .
Defini¸c˜ao 1.3.2. Sejam Ω ⊂ RN um conjunto aberto. Definimos
L∞(Ω) = {f : Ω → R; f mensur´avel e existe C > 0 tal que |f (x)| 6 C q.s. em Ω}.
O espa¸co L∞(Ω) ´e um espa¸co de Banach com a norma kf kL∞(Ω) = supess
x∈Ω |f (x)| = inf {C; |f (x)| 6 C q.s. em Ω}.
Teorema 1.3.3 (Desigualdade de H¨older). Sejam p, q ∈ [1, +∞], com 1p + 1q = 1. Se f ∈ Lp(Ω), g ∈ Lq(Ω) ent˜ao f g ∈ L1(Ω) e
Z
Ω
|f g|dx 6 kfkLp(Ω)kgkLq(Ω).
Teorema 1.3.4 (Desigualdade de Minkowski). Sejam p ∈ [1, +∞] e f, g ∈ Lp(Ω). Ent˜ao
kf + gkLp(Ω) 6 kf kLp(Ω)+ kgkLp(Ω)
Demonstra¸c˜ao. Ver Brezis [12].
Proposi¸c˜ao 1.3.5. Sejam p, q ∈ [1, +∞], com p 6 q, e suponhamos que Ω seja um aberto limitado de RN. Ent˜ao Lq(Ω) ,→ Lp(Ω).
Demonstra¸c˜ao. Ver Brezis [12].
Proposi¸c˜ao 1.3.6. Sejam Ω ⊂ RN subconjunto aberto e p ∈ [1, +∞), Ent˜ao C∞ 0 (Ω)
´e denso em Lp(Ω).
Demonstra¸c˜ao. Ver Medeiros [14].
Teorema 1.3.7 (Representa¸c˜ao de Riesz-Fr´echet). Sejam 1 6 p < +∞ e
φ ∈ (Lp(Ω))0. Ent˜ao existe uma ´unica fun¸c˜ao u ∈ Lq(Ω), com 1p +1q = 1, tal que hφ, f i(Lp(Ω))0×Lp(Ω) = Z Ω uf dx para todo f ∈ Lp(Ω). Al´em disso, kukLp(Ω)= kφk(Lp(Ω))0
Demonstra¸c˜ao. Ver Brezis [12].
Defini¸c˜ao 1.3.8. Dizemos que uma fun¸c˜ao f : Ω → R ´e localmente integr´avel em Ω, quando f ´e integr´avel `a Lebesgue em todo compacto K ⊂ Ω. O espa¸co das fun¸c˜oes localmente integr´aveis ´e denotado por L1loc(Ω).
Exemplo 1.3.9. Seja u ∈ L1loc(Ω) e definamos Tu : D(Ω) → R por
hTu, ϕi =
Z
Ω
u(x)ϕ(x)dx. Nestas condi¸c˜oes, Tu ´e uma distribui¸c˜ao escalar sobre Ω.
Lema 1.3.10 (Du Bois Raymond). Seja u ∈ L1
loc(Ω). Ent˜ao Tu = 0, se e somente
se, u = 0 q.s. em Ω.
Demonstra¸c˜ao. Ver Medeiros [14].
Observa¸c˜ao 1.3.11. A derivada de uma fun¸c˜ao L1
loc(Ω) n˜ao ´e, em geral, uma
fun-¸
c˜ao em L1
1.4
Espa¸
cos de Sobolev
Defini¸c˜ao 1.4.1. Sejam Ω um aberto de RN, 1 6 p 6 q 6 +∞ e m ∈ N. O espa¸co
de Sobolev Wm,p(Ω) ´e o espa¸co vetorial dado por
Wm,p(Ω) = {u ∈ Lp(Ω); Dαu ∈ Lp(Ω) para todo multi-´ındice α tal que |α| 6 m}. O espa¸co Wm,p(Ω) com 1 6 p < +∞, ´e um espa¸co de Banach com a norma
kukWm,p(Ω) = X |α|6m Z Ω |Dαu(x)|pdx 1/p ,
e Wm,∞(Ω) ´e um espa¸co de Banach com a norma
kukWm,∞(Ω)= X |α|6m supess x∈Ω |Dαu(x)|.
Quando p = 2, o espa¸co Wm,p(Ω) ser´a representado por Hm(Ω) j´a que ´e um espa¸co
de Hilbert com o produto interno (u, v)Hm(Ω) =
X
|α|6m
(Dαu, Dαv)L2(Ω).
Teorema 1.4.2 (Imers˜oes de Sobolev). Suponha que Ω ⊂ RN seja um aberto
limi-tado de classe Cm, onde m > 1. Ent˜ao temos as seguintes imers˜oes compactas: (i) Se mp < N ent˜ao Wm,p(Ω) ,→ Lq(Ω), para todo 1 6 q 6 N p
N −mp.
(ii) Se mp = N ent˜ao Wm,p(Ω) ,→ Lq(Ω), para todo 1 6 q < +∞.
(iii) Se mp > N ent˜ao Wm,p(Ω) ,→ Ck( ¯Ω), onde k ´e inteiro e 0 6 k < m − Np 6 k + 1.
Demonstra¸c˜ao. Ver Medeiros [14].
Defini¸c˜ao 1.4.3. Seja Ω um subconjunto aberto de RN. Definimos
W0m,p(Ω) = D(Ω)W
m,p(Ω)
.
No caso em que p = 2, o espa¸co W0m,p(Ω) ser´a representado por H0m(Ω).
Teorema 1.4.4 (Desigualdade de Poincar´e). Sejam Ω ⊂ RN uma aberto limitado e
1 6 p < +∞. Ent˜ao existe uma constante C (dependendo de Ω e p) tal que kukLp(Ω) 6 Ck∇ukLp(Ω) para todo u ∈ W01,p(Ω).
Demonstra¸c˜ao. Ver Brezis [12].
Observa¸c˜ao 1.4.5. Em particular, a express˜ao k∇ukLp(Ω) ´e uma norma no espa¸co
W01,p(Ω), equivalente `a norma kukW1,p(Ω). Em H01(Ω) temos o produto interno
a(u, v) = N X i=1 Z Ω ∂u ∂xi ∂v ∂xi dx,
que induz a norma k∇ukL2(Ω), a qual ´e equivalente a norma kukH1(Ω).
Demonstra¸c˜ao. Ver Brezis [12].
Defini¸c˜ao 1.4.6. Sejam 1 6 p < +∞ e q o ´ındice conjugado a p. Denotemos por W−m,q(Ω) o dual topol´ogico de W0m,p(Ω) e por H−m(Ω) o dual topol´ogico de Hm
0 (Ω).
Defini¸c˜ao 1.4.7. A norma em H−1(Ω) ´e definida por
kf kH−1(Ω) = sup{hf, ui; u ∈ H01(Ω) com kukH1
0(Ω) 6 1} = sup
kuk=1
|hf, ui| kuk para cada f ∈ H−1(Ω).
Observa¸c˜ao 1.4.8. Temos a seguinte escala de Hilbert de imers˜oes densas D(Ω) ,→ H1
0(Ω) ,→ L
2(Ω) ≡ [L2(Ω)]0
,→ H−1(Ω) ,→ D0(Ω).
1.5
Espa¸
cos L
p(0, T ; X)
Sejam X um espa¸co de Banach e T > 0.
Defini¸c˜ao 1.5.1. (i) Uma fun¸c˜ao s : [0, T ] → X ´e dita simples se
s(t) =
m
X
i=1
χEi(t)ui, para 0 6 t 6 T,
onde cada Ei ´e um subconjunto Lebesgue mensur´avel de [0, T ] e ui ∈ X, (i =
1, ..., m).
(ii) Uma fun¸c˜ao f : [0, T ] → X ´e fortemente mensur´avel se existir uma sequˆencia de fun¸c˜oes simples (sk)k∈N, de [0, T ] em X, tal que
(iii) Uma fun¸c˜ao f : [0, T ] → X ´e fracamente mensur´avel se, para cada ϕ ∈ X0, a aplica¸c˜ao t 7→ hϕ, f (t)i ´e Lebesgue mensur´avel.
Defini¸c˜ao 1.5.2. (i) Se s(t) =Pm
i=1χEi(t)ui ´e uma fun¸c˜ao simples, definimos
Z T 0 s(t)dt = m X i=1 |Ei|ui.
(ii) Dizemos que f : [0, T ] → X ´e som´avel se existe uma sequˆencia de {sk}∞k=1 de
fun¸c˜oes simples, tal que Z T
0
ksk(t) − f (t)kXdt → 0, quando k → +∞.
Nesse caso, definimos Z T 0 f (t)dt = lim k→+∞ Z T 0 sk(t)dt.
Teorema 1.5.3 (Bochner). Uma fun¸c˜ao fortemente mensur´avel f : [0, T ] → X ´e som´avel se e somente se t 7→ kf (t)kX ´e som´avel. Neste caso,
(i) Z T 0 f (t)dt X 6 Z T 0 kf (t)kXdt; (ii) ξ, Z T 0 f (t)dt X0×X = Z T 0
hξ, f (t)iX0×Xdt para cada ξ ∈ X0.
Demonstra¸c˜ao. Ver Evans [13].
Defini¸c˜ao 1.5.4. Denotamos por Lp(0, T ; X), com 1 6 p 6 +∞ o espa¸co vetorial das (classes de) fun¸c˜oes u : (0, T ) → X, fortemente mensur´aveis com valores em X, tais que:
(a) se 1 6 p < +∞, a fun¸c˜ao t 7→ ku(t)kpX ´e integr´avel `a Lebesgue em (0,T);
(b) se p = +∞, a fun¸c˜ao t 7→ ku(t)kX pertence `a L∞(0, T ).
