Integrais Múltiplos : Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas

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Transparências de apoio à lecciona¸cão de aulas teóricas

Vers˜ao 2 c

°2000, 1998 Maria Ant´onia Carravilla – FEUP

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Integrais Duplos

Generaliza¸c˜ao do conceito de integral a subconjuntos limitados de <2. Seja:

A⊂ <2 _limitado

f : A → < fun¸c˜ao limitada, f (x, y) ≥ 0 S = [a, b] × [c, d] ⊂ <2 _{tal que A ⊂ S.}

Nova fun¸c˜ao: g: S → <    se (x, y) ∈ A, g(x, y) = f (x, y) se (x, y) ∈ S \ A, g(x, y) = 0 Slide 3

Integrais Duplos

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Integrais Duplos

Seja P uma parti¸c˜ao de S:

P = {(x0, y0), (x0, y1), . . . (x0, ym), . . . (xn, y0), . . . (xn, ym)} tal que a = x0 < x1 < . . . < xn = b c= y0 < y1 < . . . < yn = d Slide 5

Integrais Duplos

Seja Mji = sup {g(x, y) : xj−1 ≤ x ≤ xj, yi−1 ≤ y ≤ yi} mji = inf {g(x, y) : xj−1 ≤ x ≤ xj, yi−1 ≤ y ≤ yi}

Assim, as somas superior e inferior relativamente à parti¸cão P são: Soma superior U(f, P ) =Pn

j=1

Pm

i=1Mji(xj− xj−1)(yi− yi−1)

Soma inferior L(f, P ) =Pn

j=1

Pm

i=1mji(xj − xj−1)(yi− yi−1)

Dado que:

mji ≤ Mji ∀j=1,...n ∀i=1,...m

Para qualquer parti¸c˜ao P de S:

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Integrais Duplos

Seja agora P1 um refinamento de P (qualquer subrectˆangulo definido por P1

está contido num subrectângulo definido por P ) Então:

L(f, P ) ≤ L(f, P1) ≤ U (f, P1) ≤ U (f, P )

Como f ´e limitada:

L = {L(f, P ) : P parti¸c˜ao de S} ´e um conjunto limitado superiormente supremo representa-se como: supL = I(f ) =R

Af (Integral inferior de f)

U = {U (f, P ) : P parti¸c˜ao de S} ´e um conjunto limitado inferiormente ´ınfimo representa-se como: inf U = I(f ) = R−

A f (Integral superior de f) I(f ) = Z A f ≤ Z − A f = I(f ) Slide 7

Integrais Duplos - Defini¸c˜

ao

A⊂ <2 _limitado

f : A → < fun¸cão limitada, f diz-se fun¸cão integrável (segundo Riemann) se:

Z A f = Z − A f

O integral de f em A representa-se por: Z A f = Z − A f = Z A f = Z Z A f(x, y)dxdy

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Integrais Duplos - Teorema de Fubini

Suponha que:

• S = [a, b] × [c, d], f : S → < ´e integr´avel

• ∀x∈[a,b] a fun¸cão fx : [c, d] → < definida por fx(y) = f (x, y) é integrável

(existe Rd c fx(y)dy) Ent˜ao: Z Z S f(x, y)dxdy = Z b a Ã Z d c f(x, y)dy ! dx A este processo chama-se integra¸c˜ao iterada.

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Integrais Duplos - Exemplo

Calcule os seguinte integral: Z Z

S

f(x, y)dxdy onde : f(x, y) = sin (x + y)

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Integrais Duplos - Conjuntos de medida nula

Defini¸cão: Seja A ⊂ <2. A diz-se um conjunto de medida nula se, para todo o ² ≥ 0 é poss´ıvel definir uma fam´ılia numerável de rectângulos (Si)i≥1 tais

que: A⊂ ∞ [ i=1 Si e ∞ X i=1 ´area Si < ² a a

Não é poss´ıvel determinar um escalar positivo que represente a área de A (A não tem ´

area em <2

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Integrais Duplos - Conjuntos de medida nula

• Se A é um conjunto finito de pontos isolados em <2 _{então é um}

conjunto de medida nula

• Em <2 _{qualquer recta tem medida nula}

• Seja φ : [a, b] → < cont´ınua. Ent˜ao

Gra φ=©(x, y) ∈ <2 _{: x ∈ [a, b], y = φ(x)ª tem medida nula.}

Teorema:

Seja S = [a, b] × [c, d] e f : S → < limitada.

f é integrável se e só se o conjunto de pontos de descontinuidade de f em S for um conjunto de medida nula.

