Átomos de Rydberg e bloqueio de dipolo

(1)

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TE ÓRICA E EXPERIMENTAL BACHARELADO EM FÍSICA

Leandro de Andrade Silva

´

ATOMOS DE RYDBERG E BLOQUEIO DE

DIPOLO

Natal-RN

Maio de 2017

(2)

´

Atomos de Rydberg e Bloqueio de Dipolo

Monografia de Gradua¸cão apresentada ao Departamento de F´ısica Teórica e Experimental do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obten¸cão do grau de bacharel em F´ısica.

Orientador:

Professor Dr. Tommaso Macr`ı

Universidade Federal do Rio Grande do Norte — UFRN Departamento de F´ısica Te´orica e Experimental — DFTE

Natal-RN Maio de 2017

(3)

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.

Silva, Leandro de Andrade.

Átomos de Rydberg e bloqueio de dipolo / Leandro de Andrade Silva. - Natal, 2017.

61 f.: il.

Orientador: Prof. Dr. Tommaso Macrì.

Monografia (Graduação) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental.

1. Física atômica – Monografia. 2. Átomos de Rydberg – Monografia. 3. Oscilações de Rabi – Monografia. 4. Átomo de dois níveis – Monografia. 5. Bloqueio de dipolo – Monografia. I. Macrì, Tommaso. II. Título.

(4)

Experimental do Centro de Ciˆencias Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:

Prof. Tommaso Macr`ı

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de F´ısica Te´orica e Experimental

Prof. Madras Viswanathan Gandhi Mohan Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de F´ısica Te´orica e Experimental

Prof. Dory Helio Aires de Lima Anselmo Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de F´ısica Te´orica e Experimental

(5)

20 Pois desde a cria¸cão do mundo os atributos invis´ıveis de Deus, seu eterno poder e sua natureza divina, têm sido vistos claramente, sendo compreendidos por meio das coisas criadas, de forma que tais homens são indesculpáveis;

(6)

Resumo

Os átomos de Rydberg são part´ıculas altamente excitadas, com número quântico prin-cipal grande, n & 10. Essas part´ıculas apresentam propriedades exageradas como: raio de ´

orbita grande, crescendo com n2_{; energia de liga¸c˜}_{ao fraca, decrescendo com 1/n}2_{; per´ıodo}

de ´orbita longo, aumentando com n3.

O estudo de sistemas quânticos realizado com átomos de Rydberg tem demonstrado grande relevância na descoberta de muitos fenômenos e diversas aplica¸cões em áreas da f´ısica, tais como óptica quântica e informa¸cão quântica.

Neste trabalho, estudaremos as propriedades dos átomos de Rydberg que interagem com um campo eletromagnético externo. Estudaremos o efeito de bloqueio de dipolo quando, pelo menos, dois átomos de Rydberg interagem entre si por meio do potencial de van der Waals forte.

Palavras-chave: Átomo de Rydberg. Oscila¸cões de Rabi. Átomo de Dois N´ıveis. Bloqueio de Dipolo.

(7)

Abstract

Rydberg atoms are highly excited particles, with a large principal quantum number, n & 10. These particles have exaggerated properties such as: large orbit radius, growing with n2_{; Weak bonding energy, decreasing with 1/n}2_{; Orbit period increases with n}3_.

The study of quantum systems performed with Rydberg atoms has shown great rele-vance in the discovery of many phenomena and in diverse applications in areas of physics such as quantum optics and quantum information.

In this work, we will study the properties of Rydberg atoms that interact with an external electromagnetic field. We will study the dipole blockade effect when, at least, two Rydberg atoms interact with each other through strong van der Waals potential.

(8)

Lista de Figuras

1.1 Espectro do átomo de Hidrogênio. As letras s, p e d são nomenclaturas associadas ao valor de `. Para ` = 0, por exemplo, associamos à letra s; para ` = 1, à letra p. . . 4 1.2 Modelo clássico simplificado da órbita eletrônica com respeito à conserva¸cão

dos vetores L e N . . . 5 2.1 Diagrama parcial dos n´ıveis de energia dos ´atomos de hidrogˆenio, L´ıtio e

Sódio mostrando que os n´ıveis se aproximam dos do hidrogênio quando os números quânticos principal e orbital são grandes. . . 8 2.2 Modelo esquemático da deforma¸cão do core iônico na presen¸ca de um

elétron de valência quando este é trazido do infinito até uma distância r do core. O elétron induz um momento de dipolo, p, no core iônico. . . . 9 2.3 Atomos de Rydberg com um elétron de valência interagindo entre si. . . . 12 2.4 Modelo simplificado de dois átomos com 3 n´ıveis interagindo com potencial

dipolo-dipolo. . . 15 3.1 Modelo de Rabi de um ´atomo de dois n´ıveis. Os n´ıveis s˜ao separados pela

frequência ω0, e ω é a frequência de oscila¸cão campo elétrico externo. ∆ é

a diferen¸ca entre ω0 e ω. Se ∆ igual a zero, o sistema entra em ressonˆancia. 23

3.2 A frequência de Rabi, ΩR, foi igualada a 1. O átomo é excitado ao estado

|ei, atingindo seu m´aximo no per´ıodo de π, e volta ao estado fundamental totalmente no per´ıodo de 2π. . . 26 3.3 (a)Para Ω = 2, com ∆ = 1 e ΩR =

√

3, o átomo ocupa parcialmente o estado excitado. (b) Pico de máxima excita¸cão. Ocorre transi¸cão total quando ∆ = 0, indo a zero em valores de ∆ grande. . . 27 4.1 Dependência da energia E(R) com R. O estado duplamente excitado |rri

se desloca no raio de bloqueio para fora da ressonˆancia da excita¸c˜ao de Rydberg. . . 29

(9)

4.2 Intera¸cão entre dois átomos no regime de ressonância. (a) e (c) mostram a dinâmica de inversão populacional dos átomos sob a a¸cão do potencial de van der Waals, V (R) = −C6

R6. A probabilidade de encontrar ambos os

´

atomos no estado de Rydberg é cada vez menor. (b) e (d) mostram quão menor é o número de excita¸cões em que encontramos ambos os átomo no estado de Rydberg. . . 32 4.3 Intera¸cão entre dois átomos no regime de ressonância. (a), (c) Quando o

potencial de van der Waals, V (R) = −C6

R6, ´e muito grande, a probabilidade

dos dois átomos se encontrarem no estado de Rydberg é nula. (b) e (d) mostram que o número de excita¸cões, quando R é muito pequeno, oscila mais rapidamente, e com amplitude máxima igual a 1. . . 33 4.4 O bloqueio de dipolo para três regimes de intera¸cão. Os potenciais de van

der Waals, dipolo-dipolo e V (R) = −1/R10 _s˜_{ao comparados. Notemos que}

o Rb = 1. . . 34

4.5 Previsão teórica e resultado experimental da frequência coletiva em fun¸cão do número de átomos no estado fundamental N em um sistema de átomos em uma rede óptica. . . 36 B.1 (a) k é a inclina¸cão da reta (em vermelho), e h é o tamanho do passo

definido pela diferen¸ca t1− t0. (b) Inclina¸c˜oes dos k’s estimados nos pontos

(10)

Lista de Tabelas

1.1 Propriedades f´ısicas do átomo de Hidrogênio no estado fundamental (n = 1) 5 2.1 Defeitos quânticos dos átomos alcalinos para ` = 0 – 3. . . 12 2.2 Algumas propriedades dos átomos de Rydberg. Para n grande, tais

(11)

Conte´

udo

Resumo i

Abstract ii

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Atomos de Rydberg´ 7

2.1 Defeito Quˆantico . . . 7

2.1.1 Introdu¸c˜ao . . . 7

2.1.2 C´alculo do Defeito Quˆantico . . . 8

2.2 Intera¸c˜ao entre ´Atomos Rydberg . . . 12

3 Intera¸cão Átomo-Radia¸cão Eletromagnética 18 3.1 Introdu¸cão . . . 18

3.2 Aproxima¸c˜ao de Dipolo . . . 18

3.2.1 Intera¸cão Semi-Clássica Átomo-Campo . . . 20

3.3 Modelo de Rabi . . . 22

3.3.1 Oscila¸c˜ao Ressonante de Rabi . . . 24

3.3.2 Oscila¸c˜ao de Rabi Quase Ressonante . . . 26

4 Bloqueio de Dipolo 29 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 29

4.2 Bloqueio de Dipolo no Modelo de Rabi . . . 30

4.3 Excita¸c˜oes Coletivas . . . 34

5 Conclusão 37 A Teoria das Perturba¸cões 38 A.1 Teoria da Perturba¸cão Independente do Tempo . . . 38

A.1.1 Caso N˜ao-Degenerado . . . 39

(12)

B M´etodo de Runge-Kutta de 4a _Ordem ₄₄

B.1 Introdu¸c˜ao . . . 44 B.2 Desenvolvimento do m´etodo . . . 44

(13)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Os átomos de Rydberg são definidos quando o elétron do átomo de hidrogênio, ou ´

atomos semelhantes, encontram-se em um estado no qual o número quˆ_{antico principal n &} 10. Por esta razão, apresentam propriedades exageradas. Historicamente, as primeiras apari¸cões desses átomos foram em estudos relacionados à espectroscopia do Hidrogênio atômico pela série emp´ırica modificada de Balmer. Rydberg estudou átomos alcalinos, mostrando que o número de onda, κ, dependia dos defeitos quânticos, δ(s,p,d)), relativos

aos orbitais (s, p, d), e da constante de Rydberg do hidrogˆenio Ry_H: κ(s,p,d) = κ∞(s,p,d)−

Ry_H (n − δ(s,p,d))2

Ry_H = 1.096776 × 107m−1 (1.1) em que κ∞(s,p,d) ´e uma constante.

