A U T O M O R F I S M O S DE GRUPOS FINITOS
p o r
M AR I A C E C I L I A BU ENO FIS CH E R
ESTA D I S S E R T A Ç Ã O FOI J U L G A D A A D E Q U A D A PARA A O B T E N Ç Ã O DO TlTULO DE
" MESTRE EM C I ÊN CI A S"
I
E S P E C I A L I D A D E EM M A T E M A T I C A , E A P R O V A D A EM SUA F ORMA FINAL PELO C UR S O DE P O S - G R A D U A Ç A O EM M A T E M A T I C A DA U N I V E R S I D A D E FE D ER AL DE
S A N T A CATARINA. '
7 r o f . W i l l i a m Glenn W hi t l e y , P h .D C o o r d e n a d o r
B A N C A E X A M I N A D O R A :
P r o f . Nelo da Silva Allan, P h . D
____________ P r o f . W i l l i a m G l e n n W h i t l e y , FïïTïï
U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A N T A C A T A R I N A
A U T O M O R F I S M O S DE GRUPOS FINITOS
M aria C ecilia Bueno F ischer O r i en ta d or : A ndrzej Solecki
A g r a d e ç o a todos que, de alguma forma, c o n t r i b u í r a m p a ra a r e a l i z a ç ã o deste t ra b al ho , em especial ao A n d r z e j , o r i e n t a d o r de d i s s e r t a ç ã o , ao Milton, o r i e n t a d o r de curso, a Cleide, ã A l b e r t i n a , ao Flãvio, ao Dani e a meu pai.
R E S U M O
O o b j e t i v o deste t r a b a l h o ê de obter uma d e s c r i ç ã o de A ut(G), o grupo de a u t o m o r f i s m o s de um grupo fini to G, t e n do como i n f o r m a ç ã o inicial apenas o c o n h e c i m e n t o da rede de s ub g r u p o s de G.
A té c ni ca básica usada aqui é de p r o d u t o - g r i n a l d a . Os r e s u l t a d o s obt id o s são de dois tipos:
a) uma c o n f i r m a ç ã o de r e s u l t a d o s c l á s s i c o s ob ti d os por meios d i f e r e n t e s ;
b) uma c a r a c t e r i z a ç ã o original de a u t o m o r f i s m o s de uma classe de grupos que g e n e r a l i z a os grupos diedrais.
Este ú l ti mo r e s u l t a d o constitui o c on t e ú d o do C a pT t u l o VI do t r a b a1h o .
A B S T R A C T
The o b j e c t i v e of this M a s t e r ' s thesis is to obta in a d e s c r i p t i o n of Au t( G) , the group of a u t o m o r p h i s m s of a finite g roup G, wh e n one has only a d e s c r i p t i o n of its lat t ic e of s ubgroups.
The basic t e c h n i q u e used here is the w r e a t h - p r o d u c t . The r esults o b t a i n e d are of two tipes:
a) a c o n f i r m a t i o n of classic results o b t a i n e d by other m e t h o d s ;
b) a original c a r a c t e r i z a t i o n of a u t o m o r p h i s m s of a class of gro u ps w h i c h g e n e r a l i z e s the dihedral groups.
C h a p t e r VI co ns i s t s of a d e m o n s t r a t i o n of this last result.
C O N T E Ú D O
I n t r o d u ç ã o ... 8
I - Noções e No ta ç õ e s ... ... 9
II - R e l a ç õ e s entre Aut(G) e Aut( C( G) ) ... ... 17
III - A n a l i s e do grupo Au t (Q 2 ) ... ... ^3
IV - Sub g r u p o s de Sylow de S n ... ' 27
V - A u t o m o r f i s m o s de certo produto cindido ... 30
VI - G e n e r a l i z a ç ã o : Au t (G ) < A ( n , ZZ^) ... ... 44
í n di c e de noçõ es ... 59
í n d i ce de sí mb o l o s ... 60
I N T R O D U Ç Ã O
Neste t r ab a l h o , p r e t e n d e m o s e s t u d a r á u t o m o r f i s m o s de um g ru p o f i ni to G, tendo como i n f o r m a ç ã o inicial apenas o c o n h e c i m e n t o da rede de s u b g r u p o s de G.
Os s u b g r u p o s p ró pr i os de G tim, como regra, uma e s t r u tura mais sim p le s do que G. Por esta razão, e natural p e r g u n tar-se se, c o n h e c e n d o o grupo de á u t o m o r f i s m o s Aut(H) para cer t os s u b g r u p o s pr ó p r i o s H < G (onde < denot a a re la çã o de i n c lu s ã o entre os s u b g r u p o s ) , p o d e r ía mo s obter al gu m as i n f o r m a ções sobre Aut(G). Então, p ar ti nd o da rede de s ub gr up os do g rupo G e u s an d o o " p r o d u t o - g r i n a l d a " (wreath product) como a f e r r a m e n t a pr in c i p a l , te nt a r e m o s c a r a c t e r i z a r o grupo A u t ( G ) .
A ntes de i n i c i a r m o s este trabalho, f izemos uma c o ns ul ta a "Reviews on Fini t e Groups" (veja , cap.XV II I - A u t o m o r p h i s m s of Gr oups), que se refere as p u b l i c a ç õ e s sobre g r u pos fi ni to s , do p e r í o d o 1 9 4 0/ 1 97 0, e tamb ém a "M a thematical R ev i ew s" , nas s u b d i v i s õ e s r ef e r e n t e s ã teoria de gr up os , nos v o l um es c o r r e s p o n d e n t e s ao período 19 71/1983. Nessa c on s u l t a , não e n c o n t r a m o s nada sobre á u t o m o r f i s m o s de grupos finitos com o e n fo q u e p r e t e n d i d o neste trabalho.
C A P I T U L O I - N OÇ O E S E N O T A Ç Ü E S
G r af o e seus a u t o m o r f i s m o s :
Um g rafo P e um par (V,E), onde V e um c o n j u n t o f i n i to, não vazio, cujos m e m b r o s são ch a ma d o s v é rt i ce s, e E é um s u b c o n j u n t o do c o n j u n t o V x V , de pares de vértices. Os m e m b r o s de E são c h a m a d o s ar es t a s (veja [l] ).
D e f i n i m o s um a u t o m o r f i s m o de um g rafo V , A u t ( P ) , como s en do uma p e r m u t a ç ã o c< de V tal que, se (v, w ^6 E, e n tão (°<.v,<*w^€:E, para todos v, w e V .
No n o s s o estudo, a r e s t a s serão fo r m a d a s por pares de s u b g r u p o s , um deles i n c l u í d o no outro, isto é, pares o r d e n a dos. Esta razão nos leva a s e g u i n t e de f inição:
Um g ra fo é o r i e n t a d o (que i n d i c a r e m o s por C ) q u an d o a t r i b u í m o s uma o r d e m a cada um dos pares que constituem- as arestas. G e o m e t r i c a m e n t e , as arestas tem um sentido.
Um a u t o m o r f i s m o oc de um grafo o r i e n t a d o é um a u t o m o r fismo de g rafo que p r es e r v a a o r i e n t a ç ã o das arestas*, isto é, se [ v , w ) é uma aresta o r i e n t a d a do grafo, e n t ã o («cv,otw) é t a mb é m uma aresta o r i e n t a d a deste grafo.
Rede de s u b g r u p o s :
A rede de s u b g r u p o s de um grupo finito G é um g r a f o o r i e n t a d o ( P0(G)), cujos v é r t i c e s c o r r e s p o n d e m aos s u b g r u p o s de G e a r e s t a s o r i e n t a d a s ( , H2 ^ c o r r e s p o n d e m aos pares tais que H i < h2 •
10
d i a g r a m a (isto é, o d i a g r a m a é uma i n t e r p r e t a ç ã o g e o m é t r i c a do grafo). No d i a g r a m a , a linha que une dois s u b g r u p o s i n d i ca a r e l a ç ã o de i n cl u sã o, onde aque le que estã c o n t i d o fica a b a i x o d a q u e l e que o c o n t é m e, para tornar o d i a g r a m a mais t r a n s p a r e n t e , e v i t a m - s e as linhas que r e s u l t a r i a m , de mo do ó b vi o , pela lei da transi ti vi d a d e .
Por e x e m p l o , r e p r e s e n t e m o s a rede de s u b g r u p o s para o g r u p o d iedral D4 que a p r o v e i t a r e m o s no Cap.II. (Lembre que
g ru p o diedral D n é d e f i n i d o por D n = (an = Z>2 = e; bab~^ = a " 1 )).
No d i a g r a m a , o s T m b o l o ^ entre dois s u bg r u p o s indica que os m e s m o s são c o n j u g a d o s ; a m o l d u r a 0 inf or ma que o s u b g r u p o é normal e indica o cent ro do g rupo (veja na d e f i n i ç ã o de c e n t r a l i z a d o r , a seguir).
Num grafo, os su bg r u p o s podem ser d e s c r i t o s por seus g er a d o r e s , como vemos a seguir.
11
a, b
Em certas o c as i o ê s , vai nos i n t e r e s s a r a rede de s u b g r u pos com certa p r o p r i e d a d e , por ex em p l o , su bg r u p o s normais.
Normali z a d o r : Seja G um g rupo e H um s u b g r u p o de G. 0 n o r m a l i z a d o r de H em G, d e n o t a d o por Nç(H) , é o c o n j u n t o N g (H) = [ g e G l g H g~ 1 = H ) . Note que Nq(H) e s u b g r u p o de G e o s u b g r u p o H e n o r mal em Nq{H) » (Notação: H < J N6(H)). Centrali z a d o r : Seja G um g r upo e H um s u b g r u p o de G. 0 c e n t r a l i z a d o r de H em G, d e n o t a d o por Z G (H ) , é o c o n j u n t o Z g (H) = j ^ g S G | g h g" 1 = h , V h £ H |
12
O b v i a m e n t e , ® su b g r u p o de G. Al ém diss o , Zq (H ) e t a m b é m s u b g r u p o de N G (H ).
