Estatcamp Calculo Incerteza Medicao

(1)

Cálculo de Incerteza de Medição

Estatcamp Consultoria Estatística e em Qualidade

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Sumário

1 Introdução 5

2 Coleta de Dados 6

3 Dados Quantitativos 8

3.1 Dados Quantitativos Discretos . . . 8

4 Distribuição de Freqüências 11

5 Histograma 17

6 Medidas de Posição 19

7 Medidas de Dispersão 24

8 Outras Estatísticas Descritivas 30

(3)

10 Teorema do Limite Central 51

11 Estudos de MSA: Variável 60

11.1 Estabilidade . . . 60 12 Método da ANOVA 75 13 Incerteza de Medição 99 13.1 Erro de Medição . . . 99 13.2 Tipos de Erros . . . 101 13.3 Incerteza de Medição . . . 101

13.4 Tipos de Incertezas de Medição . . . 102

13.4.1 Equação de medição . . . 102

13.4.2 Avaliação da Fonte de Incerteza tipo A . . . 103

13.4.3 Avaliação da Incerteza tipo B : Herdada . . . 103

13.4.4 Avaliação da Incerteza tipo B : Limites de variação. . . 104

13.4.5 Avaliação da Incerteza tipo B : Limites de variação (triangular) . . . 105

(4)

13.6 Incerteza Expandida . . . 106

(5)

1. Introdução

A variabilidade está presente em todo lugar.

As técnicas estatísticas são utilizadas para avaliarmos as variações.

Etapas para a aplicação de técnicas estatística:

• Coleta dos dados - Amostragem;

• Exposição dos dados; • Modelos Estatísticos.

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2. Coleta de Dados

Uma população é um agregado de elementos (finitos ou não) para o qual deseja-se obter informações sobre algumas de suas características. Uma amostra é uma parcela de uma população que pode conter informações sobre a população.

Planejando a Coleta de Dados - Amostragem

• Qual a pergunta a ser respondida?

• Como comunicar a resposta obtida?

• Qual ferramenta de análise pretende-se usar e como serão comunicados os resultados?

• Quais tipos de dados são necessários para utilizar as ferramentas desejadas e responder a per-gunta?

(7)

• Onde acessar estes dados?

• Como coletar esse dados com o mínimo de esforço e de erro?

• Quais informações adicionais serão necessárias para estudos futuros, referências ou reconheci-mento?

Os Dados podem ser classificados como:

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3. Dados Quantitativos

A característica observada assume valores numéricos.

3.1. Dados Quantitativos Discretos

Neste caso os dados observados formam um conjuto finito ou enumerável de números. Medidas Quantitativas Contínuas

Quando os possíveis valores incluem “todos” os números do intervalo de variação da característica medida. Ao medirmos um bloco padrão com um micrômetro externo obtemos uma medida quantitativa contínua.

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Exemplo 3.1 Na calibração de um micrômetro externo, o avaliador tomou 10 pontos (ou blocos padrão) com 10 leituras de cada ponto. Os desvios de cada leitura em relação ao valor do ponto estão na tabela1.

-0,012 0,003 0,015 0,012 -0,018 0,013 -0,015 0,002 -0,006 0,012 0,008 -0,001 0,000 0,003 -0,008 0,008 0,017 0,013 0,002 -0,002 -0,002 0,006 -0,021 -0,001 0,000 0,007 -0,009 0,018 0,000 0,010 -0,006 0,000 0,009 -0,011 0,000 -0,006 -0,001 0,012 0,004 -0,002 0,000 -0,012 0,001 0,006 0,000 -0,002 -0,004 0,012 0,003 0,020 0,024 -0,003 -0,011 -0,007 -0,009 0,018 -0,017 0,006 -0,004 0,019 0,016 0,012 -0,002 -0,007 -0,013 0,008 -0,013 0,001 0,017 0,012 0,006 0,008 0,004 0,002 0,006 0,000 -0,008 0,017 -0,002 0,019 -0,005 -0,008 0,013 -0,004 0,001 -0,005 0,000 -0,007 0,012 -0,003 0,004 0,002 -0,004 0,002 0,011 -0,012 -0,011 0,003 0,002 -0,006 Tabela 1: Desvios

(10)

Podemos fazer a apuração considerando intervalos de medidas como apresentado na tabela2. Intervalos Node Desvios −0, 021 ` −0, 017 3 −0, 017 ` −0, 013 3 −0, 013 ` −0, 009 8 −0, 009 ` −0, 005 12 −0, 005 ` −0, 001 15 −0, 001 ` 0, 003 22 0, 003 ` 0, 007 9 0, 007 ` 0, 011 7 0, 011 ` 0, 015 11 0, 015 ` 0, 019 8 0, 019 ` 0, 024 2

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4. Distribuição de Freqüências

Com as tabelas e/ou gráficos em mãos, apresentando uma melhor visualização dos dados, muitas vezes já temos condições de interpretar o fenômeno em estudo. Entretanto, em muitos casos há necessidade de se efetuar operações numéricas para se chegar a conclusões mais sólidas.

Dados Contínuos:

Vejamos o exemplo3.1, com APURAÇÃO na tabela2. Note que neste exemplo a variável de interesse é o "Desvio"enquanto que "Número de Desvios"representa a freqüência de medidas em cada intervalo (Tabela2).

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Definições:

Freqüência Absoluta( fi): É o número de observações correspondentes a cada intervalo. A freqüência

absoluta é, geralmente, chamada apenas de freqüência. No exemplo anterior, a freqüência é o número de desvios. Para um dado intervalo i, denotaremos a freqüência absoluta correspondente por fi. Assim,

por exemplo, a freqüência do quarto intervalo é f4 = 12.

Freqüência Relativa( f ri): É o quociente entre a freqüência absoluta e o número total de observações,

e será denotada por f ri. Isto é, f ri = _nfi onde n representa o número total de observações. No nosso

exemplo, f r4 = ₁₀₀12 = 0, 12, onde n = 100.

Freqüência Percentual: (pi): É conseguida multiplicando-se a freqüência relativa por 100

p4 =

12

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Freqüência Acumulada: É o total acumulado (soma) de todas as classes anteriores até a classe atual. Pode ser Freqüência Acumulada Absoluta (Fi), Freqüência Acumulada Relativa (Fri), ou Freqüência

Acumulada Percentual (Pi).

Ponto Médio(xi): É obtido somando o limite inferior e o limite superior de cada intervalo e dividindo o

resultado por 2. Este ponto se constitui no valor representativo de cada intervalo. No caso do primeiro intervalo, no exemplo dado, temos:

x1 =

−0, 021 + (−0, 017)

2 = −0, 019

Agora que temos estas quantidades definidas, vamos usar o exemplo que estamos acompanhando e mostrar todas elas através de uma tabela completa. Como Freqüência Acumulada iremos apresentar somente a Freqüência Acumulada Percentual.

