Análise estática não linear de estruturas de concreto armado usando a matriz de rigidez do elemento finito de pórtico otimizado

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo

JUAN DE JESUS MARTINEZ PERTUZ

ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR DE ESTRUTURAS

DE CONCRETO ARMADO USANDO A MATRIZ DE

RIGIDEZ DO ELEMENTO FINITO DE PÓRTICO

OTIMIZADO

CAMPINAS 2020

(2)

JUAN DE JESUS MARTINEZ PERTUZ

ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR DE ESTRUTURAS

DE CONCRETO ARMADO USANDO A MATRIZ DE

RIGIDEZ DO ELEMENTO FINITO DE PÓRTICO

OTIMIZADO

Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil na área de Estruturas e Geotécnica.

Orientador Prof. Dr. Luiz Carlos de Almeida

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO JUAN DE JESUS MARTINEZ PERTUZ E ORIENTADO PELO PROF. DR. LUIZ CARLOS DE ALMEIDA.

ASSINATURA DO ORIENTADOR

CAMPINAS 2020

(3)

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura

Rose Meire da Silva - CRB 8/5974

Martinez Pertuz, Juan De Jesus,

M366a MarAnálise estática não linear de estruturas de concreto armado usando a

matriz de rigidez do elemento finito de pórtico otimizado / Juan De Jesus Martinez Pertuz. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.

MarOrientador: Luiz Carlos de Almeida.

MarDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo.

Mar1. Concreto armado. 2. Método dos elementos finitos. 3. Análise não-linear.

4. Análise estrutural (Engenharia). 5. Flexão (Engenharia civil). I. Almeida, Luiz Carlos de, 1955-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de

Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma:

Nonlinear static analysis of reinforced concrete structures using the stiffness matrix of optimized frame finite element

Palavras-chave em inglês:

Reinforced concrete Finite element method Nonlinear analysis Structural analysis Flexion

Área de concentração: Estruturas e Geotécnica Titulação: Mestre em Engenharia Civil

Banca examinadora:

Luiz Carlos de Almeida [Orientador] Leandro Palermo Junior

Gerson Moacyr Sisniegas Alva

Data de defesa: 19-06-2020

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Civil Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-5181-9572 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/1522500353372945

(4)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E

URBANISMO

ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR DE ESTRUTURAS DE

CONCRETO ARMADO USANDO A MATRIZ DE RIGIDEZ

DO ELEMENTO FINITO DE PÓRTICO OTIMIZADO

Juan De Jesus Martinez Pertuz

Dissertação de Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constituída por:

Prof. Dr. Luiz Carlos de Almeida

Presidente e Orientador/Universidade Estadual de Campinas

Prof. Dr. Leandro Palermo Junior

Universidade Estadual de Campinas

Prof. Dr. Gerson Moacyr Sisniegas Alva

Universidade Federal de Uberlândia

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria do Programa da

Unidade.

(5)

“Olhai as aves do céu: não semeiam nem ceifam, nem recolhem nos celeiros e vosso Pai celeste as alimenta. Não valeis vós muito mais que elas? Buscai em primeiro lugar o Reino de Deus e a sua justiça e todas estas coisas vos serão dadas em acréscimo.”

(6)

Agradecimentos

A DEUS, minha rocha, na qual me refugio; meu escudo e baluarte, minha poderosa salvação.

A minha grande Família e a minha namorada Yolanis pelo seu amor e apoio incondicional.

Ao Prof. Dr. Luiz Carlos de Almeida pela confiança depositada em mim, pelo apoio prestado e sua valiosa contribuição para este trabalho.

A todos os professores do Departamento de Estruturas da Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da UNICAMP, especialmente ao Prof. Dr. Leandro Mouta Trautwein, pelos seus ensinamentos.

Aos professores Dr. Isaías Vizotto, Dr. Leandro Palermo Junior e Dr. Gerson Moacyr Sisniegas Alva, que participaram nas bancas de Qualificação e Defesa, pelas suas contribuições para este trabalho.

Ao Prof. Dr. Francisco Barrios Illigde por me guiar nos meus primeiros passos como pesquisador.

Ao LABMEM (Laboratório de Modelagem Estrutural e Monitoração) pela disponi-bilização das ferramentas e programas computacionais que viabilizaram este trabalho.

A meus amigos Carlos Benedetty e Rafael Sanabria pela sua amizade sincera e por sua especial contribuição na realização deste trabalho. Obrigado pelo seu tempo, compreensão e ensinamentos.

A todos os amigos que fiz na faculdade: Ingrid Irreño, Silvino Cabi, Pedro Vieira, Raquel Dantas, Marcos Silva, Ricardo Randi, Leonardo Oliveira, Andréia Romero, Vanessa Saback, Pedro Da Silva, Camila Moreira, Pedro Lima, Rangel Lage e Gustavo Cavalcante; pela sua amizade, ajuda, motivação e momentos compartilhados.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoa-mento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de FinanciaAperfeiçoa-mento 001 (88882.435171/2019-01). Agradeço também ao curso de especialização de Projetos de

(7)

Resumo

Para representar adequadamente a perda gradual de rigidez dos elementos estru-turais em uma Análise Estática Não Linear, estes elementos devem ser discretizados. Nesse processo de discretização, o número de graus de liberdade de uma estrutura poderia multiplicar-se por 10 (ou mais) e, consequentemente, pode haver um aumento no tempo de processamento da estrutura. À situação anterior deve-se acrescentar o fato de que, ao calcular uma estrutura de mediano ou grande porte usando um programa computacional, os engenheiros estruturais provavelmente se encontrarão na necessidade de processar seus modelos mais de uma vez, devido às mudanças e ajustes que o projeto de estruturas traz consigo. Nesse ponto, será conveniente contar com um programa de cálculo estrutural que, além de fornecer respostas confiáveis, realize o processamento computacional da maneira mais eficiente. No presente trabalho foi estabelecida a definição de um Elemento Finito de Pórtico Otimizado (EFPO) e foi desenvolvida a formulação de sua matriz de rigidez elástica no plano, incluindo deformações por cisalhamento. Também foram desenvolvidas as funções dos vetores de carga pontual, momento pontual, carga distribuída e carga parcialmente distribuída. O principal atrativo que o EFPO apresenta é a possibilidade de discretizar elementos estruturais sem aumentar o número de graus de liberdade do sistema. Neste estudo, a não linearidade física foi considerada através da atualização da rigidez tangente (EI) dos elementos estruturais em cada passo de carga. Por sua vez, a rigidez tangente foi avaliada por meio da relação momento – curvatura – força normal obtida através dos seguintes modelos: Response-2000 (baseado no trabalho de Vecchio e Collins (1986)), Bazant e Oh (1984) e NBR-6118 (2014). Os resultados numéricos conseguiram representar em boa medida a resposta carga versus deslocamento experimental das es-truturas analisadas. Usando a formulação do Elemento Finito de Pórtico Otimizado foi possível obter reduções até de 99% no tempo de processamento computacional.

Palavras-chave: concreto armado, método dos elementos finitos, análise não-linear,

(8)

Abstract

In order to adequately represent the gradual loss of stiffness of structural elements in a Nonlinear Static Analysis, these elements must be discretized. In this discretization, the number of degrees of freedom of a structure could be multiplied by 10 (or more) and consequently, the processing time of the structure could increase. In addition to the situation explained above, when calculating medium or tall buildings using software, structural engineers probably will need to process their models many times due to the changes and adjustments that structural design entails. For this reason, it will be convenient to have a structural calculation software that provides reliable answers and performs computational processing in the most efficient way. In the present work, the definition of the Optimized Frame Finite Element (OFFE) was established and the formulation of its 2D elastic stiffness matrix was developed, including shear deformations. The functions of load vectors such as point load, point moment, distributed load and partially distributed load were also developed. The main advantage that EFPO presents is the possibility of discretizing structural elements without increasing the number of degrees of freedom of the system. In this research, physical non-linearity was considered by updating the tangent stiffness (EI) of structural elements at each loading step. In turn, the tangent stiffness was evaluated using the moment - curvature - normal force relationship obtained from Response-2000 (based on Vecchio e Collins (1986)), Bazant e Oh (1984) and NBR-6118 (2014) models. The numerical results of the structures that were analyzed were in good agreement with the experimental load versus displacement response. It was possible to obtain reductions of up to 99% in computational processing time using the Optimized Frame Finite Element formulation.

