2019-13-14-RESUMO-ALGLIN

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Algebra Linear BC1425

Universidade Federal do ABC - UFABC Outubro, 2019

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Algebra Linear BC1425 (Universidade Federal do ABC - UFABC)Espa¸cos Vetoriais Outubro, 2019 1 / 28

Espa¸cos Vetoriais

Quarta Aula

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Coordenadas

Teorema 1

V espa¸co vetorial Seja B uma base para V Ent˜ao

Qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito de maneira ´unica como

combina¸c˜ao linear dos vetores de B.

Coordenadas

V espa¸co vetorial

Seja B = { v1, v2, · · · , vn} uma base para V

Se v ∈ V , existem escalares α₁, α₂, · · · , α_n tais que v = α1v1+ α2v2+ · · · αnvn

Esses n escalares α₁, α₂, · · · , α_n s˜ao chamados coordenadas de v na base B. O vetor [v ]B = [α1, α2, · · · , αn] ou [v ]B =      α₁ α2 .. . αn      ´

(2)

Exemplos

(1) V = P2

B = { 1, x, x2_{} base canˆ}_{onica de P} 2.

O vetor de coordenadas do polinˆomio

p(x ) = a + bx + cx2 na base canˆonica de P2 ´e

[p(x )]B =   a b c  

Note que [p(x )]B ´e um vetor em R3.

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Em geral, o vetor de coordenadas do polinômio p(x ) = a₀+ a₁x + · · · + a_nxn na base canônica B = { 1, x , · · · , xn} de Pn é:

[p(x )]B=      a₀ a₁ .. . an     

Observe que [p(x )]B ´e um vetor de Rn+1.

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(2) V = M_2(R)

B = { E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂} base canˆonica de M_2(R) O vetor de coordenadas da matriz

A =

2 −1

4 3

na base canˆonica de M_{2(R) ´e}

[A]B=     2 −1 4 3    

Note que, [A]B ´e um vetor em R4.

Em geral,

o vetor de coordenadas de uma matriz quadrada de ordem n tem n2 _coordenadas.

o vetor de coordenadas de uma matriz de ordem m × n tem m × n coordenadas.

(3)

B = { v₁, v₂, · · · , v_n} uma base para o espa¸co vetorial V .

I [u + v ]B= [u]B+ [v ]B, para u, v ∈ V

I [α · u]B= α · [u]B, para u ∈ V e α escalar.

I Em geral,

[α1u1+ · · · + αkuk]B= α1· [u1]B+ · · · + αk· [uk]B

I _{{ u}₁_{, · · · , u}_k_{} ´e LI em V} _⇔ _{{ [u}₁_]_B_{, · · · , [u}_k_]_B_{} ´}_{e LI em R}n_.

Importante: Os vetores de coordenadas nos permitem transferir informa¸c˜ao de um espa¸co vetorial arbitr´_{ario V para R}n.

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Teorema 2

V espa¸co vetorial

B = { v1, v2, · · · , vn} uma base para V Ent˜ao

(i) Um conjunto com mais de n vetores ´e LD.

(ii) Um conjunto com menos que n vetores n˜ao gera V .

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Teorema 3

Se um espa¸co vetorial V tem uma base de n vetores, toda base de V tem

n vetores.

Todas as bases de V tem o mesmo n´umero de vetores.

Defini¸c˜ao

Dizemos que um espa¸co vetorial V tem dimens˜ao finitase admite uma base com uma quantidade finita de vetores.

A dimensão de V é o número de vetores de uma base de V e é

denotada por dim V.

A dimensão do espa¸co vetorial nulo é definida como sendo zero. Um espa¸co vetorial V que não tem base finita é um espa¸co vetorial de

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Exemplos

(1) A base canˆ_{onica de R}n tem n vetores, ent˜_{ao dim R}n= n.

(2) A base canônica de P_n tem n + 1 vetores, então dim P_n = n + 1. (3) A base canônica de M_n_{(R) tem n}2 vetores, então dim M_{n(R) = n}2. (4) A base canônica de Mm×n(R) tem m × n vetores, então

dim Mm×n(R) = m × n.

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Teorema 4

V espa¸co vetorial dim V = n Ent˜ao

(i) Qualquer conjunto LI em V cont´em no m´aximo n vetores.

