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Determinantes. Prof. Márcio Nascimento

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Academic year: 2021

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(1)

Determinantes

Prof. M´arcio Nascimento

Universidade Estadual Vale do Acara´u Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnologia

Curso de Licenciatura em Matem´atica Disciplina: ´Algebra Matricial - 2015.2

(2)

Sum´

ario

1 Permuta¸c˜oes

2 Determinante

3 Casos Particulares

(3)

1 Permuta¸c˜oes

2 Determinante

3 Casos Particulares

(4)

Uma permuta¸c˜ao de (1, 2, 3, ..., n) ´e uma disposi¸c˜ao qualquer desses n´umeros.

Ex: (3, 2, 1) ´e uma permuta¸c˜ao de (1, 2, 3)

Ex: (5, 3, 1, 4, 2) ´e uma permuta¸c˜ao de (1, 2, 3, 4, 5) Ex: (1, 2, 3, 4, 5, 6) ´e uma permuta¸c˜ao de (1, 2, 3, 4, 5, 6)

(5)

Podemos reordenar uma permuta¸c˜ao de modo a obter a sequˆencia natural (1, 2, 3, ..., n) trocando os elementos de posi¸c˜ao dois a dois. Por exemplo, considere a permuta¸c˜ao (5, 3, 1, 2, 4).

Vamos realizar trocas de posi¸c˜ao entre dois elementos at´e que obtenhamos a sequˆencia (1, 2, 3, 4, 5).

Troca 01:(5, [3], [1], 2, 4) → (5, [1], [3], 2, 4); Troca 02:(5, 1, 3, [2], [4]) → (5, 1, 3, [4], [2]); Troca 03:([5], 1, 3, 4, [2]) → ([2], 1, 3, 4, [5]); Troca 04:([2], [1], 3, 4, [5]) → ([1], [2], 3, 4, 5);

(6)

Portanto, foram necess´arios k = 4 passos para reordenar a

permuta¸c˜ao (5, 3, 1, 2, 4). Como k ´e um n´umero par, dizemos que a permuta¸c˜ao ´e par.

Mesmo que tentemos outro caminho na reordena¸c˜ao, tamb´em

ser´a necess´ario um n´umero par de trocas.

Se tom´assemos (5, 1, 3, 2, 4), esta seria uma permuta¸c˜ao ´ımpar.

Da´ı, atribuimos um sinal `a paridade da permuta¸c˜ao, o n´umero σ(p);

Se uma permuta¸c˜ao p ´e par, ent˜ao σ(p) = +1; Se uma permuta¸c˜ao p ´e ´ımpar, ent˜ao σ(p) = −1;

(7)

1 Permuta¸c˜oes

2 Determinante

3 Casos Particulares

(8)

Considere uma matriz quadrada de ordem 3 × 3 A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  

Escolhamos um elemento em cada linha de A de modo que n˜ao se repita a coluna. Por exemplo: A =   a11 [a12] a13 a21 a22 [a23] [a31] a32 a33  

Assim, ordenando por linha, a sequˆencia escolhida foi:

(9)

Observe o segundo ´ındice de cada elemento do conjunto (a12, a23, a31)

Temos o conjunto p = (2, 3, 1), que ´e uma permuta¸c˜ao de

(1, 2, 3)

Tal permuta¸c˜ao ´e par pois σ(p) = +1 (duas trocas s˜ao necess´arias!);

Consideremos, ent˜ao, o produto

(10)

Retornando a matriz A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  

Podemos fazer o mesmo procedimento com as outras possibilidades, como por exemplo:

A =   [a11] a12 a13 a21 [a22] a23 a31 a32 [a33]   (a11, a22, a33), p = (1, 2, 3) e σ(p) = +1

(11)

Tomando, ent˜ao, todas as possibilidades para a matriz A, teremos os seguintes produtos: σ(p).a11.a22.a33, onde p = (1, 2, 3), σ(p) = +1 σ(p).a12.a23.a31, onde p = (2, 3, 1), σ(p) = +1 σ(p).a13.a21.a32, onde p = (3, 1, 2), σ(p) = +1 σ(p).a13.a22.a31, onde p = (3, 2, 1), σ(p) = −1 σ(p).a11.a23.a32, onde p = (1, 3, 2), σ(p) = −1 σ(p).a12.a21.a33, onde p = (2, 1, 3), σ(p) = −1

(12)

Definimos o determinante de A como a soma de todos os produtos definidos anteriormente, isto ´e:

det(A) =

σ(p).a11.a22.a33+ σ(p).a12.a23.a31+ σ(p).a13.a21.a32+

σ(p).a13.a22.a31+ σ(p).a11.a23.a32+ σ(p).a12.a21.a33

Ou, usando nota¸c˜ao de somat´orio,

det(A) =X

p

σ(p)a1p1.a2p2.a3p3

(13)

A ideia usada para matrizes de ordem 3 × 3 pode ser estendida para matrizes quadradas de ordem n × n:

det(A) =X

p

σ(p)a1p1.a2p2. · · · .anpn

(14)

Sum´

ario

1 Permuta¸c˜oes

2 Determinante

3 Casos Particulares

(15)

A partir da defini¸c˜ao, vimos que para o caso de matrizes 2 × 2, o deteminante era a diferen¸ca entre os produtos das diagonais:

A =  a11 a12 a21 a22  det(A) = a11.a22− a12.a21.

