Equa¸
c˜
oes reais, Solu¸
c˜
oes imagin´
arias.
Carlos A. Gomes UFRN
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Introdu¸
c˜
ao
Na ´ultima edi¸c˜ao da RPM (n´umero 77) h´a um artigo ”Por que eiθ = cosθ + i.senθ?”,
do professor Jos´e Paulo Carneiro, onde ´e exibida uma explica¸c˜ao para a bela igualdade. Motivado por este artigo, vamos utilizar a f´ormula de Euler, eiθ = cosθ + isenθ, para estender algumas fun¸c˜oes reais para o ambiente dos n´umeros complexos, investigando que propriedades das fun¸c˜oes antigas s˜ao mantidas e que propriedades s˜ao alteradas no campo dos n´umeros complexos. Al´em disso vamos usar as id´eias desenvolvidas no in´ıcio do nosso texto para mostrar que algumas equa¸c˜oes tais como 1x= 3, sen(x) = 2, entre tantas outras,
que n˜ao possuiam solu¸c˜oes no campo dos n´umeros reais passam a ter (v´arias) solu¸c˜oes no campo dos n´umeros complexos.
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Fun¸
c˜
oes exponencial e logar´ıtmica complexas
Como sabemos um n´umero complexo z sempre pode ser representado na sua forma alg´ebrica z = x + yi, com x, y ∈ R. Motivado bela f´ormula de Euler eiθ = cosθ + i.senθ”e pela
propriedade ex+y = ex.ey da fun¸c˜ao exponencial real, definimos a fun¸c˜ao exponencial complexa por
ez = ex+yi= ex(cosy + iseny)
Note que no caso particular de z ser um n´umero real (y = 0), segue que ez = ex(cos0 + isen0) = ex(1 + i.0) = ex.1 = ex
o que mostra que a defini¸c˜ao de ez ´e boa, pois quando y = 0 a exponencial complexa transforma-se na exponencial real. Al´em disso, pode-se mostar sem grandes dificuldades que a expoencial complexa goza de algumas propriedades an´alogas as da expenencial real, como por exemplo,
e0 = 1, ez1+z2 = ez1.ez2, e
z1
ez2 = e
z1−z2, (ez1)n= enz1 para n = 0, ±1, ±2, · · ·
Embora as fun¸c˜oes exponencial real e complexa tenham todas essas semelhan¸cas elas tamb´em possuem grandes diferen¸cas. Uma das mais surpreendentes ´e que a fun¸c˜ao
ex-ponencial complexa ´e peri´odca de per´ıodo 2πi, pois ez+2πi = e(x+yi)+2πi = ex+(y+2π)i = ex(cos(y + 2π) + isen(y + 2π)) = ex(cosy + iseny) = ez
o que nos mostra que 2πi ´e o per´ıodo da fun¸c˜ao exponencial complexa.
Todo n´umero complexo z 6= 0 pode ser escrito na forma z = |z|eiθ (forma exponencial de z), onde θ ´e o argumento principal de z, pois
z =|z| (cosθ + i.senθ)
| {z }
=eθ
=|z|eiθ
Assim, motivados pelas propriedades da fun¸c˜ao logar´ıtmica real, escrevemos z =|z|eiθ⇒ `n(z) = `n|z|eiθ ⇒
`n(z) = `n|z| + `neiθ⇒ `n(z) = `n|z| + iθ.`ne ⇒ `n(z) = `n|z| + iθ, com θ = arg(z)
Diante do que foi exposto acima, para um n´umero complexo z, definimos a fun¸c˜ao (multivalente) `nz como sendo
`n(z) = loge|z| + iarg(z)
onde logex´e a fun¸c˜ao logar´ıtmica real de base e. Note que a fun¸c˜ao logar´ıtmica complexa
´e multivalente, isto ´e, assume diversos valores para cada n´umero complexo z, visto que arg(z)n˜ao ´e ´unico. Quando restringimos arg(z) ao intervalo (−π, π], dizemos que estamos diante do valor principal da fun¸c˜ao `n(z). Assim, por exemplo, se quisermos calcular o valor principal `n(−2) (os n´umeros reais negativos possuem logaritmos complexos!), basta ver que −2 possui m´odulo 2 e argumento π e portanto,
`n(−2) = loge2 + iπ
A fun¸c˜ao logar´ıtmica complexa goza das propriedades `n (z1.z2) = `n(z1) + `n(z2), `n z1
z1
= `n(z1) − `n(z2), `nzn1 = n.`nz1
3
Fun¸
c˜
oes seno e cosseno complexas
Voltando `a f´ormula de Euler, eiθ= cosθ + isenθ, e substituindo θ ∈ R por x e depois por −x, com x ∈ R, segue que
eix = cos(x) + isen(x) e−ix= cos(−x) + isen(−x) ⇒
eix = cos(x) + isen(x) e−ix= cos(x) − isen(x)
Inicialmente adicionando e depois subtraindo as duas ´ultimas igualdades acima obtemos: cos(x) = e ix+ e−ix 2 sen(x) = e ix− e−ix 2i