O espa¸co Lp(0, T ; X), ´e um espa¸co de Banach com a norma definida por
kukLp(0,T ;X)= Z T 0 ku(t)kpX 1/p , se 1 6 p < +∞.
Quando p = +∞, a norma acima ´e substitu´ıda por kukL∞(0,T ;X) = supess
0<t<T
ku(t)kX.
Quando p = 2, o espa¸co L2(0, T ; X) ´e uma espa¸co de Hilbert, cujo produto interno ´e dado por
(u, v)L2(0,T ;X)=
Z T
0
(u(t), v(t))Xdt.
Quando X ´e separ´avel e 1 6 p < +∞, ent˜ao Lp(0, T ; X) ´e um espa¸co separ´avel. Defini¸c˜ao 1.5.5. Denotaremos por Lp0(0, T ; X0) o espa¸co dual topol´ogico de
Lp(0, T ; X), onde 1 < p < +∞ e p0 ´e o ´ındice conjugado a p. No caso em que p = 1, podemos identificar o dual topol´ogico de L1(0, T ; X) ao espa¸co L∞(0, T ; X0).
Al´em disso, quando X ´e reflexivo e 1 < p < +∞, ent˜ao Lp(0, T ; X) ´e um espa¸co
reflexivo. A dualidade entre esses espa¸cos ´e dada na forma integral por hu, viLp0(0,T ;X0)×Lp(0,T ;X)=
Z T
0
hu(t), v(t)iX0×Xdt.
Defini¸c˜ao 1.5.6. Dado T > 0, denotamos por C0([0, T ]; X), o espa¸co de Banach das fun¸c˜oes cont´ınuas u : [0, T ] → X munido da norma da convergˆencia uniforme
kukC0([0,T ];X) = max
06t6Tku(t)kX.
Proposi¸c˜ao 1.5.7. Sejam V, H dois espa¸cos de Hilbert. Se u ∈ L2(0, T ; V ) e u0 ∈
L2(0, T ; V0), ent˜ao u ´e quase sempre igual a uma fun¸c˜ao cont´ınua de [0, T ] em H,
e temos a seguinte igualdade no sentido das distribui¸c˜oes escalares em (0, T ) d
dt|u|
2 = 2hu0
, ui. A igualdade acima faz sentido desde que as fun¸c˜oes
t 7→ |u(t)|2 e t 7→ hu0(t), u(t)i
s˜ao ambos integr´aveis em [0, T ]: Demonstra¸c˜ao. Ver Temam [15].
Proposi¸c˜ao 1.5.8. Sejam X e Y dois espa¸cos de Banach, com X ,→ Y e conside-remos 1 6 p 6 q 6 +∞. Ent˜ao Lq(0, T ; X) ,→ Lp(0, T ; Y ).
Demonstra¸c˜ao. Ver Brezis [12].
Teorema 1.5.9. Sejam X e Y dois espa¸cos de Banach, com X ,→ Y . Se u ∈ Lp(0, T ; X) e u0 ∈ Lp
(0, T ; Y ), com 1 6 p 6 +∞ ent˜ao u ∈ C0([0, T ]; Y ).
Demonstra¸c˜ao. Ver Lions [16].
1.6
Distribui¸
c˜
oes Vetoriais
Sejam T > 0 e X um espa¸co de Banach real com a norma k.kX.
Defini¸c˜ao 1.6.1. Uma distribui¸c˜ao vetorial sobre (0, T ) com valores em X ´e uma aplica¸c˜ao S : D(0, T ) → X linear e cont´ınua. O conjunto dessas transforma¸c˜oes lineares ´e chamado Espa¸co das Distribui¸c˜oes Vetoriais sobre (0, T ) com valores em X, e denotado por
D0(0, T ; X) = L(D(0, T ); X).
Defini¸c˜ao 1.6.2. Seja S ∈ D0(0, T ; X). A derivada de ordem n ´e definida como sendo a distribui¸c˜ao vetorial sobre (0, T ) com valores em X dada por
dnS dtn, ϕ = (−1)n S,d nϕ dtn , para todo ϕ ∈ D(0, T ).
Observa¸c˜ao 1.6.3. Se u ∈ Lp(0, T ; X) com 1 6 p 6 +∞, ent˜ao u define uma
distribui¸c˜ao, que denotamos Tu, dada por
hTu, ϕi =
Z T
0
u(t)ϕ(t)dt, para todo ϕ ∈ D(0, T ),
com valores vetoriais em X. A aplica¸c˜ao u 7→ Tu ´e injetiva, o que nos permite
identificar u com Tu e, neste sentido, temos Lp(0, T ; X) ⊂ D0(0, T ; X).
Demonstra¸c˜ao. Ver Lions [16].
Observa¸c˜ao 1.6.4. Sejam X um espa¸co de Banach e 1 6 p 6 +∞. Definimos o espa¸co
com a norma kukWm,p(0,T ;X) = m X j=0 ku(j)kLp(0,T ;X) se 1 6 p < +∞ supess 0<t<T Pm j=0ku (j)(t)k X se p = +∞. ´
E conhecido que Wm,p(0, T ; X) ´e um espa¸co de Banach; quando p = 2 o espa¸co
Wm,p(0, T ; X) ser´a denotado por Hm(0, T ; X); al´em disso, se X ´e um espa¸co de
Hilbert, ent˜ao Hm(0, T ; X) ´e um espa¸co de Hilbert munido com o produto interno
(u, v)Hm(0,T ;X) =
m
X
j=1
(u(j), v(j))L2(0,T ;X) para u, v ∈ Hm(0, T ; X).
Demonstra¸c˜ao. Ver Adams [17].
Observa¸c˜ao 1.6.5. Denotamos por W0m,p(0, T ; X) o fecho de D(0, T ; X) com res-peito `a norma de Wm,p(0, T ; X). Quando p = 2 o espa¸co Wm,p
0 (0, T ; X) ser´a
denotado por H0m(0, T ; X). Por H−m(0, T ; X) denotamos o dual topol´ogico de Hm
0 (0, T ; X). Temos ainda que vale
W0m,p(0, T ; X) = {u ∈ Wm,p(0, T ; X); u(0) = 0 = u(T )}.
Demonstra¸c˜ao. Ver Adams [17].
Teorema 1.6.6. Sejam X um espa¸co de Hilbert e u ∈ L2(0, T ; X). Ent˜ao existe um ´unico funcional f ∈ H−1(0, T ; X) que verifica
hf, θξi = (hu0, θi, ξ)X para todo θ ∈ D(0, T ) e ξ ∈ X.
Baseados nisso, identificamos f com u0. Al´em disso, para cada u ∈ L2(0, T ; X),
diremos que u0 ∈ H−1(0, T ; X).
Demonstra¸c˜ao. Ver Milla Miranda [18].
1.7
Resultados Principais
Nesta sec¸c˜ao, enunciaremos os principais resultados que ser˜ao utilizados nos pr´ oxi-mos cap´ıtulos.
Teorema 1.7.1 (Teorema do Tra¸co). Sejam Ω ⊂ RN um aberto limitado, com fronteira Γ de classe Cm+1 e ν o vetor unit´ario normal exterior `a Γ. Ent˜ao existe
uma aplica¸c˜ao γ = (γ0, γ1, ..., γm−1) de Hm(Ω) em (L2(Γ))m tal que
(i) Se u ∈ D(Ω), ent˜ao γ0(u) = u|Γ, γ1(u) =
∂u ∂ν Γ , ..., γm−1(u) = ∂m−1u ∂νm−1 Γ . (ii) A imagem de γ ´e Qm−1 j=0 H m−j−12(Γ). (iii) O n´ucleo de γ ´e Hm 0 (Ω).
Demonstra¸c˜ao. Ver Medeiros [14].
Teorema 1.7.2 (Teorema de Gauss). Sejam Ω ⊂ RN um aberto limitado com fronteira Γ de classe C1 e ν = (ν
1, ν2, ..., νN) o vetor normal unit´ario exterior `a Γ.
(i) Se u ∈ H1(Ω), ent˜ao Z Ω ∂u ∂xi dx = Z Γ uνidΓ. (ii) Se u = (u1, u2, ..., uN) ∈ (H1(Ω))N, ent˜ao Z Ω div(u)dx = Z Γ u.νdΓ.
Demonstra¸c˜ao. Ver Kesavan [19].
Defini¸c˜ao 1.7.3. Uma base Hilbertiana de um espa¸co de Hilbert H ´e uma sequˆencia de vetores (vm)m∈N que satisfaz
(i) (vi, vj)X = δij para i, j ∈ N;
(ii) o conjunto de todas combina¸c˜oes lineares (finitas) de (vm)m∈N ´e denso em X.
Teorema 1.7.4 (Teorema Espectral). Seja Ω ⊂ RN um aberto limitado. Existe
uma sequˆencia de n´umeros reais (λm)m∈N tal que
0 < λ1 6 λ2 6 ...,
λm → +∞ quando m → +∞,
e existe uma base Hilbertiana (vm)m∈N de L2(Ω), tais que, vm ∈ H01(Ω) e
−∆vj = λjvj em Ω, vj = 0 sobre Γ,
para j = 1, 2, ... Dizemos que os n´umeros λm s˜ao os autovalores de −∆ (com a
condi¸c˜ao de Dirichlet) e que as vm s˜ao as autofun¸c˜oes associadas. Se al´em disso Ω
possuir fronteira Γ de classe C2 ent˜ao temos que vm ∈ H2(Ω).
Demonstra¸c˜ao. Ver Evans [13].