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Diâmetro Xi fi f ri pi(%) Pi(%) −0, 021 ` −0, 017 −0, 019 3 0, 03 3 3 −0, 017 ` −0, 013 −0, 015 3 0, 03 3 6 −0, 013 ` −0, 009 −0, 011 8 0, 08 8 14 −0, 009 ` −0, 005 −0, 007 12 0, 12 12 26 −0, 005 ` −0, 001 −0, 003 15 0, 15 15 41 −0, 001 ` 0, 003 0, 001 22 0, 22 22 63 0, 003 ` 0, 007 0, 005 9 0, 09 9 72 0, 007 ` 0, 011 0, 009 7 0, 07 7 79 0, 011 ` 0, 015 0, 013 11 0, 11 11 90 0, 015 ` 0, 019 0, 017 8 0, 08 8 98 0, 019 ` 0, 024 0, 021 2 0, 02 2 100

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Algumas indicações na construção da distribuição de freqüências são: 1. Na medida do possível, as classes deverão ter amplitudes iguais. 2. Escolher os limites dos intervalos entre duas possíveis observações. 3. O número de intervalos não deve ultrapassar 20.

4. Escolher limites que facilitem o agrupamento. 5. Marcar os pontos médios dos intervalos.

6. Ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter área proporcional à freqüência relativa (ou à freqüência absoluta, o que dá no mesmo) correspondente.

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Tamanho da Amostra (n) Número de Classes (c)

30 a 50 5 a 7

51 a 100 6 a 11

101 a 250 7 a 13

acima de 250 10 a 20

Tabela 4: Número de classes

Determinação do tamanho da classe ou intervalo (L): L= amplitude

no_{de classes} =

R c onde R= maior valor da amostra menos o menor valor da amostra.

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5. Histograma

Uma representação gráfica da distribuição de freqüência, como as anteriores, é o Histograma. É um gráfico onde a freqüência relativa do intervalo i ( f ri) é representada pela área de um retângulo que

é colocado acima do ponto médio da classe i. Consequentemente, a área total do histograma (igual a soma das áreas de todos os retângulos) será igual a "1". No caso em que os intervalos sejam de tamanhos (amplitudes) iguais, as alturas dos retângulos serão iguais às freqüências relativas (ou iguais às freqüências absolutas) dos intervalos correspondentes. Para a distribuição de freqüências da tabela

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Figura 2: Histograma dos desvios

Ao analisarmos a distribuição de freqüência dos desvios, observamos que 15% das observações encontram-se entre −0, 005 a −0, 001 e que pelo menos 10% das obencontram-servações estão acima de 0, 015.

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6. Medidas de Posição

Essas medidas visam representar "onde"os valores estão localizados ou posicionados. As mais usuais são média aritmética, mediana e moda.

Média Aritmética: A média aritmética, ou simplesmente Média, é calculada somando-se os valores das observações e dividindo-se o resultado pelo número de valores. Notação:

• _x_i_{: cada valor individual.} • _{¯x : média de uma amostra.} • µ : média da população. • _{n : tamanho da amostra.}

• _{N : tamanho do universo (população).}

Dado uma população e uma amostra {x1, . . . , xn} retirada desta população, a média amostral é dada por

:

x= x1+ x2+, . . . , +xn n

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Quando a amostra é igual a população {x1, . . . , xN} a média populacional é dada por:

µ = x1+ x2+, . . . , +xN

N

Exemplo 6.1 No exemplo dos desvios das 100 leituras x= 0, 00161. Confira !!! O ideal é que o desvio seja zero. Entretanto, há um pequeno deslocamento.

Exemplo 6.2 Foram realizadas5 leituras de uma massa padrão com valor nominal 2, 45g com um comparador. Os valores foram: 2, 45; 2, 46; 2, 45; 2, 44; 2, 45. A média amostral para as medidas da massa é:

x= 2, 45 + 2, 46 + 2, 45 + 2, 44 + 2, 45

5 =

12, 25

5 = 2, 45 . A média das 5 leitura é x= 2, 45.

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Mediana: Para calcular a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o maior valor. Se o número de observações for ímpar, a mediana será a observação central. Se o número de observações for par, a mediana será a média aritmética das duas observações centrais.

Notação : A mediana será denotada por ˜x.

Exemplo 6.3 Nos dados referentes ao exemplo3, obtemos a seguinte ordenação: 2, 44; 2, 45; 2, 45; 2, 45; 2, 46.

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Exemplo 6.4 Consideremos os seguintes dados correspondentes aos comprimentos de8 rolos de fio de aço: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68.

Ordenando os valores, temos: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 77.

Como o número de observações é 8, portanto par, a mediana é dada pela média dos dois valores centrais que são 68 e 69, isto é:

x= 68+ 69

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Moda: A moda de um conjunto de valores é o valor que apresenta a maior freqüência. Notação: A moda será denotada por Mo.

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7. Medidas de Dispersão

Dispersão é sinônimo de variação ou variabilidade. Para medir a dispersão são usadas mais freqüente-mente duas medidas: a amplitude e o desvio padrão.

Amplitude:

A amplitude é definida como sendo a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. Denotaremos a amplitude por R.

Exemplo 7.1 Os comprimentos de8 rolos de fio de aço foram: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 77 . A amplitude deste conjunto é :

R= 77 − 60 = 17

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Desvio Padrão:

• _s2_{: Variância amostral.}

• σ2_{: Variância populacional.}

• _{s : Desvio padrão amostral.}

• σ : Desvio padrão populacional.

A variância de uma população {x1, . . . , xN} de N elementos é a medida de dispersão definida como a

média do quadrado do desvios dos elementos em relação à médiaµ. Ou seja, a variância populacional é dada por: σ2₌ N X i=1 (xi−µ)2 N

A variância de uma amostra {x1, . . . , xn} de n elementos é definida como a soma dos quadrados dos

desvios de elementos em relação à sua média ¯x dividido por (n − 1). Ou seja, a variância amostral é dada por:

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s2 = n X i=1 (xi−x)2 n − 1

Ao utilizarmos a média amostral como estimador deµ para calcularmos a variância amostral, perdemos 1 grau de liberdade em relação à variância populacional. O desvio padrão de um conjunto de dados é igual à raiz quadrada positiva da variância. Assim, o desvio padrão populacional é dado por:

σ = √σ2 = v t _N X 1=i (xi−µ)2 N E o desvio padrão amostral é dado por:

s= √ s2 = v t _n X 1=i (xi−x)2 n − 1

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Exemplo 7.2 Suponha a amostra dos comprimentos de8 rolos de fio de aço cujos valores foram: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68. Para calcularmos o desvio padrão devemos primeiramente calcular a média X, isto é:

¯x = 65+ 72 + 70 + 77 + 60 + 67 + 69 + 68

8 = 68, 5

Agora vamos subtrair x de cada valor, elevar os resultados ao quadrado e somá-los. Então dividimos o total dos quadrados pelo número de valores menos 1, ou seja, por (n − 1) e extraímos a raiz quadrada:

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(x − x) (x − x)2 65 - 68, 5 = −3, 5 (−3, 5)2 _{= 12, 25} 72 - 68, 5 = 3, 5 (3, 5)2 _{= 12, 25} 70 - 68, 5 = l, 5 (1, 5)2 ₌ _{2, 2} 77 - 68, 5 = 8, 5 (8, 5)2 _{= 72, 25} 60 - 68, 5 = −8, 5 (−8, 5)2 _{= 72, 25} 67 - 68, 5 = −1, 5 (−1, 5)2 ₌ _{2, 25} 69 - 68, 5 = 0, 5 (0, 5)2 ₌ _{0, 25} 68 - 68, 5 = 0, 5 (0, 5)2 ₌ _{0, 25} Total = 174.00

Tabela 5: Cálculo do Desvio Padrão

s2 = 174

7 = 24 ⇒ s = √

24 ⇒ s = 4, 9 Portanto o desvio padrão é 4, 9.

