física na colisao

Capítulo 9

Colisões

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Definiremos colisão como uma interação com duração limitada entre dois corpos. Em uma colisão, a força externa resultante que atua sobre os corpos poderá ser desprezada em relação às forças envolvidas na colisão.

Conservacão do momento linear

Analisaremos situações em que se considera

F

_ext

= 0

, assim o momento linear total do sistema se conserva (

P

é constante).

f i

⇒

P

=

P

Vamos supor que os dois corpos que colidem têm massas

m

₁ e

m

₂.

1f

+

2f

=

1i

+

2i

p

p

p

p

⇒

m

₁

v

_1f

+

m

₂

v

_2f

=

m

₁

v

_1i

+

m

₂

v

_2i

Conservação da energia (colisões elásticas e inelásticas)

A energia total do sistema conserva-se em qualquer colisão. Entretanto, a energia mecânica nem sempre se conserva. Parte da energia cinética pode ser

transformada em calor ou deformação, por exemplo.

Colisão elástica é aquela em que a energia mecânica se conserva.

Colisão inelástica é aquela em que a energia mecânica não é conservada.

Balanço de energia mecânica durante uma colisão: 1f 2f 1i 2i

K

+

K

=

K

+

K

− ∆

U

2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1

1

1

1

v

v

v

v

2

m

f

2

m

f

2

m

i

2

m

i

U

⇒

+

=

+

− ∆

válido para toda colisão

onde

∆U

representa a perda de energia mecânica do sistema. Se

∆U

>

0

, a energia cinética do sistema diminui com a colisão.

Se

∆U = 0

, a energia cinética do sistema não varia e a colisão é elástica. Se

∆U < 0

, a energia cinética do sistema aumenta com a colisão.

Colisões em uma dimensão

Quando duas partículas sofrem uma colisão frontal, todo o movimento, tanto antes quanto depois da colisão, ocorre em uma única direção.

Neste caso as velocidades podem ser manipuladas como escalares.

Exemplo – Uma bola com massa

100 g

é atirada com uma velocidade de

5,00

m/s

contra outra bola de massa

250 g

que se encontra em repouso. Após uma colisão frontal a bola que estava parada adquire uma velocidade igual a

1,60 m/s

na mesma direção e sentido da primeira. a) Calcule a velocidade da primeira bola após o choque. b) Analise o balanço energético desta colisão.

a)

m

_{1 1}

v

_f

+

m

₂

v

_2f

=

m

_{1 1}

v

_{i 1} 1 1 2 2 1

v

v

v

_f

m

i

m

f

m

−

⇒

=

2 1 2 1

v

_i

m

v

_f

m

=

−

1

250 g

v

5, 00 m/s

1, 60 m/s

1, 00 m/s

100 g

f

⇒

=

−

x

=

b) 2 1 1 1 v 2 i i K = m 1 0,100 kg 25,0 m /s2 2 1, 25 J 2 = x = 2 2 1 1 2 2 1 1 v v 2 2 f f f K = m + m 1 0,100 kg (1,00) m /s2 2 2 1 0,250 kg (1,60) m /s2 2 2 0, 740 J 2 2 = x + x =

Exemplo – Uma bola com massa de

200 g

, com velocidade de

20 m/s

, colide frontalmente com outra bola com massa de

400 g

, em repouso, e na colisão o sistema perde metade de sua energia cinética. Calcule as velocidades das bolas após a colisão. 1 1

v

f 2

v

2f 1 1

v

i

m

m

m

⇒

+

=

⇒

m

v

_1f

+

2 v

m

_2f

=

m

v

_1i 1f 2f 1i

p

+

p

=

p

(1)

1

2

f i

K

=

K

1

v

₁2

1

2 v

2₂

1

v

₁2

2

m

f

2

m

f

4

m

i

⇒

+

=

2 2 2 1 2 1

1

v

2v

v

2

f f i

⇒

+

=

(2) 1 1 2

v

_f

=

v

_i

−

2v

_f (3) De (1) (3) em (2):

(v

₁

2v )

₂ 2

2v

2₂

1

v

₁2

2

i

−

f

+

f

=

i 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1

1

v

4v v

4v

2v

v

2

i i f f f i

⇒

−

+

+

=

2 2 2 1 2 1

12v

_f

8v v

_{i f}

v

_i

0

⇒

−

+

=

1 1 2

2v

v

v

6

i i f

±

⇒

=

1 1 2 2

v

v

v

ou v

2

6

i i f f

⇒

=

=

1 2 1

v

v

, v

0

2

i f

=

f

=

Se

v

₂

v

1

, v

₁

2v

1

6

3

i i f

=

f

=

Se

a primeira bola não pode ultrapassar a segunda

2 1

20 m/s

v

= 10 m/s, v

0

2

f f

⇒

=

=

Colisão inelástica com máxima perda de energia

Veremos no próximo capítulo (rotações) que podemos descrever o movimento das partículas de um sistema como movimento de translação do centro de massa e movimento das partículas em relação ao centro de massa do sistema.

Definimos colisões como situações em que se considera

F

_ext

= 0

, assim o momento linear total do sistema se conserva (

P

é constante).