Note que H H Zq (H) = Z H (H) = Z(H), o c e n t r a l i z a d o r de H em H, isto é, o c e n t r o de H. Isto pode ser v i s u a l i z a d o no d i a g r a m a
Ng(H)
P r o d u t o c i n d i d o (normal product, s pl i t t i n g e x t e n s i o n , semi-d i r e c t p r o semi-d u c t ):
Seja G um g rupo fini t o e H um s ub g r u p o normal de G (H<3 G ) . Se e x i s t e K < G , K A H = { e \ , tal que K = G/H , ou seja, se e x i st e i s o m o r f i s m o / r K - ^ G / H , d i z e m o s que G é p r o d u t o c i n d i d o de H por K. Desta forma, o d i a g r a m a a b ai xo é c o m u t a t i v o
H — G ■ ^ > G/H
K
No d i a g r a m a , i e j são i nc lu sõ e s de H e K em G, r e s p e c t i v a m e n t e , e I é p r o j e ç ã o de G em G/H.
Por d e f i n i ç ã o , o s u b g r u p o K atua em H por c o n j u g a ç ã o de seus e l e m e n t o s , isto é, khk"^ G. H , para k€ K e h ^ H .
0 p r o d u t o c i n d i d o G pode ser v i s u a l i z a d o no s e g u i n t e d i a g r a m a
13 G H O K (1) M
A d e f i n i ç ã o dada e xp l i c a como um g rupo G pode "cindir" em seus dois s u b g r u p o s H e K. E Õbvio que e x is te uma c o r r e s p o n d ê n c i a b i u n T v o c a entre os e l e m e n t o s de G e pares (h,k) do p r o d u t o H x K (veja d i a g r a m a ) , com a lei de c o m p o s i ç ã o
(h,k).(h* ,k' ) = (h . « ^ (h '), k k 1) , onde = k x k“ 1 .
E natural p e r g u n t a r - s e como r e v e r t e r essa c o n s t r u ç ã o $ isto é, dados dois g r u po s a b s t r a t o s H e K, como c o n s t r u i r um grupo G tal que G cinda, tendo H ‘ = H como seu s u b g r u p o normal e tendo K1 = K is om o rf o a sua im ag e m h o m o m o r f a G/H'.
Not a mo s que, para dar uma d e f i n i ç ã o , é n e c e s s á r i o saber como K atua em H, isto é, p r e c i s a m o s de um h o m o m o r f i s m o
($ : K Aut(H) .
D e f i n i ç ã o : A e x t e n s ã o s e m i - d i r e t a de H por K, com dada ação , é o g r u po de pares ( h , k ) è H x K, com a lei de
compo-q u a n t o ã ação de ($), e s c r e v e m o s s i m p l e s m e n t e G = H><| K . V e r i f i c a m o s f a c i l m e n t e que, de fato, G e um g r u p o e que
K * = ^ (e , k ) : k .6 K ] .
Então as duas noções, a do pr od u to c in d i d o e a da e x t e n são s e m i - d i r e t a , estão r e l a c i o n a d a s entre si do m e s m o modo como as noções de -sonia direta e de p roduto c a r t e s i a n o : a p r i m ei r a e uma d e s c r i ç ã o interna, e a segunda, externa.
(h , k ). (h ' , k 1 ) - (h. cP|c(h')* kk') e serã d e n o t a do por G = H X J ,q K . Se nao h o uv er risco de a m b i g ü i d a d e
14
P ro d u t o - g r i n a l da (w r e a th p r o d u c t ):
Seja A um gr upo finito e S n o grupo de todas as p e r m u tações de um c o n j u n t o de n símbolos. Fo rmemos a e x t e n s ã o se- m i - d i r e t a G, de H por K, onde H = A X ... X A é normal em
n
G , K c S n e as p e r m u t a ç õ e s de K a t u am em H, p e r m u t a n d o s o m en t e os í n d i c e s dos e l e m e n t o s (a-| , ..., a n ) G H , isto é, para f f ê K , (a -j , ..., a n ) £ H , a ação de 51 e dada por
•••» a n ) = (a <T(l)’ •••» a er (n ) ) ‘
Para s i m p l i f i c a r a notação, os el em e n t o s de G s er ão i n d ic a d o s a t r av é s de s e q u ê n c i a s (a-|, ..., a n ;Q'), onde a . & A , para i = 1 , 2, ..., n e em vez da n o t a ç ão mais c o r reta, mas d e s n e c e s s a r i a m e n t e formal, ((a -j , ..., a )» Cf ) .
Então, a lei de c o m p o s i ç ã o entre os e l e m e n t o s de G é dada por
( a i » • • • ’ a n » Qr)(b i> •••» b n ’ ) = (a -j b^^ j ,. . . , a n b cr( n • 0 grupo G, a s si m fo r mado, é c h a m ad o p r o d u t o - g r i n a l d a de A e K C S n e d e n o t a d o por l\[K .
Em geral, s ab e n d o que G cinde em H e K, não po de m os a i n da d e t e r m i n a r a cla ss e de i s o m o r f i s m o de G. Mas, no caso de p r o d u t o - g r i n a l d a , a ação de K em H (determinada por (p ) , é dada e x p l i c i t a m e n t e , e, por isso, po de -s e falar sobre o p r o d u t o - g r i n a l d a (ja que é um grupo d e t e r m i n a d o u n i v o c a m e n t e ) .
N a t u r a l m e n t e , a ordem deste grupo é o(H).o (K )
= (o (A ))n . o ( K) . (A n o t a ç ã o o(G) indica a o r de m do g r u po G.) • 0 d i a g r a m a c o r r e s p o n d e n t e ao grupo A ^ K é
15
A X . . .
Um e x e m p l o s i mp l e s e o p r o d u t o - g r i n a l d a Este grupo é i s o m o r f o ao grupo G n = GL (n , TL ) O (D ( n , IR) , o grupo das m a t r i z e s m o n o m i a i s com el em e n t o s 0, 1, -1. De fato, se i d e n t i f i c a r m o s 2 ^ com o grupo m u l t i p l i c a t i v o [ - 1 1 \ , os e l e m e n t o s de ZZ2Í.Sn da forma (e-j , . e p ; er) podem ser r e p r e s e n t a d o s por:
\
V
( M g . ) = A
Aqui, M0V é a m a t r i z de p e r m u t a ç a o (Jrv.j-^ v ^ .j ^ , onde
| v.. ^ é uma base do e sp a ç o IRn . Note que a m a t r i z A p e r mu ta s e q u ê n c i a s (v etores no IRn ) da forma l i i \ ,
\ /
^i " l 1 , i ~ 1 , 2, n.
G e o m e t r i c a m e n t e , estas se q u ê n c i a s r e p r e s e n t a m vé rtices do cubo C n . Então s n > i so mo r fo a G n> é i s o m o r f o ao gru'
Por outro lado, o grupo de s i m et r ia s do cubo C = C tem a e s t r u t u r a do g rupo TL^ X S ^ . G e o m e t r i c a m e n t e , podemos i n t e r p r e t a r este g rupo da segui nt e forma. Inscrevemos dois t e t r a e d r o s r e g u l a r e s em um cubo, c on fo r me vemos na figura abaixo
3
Q u a l q u e r si m et ri a do cubo resulta em s i m e t r i a s dos dois t et r a e d r o s , p e r m u t a n d o os v é rt ic es de cada figura em si m e s ma ou um t e t r a e d r o em outro. 0 grupo e i n t e r p r e t a d o g e o m e t r i c a m e n t e como o g rupo das si me t r i a s do t e t r a e d r o regular, por poss ui r 4 v értices. A in v er sã o central - 1 ^ é uma s i m e tria do cubo, tem o rdem 2 , comuta com as demais s i m e t r i a s e i n t e r t r o c a os dois t e t r a ed ro s. Sendo assim, gera um fator d i reto do grupo de s i me t r i a s , i so morfo a ZZ^ . Desta forma, v e mos que ZZ2 X S^ c o r r e s p o n d e ao grupo de si me t r i a s do cubo.
C A P I T U L O II - R E L A Ç Ü E S ENTRE Aut(G) e A u t( P( G) )
Cada a u t o m o r f i s m o do grupo G induz uma p e r m u t a ç ã o de seus s u b g ru po s . Então, temos um h o m o m o r f i s m o h de Aut(G) em A u t ( P ( G )).
Mui t os a u t o m o r f i s m o s do grafo ^ ( G ) não c o r r e s p o n d e m a a u t o m o r f i s m o s do g rupo G. Então, vamos a n a l i s a r a imagem 7z(Aut(G)) em A u t ( P ( G ) ) . M esmo assim, esse c a m i n h o não é m u i t o p r o m i s s o r , como v e r e m o s a n a l i s a n d o alguns grupos f i n i
tos, onde o g r upo de a u t o m o r f i s m o s jã e c onhecido. C o n s i d e r e m o s o g rupo ZZg = Zg- X ZZ g . Temos Aut(ZZ X Z Z ) = A u t ( Z ) X A u t ( Z Z ) se ( p , q ) = 1 . Então,
r M r M
Aut(ZZg ) = Aut(ZZ2 ) X Aut(ZZ3 ) = [e] X Z 2 = ZZ2 . (E maisiifã-cil o b te r este r e s u l t a d o , n o t a n d o que a u t o m o r f i s m o s de g r u po levam g e r a d o r e s em g e r a d o r e s , então, para 7Zn , os
auto-m o ^ f i s auto-m o s são da forauto-ma <*. ^ : s a1 , onde = TL (a n o t a ç ã o indica o grupo gerado pelo e l e m e n t o a) e
(i,n) = 1. Mas qu e r e m o s , aqui, d e s t a c a r o fato que o único a u t o m o r f i s m o não trivial de Z g atua dent ro do s u b g r u p o i s o m o rf o a n 7 ) .