Keywords: reinforced concrete, finite element method, nonlinear analysis, structural

(9)

Lista de ilustrações

Figura 1.1 – Esquema da análise estática linear . . . 17

Figura 1.2 – Esquema da análise não estática linear . . . 18

Figura 1.3 – Pórtico com elementos segmentados . . . 19

Figura 1.4 – Relação Momento - Curvatura . . . 19

Figura 2.1 – Idealização de pórtico com fissuras usando EFPO . . . 22

Figura 2.2 – Tipos de elementos de rigidez variável . . . 23

Figura 2.3 – Tipo de viga estudada por Boley (1963). . . 24

Figura 2.4 – Tipo de viga estudada por Petcu (1964) (Adaptado). . . 25

Figura 2.5 – Tipo de viga estudada por Karabalis e Beskos (1983). . . 25

Figura 2.6 – Tipo de elementos estudados por Eisenberger (1985). . . 26

Figura 2.7 – Tipo de elementos estudados por Banerjee e Williams (1986). . . 26

Figura 2.8 – Tipo de elemento estudado por Aristizabal-Ochoa (1987). . . 27

Figura 2.9 – Tipo de elemento estudados por Fertis e Keene (1990) (Adaptado). . . 27

Figura 2.10–Tipo de elemento estudado por Lee et al. (1990). . . 28

Figura 2.11–Tipo de elemento estudado por Eisenberger (1991b). . . 28

Figura 2.12–Tipos de elementos estudados por Romano e Zingone (1992). . . 29

Figura 2.13–Tipo de elemento estudado por Aristizabal-Ochoa (1993). . . 29

Figura 2.14–Tipos de elementos estudados por Romano (1996). . . 30

Figura 2.15–Tipos de elementos estudados por Tena-Colunga (1996). . . 30

Figura 2.16–Tipos de vigas estudadas por Al-Gahtani e Khan (1998). . . 31

Figura 2.17–Tipos de vigas estudadas por Yavari et al. (2000). . . 31

Figura 2.18–Tipos de vigas estudadas por Yavari et al. (2001a). . . 32

Figura 2.19–Tipos de vigas estudadas por Yavari et al. (2001b). . . 32

Figura 2.20–Tipos de vigas estudadas por Yavari e Sarkani (2001). . . 32

Figura 2.21–Viga com singularidades estudada por Biondi e Caddemi (2007). . . 33

Figura 2.22–Modelo de viga de rigidez variável estudada por Dundar e Kara (2007). 33 Figura 2.23–Tipos de vigas estudadas por Skrinar (2013). . . 34

Figura 2.24–Tipos de vigas estudadas por Liu et al. (2016). . . 34

Figura 2.25–Tipos de elementos estudados por Ribeiro (2016). . . 35

Figura 2.26–Tipos de elementos estudados por Palacio-Betancur e Aristizabal-Ochoa (2019). . . 35

(10)

Figura 2.28–Relação tensão - deformação assumida para o concreto à tração e compressão (a, b) e para o aço (c); distribuição de tensões e deformações

na seção transversal da viga (d) (Bazant e Oh (1984)) . . . 37

Figura 2.29–Compatibilidade de deformações e forças internas atuantes na seção transversal do concreto armado (Carreira e Chu (1986)) . . . 38

Figura 2.30–Relação momento - curvatura proposta por Alwis (1990) . . . 39

Figura 2.31–Relação momento - curvatura proposta por Faruqi et al. (2003) . . . . 40

Figura 3.1 – Esquema de um Elemento Finito de Pórtico Otimizado . . . 42

Figura 3.2 – Graus de liberdade de um EFPO . . . 43

Figura 3.3 – Deslocamento postivo na direção de u1. . . 43

Figura 3.4 – Deslocamento postivo na direção de u2. . . 45

Figura 3.5 – Corte no segmento 𝑖 = 1 . . . 46

Figura 3.8 – Deslocamento positivo na direção de u3. . . 53

Figura 3.10–Corte no segmento 𝑖 = 2 . . . 55

Figura 3.11–Corte no segmento 𝑖 = 3 . . . 56

Figura 3.12–EFPO com carga pontual aplicada . . . 64

Figura 3.13–EFPO com carga distribuída aplicada . . . 65

Figura 3.14–EFPO com momento pontual B aplicado . . . 66

Figura 3.15–Número de segmentos . . . 67

Figura 3.16–Exemplo de gráfico Percentagem de rigidez inicial versus Momento fletor 68 Figura 3.17–Comparação entre o AEL e AENL . . . 69

Figura 4.1 – Viga biengastada . . . 70

Figura 4.2 – Vista isométrica . . . 70

Figura 4.3 – Configuração da viga em balanço . . . 73

Figura 4.4 – Relação Percentagem de rigidez inicial − Momento fletor . . . 73

Figura 4.5 – Pontos de leitura dos momentos para avaliação de rigidez . . . 74

Figura 4.6 – Rigidezes e carga acumulada no passo de carga No. 1 . . . 76

Figura 4.9 – Curva carga versus deslocamento . . . 78

Figura 4.10–Gráfico momento - curvatura da viga A3 . . . 80

Figura 4.11–Resposta carga versus deslocamento da viga A3 . . . 81

Figura 4.12–Resposta carga versus deslocamento da viga B3 . . . 81

(11)

Figura 4.14–Resposta carga versus deslocamento na metade do vão da viga A3 . . . 84

Figura 4.15–Resposta carga versus deslocamento na metade do vão da viga B3 . . . 84

Figura 4.16–Resposta carga versus deslocamento na metade do vão da viga C3 . . . 85

Figura 4.17–Resposta carga versus deslocamento na metade do vão da viga 5-0.172 85 Figura 4.18–Resposta carga versus deslocamento na metade do vão da viga 5-0.304 86 Figura 4.19–Resposta carga versus deslocamento na metade do vão da viga 5-0.492 86 Figura 4.20–Resposta carga versus deslocamento na metade do vão da viga Fanning 87 Figura 4.21–Viga A3. Resposta Carga - Percentagem de rigidez inicial . . . 89

Figura 4.22–Viga B3. Resposta Carga - Percentagem de rigidez inicial . . . 89

Figura 4.23–Viga C3. Resposta Carga - Percentagem de rigidez inicial . . . 89

Figura 4.24–Viga 5-0.304. Resposta Carga - Percentagem de rigidez inicial . . . 90

Figura 4.25–Viga 5-0.492. Resposta Carga - Percentagem de rigidez inicial . . . 90

Figura 4.26–Viga A3. Comparação do estado de fissuração na carga última . . . . 91

Figura 4.27–Viga B3. Comparação do estado de fissuração na carga última . . . 91

Figura 4.28–Viga C3. Comparação do estado de fissuração na carga última . . . 91

Figura 4.29–Viga 5-0.304. Comparação do estado de fissuração na carga última . . 91

Figura 4.30–Dimensões do pórtico de concreto armado testado por Chan e Mickle-borough (2000) (dimensões em mm) . . . 92

Figura 4.31–Configuração dos segmentos . . . 93

Figura 4.32–Resposta carga versus deslocamento do pórtico (1ro e 2do pavimento) . 94 Figura 4.33–Resposta Carga - Percentagem de rigidez inicial para 0,0 kN . . . 94

Figura 4.34–Resposta Carga - Percentagem de rigidez inicial para 22,0 kN . . . 95

Figura 4.40–Percentagem média de rigidez inicial versus carga . . . 98

Figura 4.41–Dimensões do pórtico de concreto armado testado por Vecchio e Emara (1992) (dimensões em mm) . . . 99

Figura 4.42–Curva tensão - deformação do aço . . . 100

Figura 4.44–Resposta carga versus deslocamento do pórtico Vecchio e Emara (1992) 101 Figura 4.45–Resposta Carga - Percentagem de rigidez inicial para 0,0 kN . . . 101

(12)

Figura 4.53–Dimensões do pórtico de concreto armado testado por Vinh (2006) (dimensões em mm) . . . 106

