Lista de Exercícios da Unidade X

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EXERCÍCIO – UNIDADE 10

1. Quando utilizamos estimativa da média para grandes amostras, o que é considerado dentro da estatística uma grande amostra?

a) n = 20 b) n < 20 c) n ≥ 30 d) n < 30

e) n pode ter qualquer valor.

Para estimar o tempo médio de atendimento em uma grande loja de Departamentos, um pesquisador anotou o tempo de espera de 50 clientes (uma amostra aleatória), da fila até a finalização do pagamento dos produtos no caixa. O cliente leva, em média, 5,2 minutos, com desvio padrão de 1,47 minutos até finalizar o atendimento. Com base no enunciado:

2. Tomando x=5,2 minutos como estimativa do verdadeiro tempo médio necessário para completar o atendimento, o que pode o pesquisador afirmar sobre o erro máximo, com 95% de confiança?

a) E= 0,357 minutos aproximadamente. b) E= 0,407 minutos aproximadamente. c) E= 0,500 minutos aproximadamente. d) E= 0,532 minutos aproximadamente. e) E= 0,568 minutos aproximadamente.

3. Construa um intervalo de 95% de confiança para o verdadeiro tempo médio necessário para completar um atendimento.

a) Aproximadamente 4,793 < µ < 5,607. b) Aproximadamente 5,894 < µ < 5,601. c) Aproximadamente 5,973 < µ < 6,894. d) Aproximadamente 6,894 < µ < 7,241. e) Aproximadamente 6,987 < µ < 7,569.

4. Suponha que o pesquisador conheça por pesquisas passadas o desvio padrão σ = 1,47. Estamos considerando o mesmo valor e o erro de E=0,407. Para uma probabilidade de 99% de confiança, de quanto deveria ser a amostra pesquisada?

a) n= 62 b) n= 70 c) n= 75

(2)

d) n= 80 e) n=86

5. Luciana, pesquisadora, resolveu calcular o tempo de horas dormidas pelos alunos de uma universidade. Ao invés de testar todos os alunos, ela supôs um erro de estimativa E=0,5 horas, e considera pela sua experiência, um valor razoável. Como ela possuía bom conhecimento em pesquisa e conhecia o perfil dos alunos, também supôs um desvio padrão σ = 2 horas. Considerando os dados do problema, para uma probabilidade de 0,95, qual deverá ser o tamanho da amostra? a) n= 31 alunos b) n= 41 alunos c) n= 51 alunos d) n= 61 alunos e) n= 71 alunos

6. Calcule o intervalo de confiança para uma amostra com média x=30 , desvio padrão s=5,2, amostra n=50 e

Z

_α_/₂=2,57. a) 28,11 < µ < 31,89 b) 13,45 < µ < 23,58 c) 15,89 < µ < 34,98 d) 16,32 < µ < 42,45 e) 19,67 < µ < 43,12

7. O Dr. Gustavo, a fim de classificar seus pacientes como hipertensos ou não-hipertensos, ao final de cada dia, calculava a pressão média de todos os pacientes atendidos ao longo de uma semana. Os dados obtidos foram:

112 153 134 109 128 Com base nas informações, construa o intervalo de confiança para a média com

α

=99%. a) Aproximadamente 69 < µ < 124 b) Aproximadamente 90 < µ < 164 c) Aproximadamente 108 < µ < 150 d) Aproximadamente 109 < µ < 151 e) Aproximadamente 110 < µ < 151

8. O objetivo principal de se trabalhar com estimadores da média amostral é estimar:

a) A média populacional µ. b) A média amostral µ. c) O desvio padrão amostral. d) O desvio padrão populacional. e) A média e o desvio padrão amostral.

(3)

9. Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir (em kg): 69 - 57 - 72 - 54 - 94 - 68 - 72 - 58 - 64 - 62

65 - 76 - 60 - 59 - 74 - 59 - 66 - 83 - 70 - 67 60 - 81 - 71 - 67 - 63 - 64 - 66 - 73 - 90 - 85 67 - 68 - 54 - 75 - 65 - 58 - 80 - 60 - 63 - 97

Com base na amostra, calcule o erro máximo de estimativa para um grau de confiança de 95%.

10. Com base na amostra do peso dos 40 alunos e os dados obtidos na solução anterior, construa o intervalo de confiança para uma probabilidade de 99%.

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GABARITOS COMENTADOS

1. Quando utilizamos estimativa da média para grandes amostras, o que é

considerado dentro da estatística uma grande amostra?

a) n = 20

b) n < 20

c) n ≥ 30

d) n < 30

e) n pode ter qualquer valor.