Porém, a compreensão dos átomos de Rydberg se tornou clara a partir do modelo atômico de Niels Bohr. Ele considerou o átomo de hidrogênio, que consiste de um próton de carga e (Z = 1) e massa mp, e um elétron de carga −e e massa me, interagindo por

meio de um potencial coulombiano atrativo VCou(r) = −

e2 4π0

1 r

(r é o módulo da distância relativa entre as duas part´ıculas), e descreveu suas propriedades, estabelecendo 4 postulados:

• Um elétron interage com o núcleo atômico por meio de um potencial coulombiano atrativo e se move em uma órbita circular particular em torno desse núcleo;

• O momento angular ´e constante do movimento e m´_{ultiplo inteiro de ~;}

• O elétron se move em uma órbita permitida sem perda de energia na forma de radia¸cão;

• Um elétron, ao saltar de uma órbita permitida para outra, emite energia na forma de radia¸cão eletromagnética com frequência f = (Ef − Ei)/~.

(14)

Bohr propôs que a condi¸cão de estabilidade do elétron era devida à igualdade entre as for¸cas eletrostática e centr´ıpeta:

mv2 r = 1 4π0 Ze2 r2 (1.2)

Como o momento angular orbital do el´etron ´e constante, o movimento circular seria quantizado:

mvr = n~ n = 1, 2, 3, .... (1.3)

A partir das condi¸cões (1.2) e (1.3), Bohr demonstrou que o raio atômico, a velocidade e o per´ıodo da órbita do elétron eram quantizados:

v = Ze

2

4π0~

1

n (Velocidade da ´orbita eletrˆonica) r = 4π0~

2

mZe2 n 2

(raio da ´orbita eletrˆonica) T = 2π

4π₀ Ze2

2

~3n3 (Per´ıodo da ´orbita eletrˆonica)

Além dessas propriedades, ele demonstrou que a energia total era quantizada, esca-lando com 1/n2: E = − m 2n2 Ze2 4π0~ !2 (1.4) Portanto, pela diferen¸ca entre duas energias de transi¸cão, verificou-se uma semelhan¸ca com a série modificada de Balmer (1.1):

Ef − Ei = Ry 1 n2 i − 1 n2 f ! Ry = m 2 Ze2 4π0~ !2 (1.5) Assim, o modelo de Bohr determinava, mais claramente, que a constante de Rydberg dependia da carga e da massa do elétron, e a energia, do número inteiro n. Dessa ma-neira, os átomos de Rydberg se mostravam interessantes. Todavia, esse modelo ainda apresentava algumas falhas, porque não dizia, por exemplo, como calcular a taxa com que as transi¸cões ocorriam, ou o que acontecia à energia quando um átomo possuia mais de um elétron na camada de valência.

A teoria quântica de Schrödinger possibilitou avan¸cos na formula¸cão da dinâmica atômica, tornando-se mais consistente com as descri¸cões dos fenômenos atômicos envolvi-dos. O primeiro átomo estudado na nova mecânica quântica foi o átomo de Hidrogênio.

O hamiltoniano do sistema é determinado pelos termos cinético e potencial (em coor-denadas esféricas):

ˆ H0 = − ~ 2 2me ( 1 r2 ∂ ∂r r ∂ ∂r ! + 1 r2 " 1 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂ ∂θ ! + 1 sin2θ ∂ ∂φ #) − e 2 4π0 1 r

(15)

cuja parte angular (entre colchetes) ´e a representa¸c˜ao diferencial dos operadores ˆL2 _{e ˆ}_L z,

os quais comutam com ˆH0:

h ˆ_H₀_{, ˆ}_L2i₌h ˆ_H 0, ˆLz i =h ˆL2, ˆLz i = 0

significando que existe uma base comum capaz de diagonalizar estes operadores. Visto que comutam, essas grandezas s˜ao conservadas.

O operador ˆH0 ´e diagonalizado pelo estado |n`mi, cuja fun¸c˜ao, em coordenadas

esféricas, é definida em termos dos polinômios harmônicos esféricos e polinômios asso-ciados de Laguerre:

hrθφ|n`mi = ψ(r, θ, φ) = RE,`(r)Y`,m(θ, φ)

Y`m(θ, φ) = (−1)m

h(2` + 1)(` − m)! 4π(` + m)!

i1/2

P_`m(cos θ)eimφ Rn`(r) = − n 2 na0 3 (n − ` − 1)! 2n[(n + `)!]3 o1₂ ena0r 2r na0 ` L2`+1_n+` 2r na0

na qual a0é o raio de Bohr, que corresponde ao valor médio da órbita eletrônica do átomo

de Hidrogˆenio no estado fundamental. Este raio ´e definido por: a0 =

4π0~2 mee2

∼

= 5, 29 × 10−11m

A equa¸cão de Schrödinger desse sistema se resume a uma equa¸cão radial unidimensi-onal independente do tempo:

" − ~ 2 2me 1 r2 ∂ ∂r r ∂ ∂r ! + Veff(r) # RE,`(r) = ERE,`(r)

em que Veff(r) ´e o potencial efetivo no qual a part´ıcula se move:

Veff(r) = VCou(r) +`(` + 1)~ 2

2mer2

O segundo termo de Veff(r) ´e chamado de barreira centr´ıfuga. ´E uma energia repulsiva

e surge do movimento orbital do el´etron. Observe que, para ` > 0, Veff(r) tende a +∞

quando r tende a zero. Para ` = 0, o potencial efetivo ´e igual ao potencial coulombiano. Os ´ındices E, ` e m s˜ao autovalores associados aos operadores H0, ˆL2 e ˆLz,

respecti-vamente. ` e m são os números quânticos orbital e magnético, determinados pela a¸cão de ˆ

L2 _{e ˆ}_L

z sobre a base Y`,m(θ, φ). O autovalor E ´e a energia do sistema, que depende de

um parâmetro n, o número quântico principal. A energia, portanto, é dada por:

E = − e 2 4π0 !2 me ~2 1 2n2 = − 1 2mec 2α2 n2

(16)

Figura 1.1: Espectro do átomo de Hidrogênio. As letras s, p e d são nomenclaturas associadas ao valor de `. Para ` = 0, por exemplo, associamos à letra s; para ` = 1, à letra p.

Fonte: Referˆencia [3]

em que c ´e a velocidade da luz e α, a constante de estrutura fina, a qual ´e definida por: α = e

2

4π0~c

∼₌ 1 137

A figura (1.1) mostra o espectro de energia do ´atomo de Hidrogˆenio de acordo com cada n e `.

A energia E depende do número quântico principal n, que varia de 1 a +∞ n´ıveis discretos. No entanto, n depende de `, implicando numa degenerecência em rela¸cão a ` e m. Ou seja, para cada valor de n, teremos 0, 1, · · · , n − 1 valores de `, e para cada valor de `, teremos (2` + 1) poss´ıveis valores de m (m = −`, · · · , 0, 1, 2, · · · , `). Vemos que, de fato, a degenerecência total implica em n2. Se somarmos os 2` + 1 valores de m, variando ` de 0 a n − 1, obteremos:

n−1

X

`=0

(2` + 1) = n2

Segundo o teorema de Noether, a simetria de um sistema implica na conserva¸cão de uma grandeza f´ısica. Uma vez que VCou(r) é invariante sob rota¸cão, temos uma

con-serva¸cão do momento angular ` e, consequentemente, uma degenerecência em rela¸cão a esta grandeza.

A degenerecência de m está presente em qualquer potencial central. Por outro lado, a degenerecência de ` é caracter´ıstica do potencial coulombiano. Se um sistema depender de outros potenciais, haverá quebra da degenerecência de `, e a energia E passa a depender explicitamente de `, como veremos no contexto de átomos de Rydberg.

(17)

Figura 1.2: Modelo clássico simplificado da órbita eletrônica com respeito à conserva¸cão dos vetores L e N

Fonte: Elaborado pelo autor

Além disso, existe outra grandeza conservada conhecida por vetor de Runge-Lenz, N, que, na mecânica quântica, é da seguinte forma:

ˆ N = 1 2m ˆP × ˆL − ˆL × ˆP − e 2_ˆ_r ˆ r

cujo operador ˆP é o operador momento linear e ˆr é o operador posi¸cão da part´ıcula. Classicamente, no problema de Coulomb, ou no problema de Kepler, se a órbita está confinada ao plano perpendicular a `, a conserva¸cão de N definirá que esta órbita é fechada (figura 1.2).

Algumas propriedades do átomos de Hidrogênio são dadas na tabela (1.1).

Tabela 1.1: Propriedades f´ısicas do ´atomo de Hidrogˆenio no estado fundamental (n = 1)

Propriedades Quantidade F´ısica Quantidade num´erica Raio atˆomico a0 = 4π0~

2 mee2 5, 29 × 10 −11 _m Energia de Ioniza¸c˜ao E1 = mec 2_α2 2 2.18 × 10 −18 _J

Velocidade do el´etron v0 = cα ≈ 2, 2 × 106 m/s

Per´ıodo da ´orbita T0 = 2πa_v 0

0 1, 5 × 10

−16 _s

Constante de Estrutura Fina α = _4πεe2

0~c

∼ = ₁₃₇1 Fonte: Elaborado pelo autor

Como consequência da descri¸cão do átomo de Hidrogênio, na perspectiva do modelo atômico de Schrödinger, podemos escrever átomos multieletrônicos (ou ´ıons) como tipo-Hidrogênio, se supormos que um único elétron orbita um caro¸co (ou core), formado pelos elétrons das camadas mais profundas e o núcleo atômico. Em geral estes átomos não possuem degenerecência acidental, como o Hidrogênio, pois outros potenciais estão envol-vidos nesse sistema. Logo a energia pode depender de n e ` explicitamente.

Em suma, todas essas propriedades tornaram a compreensão dos átomos de Rydberg mais clara e atrativa na realiza¸cão de pesquisas cient´ıficas fundamentais em diversas áreas da f´ısica. Também foram úteis em muitas aplica¸cões.

Trabalhos recentes mostram que eles são sens´ıveis a campos externos, possibilitando sua manipula¸cão. Apresentam dinâmica diferenciada através de intera¸cões fortes do tipo

(18)

van der Waals, ou do tipo dipolo-dipolo, em longo e curto alcance. Muitos trabalhos desenvolvidos atualmente têm mostrado fenômenos no âmbito de sistemas coletivos, em particular, na forma¸cão de superátomos: podemos reduzir um sistema de muitos corpos a outro que se comporta como um único átomo.

