NoçõesProbabilidades

(1)

Probabilidades

1. Motivação;

2. Conceitos importantes;

3. Definições

de

probabilidades;

4. Probabilidade Condicional;

5. Independência de eventos;

6. Regra

da

probabilidade

total.

(2)

Probabilidades

OS RESULTADOS, MESMO EM CONDIÇÕES NORMAIS DE

EXPERIMENTAÇÃO, VARIAM DE UMA OBSERVAÇÃO

PARA OUTRA.

DIFICULTA A PREVISÃO

DE RESULTADOS FUTUROS

(3)

Probabilidades

A teoria das probabilidades nada mais é

do que o bom senso transformado em

cálculo.

A probabilidade é uma medida da incerteza

dos fenômenos biológicos. Traduz-se por

um número real compreendido de 0 ( zero)

e 1 ( um).

(4)

Probabilidades

Exercícios:

a)Qual a probabilidade de nascer uma criança do

sexo masculino?

b)Um pesquisador verifica que, dentre 1000

casos de cirrose hepática, 40 evoluíram para

câncer. Com base nessa experiência, qual a

probabilidade da cirrose se tornar cancerosa?

(5)

CONCEITOS IMPORTANTES

Experimento aleatório ou Processo

DEFINIÇÃO 1: Qualquer fenômeno que gere

resultado incerto ou casual.

CONDIÇÕES:

• Cada experimento pode ser repetido sob as mesmas

condições;

• Não se conhece um valor particular do experimento “a

priori”, porém, podemos descrever todos os possíveis

resultados.

(6)

CONCEITOS IMPORTANTES

Experimento aleatório

Exemplos:

1. Observar o número de caras obtidos no lançamento de

uma moeda;

2. Jogar um dado e observar o número que cai na face

superior;

3. De uma urna com 2 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis,

retirar uma bola com ou sem reposição e observar a cor.

4. Observar o número de peças defeituosas produzidas.

(7)

CONCEITOS IMPORTANTES

Evento: é um resultado ou, eventualmente, um

conjunto de resultados ocorridos no experimento.

1. Ao jogar a moeda o evento foi cara;

2. O raio atingir (ou não) uma pessoa;

3. Ao jogar dois dados o evento foi número nove.

Evento simples: é um resultado, ou um evento, que

não comporta mais decomposições.

1. Ao jogar a moeda o evento foi cara;

(8)

CONCEITOS IMPORTANTES

Espaço Amostral de um experimento

É composto pelo conjunto de todos os eventos simples possíveis, o

espaço amostral também é chamado de conjunto universo.

1. No lançamento de uma moeda, o espaço amostral é composto de

dois eventos: cara ou coroa.

2. No lançamento de duas moedas, o espaço amostral é composto de

quatro eventos: (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa,

coroa).

3. No lançamento de um dado, o espaço amostral é composto de seis

eventos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

(9)

CONCEITOS IMPORTANTES

Operação com conjuntos

UNIÃO: É o evento que ocorre se A ocorrer, B

ocorrer ou ambos ocorrerem.

_

A

_B

(10)

CONCEITOS IMPORTANTES

Operação com conjuntos



INTERSEÇÃO: É o evento que ocorre se A e B

ocorrerem simultaneamente.

A

B

(11)



A

B

A

C

CONCEITOS IMPORTANTES

Operação com conjuntos

(12)

CONCEITOS IMPORTANTES

Operação com conjuntos

MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: É caracterizado quando A e

B não ocorrerem simultaneamente.

A

B



(13)

Recapitulando

Observar o número de caras no

lançamento de 4 moedas.

O que é?

_{R. Experimento aleatório}

A = {CKCK} B = {CKKK} C = {0,1,2,3}

O que são?

_{R. Eventos.}

A e B

(14)

COMO PODEMOS DEFINIR PROBABILIDADE?

Probabilidade é uma medida que quantifica a

sua

incerteza

frente

a

um

possível

acontecimento futuro.

Há várias maneiras de se medir a incerteza e é costume

se pensar na seguinte divisão:

1) Método Clássico;

2) Método Subjetivo;

2) Método Freqüentista;

(15)

Definição Clássica

Um conjunto de

N eventos equiprováveis

, a

probabilidade de ocorrência de um determinado

evento A

, é dado pela razão:

 

N

n

A

P



Onde:

n é o número de elementos em A

N é o número de elementos em



.