Figura 4.54–Curva tensão - deformação do aço . . . 107

Figura 4.56–Resposta carga versus deslocamento do pórtico (1ro e 2do pavimento) . 108 Figura 4.57–Resposta Carga - Percentagem de rigidez inicial para 0,0 kN . . . 109

Figura 4.65–Diagramas tensão-deformação do concreto . . . 117

Figura 4.66–Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas . . . 117

Figura 4.67–Resposta carga versus deslocamento do pórtico Chan e Mickleborough (2000) . . . 118

Figura 4.68–Resposta carga versus deslocamento do pórtico Vecchio e Emara (1992) 118 Figura 4.69–Resposta carga versus deslocamento do pórtico Vinh (2006) . . . 119

Figura 4.70–Resposta carga versus deslocamento do pórtico ensaiado por Chan e Mickleborough (2000) . . . 120

Figura 4.71–Resposta carga versus deslocamento do pórtico ensaiado por Vecchio e Emara (1992) . . . 121

Figura 4.72–Resposta carga versus deslocamento do pórtico ensaiado por Vinh (2006)121 Figura 4.73–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Chan e Mickleborough (2000)122 Figura 4.74–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Chan e Mickleborough (2000)122 Figura 4.75–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Chan e Mickleborough (2000)123 Figura 4.76–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Chan e Mickleborough (2000)123 Figura 4.77–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Chan e Mickleborough (2000)124 Figura 4.78–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Chan e Mickleborough (2000)124 Figura 5.1 – Posições das funções tic-toc e cputime . . . 126

Figura 5.2 – Tempo de processamento medido com a CPU 1 . . . 127

(13)

Figura 5.4 – Número de elementos e nós usando o EFP . . . 129

Figura 5.5 – Número de elementos e nós usando o EFPO . . . 129

Figura 5.6 – Seção transversal dos pilares e vigas (dimensões em mm) . . . 129

Figura 5.7 – Tempo de processamento medido com a CPU 2 . . . 131

Figura C.1 – Rigidezes e carga acumulada no passo de carga No. 3 . . . 150

Figura D.1–Gráfico momento - curvatura da viga B3 . . . 154

Figura D.2–Gráfico momento - curvatura da viga C3 . . . 154

Figura D.3–Gráfico momento - curvatura da viga 5-0.172 . . . 155

Figura D.6–Gráfico momento - curvatura da viga Fanning . . . 156

Figura D.7–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Vecchio e Emara (1992) . 157 Figura D.8–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Vecchio e Emara (1992) . 157 Figura D.9–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Vecchio e Emara (1992) . 158 Figura D.10–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Vecchio e Emara (1992) . 158 Figura D.11–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Vecchio e Emara (1992) . 159 Figura D.12–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Vecchio e Emara (1992) . 159 Figura D.13–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Vinh (2006) . . . 160

Figura D.14–Gráficos momento - curvatura do pórtico de Vinh (2006) . . . 160

(14)

Lista de tabelas

Tabela 4.1 – Características geométricas e mecânicas dos segmentos da viga . . . 71

Tabela 4.2 – Funções da matriz de rigidez e dos vetores de carga . . . 71

Tabela 4.3 – Comparação das reações na extremidade esquerda . . . 72

Tabela 4.4 – Cálculo do primeiro passo de carga . . . 75

Tabela 4.5 – Cálculo do segundo passo de carga . . . 76

Tabela 4.6 – Cálculo do oitavo passo de carga . . . 77

Tabela 4.7 – Passos de carga e deslocamentos respectivos . . . 78

Tabela 4.8 – Detalhes da seção transversal e longitudinal das vigas . . . 79

Tabela 4.9 – Detalhes da seção transversal e longitudinal das vigas e propriedades do concreto . . . 80

Tabela 4.10–Propriedades do reforço . . . 80

Tabela 4.11–Erro relativo de carga máxima e deslocamento último . . . 82

Tabela 4.12–Configurações dos elementos e dos segmentos (sem escala) . . . 83

Tabela 4.13–Comparação entre carga experimental e numérica . . . 88

Tabela 4.14–Comparação entre deslocamentos experimentais e numéricos . . . 88

Tabela 4.15–Propriedades do concreto e aço . . . 92

Tabela 4.18–Comparação entre os resultados numéricos e experimentais . . . 119

Tabela 5.1 – Discretização adotada em cada caso . . . 125

Tabela 5.2 – Propriedades das CPUs usadas na medição do tempo de processamento 126 Tabela 5.3 – Tempo de processamento usando o EFP . . . 130

Tabela 5.4 – Tempo de processamento usando o EFPO . . . 130

Tabela B.1 – Deslocamento no extremo livre de viga em balanço . . . 147

Tabela B.2 – Deslocamento na metade do vão de viga biapoiada com rigidezes simé-tricas e 𝑛 segmentos pares . . . 148

Tabela B.3 – Deslocamento na metade do vão de viga biapoiada com rigidezes simé-tricas e 𝑛 segmentos ímpares . . . 149

Tabela C.1 – Cálculo do terceiro passo de carga . . . 150

Tabela C.2 – Cálculo do quarto passo de carga . . . 151

Tabela C.3 – Cálculo do quinto passo de carga . . . 151

Tabela C.4 – Cálculo do sexto passo de carga . . . 152

(15)

Sumário

1 INTRODUÇÃO ... 17 1.1 Considerações Iniciais ... 17 1.2 Objetivos ... 20 1.2.1 Geral ... 20 1.2.2 Específicos ... 20 1.3 Estrutura do Trabalho ... 20 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 22

2.1 Elemento Finito de Pórtico Otimizado ... 22

2.2 Elementos de Rigidez Variável ... 23

2.3 A Não Linearidade Física e a Relação Momento - Curvatura ... 35

3 AENL USANDO O ELEMENTO FINITO DE PÓRTICO OTIMI- ZADO ... 42

3.1 Formulação ... 42

3.1.1 Matriz de Rigidez Elástica no Plano ... 43

3.1.2 Deformações por cisalhamento ... 62

3.1.3 Esforços de Engastamento Perfeito ... 64

3.2 Número de Segmentos ... 67

3.3 Modelo de Variação de Rigidez ... 67

3.4 Passo de Carga ... 68

4 RESULTADOS NUMÉRICOS ... 70

4.1 AEL de Viga Biengastada ... 70

4.2 AENL de Viga em Balanço ... 73

4.3 AENL de Vigas Simplesmente Apoiadas ... 79

4.4 AENL do Pórtico Ensaiado por Chan e Mickleborough (2000) ... 92

4.5 AENL do Pórtico Ensaiado por Vecchio e Emara (1992) ... 98

4.6 AENL do Pórtico Ensaiado por Vinh (2006) ... 105

4.7 NBR-6118 (2014) ... 116

5 TEMPO DE PROCESSAMENTO COMPUTACIONAL ... 125

5.1 Número de Segmentos - Tempo de Processamento ... 125

(16)

6 CONCLUSÕES ... 132 REFERÊNCIAS ... 135 APÊNDICES ... 140 A CÁLCULO DAS FUNÇÕES DA MATRIZ DE RIGIDEZ E DOS

VETORES DE CARGA DO EXEMPLO DA SEÇÃO 4.1 ... 140 B DESLOCAMENTO EM VIGAS DE RIGIDEZ VARIÁVEL EM

BALANÇO E BIAPOIADA SOB CARGA PONTUAL ... 147 C PASSOS DE CARGA 3 - 7 DO EXEMPLO DA SEÇÃO 4.2 ... 150 D GRÁFICOS MOMENTO - CURVATURA ... 154

(17)

17

1 Introdução

1.1 Considerações Iniciais

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um método numérico que permite obter uma solução aproximada em um corpo, estrutura ou domínio no qual certas equações diferenciais são definidas. Em outras palavras, no MEF, um corpo de natureza contínua é representado como um modelo discreto aproximado, em cujo modelo cada elemento da discretização é chamado de Elemento Finito. Courant (1943) lançou as bases para o método e mais tarde Turner et al. (1956) ampliaram sua definição e aplicabilidade.

