Determinantes
Prof. M´arcio Nascimento
Universidade Estadual Vale do Acara´u Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnologia
Curso de Licenciatura em Matem´atica Disciplina: ´Algebra Matricial - 2015.2
Sum´
ario
1 Permuta¸c˜oes
2 Determinante
3 Casos Particulares
1 Permuta¸c˜oes
2 Determinante
3 Casos Particulares
Uma permuta¸c˜ao de (1, 2, 3, ..., n) ´e uma disposi¸c˜ao qualquer desses n´umeros.
Ex: (3, 2, 1) ´e uma permuta¸c˜ao de (1, 2, 3)
Ex: (5, 3, 1, 4, 2) ´e uma permuta¸c˜ao de (1, 2, 3, 4, 5) Ex: (1, 2, 3, 4, 5, 6) ´e uma permuta¸c˜ao de (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Podemos reordenar uma permuta¸c˜ao de modo a obter a sequˆencia natural (1, 2, 3, ..., n) trocando os elementos de posi¸c˜ao dois a dois. Por exemplo, considere a permuta¸c˜ao (5, 3, 1, 2, 4).
Vamos realizar trocas de posi¸c˜ao entre dois elementos at´e que obtenhamos a sequˆencia (1, 2, 3, 4, 5).
Troca 01:(5, [3], [1], 2, 4) → (5, [1], [3], 2, 4); Troca 02:(5, 1, 3, [2], [4]) → (5, 1, 3, [4], [2]); Troca 03:([5], 1, 3, 4, [2]) → ([2], 1, 3, 4, [5]); Troca 04:([2], [1], 3, 4, [5]) → ([1], [2], 3, 4, 5);
Portanto, foram necess´arios k = 4 passos para reordenar a
permuta¸c˜ao (5, 3, 1, 2, 4). Como k ´e um n´umero par, dizemos que a permuta¸c˜ao ´e par.
Mesmo que tentemos outro caminho na reordena¸c˜ao, tamb´em
ser´a necess´ario um n´umero par de trocas.
Se tom´assemos (5, 1, 3, 2, 4), esta seria uma permuta¸c˜ao ´ımpar.
Da´ı, atribuimos um sinal `a paridade da permuta¸c˜ao, o n´umero σ(p);
Se uma permuta¸c˜ao p ´e par, ent˜ao σ(p) = +1; Se uma permuta¸c˜ao p ´e ´ımpar, ent˜ao σ(p) = −1;
1 Permuta¸c˜oes
2 Determinante
3 Casos Particulares
Considere uma matriz quadrada de ordem 3 × 3 A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
Escolhamos um elemento em cada linha de A de modo que n˜ao se repita a coluna. Por exemplo: A = a11 [a12] a13 a21 a22 [a23] [a31] a32 a33
Assim, ordenando por linha, a sequˆencia escolhida foi:
Observe o segundo ´ındice de cada elemento do conjunto (a12, a23, a31)
Temos o conjunto p = (2, 3, 1), que ´e uma permuta¸c˜ao de
(1, 2, 3)
Tal permuta¸c˜ao ´e par pois σ(p) = +1 (duas trocas s˜ao necess´arias!);
Consideremos, ent˜ao, o produto
Retornando a matriz A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
Podemos fazer o mesmo procedimento com as outras possibilidades, como por exemplo:
A = [a11] a12 a13 a21 [a22] a23 a31 a32 [a33] (a11, a22, a33), p = (1, 2, 3) e σ(p) = +1
Tomando, ent˜ao, todas as possibilidades para a matriz A, teremos os seguintes produtos: σ(p).a11.a22.a33, onde p = (1, 2, 3), σ(p) = +1 σ(p).a12.a23.a31, onde p = (2, 3, 1), σ(p) = +1 σ(p).a13.a21.a32, onde p = (3, 1, 2), σ(p) = +1 σ(p).a13.a22.a31, onde p = (3, 2, 1), σ(p) = −1 σ(p).a11.a23.a32, onde p = (1, 3, 2), σ(p) = −1 σ(p).a12.a21.a33, onde p = (2, 1, 3), σ(p) = −1
Definimos o determinante de A como a soma de todos os produtos definidos anteriormente, isto ´e:
det(A) =
σ(p).a11.a22.a33+ σ(p).a12.a23.a31+ σ(p).a13.a21.a32+
σ(p).a13.a22.a31+ σ(p).a11.a23.a32+ σ(p).a12.a21.a33
Ou, usando nota¸c˜ao de somat´orio,
det(A) =X
p
σ(p)a1p1.a2p2.a3p3
A ideia usada para matrizes de ordem 3 × 3 pode ser estendida para matrizes quadradas de ordem n × n:
det(A) =X
p
σ(p)a1p1.a2p2. · · · .anpn
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1 Permuta¸c˜oes
2 Determinante
3 Casos Particulares
A partir da defini¸c˜ao, vimos que para o caso de matrizes 2 × 2, o deteminante era a diferen¸ca entre os produtos das diagonais:
A = a11 a12 a21 a22 det(A) = a11.a22− a12.a21.