(16)

Definição Moderna

Probabilidade é uma função P( ), que associa a cada evento

do espaço amostral, um número real, pertencente ao

intervalo [0, 1], satisfazendo os seguintes

axiomas

:

(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.

(2) P(



) = 1.

(3) Se A e B são eventos mutuamente

(17)

Definição Moderna

Propriedades

P1: P(Ø) = 0, onde . é o conjunto vazio.

P2: Se A

c

_{for o evento complementar de A, então}

P(A

c

) = 1 – P(A).

(18)

Teorema da adição

Se

A

e

B

são eventos num espaço amostral finito

S

, a

probabilidade de reunião dos subconjuntos

A

e

B

é igual

a adição das probabilidades de

A

e

B

, menos a

probabilidade da intersecção do subconjunto

A

e

B

.

P(A



B) = P(A) + P(B) - P(A



B)

Se

A

e

B

forem dois eventos mutuamente exclusivos

(ou

disjuntos),

a

probabilidade

da

reunião

dos

subconjuntos

A

e

B

é simplesmente igual a adição de suas

probabilidades individuais.

(19)

Probabilidade

Exemplo:

Qual a

probabilidade do objeto selecionado ser quadrado ou ser vermelho? ( ) P QuadradoVermelho  8 9  ( ) ( ) ( )

P QuadradoVermelho P Quadrado P Vermelho

5 5 10 9 9 9 1?

   

A

_B

(20)

Probabilidade

Exemplo:

Qual a

probabilidade do objeto selecionado ser quadrado ou ser vermelho? ( ) P QuadradoVermelho  8 9  ( ) ( ) ( )

P QuadradoVermelho P Quadrado P Vermelho

5 5 2 8 9 9 9 9     ( ) P Quadrado Vermelho  

A

_B

A U B

(21)

Probabilidade

(

)

( )

P A



B



P A



P B



P A

(



B

)

A

_B

A U B

(

)

0 (

)

( )

P A



B





P A



B



P A



P B

(eventos mutuamente exclusivos)

A

B

(22)

11 10

Probabilidade

Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? 1 2 ( ) P Vermelho Vermelho  ? ?  . . . ?

A

B

A



B

(23)

6 5

Probabilidade

Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? 1 2 ( ) P Vermelho Vermelho  ? 110  . . . ?

A

B

A



B

(24)

Probabilidade

Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? 1 2 ( ) P Vermelho Vermelho  30 110  6.5 11.10 6 5 11 10  (?) P ₁ ( ) P Vermelho

A

B

A



B

(25)

Probabilidade

Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? 1 2 ( ) P Vermelho Vermelho  30 110  6.5 11.10 6 5 11 10  (?) P 2 1 ( )

P Vermelho sabendo que Vermelho

2 1

( / )

P Vermelho Vermelho

A

B

(26)

Probabilidade

Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? 1 2 ( ) P Vermelho Vermelho  30 110  1 2 1 2 1 ( ) ( ). ( / ) 6 5 30 . 11 10 110

P Vermelho Vermelho  P Vermelho P Vermelho Vermelho

 

A

B

(27)

Probabilidade

(

)

( ). ( / )

P A

B

P A P B A

P B P A B





A

B

A



B

(28)

Probabilidade

Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? 1 2 ( ) P Vermelho Vermelho  ? ?  1 2 ( ) . P Vermelho( ₁Vermelho₂) 6 6. 11 11 P Vermelho Vermelho  1 2 ( ). ( ) P Vermelho P Vermelho  (eventos independentes)

A

B

A



B

(29)

Probabilidade

(

)

( ). ( / )

P A

B

P A P B A

P B P A B





( / )

( )

( / )

( )

(

)

( ). ( )

P A B



P A e P B A



P B



P A



B



P A P B

(eventos independentes)

A

B

A



B

(30)

Probabilidade

Qual a probabilidade de escolher pelo menos 1 objeto vermelho? ( 1 )

P pelo menos Vermelho  (1 ) (2 ) (3 )

(4 ) (5 )

P Vermelho P Vermelhos P Vermelhos

P Vermelhos P Vermelhos      1 P(5 Azuis)   5 4 3 2 1 1 . . . . 11 10 9 8 7   0,9978 

A

_B

A

C

(31)

Probabilidade

( )

1 ( )

P A

 

P A

A

_B

(32)

Probabilidade

Exercícios

1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos,

a) ambos estejam vivos;

b) somente o homem esteja vivo;

c) somente a mulher esteja viva;

d) nenhum esteja vivo; e

e) pelo menos um esteja vivo.