(29)

Exemplo 7.3 No exemplo1, que trata os desvios das leituras do micrômetro referente ao valor do padrão, o desvio padrão é igual a 0, 00957. Confira !!!.

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8. Outras Estatísticas Descritivas

Uma análise das estatísticas descritivas da amostra é fundamental para resumirmos algumas infor-mações sobre a população. Estas inforinfor-mações são utilizadas para tomada de decisão e formação de modelos estatísticos paramétricos.

• Mínimo: Menor elemento da amostra; • Máximo: Maior elemento da amostra;

• Primeiro quartil (Q1) e terceiro quartil (Q3): O conjunto de dados com n observações é ordenado em ordem crescente.

– Q1: Número que deixa 25% das observações abaixo e 75% acima, isto é, a observação na posição (n+1)/4.

– Q3: Número que deixa 75% das observações abaixo e 25% acima, isto é, a observação na posição 3(n+1)/4.

• Tri-Média : Removemos os 5% maiores valores e os 5% menores valores, arredondados para o maior inteiro, e então a média é calculada.

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• Skewness : Medida de assimetria. Um valor negativo indica que uma skewness está tendida à esquerda, e um valor positivo indica que a skewness está tendida à direita. Um valor nulo não necessariamente indica simetria.

A formula da Skewness : b1= N (N − 1)(N − 2) X [(xi −x)/s]3 onde: xié a n − esima observação.

x é a média das observações N é o número de executadas s é o desvio padrão

• Kurtosis : É a medida de quão diferente a distribuição difere da distribuição normal. Um valor positivo costuma indicar um pico mais agudo, um corpo mais fino e uma calda mais gorda que a distribuição normal. Um valor negativo indica um pico mais tênue, um corpo mais grosso e uma calda mais fina que a distribuição normal.

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A fórmula da Kurtosis : b2 = N(N+ 1) (N − 1)(N − 2)(N − 3) X [xi−x s ] 4₋ 3(N − 1)2 (N − 2)(N − 3) onde: xié a n − esima observação

x é a média das observações N é o número de executadas s é o desvio padrão.

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Exemplo 8.1 Suponha a amostra dos comprimentos de 11 rolos de fio de aço cujos valores foram: 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68, 66, 65, 71, 69.

Os dados ordenados de forma crescente é: 60, 65, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 77. Os resultados serão:

Min= 60 Max= 77

A Tri-Média foi calculada retirando-se o maior e o menor valor do conjunto de dados e calculamos a média dos 9 restantes, então: Tri-Média= 65+ 66 + · · · + 72 9 = 68, 56 Posição do Q1= 11+ 1 4 = 3 ⇒ Q1 = 66 Posição do Q3= 3 ∗ ₁₁+ 1 4 = 9 ⇒ Q3 = 71

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Skewness: b1 = 11 (11 − 1)(11 − 2) (60 − 68, 55)3_{+ (65 − 68, 55)}3_{+ · · · + (77 − 68, 55)}3 (4, 32)3 ! = −0, 04 Kurtosis: b2 = 11(12) (10)(9)(8) (60 − 68, 55)4_{+ (65 − 68, 55)}4_{+ · · · + (77 − 68, 55)}4 (4, 32)4 ! −3(10) 2 (9)(8) = 1, 53

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9. A Distribuição Normal

A variação natural de muitos processos industriais é realmente aleatória. Embora as distribuições de muitos processos possam assumir uma variedade de formas, muitas variáveis observadas possuem uma distribuição de freqüências que é, aproximadamente, uma distribuição de probabilidade Normal. Probabilidade é a chance real de ocorrer um determinado evento, isto é, a chance de ocorrer uma medida em um determinado intervalo. Por exemplo, a freqüência relativa deste intervalo, observada à partir de uma amostra de medidas, é a aproximação da probabilidade. E a distribuição de freqüências é a aproximação da distribuição de probabilidades.

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A distribuição é normal quando tem a forma de “sino”:

Figura 3: Distribuição Normal

Veremos na Seção seguinte como testar se uma distribuição é normal ou não. Se concluirmos que há normalidade, é possível calcular probabilidade de intervalos de medida ocorrerem, calculando a área sob a curva naquele intervalo.

Para achar a área sob a curva normal devemos conhecer dois valores numéricos (também chamados de parâmetros), a médiaµ e o desvio padrão σ.

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O gráfico a seguir mostra algumas áreas importantes:

prática são dadas em percentagens.

Para cada valor deµ e/ou σ, temos uma distribuição. Mas para se calcular áreas específicas, se faz uso de uma distribuição particular: a "distribuição normal padronizada", também chamada de standartizada ou

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é simétrica em relação à média µ = 0, a área à direita de µ é igual a área à esquerda de µ. Assim, a tabela fornece áreas acima de valores não-negativos que vão desde 0,00 até 4,09. Veja o gráfico da curva normal padronizada na Figura4.

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Figura 4: Distribuição Normal Padronizada

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maior do que 4,00 é 0,003%. Veja o gráfico na Figura5

(41)

Exemplo 9.2 A área sob a curva para Z maior do que 1,00 é 0,1587. Ou seja, a probabilidade de Z ser maior do que 1 é 15,87%. Veja o gráfico na Figura6

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Exemplo 9.3 A área sob a curva para Z maior do que 1,19 é 0,1170, ou seja, a probabilidade de Z ser maior do que 1,19 é 11,70%. Veja o gráfico na Figura7

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Exemplo 9.4 A área sob a curva para Z menor do que 2,00 não é fornecida diretamente pela tabela. Então devemos encontrar a área para Z maior do que 2,00. Em seguida fazemos 1 menos a área encontrada e temos a área desejada.

A área sob a curva para Z maior do que 2,00 é 0,0228. A área desejada é 1 − 0, 0228 = 0, 9772. Ou seja, a probabilidade de Z ser menor do que 2,00 é 97,72%. Veja o gráfico na Figura8

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Figura 8: Área sob a curva normal

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padrãoσ diferente de 1 (um), devemos reduzi-la a uma Z, efetuando o seguinte cálculo: Z = X − µ

σ

Exemplo 9.5 Se considerarmos que os diâmetros tem distribuição normal com médiaµ = 4, 888 e desvio padrão σ = 0, 31949 e quisermos calcular a probabilidade de um eixo apresentar diâmetro inferior a 5,0 mm, fazemos:

Z = 5, 0 − 4, 888

0, 31949 = 0, 35

Usando a tabela da normal padronizada, temos que a área sob a curva e abaixo de 0,35 é 0,6368. Ou seja, a probabilidade de um eixo apresentar diâmetro inferior a 5,0 mm é 63,68%. Vejam os gráficos nas Figuras9e10.

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Exemplo 9.6 Suponha que a espessura das arruelas no exemplo 4 tenha distribuição normal com média 11,15 e desvio padrão 2,238. Qual a porcentagem de arruelas que tem espessura entre 8,70 e 14,70 ?

Temos que encontrar dois pontos da distribuição normal padronizada. O primeiro ponto é: Z1 = 8, 70 − 11, 15_{2, 238} = −1, 09

A área para valores maiores do que -1,09 é 0,8621 ou 86,21%. O segundo ponto é:

Z1 =

14, 70 − 11, 15

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O que procuramos é a área entre Z1 e Z2, como mostram os gráficos nas Figuras11e12.

