TESOURARIA E MATEMÁTICA FINANCEIRA PV = Valor Presente FV = Valor Futuro PMT = Pagamento (parcela) n = Prazo (tempo) i = Taxa de Juros OBSERVAÇÕES:
a) Os juros simples quase não são praticados no Brasil; b) É mais fácil calcular juros simples com o uso da fórmula; c) Os descontos compostos quase não são praticados no Brasil;
d) O desconto mais usado é o DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) a juros simples. e) O conhecimento das fórmulas permite o cálculo com qualquer calculadora e ainda
melhora o raciocínio.
f) Com o uso das fórmulas, a taxa de juros (i) deve ser sempre dividida por 100. Exemplo: 5% ficaria 0,05 na fórmula.
g) Cálculos de séries uniformes (parcelas) são muito mais fáceis na HP-12C.
JUROS SIMPLES – EXERCÍCIOS
1 – Determine o valor dos juros e o montante de um capital de R$ 55.000,00 aplicado a 1,5% a.m durante 18 meses.
RESOLUÇÃO: PV = R$ 55.000,00 n = 18 meses i = 0,015 a.m. (dividimos 1,5:100) J = ? FV = ? J = PV . i . n = 55.000 . 0,015 .18 = R$ 14.850,00 FV = PV + J = R$ 55.000,00 + R$ 14.850,00 = R$ 69.850,00
2 – Qual é o valor dos juros exatos (365 dias) e comerciais (360 dias) devidos ao capital de R$ 1.500,00 aplicados à taxa de juros simples de 7,5% a.s. durante dois anos e três meses? RESOLUÇÃO:
PV = R$ 15.000,00
i = 7,5% a.s. ou 15 a.a. Usamos 0,15 no cálculo. n = 2 anos e 3 meses = 4,5 semestres = 810 dias J = ?
Para cálculo dos juros exatos, usamos o ano civil com 365 dias: J = PV . i . n = R$ 15.000 . 0,15 . (810/365) = R$ 4.993,15
Para cálculo dos juros comerciais, usamos o ano comercial com 360 dias: J = PV . i . n = R$ 15.000 . 0,15 . (810/360) = R$ 5.062,50
3 – Que montante (exato e comercial) receberá um investidor que tenha aplicado R$ 30.000,00 durante dois anos e nove meses a uma taxa de juros simples de 4% a.t?
PV = 30.000,00
n = 2 anos e 9 meses = 11 trimestres = 990 dias i = 0,04 a.t. = 0,16 a.a.
FV = ?
Resolução do montante exato (ano civil com 365 dias): FV = PV(1 + i . n) = 30.000(1 + 0,16 . 990/365) = 43.019,18 Resolução na HP-12C 30000 ENTER 1 ENTER 0,16 ENTER 990 x 365 ÷ + x
Resolução do montante comercial (ano comercial com 360 dias): FV = PV(1 + i . n) = 30.000(1 + 0,16 . 990/360) = 43.200,00 Resolução na HP-12C 30000 ENTER 1 ENTER 0,16 ENTER 990 x 360 ÷ + x
4 – Calcule o valor dos juros de cada mês e o montante produzido por um capital de R$ 8.000,00, aplicado por um período de três meses, rendendo 1,3%, 2,0% e 1,5% ao mês, respectivamente. PV = 8.000,00 n = 3 meses i1 = 0,013 a.m. i2 = 0,02 a.m. i3 = 0,015 a.m J1 = ? J2 = ? J3 = ? FV = ?
Resolução pela fórmula: J1 = 8.000,00 x 0,13 = 104,00 J2 = 8.000,00 x 0,02 = 160,00 J3 = 8.000,00 x 0,015 = 120,00
FV = 8.000,00 + 10,4,00 + 160,00 + 120,00 = R$ 8.384,00 Ou:
FV = PV(1 + 0,013 + 0,02 + 0,015) = R$ 8.384,00
5 – Uma instituição financeira paga a taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual a quantia a ser aplicada hoje para obter R$ 12.000,00 ao final de três anos a juros simples?
FV = R$ 12.000,00 n = 3 anos = 36 meses i = 0,013 a.m.
PV = ?
Resolução pela fórmula: PV = FV / (1 + i . n)
PV = 12.000 / (1 + 0,013 . 36) = 8.174,39
6 – Encontre o valor do capital que, aplicado à taxa de 13% a.a., durante nove meses, gerou juros de R$ 1.462,50.
J = 1.462,50
N = 9 meses = 9/12 ano I = 0,13 a.a.
PV = ?
Resolução pela fórmula: PV = J / (i . n)
PV = 1.462,50 / (0,13 . 9/12) PV = 15.000,00
7 – Um investidor aplicou R$ 25.000,00 em um título de renda fixa , com prazo de 18 meses até o vencimento a uma taxa de juros simples de 10,5% a.a. Entretanto, por causa da necessidade de recursos, vendeu o título no mercado 13 meses após a sua compra.
Determine o valor recebido e a taxa de juros obtida por ele ao final das duas operações, sabendo que a taxa de juros do mercado à época da venda era de 12,75% a.a.
PV = 25.000,00
n1 = 18 meses = 1,5 ano
n2 = 5 meses (18 – 13 meses) = 5/12 ano i1 = 0,105 a.a.
i2 = 0,12175 a.a FV = ?