Lema 1.7.5 (Desigualdade de Gronwall - Forma Diferencial). Se η : [0, T ] → R uma fun¸c˜ao n˜ao negativa e absolutamente continua.
(i) Se η satisfaz para t q.s. a desigualdade diferencial η0(t) 6 ψ(t) + ϕ(t)η(t),
onde, ϕ e ψ s˜ao fun¸c˜oes n˜ao negativas e integr´aveis em [0, T ], ent˜ao η(t) 6 eR0tϕ(s)ds η(0) + Z t 0 ψ(s)ds para todo t ∈ [0, T ].
(ii) Em particular, se η0 6 ϕη em [0, T ] e η(0) = 0, temos η ≡ 0 em [0, T ].
Demonstra¸c˜ao. Ver Evans [13].
Lema 1.7.6 (Desigualdade de Gronwall - Forma Integral). Seja ξ : [0, T ] → R n˜ao negativa e integr´avel.
(i) Se ξ satisfaz a desigualdade integral ξ(t) 6 C1
Z t
0
ξ(s)ds + C2
para constantes C1, C2 > 0, ent˜ao
ξ(t) 6 C2(1 + C1teC1t) q.s. em [0, T ]. (ii) Em particular, se ξ(t) 6 C1 Z t 0 ξ(s)ds, ent˜ao ξ ≡ 0 q.s. em [0, T ].
Lema 1.7.7 (Lema de Fursikov). Seja Ω ⊂ RN um aberto limitado. Dado ω ⊂⊂ Ω, ent˜ao existe uma fun¸c˜ao ψ ∈ C2(Ω) tal que ψ = 0 sobre ∂Ω, ψ(x) > 0 em Ω,
|∇ψ| > c0 > 0 em Ω\ω.
Demonstra¸c˜ao. Ver Fursikov [3].
Teorema 1.7.8. Seja U um espa¸co vetorial e J : U → R uma aplica¸c˜ao estritamente convexa, diferenci´avel e coerciva. Ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao em U do problema variacional min J (v), v ∈ U tal que, DJ (u)(v) = 0, ∀v ∈ U. Demonstra¸c˜ao. Ver Lions [16].
1.7.1
Existˆ
encia e unicidade de solu¸
c˜
oes para o sistema de
Navier-Stokes
Sejam T > 0, Ω ⊂ RN um aberto limitado e conexo com fronteira Γ = ∂Ω
suficien-temente regular, u : Ω × (0, T ) → RN, f : Ω × (0, T ) → RN, p : Ω × (0, T ) → R e
u0 : Ω → RN. Consideremos o sistema de Navier - Stokes em forma vetorial
∂u ∂t − ∆u + (u.∇)u + ∇p = f em Ω × (0, T ) div u = 0 em Ω × (0, T ) u = 0 sobre Γ × (0, T ) u(0) = u0 em Ω (1.1) Definamos V = {ϕ ∈ [D(Ω)]N; div ϕ = 0} H = V[L 2(Ω)]N , V = V[L 2(Ω)]N
Proposi¸c˜ao 1.7.9. H = {y ∈ [L2(Ω)]N; div y = 0, y.ν = 0 sobre Γ} Demonstra¸c˜ao. Ver Temam [15].
Demonstra¸c˜ao. Ver Temam [15]. Introduzimos as nota¸c˜oes
a(v, w) = N X i,j=1 Z Ω ∂vi ∂xj .∂wi ∂xj dx = Z Ω ∇v.∇wdx, ∀v, w ∈ V e b(u, v, w) = N X i,j=1 Z Ω uj ∂vi ∂xj widx, ∀u, v, w ∈ V.
Defini¸c˜ao 1.7.11. Dizemos que u ∈ L2(0, T ; V )∩L∞(0, T ; H) ´e uma solu¸c˜ao (fraca) do sistema de Navier - Stokes 1.1 quando para todo t ∈ (0, T ) temos
d
dt(u(t), w) + a(u(t), w) + b(u(t), u(t), w) = hf (t), wi, ∀w ∈ V e
u(0) = u0 ∈ H.
Teorema 1.7.12 (Existˆencia e unicidade do sistema de Navier-Stokes, N = 2). Sejam N = 2, f ∈ L2(0, T ; V0) e u
0 ∈ H. Ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao (fraca) u
do sistema de Navier - Stokes 1.1 satisfazendo u ∈ L2(0, T ; V ) ∩ L∞(0, T ; H). Demonstra¸c˜ao. Ver Temam [15].
Teorema 1.7.13 (Existˆencia do sistema de Navier-Stokes, N = 3). Sejam N = 3, f ∈ L2(0, T ; V0) e u
0 ∈ H. Ent˜ao existe uma solu¸c˜ao (fraca) u do sistema de Navier
- Stokes 1.1, n˜ao necessariamente ´unica, satisfazendo u ∈ L2(0, T ; V ) ∩ L∞(0, T ; H).
Demonstra¸c˜ao. Ver Temam [15].
Temos casos mais particulares do sistema de Navier - Stokes, como ∂u ∂t − ∆u + ∇p = f em Ω × (0, T ) div u = 0 em Ω × (0, T ) u = 0 sobre Γ × (0, T ) u(0) = u0 em Ω (1.2)
Defini¸c˜ao 1.7.14. Dizemos que u ∈ L2(0, T ; V )∩C([0, T ]; H) ´e uma solu¸c˜ao (fraca)
do sistema de Navier-Stokes 1.2 quando para todo t ∈ (0, T ) temos d
dt(u(t), w) + a(u(t), w) = hf (t), wi, ∀w ∈ V, u(0) = u0 ∈ H.
Teorema 1.7.15 (Existˆencia e unicidade do sistema de Navier-Stokes 1.2). Sejam f ∈ L2(0, T ; H−1(Ω)N) e u
0 ∈ H. Ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao (fraca) u do
sistema de Navier-Stokes 1.2 satisfazendo u ∈ L2(0, T ; V ) ∩ C([0, T ]; H), com u0 ∈ L2(0, T ; V0).
Demonstra¸c˜ao. Ver Temam [15].
Proposi¸c˜ao 1.7.16. Suponhamos que Ω seja um aberto de classe C2 e u0 ∈ V .
Ent˜ao o sistema 1.2 tem uma ´unica solu¸c˜ao (fraca) u que satisfaz u ∈ L2(0, T ; H2(Ω)N) e ∂u ∂t ∈ L 2(0, T ; H), com p ∈ L2(0, T ; H01(Ω)N). Demonstra¸c˜ao. Ver Temam [15].
Lema 1.7.17. Dados g = (gij) ∈ [L2(Q)]N
2
, y ∈ [L∞(Q)]N e y0 ∈ H, consideremos,
para cada v ∈ L2(Q
ω)N, a solu¸c˜ao y do seguinte sistema
∂y ∂t − ∆y + ∇.(y ⊗ y + y ⊗ y) + ∇q = ∇.g + v1ω em Q, div y = 0 em Q, y = 0 sobre Σ, y(0) = y0 em Ω. (1.3)
O sistema 1.3 tem uma ´unica solu¸c˜ao z = z(v) ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ). Demonstra¸c˜ao. Para ˜y ∈ L2(0, T ; V ), seja f
0 = ∇.g + v1ω− ∇.(¯y ⊗ ˜y + ˜y ⊗ ¯y).
Provaremos que f0 ∈ L2(0, T ; H−1(Ω)N). Com efeito,
kyke 2L2(Q)N =
Z T
0
k˜yk2L2(Ω)Ndt
Da equivalˆencia das normas k.kH1(Ω)N e k.kV , tem-se
k˜yk2L2(Q)N 6 C
Z T
0
k˜y(t)k2Vdt < ∞.
Por tanto ˜y ∈ L2(Q)N e como ¯y ∈ L∞(Q)N, temos ˜y⊗¯y ∈ L2(Q)N2 e ¯y⊗˜y ∈ L2(Q)N2. Agora seja ˜fij = (¯y ⊗ ˜y + ˜z ⊗ ¯y)ij ∈ L2(Q)N
2
Assim D∇. ˜f (t), wE = − N X j=1 N X i=1 ( ˜fij(t), ∂wi ∂xj
)L2(Ω) para todo w ∈ [H01(Ω)]N.
Clara-mente ∇. ˜f (t) ´e linear, vejamos que ∇. ˜f (t) ´e continua, com efeito D ∇. ˜f (t), wE 6 N X i,j=1 ˜ fij(t) L2(Ω) ∂wi ∂xj L2(Ω) D ∇. ˜f (t), wE 6C kwk[H1 0(Ω)] N
e assim temos que ∇. ˜f (t) ∈ [H−1(Ω)]N. Al´em disto, temos Z T 0 D ∇. ˜f (t), wE 2 dt 6 Z T 0 C kwk2H1 0(Ω) ˜ f (t) 2 L2(Ω)dt 6 C kwk2[H1 0(Ω)] N Z T 0 N X i=1 N X j=1 Z Ω ˜ fij(t) 2 dxdt 6 C kwk2[H1 0(Ω)] N ˜ f [L2(Ω)]N < ∞
Por tanto ∇. ˜f ∈ L2(0, T, H−1(Ω)N), isto ´e, ∇.(¯y ⊗ ˜y + ˜y ⊗ ¯y) ∈ L2(0, T, H−1(Ω)N).
Como ∇.g ∈ L2(0, T, H−1(Ω)N) e v1
w ∈ L2(0, T, H−1(Ω)N) temos que
f0 ∈ L2(0, T, H−1(Ω)N).