Motivados por essas igualdades definimos as fun¸c˜oes cosseno e seno complexas, para cada z = x + yicom x, y ∈ R como sendo
cos(z) = e
iz+ e−iz
2 e sen(z) =
eiz− e−iz 2i
Perceba que se z for um n´umero real y = 0 as fun¸c˜oes cosseno e seno complexas transformam-se nas fun¸c˜oes cosseno e seno reais, visto que se z = x, com x ∈ R segue que
cos(z) = e iz+ e−iz 2 = eix+ e−ix 2 = cos(x) sen(z) = e iz− e−iz 2i = eix− e−ix 2i = sen(x)
o que mostra que as defini¸c˜oes de cos(z) e de sen(z) s˜ao boas , pois quando y = 0 as fun¸c˜oes cosseno e seno complexas transformam-se nas fun¸c˜oes cosseno e seno reais. Al´em disso, pode-se mostar sem grandes dificuldades que as fun¸c˜oes cosseno e seno complexas gozam de algumas propriedades an´alogas as das fun¸c˜oes cosseno e seno reais, como por exemplo,
cos(−z) = cos(z), sen(−z) = −sen(z) cos2z + sen2(z) = 1
cos (z1± z2) = cosz1cosz2∓ senz1senz2 sen (z1± z2) = senz1cosz2± senz2cosz1 sen(2z) = 2sen(z)cos(z), cos(2z) = cos2z − sen2z
Uma outra forte analogia entre as fun¸c˜oes cosseno e seno complexas e as fun¸c˜oes cosseno e senos reais ´e que ambas s˜ao peri´odicas de per´ıodo 2π, o que pode ser justificado pelas igualdades: cos (z + 2π) = e i(z+2π)+ e−i(z+2π) 2 = eiz+2πi+ e−iz−2πi 2 = eiz+ e−iz 2 = cos(z) sen (z + 2π) = e i(z+2π)− e−i(z+2π) 2i = eiz+2πi− e−iz−2πi 2 = eiz− e−iz 2i = sen(z)
visto que ei(z+2π) = eiz+2πi = eiz e e−i(z+2π) = e−iz−2πi = e−iz, pois, como j´a vimos, a fun¸c˜ao exponencial complexa possui per´ıodo 2πi. Apesar destas fortes analogias, as fun¸c˜oes cosseno e seno complexas tamb´em possuem grandes diferen¸cas em rela¸c˜ao as fun¸c˜oes cosseno e seno reais. Uma das mais marcantes ´e que as fun¸c˜oes cosseno e seno complexas s˜ao ilimitadas, ao contr´atrio das fun¸c˜oes cosseno e seno reais que cumprem a condi¸c˜ao −1 ≤ cos(x) ≤ 1 e −1 ≤ sen(x) ≤ 1 para todo x real. Por exemplo, cosi = 1, 5431, onde i = √−1, o que pode ser verificado fazendo z = i em cos(z) = eiz+e2−iz, conforme ilustramos a seguir: cos(i) = e i.i+ e−i.i 2 = ei2+ e−i2 2 = e−1+ e 2 = 1, 5431
Assim, no campo dos n´umeros complexos, a equa¸c˜ao sen(z) = 5 possui solu¸c˜ao. Vejamos: sen(z) = 5⇒ e iz− e−iz 2i = 5⇒ e iz− e−iz= 10i⇒ eiz− 1 eiz − 10i = 0⇒ e
2iz+ 10ieiz− 1 = 0⇒eiz2+ 10ieiz− 1 = 0
que ´e uma equa¸c˜ao quadr´atica em eiz. Resolvendo essa equa¸c˜ao obtemos:
eiz= 10i± √ −96 2 = 5i± 2 √ 6i = 5± 2√6 i Assim, eiz= 5 + 2 √ 6 i⇒ iz = `n 5i + 2 √ 6i ⇒ z = −i.`n 5i + 2 √ 6i
Como5 + 2√6i´e um n´umero imagin´ario puro e 5+2√6 > 0, segue que argh5 + 2√6ii=
π 2 + 2kπ, logo z = −i.`n 5i + 2 √ 6i = −i h `n 5 + 2 √ 6 + i π 2 + 2kπ i = π 2 + 2kπ −i.`n 5 + 2 √ 6
onde k ∈ Z. Procedendo de modo an´alogo, segue que: eiz= 5 − 2 √ 6 i⇒ iz = `n 5 − 2 √ 6 i⇒ z = −i.`n 5 − 2 √ 6 i = (4k + 1) π 2 − i.`n 5 − 2 √ 6
onde k ∈ Z. O que nos mostra que, no campo dos n´umeros complexos, a equa¸c˜ao sen(z) = 5 possui infinitas solu¸c˜oes.
Para finalizarmos vamos analizar a equa¸c˜ao 1x = 3. Evidentemente que no campo dos n´umeros reais a equa¸c˜ao 1x = 3 n˜ao possui solu¸c˜ao, visto que 1x= 1 para todo x real. J´a
no campo dos n´umeros complexos podemos proceder da seguinte forma: fazendo θ = 2kπ, com k ∈ Z, na f´ormula de Euler eiθ= cosθ + i.senθ, obtemos
ei2kπ= cos2kπ + isen2kπ = 1 + i.0 = 1 portanto, 1z= 3⇒ ei2kπ z = e`n3⇒ e2kπiz= e`n3⇒ 2kπiz = `n3⇒ z = `n3 2kπi ⇒ z = −`n3 2kπi, com k ∈ Z
o que nos mostra que a equa¸c˜ao 1z= 3 possui infinitas solu¸c˜oes no campo dos n´umeros complexos. Surpreendente, n˜ao?!
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Referˆ
encias
[1]Posamentier, Alfred - The Art of Problem Solving, Corwin press. [2]Maor, Eli - Trigonometric Deligths, Princeton Universit Press.
[3]Zill, Dennis G - Curso Introdut´orio de`a an´alise Complexa com Aplica¸c˜oes, LTC. [4]RPM 77 - Revista do Professor de Matem´atica, SBM.