Aulas 5 e 6 / 28 e 30 de março

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Aulas 5 e 6 / 28 e 30 de mar¸

co

1 Nota¸

c˜

ao de soma e produto

Como expressar a seguinte soma de uma maneira mais concisa? 12+ 22+ 33+ ... + 102 ?

Note que as parcelas são semelhantes, e que a única coisa que varia é base do expoente. Quando temos uma soma em que a varia¸cão de uma parcela para outra depende de uma ´

unica variável, que cresce uma unidade a cada parcela, podemos usar a nota¸cão de somatório:

1

X

j=1

0j2.

A variável que aparece abaixo de σ indica o que mudará de parcela em parcela. O valor que ela come¸ca é o que aparece ao lado dela, com o sinal de igual. E o valor acima σ é o último que ela atinge.

Exerc´ıcio 1. Escreva por extenso os seguintes somat´orios:

4 X k=1 k! 6 X n=2 sin(nπ) 0 X n=−2 4.

Muitas vezes a variável não se altera de 1 em 1. Para generalizar, se S é um conjunto, o s´ımbolo

X

x∈S

f (x)

significa a soma de todos os valores f (x) obtidos quando x ∈ S. Exerc´ıcio 2. Seja S = {1, 3, 10}. Calcule

X

x∈S

x2.

Note que é poss´ıvel fazer altera¸cões na disposi¸cão dos ´ındices, ou acrescentar ou remover termos, ou ter restri¸cões explicitadas em outras nota¸cões. Considere os exemplos:

(i) n X k=1 (k + 1) = n + n X k=1 k = 2n + n−1 X k=1 k. (ii) n X i=1 i2 = n+1 X i=2 (i − 1)2. (iii) 10 X j=2 j3− 8 X k=1 k2 = 103+ 8 X j=1 (j + 1)3− 8 X k=1 k2 = 103 + 8 X j=1 (j + 1)3_{− j}2

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Igualmente, se desejarmos representar o produto de vários elementos, poderemos utilizar a nota¸cão de produtório:

3

Y

k=1

k2 = 12· 22_{· 3}2 _{= 36.}

Exerc´ıcio 3. Expresse o fatorial de n como um produt´orio.

2 Recorrˆ

encia

Uma rela¸cão de recorrência é uma maneira de definir uma sequência de valores, cada um dos quais definidos a partir de alguns de seus antecessores. Por exemplo

(i) x1 = 2.

(ii) xn = 2xn−1+ 3.

Quando n = 2, teremos que x2 = 2x1 + 3 = 7. Agora podemos fazer n = 3, e teremos

x3 = 17.

Exerc´ıcio 4. Ache o x5 acima.

Exerc´ıcio 5. Expresse xn= n X k=1 k2+ 1 como uma rela¸c˜ao de recorrˆencia.

Exerc´ıcio 6. Expresse xn= n! como uma rela¸c˜ao de recorrˆencia.

Exemplo 1. A sequência de Fibonacci é definida como uma rela¸cão de recorrência fn= fn−1+ fn−2.

Como a defini¸cão envolve dois termos anteriores, é preciso dar pelo menos os dois primeiros valores da sequência para podermos definir os demais:

f1 = 1 f2 = 1.

Mais para frente, voltaremos a falar mais em detalhes de certos tipos de recorrˆencia.

3 Indu¸

c˜

ao

Indu¸cão matemática é uma técnica muito poderosa para demonstrar propriedades expressas em termos de números inteiros positivos n. Basicamente, uma prova por indu¸cão funciona da seguinte forma:

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(ii) E então mostramos que se a propriedade é verdadeira para um valor arbitrário de n, então ela tem que ser verdadeira para n + 1.

Em outras palavras, imagine que existe uma propriedade P que depende de valores n ∈ Z+, e que desejamos mostrar que

∀n ≥ 1, P (n) = T. Para tal, o caminho ´e:

(i) Mostrar que P (1) = T .

(ii) Mostrar que P (n) = T ⇒ P (n + 1) = T .