Agora consideremos o seguinte sistema ∂y ∂t − ∆y = f0− ∇p em Q, div y = 0 em Q, y = 0 sobre Σ, y(0) = y0 em Ω. (1.4)
Pelo teorema 1.7.15 existe uma ´unica solu¸c˜ao y de 1.4 com y ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ) e ∂y
∂t ∈ L
2(0, T ; V0). Isto nos diz que para cada ˜y ∈ L2(0, T ; V ) existe
solu¸c˜ao de 1.3. Assim, podemos definir a aplica¸c˜ao
LT : C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ) −→ C([0, T ], H) ∩ L2(0, T ; V )
˜
y 7→ LT(˜y) = y
Vamos a provar que LT ´e uma contra¸c˜ao para T muito pequeno.
Sejam ˜y1 e ˜y2 ∈ C([0, T ] , H) ∩ L2(0, T, V ) e consideremos y1 = LT(˜y1) e y2 = LT( ˜y2).
Como y1 e y2 s˜ao solu¸c˜oes fracas de 1.3 correspondentes a ˜y1 e ˜y2, respetivamente,
y1 e y2 satisfazem as seguintes equa¸c˜oes:
d dt(y1(t), w) + a(y1(t), w) =f 1 0, w para todo w ∈ V (1.5)
d dt(y2(t), w) + a(y2(t), w) =f 2 0, w para todo w ∈ V (1.6)
De 1.5 e 1.6, deduzimos que y1− y2 satisfaz a equa¸c˜ao
d dt(y1(t) − y2(t), w) + a(y1(t) − y2(t), w) =f 1 0 − f 2 0, w para todo w ∈ V. Em particular, tomando w = (y1− y2)(t) ∈ V e lembrando que
f01− f2 0 = −∇(¯y ⊗ (˜z1− ˜y2) + (˜y1− ˜y2) ⊗ ¯y), temos d dt k(y1− y2)(t)k 2 L2(Ω)N + a ((y1− y2)(t), (y1− y2)(t)) = − h∇. (¯y ⊗ (˜y1− ˜y2) + (˜y1+ ˜y2) ⊗ ¯y) , y1− y2i d dtk(y1− y2)(t)k 2 L2(Ω)N + k(y1− y2)(t)k 2 V = (¯y ⊗ (˜y1− ˜y2) + (˜y1− ˜y2) ⊗ ¯y, ∇(y1− y2))[L2(Ω)]N 2 .
Integrando de 0 ate t, temos k(y1− y2)(t)k 2 L2(Ω)N + Z t 0 k(y1 − y2)(s)k 2 V ds 6 Z t 0 (¯y ⊗ (˜y1− ˜y2) + (˜y1− ˜y2) ⊗ ¯y, ∇.(y1− y2))L2(Ω)N 2 = Z t 0 (¯y ⊗ (˜y1− ˜y2), ∇.(y1− y2)) ds + Z t 0 ((˜y1− ˜y2) ⊗ ¯y, ∇.(y1− y2)) ds
e pela desigualdade de Cauchy-Schwarz
6 Z t 0 k¯y ⊗ (˜y1− ˜y2)kL2k∇.(y1− y2)kL2ds + Z t 0 k(˜y1 − ˜y2) ⊗ ¯ykL2k∇.(y1− y2)kL2 = 2 Z t 0 k¯y ⊗ (˜y1− ˜y2)kL2k∇.(y1− y2)kL2ds 6 2 Z t 0 k¯y ⊗ (˜y1− ˜y2)kL2ky1− y2kV ds 6 2 Z t 0 k¯y ⊗ (˜y1− ˜y2)k 2 L2ds + 1 2 Z t 0 ky1− y2k 2 V ds.
Logo k(y1− y2)(t)k2L2(Ω)+ 1 2 Z t 0 ky1− y2k2V ds 6 2 Z t 0 k¯y ⊗ (˜y1− ˜y2)k2L2ds Da´ı, temos ky1− y2kC(0,T,H) 6 4 Z T 0 k¯y ⊗ (˜y1− ˜y2)k2L2ds (1.7) e Z T 0 ky1− y2k 2 V ds 6 4 Z T 0 k¯y ⊗ (˜y1− ˜y2)k 2 L2ds (1.8)
Agora, o nosso objetivo ´e estimar as integrais que aparecem no segundo membro das desigualdades 1.7 e 1.8. Com efeito, como
|¯yi(˜y1− ˜y2)j| 6 k¯ykL∞(Q)N 2 |(˜y1− ˜y2)j| para j = 1, 2, ..., N , temos k¯y ⊗ (˜y1− ˜y2)k 2 L2(Ω)N = N X i,j=1 Z Ω |¯yi| 2 |(˜y1− ˜y2)j| 2 dx 6 C k¯yk2L∞(Q)N N X i,j=1 Z Ω |(˜y1− ˜y2)j|2dx ! 6 C k¯ykL∞(Q)Nk˜y1− ˜y2k 2 L2(Ω)N.
Somando 1.7 e 1.8 e substituindo na desigualdade acima, temos ky1− y2k2C([0,T ];H)∩L2(0,T ;V )6 C k¯yk 2 L∞(Q)N Z T 0 k(˜y1 − ˜y2)(s)k2L2(Ω)Nds 6 C k¯yk2L∞(Q)N Z T 0 k˜y1− ˜y2k2C(0,T,H)ds 6 CT k¯yk2L∞(Q)Nk˜y1− ˜y2k2C(0,T,H) 6 CT k¯yk2L∞(Q)Nk˜y1− ˜y2k2C([0,T ];H)∩L2(0,T ;V ), ou seja, kLT(˜y1) − LT(˜y2)kC([0,T ];H)∩L2(0,T ;V )6 C √ T k¯ykL∞(Q)Nk˜y1 − ˜y2kC([0,T ];H)∩L2(0,T ;V ) (1.9) Tomando em 1.9 T = T0 suficientemente pequeno, temos que LT0 ´e uma contra¸c˜ao e,
pelo teorema do ponto fixo de Banach, existe um ´unico y ∈ C([0, T ]; H)∩L2(0, T ; V )
Denotaremos por y1 a solu¸c˜ao de ∂y ∂t − ∆y + ∇.(y ⊗ ¯y + ¯y ⊗ y) + ∇p = ∇.g + v1ω em Ω × (0, T0), div y = 0 em Ω × (0, T0), y = 0 sobre Γ × (0, T0), y(0) = y0 em Ω, (1.10) onde y1 ∈ C([0, T 0], H) ∩ L2(0, T0; V ) e ∂y1 ∂t ∈ L
2(0, T ; V0). Da mesma maneira que
obtivemos a solu¸c˜ao do problema 1.10, podemos mostrar que existe solu¸c˜ao para o problema ∂y ∂t − ∆y + ∇.(y ⊗ ¯y + ¯y ⊗ y) + ∇p = ∇.g + v1ω em Ω × (0, T0), div y = 0 em Ω × (0, T0), y = 0 sobre Γ × (0, T0), y(0) = y1(T 0) em Ω. (1.11)
Denotamos a solu¸c˜ao do problema 1.11 denotaremos porby2, onde
b y2 ∈ C([0, T 0]; H)∩ L2(0, T 0; V ) e ∂by2 ∂t ∈ L 2(0, T
0; V0). Agora, definamos y2 por
y2(x, t) = y1(x, t); (x, t) ∈ Ω × [0, T 0], b y2(x, t − T 0); (x, t) ∈ Ω × [T0, 2T0].
Podemos verificar que y2 ∈ C([0, 2T
0]; H) ∩ L2(0, 2T0; V ), com
∂y2 ∂t ∈ L
2(0, 2T 0; V0),
e que y2 ´e a ´unica solu¸c˜ao de 1.3 com T = 2T
0. Prosseguindo dessa maneira,
pode-mos utilizar o Principio de Indu¸c˜ao Matem´atica para provar que existe uma ´unica solu¸c˜ao de 1.3, com T = nT0 sendo n qualquer numero natural.
Suponhamos que exista uma ´unica solu¸c˜ao yn de 1.3 para T = nT
0, ent˜ao
conside-remos o seguinte problema ∂y ∂t − ∆y + ∇.(y ⊗ ¯y + ¯y ⊗ y) + ∇p = ∇.g + v1ω em Ω × (0, T0), div y = 0 em Ω × (0, T0), y = 0 sobre Γ × (0, T0), y(0) = yn(nT0) em Ω. (1.12)
Da mesma maneira como provamos que 1.11 tem uma ´unica solu¸c˜ao, conseguimos obter uma ´unica solu¸c˜ao de 1.12, a qual denotaremos por ybn+1, onde
b
e
∂byn+1
∂t ∈ L
2(0, T 0; V0).
Assim, definimos yn+1 pondo
yn+1(x, t) = yn(x, t); (x, t) ∈ Ω × [0, nT0], b yn+1(x, t − nT0); (x, t) ∈ Ω × [nT0, (n + 1)T0],
que ´e solu¸c˜ao de 1.3 quando T = (n + 1)T0. Portanto, pelo Principio de Indu¸c˜ao
Matem´atica, para todo n ∈ N, o problema 1.3 com T = nT0 tem uma ´unica solu¸c˜ao
yn∈ C([0, nT 0]; H) ∩ L2(0, nT0; V ) tal que ∂yn ∂t ∈ L 2(0, nT 0; V0) .
Agora tomemos ˜T > 0. Como N ´e ilimitados, existe n0 ∈ N tal que n0T0 > ˜T .
Ent˜ao, pelo resultado acima sabemos que existe uma ´unica solu¸c˜ao yn0 de 1.3, com
T = nT0. Devido a isto, tomando y = yn0|Ω× [0,T ] temos que y ´e a ´unica solu¸c˜ao de
1.3 com T = ˜T , e que cumpre y ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ) e ∂y
∂t ∈ L
2(0, T ; V0)
.
