Simetria do parâmetro de ordem em supercondutores ferromagnéticos

Universidade Estadual de Campinas.

Instituto de Físi a Gleb Wataghin

Fernando Assis Gar ia

Simetria do Parâmetro de Ordem em Super ondutores

Ferromagnéti os

Dissertação de Mestrado

Orientador: Guillermo G. Cabrera

Agrade imentos

Aqueles om os quais já onversei sobre muitas oisas da vida já devem ter me ouvido

omparar as páginas de agrade imentos de teses e dissertações à nais de festas onde

o antrião, enebriado pelo ál ool e ompanhia de tantos amigos, diz amar a todos no

momentodedespedida. Esteamor,distribuidoassimdemaneiragratuitaegeneralizada,

a abaporperderseusigni adoou,peloomenos,nãodiferen iaaspessoas ujaspresenças

realmenteimportaramnaquelafesta.

Aqui,façoaopçãode serum antrião omedido evourestringirmeusagrade imentos

à pessoas que realmente zeram a diferença para a realização deste trabalho ao longo

destes dois anos. Osmuitos amigos quenão vou itar ertamentemeperdoarão uma vez

que, sendo meus amigos, ompreendem a importân ia que existe para mimem es rever

estas linhas damaneira queestou fazendo. Então vamos lá:

Começo agrade endo ao André e ao Éri . Quando ome ei a desbravar as terras

da Teoria de Grupos, ainda na graduação, foi om o André que dividia e, geralmente

resolvia, as minhas dúvidas. Minha ignorân ia em on eitos gerais da Físi a de Matéria

Condensadaera,eaindaé,diminuida omminhas onversas omoÉri . Foram omestes

dois também que sempre pude ter eternas onversas sobre questões da Físi a e também

do Mundo. Não posso deixar de es rever que é um verdadeiro previlégio estar ao lado

destes dois.

Agradeço ao Orlando. O Orlandotalvez não saiba, mas tem uma grande

responsabi-lidade na minha formação omo Físi o. Vou ser bom om ele e dizer que dele depende

apenas apartebem sus edida daminhaformação. Esta inuên ia veioatravésde muitas

e muitas onversas, prin ipalmente depois de um urso, prati amente en omendado, de

Teoria Clássi a de Campos, que z na graduação. Nem pre iso dizer que Éri e André

tambémestavam neste urso.

Agora é a vez doPedro. A vontade queo Pedro tem de ompartilhar suas oisas, seu

onhe imento e seus sentimentos om os amigos é impressionante. Ao longo destes dois

anos a reditoque amosmais próximosehojedigo queeste ara émeuamigo. OPedro

tem apenas o defeito de querer pagar a onta do bar quando todos se distraem. Tento

ompensar surpreendendo-o om uma ou outra garrafa de vinho e tentando ser um bom

interlo utor para nossas onversas, tanto para os momentos mais intele tualizados até

para aqueles que beiram (ou entram profundamente) na analhi e.

SobreoCabrera,meuorientadortivealgumadi uldadesobreoquees rever.

Guillermo por ter desempenhado om maestria seu papel de Edmund Wilson enquanto

tentei, sem grande su esso, desempenharmeu papel de F. S ott Fitzgerald.

É laro que agradeço aoZé Pereira, sem ele as férias em Niterói, ao lado dos amigos

Resumo

Esta dissertação tem omo objetivo apresentar um estudo da simetria do parâmetro de

ordem em super ondutores ferromagnéti os. Nossa abordagem é inspirada na teoria de

Landau para Transições de Fase de Segunda Ordem ou, de maneira mais pre isa, na

idéia que uma transição de fase de segunda ordem está a ompanhada por uma redução

na simetria do sistema. A nova fase passa a ser des rita por um subgrupo da fase de

alta simetria, impli ando onsequên ias para o parâmetro de ordem, que em nosso aso

determina a estrutura do gap super ondutor. A re ente des oberta da oexistên ia de

super ondutividade e ferromagnetismo revelou o problema da lassi ação das possíveis

simetrias do parâmetro de ordem super ondutor quando o estado normal não possui

simetria de reversão temporal. Veremos que o problema é resolvido quando a simetria

do estado normal é des rita por grupos magnéti os (ou o-grupos) e que a lassi ação

dos estados super ondutores deve agora ser feitaemtermos das o-representações destes

Abstra t

Inthisdissertation,wepresentastudyoftheorder-parametersymmetryinferromagneti

super ondu tors. Our approa his inspired onthe LandauTheory of Phase Trasitionor,

more pre isely, on the idea that a se ond order phase transition is a symmetry breaking

pro ess where the ordered phase of the system is des ribed by a subgroup of the highly

symmetri one, leading to important onsequen es for the order parameter. In our ase,

it imposes onstraints to the super ondu ting gap stru ture. The re ent dis overy of

the oexisten e of super ondu tivity and ferromagnetism brought the problem of the

lassi ationofsu hstru turesinthesituationwheretimereversalsymmetryisbrokenon

the normalstate. Wearguethatthisproblemissolved whenone onsiderthe des ription

of su h normal state by magneti groups (or ogroups) and that the lassi ation of the

1 Introdução. 1

2 Generalização da teoria BCS. 3

2.1 A HamiltonianaBCS.. . . 3

2.2 Propriedadesde Baixa temperatura. . . 10

2.3 Classi açãodos EstadosSuper ondutores. . . 14

2.4 Classes Super ondutoras . . . 18 2.5 Exemplos . . . 19 3 Super ondutores Ferromagnéti os 25 3.1

ZrZn

2

. . . 27 3.1.1 Super ondutividade em

ZrZn

2

. . . 27 3.1.2 Ferromagnetismo em

ZrZn

2

. . . 28 3.2

UGe

2

. . . 29

3.2.1 Super ondutividade e Magnetismo em

UGe

2

. . . 30

4 Estados Super ondutores em Metais Ferromagnéti os. 33 4.1 Umesboçopara a Teoria Mi ros ópi a. . . 33

4.2 Grupos Magnéti os. . . 35

4.3 Grupos Magnéti os Pontuais . . . 37

4.3.1 Tiposde ClassesMagnéti as. . . 37

4.3.2 Co-representações. . . 39

4.4 Classes super ondutoras. . . 42

4.4.1 EstímulodaSuper ondutividade pelo Ferromagnetismo.. . . 45

4.5 A Estrutura doGap. . . 47

5 Super ondutividade e Paredes de Domínios. 60 5.1 OModelo . . . 61 5.2 Diagramade Fases . . . 71 5.3 Parede Transparente . . . 71 5.4 Caso Geral . . . 74 5.5 Considerações Finais . . . 74 6 Con lusões 76

2.1 Densidade de estados: fase polar . . . 12

2.2 Densidade de estados: fase ABM. . . 13

2.3 Elementos de SimetriadoGrupo Cúbi o. . . 19

2.4 Diagramade fases para asrepresentações2-d. . . 23

2.5 Estrutura dos gaps das fasesA, B eC para o aso tripleto. . . 23

3.1 Antigo enário da oexistên ia. . . 26

3.2 Novo enáriode oexistên ia . . . 26

3.3 Medida doCalor Espe í o para o

UGe

2

[11℄. . . 30

3.4 Assinatutada transição: medidade resistividade [10℄. . . 31

3.5 Diagramade fases [11℄. . . 32

4.1 Estrura ristalina do

UGe

2

. . . 55

5.1 Diagramade fases: limite de parede transparente. . . 73

5.2 Parâmetro de ordem. . . 73

Introdução.

A teoria BCS [1℄ tem demonstrado su esso ao expli ar o fenmeno da

super ondutivi-dade para grande parte dos ompostos até hoje onhe idos. De fato, foi apenas a partir

da dé ada de 80 que foram des obertos sistemas super ondutores ujo omportamento

apresentava desvios daquele previsto pela teoriaBCS.