Os átomos de Rydberg apresentam momento de dipolo elevado quando interagem entre si. Esta propriedade é útil quando estudamos fenômenos de transporte [10], emara-nhamento mediado por estado de Rydberg[21], desenvolvimento de computa¸cão quântica baseada em qubits de átomos neutros [11] e bloqueio de excita¸cão atômica em intera¸cões de curto e longo alcance [6, 13].

Algumas caracter´ısticas dos ´atomos de Rydberg s˜ao descritas a seguir:

• Eles são muito grandes comparados às dimensões atômicas, crescendo com n2; • A energia de liga¸cão é muito fraca. A energia de separa¸cão entre dois n´ıveis quânticos

decresce com 1/n3_;

• O tempo-de-vida desses ´atomos s˜ao muito longos, aumentando com n3_.

• Intera¸c˜ao ´e forte no regime de van der Waals C6/R6, com C6 dependente de n11

Assim, descrevemos as principais caracter´ısticas dos ´atomos de Rydberg.

Vamos estudar no cap´ıtulo seguinte (2), a dependˆencia expl´ıcita de ` na energia em ´

atomos tipo-Hidrogênio, e mostrar que os estados de Rydberg se aproximam dos estados do Hidrogênio quando ` é grande. Também estudaremos os casos em que os átomos de Rydberg interagem entre si em dois simples casos.

No cap´ıtulo (3), trataremos do modelo atômico de dois n´ıveis, com o qual o campo ele-tromagnético interage, descrevendo um sistema em que ambos oscilam com uma frequência caracter´ıstica que acopla os estados atômicos. No cap´ıtulo (4), desenvolveremos o caso em que dois átomos interagem fortemente com um potencial de van der Waals, e de-monstraremos que este sistema recai em um estado de dois n´ıveis, o qual oscila com uma frequência coletiva. Finalmente, conclu´ımos com a descri¸cão generalizada de N átomos, determinando o modelo de superátomo. Como ferramenta complementar, com o intuito de oferecer a base matemática necessária ao acompanhamento deste trabalho, foram de-senvolvidos dois métodos: a teoria das perturba¸cões no apêndice (A) e o método de Runge-Kutta de 4a ordem no apêndice (B).

(19)

Cap´ıtulo 2

´

Atomos de Rydberg

2.1 Defeito Quˆ

antico

2.1.1 Introdu¸

c˜

ao

A energia do átomo de Hidrogênio é dada por −Ry/2n2_{, na qual Ry (= hc/α}2_{) ´}_{e a}

constante de Rydberg, e apresenta degenerecência nos n´ıveis por causa da invariância rotacional no potencial coulombiano. Átomos multieletrônicos alcalinos, porém, possuem energias que dependem do número quântico principal, n, e de uma quantidade δ`chamada

de defeito quântico, o qual depende de `. δ`é uma extensão fenomenológica da energia do

Hidrogênio, que foi escrita por Rydberg. Portanto, escrevendo a constante de Rydberg Ry = 1 (consideremos a partir daqui em unidades atômicas, a fim de simplifica¸cão), temos que a energia é dada por:

En` = −

1 2(n − δ`)2

(2.1) Esta fórmula, do ponto de vista experimental, funciona bem em átomos alcalinos. Pode-se notar que a equa¸cão (2.1) tende à energia do átomo de Hidrogênio quando δ` → 0.

Em particular, os n´ıveis de energia dos átomos alcalinos ficam cada vez mais próximos dos n´ıveis de energia do Hidrogênio quando ` é muito grande, enquanto n é mantido fixo. A figura (2.1) mostra um diagrama dos n´ıveis de energia dos átomos alcalinos Sódio (Na) e L´ıtio (Li) comparados com os n´ıveis de energia do Hidrogênio. Vemos que os n´ıveis de energia de Li e Na se aproximam dos n´ıveis do átomo de Hidrogênio quando n, ou `, aumenta.

Uma vez que o momento angular ` é pequeno, o elétron de valência penetra no core iônico1, ocorrendo uma repulsão intereletrônica. Por outro lado, quando ` é grande, o elétron de valência permanece fora do core, movendo-se no campo produzido pelos Z 1_{Apesar desse nome ter sido adotado em todo o texto, queremos dizer que se trata de um ´ıon formado}

(20)

Figura 2.1: Diagrama parcial dos n´ıveis de energia dos átomos de hidrogênio, L´ıtio e Sódio mostrando que os n´ıveis se aproximam dos do hidrogênio quando os números quânticos principal e orbital são grandes.

prótons e (Z − 1) elétrons. O potencial de um átomo multieletrônico é substancialmente diferente do potencial coulombiano previsto no átomo de hidrogênio.

Vamos calcular δ`, mostrando sua dependência expl´ıcita com o número quântico `,

assumindo que a órbita eletrônica é semelhante à órbita planetária, ou seja, em termos de uma descri¸cão semi-clássica.

2.1.2 C´

alculo do Defeito Quˆ

antico

O defeito quântico é obtido a partir da equa¸cão (2.1). Como esperamos que δ` seja

muito pequeno, expandimos o termo quadr´atico da energia em torno de δ`/n. Ent˜ao

verificamos que a energia En` ficar´a:

En` ' En−

δ`

n3 (n 1) (2.2)

O segundo termo desta equa¸cão resulta do valor médio do potencial não coulombiano, que surge devido aos elétrons do core. Em geral, este potencial vem das contribui¸cões dos potenciais de penetra¸cão, polarizabiblidade do core iônico, e os de efeitos relativ´ısticos. Em outras palavras, δ` resulta das contribui¸cões dos potenciais causados pela intera¸cão

core-elétron de valência, e é calculado como uma média temporal da órbita eletrônica. Do ponto de vista semi-clássico, o valor médio da órbita do elétron de valência é dado por:

δ` = 1 τ t Z 0 Vc(r) dt0 (2.3)

onde τ = 2πn3 _{(segundo o modelo de Bohr), e define o per´ıodo orbital kepleriano do}

(21)

Figura 2.2: Modelo esquemático da deforma¸cão do core iônico na presen¸ca de um elétron de valência quando este é trazido do infinito até uma distância r do core. O elétron induz um momento de dipolo, p, no core iônico.

Para mostrar que δ` depende de `, usando o método clássico de órbita el´ıptica, vamos

supor que um átomo tipo-Hidrogênio possui apenas a contribui¸cão do potencial polariza-bilidade Vpol(r). Assim, o hamiltoniano total será:

ˆ

H = ˆHCou+ ˆVpol(ˆr) (2.4)

Podemos supor a energia potencial ˆVpol(ˆr) como o trabalho realizado para trazer o

elétron de valência do infinito até uma distância z = r do core iônico, que se encontra na origem do sistema de coordenadas2 (figura 2.2). O elétron produz um campo elétrico coulombiano externo sobre o core:

Ee= −

1 4π0

e r2kˆ

o qual induz um momento de dipolo el´etrico p = αEe no core, e gera um campo el´etrico

dipolar descrito por:

Edip(r, θ) = p 4π0 1 r3 2 cos(θ)ˆr + sin(θ) ˆθ (2.5) Como o el´etron encontra-se no eixo z, a uma distˆancia r, conclu´ımos que θ = 0 e, assim, ˆr = ˆk. Logo o campo Edip se torna:

Edip(r, θ) = −

2αe (4π0)2

1

r5kˆ (2.6)

no qual substitu´ımos o módulo do momento de dipolo p na expressão (2.5). O trabalho, dW = F · dl, realizado para trazer o elétron do infinito até r é dado por uma for¸ca, Fdip,

exercida por Edip sobre o el´etron de valˆencia. Assim, o trabalho fica:

Vpol(r) = W = − r Z ∞ F · dl = 2αe 2 (4π0)2 r Z ∞ 1 r05dr 0 = − e 4π0 2 α 2r4 (2.7)

(22)

Logo, substituindo este resultado no hamiltoniano (2.4), teremos: ˆ

H = ˆHCou−

αd

2ˆr4 (2.8)

em que αd= α(e/4π0)2 ´e a constante polarizabilidade do core iˆonico.

Se ˆVpol(ˆr) é o único potencial do sistema, então o defeito quântico terá apenas a

contribui¸c˜ao deste potencial. Portanto, o valor m´edio do potencial ˆVpol(ˆr), no per´ıodo da

´

orbita kepleriana, resulta apenas da obten¸c˜ao de δpol_` . Como ˆVpol(ˆr) ´e muito pequeno e

muda relativamente pouco a energia coulombiana (En), podemo-lo considerar como uma

perturba¸c˜ao, e calcular por teoria das perturba¸c˜oes3_{. No entanto outro caminho ´}_{e calcular}

o valor médio classicamente usando o modelo de Bohr. Faremos este cálculo do ponto de vista clássico, cujo resultado será o mesmo[7].

Para r grande, o per´ıodo de tempo necessário para executar uma órbita completa é elevado. Podemos, portanto, aproximar esta trajetória a uma órbita el´ıptica, descrita pela 2a _{lei de Kepler, pois o el´}_{etron passa uma maior fra¸c˜}_{ao do per´ıodo kepleriano em grandes}

valores de r, a fim de que 1/r4 _{seja negligenci´}_{avel. Vamos calcular, ent˜}_{ao, o valor m´}_edio

de (2.8), o qual resultar´a nas seguintes energias:

h ˆHi = h ˆHCouli − h ˆVpol(ˆr)i

hEi = hEni − αd 2 D1 r4 E (2.9) Interessa-nos obter o valor m´edio de hr−4i.