1.7.2
Existˆ
encia e unicidade de solu¸
c˜
oes para o sistema de
Boussinesq
Sejam T > 0, Ω ⊂ RN um aberto limitado e conexo com fronteira Γ = ∂Ω
suficien-temente regular, y : Ω × (0, T ) → RN, θ : Ω × (0, T ) → RN, f : Ω × (0, T ) → RN, g : Ω × (0, T ) → RN, p : Ω × (0, T ) → R, u 0 : Ω → RN e θ0 : Ω → RN. Consideremos o sistema de Boussinesq ∂y
∂t − ∆y + (y.∇)y + ∇p = f + θeN em Ω × (0, T ), div y = 0 em Ω × (0, T ), ∂θ ∂t − ∆θ + (y.∇θ) = g em Ω × (0, T ), y = 0, θ = 0 sobre Γ × (0, T ), y(0) = y0, θ(0) = θ0 em Ω. (1.13) Introduzimos a nota¸c˜ao ˜ a(ψ, φ) = N X i,j=1 Z Ω ∂ψi ∂xj .∂ψi ∂xj dx = Z Ω ∇ψ.∇φdx, ∀ψ, φ ∈ [H01(Ω)]N.
Defini¸c˜ao 1.7.18. Dizemos que (y, θ) ∈ (L2(0, T ; V ) ∩ L∞(0, T ; H)) × (L2(0, T ; H1
0(Ω)) ∩ L
∞(0, T ; L2(Ω))) ´e uma solu¸c˜ao (fraca) do sistema de
Boussi-nesq 1.13 quando para todo t ∈ (0, T ) temos d
dt(y(t), w) + a(y(t), w) + b(y(t), y(t), w) = hf (t) + θ(t)eN, wi, ∀w ∈ V, d
dt(θ(t), φ) + ˜a(θ(t), φ) + hy(t).∇θ(t), φi = hg(t), φi, ∀φ ∈ H
1 0(Ω),
u(0) = u0 ∈ H
e
θ(0) = θ0 ∈ L2(Ω)
Teorema 1.7.19 (Existˆencia e unicidade do Sistema de Boussinesq, N = 2). Sejam N = 2, f, g ∈ L2(0, T ; H−1(Ω)), u
0 ∈ H e θ0 ∈ L2(Ω). Ent˜ao existe uma ´unica
solu¸c˜ao (fraca) (y, θ) do sistema de Boussinesq 1.13 satisfazendo y ∈ L2(0, T ; V ) ∩ L∞(0, T ; H), θ ∈ L2(0, T ; H1
0(Ω)) ∩ L
∞(0, T ; L2(Ω)).
Teorema 1.7.20 (Existˆencia do Sistema de Boussinesq, N = 3). Sejam N = 3, f, g ∈ L2(0, T ; H−1(Ω)), u0 ∈ H e θ0 ∈ L2(Ω). Ent˜ao existe uma solu¸c˜ao (fraca)
(y, θ) do sistema de Boussinesq 1.13, n˜ao necessariamente ´unica satisfazendo y ∈ L2(0, T ; V ) ∩ L∞(0, T ; H), θ ∈ L2(0, T ; H01(Ω)) ∩ L∞(0, T ; L2(Ω)).
1.7.3
Controlabilidade Exata por Trajet´
orias e
Controlabi-lidade Nula Local
Consideremos o seguinte sistema de Navier-Stokes ∂y ∂t − ∆y + (y.∇)y + ∇p = f + v1ω em Ω × (0, T ), div y = 0 em Ω × (0, T ), y = 0 sobre Γ × (0, T ), y(0) = y0 em Ω. (1.14)
Defini¸c˜ao 1.7.21. Se y0 ∈ L2(Ω)N, dizemos que (y, p) ´e uma trajet´oria do sistema
de Navier-Stokes 1.14 se satisfaz ∂y ∂t − ∆y + (y.∇)y + ∇p = f em Ω × (0, T ), div y = 0 em Ω × (0, T ), y = 0 sobre Γ × (0, T ), y(0) = y0 em Ω. (1.15)
Defini¸c˜ao 1.7.22. Dizemos que o sistema de Navier-Stokes 1.14 ´e localmente exata-mente control´avel por trajet´orias no tempo T , se para todo y0 ∈ L2(Ω)N e para toda
trajet´oria (y, p), existe η > 0 com a seguinte propriedade: se ky0 − y0kL2(Ω)N 6 η,
ent˜ao existe um controle v tal que a solu¸c˜ao y = yv de 1.14 satisfaz y (T ) = y (T ).
Defini¸c˜ao 1.7.23. Dizemos que o sistema de Navier-Stokes 1.14 ´e localmente con-trol´avel a zero no tempo T , se para todo y0 ∈ L2(Ω)N, existe η > 0 com a seguinte
propriedade: se ky0kL2(Ω)N 6 η, ent˜ao existe um controle v tal que a solu¸c˜ao y = yv
de 1.14 satisfaz y(T ) = 0.
Consideremos o seguinte sistema de Boussinesq ∂y
∂t − ∆y + (y.∇)y + ∇p = v1O + θeN em Ω × (0, T ), div y = 0 em Ω × (0, T ), ∂θ ∂t − ∆θ + (y.∇θ) = h1O em Ω × (0, T ), y = 0, θ = 0 sobre Γ × (0, T ), y(0) = y0, θ(0) = θ0 em Ω. (1.16)
Defini¸c˜ao 1.7.24. Se (y0, θ0) ∈ L2(Ω)N × L2(Ω), dizemos que y, p, θ ´e uma
tra-jet´oria do sistema de Boussinesq 1.16 se satisfaz ∂y
∂t − ∆y + (y.∇)y + ∇p = θeN em Ω × (0, T ), div y = 0 em Ω × (0, T ), ∂θ ∂t − ∆θ + (y.∇θ) = 0 em Ω × (0, T ), y = 0, θ = 0 sobre Γ × (0, T ), y(0) = y0, θ(0) = θ0 em Ω. (1.17)
Defini¸c˜ao 1.7.25. Dizemos que o sistema de Boussinesq 1.16 ´e localmente exata-mente control´avel por trajet´orias no tempo T , se para todo (y0, θ0) ∈ L2(Ω)N×L2(Ω)
e para toda trajet´oria y, p, θ, existe η > 0 com a seguinte propriedade: se
(y0, θ0) − (y0, θ0)
L2(Ω)N×L2(Ω) 6 η, ent˜ao existem controles v e h tais que a
so-lu¸c˜ao (y, θ) = (yv,h, θv,h de 1.16 satisfaz y(T ) = y(T ) e θ(T ) = θ(T ).
Defini¸c˜ao 1.7.26. Dizemos que o sistema de Boussinesq 1.16 ´e localmente nulo control´avel no tempo T , se para todo (y0, θ0) ∈ L2(Ω)N × L2(Ω), existe η > 0 com
a seguinte propriedade: se k(y0, θ0)kL2(Ω)N×L2(Ω) 6 η, ent˜ao existem controles v e h
Cap´ıtulo 2
Controlabilidade Local do Sistema
de Navier-Stokes
Consideremos as seguintes nota¸c˜oes:
Ω um conjunto aberto, conexo, limitado bem regular do RN, Γ a fronteira do Ω,
ν = ν(x) a normal exterior unit´aria no ponto x ∈ Γ.
Consideremos o sistema de Navier-Stokes em forma vetorial ∂y ∂t − ∆y + (y.∇)y + ∇p = f + v1ω em Ω × (0, T ), div y = 0 em Ω × (0, T ), y = 0 sobre Γ × (0, T ), y(0) = y0 em Ω, (2.1)
no qual atua o controle v. Neste sistema,
y : Ω × (0, T ) → RN ´e o campo velocidade do fluido, p : Ω × (0, T ) → R ´e a press˜ao
do fluido, f : Ω × (0, T ) → RN ´e uma for¸ca externa, y0 : Ω → RN ´e o dado inicial,
ω ´e um conjunto compactamente inclu´ıdo em Ω (ω ⊂⊂ Ω).
Nosso problema consiste em provar que o sistema anterior ´e localmente exatamente control´avel por trajet´orias, nos moldes da defini¸c˜ao 1.7.22; isto ´e, seja (y, p) uma trajet´oria do sistema 2.1 que ´e uma solu¸c˜ao do sistema
∂y ∂t − ∆y + (y.∇)y + ∇p = 0 em Ω × (0, T ) divy = 0 em Ω × (0, T ) y = 0 sobre Γ × (0, T ) y(0) = y0 em Ω (2.2)
com y0 ∈ X, onde X ´e um espa¸co de Banach.
Para todo y0 ∈ X, existe η > 0 tal que se ky0− y0kX 6 η podemos achar um
controle v tal que y (T ) = y (T ).
2.1
Resultados e estrat´
egias
Definamos os espa¸cos
H =ny ∈ L2(Ω)N, div y = 0 em Ω, y.ν = 0 sobre Γo (2.1.3)
e
V =ny ∈ H01(Ω)N, divy = 0 em Ωo. (2.1.4)
Denotaremos por Q e Qω os cilindros
Q = Ω × (0, T ), Qω = ω × (0, T )
e por Σ `a fronteira cil´ındrica
Σ = Γ × (0, T ).