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Portanto, fazemos:

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Ou seja, a porcentagem de arruelas com espessura entre 8,70 e 14,70 (limites de tolerância da especificação) é somente de 80,50%. Portanto, cerca de 19,50% das arruelas não atendem aos limites de especificações. Anteri-ormente, havíamos calculado esta porcentagem diretamente do histograma e o valor encontrado foi de 22%. A diferença entre os dois cálculos fica por conta da suposição de normalidade que fizemos.

Com os dados do exemplo 3.1, relativos aos desvios, utilize a distribuição normal para calcular a probabilidade de que o módulo dos desvios seja maior 0, 02.

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10. Teorema do Limite Central

O teorema central do limite é um resultado estatístico fundamental em aplicações práticas, pois este teorema garante que mesmo que os dados não sejam distribuídos conforme uma distribuição normal, a média dos dados converge para a distribuição normal conforme o número de dados aumenta. Para ilustrar, considere os dados da tabela6com histograma apresentado na figura13.

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Notamos que o gráfico mostra que o conjunto de dados segue uma distribuição não simétrica, mas se agruparmos os valores do conjunto de dados em grupos de 5 e tirando a média de cada grupo, temos o seguinte gráfico (figura14):

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Percebemos que a média dos dados foi deslocada, fazendo com que os dados mudassem suas caracterís-ticas de simetria. Novamente, vamos agrupar os dados em grupos de 5 e tirar a média. O resultados estão na figura15.

Como percebemos, este gráfico já possui uma distribuição similar a da distribuição normal.

Teorema do Limite Central: Para amostras grandes, a distribuição amostral da média pode ser aproximada pela distribuição normal.

Se combinarmos esse resultado com µx = µ e σx = √σ_n

para amostras aleatórias de populações infinitas, temos que se é a média de uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma população infinita com média e desvio padrão X , para n grande

z= X −µ σ /√n

representa os valores de uma variável aleatória com distribuição normal com média zero e desvio padrão igual a 1.

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O Teorema Central do Limite é de fundamental importância em estatística porque justifica o intenso uso da curva normal. Ele se aplica à populações infinitas, e também em populações finitas quando n, embora grande, constitui-se em uma pequena porção da população. É difícil dizer precisamente quão grande deve ser n para que o Teorema Central do Limite possa ser aplicado, mas a menos da distribuição populacional tenha uma forma muito "estranha"n= 30 é considerado suficientemente grande.

Nota: Quando uma amostra proveniente de uma população realmente normal, a distribuição amostral da média é normal não importando o tamanho de n.

Desvio Padrão da Média

Ao obtermos uma amostra de leituras de um equipamento, denotadas x1, x2, · · · , xn, a média e o desvio

padrão relativo a medidas são definidos por.

x= x1+ x2+ · · · , +xn n s= √ s2 = v t _n X i=1 (xi−x)2 n − 1 .

(55)

sx =

s √ n

Observe que quanto maior o número de leituras melhor é a aproximação da média amostral em relação a média populacional. Da mesma forma, quanto maior o número de leitura menor o desvio padrão da média.

(56)

(57)

0,18039 0,06105 0,33264 1,0589 0,04611 2,07919 0,16426 0,13756 2,25764 0,69611 0,00666 1,43685 0,04858 0,05189 0,04937 4,0006 2,44309 1,19279 0,36034 0,14896 1,02117 0,22775 0,19664 0,67209 2,04899 0,00578 0,24781 0,43687 0,02991 0,52321 1,19931 0,97063 0,65404 1,2899 0,56337 0,28809 0,29371 0,07804 0,483 0,2983 3,75236 0,283 0,01252 0,07863 1,51493 0,58831 0,40478 0,12692 1,82698 0,9184 1,30431 0,68007 3,9539 1,00186 2,1392 0,65945 2,44657 2,26175 0,04064 0,90853 0,70571 2,32028 1,44356 1,04687 3,07768 0,91547 1,0711 0,78354 0,10735 1,8086 3,58991 0,28985 0,10034 1,09242 0,11591 0,93788 0,86555 0,11135 0,22064 2,54724 2,32252 0,21121 0,99732 0,73894 0,18068 0,03391 0,33554 2,82354 0,21896 0,61599 2,70122 0,59041 0,9296 0,37208 0,96049 0,97886 1,67637 0,3829 0,66678 1,27616 0,15644 1,49853 0,2438 0,69662 0,03946 1,68575 1,68336 1,97248 0,75177 0,14673 0,85142 0,60226 0,10131 0,00041 1,04934 0,71689 0,6841 0,40779 0,655 2,59891 1,86995 0,11694 1,0702 5,24055 0,91629 0,74449 1,54706 1,71929 0,57949 0,06082 4,50549 1,31121 1,20456 1,32523 0,15098 3,82457 2,21574 1,24752 3,01742 0,48124 0,50226 0,752 0,07319 0,7532 1,84546 1,00032 0,18113 1,95966 0,12043 0,02755 1,12134 0,15825 0,39719 0,73928 0,75933 0,98665 0,20692 1,04208 0,77392 0,53456 0,37931 0,55943 0,1528 0,32622 1,34607 0,1881 0,63464 0,01368 1,07056 1,56307 3,97567 0,12068 0,0591 0,09311 0,13433 1,13353 0,06729 0,73302 3,68017 0,36334 0,33364 0,10242 0,24987 0,436 0,63775 0,92961 0,1736 0,5642 0,07914 1,69506 3,81342 1,18567 0,835 1,0241 1,75904 0,655 1,5316 2,38105 1,31363 4,87441 1,87911 1,19198 4,01736 0,98998 0,97558 0,70493 0,02362 1,8392 0,23149 0,42528 0,70005 0,81429 0,14648 1,14152 1,63649 0,42354 0,49084 0,42526 0,21363 1,71473 0,1912 0,30273 0,50795 0,59502 0,0055 0,99069 0,05411 0,08015 1,88966 2,54082 0,05887 0,49302 1,94563 2,88959 0,76715 0,08922 1,50332 1,44135 0,25575 0,52356 1,21121 1,63265 2,49013 0,58964 0,73067 0,5809 0,20309 1,19891 0,41577 4,83329 0,83598 3,31921 0,3745 0,55206 0,96108 0,87766 0,52777 0,10678 0,89247 0,68666 0,40921 3,13698 0,15909 0,78276 1,19616 1,31787 0,1115 0,3589 0,61516 2,2579 0,5537 1,12084 1,18308 5,6274 0,38246 1,26049 0,30181 1,88888 0,9136 1,7155 0,49844 1,80252 0,78627 2,30031 0,37888 0,27255 0,13101 0,25451 3,21402 2,01428 1,5868 0,01396 0,31211 1,41659 0,20996 0,56251 0,64183 0,7217 0,01722 0,2567 0,0903 2,67363 0,38425 0,17188 4,38611 0,47624 1,7204 1,97416 0,15397 0,20741 1,23387 0,83222 2,61544 0,34815 3,7862 0,17602 0,49381 1,11899 0,33027 0,91986 1,10484 0,3501 0,6366 0,64013 0,49725 0,29042 2,32141 0,56294 1,10058 0,23771 0,16611 0,19464 0,53044 1,10223 2,63819 1,73767 0,35147 0,13475 2,31799 1,42038 0,28477 0,61507 0,70722 0,16977 2,07863 0,21453 2,31535 0,06885 0,97265 0,05683 0,08027 0,6846 0,29454 0,40381 0,38346 0,3467 0,08971 0,29033 0,71624 2,05792 0,77907 0,04533 1,21407 0,15632 1,54651 1,03375 0,20112 0,21492 1,23729 0,02209 1,92794 1,81139

(58)

(59)

(60)

11. Estudos de MSA: Variável

11.1. Estabilidade

Estabilidade é a quantidade de variação total na tendência do sistema ao longo do tempo em uma dada peça ou peça padrão.