Por generalidade, a média sobre uma órbita é dada por:

hr−mi = 1 τ t Z 0 r−mdt0 (2.10)

em que τ é o per´ıodo kepleriano e m, um expoente genérico. Visto que a trajetória é el´ıptica, a equa¸cão de r é dada por:

1 r =

1 + ε cos φ

`2 (2.11)

na qual ε é a excentricidade e ` é o momento angular, que decorre da centrifugalidade da part´ıcula durante a trajetória. Sabemos que, em trajetórias clássicas, ` é uma grandeza cont´ınua. Isso não significa que não possamos admitir valores discretos. Lembrando que ` vem da conserva¸cão do momento angular clássico, r2φ = `, vamos substituir a equa¸c˜˙ ao

(23)

(2.11) em (2.10), e integrar em dφ. Assim, teremos: hr−mi = 1 2πn3 t Z 0 r−m dt 0 dφ dφ = 1 2πn3 2π Z 0 r−m 1 ˙ φ dφ = 1 2πn3 1 ` 2π Z 0 h1 + ε cos φ `2 im−2 dφ = 1 2πn3 1 (`)2m−3 2π Z 0 (1 + ε cos φ)m−2 dφ (2.12)

Ao expandir o termo (1 + ε cos φ)m−2 _{em uma s´}_{erie binomial, e integrar no intervalo}

[0,2π] cada parcela dessa s´erie, anulamos os termos dos cossenos de expoentes ´ımpares e permaneceremos apenas com os termos pares. Sendo assim, como estamos interessados em m = 4, devemos truncar esta s´erie, para obter:

(1+ε cos φ)m−2 = 1+(m − 2)(m − 3) 2! ε 2 cos2φ+(m − 2)(m − 3)(m − 4)(m − 5) 4! ε 4 cos4φ (2.13) Mas, em m = 4, o ´ultimo termo de (2.13) se anula, logo a integral de (2.12) ficar´a:

hr−4i = 1 2πn3 1 `5 2π Z 0 1 + ε2cos2φdφ = 1 `5_n3 1 + ε 2 2 = 3 2 1 `5_n3 (2.14)

cujo termo ε2 é aproximadamente 1, visto que no modelo planetário da órbita eletrônica (ε2 _{= 1 − `}2_/n2_{), o el´}_{etron executa uma ´}_{orbita muito grande. Assim , ent˜}_{ao poderemos}

substituir (2.14) em (2.9), verificando que hEi ser´a igual `a: hEi = hEni − 3 4(αd` −5 ) 1 n3 (2.15)

Comparando este resultado com a equa¸c˜ao (2.1), conclu´ımos que o defeito quˆantico δ`

´e dado por: δ` = 3 4(αd` −5 ) (2.16)

e depende explicitamente de `, como quer´ıamos demonstrar. A tabela (2.1) mostra alguns valores experimentais dos defeitos quˆanticos de metais alcalinos para ` de 0 a 3.

´

E comum representar a equa¸cão (2.1) em termos do número quântico principal efetivo, n∗ = n − δ`. A partir desta quantidade, pode-se escrever as propriedades dos átomos de

Rydberg em escala de n∗. A tabela (2.2) mostra algumas propriedades dos ´atomos de Rydberg escalados neste fator:

En` = −

1 2n∗2

(24)

Tabela 2.1: Defeitos quˆanticos dos ´atomos alcalinos para ` = 0 – 3. ` Li Na K Rb Cs s 0.40 1.35 2.19 3.13 4.06 p 0.04 0.85 1.35 2.66 3.59 d 0.00 0.01 0.25 1.35 2.46 f 0.00 0.00 0.00 0.01 0.02

Tabela 2.2: Algumas propriedades dos ´atomos de Rydberg. Para n grande, tais propriedades dos estados de Rydberg seguem leis de escala universal.

Propriedades deriva¸c˜ao (n∗)x Raio de Rydberg hri = a0

2 (3(n ∗₎2 _{− `(` + 1))} _{x = 2} Energia de Liga¸c˜ao En∗ = R ∗ (n∗₎2 x = −2 Energia de Separa¸c˜ao E(n+1)∗− E_n∗ x = −3

2.2 Intera¸

c˜

ao entre ´

Atomos Rydberg

Figura 2.3: Atomos de Rydberg com um el´etron de valˆencia interagindo entre si.

Outras propriedades dos átomos de Rydberg surgem da intera¸cão que eles exercem entre si. Suponhamos dois átomos de Rydberg, cujos cores não se deformam na presen¸ca um do outro, separados por uma distância R. Cada átomo possui um elétron de valência, distante de r de seus respectivos cores (figura 2.3). O hamiltoniano total desse sistema é dado pelas contribui¸cões dos hamiltonianos atômicos livres e dos potenciais de intera¸cão core-core, elétron-core e elétron-elétron, ou seja:

ˆ

Hdd = ˆH1+ ˆH2+ ˆVdd(R, r1, r2) (2.17)

do qual ˆVdd(R, r1, r2) ´e o potencial dipolo-dipolo, dado por:

ˆ Vdd(R, r1, r2) = ˆV (R) − ˆV (R − r1) − ˆV (R + r2) + ˆV (R − (r1− r2)) = 1 |R| − 1 |R − r1| − 1 |R + r2| + 1 |R − (r1− r2)| (2.18)

(25)

As constantes foram definidas como 1 para simplificar o c´alculo. Note que esta express˜ao tem a seguinte forma:

f (x) = 1

|R − x| (2.19)

Assim, o potencial (2.18) pode ser reescrito desta forma: ˆ

Vdd(R, r1, r2) = f (0) − f (r1) − f (−r2) + f (r1−r2) (2.20)

Considerando que R r1,2, admitimos que os ´atomos est˜ao muito afastados um do

outro, de maneira que as fun¸cões de onda dos elétrons não se sobrepõem. Expandindo, em série de Taylor, a equa¸cão (2.19), chegamos à conclusão de que f (x) será:

f (x) = 1 |R| + x · R R3 + 3(x · R)2 2R5 − x · x 2R3 (2.21)

A partir das equa¸c˜oes (2.20) e (2.21), podemos resumir (2.18) da seguinte forma: ˆ Vdd(R, r1, r2) = r1· r2− 3(r1· ˆn)(r2· ˆn) R3 ! (2.22)

com ˆn = R/R e R = |R|. A equa¸cão (2.22) é o análogo clássico do potencial de intera¸cão de dois dipolos elétricos.

Visto que a intera¸cão entre os átomos é de longo alcance, ˆVdd(R, r1, r2) se torna muito

pequeno. Portanto, podemos tratá-lo como uma perturba¸cão e calcular a energia do hamiltoniano (2.17) pela teoria das perturba¸cões4.

(a) ´Atomos no estado fundamental

Como estamos supondo os átomos tipo-hidrogênio, o estado não perturbado do elétron é descrito por |n`m(0)_{i ⊗ |}1

2i, no qual | 1

2i ´e o termo de spin eletrˆonico. Assim, o estado

total dos dois elétrons de valência será:

|ψi = |n1`1m1i ⊗ |n2`2m2i ⊗ |χi (2.23)

O hamiltoniano (2.17) é indiferente ao estado de spin |χi, logo sua a¸cão sobre (2.23) acontecerá somente os estados |n1`1m1i ⊗ |n2`2m2i.

Assumindo que os átomos estão no estado fundamental (` = m = 0), a energia não perturbada das part´ıculas será igual à 2E_n00(0), devido à a¸cão de ˆH1 + ˆH2 sobre |n100i ⊗

(26)

sobre o qual escrevemos os estados e o potencial na base |r1r2i, aplicando a

comple-teza |r1r2i hr1r2|. A integra¸cão é sobre um volume simetricamente esférico. Escrevendo

hr1r2|ψ(0)i = ψ(r1r2) = ψ1(r1)ψ2(r2) e hr1r2| ˆVdd|r01r02i = ˆVdd(r1r2)δ(r1− r01)δ(r2− r02), e

substituindo-os na equa¸c˜ao (2.24), temos que: E_n00(1) = Z ψ∗₁(r1)ψ∗2(r2) ˆVdd(r1r2)δ(r1 − r01)δ(r2− r02)ψ1(r1)ψ2(r2) d3r1d3r2d3r01d3r02 = Z |ψ1(r1)|2|ψ2(r2)|2Vˆdd(r1r2) d3r1d3r2 (2.25)

Mas E_n00(1) é zero, visto que a integra¸cão sobre o angulo azimutal se cancela, pois o po-tencial é invariante sob rota¸cão. Logo, resta-nos verificar a energia na segunda ordem perturbativa. Portanto, temos que:

0 i. Notamos que a energia E (2) n00 ∝

1/R6_{, devido `}_{a dependˆ}_{encia de ˆ}_V

dd com 1/R3. Como E0 − En < 0, conclu´ımos que E (2) n00

´e negativo e, assim:

E_n00(2) = −C6

R6 (2.27)

C6 ´e a constante de Van der Waals. Portanto, constatamos que a energia na segunda

ordem perturbativa ´e a energia potencial do tipo de van der Waals, e aparece quando os ´

atomos est˜ao no estado fundamental. O valor de C6 varia de sistema a sistema. Al´em

disso, o sinal negativo, que aparece na energia, representa uma intera¸c˜ao atrativa.

Uma generaliza¸cão relevante desse cálculo é a análise em átomos de Rydberg de três n´ıveis.

(b) ´Atomos de trˆes n´ıveis

Neste modelo, discutiremos como a intera¸cão de van der Waals emerge de um sistema em que os dois átomos estão acoplados por um potencial dipolo-dipolo simplificado. Os ´

atomos saltam a outros n´ıveis e voltam à configura¸cão original por meio de processos virtuais de Förster[2]: se o átomo 1 saltar ao estado |+i, o átomo 2 saltará ao estado |−i e vice-versa, voltando ao estado |0i. Estes n´ıveis virtuais têm, no total, uma energia similar ao estado inicial.

Digamos que cada átomo possui três n´ıveis (figura 2.4). A base desse sistema é definida pelos estados |sii ∈ {|+i , |0i , |−i} (i = 1, 2). O produto direto, |s1i ⊗ |s2i, define uma

base total de nove estados. Assumimos, tamb´em, que hr|s1i = hr|s2i para todo estado s.