Con omitantemente, muitosdesenvolvimentosforamfeitosno ampofenomenológi o,

onde a teoria de Ginzburg-Landau têm grande su esso em des rever propriedades

ma- ros ópi as dos sistemassuper ondutores, omo propriedadesmagnéti as. Neste sentido,

desde edo,foiper ebidoporGinzburg[2℄quea oexistên iade ferromagnetismoe

super- ondutividade demanda porsistemas om propriedades bastante espe iais e que, mesmo

que possível, poderia não vir a ser observada, dada a di uldades experimentais que a

épo a pare iam insuperáveis.

O ponto prin ipal residia no fato já onhe ido que ampos magnéti os ostumam

suprimir a super ondutividade uma vez que a energia de tro a poderia tornar-se maior

que a de pareamento, de maneira que os pares não resistiriam e a super ondutividade

estaria destruida.

O argumentode Ginzburg é orretoquando onsideradosos ingredientes originaisda

teoria BCS: pareamento no estado singleto, om momento nulo, em um poten ial om

simetria

s

, não nulo emapenas uma vizinhança da superfí ie de Fermi e um me anismo elétron-phonon para a realizaçãodeste pareamento.

A nova lasse dos hamados super ondutores não onven ionais [3℄ põe emevidên ia

a ne essidade de expansão deste enário. De fato, prin ipalmente omo motivação de

propostas de possíveis enários parao o orrên ia de uma fasesuperuídano

3

_He

,outras

hipóteses já haviamsido onsiderados [4℄.

super ondutor om o ampo magnéti o, existindo mesmo a possibilidade de estímuloda

super ondutividade por interação om o ampo, omo veremosno texto.

Aanálisedasimetriadosistemarevela-sede grandeimportân iapelapossibilidadede

guiara onstruçãodeumateoriami ros ópi a,que ertamentedeve onte-la. Noentanto,

o onhe imento de rudimentos da teoria mi ros ópi a, ao menos no nível dos trabalhos

pioneirosdeAndersoneBalian[4℄,serve omopontodepartidaparaa onstruçãodeuma

fenomenologia,mesmoqueestas teoriasnãosejamrigorosamenteválidaspara ossistemas

não onven ionais.

Organizamos nosso texto da seguinte maneira: no apítulo

2

apresentamos a genera-lização da teoria BCS e a lassi ação de estados que desta de orre. Aqui, nos atemos

às primeirasmanifestaçõesdo omportamento anmalo que geralmenteasso iamos aos

hamados super ondutores não onven ionais. A lassi ação dasimetria destes estados

não onvenionais é apresentada e exemplos são dis utidos. No apítulo

3

, apresentamos uma dis ussão sobre as propriedades físi as de dois sistemas para os quais a

oexistên- ia de super ondutividade e ferromagnetismo foi demonstrada em vários experimentos,

fo alizando àquelas propriedades queserão importantes para os demais apítulosda

dis-sertação. São onsideradas propriedades do estado normal e super ondutor, ressaltando

semelhanças ediferenças destes sistemas.

No apítulo

4

apresentamos a teoria para a lassi ação de simetrias dos super on-dutores ferromagnéti os e a desenvolvemos para o aso do

UGe

2

em parti ular, numa abordagem rigorosa, abragendo vários aspe tos até aqui não onsiderados na literatura.

Em seguida, no apítulo

5

, nos o upamos de um problema espe í o, já lássi o, onde onsideramosas onsequên iasdaexistên iadedomíniosmagnéti osparaoparâmetrode

ordem super ondutor . Em nossas on lusões dis utimos as onsequên ias deste estudo,

Generalização da teoria BCS.

2.1 A Hamiltoniana BCS.

Consideramosaquiapenasosaspe tosrelevantesàobtençãoda lassi açãodos possíveis

estados super ondutores ontidos nateoria BCS [1, 3℄. Dentro deste ontexto, não é

ne- essáriofazermoshipótesesa er adeum me anismoespe í opara aformaçãodos pares

de Cooper. Apartirdestasidéiasbastantegerais,podemosextrairinformaçãosobrea

es-truturadogapsuper ondutore onsequentementesobrealgumasde suaspropropriedades

termodinâmi ase de transporte.

Começamosnossadis ussão omaHamiltonianaefetiva,es ritanoespaçode

momen-tos:

H

0

=

X

k>0s

ǫ(k)c

†

_ks

c

ks

+ ǫ(k)c

†

−ks

c

−ks

H

int

=

1

2

X

kk

′

_s

1

s

2

s

3

s

4

V

s

1

s

2

s

3

s

4

(k, k

′

_)c

†

−ks

1

c

†

ks

2

c

k

′

_s

3

c

−k

′

s

4

H = H

0

+ H

int

(2.1)

O termo de interação de duas partí ulas é tratado em uma aproximação de ampo

médio.

c

†

_ks

c

†

_−kr

=

D

c

†

_kr

c

†

_−ks

E

+ (c

†

_ks

c

†

_−kr

₋

D

c

†

_kr

c

†

_−ks

E

)

(2.2)

termoquedes reveosdesviosdovalordooperadordesuamédia. Paraossuper ondutores

onven ionais esta ostuma ser uma boa aproximação uma vez que o omprimento de

orrelaçãodoestadosuper ondutorégrandequando omparadoadistân iasonde efeitos

de forte orrelação eletrni a poderiam retirara validade dateoria.

Paraossuper ondutoresnão onven ionais, omoosqueestudamos,emgeralobtem-se

dosexperimentosqueosefeitosde orrelaçãoeletrni asãoimportanteseavalidadedesta

aproximaçãoéquestionável. Noentanto,nestetrabalhoestamosinteressadosnosaspe tos

de simetria que independem dos detalhes ao nível mi ros ópi o. Com esta aproximação

rees revemos otermo de interaçãode 2.1.

c

†

_−ks

₁

c

†

_ks

₂

c

k

′

_s

3

c

−k

′

s

4

= −c

†

ks

2

c

†

−ks

1

c

k

′

s

3

c

−k

′

s

4

≈ −[

D

c

†

_ks

₂

c

†

_−ks

₁

E

+ (c

†

_ks

₂

c

_−ks

†

₁

₋

D

c

†

_ks

₂

c

†

_−ks

₁

E

_)][hc

k

′

_s

3

c

−k

′

s

4

i + (c

k

′

s

3

c

−k

′

s

4

− hc

k

′

s

3

c

−k

′

s

4

i)]

= −c

k

′

s

3

c

−k

′

s

4

D

c

†

_ks

₂

c

†

_−ks

₁

E

_{− c}

†

_ks

₂

c

†

_−ks

₁

_hc

k

′

s

3

c

−k

′

s

4

i +

D

c

†

_ks

₂

c

†

_−ks

₁

E

_hc

k

′

s

3

c

−k

′

s

4

i + δ(O

2

₎

(2.3)

Em 2.3 o termo de segunda ordem se refere aos produtos das utuações que vamos

des artar. Des artamos também o termo onstante (que ontribui apenas para o estado

fundamental)  ando apenas om os dois primeiros termos. Assim a parte de interação

se es reve

X

kk

′

_s

1

s

2

s

3

s

4

V

s

1

s

2

s

3

s

4

(k, k

′

_)c

†

−ks

1

c

†

ks

2

c

k

′

s

3

c

−k

′

s

4

≈

≈

X

kk

′

_s

1

s

2

s

3

s

4

V

s

1

s

2

s

3

s

4

(k, k

′

)(−c

k

′

_s

3

c

−k

′

s

4

D

c

†

_ks

₂

c

†

_−ks

₁

E

_{− c}

†

_ks

₂

c

†

_−ks

₁

_hc

k

′

_s

3

c

−k

′

s

4

i) =

Agoradenimos

∆

s

1

s

2

(k) ≡ V

s

1

s

2

s

3

s

4

(k, k

′

_{) hc}

k

′

_s

3

c

−k

′

s

4

i

queéamatrizdogap. Cadaum dos termosdestamatrizpodeser interpretado omoumaamplitudedepareamento. Para

a super ondutividade onven ional apenas os termos

∆

↑↓

são diferentes de zero. Valores nitos para as médias

hc

k

′

s

≡

X

ks

1

s

2

∆

s

1

s

2

(k)c

†

ks

1

c

†

−ks

2

−

X

ks

1

s

2

∆

∗

_s

_!