A rede de s u b g r u p o s de ZZg é dada pelo d ia gr a m a
ZZ 6
18
Vamos a n a l i s a r os a u t o m o r f i smos do grafo P(ZZg) .
Este g r a f o )
mam um c i r c u i t o fechado. Assim, i d e n t i f i c a n d o - o com um q u a drado, vemos que possui 8 a u t o m o r f i s m o s e temos Aut(P(ZZg)) =
. Mas Aut(ZZg) = ZZ ^ e, em h : Au t (ZZg )—> A u t ( P ( Z g ) ) , a i ma g e m h(TL2 ) em é trivial.
Automorfisnios de um grupo p r e s e r v a m a r e l a ç ã o de i n c l u são e n t re seus s u b gr up os . Por essa razão, vamos c on s i d e r a r , agora, 0 g rafo o r i e n t a d o Q (ZZg) .
0 ú nico a u t o m o r f i s m o nã o- trivial em A u t ( f ^ ( Z g ) ) é a-q u el e a-que per m ut a os v é r t i c e s c o r r e s p o n d e n t e s aos s ub g r u p o s ZZ2 e Z g . Em outras p a la vr as , permuta dois s u b g r u p o s de n í veis d i f e r e n t e s (nível, no grafo, c o r r e s p o n d e ã o r de m dos s u b g r u p o s ) . E a u t o m o r f i s m o s de grupo p e r m u t a m s u b g r u p o s d e n tro de um m e s m o nível .
Temos Aut ( V0 ( ZZg )) = ZZ2 , mas, m e s mo assim, h ( Z 2 ) em Z 2 é tri vi al .
Estas c o n s i d e r a ç õ e s ja su ge r em quais a u t o m o r f i s m o s de P(G), ou de
ro(G),
nao c o r r e s p o n d e m , com c er te z a, a a ut omor- fismos do g ru po G. Por isso, s e g u i r e m o s com a a n á l i s e de d i f er en te s níveis do grafo, s ep a r a d a m e n t e .Vamos a n a l i s a r um se g u n d o exemplo: 0 grupo diedral . 0 c o n h e c i m e n t o de todos os seus subgrupos p r óp ri os (veja d i agra ma no Cap.II) vem f a c i l m e n t e da sua i n t e r p r e t a ç ã o g e o m é trica como 0 grupo de s i m et ri as do quadrado.
for-19
As p o s s í v e i s imagens dos g er a d o r e s a e b de D ^ , onde
4 2
a = 2? = e, sob um a u t o m o r f i smo o£- sao
<*(a) = a 1' , i = 1 , 3
oc(b) = a^b , j = 0, 1, 2, 3.
Daqui, temos que o (A u t (D ^ ) ) 4 2.4 = 8.
Por o ut r o lado, note que, para os a u t o m o r f i smos <*-,(3 de D 4 , dados por 3 Oi :a —=» a e jb :a —> a , b —> ab b —■» b temos = e e ^ o L ^ = o<í ^ . Então A ut(D^) = D^ .
Vamos p r o c u r a r a imagem -/z(Aut(D^)) em Au t ( fj, (D ^ )) . O b s e r v e m o s o nível 4. Temos aqui 3 subg ru po s , mas os a u t o m o r f i s m o s de D^ p e r m u t a m apenas os subgr up os isom o rf os entre si (ZZ2 X Z Z2)» d e i x a n d o ZZ^ = <£ a^> i n v a r ia n te . Isto s i g n i f i c a que, entre os a u t o m o r f i smos. do grafo or ie n t a d o , de ve mo s c o n s i d e r a r aq ue le s que, d e nt ro de cada nível, p r e ser va m a r e l a ç ão de i s o m o r f i s m o entre os subgrupos.
P as s e m o s ao nível 2. Aqui, temos 5 s u bg r up os i s om or fo s a ZZ2 , mas um deles, , e 0 cent ro de D^. E 0 centr o é um s u b g r u p o c a r a c t e r í s t i c o (um s u b g r u p o é c a r a c t e r í s t i c o , qu an d o p e r m a n e c e i n v a r i a n t e sob a ação de q u a l q u e r a ut o m o r - fismo do grupo). Isso m o s t r a que os s u bg r up os i s om o rf os , que são p e r m u t a d o s , d ev e m d e s e m p e n h a r 0 m e sm o papel no grupo.
20
no nível 2. Então, é como se t iv é s s e m o s o p r o du to Z 2 X Z 2 X 2Z2 X ZZ2 , com p e r m u t a ç ã o de "eixos" dele, e, por isso, pod e mo s f o r m a r o p r o d u t o - g r i n a l da A u t ( Z 2 )Z S4 = {e}}S4
N e s t e m o m e n t o , vamos p r o c u r a r a ima ge m ^ ( A u t ( D ^ ) ) em A u t (2Z 2 )i S^, pois jã não i n t e r e s s a m todas as p e r m u t a ç õ e s de A u t ( f i ( D 4 )) mas, sim, a q u e l a s d e n t r o do nível que e s t a m o s c o n s i d e r a n d o .
0 h o m o m o r f i s m o fc:Aut(D4 ) -> Aut(2Z2 )l , ou seja , e i nj e ti vo , pois q u a l q u e r a u t o m o r f i s m o n ã o - t r i - vial de induz uma p e r m u t a ç ã o n ã o -t r iv ia l dos 4 su bg r u p o s i s o m o r f o s a ZZ2 . B as ta t o ma r dois s u b g r u p o s i s o m o r f o s a TL2
que g e r am e o b s e r v a r que, se eles f i c a s s e m i n v a r i a n t e s sob um a u t o m o r f i s m o ot de D^, todo 0 grupo p e r m a n e c e r i a i n v a r i a n t e , isto é, te rí a m o s <*• = e ; então, para oc ^ e , temos h(«) i=- e.
V o l t a n d o ao nível 4, e já que e s t a mo s c o n s i d e r a n d o
clas-2
ses de i s o m o r f i s m o , podemos c o n s i d e r a r 0 p ro d u t o ( Z2 X 2Z 2 ) e f o r m a r 0 p ro d u t o - g r i na 1 da Aut(2Z2 X ZZ2 ) l S2 = S3i S2 .
Aqui, também, 0 h o m o m o r f i s m o S ? e inje ti vo , pois, caso t i v é s s e m o s h(oc) = e para c * : £ e , s i g n i f i c a r i a que, sob 0 a u t o m o r f i s m o oí€ D^, os dois s u b g r u p o s i so m o r f o s a 2Z2 X 2 2 não p e r m u t a r i a m e n t r e si (0 que pode oc o r r e r ) e p e r m a n e c e r i a m i n v a r i a n t e s , 0 que i m p l i c a r i a em não h aver p e r m u t a ç ã o e n t r e os s u b g r u p o s i s o mo rf os a TL2 , que é uma
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c o n t r a d i ç a o , pela a r g u m e n t a ç ã o anterior.
Com a a n á l i s e que f iz emos, r e l a c i o n a n d o Aut(D^) com d i f e r e n t e s p r o d u t o s - g r i n a l da (que f or m am os a p a rt i r da v e r i f i c a ç ã o do g r af o por ní ve is ), c o n s e g u i m o s im er g i r o grupo A ut (D ^) = D^ em dois grupos: S4 e S3Í S2 .
O b s e r v a n d o a rede de s u b g r u p o s de D^, i n i c i a l m e n t e nos dã a i m p r e s s ã o de que 0 nível 4 pode ser mais si mp le s para b u s c a r m o s i n f o r m a ç õ e s sobre A u t ( D 4 ), ja que tem apen a s 2 s u b g r u p o s i s o m o r f o s , do que 0 nível 2, que tem 5 s u b g r u p o s i s o m o r f o s , mas um deles c a r a c t e r í s t i c o . Mas o b s e r v e m o s que o(Aut(ZZ2 X 7Zz )l S 2 ) = o ( S 3 l S 2 ) = 72 e o(Aut( ZZ£ ) l S 4 ) = = o(S^) = 24. A c o m p a r a ç ã o das ordens sugere que a ima ge m de Aut(D^) em p r e s t a - s e m e l h o r a a n á l i s e do que a de Aut(D^) em S3l S2 .
As c o n s i d e r a ç õ e s feita s neste c a p í t u l o m o s t r a m de que m a n e i r a vamos p r o c u r a r i n f o r m a ç õ e s sobre Aut(G) no grupo de a u t o m o r f i s m o s de seus s u bg ru po s próp r io s, 0 que faremos nos p ró x i m o s c a p í t ul os . A n a l i s a r e m o s os s u b g r u p o s s e p a r a n d o - o s por níveis e, em cada nível (talvez não seja n e c e s s á r i o a- n a l i s a r todos), t o ma r e m o s s ub g r u p o s isom o rf os , que d e s e m p e nhem 0 m e s m o papel no grupo. A n a l i s a n d o a ação de um auto- m o r f i s m o © C d e G r es t r i t a a este c o n j un to , p r o c u r a r e m o s s a ber como per m ut a os e l e m e n t o s d e n t r o de cada s u b g r u p o e como m i s t u r a os s u b g r u p o s e nt re si, isto é, p r o c u r a r e m o s d e s c r e v e r « O n a forma (^J^ , ... > 5^*)» onde o c | ^ é a r e s t r i
ção de ot ao i - é s im o s u b g r u p o e C £ Sm d e s c r e v e a p e r m u t a ç ã o de H-j , . . . , H induz ida por ^ .