Passo 1: cálculo do valor de resgate do título no vencimento:
FV = PV(1 + i1 . n1) = 25.000(1 + 0,105 . 1,5) = 28.937,50 (valor que o investidor receberia caso permanecesse com o título até o vencimento).
Passo 2: cálculo do valor presente, considerando a antecipação de 5 meses e uma taxa de 12,75%, vigente no momento da venda:
PV = FV / (1 + i2 . n2)
PV = 28.937,50 / (1 + 0,1275 . 5/12)
PV = 27.477,74 (valor recebido ao final das duas operações, em virtude do resgate antecipado do título).
Passo 3: cálculo da taxa obtida ao final das duas operações: PV = 25.000,00
FV = 27.477,74 n1 = 1 período i = ?
Podemos calcular a taxa assim: i = (FV/PV) -1
i = (27.477,74/25.000,00) -1 i = 0,0991 ou 9,91 ao período.
8 – A que taxa um capital de R$ 2.320,00 aplicado durante 225 dias rendeu R$ 217,50 de juros? PV = 2.320,00 n = 225 dias = 7,5 meses J = 217,50 FV = 2.320,00 + 217,50 = 2.537,50 i = ?
Podemos usar esta fórmula, já que não temos o FV: i = J / (PV . n)
i = 217,50 / (2.320,00 . 7,5) i = 0,0125 ou 1,25% a.m
9 – Durante quantos meses um capital de R$ 2.500,00 ficou aplicado a 3,3% a.t. para render R$ 990,00 de juros?
PV = 2.500,00 I = 0,033 a.t J = 990,00 n = ?
Podemos resolver utilizando esta fórmula: n = J / (PV . i)
n = 990 / (2.500 . 0,033) n = 12 trimestre = 36 meses
JUROS COMPOSTOS – EXERCÍCIOS
10 – Determine o montante de um empréstimo de R$ 12.000,00 ao final de seis meses, no regime de capitalização composta com taxa de 2,5% a.m.
RESOLUÇÃO:
PV = R$ 12.000,00 n = 6 meses
i = 0,025 a.m. FV = ?
Resolução pela fórmula:
FV = PV(1 + i)n = 12.000,00(1 + 0,025)6 = 13.916,32
Resolução na HP-12C:
12000 CHS PV (CHS para dizer que houve uma saída de caixa) 2,5 i (na HP a taxa é sempre em %)
6 n (deve estar na mesma base de tempo da taxa de juros) FV RESPOSTA = R$ 13.916,32
11 – Precisando de recursos desesperadamente, um investidor descontou um título de crédito de R$ 45.000,00 cerca de 7,5 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de juros compostos de 2,25% a.m. Determine o valor recebido na operação.
RESOLUÇÃO:
Aqui traremos um valor do futuro para o presente. FV = R$ 45.000,00
n = 7,5 meses i = 0,0225 a.m PV = ?
Resolução com a fórmula:
PV = FV / (1 + i)n = 45.000,00 / (1 + 0,0225)7,5 = R$ 38.083,57
Resolução na HP-12C
45000 CHS PV
2,25 i (taxa sempre em %)
7,5 n (sempre na mesma base de tempo da taxa de juros) PV RESPOSTA = R$ 38.083,57
NECESSÁRIO DEIXAR A FUNÇÃO “C” ATIVADA PARA NÃO CONFUNDIR A CALCULADORA COM JUROS SIMPLES.
12 – Determine o montante de um capital de R$ 25.000,00, investido por 116 dias a uma taxa de juros compostos de 1,75% a.m.
PV = R$ 25.000,00
n = 116 dias = 3,8667 meses (mês de 30 dias) i = 0,0175 a.m
FV = ?
Resolução pela fórmula:
FV = PV(1 + i)n = 25.000,00(1 + 0,0175)116/30 = R$ 26.734,56
Resolução pela HP:
25000 CHS PV
1,75 i (na HP a taxa é sempre em %)
116 ENTER ÷ n (n sempre na base de juros igual a i) FV R$ 26.734,56
13 – Determine o capital que, aplicado a 2,75% a.m. durante 18 meses, rende juros compostos de R$ 12.591,39.
Aqui devemos usar a fórmula. Não temos nem PV e nem FV J = R$ 12.591,39 n = 18 meses i = 0,0275 PV = ? Resolução: PV = J / [(1 + i)n – 1] = 12.591,40 / [(1 + 0,0275)18 – 1] = R$ 20.000,00
14 – Um investidor aplicou R$ 50.000,00 em títulos que renderam juros compostos de R$ 4.660,14 após 135 dias de aplicação. Determine a que taxa mensal de juros compostos esteve aplicado esse capital.
J = R$ 4.660,14 PV = R$ 50.000,00
FV = PV + J = 50.000,00 + 4.660,14 = R$ 54.660,14 n = 135 dias = 4,5 meses
i = ?
Resolução pela fórmula:
I = [(FV/PV)(1/n)] – 1 = [(54.660,14/50.000,00)(1/4,5)] -1 = 0,02 ou 2% Resolução na HP-12C: 54660,14 CHS PV 50000 PV 135 ENTER 30 ÷ n i RESPOSTA 2,0%
15 – Considerando um rendimento médio de 0,55% a.m da caderneta de poupança, quantos meses são necessários para que um capital de R$ 1.000,00 renda R$ 140,70 de juros
compostos?