_s

₂

_(−k)c

ks

2

c

−ks

1

(2.4)

A partir de 2.4 rees revemos a Hamiltoniana efetiva 2.1, transformando o problema

original de muitos orposemuma Halmiltonianade um úni oelétron.

˜

H =

X

ks

ǫ(k)c

†

_ks

c

ks

+

1

2

X

ks

1

s

2

(∆

s

1

s

2

(k)c

†

ks

1

c

†

−ks

2

− ∆

∗

s

!

s

2

(−k)c

−ks

1

c

ks

2

)

(2.5)

Adiagonalizaçãode2.5éfeitausandoumatransformaçãodeBogoliubovgeneralizada.

c

ks

=

X

r

(u

ksr

α

kr

+ v

ksr

α

†

−kr

)

(2.6)

Neste ontexto os oe ientes

u

ksr

e

v

ksr

em 2.6são matrizes no espaço de spins que devem satisfazer uma ondição de unitaridade de maneira que os operadores

α

ks

,

α

†

ks

mantenhamo ára ter fermini o dos operadores

c

ks

e

c

†

ks

. Es revendo expli itamentea transformação temos:

c

ks

= u

ks↑

α

k↑

+ v

ks↑

α

−k↑

†

+ u

ks↓

α

k↓

+ v

ks↓

α

†

−k↓

c

†

_−ks

= u

∗

_−ks↑

α

_−k↑

†

+ v

_−ks↑

∗

α

k↑

+ u

∗

−ks↓

α

†

−k↓

+ v

∗

−ks↓

α

k↓

(2.7)

Uma inspeção no onjunto de equações 2.7 nos indi a que podemos simpli ar as

equaçõesdenindo um formalismovetorialde 4 omponentes:

~

α

k

=



α

k↑

α

k↓

α

_−k↑

†

α

†

_−k↓



T

~

c

k

=



c

k↑

c

k↓

c

†

−k↑

c

†

−k↓



T

(2.8)

Onde

T

denotaaoperaçãode transposição. E tambémdenir matrizes

2 × 2

apropri-adas a partir dos oe ientes da transformação:

ˆ

u

k

=

u

k↑↑

u

k↑↓

u

k↓↑

u

k↓↓

!

ˆ

u

∗

−k

=

u

∗

−k↑↑

u

∗

−k↑↓

u

∗

−k↓↑

u

∗

−k↓↓

!

(2.9)

As matrizes

v

ˆ

k

são denidas de modo análogoao que sevê em 2.9. Se es revermos a matriz:

U

k

=

ˆ

u

k

v

ˆ

k

ˆ

v

∗

−k

u

ˆ

∗

−k

!

(2.10)

Per eba que 2.10 é uma matriz

4 × 4

. Suas entradas são as matrizes

2 × 2

(2.9) que denimos. A transformação 2.6é es ritasimplesmente omo:

~

c

k

= U

k

α

~

k

(2.11)

E a ondição de unitaridade  a

U

K

U

k

†

= 1

(2.12)

A diagonalização de 2.5é es ritaneste formalismo omo:

ˆ

E

k

= U

k

†

ε

ˆ

k

U

k

(2.13) om asdenições:

ˆ

E

k

=













E

k↑

0

0

0

0

E

k↓

0

0

0

0

_−E

−k↑

0

0

0

0

_−E

−k↓













(2.14)

ˆ

ε

k

=

ǫ(k) ˆ

σ

0

∆(k)

ˆ

− ˆ

∆

∗

_{(−k) −ǫ(k) ˆ}

_σ

0

!

(2.15)

Aproveitamos para denir que deste ponto em diante usamos

σ

i

(

i = x, y, z, 0

) para denotar as matrizes de Pauli. A matriz 2.15 é a representação matri ial de 2.5. Os

elementos diagonais de 2.14 são o espe tro de energia das ex itações do sistema. As

energias

ǫ(k)

de 2.15 são as energia de Hartree Fo k medida a partir do nível de Fermi. A solução para matrizdatransformação

U

k

éobtida daequação 2.13:

ˆ

u

k

E

k↑

0

0

E

k↓

!

= ǫ(k) ˆ

σ

0

u

ˆ

k

+ ˆ

∆(k) ˆ

v

−k

∗

ˆ

v

k

−E

−k↑

0

0

_−E

−k↓

!

= ǫ(k) ˆ

σ

0

v

ˆ

k

+ ˆ

∆(k) ˆ

u

∗

−k

ˆ

v

∗

−k

E

k↑

0

0

E

k↓

!

= − ˆ

∆

∗

_{(−k) ˆ}

_u

k

− ǫ(k) ˆ

σ

0

v

ˆ

∗

−k

(2.16)

ˆ

u

∗

−k

−E

−k↑

0

0

_−E

−k↓

!

= − ˆ

∆

∗

_{(−k) ˆ}

v

k

− ǫ(k) ˆ

σ

0

u

ˆ

∗

_−k

As equações para

E

ks

e

E

−ks

estão laramente desa opladas, de maneira que nosso problema se reduza matrizes

2 × 2

:

ˆ

u

k

[

E

k↑

0

0

E

k↓

!

− ǫ(k) ˆ

σ

0

] = ˆ

∆(k) ˆ

v

∗

−k

ˆ

v

∗

−k

[

E

k↑

0

0

E

k↓

!

+ ǫ(k) ˆ

σ

0

] = − ˆ

∆

∗

(−k) ˆ

u

k

(2.17)

Aqui temos que estudar algumas das propriedade da matriz

∆(k)

. A simetria desta matriz é dada pelas simetrias do poten ial de interação e dos operadores fermini os,

omo sevê diretamentede 2.4. Podemos tambémrees rever

∆(k)

ˆ

de modoa eviden iar-mos algumasde suas propriedades. Emnossa generalizaçãopermitimosa oplamentosde

pares em ambos os anais singleto e tripleto. Com esta separação, temos também duas

possibilidades para a dependên ia de

∆(k)

om

k

. Para o primeiro aso

∆(k)

deve ser umafunção par davariável

k

enquantoquepara oúltimoumafunção ímpar. Esta éuma

simples onsequên ia doprín ipiode ex lusãode Pauli. Para o aso singletoes revemos

ˆ

∆(k) =

∆(k)

↑↑

∆(k)

↑↓

∆(k)

↓↑

∆(k)

↓↓

!

=

0

∆(k)

↑↓

−∆(k)

↑↓

0

!

= ψ(k)

0

1

−1 0

!

(2.18)

Onde

ψ(k)

é uma funçãopar davariável

k

. As omponentes

↑↑

e

↓↓

são zero uma vez que estamos, neste momento, interessados no estado singleto. De maneira a usarmos a

álgebra das matrizesde Pauli, fazemos mais um passo em2.18.

ˆ

∆(k) = iˆ

σ

y

ψ(k)

(2.19)

Jáparao analtripleto,todasas omponentessãonãonulas. Foiper ebidoporBalian

e Werthamer [4℄ que oestado tripletopode ser es rito omo:

ˆ

∆(k) = i( ~

d(k).ˆ

σ) ˆ

σ

y

=

−d

x

(k) + id

y

(k)

d

z

(k)

d

z

(k)

d

x

(k) + id

y

(k)

!

(2.20)

A di uldadeparaen ontrar soluçõespara atranformação2.6está noestadotripleto.

Estasmatrizespodemdes reverestadosnãounitáriosparaosquaisaestrutura das

orre-laçõesdosparesparaspins

up

espins

down

édiferente, paradiferentes direçõesnoespaço

k

. Denimos que uma matriz

∆(k)

des reve um estado unitário quando o produto

∆∆

†

é propor ional a matrizidentidade, aso ontrário oestado asso iado é não unitário. Da

forma omo estão es ritos 2.19 e 2.20 é laro que apenas o estado tripleto pode ser não

unitário. O produto

∆∆

†

se es reve, no aso tripleto:

ˆ

∆(k) ˆ

∆

†

_{(k) = ( ~}

_d(k).ˆ

_{σ)( ~}

_d(k).ˆ

_σ)

†

= |~

d(k)|

2

σ

ˆ

0

+ i~

d(k) × ~

d(k)

∗

.ˆ

σ

aso unitário,ou seja,estado singletoou estado tripleto om

d(k) × ~

~

d(k)

∗

_{= 0}

.