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E n t a o , na a n á l i s e de e xe mp l os que faremos nos capítu l os s e g u i n t e s , u s a r e m o s o s e g u i n t e di ag r a m a (Aut (H ) )m --- > A u t ( H ) l S m _ L > Sm X f Z $ / Aut(G) onde: li é p r o j e ç ã o c a n ô n i c a de A u t ( H ) £ S m em Sm ;
f e h o m o m o r f i s m o de Aut(G) em A u t ( H ) i S m , dado pela ação de Aut(G) nos m s u b gr up os isomo rf os a H de G (ação d en t r o deles e por p e r m u t a ç ã o dei e s ) ;
g é h o m o m o r f i s m o de Aut(G) em Sm , r e s u l t a n t e da c o m p o sição dos h o m o m o r f i smos f e X ( g = l í o f ) , que r e flete a ação de e l e m e n t o s de Aut(G), p e r m u t a n d o m cópias do s u b g r u p o H.
Pela e s c o l h a dos s u b g r u p o s por níveis, para a f or m a ç ã o de p r o d u t o s - g r i n a l d a , pode oc o r r e r que a ima ge m do h o m o m o r fismo / : A u t ( G ) - 1? Aut(H)l.S , para algum H<G, f or n e ç a i n f o r m a çõ e s s u f i c i e n t e s sobre Aut(G).
Se isto não oc or r er , há uma p o s s i b i l i d a d e de ob termos dados novos sobre Aut(G) pela aná li s e de ,Ker(f), o núcleo de f, que, em geral, não é trivial.
E claro que, se a es co l ha para c erto H<G não for s u f i ciente, o m e s m o p r o c e d i m e n t o será feito com uma nova es co l h a de H. Deste mo do, o b t e r e m o s um c o n j u n t o de s ub g r u p o s nor ma i s K e r ( / ) , de d i v e r s o s h o m o m o r f i s m o s /, que, em certo grau, ca- racteri zain Aut(G) .
C A P I T U L O III - A N A L I S E DO G RUPO A u t ( Q 2 )
O g r up o Q 2 > dos q u a t e r n i o s , é d e f i n i d o por: Q2 = (* • o • ^ = j2 = ( i d) 2 ) •
Sua rede de s ub g r u p o s é v i s u a l i z d a no d iagrama: Q2
O b s e r v a m o s na rede que os três s u b g r u p o s is o m o r f o s a ZZ^ são todos n ormais em Q 2 , todos não c a r a c t e r í s t i c o s .
0 i n t e r e s s e neste g r up o foi p r o v o c a d o j u s t a m e n t e por este fato: temos algu n s s u b g r u p o s isomo r fo s entre si e t o
dos com a m es m a s i t u a ç ã o d e nt r o da rede. Assim, como Aut(ZZ^) = Z 2 , f or ma mo s 0 p r o d u t o - g r i n a 1 da ZZ^S-j e, a s eguir, m o s t r a m o s como p odemos r e l a c i o n a r 0 grupo A u t ( Q 2 ) com 0 p r o d u t o 2Z2I S 3 .
Em Q 2 , temos 6 e l e m e n t o s de o r d e m 4. Assi m, por um au-t o m o r f i s m o o&lau-t;, e n q u a n au-t o 0 g e r a d o r i e l e v a do em um dos 6 e l e m en t o s , s o b ra m 4 p o s s i b i l i d a d e s para ^ ( j ) (6 menos 2 ele - m e n t os do s u b g r u p o gera do por &<(-£)).
24 As f u nç õ e s oi e fò , tais que ot (i) = i e <*(j) = U i ) 3 /ô(i) = J /3(j) = i )
p od e m ser e s t e n d i d a s a todos os el e m e n t o s de Q 2 , a s s i m que as e x t e n s õ e s ( d en o t a d a s pelas mesm a s 1etras c* e ) s e jam auto- m o r f i s m o s de Q 2 .
M o s t r a m o s , agora, que c* e J*> geram um grupo de 24 e l e m e n t o s : « ^ tem o rd em 4 e /3, o r d em 2. V e r i f i c a - s e , facilmente,
o
que o< =£ fb ; p o rt a nt o, o (4L < * ' $ > ) > 8. 0 a u t o m o r f i s m o fiot, tal que j i —> j , tem ordem 3. Logo, o(<£°<,/2>//$o<'^>)>
t o -* íà 8.3 = 24. Como ■<*,/£ <= A u t ( Q 2 ) e o( Aut (Q2 )) £ 24 , a fi rm am o s que ) = 24. Assim, o ( A u t ( Q 2 )) = 24. 0 uso da n o t a ç ã o (como se t i v é s s e m o s um e l e m e n t o do m ó d u l o (ZZ^ ) ) p e r m i t e - n o s e m p r e g a r a n o t a ç ã o matric i al para d e s c r e v e r m o s a ação de a u t o m o r f i s m o s no c o n j u n t o de
ge-5
(onde k = ij e i = j ' - k2 2 como é c o n v e n c i o n a l m e n t e usado para o grupo Q 2 )E sc r e v e m o s i \ / i 1 o o\ U
2
1 , oL o W 0 0 - 1 0 1 0w
25
n
t f ] (0 1 0\
3 = i =1 0 0
31
k l k 3)\ 0 0 -1
*/
Assim, temos n 0 0 ( 1 0 n 0 ° \ cK —y A = 1 0 0 - 1 = 0 - 1 0 0 0 1 \ o 1 0 \ 0 0 1 1 ° 1 0 / I o 1 /l 0 °\ 1 0 1 0 \ ^ B = 1 0 0 = 0 1 0 1 0 0 \ 0 0 l o 0 -1 / ^0 0 1 /D esta forma, o b te m o s uma c o r r e s p o n d ê n c i a entre
6 A u t ( Q 2 ) e A, B £ GL (3 , ZZ3 ) O (J) (3 , IR) , que se e s tende a um h o m o m o r f i s m o f: A u t ( Q 2 )-^ Z Z ^ S ^ . Ao i n d i ca r mo s
f(o<) = õ< , temos c* = ( 1 , - 1 , 1 ; (23)) e p = ( 1 , 1 ,-1 ; (1 2)).
Ao e s c r e v e r m o s um a u t o m o r f i smo ) 0 G A u t ( Q 2 ) na forma (e-| , e 2 , e 3 ’ Q' ) è ZZ2 1 , o fato que f = ( 1 , 1 , 1 ; e) s i g nifica que ) > pois i n t e r p r e t a m o s o e l e m e n t o
( 1 , 1 , 1 ; e) da s e g u i n t e maneira:
(i) p e r m u t a ç ã o e : Não há in te r t r o c a entre os 3 s ub g r u p o s i so m or fo s a 2Z^ ;
(ii) ( 1, 1, 1) : a i m a g em de cada um dos 3 g e r a d o r e s e t a m bém um deles.
26
V e r i f i c a m o s , assim, que existe H < T L ^ X S ^ , onde H c o r r e s p o n d e ã / ( A u t ( Q 2 )), que e i s omorfo a A u t ( Q 2 ).
Temos que o(ZZ2 }_S3 ) = 48 e o(H) = 24.
Jã v e r i f i c a m o s que A u t ( Q 2 ) = H e que ZZ2| S 3 = ZZ2 X S 4 . Como o grupo ZZ2 X , das s im e tr ia s do cubo, e bem c o n h e c i d o por suas a p l i c a ç õ e s em c r i s t a l o g r a f i a , é d e s n e c e s sário p r o v a r que seus únicos subgrupos de ordem 24 são i s o m o rf o s a ZZ2 X A 4 ou a S 4 (veja tab.2, p . 135, em [ 3 ] )• ü-ma das d i f e r e n ç a s entre estes dois subgru po s e que sõ um d e
les possui e l e m e n t o s de o r dem 4. 0 a u t o m o r f i smo , e x i b i d o a n t e r i o r m e n t e , tem o r de m 4, portanto, c< £ TL^ X A^ . Logo , A u t (Q 2 ) = S 4 .
Com o r e s u l t a d o da a n ál i s e feita ate aqui, temos c a r a c t e r i z a d o c o m p l e t a m e n t e o grupo A u t ( Q 2 ) . No di ag r a m a ZZ| ---> S 3 -- > S 3 4 X / / » / A u t (Q 2 )
pod e mo s o b s e r v a r que g e um h o m o m o r f i s m o s o b r e j e t i v o , não injeti v o, dado por
g : A u t (Q 2 ) S 3 o< —» (23)
f l . - * (1 2)
Assim, por Ker(g-), c o n f i r m a m o s f a c i l m e n t e o fato que ZZ2 X ZZ2 < S 4 , onde Ker ( g ) = < «X* , ( ^ / ò f ^ .
C A P I T U L O IV - S U B G R U P O S DE S YLOW DE S fí
N es t e c a p í t u l o , u t i l i z a r e m o s a m e s m a té c ni ca do capítulo a n t e r i o r , mas em s i t u a ç ã o reversa. Lã, c o n h e c í a m o s o grupo de a u t o m o r f i s m o s de H < G e o b t i v e m o s i n f o r m a ç õ e s sobre A ut(G). Aqui, c o n h e c e m o s o g rupo Aut (G ) e b u s c a r e m o s i n f o r m a ç õ e s s obre o n9 de s u b g r u p o s de uma c l a ss e de s ub g r u p o s i s o m o r f o s de G, como m o s t r a m o s no t e or e m a a seguir.