Por exemplo, se n = 1 no ponto (ii), saberemos que P (1) ⇒ P (2). Como P (1) = T pelo ponto (i), segue que P (2) = T . Agora que sabemos que P (2) = T , olhamos para o ponto (ii) com n = 2. Sabemos por (ii) que P (2) = T ⇒ P (3) = T . Como, de fato, P (2) = T , segue que P (3) = T . E assim sucessivamente. O relevante de tudo isso ´e que basta mostrar (i) e (ii) e todos os casos seguir˜ao automaticamente.

A maneira de escrever uma prova por indu¸cão é a seguinte: • Senten¸ca: ∀n ≥ 1, P (n) é verdadeira.

• Prova:

(i) “Caso base”: demonstra o caso espec´ıfico que P (1) é verdadeira. (ii) “Hipótese indutiva”: declare o que é P (n).

(iii) “Conclusão indutiva”: Mostra que P (n + 1) é verdadeira. Para tal, você pode usar todas as propriedades matemáticas que você está acostumado, mas princi-palmente, você deve usar a senten¸ca P (n) escrita em (ii) como hipótese.

Sem mais delongas, vamos come¸car a ver exemplos. Proposi¸c˜ao 1. Para todo inteiro n ≥ 1,

n X j=1 j = n(n + 1) 2 . Neste exemplo, P (n) : “ n X j=1 j = n(n + 1) 2 .” Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao.

(i) Caso base: Se n = 1, temos que P1

j=1j = 1, e que 1(1+1)

2 = 1, portanto P (1) = T .

(ii) Hip´otese indutiva:

n

X

j=1

j = n(n + 1)

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(iii) Conclus˜ao indutiva: Teremos que n+1 X j=1 j = 1 + 2 + 3 + .... + n + (n + 1) por defini¸c˜ao = (1 + 2 + 3 + ... + n) + (n + 1) propriedades da soma = n X j=1

j + (n + 1) defini¸c˜ao de somat´orio

= n(n + 1)

2 + (n + 1) POR HIP ´OTESE INDUTIVA

= n

2 _{+ n + 2n + 2}

2 manipula¸c˜ao alg´ebrica

= (n + 1)(n + 2)

2 manipula¸c˜ao alg´ebrica.

Isso encerra a prova.

Proposi¸c˜ao 2. Para todo inteiro n ≥ 1,

n

X

j=1

j2 = n(n + 1)(2n + 1)

6 .

Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao.

(i) Caso base: Se n = 1, ambos os lados s˜ao iguais a 1. (ii) Hip´otese indutiva:

n

X

j=1

j2 = n(n + 1)(2n + 1)

6 .

(iii) Conclus˜ao: Teremos que

n+1 X j=1 j2 = 12+ 22+ 32+ .... + n2+ (n + 1)2 = (12+ 22+ 32+ ... + n2) + (n + 1)2 = n X j=1 j2+ (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 + (n + 1)

2 _{POR HIP ´}_{OTESE INDUTIVA}

= 2n

3_{+ 3n}2_{+ n + 6n}2_{+ 12n + 6}

6

= (n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1) 6

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Exerc´ıcio 7. Mostre que para todo n ≥ 0,

n

X

j=0

2j = 2n+1− 1.

Troque 2 por r, r > 2. Como a fórmula precisa ser ajustada? Demonstre a nova fórmula por indu¸cão.

Vocˆe consegue resolver este exerc´ıcio de um jeito diferente?

Exerc´ıcio 8. (Desafio) Tente usar uma generaliza¸cão dos exemplos acima e a idéia da indu¸cão pra achar uma fórmula para

n

X

j=1

j3.

Proposi¸cão 3. Se n é um inteiro positivo, então 5 divide n5_{− n.}

Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao.

1. Caso base: com n = 1, n5− n = 0, e 5 divide 0. 2. Hip´otese indutiva:

5 divide n5− n. 3. Conclus˜ao: Note que

(n + 1)5− (n + 1) = n5+ 5n4+ 10n3+ 10n2+ 4n.

Nosso objetivo ´e usar a hip´otese indutiva, e para isso, precisamos fazer n5_{− n aparecer.}

Manipulamos ent˜ao para obter

(n + 1)5− (n + 1) = (n5_{− n) + 5n}4_{+ 10n}3_{+ 10n}2_{+ 4n + n.}

Por hip´otese indutiva, 5 divide n5_{−n. Os demais termos possuem coeficientes m´}_ultiplos

de 5, portanto 5 divide todos os termos da soma, e logo 5 divide tudo. Mais tecnicamente, por indu¸c˜ao, existe k tal que 5k = n5− n. Logo

(n + 1)5− (n + 1) = 5(k + n4_{+ 2n}3 2n

2_{+ n).}

Exerc´ıcio 9. Mostre que para todo n ≥ 0, 4 divide 5n− 1.