∵

v

ˆ

∗

−k

= − ˆ

∆

∗

(−k) ˆ

u

k

[

E

k↑

0

0

E

k↓

!

+ ǫ(k) ˆ

σ

0

]

−1

ˆ

u

k

[

E

k↑

0

0

E

k↓

!

− ǫ(k) ˆ

σ

0

] = ˆ

∆(k) − ˆ

∆

∗

(−k) ˆ

u

k

[

E

k↑

0

0

E

k↓

!

+ ǫ(k) ˆ

σ

0

]

−1

ˆ

u

k

[

E

k↑

0

0

E

k↓

!

− ǫ(k) ˆ

σ

0

][

E

k↑

0

0

E

k↓

!

+ ǫ(k) ˆ

σ

0

] = ˆ

∆(k) ˆ

∆

†

(k) ˆ

u

k

Assoluçõespara

u

ˆ

k

,

E

k↑

e

E

k↓

podemser en ontradasporinspeçãobaseadaemalguns argumentos. Uma vez que o estado é unitário o produto

∆∆

†

é propo ional a matriz

identidadee por isto omuta om a matriz

u

ˆ

k

. Destamaneirase es reve:

[

E

k↑

0

0

E

k↓

!

− ǫ(k) ˆ

σ

0

][

E

k↑

0

0

E

k↓

!

+ ǫ(k) ˆ

σ

0

] = ˆ

∆(k) ˆ

∆

†

(k)

(2.21)

A partir de 2.21, argumentosimilarpode ser utilizadopara notar que

E

k↑

= E

k↓

= E

k

e, portanto,temos a soluçãopara o espe tro de energias:

E

_k

2

= [ǫ(k)

2

+

1

2

tr[( ˆ

∆ ˆ

∆

†

_)(k)]]

(2.22)

A solução para a tranformação é obtida per ebendo que

u

ˆ

k

pode ser propor ional a qualquer matriz

2 × 2

não singular. Es olhemos amatriz identidadee es revemos

ˆ

u

k

=

[E

k

− ǫ(k)] ˆ

σ

0

{[E

k

+ ǫ(k)]

2

+

1

₂

tr[( ˆ

∆ ˆ

∆

†

)(k)]}

1

2

(2.23)

Para

v

ˆ

k

eliminamos

u

ˆ

−k

∗

do onjunto de equações2.16 e se es reve:

ˆ

v

k

=

− ˆ

∆(k)

{[E

k

+ ǫ(k)]

2

+

1

₂

tr[( ˆ

∆ ˆ

∆

†

)(k)]}

1

2

(2.24)

Para o aso de estadosnão unitáriososresultados são bemmais ompli ados[3℄. Um

E

_k↑ou↓

2

= ǫ(k)

2

_{+ | ~}

_d(k)|

2

_{± |i ~}

_{d(k) × ~}

d(k)

∗

_|

(2.25)

Neste aso a degeneres ên ia para osestados

up

e

down

é quebrada. Esta separação pode ser ompreendida omo uma redução de simetria devido a perda de simetria de

reversãotemporal. Nestaformulaçãogeneralizada,emqualquerumdos asos,permitimos

queogaptenhaalgumadependên iaem

k

. Emsituaçõesespe iais,estadependên iapode levarazerosnogapde energiaqueresultamemnovaspropriedadesde baixatemperatura

quando omparadas aos super ondutores onven ionais, que possuem um gap sem nós.

2.2 Propriedades de Baixa temperatura.

A have para o entendimento destas modi ações está na dependên ia da densidade de

estados

N(E)

dosistema omogapdeenergia. Investigamosaquio alorespe í odestes sistemas. O alor espe í o para baixas energias

T ≪ T

c

se es reve (a dependên ia do gap om a temperaturaéignorada).

C

v

=

2

Ω

X

k

E

k

df (E

k

)

dT

=

Z

dEN(E)E

df (E)

dT

=

Z

dEN(E)

E

2

k

B

T

2

1

4 cosh

2

(

_2k

E

B

T

)

(2.26)

Investigamos agora a densidade de estados e omo que esta depende da simetria do

gap. Por denição temos:

N(E) = 2

X

k

δ(E − E

k

)

(2.27)

Onde restrigimos nossa análise a estados unitários. Relembrando a equação 2.22,

rees revemos 2.27 utilizando

N(0)

, que é densidade de estados na superfí ie de Fermi para a fasenormal.

N(E) = N(0)

Z

dΩ

k

4π

Z

dǫδ(

r

ǫ(k)

2

₊

1

2

tr[( ˆ

∆ ˆ

∆

†

_{)(k) − E)]}

(2.28)

Vamos aqui denir:

|∆(k)|

2

_≡

1

2

tr[( ˆ

∆ ˆ

∆

†

_)(k)]

(2.29)

E assim 2.28 é es rita omo:

N(E) = N(0)

Z

dΩ

k

4π

E

pE

2

_{− |∆(k)|}

2

(2.30)

Emboraestejamosaquianalisandoapenaso alorespe í o,oquevemoséque,defato,

qualquerpropriedadequedependadaestruturadadensidadedeestadosseráamplamente

afetadapordiferentestiposdegap. Para super ondutores onven ionaisogapnãopossui

nós, o que é topologi amente equivalente a um gap isotrópi o. Este, em parti ular, se

es reve

|∆(k)|

2

_{= ∆}

2

0

, onde

∆

0

é uma onstante que des reve sua amplitude. A partirde 2.30 temos a densidade de estados:

N(E) = N(0)

Z

_dΩ

k

4π

E

pE

2

_{− ∆}

2

0

= N(0)







0

E < ∆

0

E

√

E

e

_−∆

2

0

E > ∆

0

(2.31)

Usando 2.26 e 2.31 podemos al ularo alor espe í o de baixas temperaturas.

C

V

≈ N(0)k

B

(

∆

0

k

B

T

)

2

p

2πk

B

T ∆

0

exp(−∆

0

/k

B

T )

(2.32)

Podemos al ularo alorespe í oparapareamentotripletoefasepolar,porseuvalor

didáti o. Para talusamos 2.20 om

d

x

(k) = d

z

(k) = 0

e

d

y

(k) = −ik

z

.

ˆ

∆(k) = ∆

0

k

z

0

0

k

z

!

⇒ |∆(k)|

2

= ∆

2

₀

cos θ

2

(2.33)

Figura2.1: Densidade de estados: fase polar

A densidade de estadosagora  a:

N(E) = N(0)

Z

dΩ

k

4π

E

pE

2

_{− ∆}

2

0

cos

2

θ

= N(0)

E

∆

0

(

π

2

E < ∆

0

arcsin(

∆

m

E

) E > ∆

0

(2.34)

O alor espe í o al ulado para esta fase apresenta um omportamento de baixas

temperaturas bem distinto da dependên ia exponen ial observado em super ondutores

onven ionais. Antes de al ula-lo, podemos analisara estrutura do gap e da densidade

de estados. O gap 2.33 tem uma linha de zeros no equador e a densidade de estados

asso iada possui dependên ia linear om a energia para baixas temperaturas (ver gura

2.1).

Outra formaposséivel é dada por

ˆ

∆(k) = ∆

0

k

x

+ ik

y

0

0

k

x

− ik

y

!