• A interação do sistema de medição e o meio ambiente; • Desgaste de componentes;

(61)

Diretrizes para sistema não destrutivos

• Obter uma amostra. O manual MSA (terceira edição) sugere selecionar uma peça e medir a mesma no mínimo 3 vezes;

• Identificar as peças; • Montar diário de bordo;

• Medir periodicamente (diário, semanal, quinzenal ou mensa) as peças; • Após 20 ou mais medições, construir o gráfico XR, conforme descrito abaixo

(62)

Limites dos Gráficos No de element. A2 D3 D4

amostra (n)

Gráfico das Médias X 2 1, 880 0 3, 267

LSC= Limite Superior = X + A2R 3 1, 023 0 2, 574

LC= Limite Central = X 4 0, 729 0 2, 282 LIC= Limite Inferior = X − A2R 5 0, 577 0 2, 114

Gráfico das AmplitudesR 6 0, 483 0 2, 004

LSC= Limite Superior = D4R 7 0, 419 0, 076 1, 924

LC= Limite Central = R 8 0, 373 0, 136 1, 864 LIC= Limite Inferior = D3R 9 0, 337 0, 184 1, 816

(63)

Critério de avaliação:

Analisar os gráficos X e R, primeiro o gráfico R e na seqüencia o gráfico X: • Pontos fora dos limites de controle.

• 7 ou mais pontos consecutivos crescentes ou decrescentes. • 7 ou mais pontos consecutivos acima ou abaixo da linha média.

(64)

Caso os gráficos X e R estejam fora de controle, investigar as causas e estabelecer ações corretivas. • Se o processo apresentar falta de estabilidade, identifique as causas, estabeleça ação corretiva.

Repita o estudo de estabilidade;

• Se o processo for estável, prossiga com o estudo do sistema de medição;

• Se não for possível estabilizar o processo de medição, realizar os estudos ao longo do tempo para identificar as variações de longo prazo.

(65)

Exemplo 11.1 O engenheiro de sistemas de medição deve realizar um estudo sobre o sistema de medição para avaliar a velocidade de um motor elétrico. O equipamento de medição utilizado é o banco de caracterizações. O engenheiro selecionou 1 peça padrão que foi medida 3 vezes diariamente por um avaliador. Os valores estão na tabela abaixo. Montar os gráficos de Controle X e R e interpretar os resultados!

Data Horário Medidas Média Amplitude (R)

1 2 3 6/ago 09:15 4,202 4,201 4,202 4,20167 0,001 13/ago 16:35 4,201 4,202 4,203 4,20200 0,002 20/ago 14:13 4,199 4,198 4,200 4,19900 0,002 27/ago 09:40 4,200 4,201 4,201 4,20067 0,001 4/set 15:28 4,200 4,201 4,200 4,20033 0,001 11/set 10:39 4,202 4,201 4,200 4,20100 0,002 19/set 15:10 4,200 4,201 4,200 4,20033 0,001 25/set 09:25 4,200 4,199 4,199 4,19933 0,001

(66)

1/out 15:40 4,198 4,199 4,199 4,19867 0,001 8/out 09:25 4,200 4,202 4,200 4,20067 0,002 16/out 16:10 4,202 4,203 4,203 4,20267 0,001 24/out 10:05 4,201 4,202 4,201 4,20133 0,001 1/nov 13:40 4,199 4,199 4,198 4,19867 0,001 8/nov 14:55 4,200 4,200 4,201 4,20033 0,001 14/nov 11:00 4,199 4,198 4,199 4,19867 0,001 22/nov 15:50 4,200 4,199 4,200 4,19967 0,001 29/nov 09:42 4,201 4,201 4,200 4,20067 0,001 7/dez 08:20 4,199 4,200 4,199 4,19933 0,001 12/dez 15:30 4,200 4,201 4,199 4,20000 0,002 20/dez 11:05 4,199 4,199 4,200 4,19933 0,001 28/dez 15:30 4,201 4,200 4,199 4,20000 0,002 4/jan 16:00 4,200 4,200 4,202 4,20067 0,002 10/jan 15:15 4,203 4,204 4,203 4,20333 0,001 15/jan 16:00 4,204 4,203 4,203 4,20333 0,001

(67)

Dos dados da tabela tomamos a média dos valores da coluna Média e a média dos valores da coluna Amplitude e obtemos

X = 4, 200486 e R = 0, 001292 . • Gráfico R.

Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de D3 = 0 e D4 = 2, 574 e os

seguintes limites de controle

LSC = 2, 574 ∗ 0, 001292 = 0, 003325 LIC = 0 ∗ 0, 001292 = 0

(68)

• Gráfico X.

Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de A2 = 1, 023 e com isso os

seguintes limites de controle

LSC = 4, 200486 + 1, 023 ∗ 0, 001292 = 4, 201807 LIC = 4, 200486 − 1, 023 ∗ 0, 001292 = 4, 199165

(69)

Exemplo 11.2 O engenheiro de sistemas de medição deve realizar um estudo sobre o sistema de medição do diâmetro do furo de pistões. O equipamento de medição utilizado é a célula automática. O engenheiro selecionou 1 peça padrão, que foi medida 3 vezes diariamente por um avaliador. Os valores estão na tabela abaixo.

(70)

Amostra Data Medidas Média Amplitude 1 2 3 1 22/set 20006,6 20006,6 20006,7 20006,63 0,1 2 22/set 20006,8 20006,7 20006,9 20006,8 0,2 3 23/set 20006,1 20006,2 20006,2 20006,17 0,1 4 24/set 20005,4 20005,3 20005,3 20005,33 0,1 5 27/set 20005,7 20005,9 20005,8 20005,8 0,2 6 27/set 20005,9 20006 20006 20005,97 0,1 7 1/out 20005,4 20005,7 20005,7 20005,6 0,3 8 6/out 20006,6 20006,6 20006,5 20006,57 0,1 9 7/out 20006,1 20006,1 20006,1 20006,1 0 10 8/out 20006,1 20006 20006 20006,03 0,1 11 8/out 20006,2 20006,3 20006,3 20006,27 0,1 12 13/out 20005,9 20006 20006 20005,97 0,1 13 13/out 20006,2 20006,1 20006,2 20006,17 0,1

(71)

14 14/out 20006,5 20006,3 20006,4 20006,4 0,2 15 18/out 20005,4 20005,4 20005,5 20005,43 0,1 16 20/out 20005,9 20006,2 20006,2 20006,1 0,3 17 25/out 20006,8 20006,9 20006,6 20006,77 0,3 18 26/out 20006,3 20006,3 20006,3 20006,3 0 19 26/out 20006,5 20006,5 20006,5 20006,5 0 20 28/out 20006,4 20006,3 20006,2 20006,3 0,2 21 4/nov 20005,8 20005,9 20005,9 20005,87 0,1 22 8/nov 20006 20005,8 20005,9 20005,9 0,2 23 8/nov 20006,4 20006,3 20006,2 20006,3 0,2 24 10/nov 20006,2 20006,3 20006,3 20006,27 0,1 25 15/nov 20006,7 20006,4 20006,4 20006,5 0,3 26 16/nov 20006,6 20006,5 20006,5 20006,53 0,1 27 17/nov 20006,4 20006,2 20006,2 20006,27 0,2 28 18/nov 20006,6 20006,5 20006,4 20006,5 0,2 29 18/nov 20006,9 20006,8 20006,8 20006,83 0,1

(72)

Dos dados da tabela tomamos a média dos valores da coluna média e a média dos valores da coluna Amplitude e obtemos: X = 20006, 21 e R = 0, 1448 • Gráfico R.

Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de D3= 0 e D4= 2, 574, com isso:

LSC= 2, 574 ∗ 0, 1448 = 0, 3727 LIC= 0 ∗ 0, 1448 = 0

(73)

• Gráfico X

Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de A2= 1, 023, com isso:

LSC= 20006, 21 + 1, 023 ∗ 0, 1448 = 20006, 3581 LIC= 20006, 21 − 1, 023 ∗ 0, 1448 = 20006, 0618

(74)

(75)

12. Método da ANOVA

É um método matemático que determinará uma estimativa tanto da repetitividade quanto da repro-dutibilidade para um sistema de medição.

1o _Passo_{Coleta de dados e definição do modelo:}

Fator1 Amostra 1 2 · · · _o _Média 1 Y111, · · · , Y11r Y121, · · · , Y12r · · · Y1o1, · · · , Y1or Y¯1.. 2 Y211, · · · , Y21r Y221, · · · , Y22r · · · Y2o1, · · · , Y2or Y¯2.. .. . ... ... ... ... ... p Yp11, · · · , Yp1r Yp21, · · · , Yp2r · · · Ypo1, · · · , Ypor Y¯p.. Média Y¯_.1. Y¯.2. · · · Y¯.o. Y¯...

Tabela 7: Tabela de Entradas

O modelo estatístico para este planejamento é

Yi jk = µ + αi+ βj+ τi j+ εi jk           i= 1, · · · , p Amostra j= 1, · · · , o Fator1 (1)

(76)

onde:

• _Y_{i jk}_{representa a k-ésima medição do j-ésimo Fator1 na i-ésima amostra ;}

• µ é a Média das amostras adicionada com a tendência do sistema de medição;

• α_i_{é o efeito da Amostra;}

• β_j _{é o efeito do Fator1;}

• τ_{i j}_{é o efeito da interação Amostra×Fator1;}

• ε_{i jk}_{é o erro de replicação.}

Ondeαi,βj,τi jeεi jksão variáveis aleatórias independentes com distribuições normais de médias zero e

variânciaσ2

p,σ2F1,σ2I eσ2, respectivamente. Conseqüentemente, a variância do processo é:

Var(yi jk)= σ2p+ σ2F1+ σ 2 I + σ

2

(77)

Vamos mostrar que:

SQT = SQP+ SQF1+ SQI+ SQE

onde SQT é a soma de quadrados total, SQP é a soma de quadrados do fator amostra, SQF1 é a soma

de quadrados do Fator1, SQI é a soma de quadrados da interação Fator1 × amostra e SQE é a soma de

quadrados do erro. Para isto, temos que

p X i=1 o X j=1 r X k=1 (Yi jk−Y¯...)2 = p X i=1 o X j=1 r X k=1 h

( ¯Yi..−Y¯...)+ ( ¯Y.j.−Y¯...)+ ( ¯Yi j.−Y¯i..−Y¯.j.+ ¯Y...)+ (Yi jk−Y¯i j.)

i2 = o r p X i=1 ( ¯Yi..−Y¯...)2+ p r o X j=1 ( ¯Y.j.−Y¯...)2+ r p X i=1 o X j=1 ( ¯Yi j.−Y¯i..−Y¯.j.+ ¯Y...)2 + p X i=1 o X j=1 r X k=1 (Yi jk−Y¯i j.)2 Portanto SQT = p X i=1 o X j=1 r X k=1 (Yi jk−Y¯...)2 SQP = o r p X ( ¯Yi..−Y¯...)2

(78)

SQF1 = p r o X j=1 ( ¯Y_.j.−_Y¯_...₎2 SQI = r p X i=1 o X j=1 ( ¯Yi j.−Y¯i..−Y¯.j.+ ¯Y...)2 SQE = p X i=1 o X j=1 r X k=1 (Yi jk−Y¯i j.)2 Onde: Yi..= o X j=1 r X k=1 Yi jk , Y.j. = p X i=1 r X k=1 Yi jk, Yi j.= r X k=1 Yi jk , Y... = p X i=1 o X j=1 r X k=1 Yi jk ¯ Yi..= 1 o r o X j=1 r X k=1 Yi jk , ¯Y.j. = 1 p r p X i=1 r X k=1 Yi jk, ¯Yi j.= 1 r r X k=1 Yi jk, ¯Y...= 1 o p r p X i=1 o X j=1 r X k=1 Yi jk Da mesma forma, y_i.. = o X j=1 r X k=1 yi jk , y.j. = p X i=1 r X k=1 yi jk, yi j.= r X k=1 yi jk, y...= p X i=1 o X j=1 r X k=1 yi jk

(79)

¯y_i.. = 1 o r o X j=1 r X k=1 yi jk , ¯y.j. = 1 p r p X i=1 r X k=1 yi jk, ¯yi j.= 1 r r X k=1 yi jk, ¯y... = 1 o p r p X i=1 o X j=1 r X k=1 yi jk

Uma forma mais conveniente para se calcular a soma de quadrados é utilizar o cálculo de variância amostral. A tabela8apresenta quais variâncias devemos calcular.

Fator1 Amostra 1 2 · · · _o _Média 1 Y111, · · · , Y11r Y121, · · · , Y12r · · · Y1o1, · · · , Y1or Y¯1.. S2 11 S212 · · · S21o 2 Y211, · · · , Y21r Y221, · · · , Y22r · · · Y2o1, · · · , Y2or Y¯2.. S2₂₁ S2₂₂ · · · _S2 2o S2p .. . ... ... ... ... ... p Yp11, · · · , Yp1r Yp21, · · · , Yp2r · · · Ypo1, · · · , Ypor Y¯p.. S2 p1 S2p2 · · · S2po Média Y¯_.1. Y¯.2. · · · Y¯.o. Y¯... S2 F1

Tabela 8: Tabela de Entradas

(80)

SQP = o r (p − 1) S2_i.. (3) SQF1 = p r (o − 1) S2_.j. (4) SQE = (r − 1) p X i=1 o X j=1 S2_{i j.} (5) SQI = SQT−SQP−SQF1−SQE (6) Onde: • _S2

...: representa a variância amostral com relação a todos os dados. Com isso,

S2_... = 1 p o r − 1 p X i=1 o X j=1 r X k=1

(y... − ¯y...)2 onde ¯y... é a média de todos os dados;

• _S2

i..: representa a variância amostral com relação aos valores das médias das amostras, ou seja, a

variância com relação a última coluna da tabela8. Com isso, S2_i.. = 1 p − 1 o X j=1 r X k=1

( ¯yi.. − ¯y...)2 onde ¯yi..é a média em cada amostra e

(81)