Exerc´ıcio 10. Vamos mostrar que 8 sempre divide 32n_{. Nossa hip´}_{otese indutiva ´}_{e 8|3}2n_.

Para a conclus˜ao, faremos

32(n+1) = 32n+2 = 9 · 32n = 32n+ 8 · 32n.

Como 8 divide 32n _{por hip´}_{otese indutiva, e 8 divide 8 · 3}2n_{, segue que 8 divide 3}2(n+1)_{. Fim}

da demonstra¸c˜ao. T´a certo isso a´ı?

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Proposi¸c˜ao 4. Para todo n ≥ 4, segue que 2n_{< n!.}

Demonstra¸c˜ao. 1. Caso base: Se n = 4, ent˜ao 2n _{= 16 e n! = 24. Logo 2}n _{< n! para}

n = 4.

2. Hip´otese indutiva: 2n < n!. 3. Conclus˜ao:

2n+1 = 2n· 2

< n! · 2 por hip´otese indutiva, < n! · (n + 1) porque 2 < n + 1 para n ≥ 4. = (n + 1)!

. Exerc´ıcio 11. Torres de Hanoi é um jogo em que três pe¸cas de tamanhos diferentes são empilhadas em uma das três torres. A maior embaixo, a menor no topo. O objetivo é mover as três pe¸cas para a última torre. Para tal, só é permitido mover uma pe¸ca por vez, e uma pe¸ca nunca pode ficar sobre uma pe¸ca menor. Veja o exemplo abaixo de como resolver o jogo:

E se ao invés de 8 pe¸cas existirem n pe¸cas? É poss´ıvel? Quantas jogadas serão necessárias para resolver? Fa¸ca um chute e depois prove por indu¸cão.

Exerc´ıcio 12. Prove que 13 sempre divide 3n+2+ 42n+1, para qualquer n ≥ 0.

Exerc´ıcio 13. Ache um inteiro N0 tal que para todo n ≥ N0, n2 > 2n + 1. Prove por

indu¸c˜ao.

Fa¸ca o mesmo para a propriedade 2n> n2. Exerc´ıcio 14. Um triomin´o ´e um pe¸ca da forma

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Prove que um tabuleiro quadricular de 2n_×2n_{, n > 0, sempre pode ser cobertos por triomin´}_os,

desde que removamos um ´unico quadrado.

Dica: um tabuleiro de tamanho 2n+1× 2n+1 _´_{e obtido juntando 4 tabuleiros de tamanho}

2n_{× 2}n_.

Exerc´ıcio 15. Prove que um quadrado perfeito ´e sempre a soma de n´umeros ´ımpares con-secutivos.

Exerc´ıcio 16. Prove que, para todo n ≥ 1,

n X j=1 j 2j = 2 − n + 2 2n .

Exerc´ıcio 17. Considere o produto

n Y j=2 1 − 1 j2 .

Teste alguns valores, conjecture uma fórmula, e prove esta fórmula por indu¸cão. Exerc´ıcio 18. Mostre que para todo n > 1,

1 + 1 4+ 1 9+ ... + 1 n2 < 2 − 1 n. Exerc´ıcio 19. Considere a seguinte proposi¸c˜ao

• Todos os carros de Belo Horizonte tem a mesma cor. Vamos provar este fato por indu¸c˜ao.

1. Caso base: Se s´o houvesse um carro em Belo Horizonte, certamente todos os carros teriam a mesma cor.

2. Hip´otese indutiva: Todo conjunto de n carros em Belo Horizonte tem a mesma cor. 3. Conclus˜ao: Considere um conjunto com n + 1 carros em Belo Horizonte. Digamos que

eles sejam

C1 C2 C3 Cn Cn+1

Os primeiros n carros, do C1 ao Cn, tem a mesma cor por hip´otese indutiva. Os ´ultimos

n carros, do C2 ao Cn+1, tamb´em possuem a mesma cor, por hip´otese indutiva. Como

C2, por exemplo, est´a em ambos os conjuntos, segue que Cn+1 ´e da mesma cor que os

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Bem, será que todos os carros de Belo Horizonte tem a mesma cor? Ou será que o princ´ıpio da indu¸cão matemática está errado? Ou talvez “essas coisas de lógica” não se aplicam ao mundo real?!!