H: homem vivo : homem morto

M: mulher viva : mulher morta

H M

(33)

Probabilidade

Exercícios

1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:

a) ambos estejam vivos;

( )

P H M  P H P M( ). ( )  2 2 4

5 3  15

b) somente o homem esteja vivo;

( )

P H M  P H P M( ). ( )  2 1 2

5 3  15

c) somente a mulher esteja viva;

( )

P H M  P H P M( ). ( )  3 2 6

(34)

Probabilidade

Exercícios

1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:

d) nenhum esteja vivo;

( )

P H M  P H P M( ). ( )  3 1 3

5 3  15

e) pelo menos um esteja vivo;

( ) P H M  P H( )P M( )P H( M)  2 2 4 6 10 4 12 5 3 15 15 15       1 P H( M)     1 3 12 15 15   Obs: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 6 3 1 15 15 15 15 P H M P H M P H M  P H M     

(35)

Probabilidade

Exercícios

2) Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = p; e P(A  B) =

0,6. Calcular p considerando A e B:

a) mutuamente exclusivos;

(36)

Probabilidade

Exercícios

2) Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = p; e P(A  B) =

0,6. Calcular p considerando A e B: a) mutuamente exclusivos; ( ) 0 P AB  ( ) ( ) ( ) P AB  P A P B b) independentes ( ) ( ) ( ) P B P A B P A     ( ) 0,6 0, 2 0, 4 P B    ( ) ( ). ( ) P AB  P A P B





( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). 1 ( ) ( ) P A B P A P B P A B P A P B P A P B P B P A P A            ( ) ( ) 0,6 0, 2 0, 4 ( ) 0,5 1 ( ) 1 0, 2 0,8 P A B P A P B P A         

(37)

Probabilidade

Exercícios 3) Qual a probabilidade de escolher exatamente 3 objetos vermelhos?

3Vermelhos3Vermelhos2Azuis

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (3 ) ( ) ( ) P Vermelhos  P V   V V A A   P A A   V V V ? 1 2 3 4 5 ( ) P V   V V A A 

(38)

Probabilidade

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (3 ) ( ) ( ) P Vermelhos  P V   V V A A   P A A   V V V ? 1 2 3 4 5 ( ) 11 10 9 8 7 P V   V V A  A 

(39)

Probabilidade

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (3 ) ( ) ( ) P Vermelhos  P V   V V A A   P A A   V V V ? 1 2 3 4 5 6 5 4 5 4 ( ) 11 10 9 8 7 P V   V V A A  1 2 3 4 5 5 4 6 5 4 ( ) 11 10 9 8 7 P A A   V V V 

Técnicas de contagem

(40)

Técnicas de Contagem

• com reposição

A E

I _O

U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U AAA

(41)

Técnicas de Contagem

• com reposição

A E

I _O

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U AAA AAE

(42)

Técnicas de Contagem

• com reposição

A E

I _O

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U AAA AAE AAI • • • IEA

(43)

Técnicas de Contagem

• com reposição

A E

I _O

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U AAA AAE AAI • • • IEA • • • UUO UUU

(44)

Técnicas de Contagem

• com reposição

A E

I _O

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U AAA AAE AAI • • • IEA • • • UUO UUU ? grupos 5 x 5 x 5 = 125 grupos

(45)

Técnicas de Contagem

• com reposição

A E

I _O

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U AAA AAE AAI • • • IEA • • • UUO UUU 5 x 5 x 5 = 125 grupos #grupos nr

(46)

Técnicas de Contagem

• sem reposição

A E

I _O

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U AEI

(47)

Técnicas de Contagem

• sem reposição

A E

I _O

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U AEI AEO

(48)

Técnicas de Contagem

• sem reposição

A E

I _O

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U AEI AEO AEU • • • IEA

(49)

Técnicas de Contagem

• sem reposição

A E

I _O

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U AEI AEO AEU • • • IEA • • • UOE UOI