Para estimar o tempo médio de atendimento em uma grande loja de

Departamentos, um pesquisador anotou o tempo de espera de 50 clientes

(uma amostra aleatória), da fila até a finalização do pagamento dos

produtos no caixa. O cliente leva, em média, 5,2 minutos, com desvio

padrão de 1,47 minutos até finalizar o atendimento. Com base no

enunciado:

2. Tomando

x

=5,2 minutos como estimativa do verdadeiro tempo médio

necessário para completar o atendimento, o que pode o pesquisador

afirmar sobre o erro máximo, com 95% de confiança?

a) E= 0,357 minutos aproximadamente.

b) E= 0,407 minutos aproximadamente.

c) E= 0,500 minutos aproximadamente.

d) E= 0,532 minutos aproximadamente.

e) E= 0,568 minutos aproximadamente.

Para o cálculo do erro vamos utilizar a fórmula:

n

Z

E

=

_α_/₂

.

σ

.

Dados: n=50; σ=1,47 e

Z

_α_/₂

=1,96.

Para um grau de confiança de 95%, buscamos o valor de Z na tabela de

Distribuição Normal. Como trabalhamos com o valor de

α

/2

, ou seja,

025 ,

0

2

05 ,

0 =

=

α

, significa uma probabilidade de 0,95+0,025=0,975 que

equivale ao valor de Z=1,96.

Distribuição Normal Padrão - Valores Positivos de Z

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856

1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,9732 0,97381 0,97441 0,975 2 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,9803

(5)

407 ,

0 2079

,

0

96 ,

1

50

47 ,

1

96 ,

1 ×

=

×

=

E

3. Construa um intervalo de 95% de confiança para o verdadeiro tempo médio necessário para completar um atendimento.

a) Aproximadamente 4,793 < µ < 5,607. b) Aproximadamente 5,894 < µ < 5,601. c) Aproximadamente 5,973 < µ < 6,894. d) Aproximadamente 6,894 < µ < 7,241. e) Aproximadamente 6,987 < µ < 7,569.

Para o cálculo do intervalo de confiança da média µ, utilizamos

n

Z

x

n

Z

x

−

_α/2

.

σ

<

µ

<

+

_α/2

.

σ

. Como conhecemos o valor da média x=5,2, o desvio

padrão σ=1,47 e o valor de

Z

_α_/₂=1,96, o intervalo de confiança para a média fica fácil

de se calcular. Outra forma seria substituir o valor do erro E=0,407, que já é conhecido. Basta somar e subtrair este valor da média, ou seja:

ou substituir os valores direto:

50

47 ,

1

96 ,

1

2 ,

5

50

47 ,

1

96 ,

1

2 ,

5 −

×

<

µ

<

+

×

, o resultado será o mesmo: 5,2 – 0,407<µ<5,2+0,407 = 4,793<µ<5,607.

4. Suponha que o pesquisador conheça por pesquisas passadas o desvio padrão σ = 1,47. Estamos considerando o mesmo valor e o erro de E=0,407. Para uma probabilidade de 99% de confiança, de quanto deveria ser a amostra pesquisada? a) n= 62 b) n= 70 c) n= 75 d) n= 80 e) n=86

Vamos calcular o tamanho da amostra considerando os valores dados de σ=1,47, E=0,407 e um grau de confiança de 99%, em que o valor de

Z

_α_/₂=2,57 (conforme tabela abaixo). O n será:

Distribuição Normal Padrão - Valores Positivos de Z

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 2,4 0,9918 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,9943 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 2,6 0,99534 0,99547 0,9956 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 s pesquisada pessoas E Z n (9,2823) 86,1610 86 407 , 0 47 , 1 57 , 2 . 2 2 2 2 / = = ≅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ × = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = α

σ

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5. Luciana, pesquisadora, resolveu calcular o tempo de horas dormidas pelos alunos de uma universidade. Ao invés de testar todos os alunos, ela supôs um erro de estimativa E=0,5 horas, e considera pela sua experiência, um valor razoável. Como ela possuía bom conhecimento em pesquisa e conhecia o perfil dos alunos, também supôs um desvio padrão σ = 2 horas. Considerando os dados do problema, para uma probabilidade de 0,95, qual deverá ser o tamanho da amostra? a) n= 31 alunos b) n= 41 alunos c) n= 51 alunos d) n= 61 alunos e) n= 71 alunos

Dados: σ=2, E=0,5 e um grau de confiança de 95%, em que o valor de

Z

_α_/₂=1,96

alunos E Z n (7,84) 61,46 61 5 , 0 2 96 , 1 . 2 2 2 2 / = = ≅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ × = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = α

σ

6. Calcule o intervalo de confiança para uma amostra com média x=30 , desvio padrão s=5,2, amostra n=50 e

Z

_α_/₂=2,57. a) 28,11 < µ < 31,89 b) 13,45 < µ < 23,58 c) 15,89 < µ < 34,98 d) 16,32 < µ < 42,45 e) 19,67 < µ < 43,12

Para o cálculo do intervalo de confiança da média µ, utilizamos

n

Z

x

n

Z

x

−

_α_/₂

.