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Integrais Duplos - Teorema (i)

Seja:

A =©(x, y) ∈ <2 _{: x ∈ [a, b], φ}

1(x) ≤ y ≤ φ2(x)

ª

Seja f : A → < limitada e cont´ınua no interior de A. Então f é integrável em A e:

Z Z A f(x, y)dxdy = Z b a Ã Z φ2(x) φ1(x) f(x, y)dy ! dx Slide 13

Integrais Duplos - Teorema (ii)

Seja:

B=©(x, y) ∈ <2 _{: y ∈ [c, d], ψ}

1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)

ª

Seja f : B → < limitada e cont´ınua no interior de B. Então f é integrável em A e:

Z Z B f(x, y)dxdy = Z d c Ã Z ψ2(y) ψ1(y) f(x, y)dx ! dy

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Integrais Duplos - Exemplo

Z Z A f(x, y)dxdy Slide 15

Integrais Duplos

Representa¸c˜ao geom´etrica de R R Af(x, y)dxdy • f (x, y) ≥ 0 ∀_(x,y)∈A • f (x, y) = 1

A

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Integrais Duplos - Mudan¸cas de vari´

avel

Teorema:

Sejam D∗ _{e D subconjuntos de <}2_.

Seja

F : D∗ _{→ D}

(u, v) ; (x(u, v), y(u, v))

Uma fun¸cão de classe C1 e bijectiva. Seja f : D → < uma fun¸cão integrável.

Ent˜ao: Z Z D f(x, y)dxdy = Z Z D∗ f(x(u, v), y(u, v)) ¯ ¯ ¯ ¯ ∂(x, y) ∂(u, v) ¯ ¯ ¯ ¯ dudv Observa¸c˜ao: ¯¯ ¯ ∂(x,y) ∂(u,v) ¯ ¯

¯ ´e o determinante da matriz Jacobiana de F

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Integrais Duplos - Mudan¸cas de vari´

avel

Coordenadas Polares: Considere-se a fun¸c˜ao: F : <+₀ × [0, 2π[ → <2 (ρ, θ) ; (ρ cos θ, ρ sin θ) ¯ ¯ ¯ ¯ ∂(x, y) ∂(ρ, θ) ¯ ¯ ¯ ¯ = detJ F (ρ, θ) = det   cos θ −ρ sin θ sin θ ρcos θ  = ρ Z Z D f(x, y)dx dy = Z Z D∗ f(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ dρ dθ r q P(x,y) dr dq Área = r dr dq

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Integrais Duplos - Mudan¸cas de vari´

avel - Exemplo

Calcular:

R R

Apx2+ y2dxdy

onde: A = ©(x, y) ∈ <2 _{: (x − a)}2_{+ y}2 _{≤ a}2ª em coordenadas polares.

1. Determinar a varia¸cão máxima de θ 2. Fixar θ = const. Como varia ρ com θ? Troque agora a ordem de integra¸cão...

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Integrais Duplos - Mudan¸cas de vari´

avel - Exemplo

Calcular: R R T f(x, y)dxdy onde: T =©(x, y) ∈ <2 _{: x ∈ [0, 1], −x ≤ y ≤ x}ª S ©(x, y) ∈ <2 _{: x ∈ [1, 2], x − 2 ≤ y ≤ 2 − x}ª usando a mudan¸ca de vari´avel: u = y + x e v = y − x.

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Integrais Duplos - C´

alculo de ´

areas de superf´ıcies

Problema:

Dada uma região Q ⊂ <2 e uma fun¸cão f : Q → <, pretende-se calcular a área da superf´ıcie z = f(x, y). Isto é, pretende-se calcular a área de :

Graf = {(x, y, z) : (x, y) ∈ Q, z = f (x, y)} Definindo F : <3 _{→ < por F (x, y, z) = f (x, y) − z,}

tem-se:

S = Graf = SF(0) = {(x, y, z) : (x, y) ∈ Q, F (x, y, z) = 0}

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Integrais Duplos - C´

alculo de ´

areas de superf´ıcies

dScos γ = dA ⇔ dS = dA cos γ S = Z Z dS = Z Z Q dA cos γ

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Integrais Duplos - C´

alculo de ´

areas de superf´ıcies

cos γ = |∇F (xi, yi, zi) · (0, 0, 1)| k ∇F (xi, yi, zi) kk (0, 0, 1) k = _r 1 ³ ∂f ∂x(xi, yi) ´2 +³∂f_∂y(xi, yi) ´2 + 1 S = Z Z Q s µ ∂f ∂x(xi, yi) ¶2 +µ ∂f ∂y(xi, yi) ¶2 + 1 dA Slide 23

Integrais Duplos - C´

alculo de ´

areas de superf´ıcies

-Exemplo (Larson)

Calcular a área da superf´ıcie f (x, y) = 1 − x2+ y que se encontra por cima da região triangular de vértices (1, 0, 0), (0, −1, 0) e (0, 1, 0), tal como se representa na figura.