(27)

Figura 2.4: Modelo simplificado de dois ´atomos com 3 n´ıveis interagindo com potencial dipolo-dipolo.

h+i|ri|−ii = h−i|ri|+ii = 0 (2.28a)

h0i|ri|+ii = h+i|ri|0ii = d+6= 0 (2.28b)

h0i|ri|−ii = h−i|ri|0ii = d− 6= 0 (2.28c)

dos quais d+e d−s˜ao os elementos de matrizes de dipolo (que escalam com n2: d = −er =

−eron2). As energias de uma part´ıcula s˜ao ε0 = h0i| ˆHi|0ii = 0, no estado fundamental,

ε+ = h0i| ˆHi|+ii > 0, no estado excitado, e ε− = h0i| ˆHi|−ii < 0, no estado excitado

virtual. Isso implica que as energias não-perturbadas do sistema de dois átomos serão, portanto:

ε00 = h00| ˆH1+ ˆH2|00i = 0 (2.29a)

ε+− = ε−+ = h+ − | ˆH1+ ˆH2| + −i = ε++ ε− (2.29b)

ε++ = h+ + | ˆH1+ ˆH2| + +i = 2ε+ (2.29c)

ε−− = h− − | ˆH1+ ˆH2| − −i = 2ε− (2.29d)

Visto que as energias |ε++|, |ε−−| s˜ao muito maiores do que |ε+−|, podemos negligenciar

os estados |++i e |−−i, e manter apenas |+−i, |−+i e |00i, dos quais podemos reescrever os dois primeiros em termos dos estados sim´etrico e antissim´etrico:

|Ai = √1

2[|+−i − |−+i] (estado antissim´etrico) (2.30a) |Si = √1

2[|+−i + |−+i] (estado sim´etrico) (2.30b) Utilizando somente o primeiro termo do potencial dipolo-dipolo, ˆVdd(R, r1, r2) = r1_R·r32,

(28)

s˜ao: h00| ˆVdd|Ai = h00| r1· r2 R3 |Ai = 1 √ 2R3 h00| r1· r2|(|+−i − |−+i) = √1 2R3 h00| r1 · r2|+−i − h00| r1· r2|−+i = √1 2R3(d+d−− d−d+) = 0 h00| ˆVdd|Si = h00| r1· r2 R3 |Si = 1 √ 2R3 h00| r1· r2|(|+−i + |−+i) = √1 2R3 h00| r1 · r2|+−i + h00| r1· r2|−+i = √1 2R3(d+d−+ d−d+) = √ 2d+d− R3 = d2 R3

O termo d2_/R3_´_{e a energia potencial dipolo-dipolo que acopla apenas os estados}

funda-mental, |00i, e simétrico, |Si, reduzindo o sistema a dois n´ıveis. Portanto, o hamiltoniano resultante será: ˆ H(R) = 0 d2 R3 d2 R3 −∆ ! (2.31) em que −∆ = ε+− e escala com n−3. Este termo é chamado de defeito de Förster e é

importante à verifica¸cão dos limites assintóticos no regime em que ele é muito grande comparado com d2/R3. Calculando os autovalores de (2.31), teremos que:

E(∆ + E) − d 4 R6 = 0 → E±(R) = − ∆ 2 ± r ∆2 4 + d4 R6 (2.32)

cuja equa¸cão pode ser escrita em termos de uma fun¸cão sinal, em que ∆ também faz este papel. Vamos reescrever a equa¸cão (2.32) como:

E(R) = −∆ 2 + sgn(∆) r ∆2 4 + d4 R6 = ∆ 2 − 1 ± r 1 + 4d 4 ∆2_R6 ! (2.33)

∆ comunica o tipo de intera¸cão que os átomos exercem entre si. Seu sinal nos diz so-bre a atratividade, ou repulsividade, do sistema: será atrativo quando ∆ < 0, e repulsivo quando ∆ > 0.

No limite em que 4d4_/∆2_R6 _{1, a ra´ız quadrada na equa¸c˜}_{ao (2.33) pode ser}

expan-dida numa s´erie binomial, cujo resultado ser´a:

E(R) = ∆ 2 " − 1 + 1 + 1 2 4d4 R6 + · · · !# ≈ d 4_/∆ R6 ≡ C6 R6 (2.34)

Temos, ent˜ao, uma intera¸c˜ao do tipo van der Waals (1/R6_{), que depende do sinal de ∆.}

(29)

van der Waals ´e significativo no limite em que R ´e muito maior que p2d3 ₂

/∆. Por causa disto, definimos um raio cr´ıtico, Rc:

Rc=

2d2

∆ !1₃

(2.35)

Quando 4d2/∆2R6 1, o segundo termo da ra´ız domina, e a energia E(R) ser´a:

E(R) = ∆ 2 − 1 + r 1 + 4d 4 ∆2_R6 ! ≈ ∆ 2 − 1 + 2d2 ∆R3 ! ≈ ∆d 2 |∆|R3 = sgn(∆) d2 R3 (2.36)

que ´e a intera¸c˜ao dipolo-dipolo dependente do sinal de ∆.

Os dois exemplos acima demonstram a relevância em estudar um sistema onde átomos interagem entre si. No caso em que eles estão no estado fundamental, a intera¸cão em grandes distâncias mostra uma atratividade entre os dois átomos. Não obstante, quando lidamos com átomos de Rydberg de n´ıveis generalizados, o tipo de intera¸cão pode ser atrativa ou repulsiva.

´

Atomos de Rydberg também mostram caracter´ısticas importantes quando interagem com um campo eletromagnético. O cap´ıtulo seguinte será dedicado à demonstra¸cão do que acontece com o átomo quando aplicamos um campo clássico sobre ele, e o que isso causa na popula¸cão, ou despopula¸cão, dos n´ıveis atômicos.

(30)

Cap´ıtulo 3

Intera¸

c˜

ao ´

Atomo-Radia¸

c˜

ao

Eletromagn´

etica

3.1 Introdu¸

c˜

ao

Em 1913, Bohr postulou que um quantum de luz (fóton), de frequência ω, é absorvido, ou emitido, sempre que um átomo salta entre dois n´ıveis de energia quantizados, E1 e E2,

satisfazendo `a rela¸c˜ao:

E2− E1 = ~ω

No geral, um átomo possui muitos n´ıveis quânticos, e podem sofrer várias transi¸cões. Quando lidamos com intera¸cões do tipo átomo-luz, fazemos uma aproxima¸cão conhe-cida por aproxima¸cão de dois n´ıveis, porque queremos apenas transi¸cões espec´ıficas entre dois n´ıveis. A luz, ao interagir com o átomo, deve ter uma frequência que coincida com a frequência natural atômica, ocasionando uma ressonância entre eles. Essa intera¸cão indu-zirá oscila¸cões que emitirá luz na mesma frequência. Logo, a magnitude dessas oscila¸cões será grande, e a intera¸cão, forte. Caso a frequência da luz esteja fora de ressonância com o átomo, temos uma magnitude de oscila¸cões dipolares pequena, e intera¸cão fraca.

Neste estudo, vamos analisar a intera¸cão de um átomo com o campo eletromagnético clássico, e determinar o hamiltoniano desse sistema.

3.2 Aproxima¸

c˜

ao de Dipolo

Vamos investigar o hamiltoniano do sistema átomo-radia¸cão via método semi-clássico. Iniciaremos nossa discussão escrevendo o hamiltoniano do átomo de hidrogênio na ausência de um campo externo: ˆ H0 = ˆ P2 2m + ˆV (|r|) (3.1)

(31)

V (|r|) é o potencial coulombiano de intera¸cão entre o elétron e o núcleo atômico. O hamiltoniano (3.1), que age sobre o autoestado não perturbado ψ_k(0)(r) = hr|ψki, satisfaz

a equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo: ˆ H0ψ (0) k (r) = Ekψ (0) k (r)

sendo Ek a energia n˜ao perturbada do el´etron no n´ıvel k.

O átomo recebe, então, um campo eletromagnético E(r, t) = −∇φ(r, t) − ∂A(r, t)

∂t (3.2a)

B(r, t) = ∇ × A(r, t) (3.2b)

o qual modifica o hamiltoniano (3.1), resultando em uma altera¸cão energética devida à intera¸cão átomo-campo. Assim, o hamiltoniano geral é descrito por:

ˆ H0 =

[ ˆP + eA(r, t)]2

2m − eφ(r, t) + ˆV (|r|) (3.3)

cuja carga eletrˆonica e ´e o termo de acoplamento do sistema.

Expandindo o termo quadrático em (3.3), obtemos os termos A(r, t) · ˆP e A(r, t)2. Considerando que o campo eletromagnético é fraco, podemos desprezar A(r, t)2 e concluir que o hamiltoniano (3.3) será:

ˆ H0 = P2 2m + ˆV (|r|) + e mA(r, t) · ˆP − eφ(r, t) (3.4) O campo eletromagnético é invariante sob tranforma¸cão de gauge

φ(r, t) → φ(r, t) − ∂χ(r, t)

∂t (3.5a)

A(r, t) → A(r, t) + ∇χ(r, t) (3.5b)

Assim, pelo gauge de Coulomb (∇ · A(r, t) = 0), e n˜ao havendo fontes de carga na vizinhan¸ca do ´atomo(φ(r, t) = 0), obtemos:

∇ × B = ∇ × ∇ × A(r, t) = −1 c2

∂2_{A(r, t)}

∂t2 (3.6)

do qual escrevemos a equa¸c˜ao da onda do potencial vetor A(r, t): ∇2A(r, t) − 1

c2

∂2A(r, t)

∂t2 = 0 (3.7)

cuja solu¸c˜ao s˜ao ondas planas:

(32)

Como φ(r, t) = 0, o hamiltoniano (3.4) ser´a reescrito como: ˆ H0 = P2 2m + ˆV (|r|) + e m h A(r, t) + ∇χ(r, t)i· ˆP + e∂χ(r, t) ∂t (3.9)

Visto que |r| é da ordem de comprimentos atômicos (de alguns angströms), e λ da ordem do comprimento de onda óptico (∼ 400-700nm), o produto escalar, k · r, será muito menor do que 1, e o potencial vetor fica espacialmente uniforme:

A(r, t) ≈ A(t) = A0e−iωt (3.10)

O gauge de Coulomb nos garante que χ(r, t) = −r · A(t) (3.5b). Assim, aplicando a derivada parcial temporal sobre χ(r, t), e considerando a equa¸c˜ao (3.2a), vemos que:

∂χ(r, t)

∂t = −r ·

∂A(t)

∂t = r · E(t) (3.11)

Assim, substituindo a equa¸c˜ao (3.11) no hamiltoniano (3.9), e cancelando o termo A(r, t)+ ∇χ(r, t), obtemos o hamiltoniano ˆH transformado:

ˆ

H = ˆH0+ er · E(t) = ˆH0− ˆd · E(t) (3.12)

ˆ

d é conhecido como operador dipolo elétrico, e acopla o átomo ao campo elétrico. Este é o análogo clássico do vetor dipolo elétrico, definido por d = −er. Esse resultado é conhecido como aproxima¸cão de dipolo.