Descubra o que aconteceu.

Exerc´ıcio 20. Esse ´e o meu favorito.

Há uma ilha onde mora uma tribo com 1000 pessoas. 100 delas tem olho azul, 900 tem olhos marrons. Entretanto a religião deles pro´ıbe que cada habitante saiba a cor dos seus olhos, ou mesmo que o tema seja discutido. Os portugueses ainda não chegaram nessa ilha, então eles não possuem espelhos, ou qualquer outra superf´ıcie refletora. Assim, cada habitante sabe a cor dos olhos de todo mundo, menos a sua.

Se um habitante da tribo descobrir por algum acaso a cor do seus olhos, este habitante precisa cometer suic´ıdio no dia seguinte, ao meio dia, na pra¸ca central, para que todos vejam. Todos os habitante são lógicos, inteligentes, religiosos, e sabem que os outros habitantes também são, e sabem que os outros habitantes sabem que todos são, e assim sucessivamente.

´

E um pessoal bem inteligente mesmo.

Um belo dia um n´aufrago de olhos azuis foi parar na ilha. A tribo o ajuda, mas ele, sem conhecer os costumes da tribo, comete a gafe de, ao discursar em agradecimento para toda a tribo, fazer o seguinte coment´ario:

• Que grata surpresa ver outra pessoa de olhos azuis, como eu, nesta ilha t˜ao remota. O que acontece com a tribo?

(após resolver, ou não, este desafio, vá ler na wikipedia sobre “Common Knowledge”).

4 Indu¸

c˜

ao forte

Muitas vezes, não basta usar o caso anterior para provarmos o próximo. Pode ser necessário usar alguns ou todos os casos anteriores para provarmos o próximo. Considere primeiramente o exemplo abaixo.

Proposi¸cão 5. Suponha que a sequência {xn} é definida por x1 = 0, x2 = 30, xn =

xn−1+ 6xn−2, para n ≥ 3. Mostre que

xn= 2 · 3n+ 3 · (−2)n.

Demonstra¸c˜ao. Vamos primeiro ir como antes:

(i) Caso base: x1 = 0 e x2 = 30 ambos satisfazem a f´ormula.

(ii) Hip´otese indutiva: xn= 2 · 3n+ 3 · (−2)n.

(iii) Conclus˜ao: Pela recorrˆencia, temos

xn+1 = xn+ 6xn−1.

Usando a hip´otese indutiva, o melhor que conseguimos ´e: xn+1 = 2 · 3n+ 3 · (−2)n+ 6xn−1.

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O que fazemos com xn−1 ? A idéia aqui é trocar nossa hipótese indutiva, para que ela

contemple todos os valores at´e o n + 1:

(ii) Hip´otese indutiva: Para todo k ≤ n, temos xk = 2 · 3k+ 3 · (−2)k. Agora voltamos.

Temos

xn+1 = xn+ 6xn−1.

Aplicando a hip´otese indutiva para k = n e k = n − 1, teremos

xn+1 = xn+ 6xn−1 defini¸c˜ao

= 2 · 3n+ 3(−2)n+ 6 2 · 3n−1+ 3(−2)n−1 hip´otese indutiva em ambos os termos!! = 2 · 3n+ 3(−2)n+ 4 · 3n− 9(−2)n manipula¸c˜ao

(aten¸c˜ao `a mudan¸ca de sinal)

= 6 · 3n− 6(−2)n _{manipula¸c˜}_ao

= 2 · 3n+1+ 3(−2)n+1 manipula¸c˜ao

Exerc´ıcio 21. Definimos x1 = 11, x2 = 23, e xn= xn−1+ 12xn−2, para n ≥ 3. Mostre que,

para todo n ≥ 1, temos

xn= 2 · 4n− (−3)n.

´

E preciso tomar muito cuidado com os casos base necess´arios!!