Aqui temos o PV e encontramos o FV somando o PV + Juros PV = R$ 1.000,00
FV = R$ 1.140,70 i = 0,0055
n = ?
Resolução pela fórmula:
Para acharmos o período (n) devemos usar a fórmula com logaritmo (toda calculadora tem). N = ln(FV/PV) / ln(1 + i) N = ln(1.140,70 / 1.000) / ln(1 + 0,0055) N = 24 meses Resolução pela HP-12C 1140,70 CHS PV 1100 PV 0,55 i
n RESULTADO = 24 meses (como a taxa inserida foi em meses, o prazo “n” já é dado ao mês)
16 – Um capital de R$ 35.000,00 aplicado a uma taxa de juros compostos de 2,2% a.m. gerou um montante de R$ 41.317,99. Quanto tempo ficou aplicado esse capital?
PV = R$ 35.000,00 FV = R$ 40.317,99 i = 0,022 a.m. n = ?
Resolução pela fórmula: n = ln(FV/PV) / ln(1 + i) n = ln(40.317,99 / 35.000) / ln(1 + 0,022) n = 6,5 meses Resolução pela HP-12C 40317,99 CHS PV 35000 PV 2,22 i
n RESULTADO = 7 meses (a HP não fornece o resultado exato para o caso de período fracionário. Para o resultado exato devemos inserir a taxa equivalente ao dia, obtendo então o período da operação em dias. Veremos as taxas equivalente na próxima seção).
17 – Em quantos meses um capital triplica o seu valor, considerando uma taxa de juros composta de 3,0% a.m.?
PV = ?
FV = 3 x PV = ? (precisamos triplicar o valor do PV) i = 0,03 a.m
Aqui podemos adotar R$ 1,00 para PV e R$ 3,00 para FV (já que triplica). Você também pode usar R$ 100,00 e 300,00.
Resolução pela fórmula: n = ln(FV/PV) / ln(1 + i) n = ln(3,00 / 1,00) / ln(1 + 0,03) n = 37,167 meses Resolução pela HP-12C 3,00 CHS PV 1,00 PV 3 i
n RESULTADO = 38 meses (a HP não fornece o resultado exato para o caso de período fracionário. Para o resultado exato devemos inserir a taxa equivalente ao dia, obtendo então o período da operação em dias. Veremos as taxas equivalente na próxima seção).
TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES - EXERCÍCIOS
18 – Dada a taxa de 6% a.s., determine as taxas proporcionais (juros simples) mensal, trimestral, bimestral e anual.
Resolução: im = is/6 = 0,06/6 im = 0,01 ou 1% a.m. it = is/2 = 0,06/2 it = 0,03 ou 3% a.t. ib = is/3 = 0,06/3 ib = 0,02 ou 2% ia = is . 2 = 0,06 . 2 ia = 0,12 ou 12% a.a
19 – Determine as taxas trimestral, semestral, e anual proporcionais (juros simples) e equivalentes (juros compostos) à taxa de 2,0% a.m.
Resolução da taxa proporcional (juros simples): it = im . 3 = 0,02 . 3 it = 0,06 ou 6% a.t. is = im . 6 = 0,02 . 6 is = 0,12 ou 12% a.s. ia = im . 12 = 0,02 .12 ia = 0,24 ou 24% a.a.
Resolução da taxa equivalente (juros compostos):
It = (1 + im)3 It = (1 + 0,02)3 It = 0,0612 ou 6,12% a.t. Is = (1 + im)6 Is = (1 + 0,02)6 Is = 0,01262 ou 12,62% a.s. Ia = (1 + im)12 Ia = (1 + 0,02)12 Ia = 0,2682 ou 26,82% a.a. Resolução na HP:
Para encontrar taxas equivalentes na HP devemos “inventar” um valor para PV e FV. É mais fácil R$ 1,00. Vamos resolver o primeiro exemplo:
1,00 CHS PV
2 i
3 n
FV RESPOSTA: 1,0612 (a taxa trimestral é a diferença entre o PV e o FV) 1,00 - RESPOSTA 0,0612 ou 6,12% a.t.
20 – Determine as taxas semestral e anual equivalentes à taxa de 1,5% a.m.
Resolução pela fórmula: is = (1 + im)6 is = (1 + 0,015)6 is = 0,0934 ou 9,34% a.s ia = (1 + im)12 ia = (1 + 0,015)12 ia = 0,1956 ou 19,56 a.a. Resolução pela HP 1,00 CHS PV 1,5 i 6 n
FV RESPOSTA = 1,0934 (Tiramos 1,00 dela)
1,00 - = 0,0934 ou 9,34%
1,00 CHS PV
1,5 i
12 n
FV RESPOSTA = 1,1956 (Tiramos 1,00 dela) 1,00 - = 0,1956 ou 19,56%
21 – Determine as taxas mensal, semestral e anual equivalentes capazes de fazer um capital de R$ 5.000,00 produzir um rendimento de R$ 3.414,00 ao final de dois anos e meio de aplicação. PV = R$ 5.000,00 J = R$ 3.414,00 FV = PV + J = R$ 8.414,00 im = ? para 30 meses is = ? para 5 semestres ia = ? para 2,5 anos Resolução pela fórmula: im = [(FV/PV)(1/n)] -1 im = [(8.414,00/5000)(1/30)] -1 im = 0,0175 ou 1,75% a.m. im = [(FV/PV)(1/n)] -1 im = [(8.414,00/5000)(1/5)] -1 im = 0,1097 ou 10,97% a.s.