⇒ |∆(k)|

2

= ∆

2

₀

sin θ

2

(2.35) Onde om referên ia a 2.20 temos

d

x

(k) = k

x

,

d

y

(k) = k

z

e

d

z

(k) = 0

. Esta estrutura é o estado ABM [4℄ realizadono

3

_He

Figura 2.2: Densidadede estados: fase ABM.

amplitudes que

∆

↑↑

e

∆

↓↓

são diferentes de

0

. Este éo hamadoestado

ESP

(equal spin paring). A densidade de estadosé dada por:

N(E) = N(0)

E

∆

0

ln |

1 +

E

∆

0

1 −

E

∆

0

|

(2.36)

Interessante notar que o fato do pareamento o orrer no estado tripleto, não impli a

a existên ia de nós na estrutura de gap. De fato, desde o iní io das dis ussões sobre a

possibilidade de gapsanisotrópi os [4℄, notou-se aexistên iadaqueleque éhoje hamado

estado BW.

ˆ

∆(k) = ∆

0

k

x

+ ik

y

k

z

k

z

k

x

− ik

y

!

⇒ |∆(k)|

2

= ∆

2

₀

(2.37)

Notando 2.37, vemos que as propriedades de equilíbrio deste estado serão iguais às

propriedadesdos super ondutores onven ionais. De fato, de uma teoria de a oplamento

fra o, omo a que onsideramos aqui, resulta que o estado BW tem energia menor que

o estado ABM que,portanto, nun a seria realizado. O estado ABM seestabiliza apenas

quando efeitos de orrelaçaode spin dos átomos de

3

_He

são onsiderados.

Analisando o gap ABM (2.35) vemos que este possui zeros nos polos e que sua

den-sidade de estados tem asso iada uma dependên ia quadráti a om a energia, quando

Vemos, portanto, que a dependên ia de baixas energias da densidade de estados

de-pende apenas da topologia dos zeros do gap. Da mesma maneira, podemos lassi ar o

omportamentoanmalodo alor espe í o observado emsistemasnão onven ionais.

C

v

∝











T

sem gap

T

2

_linhas

T

3

pontos

(2.38)

Todas as propriedades termodinâmi asde equilibrio sofrem modi açõesque

depen-dem apenas da topologia dos zeros do gap. Como veremos agora, a teoria de grupos

onstituiuma ferramentapoderosapara a lassi ação destes gaps .

2.3 Classi ação dos Estados Super ondutores.

Como notamos desde o iní io não esperamos que os resultados de uma teoria de

a opla-mentofra osejamválidos para ossistemasque estudamosneste trabalho, oumesmoque

podemos onar em uma aproximação de ampo médio. A forma espe í a do

hamil-toniano que os des reve nos é des onhe ida, mas assumimos que onsiderações baseadas

em aspe tos bastantegerais sobre aestrutura dogap podemser utilizadaspara entender

resultados experimentaisoumesmo prevê-los.

Em super ondutores não onven ionais temos que onsiderar a existên ia de

a opla-mentospinórbita, ampo ristalinoea oplamentoforte. Essesefeitos estãopresentes em

super ondutores formadosporférmionspesados omoéo aso do

UGe

2

,queestudamos nopróximo apítulo. OPrimeiropontoqueressaltamoséquenapresençadea oplamento

spin órbita, os estados de 1 partí ula não podem ser autoestados do operador de spin.

No entanto, podemos fazer uma orrespondên ia um a um om estados de pseudospin

e spin, de maneira que formalmente podemos nos referir a spin e pseusdospin omo os

mesmos objetos. Lembramos que hamamos de pseudospin os dois valores que podem

ser assumidos pelo estado de momento angular total que resulta da soma do momento

angular orbitale dospin eletrni o.

Tambémem presença de a oplamento spin órbita, as transformaçõesde oordenadas

afetam igualmente estados orbitais e estados de spin. Isso traz onsequên ias para o

estado tripleto. Partindo da denição 2.4 para a função do gap, podemos deduzir as

regras de transformação desta função sob aação dos elementosdo grupo de simetriasda

G = G ⊗ K ⊗ U(1)

(2.39)

Onde

G

é grupo de simetriasdo ristal,

K

é areversão temporal 1

e

U(1)

o grupode gauge. Adiferençafundamentalentresuper ondutores onven ionais enão onven ionais

éque noprimeirotipoo orreapenas quebra de simetriade gaugedurante atransição. A

maneira omo es revemos a funçao do gap 2.19 e 2.20 nos permite es rever a ação sobre

a função dogap omo uma ação sob as funções

ψ(k)

(estado singleto)e

d(k)

~

(estado tri-pleto). Referimosaliteratura[3℄paraasregras ompletas,masdetalhamosaquiumponto

referente aoestado tripletonapresençade a oplamentospin órbitaforte. Começamosna

ausên ia deste efeito. Para uma rotação

g

no espaço

k

temos:

g ~

d(k) = ~

d(D

(−)

_(G)

(g)k)

(2.40)

Onde

D(g)

denotaa matriz darepresentação de

g

no grupo

G

. Para uma rotaçãono espaço de spin:

g ~

d(k) = D

(+)

_(G)

(g) ~

d(k)

(2.41)

A diferençapara as duas representações em 2.40 e2.41 está nosinal das mesmassob

a operação de inversão. No último aso, omo

~

d(k)

é um vetor no espaço de spin, a representação não muda de sinal sob inversão. Já no primeiro aso, uma vez que

k

é um vetor, o sinal

−

expli ita que esta matriz deve ser negativapara aoperaçãode inversão. Ainda neste aso, a ação de

g

foi apenas nas oordenadas

k

e para o anterior, apenas para o vetor

d(k)

~

. Quando o a oplamento spin-órbita é ligado, não existem mais estas operaçõesseparadamente. Osspins estão ongelados na rede e também sofrem ação dos

elementos de

G

, de maneiraque devemos es rever:

g ~

d(k) = D

(+)

_(G)

(g) ~

d(D

(−)

_(G)

(g)k)

(2.42)

Ini iamos a lassi ação dos estados para sistemas invariantes por rotação que,

on-1

Naverdadeé orretoarmarque

K = {E, K}

,onde

K

éaoperaçãodereversãotemporal. Aoperação

tém também a simetria de inversão, de maneira que

G = SO

3

⊗ I

. Uma base para as representações deste gruposão osesféri os harmni os, que usamospara es rever

∆(k)

ˆ

.

ˆ

∆(k) =

(

P

m

c

m

Y

lm

(k)i ˆ

σ

y

singleto

l par

P

m,α=1,2,3

c

mα

Y

lm

(k)i(ˆ

σ.ˆ

α)σ

y

tripleto l mpar

(2.43)

Na expansão 2.43,

α

se refere a direções no espaço onde

m

é xo. A o orrên ia de a oplamento spin órbita diminui a simetria do sistema e as representações deve ser

obtidas pela de omposição destas representações em novos sub espaços invariantes. As

novas bases são obtidas utilizando-se oe ientes de Clebs h-Gordan. A de omposição

dos espaços não é, de fato,tarefa ompli ada:

D

l

⊗ D

S=0

= D

l

singleto l = par

D

l

⊗ D

S=1

= D

l−1

M

D

l

M

D

l+1

tripleto l = mpar

(2.44)

Noentanto,aformaexatadasfunçõesnãopodeserespe í adasemo onhe imentodo

poten ial

V

ˆ

deinteração. Istoa onte epoisnestessubespaçosasbasesdevemser lassi- adasde a ordo omas de momentoangulartotal,que emgeral ontém vários onjuntos

de funções base, uja ombinação é obtida pelo pro edimento de Clebs h-Gordan. No

entanto,mais uma vez, asimetriadestes sub espaçospode ser estudada.

O próximopasso é onsiderar efeitos de ampo ristalino. Aqui asimetria diminuide

um onjuntoderepresentações ontínuasparaalgumaspou asrepresentaçõesirredutíveis,

nitas e dis retas dos grupos ristalinos. O gap pode agora ser lassi ado de a ordo a

estas pou as representações. As bases que tomamos são as projeções dos harmni os

esféri os noespaço de representações do ampo ristalino.

Cada representação do grupo des reve a simetria de uma solução para a equação do

gapepor onsequên iaestáasso iadaaumatemperatura ríti a

T

c

diferente. Chamando de

Γ

a representação orrespondente a maior destas

T

′

c

s

, es revemos a função do gap omo:

ˆ

∆(k) =

X

m

η(Γ, m) ˆ

∆(Γ, m; k)

(2.45)

ar a-bouço teóri odateoriade Landaupara transiçõesde fase. Ateoria de Landaupermitea

des riçãode efeitos dea oplamentoforte,aomenosaonívelqualitativo,vistoquea

liber-dadeintroduzidapelosparâmetrosfenomenológi ospermiteaobtençãodeváriaspossíveis

fases estáveis.