À medida que os computadores se tornaram mais acessíveis ao público e que ganharam mais capacidade de processamento de dados, o MEF se tornou o método mais usado para calcular estruturas. Especificamente, o Método da Rigidez Direta, considerado uma particularização do MEF, começou a ser usado na modelagem de vigas e pilares como elementos de barra e na modelagem de lajes como elementos de grelha. Dessa forma, a equação que descreve o comportamento estático linear de uma estrutura é estabelecida como 𝑓 = 𝐾 · 𝑢, onde 𝑓 representa as solicitações, 𝑢 os deslocamentos e 𝐾 a rigidez (Figura 1.1). F U F = K ∙ U F U

Figura 1.1 – Esquema da análise estática linear

Com o objetivo de modelar o comportamento das estruturas de maneira mais próxima da realidade, Kallaby e Millman (1975) apresentaram um procedimento de análise passo a passo que simula o comportamento inelástico de uma estrutura até sua falha total, denominada Pushover. O método foi proposto para analisar o comportamento de plataformas fixas offshore sujeitas a forças sísmicas e é considerado um tipo de Análise Estática Não Linear (AENL).

(18)

Capítulo 1. Introdução 18 Com base no princípio cíclico da análise Pushover, a AENL é implementada para avaliar o comportamento de edifícios sujeitos a forças de vento e força sísmica. Essa análise pode ser feita com incremento progressivo de carga ou deslocamento e pode incluir os efeitos da não linearidade geométrica e física. No caso da não linearidade física, é analisado como a rigidez da estrutura diminui à medida que as solicitações são aumentadas. Basicamente, consiste em realizar uma série de análises estáticas sucessivas usando as equações do Método de Rigidez Direta e diminuir gradualmente a rigidez dos elementos estruturais de acordo com as solicitações acumuladas em cada etapa da análise (Figura 1.2). Essas reduções nas rigidezes dos membros estruturais podem ser feitas com auxílio da relação momento - curvatura - força normal.

U1 U1 U2 Un

F1 F2 Fn U1 U2

F1 = K1 ∙ U1 F2 = K2 ∙ U2 Fn= Kn∙ Un

U F

Figura 1.2 – Esquema da análise não estática linear

Para representar adequadamente a perda gradual de rigidez dos elementos estrutu-rais e da estrutura como um todo, os elementos devem ser discretizados. Nesse processo de discretização, o número de graus de liberdade da estrutura poderia multiplicar-se por 10 (ou mais) e, consequentemente, pode haver um aumento no tempo de processamento da estrutura. À situação anterior deve-se acrescentar o fato de que, ao calcular uma estrutura de mediano ou grande porte usando um programa computacional, os engenheiros estrutu-rais provavelmente se encontrarão na necessidade de processar seus modelos mais de uma vez, devido às mudanças e ajustes que o projeto de estruturas traz consigo. Nesse ponto, será conveniente contar com um programa de cálculo estrutural que, além de fornecer respostas confiáveis, realize o processamento computacional da maneira mais eficiente.

(19)

Capítulo 1. Introdução 19 Em resposta à situação anterior, Leone et al. (2017b) apresentaram um tipo de elemento finito de pórtico chamado Elemento Segmentado (ES). O principal atrativo que o ES apresenta é a possibilidade de discretizar elementos estruturais sem aumentar o número de graus de liberdade do sistema (Figura 1.3). Nesse trabalho, a não linearidade física é considerada através da atualização da rigidez tangente (EI) dos elementos estruturais em cada passo de carga. Por sua vez, a rigidez tangente é avaliada por meio da relação momento – curvatura – força normal (Figura 1.4). Os resultados obtidos até o presente demonstram o grande potencial da formulação em razão da sua relativa simplicidade.

Nós internos Nós internos Nós internos 1 2 3 5 6 ₄ S6 S5 S4 S3 S2 S1 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 _Nó Nó Nó Nó S = Segmento

Tamanho da matriz de rigidez global = 6 X 6 S6 S5 S4 S3 S2 S1

Figura 1.3 – Pórtico com elementos segmentados

Figura 1.4 – Relação Momento - Curvatura

É importante ressaltar que os estudos publicados até o presente usando a for-mulação do ES não analisaram a influência da discretização dos elementos, do modelo momento – curvatura nem do passo de carga adotado, na precisão da resposta carga versus deslocamento e no tempo de processamento computacional. A não linearidade geométrica

(20)

Capítulo 1. Introdução 20 também não tem sido considerada. Em virtude das condições anteriores, torna-se impor-tante realizar mais análises de estruturas com o fim de verificar a precisão da formulação do ES, avaliar a influência dos parâmetros anteriormente mencionados e dessa forma fornecer mais resultados à literatura.

Este estudo é a continuação dos trabalhos de Leone et al. (2017a), Leone et al. (2017b) e Barrios et al. (2017), os quais foram desenvolvidos no Grupo Integrado de

Pesquisa em Engenharia Civil (GIIC)da Universidad Del Magdalena, no marco do projeto Estudo de membros de rigidez variável para a análise de pórticos em 3D. Considerando a

teoria existente sobre o MEF, neste trabalho foi tomada a decisão de alterar o nome de Elemento Segmentado para Elemento Finito de Pórtico Otimizado (EFPO), levando em conta que este novo nome se ajusta melhor a sua definição.

1.2 Objetivos

1.2.1 Geral

Apresentar um procedimento otimizado para a realização de uma Análise Estática Não Linear (AENL) em estruturas reticuladas de concreto armado.

1.2.2 Específicos

• Comparar resultados numéricos usando a matriz de rigidez de um elemento finito de pórtico e matriz de rigidez de um Elemento Finito de Pórtico Otimizado (EFPO). • Comparar resultados experimentais com resultados numéricos empregando a matriz

de rigidez de um EFPO, para diferentes relações de momento – curvatura - força normal.

• Estudar a influência no tempo de processamento computacional da discretização dos elementos e do passo de carga, utilizando a matriz de rigidez de um elemento finito de pórtico e a matriz de rigidez de um EFPO.

1.3 Estrutura do Trabalho

No Capítulo 1 é abordada de forma geral a relação entre o Método da Rigidez Direta, a Análise Estática Não Linear e o Elemento Finito de Pórtico Otimizado (EFPO). No caso do EFPO, são apresentadas suas principais características e trabalhos prévios. A motivação e os objetivos do trabalho também fazem parte deste capítulo.

(21)

Capítulo 1. Introdução 21 No Capítulo 2 é feita uma revisão bibliográfica sobre os trabalhos desenvolvidos usando a formulação do EFPO. Além disso, é feita a revisão sobre matrizes de rigidez de elementos de rigidez variável e sobre formulações desenvolvidas para o cálculo de deslocamentos nesse tipo de elementos. No final do capítulo, vários modelos de relação momento – curvatura disponíveis na literatura são apresentados, entendendo a relação momento – curvatura como a forma de levar em consideração a não linearidade física na análise estática não linear.

No Capítulo 3 são deduzidas as funções que conformam os coeficientes da matriz de rigidez do EFPO incluindo as deformações por cisalhamento. Também são desenvolvidas as funções de carregamento para o cálculo dos esforços de engastamento perfeito, considerando carga pontual, carregamento distribuído e momento pontual. Ademais, são tratados aspectos importantes do EFPO na AENL tais como: número de segmentos, modelo de variação de rigidez e passo de carga.

Para validar a formulação desenvolvida nesta pesquisa, no Capítulo 4 são calculadas os esforços de engastamento perfeito de uma viga sob vários tipos de carregamento usando EFPOs e Elementos Finitos de Pórtico (EFPs). Além, uma AENL passo a passo é feita a uma viga em balanço para mostrar a aplicabilidade da formulação do EFPO. Nas últimas seções do capítulo, os resultados numéricos e experimentais de carga versus deslocamento e de perda de rigidez de vigas e pórticos são comparados.

No Capítulo 5, os tempos de processamento computacional na AENL usando EFPOs e EFPs são medidos e comparados. Estas medições são realizadas em duas CPUs com diferentes propriedades e são feitas variando o número de segmentos e o passo de carga.