T e o r e m a : Tome p primo, p á n . Seja H um S y l o w p - s u b g r u p o de S n e seja k o n ú m e ro de s u b g r u p o s de S n> i so mo rf os a H. Então, para n > 4 , tem- s e k > o .
D e m o n s t r a ç ã o : Para n > 4 , n^ 6 , A u t ( S n ) = S p . Para n = 6, o (A u t (S )) = 2 . n ! (veja [2] ). N este caso , Inn(Sg) = Sg. Assim , 0 a r g u m e n t o que u s a r e m o s a s e g u i r para S n r e f e r e - s e , no caso de n = 6, ao s u b g r u p o In nf S g ) , dos au- t o m o r f i s m o s i n t e r n o s de Sg. F o r m e m o s 0 p r o d u t o - g r i n a l da A u t ( H ) l S k e 0 d i a g r a m a (Aut(H) )k ---^ A u t (H ) S. S f k A u t ( S n ) = S n
Jã que g\ S n -í> S^ é h o m o m o r f i s m o (note que g = TC 0 f ) , é s u f i c i e n t e m o s t r a r que g é i n je t i v o e 0 teo r em a e s ta r á d e m o n s t r a d o .
28
A i m a g e m de g em e um s u b g r u p o do g rupo de p e r m u t a ç õ e s de k símbo lo s . Este s u b g r u p o c o r r e s p o n d e ãs p e r m u tações dos k s u b g r u p o s de S n , i nd u zi da s pelos a u t o m o r f i s -mos de S n »
Os p o s s í v e i s nú cl eo s para g são [ e ^ , A n e S n , ja que são os únicos s u b g r u p o s normais em S n ( n > 4 ) . ( A n , c o mo é usado n o r m a l m e n t e , indica o s ub g r u p o de S n das p e r m u t a ções p a r e s ) .
Vamos supor Ker(g-) = A n . Neste caso, para t o d o < * G A n (An < A u t ( S n )) e para todo i = 1 , 2, . . . , k , <*(H.j) =
onde S ê A n e o e l e m e n t o que, sob o a u t o m o r f i s m o *<., c o n j u ga H-. Assim, para q u a l q u e r i fixo, A < N<. (H s ). Este fato
impl ica em N<. {H-) = S ou A n , jã que o n o r m a l i z a d o r con- n
tem A n como subg ru p o. E, assim, A <1 Nç. (H-).
n n
A i n t e r s e c ç ã o de dois su bg r u p o s normais em G é ta m b é m normal em G. Assim, como A 4 N<. (H -) e como temos sempre
n n 1
H i N $ (H ^ )» s egue que H i ^ A n < l A n » 0 <lue im pl i ca em n
H iA A n ' A n ou H in A n = \ ■
Em H ^ A p = A n , temos uma c o n t r a d i ç ã o , jã que A n não é p - s u b g r u p o de Sylow.
Se A n = { e \ , e nt ão H i = ZZ2 ou H i = { e \ , que t a m bé m e uma c o n t r a d i ç ã o , jã que nem TL^ nem [ e ^ são p-sub-g r u p o s de S y l o w de S n ( n &p-sub-gt; 3 ) .
fD
l
29
Vamos supor, agora, K e r ^ ) = S n - Neste caso, para todo cví 6 S n = A u t ( S n ) e para todo i = 1, 2, ..., k, temos
a/ „ 1 /Si _
c^(H^) = u = H^, onde o i G S n e o e l e m e n t o que, sob o a u t o m o r f i smo <*, co n j u g a H^. Assim, H.j<S , o que tamb ém
uma c o n t r a d i ç ã o , jã que ^ A .
C A P I T U L O V - A U T O M O R F I SMOS DE CERTO P R O DU TO C I N D ID O
C o n s i d e r e m o s o g ru po G:
G = (a, b , c; a^ = Zj^ = c^ = e, ba = a b , eac ^ = £, c&c ^ ) . Pod e mo s d e f i n í - l o , ta mb é m, em term os de dois g e r a d o r e s , a e c, jã que b fica d e t e r m i n a d o por esses dois el em e n t o s . E s c r e v e m o s , então:
r / 3 _ 4 0 2 - 2 2 r -1' 1 * % '
G = (a, e; a - e = e , <? ac? = a , içae , aj = e ) .
Aqui, [x, yj = xyx~^y~^ indica o c o m u t a d o r de e l e m e n t o s x, y.
0 uso de sta s eg u n d a d e f i n i ç ã o nos f a c i l i t a r á ao e s c r e vermos a u t o m o r f i s m o s de G.
M o s t r a m o s , a seguir, o d ia g r a m a c o r r e s p o n d e n t e ã rede de s u b g r u p o s de G, onde usamos a s eg u i n t e convenção:
H , K : su bg r u p o s de G
s: n ° de su b g r u p o s c o n j u g a d o s a K
n: n9 de cópias de H nas quais uma fixa copia de K a p a r e c e
m: n9 de cóp ia s de K co n ti da s em cada cópia de H
0 s í m b o l o Dih indica um g rupo diedral g e n e r a l i z a d o , em que temos: Dih(A) = <^ A , clp , onde A = TL ” , m > 2 ,
32
Uma a n á l i s e visual do d i a g r a m a de s ub g r u p o s de G e x p l i ca as razões que nos l e v a r a m a a n a l i s a r j u s t a m e n t e este g r u po:
- é um g r u p o de o r d e m r e l a t i v a m e n t e p equena (o(G) = 36):
- não é a b e l i a n o nem um o utro grupo que tenha a e s t r u t u r a de Aut(G) bem c on h e c i d a ;
- tem v á r i o s n í v e i s (os ní ve i s 2, 3, 4 e 6) com a b u n d â n c i a de s u b g r u p o s que d e s e m p e n h a m o m e s m o papel em G.
V amos c a r a c t e r i z a r c o m p l e t a m e n t e o g rupo Aut(G). D i v i d ir e m o s essa c a r a c t e r i z a ç ã o nas etapas:
1. O rd em do grupo Aut(G) ; 2. G e r a d o r e s ;
3. C o n d i ç õ e s de c o m u t a ç ã o de /$ . com
4. Hortiomorf i smo de Aut(G) em Aut(2Z^)|_Sg e 5. H o m o m o r f i s m o de Aut(G) em Aut(2Z3 X Z 3)^S-j .
1. O r d e m de Aut(G)
Q u a l q u e r a u t o m o r f i s m o de G fica d e t e r m i n a d o por sua a- ção em a e c , se u t i l i z a r m o s a se gu nd a d e f i n i ç ã o de G. N e s te grupo, temos 8 e l e m e n t o s de o r de m 3 e 18 e l e m e n t o s de o r dem 4 que p o d e r i a m ser, r e s p e c t i v a m e n t e , as imagens de o. e o sob um a u t o m o r f i s m o . Assi m, o ( A u t ( G ) ) 4 8.18 = 144. Como o c e n tr o de G e o s u b g r u p o tr iv ia l , isto é, Z(G) = | e ^ , e
sa-• c
b emos que Inn(G) = /z(G) * temos Inn(G) = G. 0 s u b g r u p o Inn(G), dos a u t o m o r f i s m o s inte r no s, é ge ra d o por T e ,
. CL O
que r e p r e s e n t a m c o n j u g a ç ã o por a e por o , r e s p e c t i v a m e n t e . E s c r e v e m o s , então: Inn(G) = ^ ^ •
Ta é d e s c r i t o pelas Ó rb i t a s de sua ação: (a, b , a , b ) e (<?), a Ó r b i t a t ri vial, e n q u a n t o que ^ é d e s c r i t o pelas
õr-33
2 2
bitas (a) e (e, ab o> a. ba).
S ab e m o s que I nn (G ) <3 Au t (G ) . Então [Aut(G) : Inn(G)] = = 1, 2, ou 4, jã que o ( I nn ( G) ) = 3 6 e o (A u t (G ) ) 4 1 4 4 .
P r e c i s a m o s v e r i f i c a r a e x i s t ê n c i a ou não de a u t o m o r f i s - mos exter n os .
Seja oC uma f u n çã o d e f i n i d a para j , cj em G tal que 2
o<.(a) = a b , Pod em o s e s t e n d e r á a um a u t o m o r f i s m o de G .<*(<?) = c
(que d e n o t a r e m o s pela m es ma letra oó). 0 a u t o m o r f i s m o não é interno, pois não e x i s te x €■ G tal que x c o n j u g u e a com °C (a).
Seja, agora, fò uma fu nç ã o de | a , e | em G tal que
j$(a) - a . T a m b é m po d em os e s t e n d e r ^ a um a u t o m o r f i s m o de fiie) = c3
de G (que t a m bé m será d e n o t a d o por/3). 0 a u t o m o r f i s m o / ^ t a m bém não é interno, jã que não existe x € G que c o n j u g u e a
com /i(e) e, o b v i a m e n t e ,/2> não p er te n c e ao s u b g r u p o gerado por Inn(G) e ^ .
V e r i f i c a m o s , assim, que e x i s t e m pelo menos 3 cla ss e s de a u t o m o r f i smos e x t e r n o s (módulo I nn ( G )) : | [e] , \°^\ , [/S] j .
0 a u t o m o r f i s m o não é interno, pois temos
2
Temos, também, ^ [f^] , pois se <*{$ = c < . k , k é Inn(G), t e r í a m o s fò € Inn(G).
A n a l o g a m e n t e , d e s c a r t a m o s jã que isto i m p l i caria em fò~ ^ y3 G Inn(G), mas Inn(G), sendo normal em A ut(G), nos lev ar ia ã c o n c l u s ã o que c ^ G I n n ( G ) .
exter-34
nos, dadas por: j [ e ] , [«*•] , [/S*] , [*/£] \ , mas nao podemos ter mais do que 144/36, e n tã o temos o (A u t( G) ) = 36.4 = 144.