im = [(FV/PV)(1/n)] -1 im = [(8.414,00/5000)(1/2,5)] -1 im = 0,2314ou 23,14% a.a. Resolução da 1ª pela HP 5000 CHS PV 8414 FV 30 n i RESPOSTA = 1,0175 1 - RESPOSTA = 0,0175 ou 1,75% a.m 22 – Determine:
a) a taxa semestral equivalente à taxa de 14% a.a.
is = (1 + ia)1/2 is = (1 + 0,14)1/2 is = 0,0677 ou 6,77% a.s HP 1,00 CHS PV 14 i 1 ENTER
2 ÷ (O prazo da taxa que eu quero equivale a ½ da taxa que eu tenho) n
FV RESPOSTA: 1,0677
1 - RESPOSTA: 0,0677 ou 6,77% a.s
b) a taxa anual equivalente à taxa de 2,5% a.b.
ia = (1 + ib)6 ia = (1 + 0,025)6 ia = 0,1597 ou 15,97% a.a HP 1,00 CHS PV 2,5 i 6 n FV RESPOSTA: 1,1597 1 - RESPOSTA: 0,1597 ou 15,97% a.a.
c) a taxa diária (ano comercial) equivalente à taxa de 25% a.a.
id = (1 + ia)1/360 id = (1 + 0,25)1/360 id = 0,00062 ou 0,062% a.d HP 1,00 CHS PV 25 i 1 ENTER 360 ÷ n FV RESPOSTA: 1,00062 1 - RESPOSTA: 0,00062 ou 0,062 a.d.
23 – Determine o montante, a taxa efetiva anual e semestral, de um capital de R$ 15.000,00, aplicado durante dois anos e meio à taxa de 2,75% ao trimestre.
PV = R$ 15.000,00 it = 0,0275 a.t.
n = 2,5 anos = 5 meses = 10 trimestre FV = ?
ia = ? is = ?
Resolução pela fórmula: FV = PV(1 + i)n FV = 15.000(1 + 0,0275)10 FV = 19.674,77 is = [(FV/PV)(1/n)] -1 is = [(19.674,77/15.000,00)(1/5)] -1 is = 0,0558 ou 5,58% a.s ia = [(FV/PV)(1/n)] -1 ia = [(19.674,77/15.000,00)(1/2,5)] -1 ia = 0,1146 ou 11,46% a.s Resolução na HP: 15.000 CHS PV 2,75 i 10 n FV RESPOSTA = 19.674,77 15.000 CHS PV 19.674,77 FV 5 n I RESPOSTA = 5,58% a.s. 15.000 CHS PV 19.674,77 FV 2,5 n I REPOSTA = 11,46% a.a.
TAXA APARENTE E TAXA REAL (O PROBLEMA DA INFLAÇÃO)
UTILIZANDO AS PRÓXIMAS FÓRMULAS PODEMOS ENCONTRAR A INFLAÇÃO (ii), A TAXA REAL (ir) E A TAXA APARENTE (ia)
24 - Supondo a compra de títulos públicos pelo Tesouro direto para um ano, a uma taxa de 14,50% (aparente) e inflação esperada para o ano de 2016 de 8%. Qual seria a taxa de juros real recebida pelos títulos, descontando a inflação?
Ia = 0,1450 a.a. Ii = 0,08 a.a. Ir = ?
Resolução pela fórmula: (1 + ia) = (1 + ii) (1 + ir)
(1 + 0,1450) = (1 + 0,08) (1 + ir) 1,1450 = 1,08 x (1 + ir) (1 + ir) = 1,1450 / 1,08 1,08 + 1,08ir = 1,1450 1,08ir = 1,1450 – 1,08 1,08ir = 0,065 ir = 0,065 / 1,08 ir = 0,06018 ou 6,01% ao ano
25 – Determine a taxa aparente para uma instituição financeira que deseja obter uma remuneração real de 1,0% a.m nos empréstimos liberados aos seus clientes, num período e quem a inflação prevista é de 1,2% a.m.
Ir = 0,01 a.m Ii = 0,012 a.m Ia = ?
Resolução pela fórmula: (1 + ia) = (1 + ii) (1 + ir)
(1 + ia) = (1 + 0,012) (1 + 0,01) (1 + ia) = (1,012) (1,01)
1 + ia = 1,02212 ia = 1,02212 – 1
ia = 0,02212 ou 2,212% a.m
26 – Um investidor recebeu 11,5% de rentabilidade real em uma letra financeira, enquanto as indicações do produto mostravam uma taxa aparente de 13,75% a.a. Assim, qual foi a inflação do período?
Ir = 0,115 Ia = 0,1375 Ii = ?