Como

P=Mv

_CM, se

P

é constante,

v

_CM também o será.

Ou seja, uma colisão pode alterar a velocidade das partículas em relação ao CM, mas não tem como alterar a velocidade do próprio centro de massa do sistema.

Uma colisão com máxima perda de energia será então aquela em que as partículas que compoem o sistema ficam juntas com

v=v

_CM após a colisão, pois neste caso toda a energia cinética devida ao movimento das partículas em relação ao CM do sistema terá sido perdida.

Vamos considerar a colisão de duas partículas em um referencial onde a partícula 2 está inicialmente parada e a partícula 1 tem

v

_1i

=v

.

1 1f 2 2f 1

m

m

m

⇒

v

+

v

=

v

1f

=

2f

=

f

v

v

v

No caso de colisão com máxima perda de energia teremos:

1 2 1

(

m

m

)

_f

m

⇒

+

v

=

v

1 1 2 f

m

m

m

⇒

=

+

v

v

(1)

As energias cinéticas inicial e final serão 2 1

1

v

2

i

K

=

m

1 2 2

1

(

+

)v

2

f f

K

=

m m

e (2) 2 2 1 1 2 ₂ 1 2

1

(

+

)

v

2

(

+

)

f

m

K

m m

m m

=

12 2 1 2

1

v

2 (

+

)

f

m

K

m m

⇒

=

(1) em (2):

A energia perdida pelo sistema será 2 2 1 2 1 1 2

1

1

v

v

2

2 (

+

)

i f

m

U

K

K

m

m m

∆ =

−

=

−

12 1 2 12 2 1 2

(

)

1

v

2

(

+

)

m

m m

m

m m

+

−

=

1 2 2 1 2

1

v

2 (

+

)

m m

m m

=

2 1 2

(

+

)

i

m

U

K

m m

⇒ ∆ =

Colisões elásticas em uma dimensão

Vamos considerar duas partículas de massas

m

₁ e

m

₂ que sofrem uma colisão elástica frontal em um referencial onde a partícula 2 está inicialmente parada e a partícula 1 tem

v

_1i

= v

.

Devido à conservação do momento linear e da energia mecânica neste caso teremos: 1 1

v

f 2

v

2f 1

m

+

m

=

m v

2 2 1 1 2 2 1

1

1

1

v

v

2

m

f

+

2

m

f

=

2

m

(1)

2 equações com 2 incógnitas, v_1f e v_2f

2

v

(2) 1 2 1 2

v

_f

m

(v

v )

_f

m

=

−

(3) De (1) (3) em (2): 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2

v

_f

m

(v

2vv

_f

v )

_f

v

m

m

m

+

−

+

=

2 2 2 2 2

v

1f 1

v

2

1

vv

1f 1

v

1f 2

v

m

m

m

m

m

⇒

+

−

+

=

2 2 1 2 1 1 1 1 2

(

m

m

)v

_f

2

m

vv

_f

(

m

m

)v

0

⇒

+

−

+

−

=

1 2 1 1 2

(

)

v

v

(

)

f

m

m

m

m

−

=

+

2 1 1 2

2

v

v

(

)

f

m

m

m

=

+

e eq. de 2o _{grau em v} 1f

1 2 1 1 2

(

)

v

v

(

)

f

m

m

m

m

−

=

+

1 2 1 2

2

v

v

(

)

f

m

m

m

=

+

e

Analisando as equações acima vemos que •

v

_2f tem sempre o mesmo sentido de

v

•

v

_1f tem o mesmo sentido de

v

se

m

₁

> m

₂

•

v

_1f tem sentido oposto de

v

se

m

₁

< m

₂ partícula 1 colide e volta

•

v

_1f

= 0 e v

_2f

= v

se

m

₁

= m

₂ partícula 1 colide e pára

Casos em que as massas são muito diferentes

•

S

e

m

₁

<< m

₂

, v

_1f

= −v e v

_2f

= 0

bola de sinuca na tabela

•

S

e

m

₁

>> m

₂

, v

_1f

= v e v

_2f

= 2v

carro que colide com pedestre

A colisão de dois corpos de massas muito diferentes pode ser usada para aumentar a velocidade de uma nave ao passar perto de um planeta.

No referencial da Terra No referencial do planeta

v’_f = − (v_i+V) v_f = − (v_i+2V)

−V

v_i v’_i = v_i+V

Vista da Terra, a nave se aproxima do planeta com velocidade oposta à do planeta. A nave contorna o planeta sob o efeito da gravidade deste e retorna na direção oposta àquela em que se aproximou do planeta.

Trata-se de uma colisão como definimos no começo do capítulo, ela é elástica e pode ser tratada como unidimensional.

No referencial do planeta (partícula 2 inicialmente parada, como as eqs. que deduzimos), a nave tem velocidade inicial

v’

_i

= v

_i

+V

.

Como

m

₁

<< m

₂

, v’

_f

= −v’

_i

= −

(

v

_i

+V)

e a velocidade do planeta não se altera. No referencial da Terra, a nave retorna com velocidade

v

_f

= v’

_f

−V= −(v

_i

+2V).