Provaremos o resultado de controlabilidade local exata por trajet´orias seguinte: Teorema 2.1.1. Sejam ω um subconjunto aberto n˜ao vazio de Ω e T > 0. Suponha-mos que y ∈ L2(0, T ; V ) ∩ L∞(Q)N seja uma solu¸c˜ao de 2.2. Ent˜ao existe η > 0 tal
que se ky0− y0kL4(Ω)N 6 η, podemos encontrar um controle v ∈ L2(Qω)N associado
a uma solu¸c˜ao y de 2.1 que satisfaz y (T ) = y (T ).
Para provar o teorema acima, consideremos a seguinte mudan¸ca de vari´aveis: z = y − y, q = p − p e z0 = y0− y0. Assim, temos: ∂z ∂t = ∂y ∂t − ∂y ∂t, ∆z = ∆y − ∆y e ∇q = ∇p − ∇p.
Al´em disso, ∇.(u ⊗ v) = N X i=1 N X j=1 ∂ ∂xj (uivj) ! ei = N X i=1 N X j=1 ∂ui ∂xj vj + ui ∂vj ∂xj ! ei = N X i=1 N X j=1 vj ∂ui ∂xj )ei+ N X i=1 (ui N X j=1 ∂vj ∂xj ! ei
= (v.∇)u + (div v)u e como div y = 0, tem-se que:
∇.(y ⊗ y) = (y.∇)y e
∇.(y ⊗ y) = (y.∇)y. Dai:
(y.∇)y − (y.∇)y = ∇.(y ⊗ y) − ∇.(y ⊗ y)
= ∇.(z + y ⊗ z + y) − ∇.(y ⊗ y)
= ∇.(z ⊗ z) + ∇.(z ⊗ y) + ∇.(y ⊗ z) + ∇.(y ⊗ y) − ∇.(y ⊗ y) = ∇.(z ⊗ z) + ∇.(z ⊗ y + y ⊗ z), ou seja, z satisfaz ∂z ∂t − ∆z + ∇.(z ⊗ y + y ⊗ z) + ∇.(z ⊗ z) + ∇q = f + v1ω em Q, div z = 0 em Q, z = 0 sobre Σ, z(0) = z0 em Ω.
Assim para demonstrar o teorema 2.1.1, devemos encontrar um controle v tal que: z(T ) = 0,
j´a que
Assim, nosso problema consiste em estudar a controlabilidade local nula do sistema ∂z ∂t − ∆z + ∇.(z ⊗ y + y ⊗ z) + ∇.(z ⊗ z) + ∇q = ∇.g + v1ω em Q, div z = 0 em Q, z = 0 sobre Σ, z(0) = z0 em Ω,
para um tensor g e um dado inicial z0.
2.2
O problema de controle linearizado
Dados g = (gij) ∈ [L2(Q)]N
2
, y ∈ [L∞(Q)]N e z
0 ∈ H consideremos para cada
v ∈ [L2(Q
ω)]N a solucao z = zv do seguinte problema linear
∂z ∂t − ∆z + ∇.(z ⊗ y + y ⊗ z) + ∇q = ∇.g + v1ω em Q, div z = 0 em Q, z = 0 sobre Σ, z(0) = z0 em Ω. (2.2.1)
Sabemos que z = z(v) ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ) (Lema 1.7.17). Agora devemos encontrar um controle v ∈ L2(Q
ω)N tal que z(T ) = 0.
2.2.1
M´
etodo da penaliza¸
c˜
ao
Fixado > 0, queremos determinar min
v∈[L2(Q ω)]N
J(v),
onde J : [L2(Qω)]N → R ´e dado por
J(v) = 1 2|zv(T )| 2 H + 1 2 Z Qω |v|2dxdt. (2.2.2)
Vejamos que J ´e estritamente convexo. Com efeito, sejam v1, v2 ∈ L2(Qω)N, λ ∈
(0, 1). Assim, J(λv1+ (1 − λ)v2) = 1 2|zλv1+(1−λ)v2(T )| 2 H + 1 2 Z Qω |λv1+ (1 − λ)v2|2dxdt,
onde zv1 e zv2 s˜ao solu¸c˜oes dos sistemas ∂zv1 ∂t − ∆zv1 + ∇.(zv1 ⊗ y + y ⊗ zv1) + ∇q = ∇.g + v11ω em Q, div zv1 = 0 em Q, zv1 = 0 sobre Σ, zv1(0) = z0 em Ω, (2.2.3) e ∂zv2 ∂t − ∆zv2 + ∇.(zv2 ⊗ y + y ⊗ zv2) + ∇q = ∇.g + v21ω em Q, div zv2 = 0 em Q, zv2 = 0 sobre Σ, zv2(0) = z0 em Ω, (2.2.4)
respectivamente. Multiplicando o sistema em 2.2.3 por λ e o sistema 2.2.4 por 1 − λ, temos: ∂(λzv1 + (1 − λ)zv2) ∂t − ∆λzv1 + (1 − λ)zv2 + ∇.(λzv1 + (1 − λ)zv2 ⊗ y +y ⊗ λzv1 + (1 − λ)zv2) + ∇q = ∇.g + λv1+ (1 − λ)v21ω em Q, divzλzv1+(1−λ)zv2 = 0 em Q, λzv1 + (1 − λ)zv2 = 0 sobre Σ, (λzv1 + (1 − λ)zv2)(0) = z0 em Ω,
logo pela unicidade da solu¸c˜ao zλv1+(1−λ)v2 = λzv1+ (1 − λ)zv2
Logo J(λv1+ (1 − λ)v2) = 1 2|zλv1+(1−λ)v2(T )| 2 H + 1 2 Z Qω |λv1+ (1 − λ)v2|2dxdt = 1 2|λzv1(T ) + (1 − λ)zv2(T )| 2 H + 1 2 Z Qω |λv1+ (1 − λ)v2|2dxdt 6 1 2(λ|zv1(T )|H + (1 − λ)|zv2(T )|H) 2 + 1 2 Z Qω (λ|v1| + (1 − λ)|v2|)2dxdt < 1 2(λ|zv1(T )| 2 H + (1 − λ)|zv2(T )| 2 H) + 1 2 Z Qω (λ|v1|2+ (1 − λ)|v2|2)dxdt = λ(1 2|zv1(T )| 2 H + 1 2 Z Qω |v1|2dxdt) + (1 − λ)( 1 2|zv2(T )| 2 H + 1 2 Z Qω |v2|2dxdt) = λJ(v1) + (1 − λ)J(v2),
provando que J ´e estritamente convexo.
Agora, vejamos que J ´e coercivo. Com efeito, seja v ∈ [L2(Qω)]N.
Como |J(v)|2 > 1 2 Z Qω |v|2dxdt,
conclu´ımos que lim|v|→∞J(v) = +∞.
Agora, mostremos que J ´e diferenci´avel. Com efeito, para cada v ∈ [L2(Qω)]N,
definamos zv =bz + zv onde ∂zb ∂t − ∆bz + ∇.(bz ⊗ y + y ⊗bz) + ∇q = ∇.g em Q, div z = 0b em Q, b z = 0 sobre Σ, b z(0) = z0 em Ω, e ∂zv ∂t − ∆zv + ∇.(zv⊗ y + y ⊗ zv) + ∇q = v1ω em Q, div zv = 0 em Q, zv = 0 sobre Σ, zv(0) = 0 em Ω. Agora, seja S : [L2(Qω)]N → [L2(Ω)]N v 7→ S(v) = zv(T ).
Como S ´e linear, logo ´e diferenci´avel. Mais ainda, zv(T ) =bz(T ) + S(v). Assim, temos que J(v) = 21|bz(T )+S(v)|
2
H+12|v| 2 L2(Q
ω)e, portanto, J´e diferenci´avel.
Como J(v) = 1 2(z(T ) + S(v),b bz(T ) + S(v))H + 1 2(v, v)L2(Qω),
dado w ∈ [L2(Qω)]N, temos DJ(v)(w) = ∂ ∂λ(J(v + λw))|λ=0 = ∂ ∂λ 1 2(bz(T ) + S(v + λw),z(T )b +S(v + λw))H + 1 2(v + λw, v + λw)L2(Qω)N |λ=0 = 1 2(2(S 0 (v + λw)(w),bz(T ) + S(v + λw))H) +1 2(2(w, v + λw)L2(Qω)N) |λ=0 = 1 (S(w),z(T ) + S(v + λw))b H + (w, v + λw)L2(Qω)N λ=0 = 1 (S(w),bz(T ) + S(v))H + (w, v)L2(Qω)N
Como J ´e estritamente convexa, coerciva e diferenci´avel, pelo teorema 1.7.8, existe
um ´unico v ∈ [L2(Qω)]N satisfazendo DJ(v)(w) = 0, ∀w ∈ L2(Qω)N, denotando z = zv temos 1 (zw(T ), z(T ))H + (w, v)L2(Qω)N = 0, ∀w ∈ L 2(Q ω)N (2.2.5)
Introduzimos o estado adjunto (ϕ, π), que satisfaz −∂ϕ ∂t − ∆ϕ − yDϕ + ∇π = 0 em Q, div ϕ = 0 em Q, ϕ = 0 sobre Σ, ϕ(T ) = 1z(T ) em Ω, (2.2.6) onde Dϕ =∂ϕi ∂xj + ∂ϕj ∂xi ij .