De maneira geral a teoria de Landau se baseia na idéia que em uma transição de

2

a

ordem,asimetriadoestadodebaixastemperaturas(

T < T

c

)émenorqueáqueladoestado do altatemperatura

T > T

c

. A transição é totalmente ara terizada pela introdução de um parâmetro de ordem, que assume valores não nulos apenas para

T < T

c

. Uma vez que o onjunto de funções

{η(Γ, m)}

tem a mesma simetria que

∆(k)

, este onjunto é es olhido omo parâmetro de ordem da teoria. Assume-se ainda que estas transições são

ontínuas de formaque nas proximidades de

T

c

oparâmetro de ordem(

{η(Γ, m)}

) toma valores arbitrariamente pequenos.

Notando quea energialivre

F

tem amesma simetriaqueo Hamiltonianodosistema, onsidera-se aexpansãode

F

em termosdeste parâmetrode ordem. Aenergia livredeve serinvariantesobasoperaçõesdogrupo

G

,oquesigni aquepodemapare ernaexpansão apenas termos pares,reais e polinmiosinvariantes sob asoperaçõesdo grupo ristalino.

Isto é equivalente a dizer que

F

é um invariante asso iado a uma dada representação. O número e forma dos invariantes que ompõe

F

, são determinados pela de omposição de produtos da representação de interesse [13, 5℄. Baseados nestas idéias es revemos a

energialivre omo:

F

Γ

= F

0

(T ) + [A

Γ

(T )

X

m

|η(Γ, m)|

2

+ f

Γ

(η

4

)]

(2.46) Em 2.46 o termo

f

Γ

(η

4

₎

ontém as onstantes fenomenológi asque des revem o

ma-terial. As diferentes formas destes invariantes para as diferentes representações estão

tabeladas [3℄, assim omo as diferentes fases, degeneradasou não, que são previstas pela

teoria. Dadoa presença do ampo ristalino,a degeneres ên ia destas fasesdeve ser

dis- reta. Ostermosdequartaordememgeralsãosu ientesparagerarestasdegenere ên ias

dis retas, mas em alguns asos termos de sexta ordem são ne essários para eliminar

de-generes ên ias espúrias. As possíveis quebras de simetria asso iadas a ada uma destas

energia livres são en ontradas também através da teoria de grupos. Este estudo é feito

2.4 Classes Super ondutoras

A obtenção das lasses super ondutoras [3℄ também não faz suposição alguma sobre os

me anismos mi ros ópi os que dão origem a super ondutividade. É baseada somente

na hipótese bastante geral da existên ia de um parâmetro de ordem que ara teriza a

transição de fase.

Emsuper ondutores onven ionaisapenasasimetriadegaugeéquebradanatransição

e,portanto,oparâmetrode ordempermane einvariantesobtodas asoperaçõesdogrupo

ristalino. A simetriadafase super ondutora édada simplesmentepor

G = G ⊗ K

. Para o aso de super ondutores não onven ionais o parâmetro de ordem não será invariante

sob aaçãode todos elementosdogrupo

G

,sendomultipli adoporalgumfatordefaseou transformado emseu omplexo onjugado.

A lasse super ondutoraéum novo onjunto de elementosde simetria,um sub-grupo

de

G ⊗ K

, que preservam a invariân ia deste parâmetro de ordem não onven ional. Per ebaqueistosigni aquea lassesuper ondutoraé onstruídaapartirdoselementos

de

G

multipli ando-os por fases ou pela operação

K

. Neste sentido as possíveis lasses podem ser onstruidas porinspeção a partirdo onhe imento das representações e bases

de

G

. Estasidéiasgerais,noentanto,guiama onstruçãodeumpro edimentosistemáti o para onstruçãos destas lasses.

Primeiroenumeramosossubgrupos

H

invariantesdogrupo

G

. Estesdes reverão tran-siçõesemqueasimetria ristalinanãoédiminuída. Comeste onhe imentodeterminamos

oGrupoQuo iente

F

de

G

omrespeitoaestesubgrupo

H

. Ogrupo

F

eviden iaas las-ses (nosentidodateoriagrupos)sobaqualoparâmetrode ordempermane einvariantee

aquelas quedevemser multipli adasporalgum fatorde fase. Emseguida, determinamos

um grupo

I

om o qual

F

possui um isomorsmo. Os elementos de

I

são multipli ados pelos elementosde

F

de maneiraque,sob aaçãodestenovogrupo,oparâmetrodeordem não onven ionaléinvariante. Estenovogrupoéa hamada lassesuper ondutora. Este

pro edimento é, em seguida, repetido para estes subgrupos invariantes onsiderados. A

partir deste momento, toda transição super ondutora será pre edida de uma quebra da

simetria ristalina dosistema.

A identi açãoda lasse om arespe tivarepresentação éobtidadiretamentede uma

tabela de ara teres. Fi a laro que a super ondutividade onven ional está asso iada

à representação

A

1g

, representação totalmente simétri a, de um dado grupo ristalino. Todasas outrasrepresentações estão asso iadas aestadossuper ondutores não

Figura2.3: Elementosde SimetriadoGrupoCúbi o.

formaçãode domíniossuper ondutores, ondeo parâmetro de ordemtem omportamento

diferenteem ada uma das regiões.

2.5 Exemplos

Comalguns exemplospretendemos aomesmotempo larearidéiasetambémdemonstrar

oal an edateoriaatéaquidesenvolvida. Parafa ilitarseguimosasnotaçõese onvenções

de uma referên ia omum daárea de teoria de gruposemFísi a [5℄.

Começamos om o grupo úbi o

O

2

. Este grupo possui dois subgrupos invariantes:

T

e

D

2

. Listamosabaixo os elementosdestes 3 grupos.

O = {E, C

2m

, C

3j

+

, C

3j

−

, C

2p

, C

4m

+

, C

4m

−

}

T = {E, C

2m

, C

3j

+

, C

3j

−

}

D

2

= {E, C

2m

}

(2.47)

Apenas para expli ar a notação, digredimos brevemente sobre a estrutura do grupo

O

. Osíndi esdas operações(

C

2m

, C

+

3j

, C

3j

−

...

)dizemrespeitoadiferentes eixosderotação do grupo. Observe a gura 2.3 e tome omo exemplo

C

2m

. Aqui o índi e

m

asso ia-se a três distintas direções

x, y

e

z

. O mesmo é válido para o índi e

m

em

C

+

4m

e

C

−

4m

. Já o 2

Ogrupo ompleto é

O

h

= O

⊗ I

, mas porhora negamos apossibilidade de quebrade simetriade inversão, omisto onsideramosapenasasrotaçõesprópriastendoemmentequeasrepresentaçõesde

O

serãosempredobradas,possuindoumrepresentaçãoímpareoutrapar.

índi e

j

em

C

+/−

3j

,asso ia-seaoseixosquedenominamos

1, 2, 3

e

4

. Oíndi e

p

estáligado às seis posições

a, b, c, d, e

e

f

. Observe que nenhuma operação do grupo

O

mapea as operações

C

2m

em

C

2p

,o que signi a queestas operações perten em a lasses distintas. Para ossubgrupos

T

e

D

2

mantemososmesmosíndi es. Ou seja,

D

2

nadamais édoque o onunto de elementos omposto por

3

rotaçõesde

P i

2

, perpendi ulares entre si, mais a identidade.

Pro urando ogrupo

F

, fazermos ade omposição

O/T

em lasses laterais( osets):

O/T = T + T C

2a

(2.48)

Em2.48

C

2a

équalquerumdoselementos

C

2p

. Oselementosde

F

são

F = {T E, T C

2a

}

. Este grupotem ordem2e portantoadmiteapenas representações unidimensionais. Uma

tabela de multipli ação de

F

revela que este grupo é isomorfo a

I = {1, exp(iπ)}

. Uma vez que o parâmetro de ordem permane e invariantesob a ação de

T

, podemos es rever imediatamente a lasse super ondutora

O(T )

.