Uma vez que o campo é fraco, o termo de intera¸cão é perturbativo. Logo, utilizaremos a teoria das perturba¸cões para estudar a influência desse termo sobre os estados atômicos, analisando a probabilidade do encontrar o átomo no estado mais excitado.

3.2.1 Intera¸

c˜

ao Semi-Cl´

assica ´

Atomo-Campo

Um estado dependente do tempo, cuja base são os autoestados não perturbados de ˆ H0, é designado por: |Ψ(t)i =X k Ck(t)e −iEkt ~ |ψ(0) k i (3.13)

Ck(t) corresponde à amplitude de probabilidade de cada n´ıvel k, e obedece à condi¸cão de

normaliza¸c˜ao

X

k

|Ck(t)|2 = 1 (3.14)

Vamos estudar a dinâmica do sistema, considerando o hamiltoniano (3.12) e o estado (3.13), na equa¸cão de Schrödinger dependente do tempo:

i~∂ |Ψ(t)i

∂t =

ˆ

(33)

A equa¸cão de Schödinger (3.15) fornece um conjunto infinito de equa¸cões. Se mul-tiplicarmos esse conjunto pelo somatório de estados não perturbados P

je

iEjt/~hψ(0) j |,

obteremos uma s´erie de equa¸c˜oes acopladas da forma: ˙ Cj(t) = 1 i~ X k Ck(t) ˆHint jke iωjkt _(3.16)

no qual definimos que Hˆint

jk = hψ (0)

j | ˆHint|ψ_k(0)i, e ωjk = (Ej − Ek)/~ (a frequˆencia de

transi¸cão entre os n´ıveis j e k). Pela teoria das perturba¸cões dependente do tempo1, po-demos desacoplar as componentes de (3.16) se expandirmos Ck(t) numa série de potência

de λ (um termo adimensional muito pequeno).

Digamos que o átomo encontra-se em algum estado inicial i. Isso significa que pode-mos assumir a condi¸cão inicial em que C_i(0)(t) = 1. Quando t > 0, o estado evolui até algum estado final f . Então, o estado na primeira ordem perturbativa será:

C_f(1)(t) = 1 i~ Z t 0 dt0 Hˆint f ie iωf it0 _(3.17)

Em outras ordens, a transi¸cão ocorre por meio de n´ıveis intermediários, até atingir o estado final f . Porém, não focaremos nesse caso, mas apenas na primeira ordem pertur-bativa, sem perda de generalidade. No caso em que f = i, a componenete C_i(1)(t) será igual a 0, visto que Hînt

f i = 0. Isso restringe nosso problema, e corrobora com o fato

de que C_i(0)(t) = 1.

Vamos definir o campo el´etrico como: E(t) = E0cos(ωt) =

E0

2

eiωt+ e−iωt (3.18)

Substituindo (3.18) no hamiltoniano de intera¸c˜ao ˆHint, escrevemos a equa¸c˜ao (3.17) como

segue: C_f(1)(t) = 1 2i~ ˆ d · E0 f i Z t 0 dt0 hei(ω+ωf i)t0 _{+ e}−i(ω−ωf i)t0 i (3.19) cuja solu¸c˜ao ´e dada por:

C_f(1)(t) = − ˆ d · E0 f i 2~ × ( ei(ω+ωf i)t− 1 (ω + ωf i) − e −i(ω−ωf i)t− 1 (ω − ωf i) ) (3.20) Se a frequência de radia¸cão é próxima da frequência de transi¸cão (ω ≈ ωf i), teremos

que ω − ωf i domina sobre ω + ωf i de modo que desprezamos o primeiro termo de (3.20),

pois estamos interessados em oscila¸cões lentas. Essa aproxima¸cão é chamada de rotating wave approximation (RWA), e o coeficiente C_f(1)(t) será resumido à:

C_f(1)(t) = ˆ d · E0 f i 2~ " e−i(ω−ωf i)t− 1 (ω − ωf i) # (3.21) 1_{Ver apˆ}_{endice A}

(34)

A probabilidade P_i→f(1) (t) de encontrar o ´atomo no estado final ´e dada por: P_i→f(1) (t) = C (1) f (t) 2 = ˆd · E₀ f i 2 4~2 e−i(ω−ωf i)t− 1 (ω − ωf i) 2 = d · Eˆ ₀ f i 2 4~2_∆2 e −i∆t_{− 1} 2 = d · Eˆ 0 f i 2 4~2_∆2 cos(∆t) − i sin(∆t) − 1 2 = d · Eˆ 0 f i 2 2~2_∆2 1 − cos(∆t) = d · Eˆ 0 f i 2 ~2 sin2 ∆t₂ ∆2 (3.22)

em que ∆ (= ω − ωf i) é o detuning entre as frequências de radia¸cão e transi¸cão atômica.

No caso em que ∆t/2 = 0, a probabilidade máxima de P_i→f(1) (t) será: P_i→f(1) (t) máx = d · Eˆ ₀ f i 2 ~2 1 ∆2 (3.23)

Por outro lado, quando ∆t/2 ≈ 0, P_i→f(1) (t) ficar´a: P_i→f(1) (t) m´ax = ˆd · E₀ f i 2 4~2 t 2 _(3.24)

As equa¸cões (3.23) e (3.24) são semelhantes às equa¸cões (A.37) e (A.38). Para que a expansão perturbativa ser válida, devemos ter que P_i→f(1) (t)máx 1, implicando que a

equa¸cão (3.23) é válida quando ∆ é grande, ou em tempos muito curtos de acordo com a equa¸cão (3.24).

Na próxima se¸cão, veremos o cálculo exato do hamiltoniano (3.12), usando um modelo atômico de dois n´ıveis conhecido como modelo de Rabi. Definiremos uma frequência carac-ter´ıstica, que carrega as propriedades da dinâmica do sistema. A partir dessa frequência, o sistema evolui periodicamente no tempo pelas oscila¸cões de Rabi.

3.3 Modelo de Rabi

Vejamos os efeitos do campo agindo sobre um ´atomo de dois n´ıveis: o estado funda-mental, |gi, e o estado de Rydberg, |ei (figura 3.1).

A frequência de transi¸cão, de acordo com o modelo de Bohr, é dado por ω0 = (Ee−

Eg)/~. Considerando o hamiltoniano do sistema ´atomo-campo descrito pela equa¸c˜ao

(3.12), e o campo el´etrico (3.18), teremos: ˆ

H = ˆH0− ˆd · E0cos(ωt) = ˆH0+ ˆHint (3.25)

O hamiltoniano ˆH possui dois termos, em que o primeiro corresponde ao hamiltoniano atômico livre e o segundo, à intera¸cão átomo-campo. Vamos escrever (3.25) na base {|gi,

(35)

Figura 3.1: Modelo de Rabi de um átomo de dois n´ıveis. Os n´ıveis são separados pela frequência ω0, e

ω é a frequência de oscila¸cão campo elétrico externo. ∆ é a diferen¸ca entre ω0 e ω. Se ∆ igual a zero, o

sistema entra em ressonˆancia.

Modelo de ´atomo de dois n´ıveis

|gi |ei ω0

ω ∆

|ei}, aplicando a identidade ˆI = |gi hg| + |ei he| pela direita e esquerda de ˆH. Obtemos a seguinte representa¸c˜ao de ˆH:

ˆ

H = (|gi hg| + |ei he|)h ˆH0+ ˆHint

i

(|gi hg| + |ei he|)

= Eg|gi hg| + Ee|ei he| + hg| ˆHint|ei |gi he| + he| ˆHint|gi |ei hg| (3.26)

Eg e Ee s˜ao as autoenergias quando ˆH0 age sobre os estados |gi e |ei. Os elementos de

matrizes hg| ˆHint|gi e he| ˆHint|ei s˜ao iguais a zero devido `a paridade. Resta-nos apenas os

elementos de matrizes fora da diagonal principal, hg| ˆHint|ei e he| ˆHint|gi. Vamos assumir

que Eg ´e igual a zero (consequentemente, Ee = ~ω0) e definir os seguintes operadores:

ˆ

da seguinte forma:

µge ´e o elemento de matriz de dipolo. Portanto, expressando o cosseno em termos das

exponenciais, temos que a equa¸c˜ao (3.26) fica: ˆ H = ~ω0σˆee+ µge 2 eiωt+ e−iωt(ˆσge+ ˆσeg) (3.28)

Podemos transformar o hamiltoniano (3.28) na representa¸cão de intera¸cão, aplicando uma transforma¸cão unitária2:

ˆ

HI = ˆU†H ˆˆ_{U + i~(∂}tUˆ†) ˆU (3.29)

O operador unitário Û , que transforma o hamiltoniano (3.28) na representa¸cão das in-tera¸cões, é o seguinte:

ˆ

U = e−iω0ˆσeet _(3.30)

2_{Essa transforma¸}_c˜_{ao ´}_{e obtida pelas seguintes rela¸}_c˜_oes:

(36)

Logo,

ˆ

HI= µge 2

eiωt+ e−iωtσˆgee−iω0t+ ˆσegeiω0t

(3.31) Mais uma vez, faremos outra transforma¸cão unitária sobre ˆHI pela aplica¸cão do ope-rador unitário, Û = exp(−i∆ˆσeet), cujo termo ∆ é o detuning. Esta transforma¸cão leva o

sistema ao referencial de rota¸c˜ao. Portanto, teremos o seguinte resultado: ˆ H = −~∆ˆσee+ ~Ω R 2 ˆ

σge+ ˆσeg+ ˆσe−2iωt+ ˆσege2iωt

(3.32) ΩR (= µge/~) é chamado de frequência de Rabi, a qual gera as oscila¸cões do sistema.