Multiplicando 2.2.6 por zw e integrando sobre Ω de 0 at´e T, obtemos
− Z T 0 Z Ω ∂ϕ ∂tzwdxdt − Z T 0 Z Ω (∆ϕ)zwdxdt − Z T 0 Z Ω (yDϕ)zwdxdt + Z T 0 Z Ω (∇π)zwdxdt = 0 =⇒ − Z Ω Z T 0 ∂ϕ ∂tzwdxdt − Z T 0 Z Ω ϕ(∆zw)dxdt − Z T 0 Z Ω (yDϕ)zwdxdt = 0
=⇒ − Z Ω ϕ(T )zw(T ) − ϕ(0)zw(0) − Z T 0 ϕ∂zw ∂t dt dx − Z T 0 Z Ω ϕ(∆zw)dxdt − Z T 0 Z Ω yDϕzwdxdt = 0 =⇒ −(ϕ(T ), zw(T ))H+ Z T 0 Z Ω ϕ∂zw ∂t dxdt− Z T 0 Z Ω ϕ(∆zw)dxdt− Z T 0 Z Ω yDϕzwdxdt = 0 =⇒ −(ϕ(T ), zw(T ))H + Z T 0 Z Ω ϕ ∂zw ∂t − (∆zw) dxdt − Z T 0 Z Ω yDϕzwdxdt = 0.
Uma vez que − Z T 0 Z Ω yDϕzwdxdt = − N X i,j=1 Z T 0 Z Ω yj(∂ϕi ∂xj +∂ϕj ∂xi )zwidxdt = − N X i,j=1 Z T 0 Z Ω yj(∂ϕi ∂xj zwidxdt − N X i,j=1 Z T 0 Z Ω yj∂ϕj ∂xi )zwidxdt = N X i,j=1 Z T 0 Z Ω ϕi( ∂yjzwi ∂xj dxdt + N X i,j=1 Z T 0 Z Ω ϕj( ∂yjzwi ∂xi dxdt = N X i,j=1 Z T 0 Z Ω ϕi( ∂zwiyj ∂xj dxdt + N X i,j=1 Z T 0 Z Ω ϕi( ∂yizwj ∂xj dxdt = Z T 0 Z Ω ϕ[∇.(zw⊗ y)]dxdt + Z T 0 Z Ω ϕ[∇.(y ⊗ zw)]dxdt = Z T 0 Z Ω ϕ[∇.(zw⊗ y + y ⊗ zw)]dxdt, temos −(ϕ(T ), zw(T ))H+ Z T 0 Z Ω ϕ ∂zw ∂t − (∆zw) dxdt+ Z T 0 Z Ω ϕ[∇.(zw⊗y+y⊗zw)]dxdt = 0 =⇒ −(ϕ(T ), zw(T ))H + Z T 0 Z Ω ϕ ∂zw ∂t − (∆zw) + ∇.(zw ⊗ y + y ⊗ zw) dxdt = 0 =⇒ −(ϕ(T ), zw(T ))H + Z T 0 Z Ω ϕ[w1ω− ∇q]dxdt = 0 =⇒ −(ϕ(T ), zw(T ))H + Z T 0 Z Ω ϕ[w1ω]dxdt − Z T 0 Z Ω ϕ∇qdxdt = 0 =⇒ −(ϕ(T ), zw(T ))H + Z T 0 Z Ω ϕ[w1ω]dxdt = 0 −1 (z(T ), zw(T ))H + (ϕ, w)L2(ω×(0,T ))N = 0, ∀w ∈ L 2(ω × (0, T ))N (2.2.7) Somando 2.2.5 e 2.2.7, temos (v+ ϕ, w)L2(ω×(0,T ))N = 0, ∀w ∈ L2(ω × (0, T ))N,
o que implica
v+ ϕ = 0 em ω × (0, T ). (2.2.8)
Agora multiplicando 2.2.6 por z e integrando sobre Ω e de 0 at´e T, obtemos de
maneira an´aloga
−(ϕ(T ), z(T ))H+(ϕ(0), z(0))H+ Z Q ϕ ∂z ∂t − (∆z) + ∇.(z⊗ y + y ⊗ z) dxdt = 0 =⇒ −1 |z(T )| 2 H + (ϕ(0), z0)H + Z Q ϕ[∇.g + v1ω − ∇q]dxdt = 0 =⇒ −1 |z(T )| 2 H + (ϕ(0), z0)H + Z Q ϕ(∇.g)dxdt + Z ω×(0,T ) ϕvdxdt = 0. Como Z T 0 Z Ω ϕ(∇.g)dxdt = N X i,j=1 Z T 0 Z Ω ∂gij ∂xj ϕidxdt = − N X i,j=1 Z T 0 Z Ω ∂ϕi ∂xj gijdxdt, vem que −1 |z(T )| 2 H + (ϕ(0), z0)H − N X i,j=1 Z T 0 Z Ω ∂ϕi ∂xj gijdxdt + Z ω×(0,T ) ϕvdxdt = 0 =⇒ 1 |z(T )| 2 H − Z ω×(0,T ) vϕdxdt = − N X i,j=1 Z T 0 Z Ω ∂ϕi ∂xj gijdxdt + (ϕ(0), z0)H.
Na se¸c˜ao 2.2.2, provaremos que ϕ satisfaz a desigualdade de observabilidade |ϕ(0)|2 H + Z Q ρ2|∇ϕ|2 dxdt 6 C Z ω×(0,T ) |ϕ|2dxdt. (2.2.9)
Assumindo esta desigualdade e que g satisfazRQ ρ12|g|
2dxdt < +∞, obtemos a partir de 2.2.8 e 2.2.9 que 1 |z(T )| 2 H + Z Qω |v|2dxdt 6 |ϕ(0)|H|z0|H − N X i,j=1 Z T 0 Z Ω ρ∂ϕi ∂xj 1 ρgijdxdt 6 |ϕ(0)|H|z0|H + Z Q ρ2|∇ϕ|2dxdt 12 Z Q 1 ρ2|g| 2dxdt 12 6 (|ϕ(0)|2H + Z Q ρ2|∇ϕ|2dxdt)12(|z 0|2H + Z Q 1 ρ2|g| 2dxdt)12 6 (C Z ω×(0,T ) |ϕ|2dxdt)12(|z 0|2H + Z Q 1 ρ2|g| 2dxdt)12 6 1 2 Z ω×(0,T ) |ϕ|2dxdt + C(|z0|2H + Z Q 1 ρ2|g| 2 dxdt).
Logo, 1 |z(T )| 2 H + 1 2 Z ω×(0,T ) |v|2dxdt 6 C para todo > 0.
Sem perda de generalidade, podemos supor que
v * v em L2(ω × (0, T ))N e z = z(v) * z = z(v) em C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ) Logo z(T ) * z(T ) em H, tamb´em z(T ) → 0 em H. Assim, z(T ) = 0.
2.2.2
Desigualdade de Observabilidade
A ´unica maneira conhecida para obter tal desigualdade ´e usando a estimativa global de Carleman para o sistema de Stokes.
Consideremos o sistema de Stokes: ∂z ∂t − ∆z + ∇q = h em Q, div z = 0 em Q, z = 0 sobre Σ, z(0) = z0 em Ω, (2.2.10) com z0 ∈ V e h ∈ L2(0, T ; [L2(Ω)]N).
Pela proposi¸c˜ao 1.7.16,este sistema 2.2.10 tem uma solu¸c˜ao z satisfazendo z ∈ C([0, T ]; V ) ∩ L2(0, T ; (H2(Ω))N),∂z
∂t ∈ (L
2(Q))N e q ∈ L2(0, T ; H1(Ω))
Definimos w = rot z = ∇ × z. Assim temos ∂w ∂t = ∂(rot z) ∂t = rot ∂z ∂t
rot(∆z) = rot(∆z1, ∆z2, ∆z3) = ∂∆z3 ∂x2 −∂∆z2 ∂x3 ,∂∆z1 ∂x3 −∂∆z3 ∂x1 ,∂∆z2 ∂x1 − ∂∆z1 ∂x2 = ∆ ∂z3 ∂x2 − ∆ ∂z2 ∂x3 , ∆ ∂z1 ∂x3 − ∆ ∂z3 ∂x1 , ∆ ∂z2 ∂x1 − ∆ ∂z1 ∂x2 = ∆ ∂z3 ∂x2 − ∂z2 ∂x3 , ∆ ∂z1 ∂x3 − ∂z3 ∂x1 , ∆ ∂z2 ∂x1 − ∂z1 ∂x2 = ∆(rot z), rot(∇q) = ∇ × (∇q) = ∇ × ∂q ∂x1 , ∂q ∂x2 , ∂q ∂x3 = ∂2q ∂x2∂x3 − ∂ 2q ∂x3∂x2 , ∂ 2q ∂x1∂x3 − ∂ 2q ∂x3∂x1 , ∂q ∂x2∂x1 − ∂ 2q ∂x1∂x2 = 0 e rot(rot z) = rot ∂z3 ∂x2 − ∂z2 ∂x3 , ∂z1 ∂x3 − ∂z3 ∂x1 ,∂z2 ∂x1 − ∂z1 ∂x2 = ∂ ∂x2 ∂z2 ∂x1 − ∂z1 ∂x2 − ∂ ∂x3 ∂z1 ∂x3 − ∂z3 ∂x1 , ∂ ∂x3 ∂z3 ∂x2 − ∂z2 ∂x3 − ∂ ∂x1 ∂z2 ∂x1 − ∂z1 ∂x2 , ∂ ∂x1 ∂z1 ∂x3 − ∂z3 ∂x1 − ∂ ∂x2 ∂z3 ∂x2 − ∂z2 ∂x3 = ∂ ∂x1 ∂z2 ∂x2 + ∂z3 ∂x3 − ∂ 2z 1 ∂x2 2 − ∂ 2z 1 ∂x2 3 , ∂ ∂x2 ∂z3 ∂x3 + ∂z1 ∂x1 −∂ 2z 2 ∂x2 1 − ∂ 2z 2 ∂x2 3 , ∂ ∂x3 ∂z1 ∂x1 + ∂z2 ∂x2 − ∂ 2z 3 ∂x2 1 − ∂ 2z 3 ∂x2 2 . Como div z = ∂z1 ∂x1 + ∂z2 ∂x2 + ∂z3 ∂x3 = 0, rot(rot z) = −∂ 2z 1 ∂x2 1 − ∂ 2z 1 ∂x2 2 − ∂ 2z 1 ∂x2 3 , −∂ 2z 2 ∂x2 2 −∂ 2z 2 ∂x2 1 −∂ 2z 2 ∂x2 3 , −∂ 2z 3 ∂x2 3 −∂ 2z 3 ∂x2 1 − ∂ 2z 3 ∂x2 2 = −∆z Da´ı, rot h = rot ∂z ∂t − ∆z + ∇q = ∂rotz ∂t − ∆rot z + rot∇q
e assim obtemos o seguinte sistema ∂w ∂t − ∆w = rot h em Q,
−∆z(t) = rot(w(t)) em Ω quase sempre em (0, T ), z(t) = 0 sobre Γ quase sempre em (0, T ).