σ

<

µ

<

+

_α_/₂

.

σ

. Como conhecemos o valor da média x=30, o desvio padrão σ=5,2 e o valor de

Z

_α_/₂=2,57, basta substituir os valores e calcular.

89 ,

31

11 ,

28

89 ,

1

30

89 ,

1

30

50

2 ,

5

57 ,

2

30

50

2 ,

5

57 ,

2

30 −

×

<

µ

<

+

×

=

−

<

µ

<

+

=

<

µ

<

7. O Dr. Gustavo, a fim de classificar seus pacientes como hipertensos ou não-hipertensos, ao final de cada dia, calculava a pressão média de todos os pacientes atendidos ao longo de uma semana. Os dados obtidos foram:

112 153 134 109 128 Com base nas informações, construa o intervalo de confiança para a média com

α

=99%. a) Aproximadamente 69 < µ < 124 b) Aproximadamente 90 < µ < 164 c) Aproximadamente 108 < µ < 150 d) Aproximadamente 109 < µ < 151 e) Aproximadamente 110 < µ < 151

(7)

Como estamos utilizando uma amostra pequena, conheceremos o valor do desvio padrão s. O cálculo do intervalo de confiança para µ com pequenas amostras é semelhante ao cálculo para grandes amostras. A diferença é que em vez da distribuição normal estamos utilizando a distribuição t, logo em vez de

Z

_α_/₂ temos

2 / α

t

e no lugar de σ utilizamos s. Podemos afirmar da mesma forma como a normal,

que a probabilidade 1-

α

será satisfeita para qualquer tamanho da amostra.

Buscamos o valor de

t

_α_/₂ na tabela dos valores da distribuição t com os graus de

liberdade indicados.

O tamanho da amostra é n=5, ou seja, utilizamos n-1=5-1=4 graus de liberdade para um grau de confiança de 99%,

t

_α_/₂=0,005, que equivale a

t

α/2=4,60408.

0,2 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 df t0.800 t0.975 t0.980 t0.985 t0.990 t0.995 1 1,37638 12,70615 15,89447 21,20505 31,82096 63,6559 2 1,06066 4,30266 4,84873 5,6428 6,96455 9,92499 3 0,97847 3,18245 3,48191 3,89606 4,54071 5,84085 4 0,94096 2,77645 2,99853 3,29763 3,74694 4,60408 5 0,91954 2,57058 2,75651 3,00288 3,36493 4,03212 6 0,9057 2,44691 2,61224 2,82893 3,14267 3,70743 7 0,89603 2,36462 2,51675 2,71457 2,99795 3,49948

O procedimento para o cálculo do intervalo de confiança é calcular o valor da média e do desvio padrão.

20 ,

127

5

128

109

134

153

112 =

+

=

x

70 , 318 1 5 ) 20 , 127 128 ( ) 20 , 127 109 ( ) 20 , 127 134 ( ) 20 , 127 153 ( ) 20 , 127 112 ( 2 2 2 2 2 2 = − − + − + − + − + − = s

85 ,

17

70 ,

318

2

=

= s

s

O intervalo de confiança para a média é:

n

s

t

x

n

s

t

x

−

_α _/₂

.

<

µ

<

+

_α _/₂

.

_{substituindo os valores temos:}

5

85 ,

17

60 ,

4

20 ,

127

5

85 ,

17

60 ,

4

20 ,

127 −

×

<

µ

<

+

92 ,

163

48 ,

90 <

µ

<

8. O objetivo principal de se trabalhar com estimadores da média amostral é estimar:

a) A média populacional µ. b) A média amostral µ. c) O desvio padrão amostral. d) O desvio padrão populacional. e) A média e o desvio padrão amostral.

(8)

69 - 57 - 72 - 54 - 94 - 68 - 72 - 58 - 64 - 62 65 - 76 - 60 - 59 - 74 - 59 - 66 - 83 - 70 - 67 60 - 81 - 71 - 67 - 63 - 64 - 66 - 73 - 90 - 85 67 - 68 - 54 - 75 - 65 - 58 - 80 - 60 - 63 - 97

Com base na amostra, calcule o erro máximo de estimativa para um grau de confiança de 95%. Solução:

90 ,

68 =

x

41 ,

10 =

s

Z=1,96

kg

E

3 ,

73

40

41 ,

10 .

96 ,

1 =

=

10. Com base na amostra do peso dos 40 alunos e os dados obtidos na solução anterior, construa o intervalo de confiança para uma probabilidade de 99%. Solução: