Aula08

Aula 8 – O Método do Lugar Geométrico das Raízes (LGR)

Introdução

Propriedades de um ponto do LGR

Regras de Construção do LGR

Exercícios Resolvidos e Propostos

Introdução

O método do Lugar Geométrico das Raízes foi desenvolvido por W. R. Evans [1] e apresentado em um artigo publicado em 1948. Este método tem por objetivo representar graficamente o deslocamento dos pólos de malha-fechada de um sistema linear quando sujeito a variação de um ou mais parâmetros. O método do LGR é muito eficiente para a análise e projeto de sistemas de controle lineares, permitindo concluir aspectos relacionados a estabilidade e a resposta transitória destes sistemas.

A situação de interesse é mostrada pela Figura 8.1, onde G(s) é a função de transferência de um sistema linear invariante no tempo do tipo SISO, H(s) é a função de transferência do ramo de realimentação e K é um número real. A função de transferência de malha-fechada deste sistema é apresentada em (8.1).

Fig. 8.1: Diagrama de blocos de um sistema de controle realimentado.

) s ( H ) s ( KG 1 ) s ( G K ) s ( R ) s ( Y ) s ( T + = = (8.1)

Propriedades de um ponto do LGR

A análise proposta por Evans é realizada com base nas possíveis raízes da equação do denominador de (8.1), também conhecido como equação característica, admitindo o parâmetro K como variável, i.e. 0 ) s ( H ) s ( KG 1+ = (8.2) Uma vez que s é uma variável complexa, G(s)H(s) representa uma função complexa sendo que as raízes da equação (8.2) coincidirão com todos os valores de s que satisfaçam simultaneamente as seguintes condições: Y(s) G(s) R(s) + _ H(s) K

1 ) s ( H ) s ( KG = (8.3)

(

2h 1

)

180 , onde h 0,1,2, ) s ( H ) s ( G =± + o = (8.4)

Se for considerado K<0, então as raízes de (8.2) coincidirão com os valores de s que satisfazem simultaneamente as seguintes condições:

1 ) s ( H ) s ( KG = (8.5)  , 2 , 1 , 0 h onde , 360 h ) s ( H ) s ( G =± o = (8.6)

Contudo, restringindo-se a análise para valores de K ≥ 0, da equação 8.3 é imediato concluir que

K 1 ) s ( H ) s ( G = (8.7)

Logo para um ponto de teste st pertencer ao LGR, considerando que K ≥ 0, G(s)H(s) deve

satisfazer a condição de módulo definida pela 8.7 e também satisfazer a condição angular definida pela equação 8.4.

As equações 8.5 e 8.6 são utilizadas para traçar o LGR para K ≥ 0. O primeiro passo para construir o LGR é marcar a localização dos pólos e zeros de malha aberta no plano complexo sendo, por convenção, os pólos denotados por × e os zeros por ο. Com a localização exata dos pólos em malha aberta é possível medir no LGR do sistema t s s ) s ( H ) s ( G ₌ e t s s ) s ( H ) s ( G

= para qualquer ponto de teste

s

t.

Como exemplo considera-se a seguinte função de transferência de malha aberta de um sistema:

) 4 j 3 s )( 4 j 3 s ( ) 4 s ( 10 ) s ( H ) s ( G − + + + + = (8.8)

Os pólos e zeros desta função de transferência são apresentados na Figura 8.2. Note que o traçado do LGR não depende do ganho 10. Analisando a condição de modulo e de ângulo no ponto de teste st = -1 +

j3 verifica-se facilmente que este ponto não pertence ao LGR.

1 l l l ) 3 j 1 ( H ) 3 j 1 ( G 3 2 1 _≠ ⋅ = + − + − (8.9) o 3 2 1 (2h 1)180 ) 3 j 1 ( H ) 3 j 1 ( G − + − + =φ −φ −φ ≠± + (8.10)

Fig. 8.2: Diagrama de pólos e zeros da função de transferência em malha-aberta (8.8).

A Figura mostra o LGR do sistema de controle do tipo mostrado na Fig. 8.2 com G(s)H(s) definida em (8.8). Observa-se claramente que o ponto de teste considerado na Fig. 8.2 não faz parte ao LGR. -10 -8 -6 -4 -2 0 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Real Axis Im ag A x is

Fig. 8.3: O LGR do sistema de controle com realimentação unitária com a função de transferência em malha-aberta definida em (8.8).

Regras de Construção de um LGR

O procedimento de Evans para construir o LGR consiste de uma coleção de regras para determinar se o ponto de teste, s_t, no plano complexo é um pólo de malha-fechada do sistema para algum valor de K. Regra 1: Os pólos de malha aberta, são todos pontos do LGR correspondentes ao ganho K = 0.