(22)

22

2 Revisão Bibliográfica

Na primeira parte deste capítulo é feita uma revisão bibliográfica sobre os trabalhos desenvolvidos usando a formulação do Elemento Finito de Pórtico Otimizado (EFPO). Posteriormente, é feita uma revisão extensa sobre matrizes de rigidez de elementos de rigidez variável e sobre formulações desenvolvidas para o cálculo de deslocamentos nesse tipo de elementos. Finalmente, são apresentados vários modelos de relação momento – curvatura disponíveis na literatura, entendendo a relação momento – curvatura como a forma de levar em consideração a não linearidade física na análise estática não linear.

2.1 Elemento Finito de Pórtico Otimizado

A formulação do Elemento Finito de Pórtico Otimizado (EFPO) permite fazer uma AENL com aumento gradual de carregamento, na qual os elementos estruturais são divididos em segmentos e cuja rigidez (dos segmentos) é reduzida de acordo com a relação momento fletor - curvatura - força normal. Usando EFPOs admite-se que a diminuição de rigidez na seção transversal ocorre de forma simétrica em relação à altura da seção (Figura 2.1) e a flecha é calculada com a equação aproximada da linha elástica.

(a) Pórtico sem fissuras (Diagrama de momento) (b) Pórtico com fissuras

Figura 2.1 – Idealização de pórtico com fissuras usando EFPO

Leone et al. (2017b) desenvolveram a matriz de rigidez de um EFPO (nomeado nesse trabalho como Elemento Segmentado) e a implementaram junto ao modelo de microfissuração progressiva de Bazant e Oh (1984) na AENL de pórticos de concreto armado. Os autores conseguiram representar de boa forma os resultados experimentais até o 90% de carga última. Mesma terminologia, formulação e procedimento foram usados por

(23)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 23 Leone et al. (2017a) e Barrios et al. (2017) obtendo bons ajustes nas respostas carga versus deslocamento em relação aos resultados experimentais e a outros modelos numéricos.

Martinez et al. (2019) implementaram a formulação do EFPO acoplada com o programa Response-2000 desenvolvido na Universidade de Toronto por Bentz e Collins (2000) para a análise das seções, chamando o procedimento de Método dos Elementos Segmentados. Os resultados obtidos nesse trabalho fazem parte do presente documento e são apresentados na Seção 4.3.

2.2 Elementos de Rigidez Variável

Do ponto de vista geométrico, a variação da rigidez à flexão ao longo do comprimento de vigas e colunas está relacionada a fatores técnico-econômicos e/ou estéticos. Do ponto de vista físico, a variação da rigidez está relacionada com o surgimento e propagação de fissuras e com a variação do módulo de elasticidade do material.

Levando em conta as considerações anteriores, um pilar que não apresente a mesma taxa de armadura ao longo do seu comprimento pode ser classificado como um elemento de rigidez variável, mesmo que suas dimensões de base e altura sejam constantes. Uma viga de seção e taxa de armadura constantes ao longo de seu comprimento, mas que apresente fissuras em determinados pontos, também pode ser classificada como um elemento de rigidez variável pelo fato de não apresentar uma rigidez uniforme. Na Figura 2.2 são apresentados exemplos destes elementos.

f(x

n

)

b

_i

b

_f

b

_i

b n

h

_i

h

_f

h

_i

h n

A A B B Altura linearmente variável Altura variável em degraus

Espessura linearmente variável Espessura variável em degraus

Rigidez variável devido a fissuração

Rigidez variável devido a diferentes configurações do aço

Altura variável como função de n grau

(24)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 24 Em uma análise estática linear (AEL), usando um elemento finito de pórtico, um membro de rigidez variável pode ser discretizado em um determinado número de elementos e desta forma calcular os deslocamentos desejados em função do carregamento aplicado. A exatidão dos resultados dependerá da discretização que seja feita. Porém, uma desvantagem da discretização é o aumento de graus de liberdade do sistema.

Existem na literatura trabalhos onde têm sido desenvolvidas matrizes de rigidez e métodos para determinar deslocamentos em elementos de rigidez variável. Isto, com o objetivo de reduzir a discretização dos elementos e consequentemente não aumentar desnecessariamente o número de graus de liberdade do sistema. A seguir são apresentados alguns destes trabalhos.

Amirikian (1952) Apud Karabalis e Beskos (1983) descreveu uma forma de analisar estaticamente pórticos compostos por membros de rigidez linearmente variável (tapered) com o auxílio de tabelas.

Conforme citado por Karabalis e Beskos (1983), a Portland Cement Association (1958) criou tabelas e gráficos que fornecem todas as constantes de flexão necessárias para uma análise de distribuição de momento de estruturas compostas por vigas de rigidez linearmente variável.

Boley (1963) estudou a precisão da teoria de Bernoulli-Euler para vigas de seção variável considerando as tensões e os deslocamentos de vigas de seção retangular de pequena espessura e de altura variável, em flexão pura. Como mostrado na Figura 2.3, no tipo de elemento estudado nessa pesquisa, a variação da rigidez está em função da abscissa do eixo longitudinal do elemento. Dentre da formulação obtida, o autor conseguiu calcular a correção necessária para o uso da teoria de Bernoulli-Euler.

SEÇÃO

Figura 2.3 – Tipo de viga estudada por Boley (1963).

Petcu (1964) usou o Método das Diferencias Finitas para determinar o deslocamento em vigas de rigidez variável. Como evidenciado na Figura 2.4, o elemento considerado nesse artigo foi uma viga simplesmente apoiada com segmentos de comprimentos constantes.

(25)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 25 O autor comparou seus resultados com os obtidos por Krishnaswamy (1963) quem usou Series de Maclaurin, encontrando resultados satisfatórios.

1 2 3

.

n-1 n

0 n+1

L = (n+1) ∙Δx

Δx Δx Δx Δx Δx

Figura 2.4 – Tipo de viga estudada por Petcu (1964) (Adaptado).

Partindo do Método de Momento de Área, Sadler (1971) desenvolveu um algoritmo para calcular os fatores de rigidez e os momentos de engastamento em vigas de rigidez variável. Os coeficientes deduzidos correspondem a operações de integração onde a rigidez da viga varia em função do comprimento da mesma. Em outras palavras, a variação da rigidez pode ser expressa como uma função continua.

Just (1975) estudou pórticos planos conformados por elementos de rigidez line-armente variável e seção transversal retangular e Just (1977) analisou pórticos planos compostos por elementos de rigidez linearmente variável tipo caixa (box) e de seção “I”.

Karabalis e Beskos (1983) estudaram o comportamento estático, dinâmico e de estabilidade de estruturas compostas por vigas com rigidez linearmente variável (ver Figura 2.5).

(26)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 26 Eisenberger (1985) desenvolveu as matrizes de rigidez explícita para membros não prismáticos com variação linear da altura, variação linear da espessura e variação parabólica da altura. Na Figura 2.6 são mostrados exemplos de este tipo de vigas.

Figura 2.6 – Tipo de elementos estudados por Eisenberger (1985).

Banerjee e Williams (1986) deduziram a matriz de rigidez estática exata de vários tipos de viga-colunas de rigidez linearmente variável. Nesse estudo, a teoria de Bernoulli-Euler e as funções de Bessel foram usadas para obter expressões explícitas para a rigidez axial, a flexão e a torção de esse tipo vigas submetidas a carga axial. Nos elementos estudados nessa pesquisa, a área transversal (A), o momento de inércia da seção transversal (I) e o produto entre o módulo de elasticidade transversal e módulo de torção (GJ), variam em função da abscissa do eixo longitudinal do elemento estrutural. Em outras palavras, A, I e GJ são funções continuas que variam ao longo do comprimento do elemento estrutural. Na Figura 2.7 são apresentados alguns destes elementos.

SEÇÕES TRANSVERSAIS:

ELEVAÇÃO: (todos os casos)

(para (para (para

PLANTAS:

(27)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 27 Aristizabal-Ochoa (1987) usando o Método de Momento de Área calculou os termos da matriz de rigidez e os esforços de engastamento perfeito devido a carga pontual e carga uniformemente distribuída de um elemento não prismático de altura linearmente variável, como o apresentado na Figura 2.8.

Figura 2.8 – Tipo de elemento estudado por Aristizabal-Ochoa (1987).