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Integrais Triplos

Seja: Q⊂ <3 _limitado f : Q → < fun¸c˜ao limitada, Z Z Z Q f(x, y, z)dxdydz = lim k∆k→0 n X i=1 f(xi, yi, zi)∆xi∆yi∆zi Slide 25

Integrais Triplos - Teorema de Fubini

Z B f(x, y, z)dV = Z b a Z d c Z v u f(x, y, z)dz dy dx

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Integrais Triplos

Z W f(x, y, z)dV = Z Z D Ã Z φ2(x,y) φ1(x,y) f(x, y, z)dz ! dy dx = Z b a Ã Z γ2(x) γ1(x) Ã Z φ2(x,y) φ1(x,y) f(x, y, z)dz ! dy ! dx Slide 27

Integrais Triplos - Exemplo

Seja W uma região limitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 2 e o parabolóide de equa¸cão z = x2+ y2 e x ≥ 0, y ≥ 0. Calcular:

Z

W

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Integrais Triplos - Exemplo

C´alculo de Volumes:

Determinar o volume do sólido limitado pelo elipsóide de equa¸cão: x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 Slide 29

Integrais Triplos - Mudan¸cas de vari´

avel

Teorema:

Sejam B∗ e B subconjuntos de <3. Seja

F : B∗ → B

(u, v, w) ; (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))

Uma fun¸cão de classe C1 e bijectiva. Seja f : B → < uma fun¸cão integrável.

Ent˜ao: Z Z Z B f(x, y, z)dxdydz = = Z Z Z B∗

f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) ¯ ¯ ¯ ¯ ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) ¯ ¯ ¯ ¯ dudvdw Observa¸c˜ao: ¯¯ ¯ ∂(x,y,z) ∂(u,v,w) ¯ ¯

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Integrais Triplos - Mudan¸cas de vari´

avel - Coordenadas

Cil´ındricas:

Considere-se a fun¸c˜ao: F : <+₀ × [0, 2π[×< → <3 (ρ, θ, z) ; (ρ cos θ, ρ sin θ, z) ¯ ¯ ¯ ¯ ∂(x, y, z) ∂(ρ, θ, z) ¯ ¯ ¯ ¯ = detJ F (ρ, θ, z) = det     cos θ −ρ sin θ 0 sin θ ρcos θ 0 0 0 1     = ρ Z Z Z B f(x, y, z)dx dy dz = Z Z Z B∗ f(ρ cos θ, ρ sin θ, z)ρ dρ dθ dz Slide 31

Integrais Triplos - Coordenadas Cil´ındricas - Exemplo

(Larson)

Calcular o volume da região sólida que o cilindro de equa¸cão x2+ (y − 1)2 ≤ 1

retira da esfera de equa¸c˜ao

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Integrais Triplos - Coordenadas Cil´ındricas - Exemplo

(Larson)

Calcular a massa do elips´oide de equa¸c˜ao

4x2+ 4y2+ z2 ≤ 16

sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância entre o ponto e o plano xy.

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Integrais Triplos - Mudan¸cas de vari´

avel - Coordenadas

Esf´

ericas:

Considere-se a fun¸c˜ao:

F : <+₀ × [0, 2π[×[0, π[ → <3

(ρ, θ, φ) ; (ρ cos θ sin φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos φ)

¯ ¯ ¯ ¯ ∂(x, y, z) ∂(ρ, θ, φ) ¯ ¯ ¯ ¯ = detJ F (ρ, θ, φ) = det    

cos θ sin φ −ρ sin θ sin φ ρ cos θ cos φ sin θ sin φ ρcos θ sin φ ρcos θ cos φ

cos φ 0 −ρ sin φ     = ρ2sin φ Z Z Z B f(x, y, z)dx dy dz = Z Z Z B∗

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Integrais Triplos - Coordenadas Esf´

ericas - Exemplo

(Larson)

Calcular o volume da regi˜ao s´olida Q limitada inferiormente pela parte superior do cone

x2+ y2 = z2 e superiormente pela esfera