Regra 2: O número de ramos do LGR é exatamente igual a quantidade de raízes do denominador da função de transferencia em malha-fechada.

Regra 3: Para K ≥ 0, qualquer ponto do eixo real que ficar a esquerda de um número impar de singularidades (pólos ou zeros) localizadas também no eixo real é um ponto do LGR 1 (Esta regra pode ser comprovada aplicando a condição angular (8.4), para testar pontos no eixo real)

Regra 4: O LGR é simétrico em relação ao eixo real.

Regra 5: Se G(s) tem n pólos e m zeros finitos (m ≤ n) então exatamente m ramos terminam, quando

∞ →

K , em zeros finitos. Os ramos remanescentes (n-m) tendem ao infinito para K→∞.

A validade desta regra pode ser mostrada fazendo-se o limite para K→∞ da equação 8.7, ou seja

0

K

1

lim

)

s

(

H

)

s

(

G

lim

K K→∞

=

→∞

=

(8.11)

Portanto para K→∞, é verdadeiro afirmar que G(s)H(s) →0, e para que isto ocorra, o valor de s deve ser

qualquer zero finito de G(s).

Regra 6: Se G(s) tem n pólos e m zeros finitos (m ≤ n) então os (n – m) ramos tendem assitoticamente, quando K→∞, para uma reta que intercepta o eixo real no ponto σ₀e que forma um ângulo γ com o

mesmo eixo real, onde

 , 2 , 1 , 0 h onde m n 180 ) h 2 1 ( 0 = − + ± = γ (8.12) e m n z p n i m l l i − − = σ

∑

=1

∑

=1 0 ) Re( ) Re( (8.13)

Regra 7: O cálculo dos pontos de entrada e de saída do Lugar Geométrico das Raízes no eixo real do plano s é realizado com base na equação (8.14), i.e.

0 ds ) s ( H ) s ( dG = (8.14)

Regra 8: Nos casos em que o LGR do sistema sob análise apresenta raízes sobre o eixo imaginário, o valor do ganho K necessário para que ocorra tal situação poderá ser determinado empregando-se o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.

1 _{Para K < 0 deve-se alterar a palavra impar por par nesta regra.}

Considere os sistemas de controle em malha-fechada apresentados nas Figuras 8.4 e 8.5 apresentadas a seguir:

Fig. 8.4: Sistema de controle com realimentação unitária.

Fig. 8.5: Sistema de controle com realimentação não unitária. i. Faça o LGR para ambos os sistemas, admitindo K ≥ 0.

ii. Identifique todos os pontos relevantes do LGR.

Exercício Resolvido

Considere o sistema de controle com realimentação não unitária mostrado na Figura 8.6

+ - s(s 10) 100 + 5 s 1 + U(s) Y(s) 1 K

Fig. 8.6: Sistema de controle com realimentação não unitária. Y(s) ) 10 s ( s 100 + R(s) + _ E(s) Y(s) ) 10 s ( s 100 + R(s) + _ E(s) ) 5 s ( 1 +

Fig. 8.7: LGR do sistema da Fig. 8.6.

1º passo: Função de tranferência de malha aberta:

(

s 15s 50

)

s K 100 ) s ( H ) s ( G 2 1 1 1 + + = (8.15) Os pólos da função de transferência de malha aberta são:

10 p e 5 p , 0 p1 = 2 =− 3 =−

2º passo: Função de tranferência de malha fechada:

1 2 3 1 1 1 1 1 K 100 s 50 s 15 s ) 5 s ( K 100 ) s ( H ) s ( G 1 ) s ( G ) s ( T + + + + = + = (8.16) Equação característica: Q₁(s)=s3+15s2+50s+100K₁

O erro em regime, para uma entrada do tipo degrau unitário, é

4 5 1 ) ( y ) ( u ) ( e 5 K 100 K 500 ) s ( T lim ) s ( T ) s ( sU lim ) s ( sY lim ) ( y 1 1 1 0 s 1 0 s 0 s 1 − = − = ∞ − ∞ = ∞ = = = = = ∞ _{→ → →}

A Fig.8.8, pode-se verificar ao existência de um erro constante em regime, além disso se o sistema for estável, este erro não depende do ajuste do ganho K1.

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 Time (Seconds) teste4

Fig. 8.8: Resposta temporal do sistema da Fig. 8.6 para K1 = 1.