2. G e r a d o r e s
Já c o n h e c e m o s Inn(G) = ^ . C o n h e c e m o s , também,
oC e fò , a u t o m o r f i s m o s externos.
0 a u t o m o r f i s m o oC é d e s c r i t o pelas órbitas de sua ação
2 2 2 2 2 2
(a, ab , b, a b, a , a b , b , a b ) e (<?)> a orbita trivial.
- 2
(As demai s or b it as f o r m a m - s e de m a n e i r a obvia). Note que c o i n c i d e com Yc
0 a u t o m o r f i s m o fb tem ordem 2. O b v i a m e n t e não c o n s e g u i r e mos m tal que P , jã que ^ = e.
Como e = 10 g eram Inn(G) e como cx e fi geram todos os a u t o m o r f i s m o s e xt er n os , temos Aut(G) = ^ •
Em se guida, vamos g er a r Aut(G) com apenas 2 a ut o m o r f i s mos.
Seja A j uma f u nç ao de j a, b, em G tal que
/3 i j ( a ) = = a J b21 /Íu (o) - C 3 .2 . 2 As ó r b i ta s c o m e ç a m assim: a —*• a 1 £>J > a 1 J —» . . . ? ? o —> a —* b —* . . . 3 a —* c —■* c 2 2 Se i = 0 ou j = 0, temos i + j = l ( m o d 3 ) e, c o n s e q u e n -2 t e m e n t e , . . = e . i J 2 2 ~ 4
Se i=£ 0 e j V=0, temos i + j = 2 (mod 3) e , e n t a o , /$.. = e * J
35
D e n o t e m o s por y' uv o a u t o m o r f i s m o de c o n j u g a ç ã o por
a u b v . O b v i a m e n t e = e.
Para uma e s c o l h a c o n v e n i e n t e de g e r a d o r e s , pr e c i s a m o s c o n h e c e r as c o n d i ç õ e s em que os a utomorfi smos /£. e l^uv c o m u t e m .
3. C o n d i ç õ e s para que fi. . ^ = ^ uv
Para o g e r a d o r a, temos i j uv uv / i j / V “’ ■ , 0 ^ u v que i m p l i c a em = ^ u v A j * par a 9 u a i s ( 1u e r u e v i e j . Para o g e r a d o r c , temos ij ^ u v ^ c ) = / ^ i j ( a U ^ V c a 2 U ^ 2 V ) = A j ( a UfcVfc2Ua Vc) = = /3 Íj ( a u + V& 2u + Vc) = (a1fcj )U + V ( a V i )2ü + v e 3 = u (i+ 2j) + v (i+ j)b u (i + j )+ v (2i+ j) c 3 = a
V\ â I \ I 3v u,v 3 2u,2v u.v.u 2v 3
« uv A ' j ( e ' = * u v < c ) = a b c a b = a b b a o
u + 2 v , u + v 3
a b o
Ja que temos a u n i c i d a d e de n o t a ç ã o de e l e m e n t o s de G na forma a m b n c ^ , a i g u a l d a d e e x i st e se, e som en te se, t o das as p o t ê n c i a s são iguais. Assim, Y^uv = ^ u v /^ij q ua n d o j u (i + 2j ) + v(i+j) = u + 2y
u ( i + j ) + v (2i+j) = u + v
0 si st em a é e q u i v a l e n t e a f 2u = u(2 i ) + v(2 j ) v = u ( j ) + v ( 2 i )
36 Ou ainda (2i + 1 )u + 2jv = O ju + (2i + 2)v = O , que e q u i v a l e a 2 i + 1 j J i + 1 onde A =
Para que o si st e ma tenha solução, temos que ter det A = 0, 2 i + 1 j
i + 1
zes do e s p a ço 2 - d i m e n s i o n a l , sobre o corpo ZZ^ . Então
det A = (2i + 1)(i + 1) + 2j2 = 2i2 + 3i + 1 + 2j2 = = 2i2 + 2j2 + 1 = 2(i2 + j2 ) + 1 det A = 0 =3> 2(i2 + j2 ) + 1 = 0 2 (i2 + j2 ) = 2 .2 , .2 . i + J = 1 i = 0 ou j = 0 . Se i = 0 (e j = 1,2): /
1 J
\ / u j 1 I l 2v , ' 0 \ o u + 2jv = 0 =^> u = jv 'ju + 2 v = 0 (j2 + 2 )v = 0 v = 0 ou j2 + 2 = 0 . Se v = 0 =>> u = 0. Se j2 + 2 = 0 =#> j = 1,2. Então: v = 1 => u = 1 , 2 v = 2 u = 1 , 2 Quando v = 0 , 1 , 2 . Então, se v = 1,2 =à> u = 1,2 Se j = 0 (e i = 1, 2 ): 2i + 1 0 \ / u \ 1 0 0 i + 11 [ 2v \ 0 (2i + l)u = 0 ( i + l)2v = 0 (2i + 1 )u = 0 =7
> u = 0 ou i = 1.37 j i = 1 =>> v = 0 Se u = 0, ) ( i = 2 = > v = 0 , 1 , 2 . Se i = 1 , u = 0 , l , 2 = | > v = 0. 0 a u t o m o r f i s m o f b , d e s c r i t o a n t e r i o r m e n t e , s a ti s f a z a condi çã o: j = 0 e i = 1 . 0 a u t o m o r f i s m o que comuta com é
^ u v , u = 0, 1 , 2 e v = 0. Vamos tomar u = 2. Assim, o p r o
duto fí>'Cz tem o r d em 6 > ( /3 ^ 2 ) 3 = /^ e ( 2 ) 2 = ^a '
E n c o n t r a m o s , assim, um novo sistema de g e r a d o r e s : Aut(G) = « o < , / 3 r 2 > .
4. H o m o m o r f i smo de Aut(G) em Aut(ZZ4 )}_Sg
Como po de mo s es co l h e r , para nosso o bj e t i v o , s u b gr up o s em d i v e r s o s nTveis, uma esco l ha natural e i n i c i a r m o s por S y l o w - s u b g r u p o s de G. Temos apenas 1 Sylow 3 - s u b g r u p o ,
TL^ X ZZ3 , e 9 S yl o w 2 - s u b g r u p o s , isomorfos a ZZ4 . Então, c o m e ç a r e m o s a a n a l i s e no nível 4.
Para e n c o n t a r m o s um h o m o m o r f i s m o de Aut(G) em Aut(ZZ4 ) ^ S 9 = 7L2 l S 9 , vamos v e r i f i c a r a açao dos g e r a d o r e s de Aut(G) nos 9 su bg r u p o s ZZ^ .
V er em os que 0 grupo Aut(G) e um pro du to c i n d i d o de
2
t r a n s l a ç õ e s em ZZ^ por t r a n s f o r m a ç o e s linear e s do e s p a ç o 2 - d i m e n s i o n a l sobre ZZ^ • Por este mot iv o, e mais c o n v e n i e n te u t i l i z a r m o s , nesta fase dos nossos cá lc u l o s , os g e r a d o res }(^, t b , oC e fb do que oi e > apes ar desta última e sc o l h a a p r e s e n t a r - s e em forma mais compacta.
38 Os 9 s u b g r u p o s são ge ra d o s por x.j = a ^ b ^ a , i , j = 0 , 1 , 2 . As s i m , po de mo s i n d i c ã - l o s por m e i o de ve t or es € TLÍ . j ; 2 L e m b r a n d o que o( : a àb b —> ab
segue que c<{a}b^o) =
A n o t a ç ã o 1 \ nos pe rm i t e a s s o c i a r ao a u t o m o r f i smo cxi j
uma m a t r i z A , A € GL ( 2, 2Z ^ )» o grupo das m a t r i z e s i nv e r s í v e i s , do esp aç o 2- di m e n s i o n a l , sobre o corpo 2 ^ •
i \ / i + j \ / 1 1 \ / i \ / 1 1
oL
j
A =
2i + j ) l 2 1 / l j / V 2 1
Agora, v e r i f i q u e m o s a ação de sobre os 9 s u b g r u p o s
Temos que : a a b - + b 2 3 o —9 e Então f t >( a} b^a) = a ^ b ^ e 3 . Q u e r e m o s e s c r e v e r a ima ge m de /ò em termos do g e r a d o r x... Então a ^ b2,3«?3 = x ^ = (a12>m e ) 3 . * J ' v Seja y = bm. E n t ã o ( y c) 3 = (ye) ^ = o ^y ^ = e3y 2 . T em o s a ^ b2^ c3 = e3y2 =^> e a ^ b ^ c3 = z/2 =^> a ^ b1 = t/2 y = a2,3b21 . Assim, ( a ^ b J e) = a ^ b ^ e3 = (a2^ b2^ e )3 . U s a n d o a n o t a ç ã o de v etores 1 ' , e s c r e v e m o s
39 (i ' 2 j ^ o 1 CM U i OsJ 1 o J A s s o c i a m o s , entao, ao a u t o m o r f i s m o , a m a t r iz 0 2 2 0 , B £ GL(2,ZZ3 ) . I n t r o d u z i n d o esta notação, a p r o v e i t a m o s do h o m o m o r f i s m o h: GL(2,ZZ3 ) , dado por: í h ( X ) = A , já que
( h(/i) = B .
c o m p o s i ç ã o de a u t o m o r f i s m o s c o r r e s p o n d e a m u l t i p l i c a ç ã o de m at r i z e s . Este h o m o m o r f i s m o é i njetivo, pois seu núcleo é o a u t o m o r f i s m o trivial.