Eisenberger e Reich (1989) introduziram um método baseado no Método dos Elementos Finitos para analisar o problema de vigas não uniformes. Nesse método, o momento de inércia e a área de seção transversal da viga podem ser prescritos por qualquer série de potências em função da coordenada axial, como funções contínuas.

Fertis e Keene (1990) analisaram membros não prismáticos com variação arbitrária do momento de inércia e onde o material é submetido além do limite elástico, fazendo que o módulo de elasticidade varie ao longo de seu comprimento. Esse método permite a substituição do membro original de rigidez variável por um membro de rigidez uniforme, cuja linha elástica é idêntica à do membro de rigidez variável original. O membro pode ser analisado além do limite elástico, permitindo assim a observação da perda progressiva da capacidade de carga do membro e estabelecendo limites úteis, práticos e críticos em relação a essas quantidades. Na Figura 2.9 mostra-se um dos exemplos analisados nesse trabalho.

(28)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 28 Lee et al. (1990) examinaram a deflexão estática de uma viga Bernoulli-Euler não uniforme como a apresentada na Figura 2.10, com apoios elásticos sujeita a força concentrada e carga distribuída arbitrária.

Figura 2.10 – Tipo de elemento estudado por Lee et al. (1990).

Eisenberger (1991a) formulou um novo método combinando o Método de Frobenius e o Método da Rigidez Direta para a resolução de vigas de seção transversal variável. Usando apenas um elemento, derivou as matrizes de rigidez estática e dinâmica exatas (até a precisão do computador) para qualquer variação polinomial da rigidez axial, à torção e à flexão ao longo da viga.

Eisenberger (1991b) derivou termos explícitos para as matrizes de rigidez de membros não prismáticos com variação linear e parabólica da altura da seção transversal, incluindo o efeito das deformações por cisalhamento. Na Figura 2.11 observam-se exemplos deste tipo de elementos.

Figura 2.11 – Tipo de elemento estudado por Eisenberger (1991b).

Romano e Zingone (1992) encontraram soluções fechadas dos deslocamentos em vigas como as mostradas na Figura 2.12, isto é, de rigidez variável em forma linear e parabólica. As soluções por eles deduzidas podem ser utilizadas para cargas concentradas e cargas distribuída de forma constante, linear ou parabólica.

(29)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 29

Figura 2.12 – Tipos de elementos estudados por Romano e Zingone (1992).

Aristizabal-Ochoa (1993) propôs um método baseado no Princípio Clássico da Viga Conjugada, pelo qual todas as matrizes características podem ser obtidas a partir dos coeficientes de rigidez básicos de uma viga no caso 2D, sem o uso do polinômio de interpolação aproximado. Nesse artigo foi mostrado que a análise de pórticos com membros não prismáticos e prismáticos, sob quaisquer condições de carga e suporte, pode ser realizada com a ajuda do Método da Viga Conjugada e uma integração adequada (quadratura gaussiana, por exemplo). O tipo de elemento não prismático considerado nesse trabalho é um elemento onde a área transversal varia ao longo do elemento como uma função contínua (ver Figura 2.13).

Eixo centroidal

Figura 2.13 – Tipo de elemento estudado por Aristizabal-Ochoa (1993).

Romano (1996) estudou o comportamento de vigas Timoshenko de seção transversal variável encontrando soluções fechadas para vigas com: variação linear da altura, variação linear da espessura e variação parabólica binomial (tipo arco) da altura. Na Figura 2.14 são apresentados modelos deste tipo de vigas.

(30)

variável variável

Figura 2.14 – Tipos de elementos estudados por Romano (1996).

Tena-Colunga (1996) usando o método das flexibilidades, conseguiu chegar a soluções fechadas para elementos de seção linearmente variável como os mostrados na Figura 2.15. As seções transversais consideradas foram: "T", retangular, quadrada e circular.

Figura 2.15 – Tipos de elementos estudados por Tena-Colunga (1996).

Al-Gahtani e Khan (1998) apresentaram uma análise baseada no Método da Integral de Contorno (Boundary Integral Method (BIM)). Nesta análise foram derivadas as soluções fundamentais para vigas não prismáticas de perfis lineares e parabólicos com condições gerais de contorno. Como evidenciado na Figura 2.16, a altura da viga é uma função continua que varia ao longo do seu comprimento.

(31)

Parabólico

Figura 2.16 – Tipos de vigas estudadas por Al-Gahtani e Khan (1998).

Yavari et al. (2000), Yavari e Sarkani (2001), Yavari et al. (2001b) e Yavari et al. (2001a) estudaram através de uma abordagem matemática, o problema de vigas e pilares

sob condições de carregamento singulares, com apoios elásticos e com descontinuidades geométricas e dos materiais, para a viga Euler-Bernoulli e a viga Timoshenko (Ver Figura 2.17 - Figura 2.20).

(32)

Figura 2.18 – Tipos de vigas estudadas por Yavari et al. (2001a).

Figura 2.19 – Tipos de vigas estudadas por Yavari et al. (2001b).

Figura 2.20 – Tipos de vigas estudadas por Yavari e Sarkani (2001).

Biondi e Caddemi (2007) estudaram vigas com múltiplas singularidades na rigidez à flexão, apresentando uma generalização não trivial para múltiplas singularidades diferentes. O procedimento de integração proposto leva a soluções fechadas, dependentes apenas das condições de contorno, que não exigem a imposição de condições de continuidade ao longo da extensão da viga. Além disso, foram obtidas soluções em termos de deflexão da viga ao impor deslocamentos nos extremos dos elementos, fornecendo as funções de forma. Também foram desenvolvidas expressões explícitas da matriz de rigidez do elemento para elementos de viga com múltiplas singularidades e foi mostrada a redução dos graus de

(33)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 33 liberdade em relação aos procedimentos clássicos de elementos finitos. Na Figura 2.21 é apresentado um esquema de este tipo de elementos.

Figura 2.21 – Viga com singularidades estudada por Biondi e Caddemi (2007). Dundar e Kara (2007) desenvolveram um programa para a análise tridimensio-nal de estruturas de concreto armado com vigas e pilares fissurados. Na obtenção dos coeficientes de flexibilidade foi utilizado um modelo de viga engastada. No programa, a variação da rigidez a flexão de um membro fissurado é avaliada pelo ACI, CEB e modelos probabilísticos de rigidez efetiva. Os efeitos de deformação por cisalhamento também são levados em consideração e a redução da rigidez é considerada usando modelos de módulo de cisalhamento efetivos. Na Figura 2.22 se observa o modelo de viga com regiões fissuradas e não fissuradas (rigidez variável) considerado nessa pesquisa.

Regiões fissuradas Regiões não fissuradas

Figura 2.22 – Modelo de viga de rigidez variável estudada por Dundar e Kara (2007). Skrinar (2013) estendeu a utilização do modelo no qual as fissuras são representadas por meio de rótulas internas dotadas de molas rotacionais, apresentando a derivação de uma matriz de rigidez de forma fechada e a derivação do vetor de carga para vigas esbeltas de rigidez variável (multi-stepped) e para vigas com altura linearmente variável como as mostradas na Figura 2.23.

(34)

Figura 2.23 – Tipos de vigas estudadas por Skrinar (2013).

Usando a função de forma de interpolação de Hermite, Liu et al. (2016) conseguiram desenvolver a matriz de rigidez exata de elementos com seção circular sólida, tubular circular, retangular sólida, tubular retangular e simétrica I (Figura 2.24). O método proposto pelos autores, expressa analiticamente a rigidez à flexão das seções antes mencionadas nas matrizes de rigidez, usando uma série de fatores de rigidez, refletindo exatamente a variação da rigidez ao longo do comprimento da barra.

(a) Circular sólida (b) Tubular circular (c) Retangular sólida

(d) Tubular retangular (e) Simétrica I

Figura 2.24 – Tipos de vigas estudadas por Liu et al. (2016).

Ribeiro (2016) e Mendes (2017) usaram o processo de integração numérica de Gauss-Legendre para analisar elementos de rigidez variável ao longo do comprimento, adotando funções de interpolação linear, parabólica, cúbica e quártica. Na Figura 2.25 são apresentados os tipos de elementos de rigidez variável estudados por Ribeiro (2016).

(35)

Figura 2.25 – Tipos de elementos estudados por Ribeiro (2016).