3º passo: Grau relativo do sistema: n−m=3−0=3

4º passo: Traçado das assíntotas: Centróide: 5 3 10 5 0 m n ) z Re( ) p Re( n 1 i m 1 l l i 0 =− − − = − − = σ

∑

=

∑

= Angulos:  , 2 , 1 , 0 h onde m n 180 ) h 2 1 ( 0 = − + ± = γ o o 2 o 1 o 0 300 60 3 180 5 180 3 180 3 60 3 180 − = = ⋅ = γ = ⋅ = γ = = γ

5º passo: Ponto de partida do LGR:

(

)

(

)

(

)

0 s 50 s 15 s 0 100 50 s 30 s 3 s 50 s 15 s 100 ds d ) s ( H ) s ( G ds d 2 2 3 2 2 3 1 1 = + + − ⋅ + + =       + + =    − = − = = + + 88 . 7 r 11 . 2 r 0 50 s 30 s 3 2 1 2

Como o ponto r2 = -7.88 não pertence ao LGR, o ponto de partida é r1 = -2.11. Para obter o valor

do ganho K1 para que a resposta do sistema não apresente oscilação, calcula-se a contribuição dos pólos (e

zeros se houver) no ponto de partida –2.11. A Fig. 8.9 mostra a resposta temporal quando os pólos em malha fechada estão localizados em –2.11.

4811 . 0 K ) 11 . 2 10 ( * ) 11 . 2 5 ( * 11 . 2 K 100 1= − − → 1 = (8.17)

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Time (Seconds) teste4

Fig. 8.9: Resposta temporal do sistema da Fig. 8.6 para K1 = 0.4811.

6º passo: Faixa de ganho em que o sistema é estável.

1 2 3 1(s) s 15s 50s 100K Q = + + + 1 0 1 1 1 2 3 K 100 s 0 15 K 100 750 s K 100 15 s 50 1 s −

Logo, para K1≥0 e K1≤7.5, o sistema é estavel.

7º passo: Determinação dos pólos de malha fechada.

Substituindo o valor de K1 =7.5 na equação característica obtem-se os valores das raízes quando o

sistema é marginalmente estável:

     − = + = − = + + + = 15 r 07 . 7 j r 07 . 7 j r 750 s 50 s 15 s ) s ( Q 3 2 1 2 3 1

Substituindo o valor de K1 =1 na equação característica obtém-se os valores dos pólos em malha

fechada:      − = + − = − − = + + + = 378 . 11 r 347 . 2 j 811 . 1 r 347 . 2 j 811 . 1 r 100 s 50 s 15 s ) s ( Q 3 2 1 2 3 1

Exercícios Propostos

8.1 Considere os sistemas de controle com realimentação unitária apresentados na Fig. 8.10.

( )

4) 2)(s 1)(s s(s 3 s K + + + + R(s) + _ Y(s)

(

)

4) )(s 2 (s 20 4 s K 2 + + + − s R(s) + _ Y(s) 6) )(s 5 1)(s s(s K + + + R(s) + _ Y(s)

(

)

4) 2)(s 1)(s s(s 3 s K + + + +

(

)

4) )(s 2 (s 20 s 4 s K 2 + + + − 6) )(s 5 1)(s s(s K + + +

Fig. 8.10: Sistemas de controle com realimentação unitária.

i. Desenhar o LGR para cada um destes sistemas ressaltando todos os pontos relevantes; ii. Determinar o ganho crítico em cada um destes sistemas;

iii. Qual a faixa de ganho K ≥ 0 em que a resposta deste sistema não apresenta oscilação; iv. Ajustar o ganho K do sistema para que os pólos em malha-fechada apresentem ξ=0.5;

v. Obtenha a resposta ao degrau deste sistema com o ganho K calculado no item anterior e compare com a resposta de um sistema de segunda ordem equivalente, concluindo sobre a dominância dos pólos (Dica: Verificar as respostas dos dois sistemas em Simulink);

vi. Determinar a faixa de ganho K ≥ 0 em que o sistema é estável.

8.2 Para o sistema da Figura 8.11 desenhe o LGR e determine:

R(s)

+ _

Y(s)

) 4 s )( 3 s )( 2 s )( 1 s ( K + + + +

Fig. 8.11: Sistema de controle com realimentação unitária. i. As assíntotas.

ii. Os pontos de saída do eixo real.

iii. A faixa de ganho K ≥ 0 em que o sistema é estável.

iv. O valor de K para que o polo complexo dominante tenha um fator de amortecimento de 0.7. Para melhorar a estabilidade, deseja-se que o LGR cruze o eixo imaginário em ±j5.5. Para obter este resultado é inserido um zero conforme mostra a Figura 8.12.

R(s)

+ _

₍

_s

₁

₎₍

_s

₂

₎₍

_s

₃

₎₍

_s

₄

₎

)

s

(

K

+

+

+

+

α

+

Fig. 8.12: Sistema de controle com realimentação unitária com a inclusão de um zero. v. Encontre o valor de α.

vi. Desenhar o novo LGR ressaltando todos os pontos relevantes;

vii. Determinar a faixa de ganho K ≥ 0 em que o sistema da Figura 8.12 é estável