Analisamos colisões elásticas em uma dimensão para situações em que

v

_2i

=0

. Neste caso as velocidades finais das partículas são dadas por

1 2 1 1 1 2

(

)

v

v

(

)

f i

m

m

m

m

−

=

+

1 2 1 1 2

2

v

v

(

)

f i

m

m

m

=

+

e (1)

Para situações em que ambas as partículas estão inicialmente em movimento, basta mudar o referencial das equações acima.

Seja R₁ o referencial onde

v

_2i

= 0

e R₂ um referencial onde a partícula 2 tem velocidade

V

_2i. O referencial R₂ tem velocidade

V

_2i em relação a R₁.

R₂

V_1i V_2i

V_2i em relação a R₁

R₁

v_1i v_2i= 0

As velocidades medidas em R₁ (

v

_n) relacionam-se com as medidas em R₂ (

V

_n): 2

Em R₁: 1 2 1 1 1 2

(

)

v

v

(

)

f i

m

m

m

m

−

=

+

2 1 1 1 2

2

v

v

(

)

f i

m

m

m

=

+

e

As velocidades medidas em R₁ (

v

_n) relacionam-se com as medidas em R₂ (

V

_n): 2

v

_n

=

V

_n

−

V

_i Em R₂: 1 2 1 2 1 2 1 2

V

_f

V

_i

m

m

(V

_i

V )

_i

m

m

−

−

=

−

+

1 1 2 1 2 2 1 2 1 2

2

V

_f

m

m

V

_i

m

V

_i

m

m

m

m

−

⇒

=

+

+

+

1 2 2 1 2 1 2

2

V

_f

V

_i

m

(V

_i

V )

_i

m

m

−

=

−

+

2 2 1 2 1 1 1 2 1 2

2

V

_f

m

m

V

_i

m

V

_i

m

m

m

m

−

⇒

=

+

+

+

Velocidades das duas partículas após a colisão em um referencial (R₂) onde ambas têm velocidade inicial.

Colisões elásticas em duas dimensões

No caso geral de colisão entre duas partículas, o evento ocorre em três dimensões. Se a segunda partícula estiver inicialmente parada, a colisão pode ser descrita em duas dimensões. O movimento inicial da partícula 1 define uma reta e a posição inicial da partícula 2 define um ponto. Os dois juntos definem um plano. Colisão elástica, não frontal, entre a partícula 1 de massa

m

₁ e

v

_1i

=v

_1i

i

e a

partícula 2 de massa

m

₂, inicialmente em repouso.

θ

φ

x

y

v

_1i

v

_1f

v

_2f b

v

_2f bÆparâmetro de impacto Se b=0, colisão frontal

θ φ x y v_1i v_1f v_2f b v_2f x y _v 1f v_2f θ φ

Usando as leis de conservação da energia e do momento linear temos:

2 2 2 1 1 1 1 2 2

1

1

1

v

v

v

2

m

i

=

2

m

f

+

2

m

f 1 1i 1 1f 2 2f

m

v

=

m

v

+

m

v

m

1 1

v

i

=

m

1 1

v cos

f

θ

+

m

2

v

2f

cos

φ

1 1 2 2

0

=

m

v sen

_f

θ

−

m

v sen

_f

φ

No eixo x No eixo y

Temos 4 incógnitas,

v

_1f,

v

_2f,

θ

,

φ

, e apenas 3 equações.

Caso particular: partículas de massas iguais

Neste caso as equações de conservação da energia e do momento tornam-se

v_1f v_2f v_1i θ φ 2 2 2 1 1 2

v

_i

=

v

_f

+

v

_f 1i

=

1f

+

2f

v

v

v

v

_1i é a soma vetorial de

v

_1f e

v

_2f

v

2

1i é a soma dos quadrados dos módulos de

v

1f e

v

2f

Pelo teorema de Pitágoras conclui-se que esses três vetores formam um triângulo retângulo e

v

_1f e

v

_2f são ortogonais entre si.

2

π

θ φ

⇒ + =

Com esta condição extra é possivel resolver o sistema de equações de momento e energia e determinar v_1f, v_2f, θ e φ.

Exemplo – Uma bola de sinuca, com velocidade de

10,0 m/s

, colide com outra de massa igual, e sua trajetória sofre um desvio de

60

o

_,0

_{. Calcule as velocidades das}

duas bolas após a colisão.

Partículas de massas iguais e colisão elástica, então

θ + φ = π/2.

Como

θ=60

o, então

φ=30

o. 1 1

v

i 1 1

v cos

f 2

v

2f

cos

m

=

m

θ

+

m

φ

1 1 2 2

0

=

m

v sen

_f

θ

−

m

v sen

_f

φ

1 1 2

1

3

v

v

v

2

2

i

=

f

+

10 m/s 8,7 m/s 5,0 m/s 60 30 v_1f v_2f x y (3) em (1) f (1) 2 1

3

v

v

2

f

=

i

=

8, 66 m/s

1 2

3

1

0

v

v

2

f

2

f

=

−

(2) 1 2

3

v

v

3

f

=

f

=

5, 00 m/s

1 2

3

v

v

3

f

=

f (3) De (2)