O hamiltoniano (3.32) possui dois termos que dependem do tempo. Eles podem ser negligenciados, porque estamos interessados no sistema de oscila¸c˜oes lentas de acordo com o RWA. Portanto, resumimos a equa¸c˜ao (3.32) ao seguinte hamiltoniano:

ˆ H = −~∆ˆσee+ ~Ω R 2 ˆ σge+ ˆσeg (3.33) o qual agir´a sobre o estado:

|ψ(t)i = cg(t) |gi + ce(t) |ei (3.34)

Pela equa¸cão de Schrödinger dependente do tempo, as equa¸cões (3.33) e (3.34) resul-tam em: i~ ˙cg(t) |gi + i~ ˙ce(t) |ei = ~Ω R 2 ce(t) |gi + h ~ΩR 2 cg(t) − ~∆ce(t) i |ei (3.35) no qual encontramos um sistema de duas equa¸cões, cuja frequência de Rabi acopla os estados da part´ıcula:        ˙cg(t) = −i ΩR 2 ce(t) ˙ce(t) = −i ΩR 2 cg(t) + i∆ce(t) (3.36a) (3.36b) Vamos estudar, a seguir, o caso em que o campo entra em ressonância com o átomo.

3.3.1 Oscila¸

c˜

ao Ressonante de Rabi

A partir do sistema (3.36), analisaremos o regime ressonante de Rabi (∆ = 0). Assim teremos:        ˙ cg(t) = −i ΩR 2 ce(t) ˙ ce(t) = −i ΩR 2 cg(t) (3.37a) (3.37b) Ao desacoplar o sistema, reca´ımos numa equa¸cão diferencial ordinária (EDO) ho-mogênea do oscilador harmônico simples, cuja ra´ızes da equa¸cão caracter´ıstica são ±ΩR/2.

(37)

Como resultado, temos que as solu¸cões das componentes cg(t) e ce(t) serão: cg(t) = A cos ΩR 2 t + B sin ΩR 2 t (3.38a) ce(t) = i B cos ΩR 2 t − A sin ΩR 2 t (3.38b) Quando t = 0, cg(0) = A e ce(0) = B. Se impormos a condi¸cão de que ce(0) = 0 e

cg(0) = 1, temos que os coeficientes de (3.38) ficam:

         cg(t) = cos ΩR 2 t ce(t) = −i sin ΩR 2 t (3.39a) (3.39b) Vemos que as amplitudes de probabilidades são periódicas no tempo, oscilando com a frequência de Rabi. Assim, substituindo (3.39) no estado (3.34), encontramos a equa¸cão que governa a dinâmica do sistema:

|ψ(t)i = cos ΩR 2 t |gi − i sin ΩR 2 t |ei (3.40)

o qual obedece `a normaliza¸c˜ao:

hψ(t)|ψ(t)i = cos2 ΩR 2 t + sin2 ΩR 2 t = 1 (3.41)

As probabilidades de encontrar o átomo nos estados fundamental e excitado são: Pg(t) = | hg|ψi |2 = cos ΩR 2 t 2 = cos2 ΩR 2 t (3.42a) Pe(t) = | he|ψi |2 = − i sin ΩR 2 t 2 = sin2 ΩR 2 t (3.42b) A figura (3.2) mostra o gráfico das oscila¸cões de Rabi entre os estados |gi e |ei. O per´ıodo de transi¸cões é T = 2nπ/ΩR. Como assumimos que ΩRé igual a 1, as oscila¸cões de

Rabi ocorrem em per´ıodos de 2π. Supondo que o campo seja ligado com dura¸cão de T /2, ou seja, em per´ıodos de π, o átomo, no estado fundamental, é promovido ao estado mais excitado com probabilidade Pe(t) = 1. Esta excita¸cão é conhecida como π-pulso. Por

outro lado, no caso em que o campo é ligado em per´ıodos de π/2, temos uma superposi¸cão dos estados, e o átomo se encontra, ou no estado fundamental, ou no estado de Rydberg. Este tipo de pulso é chamado de π/2-pulso.

Vejamos o caso mais geral em que a frequência do campo se aproxima da frequência natural atômica.

(38)

Figura 3.2: A frequência de Rabi, ΩR, foi igualada a 1. O átomo é excitado ao estado |ei, atingindo seu

m´aximo no per´ıodo de π, e volta ao estado fundamental totalmente no per´ıodo de 2π.

3.3.2 Oscila¸

c˜

ao de Rabi Quase Ressonante

Retornando ao sistema (3.36), com ∆ 6= 0, as equa¸c˜oes se reduzem a uma EDO homogˆenea:

¨

cg(t) − i∆ ˙cg(t) +

Ω2_R

4 cg(t) = 0 (3.43)

cuja equa¸c˜ao caracter´ıstica tem ra´ızes iguais a i

2(∆ ± Ω), em que Ω ´e a frequˆencia

gene-ralizada dada por pΩ2

R+ ∆2. Escolhendo a ra´ız i 2(∆ − Ω), a poss´ıvel solu¸cão de cg(t) será: cg(t) = e i∆ 2 t A sin Ω 2t + B cos Ω 2t (3.44) na qual A e B são constantes. Correspondentemente, a solu¸cão de ce(t), pela equa¸cão

(3.36a), ser´a: ce(t) = ei ∆ 2t iΩ ΩR A − ∆ ΩR B cos Ω 2t − iΩ ΩR B + ∆ ΩR A sin Ω 2t (3.45) Estudando as condi¸c˜oes de contorno quando t=0, teremos que B = cg(0) e A =

−i

Ω(ΩRce(0) + ∆cg(0)). Impondo que cg(0) = 1 e ce(0) = 0, as equa¸c˜oes (3.44) e (3.45)

ficam: cg(t) = ei ∆ 2t cos Ω 2t − i∆ Ωsin Ω 2t (3.46a) ce(t) = −i ΩR Ω e i∆₂t_sin Ω 2t (3.46b) Portanto, as amplitudes de probabilidades evoluem periodicamente no tempo e oscilam com a frequˆencia de Rabi generalizada.

(39)

O estado, que definimos em (3.34), ´e descrito por: |ψ(t)i = ei∆2 t cos Ω 2t − i∆ Ω sin Ω 2t |gi − iΩR Ω e i∆₂t_sin Ω 2t |ei (3.47)

Podemos verificar que esse estado ´e normalizado: hψ(t) | ψ(t)i =cg(t)

2 +ce(t) 2 = 1. As probabilidades de encontrar os ´atomos nos n´ıveis fundamental e Rydberg s˜ao:

Pg(t) = | hg|ψi |2 = cos2 Ω 2t + ∆ 2 Ω2 sin 2 Ω 2t (3.48a) Pe(t) = | he|ψi |2 = Ω2 R Ω2 sin 2 Ω 2t (3.48b) Vamos notar que quando ∆ ΩR, voltamos ao caso ressonante, no qual o estado

excitado ´e totalmente ocupado. Por outro lado, quando ∆ ΩR, a probabilidade Pe(t)

tende a zero, significando que o ´atomo permanece no estado fundamental: Pg(t) = 1.

Podemos estudar esses limites por meio da probabilidade máxima de excita¸cão (PME) (figura 3.3b), em que analisamos a probabilidade máxima do átomo ocupar o estado excitado em cada valor de ∆. Note que, quando a ressonância é atingida (∆/ΩR = 0), a

probabilidade é máxima, implicando que toda popula¸cão está no estado excitado.

A figura (3.3) mostra o caso em que temos ∆ < ΩR. O estado excitado ´e parcialmente

ocupado em π/2. Com isso, podemos ter um controle das invers˜oes por meio da frequˆencia do campo aplicado.

Figura 3.3: (a)Para Ω = 2, com ∆ = 1 e ΩR=

√

3, o átomo ocupa parcialmente o estado excitado. (b) Pico de máxima excita¸cão. Ocorre transi¸cão total quando ∆ = 0, indo a zero em valores de ∆ grande.

(a) (b)

Podemos ver que os átomos de Rydberg são sens´ıveis ao campo eletromagnético, visto que este interfere no estado final da part´ıcula. Porém, além da sensibilidade que eles têm com o campo, os estados atômicos apresentam defasagem quando tais átomos interagem entre si por meio de um potencial V (R). Vimos na se¸cão (2.2) que, quando dois átomos

(40)

de Rydberg estão a uma distância R grande, e estão sob a influência de um potencial de dipolo (1/R3_{), a energia resultante era um potencial do tipo van der Waals (1/R}6_).

Veremos, no próximo cap´ıtulo, como este potencial influencia os estados das part´ıculas, e estudaremos as oscila¸cões de Rabi no contexto da intera¸cão entre dois átomos de Rydberg do modelo de Rabi.

(41)

Cap´ıtulo 4

Bloqueio de Dipolo

4.1 Introdu¸

c˜

ao

Quando átomos são opticamente excitados ao estado de Rydberg, as intera¸cões in-fluenciam na quantidade de átomos a serem excitados. Se dois átomos próximos estão inicialmente no estado fundamental e excitamos um deles até o estado de Rydberg, o outro terá seu n´ıvel de Rydberg deslocado em razão dessa intera¸cão. Esse deslocamento de n´ıvel altera a região de ressonância dos átomos, impedindo que o outro seja excitado ao estado de Rydberg. O átomo não excitado só será elevado ao estado de Rydberg se mudarmos a frequência de excita¸cão.

Figura 4.1: Dependência da energia E(R) com R. O estado duplamente excitado |rri se desloca no raio de bloqueio para fora da ressonância da excita¸cão de Rydberg.

A figura (4.1) mostra uma base de estados {|ggi , |gri , |rgi , |rri}. Os estados são acoplados pela excita¸cão laser Ω, de modo que as transi¸cões |ggi → |rgi e |rgi → |rri serão igualmente ressonantes se a distância entre os átomos for muito grande, acima de uma distância caracter´ıstica chamada de raio de bloqueio1_{, R}

b.