Resolução pela fórmula: (1 + ia) = (1 + ii) (1 + ir)
(1 + 0,1375) = (1 + ii) (1 + 0,115) 1,1375 = (1 + ii) (1,115)
1,1375 = 1,115 + 1,115ii 1,1375 – 1,115 = 1,115ii
SÉRIES UNIFORMES (PARCELAS) - EXERCÍCIOS
27 – Determine qual será o saldo devedor de um empréstimo de R$ 12.500,00, após o pagamento da 11ª parcela das 18 prestações de R$ 870,88 mensais, postecipadas (pagamento ao final do 1º período), necessárias para quita-lo, considerando uma taxa de juros de 2,5% a.m. PV = R$ 12.500,00,00 PMT = R$ 870,88 n1 = 18 meses n2 = 11 meses i1 = 2,5 a.m. SD = ? Resolução na HP: 12.500 PV 870,88 CHS PMT
2,5 i (taxa de juros sempre na forma percentual)
11 n
g END (para informar que a série é postecipada) FV SD = R$ 5.529,48
28 – Determine o valor da prestação de um financiamento com parcelas postecipadas, cujo valor inicial contratado foi de R$ 3.000,00, considerando a taxa de juros embutida de 3,5% a.m., durante 12 meses.
PV = R$ 3.000,00 n = 12 meses i = 3,5 a.m. PMT = ? Resolução na HP: 3.000 CHS PV
3,5 i (taxa de juros sempre na forma percentual)
12 n
g END (para informar que a série é postecipada) PMT RESPOSTA: 310,45
29 – Uma concessionária está anunciando um automóvel por R$ 35.500,00 à vista, ou com pagamento realizado por meio de uma entrada de 25% e o restante em 48 parcelas mensais, iguais e postecipadas. Determine o valor de cada parcela, considerando uma taxa de juros de 2,25% a.m.
PV = R$ 35.500,00
Entrada = 0,25 x 35.500 = R$ 8.875,00
Valor Financiado = PV – Entrada = R$ 26.625,00 n = 48 meses
i = 2,25 a.m. PMT = ?
Resolução na HP:
26.625 CHS PV
2,225 i (taxa de juros sempre na forma percentual)
48 n
g END (para informar que a série é postecipada) PMT RESPOSTA: 912,77
30 – Determine quantos pagamentos mensais e postecipados de R$ 500,00 serão necessários para saldar uma dívida de R$ 14.783,90, sabendo que a empresa cobra juros de 1,75% a.m. PV = 14.783,90 PMT = 500,00 i = 1,75 a.m n = ? Resolução na HP: 14.783,90 CHS PV 500,00 PMT
1,75 i (taxa de juros sempre na forma percentual) g END (para informar que a série é postecipada) n RESPOSTA: 42 meses
31 – Determine a taxa de juros mensal cobrada por uma instituição financeira em um empréstimo de R$ 3.000,00, que deve ser liquidado por meio do pagamento de 18 parcelas imediatas de R$ 209,01. PV = 3.000,00 PMT = 209,01 n = 18 i =? 3.000,00 CHS PV 209,01 PMT 18 n
G END (para informar que a série é postecipada) i RESPOSTA = 2,5% a.m.
32 – Determine o fator de financiamento (FF) para 12 pagamentos mensais postecipados numa loja que opera à taxa de 3,25% a.m.
n = 12 meses i = 3,25 a.m FF = ?
Resolução pela HP:
1,00 CHS PV (atribuímos R$ 1,00 para PV, já que não temos) 3,25 i (taxa de juros sempre na forma percentual)
12 n
g END (para informar que a série é postecipada) PMT RESPOSTA = 0,101967
OBSERVAÇÃO: O fator de financiamento serve para encontrarmos facilmente o valor da parcela (dados, nesse caso em que fizemos, o prazo e a taxa de juros). Por exemplo: supondo que o valor de uma motocicleta seja de R$ 15.000,00. Para sabermos o valor das 12 parcelas, com a taxa de 3,25% ao mês, sem entrada:
PMT = PV x FF
PMT = 15.000,00 x 0,101967 PMT = R$ 1.529,50
33 – Determine o fator de financiamento (FF) de um imóvel que deverá ser quitado em 120 parcelas postecipadas, considerando uma taxa de juros de 1,55% a.m.
n = 120 meses i = 1,55 a.m. FF =
Resolução pela HP:
1,00 CHS PV (atribuímos R$ 1,00 para PV, já que não temos) 1,55 i (taxa de juros sempre na forma percentual)
120 n
G END (para informar que a série é postecipada) PMT RESPOSTA = 0,018407
Ou seja, se você fosse financiar um apartamento de R$ 200.000,00, teríamos o seguinte valor de parcela:
PMT = PV x FF
PMT = 200.000,00 x 0,018407 PMT = R$ 3.681,40
34 – Determine o montante, ao final de um ano, de 12 depósitos mensais de R$ 500,00 a uma taxa de 2,5% a.m.
PMT = 500,00 n = 12 meses i = 2,5 a.m. FV = ? Resolução na HP: 500 CHS PMT
2,5 i (taxa de juros sempre na forma percentual)
12 n
G END (para informar que a série é postecipada) FV RESPOSTA = R$ 6.897,78
35 – Visando acumular recursos para a aposentadoria, um indivíduo poupou, em um fundo de renda fixa, a quantia de R$ 300,00 por mês durante 25 anos, obtendo uma taxa efetiva média de 14,03% a.a. Determine o montante sacado ao final do período.
PMT = 300,00
n = 25 anos = 300 meses i = 14,03 a.a.
FV = ?
Resolução na HP:
1,00 CHS PV (atribuímos R$ 1,00 para o PV, já que não temos)
1,1403 FV (FV se aplicarmos esse R$ 1,00 ao final de um ano, taxa de 14,03% a.a.