(ii) Qualquer conjunto gerador de V cont´em no m´ınimo n vetores.

(iii) Qualquer conjunto LI com n vetores ´e uma base de V .

(iv) Qualquer conjunto gerador de V com n vetores, ´e uma base de V .

(v) Qualquer conjunto LI de com r < n vetores, pode ser extendido a uma base de V . Se {v₁, · · · , v_r} ´e LI, podemos encontrarw_{r +1}, · · · , w_n

vetores tais que {v1, · · · , vr,wr +1, · · · , wn} ´e uma base de V .

(vi) Qualquer conjunto gerador de V com r ≥ n vetores, pode ser

reduzido a uma base de V com n vetores.

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Exemplos

1 B = {1 + x; 2 − x + x2; 3x − 2x2; −1 + 3x + x2}; base para P₂ ? 2 B = 1 0 1 1 , 0 −1 1 0 , 1 1 0 −1 ; base para M_{2(R) ?}

Dimens˜

ao de um subespa¸co vetorial

Teorema 5

dim V = n

W subespa¸co vetorial de V Ent˜ao

dim W ≤ n.

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Problema

Seja W um subespa¸co vetorial de V gerado pelos vetores

v₁, v₂, · · · , v_n, ou seja,

W = ger (v₁, v₂, · · · , v_n) Queremos achar uma base para W .

Observemos que:

Se o conjunto { v1, v2, · · · , vn} é LI, ele é uma base para W . Se o conjunto { v₁, v₂, · · · , v_n} é LD, ele pode ser reduzido a uma base para W .

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Solu¸c˜ao:

1 Forme a matriz M = (v₁ v₂ · · · v_n)

2 Reduza M por linhas `a forma escalonada

3 Para cada coluna C_k na matriz escalonada sem um pivˆo, elimine o

vetor vk do conjunto de vetores dados

4 Destaque os vetores restantes (que correspondem a colunas com

pivˆos).

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Exemplo 1

Seja W um subespa¸co de R3 gerado pelos vetores

v1 = (1, −1, 1), v2= (−1, 4, 2), v3 = (1, 2, 4) Achemos uma base para W . Pelo algoritmo:

M =   1 −1 1 −1 4 2 1 2 4  ∼   1 −1 1 0 1 1 0 0 0  

Os pivˆos aparecem nas colunas C1 e C2.

Logo {v1, v2} ´e uma base de W e dim W = 2.

Observa¸c˜

ao

O fato de a coluna C₃ não conter pivô significa que v₃ é combin¸cão linear de v1 e v2. De fato:

Para verificar se v₁, v₂, v₃ s˜ao LD ou LI, escrevemos α1v1+ α2v2+ α3v3= 0V Da´ı temos que

   α1− α2+ α3= 0 −α1+ 4α2+ 2α3= 0 α₁+ 2α₂+ 4α₃= 0 ∼ α1− α2+ α3 = 0 α₂+ α₃ = 0 Como α₃ ´e a vari´avel livre, tomando α₃= 1 temos

α2= −1 e α1= −2.

(6)

Pergunta: É poss´ıvel estender o conjunto { v₁, v₂} a uma base de V = R3 ? Pelo algoritmo:   1 −1 −1 4 1 2  ∼   1 −1 0 1 0 0   ⇒   1 −1 0 0 1 0 0 0 1   Então { v1, v2e3} é um conjunto LI em R3. Logo, { v1, v2e3}

´_{e uma base para R}3.

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Exemplo 2

V = P₂

Seja W = ger (1, 1 + x , 1 + x + x2) um subespa¸co de P2 Achemos uma base para W

Como [p(x )]B = [1, 0, 0], [q(x )]B = [1, 1, 0], [r (x )]B= [1, 1, 1]. Pelo algoritmo   1 1 1 0 1 1 0 0 1   ent˜ao { p(x ), q(x ), r (x ) } ´e LI.

Como dim P2= 3, temos que

{ p(x), q(x), r (x) } ´

e uma base para W , ent˜ao dimW = 3. Logo

W = P₂.