(50)

Técnicas de Contagem

• sem reposição

A E

I _O

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U AEI AEO AEU • • • IEA • • • UOE UOI 5 x 4 x 3 = 60 grupos ? grupos

(51)

Técnicas de Contagem

• sem reposição

A E

I _O

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U AEI AEO AEU • • • IEA • • • UOE UOI 5 x 4 x 3 = 60 grupos Permutação 3 5 5! 5 4 3 2 60 (5 3)! 2 P     ! ( )! r n n P n r  

(52)

1a A E I O U 2a A E I O U 3a A E I O U

Técnicas de Contagem

• sem reposição (ordem não é importante)

A E

I _O

AEI AIE EAI EIA IAE IEA 6 grupos  P33  3! 3 26

(53)

Técnicas de Contagem

A E

I _O

AEI AEO AEU AIO AIU AOU EIO EIU EOU IOU

AEI AIE EAI EIA IAE IEA

IOU IUO OIU OUI UIO UOI

• • • 3 5 P

(54)

Técnicas de Contagem

A E

I _O

AEI AEO AEU AIO AIU AOU EIO EIU EOU IOU 10 grupos 5 3 3 3 P P  5 4 3 10 3 2   Combinação

(55)

Técnicas de Contagem

A E

I _O

AEI AEO AEU AIO AIU AOU EIO EIU EOU IOU Combinação 3 5 5! 5 4 3 2 10 3!(5 3)! 3 2 2 C     ! !( )! r n n _n C r r n r    _{ }    

(56)

Técnicas de Contagem

A E

I _O

U De quantas formas posso rearranjar estas 9 letras?

A E I _O U A O O I • sem reposição

Permutação com repetição

1 1 2 ! # ! !... ! k i i k n grupos n n n n n   



9! # 2!1!2!3!1! grupos  9 8 7 6 5 4 3 2 15120 2 2 3 2   AE I OU

(57)

Probabilidade

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (3 ) ( ) ( ) P Vermelhos  P V   V V A A   P A A   V V V 5! 6 5 4 5 4 (3 ) 3!2!11 10 9 8 7 P Vermelhos  5! 3!2! 5 5 3 2     _{   }    

(58)

Probabilidade

Exercícios

5) Duas imagens de duas épocas distintas foram classificadas em 3 classes: floresta (F), capoeira (C) e área agrícola (A). A fim de comparar as mudanças entre as épocas, fez-se a tabulação cruzada entre as imagens classificadas, obtendo-se a seguinte matriz (em ha): _{É p o c a 1}

Floresta Capoeira _AgrícolaÁrea

É p o c a 2 Floresta 100 0 0 Capoeira 0 150 50 Área Agrícola 20 30 100

Selecionando-se um ponto aleatoriamente, calcule a probabilidade deste ponto:

a) ser floresta na época 1;

b) ser floresta em ambas as épocas;

c) ser capoeira em qualquer época;

d) não ter mudado de classe entre as épocas analisadas;

e) ser capoeira na época 2, tendo sido área agrícola na época 1; e

(59)

Probabilidade

É p o c a 1

a) ser floresta na época 1

100 200 150 120 180 150 450 100 200 150 120 180 150 1 ( ) P F  120 450

(60)

Probabilidade

É p o c a 1

b) ser floresta em ambas as épocas

100 200 150 120 180 150 450 1 2 ( ) P F F  100 450

(61)

Probabilidade

É p o c a 1

c) ser capoeira em qualquer época

100 200 150 120 180 150 450 1 2 ( ) P C C  180 200 150 230 450 450   _

(62)

Probabilidade

É p o c a 1

d) não ter mudado de classe entre as épocas analisadas

100 200 150 120 180 150 450



( 1 2) ( 1 2) ( 1 2)



P F F  C C  A A  100 150 100 350 450 450   _

(63)

Probabilidade

É p o c a 1

e) ser capoeira na época 2, tendo sido área agrícola na época 1 100 200 150 120 180 150 450



2/ 1



P C A  50 150

(64)

Probabilidade

É p o c a 1

f) ser capoeira na época 2, não tendo sido área agrícola na época 1 100 200 150 120 180 150 450



2/ 1



P C A  0 150 150 120 180 300  _   1 P C( 2 / A1)