12 n
I RESPOSTA = taxa mensal de 1,10 a.m.
300 CHS PMT
1,1 i (taxa de juros sempre na forma percentual)
300 n
G END (para informar que a série é postecipada) FV RESPOSTA: 698.959,05
36 – Determine o valor dos depósitos mensais fixos realizados ao final do mês, aplicados a 1% a.m., para formar um montante de R$ 15.000,00 ao final de 36 meses.
FV = 15.000,00 n = 36 meses i = 1% a.m. PMT = ? Resolução na HP 15000 CHS FV
1,00 i (taxa de juros sempre na forma percentual)
36 n
G END (para informar que série é postecipada) PMT RESULTADO = R$ 348,21
37 – Determine o preço à vista de um automóvel que foi financiado em 72 prestações mensais de R$ 1.265,12, sendo que o banco cobrou uma taxa de juros de 1,55% a.m. e que a 1ª prestação foi paga no ato da compra.
PMT = 1.265,12 N = 72 meses I = 1,55 a.m PV = ? Resolução na HP: 1265,12 CHS PMT
1,55 i (taxa de juros sempre na forma percentual)
72 n
g BEG (para informar que a série é antecipada, já que a 1ª parcela foi paga no ato, e não um mês depois)
38 – Uma instituição financeira especializada em empréstimos a pessoas físicas de baixo poder aquisitivo concedeu um empréstimo de R$ 1.200,00 a uma pessoa, cobrando uma taxa de juros de 1,95% a.m., a ser pago em 10 prestações mensais, vencendo a primeira delas no ato do empréstimo.
PV = 1.200,00 n = 10 meses i = 1,95% a.m. PMT = ? Resolução na HP: 1200,00 CHS PV
3,65 i (taxa de juros sempre na forma percentual)
10 n
g BEG (para informar que a é antecipada) PMT RESULTADO = R$ 130,69
39 – Determine o montante obtido por um investidor que tenha realizado 24 depósitos mensais, iguais e consecutivos, no início de cada mês, de R$ 750,00 cada, nos quais obteve uma taxa de 1,35% a.m.
PMT = 750,00 n = 24 meses i = 1,35% a.m. FV = ? Resolução na HP: 750 CHS PMT
1,35 i (taxa de juros sempre na forma percentual)
24 n
G BEG (para informar que a série é antecipada) FV RESULTADO = R$ 21.376,61
DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) SIMPLES – POUCO USADO 40 – Determine:
a) o valor do desconto aplicado;
b) o valor recebido pela empresa em uma operação de desconto racional simples feita por uma empresa com um título de crédito de valor nominal de R$ 12.000,00, cinco meses antes do vencimento, na qual foi cobrada uma taxa de juros de 3% a.m.
VN = R$ 12.000,00
i = 0,03 a.m. (vamos usar as fórmulas, por isso dividimos a taxa por 100) n = 5 meses VA (valor atual) = ? Desconto = ? Resolução: VA = VN / (1 + i . n) VA = 12.000,00 / (1 + 0,03 . 5) VA = R$ 10.434,78 D = VN – VA D = 12.000 – 10.434,78 D = R$ 1.565,22
O desconto poderia ter sido encontrado com outra fórmula: D = VA . i . n
D = 10.434,78 . 0,03 . 5 D = R$ 1.565,22
41 – Determine o valor atual e o desconto de um título de crédito de R$ 2.500,00, que vencerá em 36 dias, considerando que a instituição financeira cobra uma taxa de desconto de 3,6% a.m. pela antecipação dos recursos.
VN = 2.500,00 i = 0,036 a.m
n = 36 dias = 36/30 mês (e é o que usaremos na fórmula) VA = ? D = ? Resolução: VA = VN / (1 + i . n) VA = 2.500 / (1 + 0,036 . 36/30) VA = R$ 2.396,47 D = VN – VA D = 2.500 – 2.396,47 D = 103,53 Ou: D = VA . i . n D = 2.396,47 . 0,036 . 36/30 D = 103,53
42 – Um comerciante procurou uma instituição financeira para descontar um título com valor nominal de R$ 8.500,00, com vencimento em 135 dias. Determine a taxa mensal de desconto, sabendo que o desconto aplicado foi de R$ 1.243,13.
VN = 8.500,00 D = 1.243,13 n = 135 dias = 4,5 meses i = ? Resolução: VA = VN – D VA = 8.500,00 – 1.243,13 VA = R$ 7.256,87
Para encontrar a taxa deveremos utilizar outra fórmula: i = (1/n) (VN/VA – 1)
i = (1/4,5) (8.500,00/7.256,87 -1) i = 0,0381 a.m. ou 3,81% a.m.
43 – Determine o valor do desconto racional (D) e o valor recebido (VA) por uma empresa, que descontou uma nota promissória com valor nominal de R$ 6.300,00, cerca de 115 dias antes do vencimento, a uma taxa de juros simples de 14% a.a.