O p e r a n d o com as m a t r i z e s A e B, v e r i f i c a m o s a r e l a çã o - 1 3
BAB = A . Como temos o h o m o m o r f i s m o h i njetivo, e s s a r e l a ção se p r e s e r v a para <x e . Temos, então, =°<^ e,
Q O
como oc = /3> = e, temos a d e s c r i ç ã o da c l a s s e de i s o m o r f i s mo <^° < = 1 6 a2 (veja [ 7 ] )•
S a l i e n t a m o s , aqui, que este grupo, 1 6 P 3 a2» de 16 e l e m e n tos, é S y l o w 2 - s u b g r u p o de grupos Aut( ZZp X ZZ ) , ' para p pri' mo e p s 3 (mod 8) .
A ação de fa e T b nos s u bgrupos i somorfos a ZZ^ em
G é dada por ^ ( a ^ c ) = a{a^b^ c)a~^ = a1+1fc^ + 2e .
Então v \ /I
E Kl b^ a ) - b(a? b^ a)b~^ = + .
40
A ação de ](^ sobre o v etor ^ j é de uma tr an s lação.
0 m e s m o a c o n t e c e com )f^. Como est am os t r a b a l h a n d o no corpo Z 3 , p od e m o s c o l o c a r ^ ^ = ZZ^ , a s s o c i a n d o
( A
n \
a I I e j , que sao v et o r e s l i n e a r m e n t e i n d e p e n
dentes.
Os a u t o m o r f i s m o s ot e / 3 geram um grupo de 16 e l e m e n t o s , que e um s u b g r u p o de GL(2,ZZ3 ) , e os automorfi smos e
g e ra m um grupo de 9 e l e m e n t o s , de t r a n sl aç õe s . Assim, temos o ( < £ * , /*>, ra . rb ^ ) = 16.9 = 144.
2
Este grupo e um p r od u t o normal de tr a n s l a ç õ e s em TL3 por t r a n s f o r m a ç õ e s li n ea re s de G L ( 2 , Z 3 ) . A n o t e m o s
V * = zzl X 16 P3a2 .
Os e l e m e n t o s d es te g r up o podem ser e s c r i t o s c om o pares (tyl) , onde t é t r a n s l a ç ã o em 2Z3 e Z 6 1 6 P 3 a 2 > com a lei de c o m p o s i ç ã o = (t + l t ' , I I ')•
A s si m , A u t (6) é i s o m o r f o a um s u b g r u p o do g r u p o afim A(2,ZZ3 ) , do es p a ç o de d i m e n s ã o 2, sobre o corpo Z 3 .
Pelos c ál c u l o s que fi zemos, os a u t o m o r f i smos <XS /3S e Tj podem ser es cr i t o s como e le m e n t o s de ZZ2| S g , da f o r ma (e-j, ..., eg; 0") , onde c<, e c o r r e s p o n d e m a e l e m e n tos em que e-| = e2 = ••• = Sg = 1. Ao a u t o m o r f i s m o fò c o r r e s p o n d e um e l e m e n t o onde e-j = e2 = ... = e g = - 1 . Qu a n t o ã p e r m u t a ç ã o 6 , podemos d e t e r m i n a - l a f a c i l m e n t e para cx , y3 ,
41
e ^b *
com
0
uso da
n o t a Ç ao ^ ^j
P ara ca<*a g e r a d o r a ^ b ^ o dos 9 subg ru po s.Com r e l a ç ã o ãs p e r m u t a ç õ e s & , d e s t a c a m o s o fato que o h o m o m o r f i s m o g que a p a r e c e no d ia gr am a ^ 2 --- > ^ Sg * y ✓
v
Aut(G) é injetivo. 5. H o m o m o r f i s m o de Aut (G ) em Au t ( X 72.^ )\ Em G, temos um S y l o w 3 - s u b g r u p o , is o m o r f o a Z 3 XZZ.3. Este s u b g r u p o pode ser i n t e r p r e t a d o como e s p a ç o vetorial s o bre zz3 . Q u a l q u e r a u t o m o r f i s m o do espaç o linear 7Z1] e a u t o m o r -r fismo do g rupo ZZp X . . . X Z p = ZZp . V ^ ---' nAssim, temos GL(n,2Z ) Q.A u t( 2z ") (onde indica um
r r
h o m o m o r f i s m o injetivo).
Para que a outra i n c l u s ã o seja v e r d a d e i r a , i p r e c i s o v e r i f i c a r que ■ c . & p °<(kg) = ko<(g) , onde oc 6 Aut(ZZp ) .
Esta v e r i f i c a ç ã o e im ed i a t a por in du ç ão sobre k, a p e s a r de sõ p r e c i s a r m o s usã- l a para um num er o f i ni t o de v a l o r e s d e k
42
Aut(izjj) = G L(n,2Zp ) .
Por isto, e s c r e v e m o s Aut(ZZ3 X Z Z 3 ) = GL(2,ZZ3 )
Uma a n á l i s e da r e l a ç a o entre A u t (2 3 X ZZ3 ) 1 S-j = A u t ( Z 3 ) e Aut(G) t o r n a - s e d e s n e c e s s á r i a neste m o me nt o, em funçã o dos r e s u l t a d o s o b t id os com a a n á l is e an te r i o r , pois, la, c a r a c t e r i z a m o s c o m p l e t a m e n t e o grupo Aut(G).
Mas, se t i v é s s e m o s in i ci ad o o estudo deste g rupo pela a n á l i s e do h o m o m o r f i s m o f: A u t ( G )—> Aut(ZZ3 X ZZ3 ) £ S-j , o b t e ría mo s o r e s u l t a d o que d e s c r e v e m o s a seguir.
S a b e m o s que Aut( Z 3 X ZZ3 ) £ S-| = G L ( 2 , Z 3 ) . Então, o d i a grama
Aut(ZZ3 ) --- A u t ( 2 2 )£ S-,--- > S ]
A
f
Aut(G) pode ser r e e s c r i t o como
GL(2,ZZ3 ) —---^ GL(2,ZZ3 ) --- [e j f
Aut(G)
Seja, então, o h o m o m o r f i s m o / : A u t ( G ) G L ( 2 , 2 3 ) e c o n s i d e r e c*. é K er(/). Isto é, f(<x) é um a u t o m o r f i s m o trivial
p ^
de ZZ3 . P o rt an to , o<[a) - a e c<(&) = b . As p o s s í v e i s
i-~ i j k
m a ge n s para o , sob c<, sao: c<(a) = a b o , i,j = 0, 1 , 2 e k = 1 , 3.
E fácil v e r i f i c a r que k = 3 não d ef i n e um a u t o m o r f i s m o de G e, como todas as e s c o l h a s para i e j são p o s s í v e i s , t e mos Ker(/) = 2 3 X ZZ3>
43
P o d e mo s o b s e r v a r que, assim, r ec e b e m o s apenas uma das i n f o r m a ç õ e s o b t i d a s pela a n á l i s e do caso em que a e s c ol ha foi H = ZZ4 .
Para d e s t a c a r m o s o r e s u l t a d o obti do pela a n á l i s e deste grupo, r e e s c r e v e m o s este r e s u l t a d o em forma de teorema.
2
T e o r e m a : Seja o p r o d u t o s e m i - d i r e t o 6 = ZZ 3 XIZZ ^ , i s o m o r fo a um s u b g r u p o do grupo A(2 a2Z 3 ) , onde elemen
-o _
tos de ZZ4 a tu am por c o n j u g a ç ã o em TLg , com a açao dada
(
0 21 0
Nesta s c o n d i ç õ e s , o gr upo Aut(G) pode t a m b é m ser i n j e t a d o em A(2,2Z3 ) e herda a e s t r u t u r a de p ro d u t o ci nd id o
o
de A(2,ZZ3 ) , c i n d i n d o da forma ^ 3X1 1 6 ^ 2 .
No c a p i t u l o s e g u i n t e , d e m o n s t r a m o s um teo re m a para uma c l a s s e de grup o s que a b r a n g e G, r e c e b e n d o uma g e n e r a l i z a ç ã o do r e s u l t a d o acima.
C A P Í T U L O VI - G E N E R A L I Z A Ç Ã O : A u t ( G ) < A(n,ZZp )
No c a p í t u l o a nt e r i o r , e s t u d a m o s o pro du t o s e m i - d i r e t o O
G = Z Z ^ X l Z ^ , c o n s i d e r a d o como s ub g r u p o do grupo afim A(2,ZZ3 ) . V e r i f i c a m o s que o grupo Aut(G) t a m b é m c i n d e e é
i so m o r f o a um s u b g r u p o do g rupo A(2,2Z3 ) .
Este r e s u l t a d o nos m o t i v o u a b u s c a r m o s uma g e n e r a l i z a ção d es te g ru po G. G o s t a r í a m o s de e n c o n t r a r um g r u p o que seja um p r o d u t o c i nd i d o , que possa ser i n j e t a d o no g rupo à- fim, cujo g r up o de a u t o m o r f i s m o s t a m bé m cinda e seja i s o m o r fo a um s u b g r u p o do g rupo afim.
2
Com esta finalidade., no lugar de TL^ tomamos o g rupo
a-b el i a n o e l e m e n t a r ZZp , p primo, e f o r m a m o s uma e x t e n s ã o se - m i - d i r e t a d e st e gr upo por um grupo cí c l i c o ZZ^ . A ação de
c o n j u g a ç ã o de e l e m e n t o s de 5Z^ em ZZp e dada por:
a) = cao _1 , onde Y V z q - > A u t ( Z Z p ) : < ? Vc » e e
sufi-cie n te d e f i n í - í a para n g e r a d o r e s a ^ de 2Zp , o b t e n d o e x p re
s-1 ^1i m2i mni «
sões da forma o a ^° = a \ «2 • * • a n • Como TL pode ser t r a t a d o como e sp a ç o vetorial n - d i m e n s i o n a l , v a mos c o n s i d e ra r se q ü ê n c i a ( m ^ ... m nJ.) como v etor em Z p (a imagem
do j - ê s i m o v e t o r básico) e a acão ^ em a.GZZj? será des -' o j p crita, então, por uma m a t r i z M = (m^j) de G L ( n , 2 p ) , com
45
a c o n v e n ç ã o c o mu m de a p r e s e n t a r v e t o r e s - i m a g e n s como colunas. A l é m disso, e n c o n t r a r e m o s a s i t u a ç ã o do s u b g r u p o H de a l g u m g r up o G tal que todos os seus a u t o m o r f i s m o s p o s s a m ser r e a l i z a d o s por c o n j u g a ç ã o em G. Então, c o n s i d e r e o h o m o m o r -fismo V : Nq (H ) —> Aut (H ) : u -> Y* , onde )^u atua por c o n j u
gação em e l e m e n t o s de H: = uhu"^ , u 6 Ng(H) , h e H .
No caso de G finito, para que Im(X')= Aut(H) e n e c e s s á rio e s u f i c i e n t e que ^Ng(H) : Zg(H)^] = o(Au t( H) ). Por isso , i n t r o d u z i m o s a n oção que segue.
Defi ni ç ã o : Di z e m o s que um s u b g r u p o H de um grupo fi ni t o G é versátil qu a n d o há a i g u a l d a d e [Nq(H) : Zq(H)^ = o( Au t ( H ) ) .
A g e n e r a l i z a ç ã o que b u s c a m o s será d e s c r i t a no te or e m a a s eguir, onde p r e c i s a r e m o s das s e g u i n t e s de fi n i ç õ e s :
Defi ni ç ã o : Seja G gr upo f i ni t o e M e s p a ç o vetorial s obre o c orpo K. Uma r e p r e s e n t a ç ã o T é um h o m o m o r f i s m o T : g - ^ T(g) de G em G L (M ).
Defi ni ç ã o : Uma r e p r e s e n t a ç ã o T é fiel se T é injetivo.
Defi ni ç ã o : Seja T uma r e p r e s e n t a ç ã o de G em GL(M) e seja N um s u b e s p a ç o de M. N e s u b e s p a ç o i n v a r i a n t e de T(G) se T ( N ) C N .
Defi ni ç ã o : Uma r e p r e s e n t a ç ã o T :G G L ( M ) é irr e du tí ve l se os úni c os s u b e s p a ç o s i n v a r i a n t e s de T (G ) são os triviais.
T e o r e m a : Seja G = Z ^ X Z Z q , p primo, e seja d : ZZq -> GL ( n ,ZZp ) : o -> M uma r e p r e s e n t a ç ã o fiel de ZZ^ , onde á(TZ^) é versátil e M não tem v a lo r pró p ri o 1 .
46
N e s t a s c o n d i ç õ e s , o g r u p o Aut(G) tem uma i n j e ç ã o n a t u ral no g r u po af i m A(n,Z?p ) e possui a e s t r u t u r a de pro du to
c i n d i d o 2 ”> J K , onde K " N GL(n,ZZp ) V Se L e i r r e d u t í v e l , a o r d em de Aut(G) e p n.( p n - 1 ).£p(q) • D e m o n s t r a ç ã o : A d e m o n s t r a ç ã o do t e o re ma sera d i v i d i d a nos s e g u i n t e s p o n t o s : 1. A p l i c a ç ã o in je t i v a G £ * A ( n , Z p ) ; 2. N ú m e r o de cópi a s de ZZ^ em G ; 3. As p n cóp ia s de ZZ são c o n j u g a d a s ; • H 4. H o m o m o r f i s m o A u t ( G ) - ^ S^ , k = p n ;
5. C o n j u g a ç õ e s por h & 2Zp a t u am como t r a n s l a ç õ e s ;
6. Exist e uma única copia de Z p èm G ;
7. A u t o m o r f i s m o s de G l e v a n t a m - s e para A(n,ZZp ) ; 8. A u n i c i d a d e do l e v a n t a m e n t o e
9. O r d e m de Aut( G) para £. ir r ed utível
1. A p l i c a ç ã o i n j e t i v a G Q A ( n , 2 Z p )
Seja a c1 6 G. Como a p e r t e n c e a um s u b g r u p o ZZp , que
c o r r e s p o n d e ao e s p aç o ve t orial ZZp sobre 2Zp, e a ação de
c o n j u g a ç ã o por o no g r u p o z " , c o r r e s p o n d e ã ação da m a t r i z
r
M ^ G L ( n , 2 Z ) , é natural a n o t a r o e l e m e n t o ac?1 em forma de r
defi-47
nir um m o n o m o r f i smo 0 : G -> A(n >^Zp) : a e 1-» (a, M 1 ) . V e r i f i c a m o s que 4> e homomorfi smo :
{ a c ^ ) { b c ^ ) = a c ^ b c ^ = a c ^ b c 1" c1'e'* = a 'f ^ (b ) c1 = c
= {a + M 1 (Z>) , M 1 + J ) = (a, M 1 ) (Z>, M J ) .
O b v i a m e n t e <j) e i n j et iv o, pois temos u n i c i d a d e de n o tação para e l e m e n t o s de G, na forma a c 1
Graças à i njeção de G em A(n, 7L ) , podemos f azer c á l c u l o s em G t r a t a n d o seus e l e m e n t o s como pares
(a, M 1 ) 6 A ( n , ZZ p ) .
2. Nú me r o de c ó p i as de Z? e m G _________________ !_____________ g________
Vamos v e r i f i c a r que cada e l e m e n t o da forma a c gera uma copia de 2Z^ . Para o b te r m o s isso, v e r i f i c a r e m o s que a ordem desse e l e m e n t o é q.
i 1-1 k i
Temos que {ao) = ( 2 . M { a ) ) . c , o que o r ovamos a k = 0
seg u ir por indução:
P r i m e i r o passo indutivo:
i 0 i
Para i = 1 ■=£> {ac)' = { z . MK { a ) ) . c l = \ { a ) c = ac. k = 0
Em segui da , vamos s upor que a i g u a l d a d e vale para a r b i trário, mas fixo, i = j - 1 :
( a e ) ^ 1 = ( Z .2 M k ( a ) ) . c j " 1 k = 0
e v e r i f i c a m o s a v a l i d a d e da fórmula para i = j :
{ac)^ = {ac)^ ^ . {ac)^ = ( 2Ü- M ^ ( a ) ) . c d ^ ) . { a c ) =
Ass i m, temos ( a e) 1 = fcc1 , b €: z ” . r
Em s e g u i d a , vamos c a l c u l a r a o r d e m de ac.
Como temos u n i c i d a d e de n o t a ç ã o para e l e m e n t o s de 6 na forma i c1 , o fato que b a1 = e implica, em b = e e o 1 = e.
Esta úl t i m a i g u a l d a d e implica em q|i, ja que o(o) = q. Então, o m e n o r c a n d i d a t o para a o r d em de a c e o núm er o q. C a l c u l a m o s a parte t r a n s i a c i o n a l de (ae)^, que e igual a
q - i k ( S L M ( a ) ) . k = 0 c>"1 k a N o t a m o s que ( ^ M ) ( M - I) = - I e, em se guida, k = 0
que - I e a m a t r i z 0 (lembre que TL —^ 6L(n ,ZZ ): c M
M r
e r e p r e s e n t a ç ã o fiel), a s s i m como (M - I) é i n v e r s T v e l , jã que M não tem v al or p r ó p r i o 1. Em c o n s e q ü ê n c i a ,
q_1 k q_1 k
Z L M K = 0 e ( ^ _ M ) (a) = 0(a) = o .
k=0 k=0
Então, cada e l e m e n t o da forma a o gera uma copia de TL
D i f e r e n t e s a, b G TL*} g e ra m cóp i as d i v e r s a s de TL , pois
r H
b o £ « a o ^ imp l ic a em 3 ba = ( a c ) 1 , o que impl ic a em i
i = 1 e a = b . Como a G. 7Zn , temos tantas copias de TL
P q
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3. As p n có pi a s de ZZ são c o n j u g a d a s H
V amos v e r i f i c a r se duas cóp i as de ZZ^ são co n j u g a d a s . Dados dois g e r a d o r e s de TL , ao e a'e, vamos v e r i f i c a r
M
se e x i s t e que os c on j u g u e . Para isso, é n e c e s s á r i o
que (2>, I ) ( a , M)(2>, I) " 1 = ( a ' , M) , o que é e q u i v a l e n t e a
(fc, I) (a, M) = ( a \ M)(2>, I) . Então
(b + I ( a ), IM) = (a\ + M(Z>), MI), que i mplica em b + a = a' + M(&) (1 ) IM = MI (2) A i g u a l d a d e da e q u a ç ã o (2) é óbvia. Da e q u a ç ã o (1 ), temos b - M(Z>) = a' - a =?> (I - M)(2>) = a 1 - a. Em v i r t u d e da e x i s t ê n c i a de (I - M) ^ (como no ta mo s no ponto 2), temos b = ( I - M ) "1 (a' - a ) .
Ass im , para duas copias q u a i s q u e r de TL , e n c o n t r a m o s H
b S 2Zn que as c on ju gu e . Logo, temos que as p n c o p ia s de P
ZZ são c on j u g a d a s , H
4. H o m o m o r f i s m o A u t ( G ) , k = p n
Como temos k = p n cópias c o n j u g a d a s de TL , o b v i a m e n te a u t o m o r f i s m o s de G vão p e r m u t a r essas k cópias. Assim,