Palacio-Betancur e Aristizabal-Ochoa (2019) apresentaram um método que avalia o comportamento estático, de estabilidade e de vibração da viga-pilar Euler-Bernoulli não prismáticas, apoiadas em uma fundação elástica de dois parâmetros e com apoios semirrígidos como mostrada na Figura 2.26. Nessa pesquisa, a matriz de rigidez estática e as funções de forma do elemento são derivadas usando o Princípio da Viga Conjugada, incluindo os efeitos combinados de conexões semirrígidas e molas laterais em ambas as extremidades.

Figura 2.26 – Tipos de elementos estudados por Palacio-Betancur e Aristizabal-Ochoa (2019).

2.3 A Não Linearidade Física e a Relação Momento - Curvatura

Como indicado na NBR-6118 (2014), o efeito de não linearidade física pode ser levado em conta com o auxílio da relação momento - curvatura - força normal (Figura 2.27). Além disso, a norma permite implementar uma formulação de segurança na qual se calculam os efeitos de segunda ordem de cargas majoradas. Devido às considerações anteriores, é

(36)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 36 pertinente mencionar alguns dos modelos de momentos - curvatura disponíveis na literatura, os quais são apresentados abaixo.

Figura 2.27 – Relação momento - curvatura adotada na NBR-6118 (2014)

Pfrang et al. (1964) estudaram a relação momento - curvatura - força normal em seções transversais de concreto armado. Através da aplicação dos princípios básicos da mecânica dos materiais, conseguiram desenvolver diagramas de interação e a relação momento - curvatura - força normal considerando fatores como: relação d’/h, taxa de armadura, tensão de escoamento e distância de cobrimento, em todos os casos, para diferentes níveis de carga axial excêntrica

Subrahmanyam e Srinivasa (1973) desenvolveram uma relação momento - curvatura tri-segmental (não necessariamente tri-linear), para elementos de concreto armado usando uma equação semi-empírica para estimar a deformação média na armadura de tração. Eles levaram em consideração a contribuição da rigidez do concreto na região de tração entre as fissuras. Essa relação foi usada em análises de serviciabilidade e compatibilidade de estruturas hiperestáticas. Foi encontrado que as relações momento – curvatura tri-segmentais predizem o comportamento real dos elementos de concreto armado melhor do que as relações bi-lineares, que tendem a superestimar as deformações, dependendo do nível de carregamento. Nas comparações por eles feitas esta superestimativa esteve na faixa entre 10% e 100%.

Na pesquisa feita por Sakai e Kakuta (1980), a expressão do momento de inércia efetivo proposto por Branson (1963) foi generalizada para calcular as relações momento - curvatura dos elementos de concreto armado submetidos simultaneamente à flexão e a força axial, mudando a razão “momento de fissuração / momento atuante” na equação Branson (1963), por uma razão de resultantes de forças no aço à tração (correspondentes a momento de fissuração / momento atuante). Além disso, nesta pesquisa foi introduzida uma curva transitória para o centro de gravidade na seção efetiva. Dois tipos de experimentos foram realizados e a validade do método apresentado nesse trabalho foi confirmada experimentalmente.

(37)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 37 Bazant e Oh (1984) calcularam a curvatura usando um modelo bi-linear de tensão - deformação de amolecimento (tensile strain - softeing), além disso, levaram em conta as deformações a longo prazo. Nas palavras dos autores, a teoria assume que a capacidade do concreto de suportar tração é diferente de zero, caracterizada por um diagrama de tensão -deformação uniaxial que considera a microfissuração progressiva devido ao amolecimento da deformação (strain softening). Os autores destacaram que mesmo que a fórmula de Branson sirva bem a propósitos práticos, ela não é derivada das propriedades intrínsecas do material do concreto, particularmente das propriedades de tensão de amolecimento, e por tanto não pode ser aplicada em outras situações onde o microfissuramento progressivo desempenha um papel importante, como a mecânica de fratura do concreto.

Nessa pesquisa foram obtidas previsões que se comparam bem com os dados do teste de curvatura e deflexão em vigas de concreto armado, para deformações imediatas e a longo prazo, até o nível do escoamento do aço. Na Figura 2.28 são apresentados os modelos constitutivos dos materiais e a distribuição de tensões e deformações assumidas nesse trabalho.

Figura 2.28 – Relação tensão - deformação assumida para o concreto à tração e compressão (a, b) e para o aço (c); distribuição de tensões e deformações na seção

transversal da viga (d) (Bazant e Oh (1984))

Carreira e Chu (1986) apresentaram um método para calcular a localização da superfície de deformação zero numa seção de concreto e a correspondente relação momento - curvatura (Figura 2.29). O método consiste em resolver uma equação não linear de segundo grau, produto de considerar a não linearidade na compressão e na tração do concreto. O ajuste entre os resultados teóricos e os dados experimentais foi notavelmente boa. Os autores discutem amplamente a influência nas medições de fatores tais como: o

(38)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 38 comprimento do extensômetro, a localização deste último em relação ao plano da armadura e o tempo decorrido entre as medições de carga e de deformação.

Figura 2.29 – Compatibilidade de deformações e forças internas atuantes na seção trans-versal do concreto armado (Carreira e Chu (1986))

Vecchio e Collins (1986) publicaram a Teoria do Campo de Compressão Modificada (MCFT pelas suas iniciais em inglês). Essa teoria se baseia na representação de uma porção de uma estrutura de concreto armado como um elemento tipo membrana. Diferente da teoria original, esta leva em conta as tensões de tração entre as fissuras do concreto. Em ambos os modelos (original e modificado), o concreto fissurado é tratado como um novo material com suas próprias características de tensão - deformação onde as relações de equilíbrio, compatibilidade e tensão - deformação são formuladas em termos de tensões médias e deformações médias. Essas relações tensão - deformação foram determinadas pelo teste de 30 painéis de concreto armado sob uma variedade de tensões biaxiais uniformes bem definidas, incluindo cisalhamento puro. Os autores concluíram que essa teoria é capaz de prever a resposta de elementos de concreto armado às tensões de cisalhamento e axiais no plano, considerando as condições de equilíbrio, requisitos de compatibilidade e relações tensão - deformação. Além disso, indicaram que essa teoria serve como base para programas de análise de elementos finitos não lineares.

Alwis (1990) apresentou um modelo tri-linear para o diagrama momento - curvatura, onde cada um dos trechos representa um estado do concreto armado: não fissurado, fissurado e escoamento (Figura 2.30), bastando por tanto o cálculo do momento de fissuração, momento de escoamento e as correspondentes curvaturas. Nesse estudo, os resultados foram comparados com os valores previstos pelos trabalhos de Branson (1963) e Bazant e Oh (1984) observando uma boa concordância. O autor afirma que a principal vantagem do modelo tri-linear se dá em aplicações computacionais e conclui sua pesquisa advertindo que

(39)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 39 o modelo proposto não se destina a curvaturas significativamente maiores que a curvatura no ponto de escoamento. Além disso, explica que a curva proposta seria inadequada, uma vez que as deformações no concreto a compressão tornam-se muito grandes, causando o escoamento do aço de compressão

Figura 2.30 – Relação momento - curvatura proposta por Alwis (1990)

Kwak e Kim (2002) realizaram analises não lineares em vigas de concreto armado via elementos finitos, baseados na relação momento - curvatura. Eles consideraram fatores como a tensão de amolecimento no concreto, o efeito da aderência concreto - aço (aderência perfeita e não perfeita) na relação momento - curvatura e o tamanho dos elementos da malha. O modelo que usaram foi construído calculando o momento de fissuração, momento de escoamento e as correspondentes curvaturas. Os autores encontraram que o comprimento de rótula plástica deve ser considerado para prever a força final de vigas de concreto armado onde a deformação plástica é concentrada em qualquer localização com uma faixa limitada. Além disso, destacam que para vigas subarmadas, a tensão de amolecimento e aderência aço - concreto tem influência dominante na faixa fissurada, enquanto que para vigas superarmadas esses fatores podem ser desprezados.