Proposi¸cão 6. Todo inteiro maior que 7 pode ser escrito como a soma de dois múltiplos não negativos de 3 e 5.

Demonstra¸c˜ao. (i) Caso base: de fato, 8 = 5 + 3.

(ii) Hipótese indutiva: Para todo 8 ≤ k ≤ n, o número k pode ser escrito como 5x + 3y, onde x e y são inteiros não-negativos.

(iii) Conclusão: Note que n + 1 = (n − 7) + 8. Por hipótese indutiva, há inteiros não negativos tais que

n − 7 = 5x + 3y. Ent˜ao

n + 1 = 5x + 3y + 8 = 5x + 3y + 5 + 3 = 5(x + 1) + 3(y + 1). Ser´a que esta prova est´a OK?

Há um erro relevante na prova acima, ainda que a proposi¸cão seja verdeira. Vamos consertar o erro. Note que se n = 9, então n − 7 = 2. A hipótese indutiva só permite que digamos que números k entre 8 e n podem ser escrito como 5x + 3y onde x e y são não-negativos. Então o argumento na conclusão não pode mostrar o caso n = 9!!

De fato, ele só se aplica a número n maiores que 15, para que n − 7 ≥ 8. Então é necessário checar manualmente que o resultado é verdadeiro para todos os número entre 8 e 15. A prova deve ser, portanto, assim:

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(i) Casos base: 8 = 5 + 3, 9 = 0 · 5 + 3 · 3, 10 = 2 · 5 + 0 · 3, 11 = 5 + 2 · 3, 12 = 0 · 5 + 4 · 3, 13 = 2 · 5 + 3, 14 = 5 + 3 · 3, e 15 = 3 · 5 + 0 · 3.

(ii) Hipótese indutiva: Para todo 8 ≤ k ≤ n, o número k pode ser escrito como 5x + 3y, onde x e y são inteiros não-negativos.

(iii) Conclusão. Seja n ≥ 16. Note que n + 1 = (n − 7) + 8. Note que n − 7 ≥ 8, então podemos aplicar a hipótese indutiva para n − 7. Ent˜_{ao existem x, y ∈ Z}≥0 tais que

n − 7 = 5x + 3y. Ent˜ao

n + 1 = 5x + 3y + 8 = 5x + 3y + 5 + 3 = 5(x + 1) + 3(y + 1).

Exerc´ıcio 22. Mostre que todo inteiro ≥ 9 pode ser escrito como 3x + 4y, com x, y inteiros positivos.

Exerc´ıcio 23. Considere o jogo em que duas pessoas jogam, uma contra a outra. H´a 37 moedas empilhadas. Em cada rodada, uma pessoa remove de 1 a 4 moedas da pilha. Ganha quem remove por ´ultimo.

Existe uma estrat´egia sempre vitoriosa? Quem ganha? Quem come¸ca ou quem vai depois?

E se forem n moedas? Qual a estratégia para a vitória? Use indu¸cão.

Exerc´ıcio 24. Relembre a sequˆencia de Fibonacci, dada por {fn} onde f1 = 1, f2 = 1 e

fn= fn−1+ fn−2 para n ≥ 3. Use indu¸c˜ao para mostrar os resultados abaixo:

(a) Para todo n ∈ N, fn+1<

7 4 n . (b) Para n ≥ 2, f1 + f2+ .... + fn−1 = fn+1− 1. (c) Seja a = 1 + √ 5 2 e b = 1 −√5

2 . Para todo n ∈ N, mostre que fn=

an− bn

√ 5 . Dicas:

(a) Use que, para n ≥ 2, 7 4 n = 49 16 7 4 n−2 > 7 4 n−1 + 7 4 n−2 . (b) Note que n−2 X i=1 fi+ n−3 X i=1 fi = f1+ n−3 X i=1 (fi+ fi+1).

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Exerc´ıcio 25. (Desafio) Considere uma longa rodovia circular que possui alguns postos de gasolina no caminho. Todos juntos, os postos contém exatamente a quantidade de gasolina necessária para dar uma volta na rodovia. Seu tanque está vazio, mas cabe muito mais gasolina do que o necessário para dar a volta completa. Mostre que existe um posto onde você pode come¸car, encher seu tanque com o total do posto, e será poss´ıvel dar uma volta completa na rodovia.