O(T ) ⊗ K = {E, C

2m

, C

3j

+

, C

3j

−

, C

2p

e

iπ

, C

4m

+

e

iπ

, C

4m

−

e

iπ

} ⊗ K

(2.49)

Observandoatabelade ara teresdasrepresentaçõesdogrupo

O

vemosqueesta lasse orresponde aum parâmetro de ordem que se transformade a ordo a representação

A

2

. A representação par estará asso iada ao pareamento singletoe a representação ímparao

tripleto. Como

A

2

éuma representação

1 − d

, aenergialivre2.46 édotipo onven ional.

F

Γ

= F

0

(T ) + A(T )|η|

2

+ β

1

|η|

4

(2.50)

As funções base, noentanto,revelam algum omportamentonão usual.

ψ(k) ∝ (k

x

2

− k

y

2

)(k

2

y

− k

z

2

)(k

2

z

− k

2

x

)

~

d(k) ∝ ˆxk

x

(k

z

2

− k

2

y

) + ˆ

yk

y

(k

x

2

− k

2

z

) + ˆ

z(k

2

y

− k

x

2

)

(2.51)

No aso singleto,ogap possuiumalinhade zerosnainterse çãodasuperfí iedefermi

para o alor espe í o propor ional a

T

2

(2.38). Para o aso tripleto, existem zeros

pontuais na interse ção da superfí ie de fermi om eixos de rotação de ordem 3 e 4 (14

zeros). Estes zeros podem ser estudados das bases 2.51, noentantosão onsequên iados

elementos não triviaispresentes na lasse super ondutora2.49.

Pro uramosagora o grupo

F

asso iado à

O/D

2

. A de omposição em lasses laterais  a:

O/D

2

= D

2

+ D

2

C

31

+

+ D

2

C

31

−

+ D

2

C

2a

+ D

2

C

2c

+ D

2

C

2f

(2.52) De 2.52 obtemos que

F = {D

2

, D

2

C

+

31

, D

2

C

31

−

, D

2

C

2a

, D

2

C

2c

, D

2

C

2f

}

que é isomorfo aogrupo

I = {1, ǫ, ǫ

2

_{} ⊗ {1, K}}

, om

ǫ = e

2πi/3

. Este isormorsmo édeterminado apenas

pela onstruçãodatabelademultipli açãodeambososgrupos. Aformapropostapara

I

, pode ser sugerida peloisomorsmo entre

F

e o grupo

D

3

. Apenas tambémdesta tabela de multipli ação é que podemos saber exatamente que elementos de

O/D

2

que serão multipli ados porfatores de fasee tambémpelaoperação

K

. A lasse super ondutorase es reve:

O(D

2

) = {D

2

+ D

2

C

31

+

ǫ + D

2

C

31

−

ǫ

2

+ D

2

C

2a

K + D

2

C

2c

ǫK + D

2

C

2f

ǫ

2

K}

(2.53)

A lasse 2.53 des reve um estado que não possui simetria de reversão temporal. A

quebra da simetria de gauge é também a ompanhada pelo apare imento de algum tipo

de magnetismo. Esta ordem não é ne essariamente de longo al an e, mas impli a o

apare imento de um estado super ondutor não unitário. Esta lasse está asso iada à

representação

E

g

,pareamentosingleto,ou

E

u

,pareamentotripleto,dogrupo úbi o(estas representações são

2 − d

). Esta não é a úni a lasse asso iada a esta representação. De fato,aenergialivreaestaasso iadapermiteades riçãodeváriosestadossuper ondutores.

F

Γ

= F

0

(T ) + A(T )(|η

1

|

2

+ |η

2

|

2

) + β

1

|η|

4

+β

2

(|η

∗

1

η

2

− η

1

η

2

∗

)

2

+ β

3

|η

1

|

2

|η

2

|

2

(2.54) A lasse 2.53 orresponde solução

η

2

ψ(k) ∝ k

x

2

+ ǫk

y

2

+ ǫ

2

k

2

z

~

d(k) ∝ ˆxk

x

+ ǫˆ

yk

y

+ ǫ

2

zk

ˆ

z

(2.55)

De 2.55veri a-se queexistem zeros(pontuais)nainterse ção doseixosde rotaçãode

ordem3easuperfí iedeFermi. Issoimpli aemum alorespe í oabaixastemperaturas

om um dependên ia do tipo

∝ T

3

.

A determinação das lasses super ondutoras eviden iam as simetrias quebradas na

transição masistotambémpode ser diretamenteobtidode umaexpressãopara abasedo

parâmetrode ordem. Estasbases estãoasso iadasdiretamenteàrepresentação asso iada

à transição e não às lasses super ondutoras. Por exemplo, omo as bases em 2.55 são

omplexas, ertamenteeste parâmetro de ordemquebra a simetriade reversão temporal.

No entanto, omo já dis utimos, a es olha de base para uma dada representação não

é úni a. Isto pode impli ar espe ialmente que zeros não ex lusivamente ditados por

simetriaestejampresentes, ara terizandoum zeroa idental. Adeterminaçãodas lasses

super ondutoras eliminaesta possibilidadeaolistaroselementosnão triviaisdogrupode

simetriasdo estado super ondutor.

Como último exemplo estudemos uma simetria tetragonal. O grupo

D

4h

possui 8 representações irredutíveis

1 − d

e duas representações

2 − d

. Para o primeiro grupo, o fun ional asso iado as representações tem a forma onven ional 2.50. O parâmetro

de ordem destas representações é real, não des revendo quebra de simetria de reversão

temporal. Para o aso singleto, existem linhas de zeros no gap super ondutor e para o

aso tripleto pontos. Simetriade rotaçãonão é quebradapeloparâmetro de ordem.

Nos on entramos no aso

2 − d

. O fun ional asso iado a ambas as representações é dado por 2.54. Para a representação par

E

g

(singleto) uma base é

ϕ = {k

x

k

z

, k

y

k

z

}

e para a representação impar

E

u

(tripleto)temos

δ = {ˆzk

x

, ˆ

zk

y

}

ou

δ = {ˆxk

z

, ˆ

yk

z

}

. Desta maneiraes revemos os parâmetros de ordem omo:

ψ(k) = η

x

ϕ

x

+ η

y

ϕ

y

singleto

~

d(k) = η

x

δ

~

x

+ η

y

δ

~

y

tripleto

(2.56)

As soluções que minimizam o fun ional do problema são

~η = (1, i)

,

~η = (1, 1)

e

~η = (1, 0)

. Com referên iaaodiagramade fases(vergura 2.4) hamamosestas fases

A

,

Figura2.4: Diagrama de fases para as representações 2-d.

Figura2.5: Estrutura dos gaps das fases A, B e Cpara o aso tripleto.

a partirde 2.56.

Afase

A

preservaasimetriaderotaçãomasquebraasimetriadereversãotemporalem ambosos aso (singletoe tripleto). As fases

B

e

C

quebram asimetriade rotação

D

4h

→

D

2h

mas preservam reversão temporal. Nos estados singletos apare em linhas de zeros enquanto no estado tripleto apenas pontos isolados na superfí ie de Fermi. Ilustramos

estes parâmetros de ordem,para o aso tripleto,( ver gura2.5) noespaço

k

de maneira a eviden iarestes apontamentos.

Combinandoesta análise de simetrias oma teoria de a oplamentofra odo iní iodo

apítulo, podemos obter alguma previsão sobre a estabilidade relativa das fases

super- ondutoras. Nesta teoria a energia de ondensação para o estado super ondutor é dada

por:

E

cond

= −

1

2

N

0

(k)|∆

k

|

2



k,SF

(2.57)

De 2.57 temos quegaps (na verdade

|∆

k

|

2

) om o menornúmerode nós nasuperfí ie

de Fermi é aquele mais estável, uma vez que osistema ganhamais energia ao ondensar.