• _S2

.j.: representa a variância amostral com relação aos valores das médias dos Fatores1, ou seja, a

variância com relação a última linha da tabela8. Com isso, S2_.j. = 1 o − 1 p X i=1 r X k=1

( ¯y.j. − ¯y...)2 onde ¯y.j.é a média em cada Fator1 e

¯y...é a média de todos os dados;

• _S2

i j.: representa a variância amostral com relação a cada combinação de amostra e Fator1, ou seja,

em cada casela da tabela8. Com isso, S2_{i j.} = 1

r − 1

r

X

k=1

( ¯yi j. − ¯y...)2 onde ¯yi j.são as medições em cada casela e ¯y...é a

média de todos os dados;

3o _{Passo: Cálculo dos graus de liberdade:}

O número de graus de liberdade em uma soma de quadrados é a quantidade de elementos indepen-dentes nessa soma. Por exemplo, considere a soma de quadrados Pp

i=1( ¯Yi.. −Y¯...)2. Neste caso, como p

(82)

Efeito Grau de Liberdade Amostra p − 1 Fator1 o − 1 Interação (p − 1)(o − 1) Erro p o (r − 1) Total p o r − 1

temos p − 1 graus de liberdade. Nesse sentido, os respectivos graus de liberdade associados a cada soma de quadrados são:

4o Passo: Cálculo do erro quadrático médio:

Cada soma de quadrados dividido por seu grau de liberdade determina o quadrado médio (QM), ou seja QMP = SQP p − 1 Amostra (7) QMF1 = SQF1 o − 1 Fator1 (8) QMI = SQI

(83)

QME =

SQE

p o (r − 1) Réplica (10)

Considerando as expressões3, 4, 5 e6 vamos calcular o valor esperado do QM. Para o fator amostra, temos que: E(QMP) = 1 p − 1      E       p X i=1 Y2 i.. o r       −_E Y 2 ... p o r !      = 1 p − 1          1 o r p X i=1 E                  o X j=1 r X k=1 Yi jk         2         − 1 p o rE                  p X i=1 o X j=1 r X k=1 Yi jk         2                  = 1 p − 1          1 o r p X i=1 E                  o X j=1 r X k=1 µ + αi+ βj+ τi j+ εi jk         2         − − 1 p o rE                  p X i=1 o X j=1 r X k=1 µ + αi+ βj+ τi j+ εi jk         2                  = 1 p − 1        1 o r p X i=1 h o rµ2+ (o r σP)2+ o r2σ2F1+ o r2σ2I + o r σ2 i −

(84)

− 1 p o r h p o rµ2+ p (o r σP)2+ o p r σF12+ o p (r σI)2+ p o r σ2 i ) = o r σ2 P+ r σ 2 I + σ 2

Podemos resumir que

E(QMP) = σ2+ r σ2_I + o rσ2_P

E(QMF1) = σ2+ r σ2I + p rσ2F1

E(QMI) = σ2+ r σ2I

E(QME) = σ2

5o Passo: Definindo os testes:

Especificamente, estamos interessados em testar as seguintes hipóteses : A :        H0 = σ2_P = 0 H1 = σ2_P > 0 ; B :        H0 = σ2_F1 = 0 H1 = σ2_F1 > 0 ; C :        H0 = σ2_I = 0 H1 = σ2_I > 0

Vamos mostrar como essas hipóteses são testadas usando a análise de variância. Para determinarmos a estatística do teste C, vamos observar que

(85)

SQI σ2+ r σ2 I ∼χ2 (p−1)(o−1) e também, SQE σ2 ∼χ 2 p o (r−1) ,

onde ambas são independentes. Assim, sob H0temos que a estatística

F0= SQI (σ2_{+r σ}2 I) (p−1)(o−1) SQE σ2 _{p o (r−1)} = QMI QME ∼ _{F((p − 1)(o − 1); p o (r − 1))}

tem distribuição de Fisher-Snedecor com (p − 1)(o − 1) graus de liberdade no numerador e p o (r − 1) graus de liberdade no denominador. A região crítica (RC) do teste F é dada por RC= {F > Fc}.

Com isso, utilizando o número de graus de liberdade do numerador e denominador, podemos, con-siderando um nível de significânciaα encontrar o valor de Fc na tabela da distribuição F-Snedecor. A

(86)

Figura 16: Região crítica da F-Snedecor

Para determinarmos a estatística do teste A, vamos observar que SQP σ2+ r σ2 I + o r σ2P ∼χ2 (p−1) e também, SQI σ2+ r σ2 I ∼χ2 (p−1)(o−1) ,

(87)

Assim, sob H0temos que a estatística F0 = SQP (σ2_{+r σ}2 I+o r σ2P) (p−1) SQI (σ2_{+r σ}2 I) (p−1)(o−1) = QMP QMI ∼ _{F((p − 1); (p − 1)(o − 1))}

tem distribuição de Fisher-Snedecor com (p − 1) graus de liberdade no numerador e (p − 1)(o − 1) graus de liberdade no denominador.A região crítica (RC) do teste F é dada por RC= {F > Fc}.

Figura12mostra a região crítica do teste.

Para determinarmos a estatística do teste B, vamos observar que SQF1 σ2+ r σ2 I + p r σ2F1 ∼χ2 (o−1) e também, SQI σ2+ r σ2 I ∼χ2 (p−1)(o−1) ,

onde ambas são independentes. Assim, sob H0temos que a estatística

F0 = SQP (σ2_{+r σ}2 I+p r σ2F1) (o−1) SQ = QMF1 QM ∼ F((o − 1); (p − 1)(o − 1))

(88)

tem distribuição de Fisher-Snedecor com (o − 1) graus de liberdade no numerador e (p − 1)(o − 1) graus de liberdade no denominador.A região crítica (RC) do teste F é dada por RC= {F > Fc}.

Figura12mostra a região crítica do teste. 6o _{Passo: Tabela de ANOVA:}

O teste estatístico para as hipóteses (A, B, C) propostas é resumido na tabela9. Essa tabela é chamada tabela de análise de variânica. Caso o teste C implique em H0 ser não significativo, ou seja, a interação

( Amostra × Fator1 ) será considerada nula. Neste caso, os testes A e B serão realizados conforme a tabela10. Para isso, vamos incorporar a soma de quadrados da interação à soma de quadrados do erro. Assim, temos que SQE = SQT−SQP−SQF1.