A relação momento - curvatura também tem sido estudada no caso de vigas de concreto armado com polímeros reforçados com fibras (FRP), cujo estudo é importante na reabilitação estrutural. Faruqi et al. (2003) propuseram um método para calcular as deflexões nestes tipos de elementos considerando uma relação momento - curvatura tetra-linear: pré-fissuração, primeira fissura, fissuração e pós-fissuração (Figura 2.31). A diferença gráfica com os modelos tri-lineares é a adição no diagrama momento – curvatura de um trecho com inclinação zero. Esse trecho com inclinação zero é produto da fissuração repentina do concreto no lado de tração e do decorrente escorregamento relativo entre a placa e a viga. Nesse trabalho, os autores propuseram uma metodologia para incluir o fato

(40)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 40 de que uma viga que é reforçada possivelmente já foi carregada antes do reforço (tendo provavelmente fissuras) e o fato de que pode estar suportando uma carga significativa no momento do reforço.

Figura 2.31 – Relação momento - curvatura proposta por Faruqi et al. (2003) Kaklauskas e Gribniak (2011) publicaram uma pesquisa na qual procuravam eliminar o efeito da retração do concreto nas relações momento curvatura e tração -enrijecimento (tensions - stiffening). O procedimento é baseado na abordagem do modelo de fissura distribuída (smeared crack approach) e no modelo de seção em camada (layer section model). Nesse trabalho foram combinadas técnicas diretas e inversas de análise de membros de concreto armado. A técnica inversa foi usada para derivar as relações tração enrijecimento e tensão deformação a partir de diagramas experimentais de momento -curvatura. O efeito de retração foi eliminado assumindo na técnica direta uma deformação positiva livre (expansão). Os autores demostraram que trechos de tensões negativas das curvas de tração - enrijecimento desaparecem após a eliminação da retração. No caso da relação momento - curvatura, as diferenças entre os diagramas originais e transformados foram mais significativas em vigas com maiores taxas de aço.

Kara et al. (2015) realizaram uma pesquisa para analisar através de um procedi-mento iterativo, o comportaprocedi-mento a flexão de vigas de concreto armado com polímeros reforçados com fibras (Fiber Reinforced Polymer (FRP)). A influência dos parâmetros quantidade de reforço e tipo de FRP na relação momento - curvatura foram estudados nessa pesquisa. Os autores consideraram no seu estudo os polímeros reforçados com fibras de carbono (CFPR) e de vidro (GFPR). Eles assumiram uma ligação perfeita entre o concreto e as barras de reforço para o cálculo das deformações e um modelo bi-linear para o comportamento do concreto à tração. O comportamento de tensão - deformação do FRP foi assumido completamente linear até a ruptura. Em todas as seções das vigas reforçadas com aço e FRP, as barras de FRP mostraram um papel importante na resistência às cargas

(41)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 41 após do escoamento do aço. Quanto o tipo de FRP, as vigas híbridas do aço - CFPR apresentaram melhor desempenho que aqueles compostos de aço - GFPR.

(42)

42

3 AENL usando o Elemento Finito de Pórtico

Otimizado

A Análise Estática Não Linear usando Elementos Finitos de Pórtico Otimizado (EFPO) apresenta quatro aspectos importantes: formulação, número de segmentos, modelo

de variação de rigidez e passo de carga. A seguir, cada um deles será abordado.

3.1 Formulação

Um EFPO é um elemento de rigidez simetricamente variável em degraus ao longo do eixo longitudinal (multi-stepped) que está configurado por segmentos com: módulo de elasticidade, seção transversal e comprimento aleatoriamente variável. Em outras palavras, a variação dessas propriedades ao longo do elemento não é uma função continua. Note-se que é usado o termo segmento para indicar que a discretização em segmentos não gera novos graus de liberdade. Na Figura 3.1 é apresentado um esquema deste tipo de elemento.

𝒍𝒊= 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊 𝑬𝒊= 𝑴ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑬𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒐 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊 𝒛 𝒊 𝟐 𝒛 𝒊 𝒊 𝒛 𝒊 𝒛 𝒏 𝟐 𝒛 𝒏 𝟏 𝒛 𝒏 𝑰𝒛𝒊= 𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑰𝒏é𝒓𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂𝒐 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒁, 𝒅𝒂 𝒔𝒆çã𝒐 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒍 𝒅𝒐 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊

Figura 3.1 – Esquema de um Elemento Finito de Pórtico Otimizado

A modificação que introduz a formulação do EFPO em relação ao Elemento Finito de Pórtico (EFP) é a possibilidade do cálculo direto das reações de extremidade de um elemento sem a necessidade de criar um nó em cada ponto onde se produz uma variação de rigidez. Se deseja-se por exemplo, analisar o elemento mostrado na Figura 3.1 usando a matriz de rigidez de um EFP, seria necessário criar 1 nó em cada apoio, 1 nó em cada

(43)

Capítulo 3. AENL usando o Elemento Finito de Pórtico Otimizado 43 ponto onde muda a rigidez e 1 nó onde se deseja conhecer o deslocamento, para um total de 8 nós. Pelo outro lado, usando a matriz de rigidez de um EFPO seria necessário utilizar 1 nó em cada apoio e 1 nó no ponto onde se deseje conhecer o deslocamento, isto é, 3 nós. Essa diferença pode ser significativamente maior no caso de uma estrutura de concreto armado reticulada em estado fissurado.

A formulação desenvolvida a seguir apresenta grande simplicidade na sua derivação e na implementação computacional. Se demonstra que com seis fatores é possível montar a matriz de rigidez de um EFPO, considerando as deformações por cisalhamento. Os vetores de carga requerem o cálculo de dois fatores adicionais, para cada caso de carregamento.

3.1.1 Matriz de Rigidez Elástica no Plano

Nesta subseção são determinados os coeficientes da matriz de rigidez elástica de um EFPO (Figura 3.2) impondo deslocamentos em cada um dos graus de liberdade. Os coeficientes de cisalhamento e flexão são obtidos usando a equação da curvatura aproximada. EiIi li Ei+1Ii+1 En-1In-1 EnIn li+1 ln-1 ln u4 u5 u6 u1 u2 u3 Ai Ai+1 An-1 An

Ei = Módulo de elasticidade do segmento i

Ii= Momento de inercia da seção transversal do segmento i

Ai = Área da seção transversal do segmento i

li = Comprimento do segmento i

ui = Grau de liberdade i

L = Comprimento total do elemento

L

Figura 3.2 – Graus de liberdade de um EFPO Coeficientes de Força Axial (k1,1)

Uma força axial P é gerada no elemento apresentado na Figura 3.2 ao impor um deslocamento positivo Δ na direção de u1, enquanto que os demais possíveis deslocamentos

estejam restringidos (Figura 3.3). O valor desse deslocamento é dado pela Equação 3.1.1:

u4 u5 u6 u1 u2 u3 Δ

(44)

Capítulo 3. AENL usando o Elemento Finito de Pórtico Otimizado 44 Δ = 𝑃 (︃ 𝑙1 𝐸1𝐴1 + 𝑙2 𝐸2𝐴2 + 𝑙3 𝐸3𝐴3 + ... + 𝑙𝑛 𝐸𝑛𝐴𝑛 )︃ (3.1.1)

Expressando a Equação 3.1.1 em forma de somatório, obtém-se a Equação 3.1.2: Δ = 𝑃∑︁𝑛

𝑖=1

𝑙𝑖

𝐸𝑖𝐴𝑖

(3.1.2)

Simplificando como mostrado na Equação 3.1.3:

𝐶1 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑙𝑖 𝐸𝑖𝐴𝑖 (3.1.3)

A Equação 3.1.2 pode ser reescrita como indicado na Equação 3.1.4:

Δ = 𝑃 𝐶1 (3.1.4)

Assumindo Δ como um deslocamento unitário na Equação 3.1.4, a força P acaba sendo o coeficiente de força axial da matriz de rigidez de um EFPO, como mostrado nas Equações 3.1.5 e 3.1.6: 𝑃 = 1 𝐶1 (3.1.5) 𝑘1,1 = 1 𝐶1 (3.1.6) Por equilíbrio têm-se as Equações 3.1.7 e 3.1.8:

𝑘4,4 = 1 𝐶1 (3.1.7) 𝑘1,4= 𝑘4,1 = − 1 𝐶1 (3.1.8)