De modo an´alogo, deduzimos a regra de Sarrus para os determinantes de matrizes de ordem 3 × 3:
A = a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 det(A) = a11.a22.a33+ a12.a23.a31+ a13.a21.a32− a13.a22.a31− a11.a23.a32− a12.a21.a33.
Qual o determinante da matriz abaixo? A = 3 1 6 4 1 0 1 −1 0 2 2 1 1 0 0 1 Resposta... 21
Qual o determinante de uma matriz triangular? det(A) = a11.a22. · · · .ann
O que acontece com o determinante da transposta AT?
Observa¸c˜oes:
Suponha que uma matriz quadrada de ordem 20 tem uma coluna completamente nula. O que se pode dizer sobre o determinante desta matriz?
Considere a matriz A = 1 α 0 4 5 3 1 0 2
Para qual (ou quais) valor(es) de α tem-se det(A) = 0?
Neste caso, qual o posto de A?
H´a colunas n˜ao b´asicas? Em caso afirmativo, como
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2 Determinante
3 Casos Particulares
I = 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · 1
Lembrando que as opera¸c˜oes elementares sobre as linhas de
uma matriz s˜ao:
1 Permuta de linhas;
2 Multiplica¸c˜ao de linha por escalar;
O que acontece com o determinante de uma matriz elementar?
1 Mudan¸ca de linha, provoca mudan¸ca no sinal do determinante;
2 Multiplica¸c˜ao de linha por escalar α, significa multiplicar o deteminante por α
Dada uma matriz A quadrada, o que acontece se fizermos o
produto E .A onde E ´e uma matriz elementar?
Considere a matriz A = −1 3 2 0 1 −3 4 3 1 Considere a matriz E1 = 0 1 0 1 0 0 0 0 1
Qual o resultado de E1.A?
E1.A = 0 1 −3 −1 3 2
Considerando ainda a matriz A = −1 3 2 0 1 −3 4 3 1 e as matrizes elementares E2= 1 0 0 0 1 0 0 0 3 , E3 = 1 1 0 0 1 0 0 0 1
Qual o resultado de E2.A?
Conclus˜ao:
Aplicar uma opera¸c˜ao elementar em uma matriz A
corresponde ao produto
E .A
onde E ´e a matriz elementar correspondente a opera¸c˜ao sobre as linhas de A
Teorema
Sejam A e B matrizes de ordem n × n. Ent˜ao
det(AB) = det(A).det(B)
Da´ı, se realizarmos uma opera¸c˜ao elementar em A, estaremos
mudando o determinante de A de acordo com o que vimos anteriormente para as matrizes elementares.
Considere a matriz A =3 2
1 1
.
Se E1 ´e a matriz de ordem 2 × 2 obtida por meio de
permuta¸c˜ao entre as linhas de I2, determine E1.A.
Se E2 ´e a matriz de ordem 2 × 2 obtida de I2 pela
multiplica¸c˜ao de sua linha 2 por −1
3, determine a matriz
E2.E1.A.
Se E3´e a matriz de ordem 2 × 2 obtida de I2 pela substitui¸c˜ao
de sua linha 2 pela soma das linhas 1 e 2, determine a matriz E3.E2.E1.A.
Exemplo
No exemplo anterior, aconteceu o seguinte:
Constru´ımos a matriz T = E3.E2.E1.A onde E3, E2, E1 s˜ao
matrizes elementares!
Veja que T ´e uma matriz triangular, cujo determinante ´e
simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal principal.
Pelo teorema anterior, detT = detE3.detE2.detE1.detA
Ou seja,
detA = detT
Generalizando,
detA = detT
detEk.detEk−1. · · · .detE1
Veja que se ao final do escalonamento, a matriz n˜ao tiver
posto m´aximo, ent˜ao o(s) ´ultimo(s) elemento(s) da diagonal principal ´e(s˜ao) nulo(s).
Isso significa que det T = 0 e, consequentemente, det A = 0. TEOREMA
Exemplo
Exemplo: Calcular o determinante de A = 1 0 1 −1 3 1 4 2 5 1 0 1 3 1 2 1 Resposta... 8