(42)

Quando R < Rb, a probabilidade de encontrar os ´atomos no estado duplamente

exci-tado |rri reduz-se dramaticamente a zero, pois |rri se desacopla do hamiltoniano total, e apenas um átomo se encontra no estado de Rydberg, enquanto os demais se mantêm no estado fundamental. Esse processo é conhecido como bloqueio de dipolo. Assim, o sistema recai em um regime coletivo de dois n´ıveis: um estado fundamental e um estado coletivo de Rydberg. Esse conceito foi demonstrado experimentalmente com dois átomos em pin¸cas ópticas [15, 13].

De modo geral, sistemas coletivos mostram oscila¸c˜oes de Rabi que escalam com √N , sendo N o n´umero de part´ıculas. Tal escalamento foi demonstrado em sistemas de muitos ´

atomos, correspondendo a uma varia¸cão em cerca de duas ordens de magnitude [16, 20]. Um sistema coletivo introduz à forma¸cão de um superátomo. As primeiras imple-menta¸cões de superátomos isolados foram criadas com átomos de Rydberg, para demons-trar uma porta lógica de dois qubits [13, 15, 17, 18, 19].

No caso em que R > Rb, o modelo de super´atomo ´e quebrado, necessitando acrescentar

mais estados excitados que se acoplam ao estado coletivo de Rydberg [20]. Por´em, n˜ao abordaremos tal assunto neste trabalho.

Vamos estudar, neste cap´ıtulo, o fenômeno de bloqueio de dipolo, em que dois átomos de Rydberg, interagindo por meio de um potencial V (R), provoca um no outro. Estuda-remos especificamente a condi¸cão em que R < Rb, e veremos a influência de V (R) sobre

os estados atˆomicos, e como podemos generalizar esse sistema para N ´atomos interagindo entre si.

4.2 Bloqueio de Dipolo no Modelo de Rabi

Estudamos, no cap´ıtulo anterior, a intera¸cão entre um átomo de dois n´ıveis e um campo elétrico externo. Veremos, agora, os efeitos produzidos nesta intera¸cão quando aproxima-mos um segundo átomo do primeiro. Neste novo sistema, cada átomo é representado pelo estado (3.34) e hamiltoniano (3.33). Assim, temos que |Ψi do conjunto será:

o qual obedece à condi¸cão de normaliza¸cão X

i,j

(43)

e o hamiltoniano total ser´a a soma dos hamiltonianos de cada ´atomo do sistema, mais o potencial V (R), quando eles se encontram no estado de Rydberg. Portanto, temos que:

ˆ H1+2 = ˆH1⊗ I2+ I1⊗ ˆH2+ V (R) |eei hee| = ~ΩR 2 2 X i=1 ˆ σ_ge(i)+ ˆσ_eg(i) − ~∆ 2 X i=1 ˆ σ_ee(i)+ V (R)ˆσ_ee(1)⊗ ˆσ_ee(2) (4.3)

O hamiltoniano total (4.3) pode ser representado por uma matriz na base {|ggi, |gei, |egi, |eei}: ˆ H1+2= ~       0 ΩR 2 ΩR 2 0 ΩR 2 −∆ 0 ΩR 2 ΩR 2 0 −∆ ΩR 2 0 ΩR 2 ΩR 2 −2∆ + V (R) ~       (4.4)

Substituindo (4.1) e (4.4) na equa¸cão de Schrödinger dependente do tempo, obtemos um sistema de quatro equa¸cões acopladas pela frequência de Rabi ΩR, como segue:

˙cgg(t) = −i ΩR 2 cge(t) + ceg(t) (4.5a) ˙cge(t) = −i ΩR 2 cgg(t) + cee(t) − i∆cge(t) (4.5b) ˙ceg(t) = −i ΩR 2 cgg(t) + cee(t) − i∆ceg(t) (4.5c) ˙cee(t) = −i ΩR 2 cge(t) + ceg(t) + i 2∆ − V (R) ~ ! cee(t) (4.5d)

Na equa¸c˜ao (4.5d), o potencial V (R) funciona como um detuning. Ou seja, ∆ e V (R) agregam um detuning efetivo, ∆eff, no deslocamento dos n´ıveis. A partir de agora,

estu-daremos apenas o sistema em ressonância com o campo elétrico (∆ = 0). Isto implicará que as energias médias hgg| ˆH1+2|ggi, hge| ˆH1+2|gei e heg| ˆH1+2|egi serão iguais a zero. Por

outro lado, a energia Eee do estado duplamente excitado ´e igual ao potencial V (R):

Eee(R) = D ee ˆ H1+2 ee E = C6 R6 ≡ V (R) (4.6)

V (R), portanto, é o gap de energia entre os n´ıveis dos estados { |ggi, |gei, |egi } e |eei. Podemos determinar que, se V (R) e ~ΩRsão da mesma ordem de grandeza, então obtemos

uma distância caracter´ıstica dependente da frequência de Rabi e da constante de van der Waals: V (R) = ~ΩR ⇒ C6 R6 = ~ΩR ⇒ Rb = C6 ~ΩR !1₆ (4.7) Rb é o raio de bloqueio que varia com ΩR e C6. Os valores t´ıpicos desta grandeza são da

(44)

Figura 4.2: Intera¸cão entre dois átomos no regime de ressonância. (a) e (c) mostram a dinâmica de in-versão populacional dos átomos sob a a¸cão do potencial de van der Waals, V (R) = −C6

R6. A probabilidade

de encontrar ambos os átomos no estado de Rydberg é cada vez menor. (b) e (d) mostram quão menor é o número de excita¸cões em que encontramos ambos os átomo no estado de Rydberg.

(a) (b)

(c) (d)

Vamos analisar o sistema (4.5) numericamente pelo m´etodo de Runge-Kutta de 4a

ordem2. No c´alculo computacional, definimos que ΩR = C6 = ~ = 1, 0 e o tamanho do

passo dt = 10−4 (com todas estas grandezas nas suas respectivas unidades pr´oprias). O raio de bloqueio, portanto, ser´a Rb = 1.0.

As figuras (4.2a, 4.2c) mostram a dinâmica populacional dos estados fundamental e du-plamente excitado em alguns valores fixos de V (R). Com o potencial crescendo, diminui-se a probabilidade de dupla excita¸cão, |Cee(t)|2. Isso porque o número de átomos excitados

diminui quando eles se aproximam, aumentando a for¸ca de intera¸c˜ao interatˆomica (figuras 4.2b, 4.2d).

Uma vez que a intera¸cão é muito forte entre os átomos, a probabilidade de dupla excita¸cão se anula, causando o efeito de bloqueio (figuras 4.3a, 4.3c). Vemos nas figuras (4.3b, 4.3d) que, no máximo, um átomo se encontra no estado de Rydberg.

A figura (4.4) mostra o bloqueio de dipolo comparando trˆes potenciais diferentes. 2_{Ver Apˆ}_{endice B}

(45)

Figura 4.3: Intera¸cão entre dois átomos no regime de ressonância. (a), (c) Quando o potencial de van der Waals, V (R) = −C6

R6, ´e muito grande, a probabilidade dos dois ´atomos se encontrarem no estado de

Rydberg é nula. (b) e (d) mostram que o número de excita¸cões, quando R é muito pequeno, oscila mais rapidamente, e com amplitude máxima igual a 1.

(a) (b)

(c) (d)

Comparamos a probabilidade máxima de duplamente excita¸cão em fun¸cão da distância de intera¸cão R. A probabilidade máxima de encontrar os dois átomos duplamente exci-tados diminui drasticamente a zero quando R < Rb, e aumenta rapidamente a 1 quando

R > Rb. No regime do potencial V (R) = −1/R6, vemos que o bloqueio de dipolo ´e

um fenômeno em que a energia do estado duplamente excitado é muito grande quando a distância interatômica é muito pequena. Esta energia desacopla o estado |eei dos demais estados, mantendo apenas um dos átomos no estado de Rydberg.

Este fenômeno também interfere nas oscila¸cões atômicas. Se compararmos as figuras (4.2b) e (4.3d), por exemplo, notamos que a frequência de oscila¸cão do conjunto aumenta. Isto significa que há uma frequência coletiva no regime de intera¸cão muito forte.

Vejamos na próxima se¸cão, as implica¸cões desse regime na mudan¸ca efetiva da frequência de oscila¸cão atômica. Descreveremos o que acontece com a frequência na intera¸cão en-tre dois átomos. Posteriormente, faremos uma generaliza¸cão para o caso de N átomos, estudando sua rela¸cão com o modelo de superátomos.

(46)

Figura 4.4: O bloqueio de dipolo para trˆes regimes de intera¸c˜ao. Os potenciais de van der Waals, dipolo-dipolo e V (R) = −1/R10_s˜_{ao comparados. Notemos que o R}

b= 1.

4.3 Excita¸

c˜

oes Coletivas

Vimos na se¸cão anterior que |Cee|2é nulo quando V (R) é muito grande. Logo, o estado

|eei se desacopla do hamiltoniano total ˆH1+2(Eq. 4.4) e, por esse motivo, podemos

resumi-lo a um hamiltoniano efetivo, ˆHeff, escrito na base do subespa¸co { |ggi, |gei, |egi}, no

qual apenas um ´atomo encontra-se no estado excitado:

ˆ Heff = ~     0 ΩR 2 ΩR 2 ΩR 2 0 0 ΩR 2 0 0     (4.8)

Os autovalores de ˆHeffs˜ao as energias efetivas, que dependem da frequˆencia ΩRalterada

pelo fator √2: E±= ±~ √ 2ΩR 2 ! = ±~Ω2 2 (4.9a) E0 = 0 (4.9b) Ω2(= √

2ΩR) é a frequência coletiva dos dois átomos nesse regime de intera¸cão.

Notemos dois pontos importantes. Primeiro, as autoenergias E+e E−s˜ao semelhantes

`

as autoenergias do hamiltoniano ˆH da equa¸cão (3.1). Isto tem um significado razoável, que discutiremos posteriormente. E, segundo, observa-se que a razão dos per´ıodos de oscila¸cões das figuras (4.2b) e (4.3b) corresponde a algo próximo de √2, concordando com o fator de (Eq. 4.9a) no regime de bloqueio.