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Exemplo 3

Estenda {1 + x , 1 − x } a uma base de P2.

dim P₂ = 3

Fixemos a base canˆonica de P2, ou seja, B = {1, x , x2}. Como [p(x )]B= [1, 1, 0], [q(x )]B = [1, −1, 0]. Pelo algoritmo:

  1 1 1 −1 0 0  ∼   1 1 0 1 0 0   ⇒   1 1 0 0 1 0 0 0 1   Assim, {[p(x )]B, [q(x )]B,[r (x )]B}, ´e um conjunto LI em R3.

Ent˜ao {p(x ), q(x ),r (x )} ´e um conjunto LI em P2. Observe que [r (x )]B = [0, 0, 1] implica que

r (x ) = 0 · 1 + 0 · x + 1 · x2 = x2 Logo, {1 + x , 1 − x ,x2} ´e uma base para P₂.

Exemplo 4

Seja W um subespa¸co de V = R5 gerado pelos vetores

v1 = (1, 2, 1, −2, 3), v2 = (2, 5, −1, 3, −2),

v₃ = (1, 3, −2, 5, −5), v₄ = (3, 1, 2, −4, 1),

v5 = (5, 6, 1, −1, −1)

Achemos uma base para W . Pelo algoritmo:       1 2 1 3 5 2 5 3 1 6 1 −1 −2 2 1 −2 3 5 −4 −1 3 −2 −5 1 −1       ∼       1 2 1 3 5 0 1 1 −5 −4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      

Os pivˆos aparecem nas colunas C1, C2 e C4 {v₁, v₂, v₄} ´e uma base de W e dim W = 3

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O fato de a coluna C3 n˜ao conter pivˆo significa que α₁v₁+ α₂v₂= v₃

tem solu¸cão, logo v3 é combina¸cão linear de v1 e v2

O fato de a coluna C5 n˜ao conter pivˆo significa que α₁v₁+ α₂v₂+ α₃v₃+ α₄v₄ = v₅

tem solu¸cão, logo v5 é combina¸cão linear de v1, v2, v3 e v4

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De fato, como o sistema            α₁+ 2α₂+ α₃+ 3α₄+ 5α₅ = 0 2α₁+ 5α₂+ 3α₃+ α₄+ 6α₅ = 0 α1− 2α2− 2α3+ 2α4+ α5 = 0 −2α1+ 3α2+ 5α3− 4α4− α5 = 0 3α1− 2α2− 5α3+ α4− α5 = 0

´e equivalente ao sistema escalonado    α1+ 2α2+ α3+ 3α4+ 5α5 = 0 α2+ α3− 5α4− 4α5 = 0 α₄+ α₅ = 0

Como α₅ e α₃ s˜ao vari´aveis livres tomando α5= 0 e α3= 1 temos que v3 = −v1+ v2.

α₅= 1 e α₃= 1 temos que v₅ = −v₁+ 2v₂− v₃+ v₄.

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Exerc´ıcios

(1) Os vetores

v₁ = (1, 1, 1, 1), v₂ = (1, 2, 3, 2),

v₃ = (2, 5, 6, 4), v₄ = (2, 6, 8, 5)

geram o espa¸_{co vetorial V = R}4 ? Justifique sua resposta.

(2) _{Seja W o subespa¸co de V = R}4 gerado pelos vetores

v1 = (1, −2, 5, −3), v2= (2, 3, 1, −4), v3 = (3, 8, −3, −5) (i) Ache uma base e a dimens˜ao de W

(ii) Estenda a base de W a uma base de todo o espa¸co V = R4.

(3) Encontre o vetor de coordenadas de A =

1 2 3 4 na base 1 0 1 1 1 1 1 1

(4) Encontre o vetor de coordenadas de p(x ) = 1 + 2x + 3x2 na base

B = { 1 + x, 1 − x, x2_}.

(5) Estenda {1 + x , 1 + x + x2_{} a uma base de P}

2. (6) Estenda 0 1 0 1 , 1 1 0 1 a uma base de M_2(R).

(7) Encontre uma base para ger (1 − 2x , 2x − x2, 1 − x2, 1 + x2) em P₂.

(8) Encontre uma base para

ger 1 0 0 1 , 0 1 1 0 , −1 1 1 −1 , 1 −1 −1 1 em M_2(R).