VN = 6.300,00 I = 0,14 a.a. N = 115 dias = 115/360 = 0,319444 ano VA = ? D = ? Resolução: VA = VN / (1 + i .n) VA = 6.300,00 / (1 + 0,14 . 0,319444) VA = 6.030,31 D = VN – VA D = 6.300,00 – 6.030,31 D = R$ 269,69 Ou: D = VA . i . n D = 6.030,31 . 014 . 0,319444 D = R$ 269,69
DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL (POR FORA) SIMPLES – MAIS USADO (CHEQUES, DUPLICATAS, CARTÕES)
44 – Determine o valor recebido por um empresário que descontou um título de R$ 15.000,00, sete meses antes do seu vencimento, considerando uma taxa de desconto comercial simples de 6% a.m.
VN = R$ 15.000,00 i = 0,06 a.m. n = 5 meses VA = ? VA = VN (1 – i . n) VA = 15.000 (1 – 0,06 . 7) VA = 8.700,00
45 – Um empresário aplicou R$ 35.000,00 em letra de câmbio a uma taxa de juros compostos de 2,0% a.m. O vencimento dos títulos ocorreria em sete meses. Entretanto, precisou resgatar o dinheiro dois meses após a aplicação, por meio de uma operação de desconto comercial simples a uma taxa de 2,5% a.m.
Determine:
a) o valor futuro do título (VN); b) o valor do desconto (D);
c) o valor recebido pelo cliente (VA); PV = R$ 35.000,00
ia (taxa de juros da aplicação) = 0,02 a.m id (taxa de juros do desconto) = 0,025 a.m. na (prazo da aplicação) = 7 meses
nd (prazo do desconto) = 5 meses Resolução:
Primeiro calculamos o valor que seria recebido na aplicação: FV = VN (1 + i)n
FV = 35.000,00 (1 + 0,02)7
FV = 40.204,00
Agora calculamos o valor do desconto: D = VN . i . n
D = 40.204,00 . 0,025 . 5 D = R$ 5.025,50
Agora calculamos o valor atual do título: VA = VN – D
VA = 40.204,00 – 5.025,50 VA = 35.178,50
46 – Uma empresa descontou uma duplicata de R$ 1.520,00 cerca de 47 dias antes de seu vencimento por meio de desconto comercial simples à taxa de 3,6% a.m. Na operação foi cobrado IOF de 0,0041% a.d. e tarifa de serviço bancário (TBS) de 0,5% do valor nominal. Determine o valor líquido (VA) recebido pela empresa.
VN = 1.520,00 I = 0,036 a.m
AIOF (alíquota do IOF)= 0,000041% a.d. TBS = 0,005 do VN
N = 47 dias = 1,5667 mês VA = ?
Resolução:
Primeiro calcularemos o desconto (D): D = VN . i . n
D = 1.520,00 . 0,036 . 1,5667 D = 85,73
Repare que a taxa do IOF é ao dia. Para encontrarmos o valor do IOF usaremos a fórmula: IOF = n(VN – D) AIOF
IOF = 47 (1.520,00 – 85,73) 0,000041 IOF = R$ 2,76
Aí calculamos o valor da TSB: TSB = 0,005 . 1.520,00
TSB = R$ 7,60
Encontraremos o valor atual usando todos os valores: VA = VN – D – IOF – TSB
VA = 1.520,00 – 85,73 – 2,76 – 7,60 VA = R$ 1.423,91
47 – Determine qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?
n = 120 dias = 120/30 VN = 1.000,00 VA = 880,00 i = ?
Resolução:
Para encontrarmos a taxa dessa operação de desconto usaremos a seguinte fórmula: i = (VN – VA) / (VN . n) ou: i = (D) / (VN . n)
i = (1.000 – 880) / (1.000 . 120/30) i = 120,00 / 4.000,00
48 - Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata.
VN = 6.800,00 VA = 6.000,00 i = 0,032 a.m n = ?
Resolução:
Para calcularmos o prazo do desconto utilizamos a seguinte fórmula: n = (VN – VA) / (VN . i) ou: n = D / (VN . i)
n = (6.800 – 6.000) / (6.800 . 0,032) n = 800 / 217,60
n = 3,676 meses ou 110 dias
49 – Uma empresa apresentou a um banco o seguinte borderô (conjunto de várias duplicatas) para desconto:
Duplicata Valor Nominal Prazo (n)
A R$ 5.500,00 26 dias
B R$ 12.720,00 32 dias
C R$ 18.450,00 49 dias
D R$ 29.380,00 55 dias
Supondo que o banco cobre uma taxa de desconto comercial simples de 4,3% a.m., que a alíquota de IOF seja de 0,0041% a.d. e que a instituição financeira cobrou uma tarifa (TSB) de 0,5% do valor nominal de cada título, determine:
a) o valor do desconto (D); b) o valor do IOF pago;
c) o valor liberado à empresa (VA); d) a taxa efetiva do período (ip)
Resolução:
a) Usando a fórmula para encontrar o desconto (D): D = VN .i . n
Duplicata VN N Desconto (D) A 5.500,00 26 dias D = 5.500 . 0,043 . 26/30 D = R$ 204,97 B 12.720,00 38 dias D = 12.720 . 0,043 . 38/30 D = R$ 692,82 C 18.450,00 49 dias D = 18.450 . 0,043 . 49/30 D = R$ 1.295,81 D 29.380,00 55 dias D = 29.380 . 0,043 . 55/30 D = R$ 2.316,12 Total DT = R$ 4.509,72
b) Usando a fórmula para encontrar o IOF: IOF = n(VN – D) AIOF
Dupl. VN N Desconto (D)
A 5.500,00 26 dias IOF = 26(5.500 – 204,97)0,000041 IOF = R$ 5,64 B 12.720,00 38 dias IOF = 38(12.720 – 682,82)0,000041 IOF = R$ 18,74 C 18.450,00 49 dias IOF = 49(18.450 – 1.295,91)0,000041 IOF = R$ 34,46 D 29.380,00 55 dias IOF = 55(29.380 – 2.316,12)0,000041 IOF = R$ 61,03
Total IOFt = R$ 119,87
O valor nominal total (soma de todos os valores nominais das duplicatas): VN = 5.500 + 12.720 + 18.450 + 29.380
VN = R$ 66.050,00
Calculando o valor da tarifa (TSB): TSB = 0,005 . VNt
TSB = 0,005 . 66.050,00 TSB = R$ 320,25
c) Utilizamos a fórmula para determinar o valor líquido recebido pela empresa VA*: VA* = VNt – Dt – IOFt – TSBt
VA* = 66.050 – 4.509,72 – 119,87 – 330,25 VA* = R$ 61.090,16
d) Podemos adaptar uma fórmula para encontrar a taxa do período: ip = (VN/VA*) -1
ip = (66.050,00 / 61.090,16) -1 ip = 0,0812 ou 8,12% a.p.
DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) COMPOSTO – USADO APENAS NO CÁLCULO DE ALGUNS TÍTULOS PÚBLICOS (LTN e LFT)
50 – Um investidor descontou um título com valor nominal de R$ 45.000,00, quatro meses antes do seu vencimento, com uma taxa de desconto racional composto de 4,1% a.m. Determine:
a) o valor do desconto (D);
b) o valor líquido recebido pelo investidor (VA); c) a taxa efetiva do período;
d) a taxa efetiva mensal da operação.
VN = R$ 45.000,00 id = 0,041 a.m. n = 4 meses
Resolução pela fórmula:
a) Utilizando a seguinte equação: D = VN [(1 + i)n -1 / (1 + i)n]
D = 45.000 [(1 + 0,041)4 -1 / (1 + 0,041)4)]
D = R$ 6.681,40
b) Utilizando a fórmula simples para o valor atual (VA): VA = VN – D
VA = 45.000 – 6.681,40 VA = R$ 38.318,60
c) Usamos outra fórmula para calcular a taxa do período (n = 1), que foi apenas 1: ip = (VN/VA)1/n – 1
ip = (45.000 / 38.318,60)1/1 -1
ip = 0,1774 ou 17,74% a.p
d) Utilizamos a mesma fórmula para encontrar a taxa mensal: im = (VN/VA)1/n – 1
im = (45.000 / 38.318,60)1/4 -1
im = 0,041 ou 4,1% a.m
51 – Um título com valor nominal de R$ 26.000,00 e vencimento em 10 meses foi descontado seis meses antes do seu vencimento. Sabendo que se trata de uma operação de desconto racional composto com uma taxa de 2,75% a.m, determine:
a) o valor do desconto;
b) o valor líquido da operação (VA).
VN = R$ 26.000,00 Id = 0,0275 a.m n = 6 meses
a) Usando a fórmula para esse tipo de desconto: D = VN [(1 + i)n -1 / (1 + i)n]
D = 26.000 [(1 + 0,0275)6 -1 / (1 + 0,0275)6)]
D = R$ 3.905,59
e) Utilizando a fórmula simples para o valor atual (VA): VA = VN – D
VA = 26.000 – 3.905,59 VA = R$ 22.094,41
52 – Um cliente recebeu R$ 10.102,09 de uma instituição financeira em uma operação de desconto racional composto, cujo valor nominal era de R$ 12.000,00. Se a taxa de desconto utilizada foi de 3,9%, determine de quanto meses foi o prazo de antecipação desse título.
VN = R$ 12.000,00 VA = R$ 10.102,09 id = 0,039 a.m. n = ?
Resolução pela fórmula adaptada: n = ln (VN/VA / ln (1 + i)
n = ln (12.000 / 10.102,09) / ln (1 + 0,039)] n = 4,5 meses
DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL (POR FORA) COMPOSTO.
NÃO É UTILIZADA PELO GRANDE EFEITO CAUSADO PELOS JUROS COMPOSTOS.
53 - Qual é o valor do título que, descontado 3 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de 10% a.m., determinou um valor de resgate de R$ 12.400,00?
n = 3 i = 0,10 a.m
VA = R$ 12.400,00 VN = ?
Resolução pela fórmula: VN = VA . (1 + i)n VN = 12.400 (1 + 0,10)3
VN = R$ 16.504,40
54 - Qual o valor atual de um título de R$ 100.000,00, resgatado racionalmente à taxa composta de 4%a.m., 3 meses antes de seu vencimento?
VN = R$ 100.000,00 i = 0,04 a.m.
n = 3 VA = ?
Resolução pela fórmula: VA = VN / (1 + i)n
VA = 100.000 / (1 + 0,04)3
VA = R$ 88.899,64
55 - Obter o desconto comercial composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% a.m.
VN = R$ 50.000,00 N = 2
I = 0,03 a.m D = ?
Resolução pela fórmula: D = VN . [1 – (1 – i)n]
D = 100.000 . [1 – (1 – 0,03)2]