Comisto,afase

A

doexemploanterioréamaisestável. Defato,podemosentenderporque muitos sistemas preferem formar pares no estado singleto e simetria

s

(simetria

A

1g

na nossa linguagem). No entanto, efeitos de a oplamento forte mudam este enário. Mais

umavez, lembrarmosqueestepontofoibastantedebatidologonoiní iodas onsiderações

Super ondutores Ferromagnéti os

Umasimplesanálisetermodinâmi a[1℄de umsuper ondutordotipo

I

revelaaexistên ia de uma energia de ondensação dada pela expressão

H

c

8π

2

. Esta on lusão é obtida tão

somente da observação do omportamento dosistema, sob a ação de um ampo externo

apli ado, a uma temperatura

T < T

c

. Para ampos maiores que este

H

c

a super onduti-vidade é destruída.

A observação deste fato levou Ginzburg [2℄ a onsiderar as di uldades de orrentes

de uma possível oexistên ia de super ondutividade e ferromagnetismo. A on lusão

bási a foi que mesmo na ausên ia de um ampo externo a magnetização

M

0

da fase ferromagnéti ainduzum ampode indução

B

0

= 4πM

0

quedeve sermenor queo ampo ríti o

µH

c

, para um meio ferromagnéti olinear.

Requer-se,portanto,umsistema omum ampo ríti oelevadoequeaomesmotempo

om uma pequena magnetização espontânea. Ginzburg apontou ainda que

ferromagne-tismo é emgeral asso iado om elétrons das amadasmais internas da estrutura

eletr-ni a deum sólido,enquantoqueasuper ondutividade omosde amadasmaisexternas.

Neste enário. dis ussões [6℄ anteriores sobre a  oexistên ia de super ondutividade e

magnetismo já omentavam resultados experimentais e argumentou-se ainda que que a

super ondutividade ali observada deveria estar restrita apenas à uma faixa das paredes

de domínio.

A novidade que onsta nos resultados que vamos dis utir é que nestes sistemas é

aparente que os mesmos elétrons são responsáveis por ambos os fenmenos e que a

su-per ondutividade é um fenmeno presente em todo o volume da amostra, assim omo o

ferromagnetismo. Istoéextremamenteimportanteao onsideraraformulaçãodemodelos

mi ros ópi osou fenomelógi os. Mathias e Suhl eviden iamaindao fato quea regiãodo

Figura3.1: Antigo enárioda oexistên ia.

Figura3.2: Novo enário de oexistên ia

ríti a super ondutora) é menor. O ferromagnetismo surge omo uma fase que ompete

om a super ondutividade.

Comoveremos,paraossistemasaseremdes ritos, asuper ondutividade surgeapenas

quando o estado normal é ferromagnéti o. Para temperatura nita, não há transição

de uma fase paramagnéti a para a fase super ondutora, isto nos leva a rer que aqui a

super ondutividade é estimulada pela presença doferromagnetismo.

Temosentãoumidéiadequaldeveserumesquemadosdiagramasdefases(verguras

3.1 e 3.2 ) nestes que podemos hamar de antigo enário de oexistên ia e novo enário

3.1

ZrZn

2

Logo em seguida a des oberta da teoria BCS [1℄, me anismos alternativos para o

pa-reamento dos elétrons (quasipartí ulas) super ondutores foram propostos. Em espe ial,

motivado ini ialmente por uma extensão da teoria BCS [4℄ para o

3

_He

, foi onsiderado

um me anismo de interaçãomagnéti a.

Se asinteraçõesmagnéti assão maioresquando omparadasaoutrasinteraçõesentre

asquasipartí ulas,quasipartí ulasdespinparalelotendemaseatrair,enquantoque

àque-las om spin anti paralelo se repelem, levando a formação de um ondensado no estado

tripleto e, ertamente, om momentoorbital nito (ímpar). Isto nos leva a três ritérios

a serem preen hidos por possíveis andidatos a apresentarem este tipo de

super onduti-vidade.

Os sistemas devem ser levados às bordas doferromagnetismo, podendo signi arque

o sistemaé fortementeparamagnéti oou fra amenteferromagnéti o. Osistema deveter

alto grau de pureza, uma vez que super ondutores om momento angular não nulo são

altamente sus etíveis a impurezas e este deve, ainda, ser resfriado à es ala de milikelvin,

paraqueasutuaçãoesmagnéti aspossamsobrepujarasutuaçõestérmi as, ulminando

naformaçãodepares. Defatoo

ZrZn

2

foiprontamentere onhe ido[8℄ omoumpossível andidato,nomesmotrabalhoemqueMatthiaseBorzorthreportamades oberta de seu

fra o ferromagnetismo. Nasreferên ias [7,9℄ estão osresultados que apresentamos nesta

seção.

3.1.1 Super ondutividade em

ZrZn

2

A super ondutividade em

ZrZn

2

[7℄ é en ontrada apenas em amostraslimpas, indi ada porumaresistividaderesidualdeapenas

0.62µΩ

oqueé onsistente omumlivre aminho médio para os portadores da ordem de alguns milhares de Ângstrons. A baixas

tempe-raturas (

25mk

), um ampo ríti o

µ

0

H

c2

= 0.4T

é medido. Pelas relações usuais, temos um omprimentode oerên ia

ξ

0

= 290A

◦

. Esta sensibilidadedo estadosuper ondutor à

impurezas é um indí io quea super ondutividade deve ser não onven ional.

Atemperaturadetransiçãoéestimadaem

T

SC

= 0.29K

,indi adaprin ipalmentepela súbita queda da resistividade da amostra a partir desta temperatura. A sus eptibiliade

magnéti adomaterialtambémmostrasinais larosdatransição. Parabaixas

temperatu-ras

Re(χ) → −0.65

,que é daordemdo valorideal

−1

. Observa-se tambémum aumento de

Im(χ)

omo para outros super ondutores do tipoII.

anomalia do alor espe í o, indi ando a existên ia de um gap altamente anisotrópi o,

ou mesmo a inexistên ia de um gap. Super ondutividade e ferromagnetismo oexistem

em um longo intervalo de pressão e são ambos suprimidos a uma mesma pressão ríti a

P

c

= 21kbar

, sendo este mais um indi ativo da importân ia do ferromagnetismo para o estímulo da super ondutividade. As bandas da superfí ie de Fermi do

ZrZn

2

são predominantementedevidoaoselétrons

4d

do

Zr

esuper ondutividadeeferromagnetismo derivamdestes mesmoselétrons.

3.1.2 Ferromagnetismo em

ZrZn

2

Resultados obtidos [9℄ do estudo de amostras om altograu de pureza demonstram que

o ferromagnetismoem

ZrZn

2

é bemdes rito por uma teoria de ampomédio. Isto será importante no apítulo 4, pois justi a a nossa abordagem ao estudo da interação dos

parâmetros de ordem ferromagnéti oe super ondu ondutor.

Es revemos a energia livre de Landau para des rever esta transição magnéti a, na

ausên ia de anisotropias.

Φ(P, T, η) = Φ

0

(P, T ) + A(P, T )η

2

+ B(P, T )η

4

(3.1) O parâmetro de ordem

η

em 3.1 deve ser identi ado om a magnetização

M

, por unidade de volume do sistema. Para estudar a dependên ia de

M

om um ampo ex-terno, in luímos o termo usual

−MhV

, onde

V

é o volume da amostra. Determinamos rapidamenteos expoentes ríti os.

∂Φ

∂M

= 0 → M

2

= −

_{2B(P, T )}

A(P, T )

(3.2)

NomodelodeLandau,es revemos

A(T ) = a(P )(T −T

c

)

e

B(P, T ) = B(P )

,demaneira que

β = 0.5

. Para a es ala de

M

om o ampo,nas proximidadesde

T

c

, de maneiraque

T − T

c

= 0

,temos

∂Φ

∂M

= 2a(P )(T − T

C

)M + 4B(P )M

3

− hV

∂Φ

∂M

= 0 → M

3

₌

hV

4B(P )

(3.3)