(16)

De modo an´alogo, deduzimos a regra de Sarrus para os determinantes de matrizes de ordem 3 × 3:

A =   a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32   det(A) = a11.a22.a33+ a12.a23.a31+ a13.a21.a32− a13.a22.a31− a11.a23.a32− a12.a21.a33.

(17)

Qual o determinante da matriz abaixo? A =     3 1 6 4 1 0 1 −1 0 2 2 1 1 0 0 1     Resposta... 21

(18)

Qual o determinante de uma matriz triangular? det(A) = a11.a22. · · · .ann

(19)

O que acontece com o determinante da transposta AT?

(20)

Observa¸c˜oes:

Suponha que uma matriz quadrada de ordem 20 tem uma coluna completamente nula. O que se pode dizer sobre o determinante desta matriz?

(21)

Considere a matriz A =   1 α 0 4 5 3 1 0 2  

Para qual (ou quais) valor(es) de α tem-se det(A) = 0?

Neste caso, qual o posto de A?

H´a colunas n˜ao b´asicas? Em caso afirmativo, como

(22)

Sum´

ario

1 Permuta¸c˜oes

2 Determinante

3 Casos Particulares

(23)

I =      1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · 1     

Lembrando que as opera¸c˜oes elementares sobre as linhas de

uma matriz s˜ao:

1 Permuta de linhas;

2 Multiplica¸c˜ao de linha por escalar;

(24)

O que acontece com o determinante de uma matriz elementar?

1 Mudan¸ca de linha, provoca mudan¸ca no sinal do determinante;

2 Multiplica¸c˜ao de linha por escalar α, significa multiplicar o deteminante por α

(25)

Dada uma matriz A quadrada, o que acontece se fizermos o

produto E .A onde E ´e uma matriz elementar?

Considere a matriz A =   −1 3 2 0 1 −3 4 3 1   Considere a matriz E1 =   0 1 0 1 0 0 0 0 1  

Qual o resultado de E1.A?

E1.A =   0 1 −3 −1 3 2  

(26)

Considerando ainda a matriz A =   −1 3 2 0 1 −3 4 3 1   e as matrizes elementares E2=   1 0 0 0 1 0 0 0 3  , E3 =   1 1 0 0 1 0 0 0 1  

Qual o resultado de E2.A?

(27)

Conclus˜ao:

Aplicar uma opera¸c˜ao elementar em uma matriz A

corresponde ao produto

E .A

onde E ´e a matriz elementar correspondente a opera¸c˜ao sobre as linhas de A

(28)

Teorema

Sejam A e B matrizes de ordem n × n. Ent˜ao

det(AB) = det(A).det(B)

Da´ı, se realizarmos uma opera¸c˜ao elementar em A, estaremos

mudando o determinante de A de acordo com o que vimos anteriormente para as matrizes elementares.

(29)

Considere a matriz A =3 2

1 1

 .

Se E1 ´e a matriz de ordem 2 × 2 obtida por meio de

permuta¸c˜ao entre as linhas de I2, determine E1.A.

Se E2 ´e a matriz de ordem 2 × 2 obtida de I2 pela

multiplica¸c˜ao de sua linha 2 por −1

3, determine a matriz

E2.E1.A.

Se E3´e a matriz de ordem 2 × 2 obtida de I2 pela substitui¸c˜ao

de sua linha 2 pela soma das linhas 1 e 2, determine a matriz E3.E2.E1.A.

(30)

Exemplo

No exemplo anterior, aconteceu o seguinte:

Constru´ımos a matriz T = E3.E2.E1.A onde E3, E2, E1 s˜ao

matrizes elementares!

Veja que T ´e uma matriz triangular, cujo determinante ´e

simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal principal.

Pelo teorema anterior, detT = detE3.detE2.detE1.detA

Ou seja,

detA = detT

(31)

Generalizando,

detA = detT

detEk.detEk−1. · · · .detE1

Veja que se ao final do escalonamento, a matriz n˜ao tiver

posto m´aximo, ent˜ao o(s) ´ultimo(s) elemento(s) da diagonal principal ´e(s˜ao) nulo(s).

Isso significa que det T = 0 e, consequentemente, det A = 0. TEOREMA

(32)

Exemplo

Exemplo: Calcular o determinante de A =     1 0 1 −1 3 1 4 2 5 1 0 1 3 1 2 1     Resposta... 8

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