(2.2.11)
Sobre Γ, como z|Γ = 0, temos que ∇z = (∇z.ν)ν. Logo w|Γ pode ser expressado em
termos de (∇z.ν).
Agora definiremos alguns pesos convenientes.
Pelo lema (de Fursikov) 1.7.7, existe uma fun¸c˜ao ψ ∈ C2(Ω) tal que ψ = 0 sobre Γ,
ψ(x) > 0 em Ω, |∇ψ| > c0 > 0 em Ω\ω.
Definimos l ∈ C∞([0, T ]) tal que:
l(t) = t em 0,T 4 , l(t) = T − t em 3T 4 , T e l(t) > T 4 em T 4, 3T 4 . Agora definimos ξ(x, t) = e λ(ψ(x)+m1) l4(t) e α(x, t) = e λ(ψ(x)+m1)− eλ(|ψ|∞+m2) l4(t)
onde λ > 1 e m1 6 m2. Nesse caso,
∂α ∂t 6 Cξ 5 4, ∂2α ∂t2 6 Cξ 3 2 Com efeito, ∂α ∂t = −4(eλ(ψ(x)+m1)− eλ(|ψ|∞+m2))l0(t) l5(t) 6 C(−e λ(ψ(x)+m1)+ eλ(|ψ|∞+m2)) l5(t) 6 C e λ(|ψ|∞+m2) l5(t) 6 C e λ(|ψ|∞+m2+54(m1+ψ(x))) l5(t) ! 6 C e 5 4λ(m1+ψ(x)) l5(t) ! = Cξ54(t).
Analogamente, ∂2α ∂t2 = −4(eλ(ψ(x)+m1)− eλ(|ψ|∞+m2))l00(t) l5(t) + 20(eλ(ψ(x)+m1)− eλ(|ψ|∞+m2))(l0(t))2 l6(t) 6 C(−e λ(ψ(x)+m1)+ eλ(|ψ|∞+m2)) l6(t) 6 C e λ(|ψ|∞+m2) l6(t) 6 C e λ(|ψ|∞+m2+32(m1+ψ(x))) l6(t) ! 6 C e 3 2λ(m1+ψ(x)) l6(t) ! = Cξ32(t) Consideremos o espa¸co H14, 1 2(Σ) = H 1 4(0, T ; L2(Γ)) ∩ L2(0, T ; H 1 2(Γ))
Vejamos alguns resultados que ser˜ao utilizados:
No pr´oximo resultado, apresentaremos a estimativa global de Carleman para a equa-¸c˜ao parab´olica n˜ao homog´enea em 2.2.11.
Teorema 2.2.1. Existem λ0 > 1, s0 > 0 e C > 0 tais que, para cada λ > λ0 e cada
s > s0, temos 1 s Z Q e2sα ξ |∇w| 2 dxdt + sλ2 Z Q ξe2sα|w|2dxdt 6 C(s−12kξ− 1 4esαwk2 H14, 12(Σ) + Z Q e2sα|h|2dxdt + sλ2 Z Qω ξesα|w|2dxdt), (2.2.12) onde w ´e uma solu¸c˜ao de 2.2.11.
Agora como z ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao el´ıptica em 2.2.11, usaremos a estimativa para equa¸c˜oes el´ıpticas com o seguinte peso
β(x) = eλ(ξ(x)+m1)
Teorema 2.2.2. Existem τ0 > 0, λ0 > 0 e C > 0 tal que para cada τ > τ0 e cada
λ > λ0 a fun¸c˜ao z(t) satisfaz para quase sempre t ∈ (0, T )
Z Ω e2τ β |∇z(t)|2+ τ2λ2β2|z(t)|2 dx 6 C τ Z Ω βe2τ β|w(t)|2dx + τ2λ2 Z Qω β2e2τ β|z(t)|2dx (2.2.13) onde z ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao el´ıptica em 2.2.11.
Sendo τ = l4s(t) temos τ β = s l4(t)β = sξ ⇒ τ 2β2 = s2ξ2, Como α = ξ − e λ(|ψ|∞+m2) l4(t) , ent˜ao e2sα = e2sξe−2s eλ(|ψ|∞+m2) l4(t) = e2sξe−2sθ = e2τ βe−2sθ, onde θ = e λ(|ψ|∞+m2) l4(t) .
Multiplicando a equa¸c˜ao 2.2.13 por λ2e−2sθ e integrando esta equa¸c˜ao de 0 at´e T, temos Z Q e2sα λ2|∇z|2+ s2λ4ξ2|z|2 ) 6 C(sλ2 Z Q ξe2sα|w|2dxdt + s2λ4 Z Qω ξ2e2sα|z|2dxdt (2.2.14) Somando 2.2.12 e 2.2.14, obtemos Z Q e2sα |∇w| 2 sξ + sλ 2ξ|w|2+ λ2|∇z|2+ s2λ4ξ2|z|2 dxdt 6 C s−12 ξ−14esα∂z ∂ν 2 H14, 12(Σ) + Z Q e2sα|h|2dxdt ! + C Z Qω e2sα(sλ2ξ|w|2+ s2λ4ξ2|z|2)dxdt (2.2.15)
A ideia agora ´e limitar o termo da fronteira com termos do primeiro membro. Para isso definimos ˇ α(t) : = min x∈Ω α(x, t) = α|Γ(t) = eλm1 − eλ(|ψ|∞+m2) l4(t) e ˇ ξ(t) : = min x∈Ω ξ(x, t) = ξ|Γ(t) = eλm1 l4(t)
Fazendo as seguintes mudan¸cas de vari´aveis
u(x, t) = ˇξ(t)−14es ˇα(t)z(x, t)
e
obtemos ∂u ∂t = − 1 4 ˇ ξ−54ξˇ0es ˇαz + s ˇα0ξˇ− 1 4ξˇ0es ˇαz + ˇξ− 1 4es ˇα∂z ∂t, (2.2.16) ∆u = ˇξ−14es ˇα∆z, (2.2.17) ∇r = ˇξ−14es ˇα∇q, (2.2.18) div u = ˇξ−14es ˇαdiv z = 0, (2.2.19) u|Σ = ˇξ− 1 4es ˇαz| Σ = 0 (2.2.20) e |u(0)| = | lim t→0u(t)| = | limt→0 ˇ ξ(t)−14es ˇα(t)z(t)| 6 C lim t→0|e s ˇα(t)||z(t)| = C|z 0| lim t→0|e s ˇα(t)| = 0. (2.2.21) Utilizando as rela¸c˜oes (2.2.16) − (2.2.21) obtemos, a partir do sistema 2.2.10, o sistema ∂u ∂t − ∆u + ∇r = ˇξ −14es ˇαh + s ˇα0ξˇ−14ξˇ0es ˇαz −1 4ξˇ −54ξˇ0es ˇαz em Q, div u = 0 em Q, u|Σ = 0 em Σ, u(0) = 0 em Ω. (2.2.22) Sabemos que z ∈ L2(0, T ; (H2(Ω))N), ∂z ∂t ∈ (L 2(Q))N e h ∈ L2(0, T ; (L2(Ω))N).
Utilizando estes fatos, mostraremos que u ∈ L2(0, T ; (H2(Ω))N), ∂u
∂t ∈ (L 2(Q))N e u ∈ H1(0, T ; (L2(Ω))N). De fato, • u ∈ L2(0, T ; (H2(Ω))N); realmente, Z T 0 |u(t)|2 H2(Ω)dt = Z T 0 | ˇξ(t)−14es ˇα(t)z(t)|2 H2(Ω)dt 6 C Z T 0 |z(t)|2 H2(Ω)dt 6 C|z(t)|2L2(0,T ;(H2(Ω))N)< +∞. • ∂u ∂t ∈ (L 2(Q))N; realmente, Z T 0 ∂u ∂t 2 L2(Ω) dt = Z T 0 −1 4 ˇ ξ−54ξˇ0es ˇαz + s ˇα0ξˇ− 1 4ξˇ0es ˇαz + ˇξ− 1 4es ˇα∂z ∂t 2 L2(Ω) dt 6 Z T 0 −1 4 ˇ ξ−54ξˇ0es ˇαz + s ˇα0ξˇ− 1 4ξˇ0es ˇαz L2(Ω) + ˇ ξ−14es ˇα∂z ∂t L2(Ω) !2 dt 6 2 Z T 0 −1 4 ˇ ξ−54ξˇ0es ˇαz + s ˇα0ξˇ− 1 4ξˇ0es ˇαz 2 L2(Ω) dt + 2 Z T 0 ˇ ξ−14es ˇα∂z ∂t 2 L2(Ω) dt.