7o _{Passo: Componentes de variância:}

Aqui, vamos estimar as componentes de variância pelo método de momentos. Este método, visa igualar os momentos populacionais aos momentos amostrais. Considerando o modelo com interação temos:

(89)

Fonte de Graus de Soma de Quadrado Teste Variação Liberdade Quadrados Médio F

Amostra p − 1 SQP QMP QM_QMP_I

Fator1 o − 1 SQF1 QMF1 QM_QMF1_I

Interação (p − 1)(o − 1) SQI QMI _QMQM_EI

Erro p o (r − 1) SQE QME

Total p o r − 1 SQT

Tabela 9: Tabela de Análise de Variância (ANOVA) - Com interação

E(QME) = σ2 =⇒ ˆσ2 = QME

E(QMI) = σ2+ r σ2_I =⇒ σ2[+ r σ2_I = QMI

E(QMF1) = σ2+ r σ2I + p rσ2F1 =⇒ σ2+ r σ[2I + p rσ2F1 = QMF1

(90)

Fonte de Graus de Soma de Quadrado Teste

Variação Liberdade Quadrados Médio F

Amostra p − 1 SQP QMP = _{p − 1}SQP QM_QMP_E

Fator1 o − 1 SQF1 QMF1= _{o − 1}SQF1 QM_QMF1_E

Erro p o r − p − o+ 1 SQE QME = _{p o r − p − o}SQE _{+ 1}

Total p o r − 1 SQT

Tabela 10: Tabela de Análise de Variância (ANOVA) - Sem interação

VF1 = s QMF1 − QMI p r Fator1 (11) VI = r QMI − QME r interação (12) VE = pQME repetitividade (13) VF = q (VF1)2 + (VI)2 _{reprodutibilidade} ₍₁₄₎

(91)

VP = r

QMP−QMI

o ∗ r amostra (16)

VT = p(R&R)2 + (VP)2 _total ₍₁₇₎

Considerando que a interação não é significativa, temos que

E(QME) = σ2 =⇒ ˆσ2 = QME

E(QMF1) = σ2+ p rσ2F1 =⇒ σ2+ p rσ[ 2F1 = QMF1

E(QMP) = σ2+ o rσ2_P =⇒ σ2[+ o rσ2_P = QMP

Assim, obtemos que as fontes de variação podem ser estimadas por

VF1 = s QMF1 − QME p r Fator1 (18) VE = pQME repetitividade (19) VF = q (VF1)2 _{reprodutibilidade} ₍₂₀₎

(92)

R&R = p(VE)2 + (VF)2 _R&R ₍₂₁₎ VP = r QMP−QME o ∗ r amostra (22) VT = p(R&R)2 + (VP)2 _total ₍₂₃₎

(93)

Exemplo 12.1 Nesta aplicação usaremos uma anova two-way, ou seja, dois fatores aleatórios.

A tabela11apresenta as medições realizadas no copo PS, a coluna Ponto representa o ponto de medição. O modelo estatístico para este experimento é:

Yi jk = µ + αi+ βj+ εi jk              i= 1, · · · , p Tempo j= 1, · · · , o Pessoa k= 1, · · · , r Réplicas (24) onde:

• _Y_{i jk}_{representa a k-ésima medição no j-ésimo Fator 2 no i-ésima copo;}

• µ é a Média das medições;

• α_i_{é o efeito do Tempo;}

• β_j _{é o efeito do Fator Pessoa;}

• ε_{i jk}_{é o erro de replicação.}

(94)

Tempo (s) Pessoa Absorcao (g/m2₎ _Desvio 20 Camila 0,11479 0,001618 20 Paula 0,05992 0,000215 22 Paula 0,06308 0,000132 22 Paula 0,06308 0,000132 22 Camila 0,05740 0,000295 20 Camila 0,03021 0,001968 20 Paula 0,08200 0,000055 22 Camila 0,08458 0,000100 20 Camila 0,09667 0,000488 20 Paula 0,05362 0,000439 22 Paula 0,09777 0,000538 22 Paula 0,05362 0,000439 22 Camila 0,09969 0,000631 20 Camila 0,06948 0,000026 20 Paula 0,07569 0,000001 22 Camila 0,08458 0,000100 20 Camila 0,05135 0,000539 20 Paula 0,03785 0,001348 22 Paula 0,08516 0,000112 22 Paula 0,03785 0,001348 22 Camila 0,07854 0,000016 20 Camila 0,09063 0,000258 20 Paula 0,11039 0,001283 22 Camila 0,11177 0,001384 Soma 1,78972 0,013466

(95)

S2_... = 1 p o r − 1 p X i=1 o X j=1 r X k=1 (yi jk − ¯y...)2= 0, 0005855 S2p = 1 p − 1 p X i=1

( ¯yi.. − ¯y...)2 = 0, 0000778

S2_o = 1 o − 1 o X j=1 ( ¯y.j. − ¯y...)2 = 0, 0000069 onde,              p= 1, 2 Pessoa o= 1, 2 Tempo r= 6 Réplica SQTotal = (p o r − 1) S2_... = (23) S2_... = 0, 0134657 SQPessoa = o r (p − 1) S2p = (12) S2p = 0, 000933255

(96)

SQErro = SQTotal−SQPessoa−SQTempo= 0, 012449957

Os graus de liberdade são:

Efeito Grau de Liberdade Pessoa p − 1 = 1 Tempo o − 1 = 1

Erro por − p − o+ 1 = 21 Total por − 1=23

Com isso, o quadrado médio é:

QMPessoa = SQPessoa p − 1 = 0, 000933 1 = 0, 000933 QMTempo = SQTempo o − 1 = 0, 000083 1 = 0, 000083

(97)

QMErro = SQErro p o r − p − o + 1 = 0, 012449957 21 = 0, 000592855

A tabela abaixo apresenta o resumo da análise de variância.

Fonte G.L. Soma Quad Média Quad Estat. F P-valor Tempo 1 0,000083 0,000083 0,139300 0,712719 Pessoa 1 0,000933255 0,000933 1,57417 0,223387 Residuals 21 0,012449957 0,000593

Total 23 0,01347

Tabela 12: Tabela de Análise de Variância

Aqui, temos que P-Valor é dado por:

Tempo P(F1; 21 > 0, 139) = 0, 712719

(98)

Portanto, temos que a estimativa da variabilidade com dois fatores é: ˆ

σ2 _{= QM}

E = 0, 000593

(99)

13. Incerteza de Medição

13.1. Erro de Medição

E= RM − ”VV” (25)

• VV: Verdadeiro Valor → indeterminado • RM: Resultado da Medição

• E: Erro de Medição → indeterminado Obs: O Erro de Medição (E) está entre (−∞;+∞)

(100)

• Incerteza: σ ( Equipamento de Medição ); • RR:σ ( Sistema de Medição ).

(101)

Não confundirσ com erro!

13.2. Tipos de Erros

• Aleatórios; • Sistemáticos; • Grosseiros.

13.3. Incerteza de Medição

Parâmetro associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser fundamentalmente atribuídos a um mensurando (ISO GUM ver. 1995) .

A expressão de um resultado de medição encontra-se incompleta caso esta não se apresente com a declaração da Incerteza de medição associada. A incerteza de um resultado define uma faixa de valores em torno da média das medições, dentro da qual o valor verdadeiro do mensurando se encontra com nível de confiança estabelecido.

(102)

13.4. Tipos de Incertezas de Medição

Por recomendações do INC-1 (1981) [ISO GUM ver.95] os componentes da incerteza foram divi-didos em dois grupos de acordo com o método utilizado para estimar seus valores numéricos:

Tipo A- Aquelas que são avaliadas por métodos estatísticos Tipo B- Aquelas que são avaliadas por outros métodos

Estas categorias aplicam-se somente a incerteza e não são substitutos das palavras "aleatórios"e "sis-temáticos".

13.4.1. Equação de medição

y = f (x1, x2, ..., xj)

y : leitura

x1, x2, ..., xj : f ontes de incerteza

Exemplo: Para medirmos o volume, podemos utilizar o seguinte método: Vol = Massa

Densidade

(103)

13.4.2. Avaliação da Fonte de Incerteza tipo A uA = s √ n onde,

s : desvio padrão correspondente às n leituras; n : número de medidas.

13.4.3. Avaliação da Incerteza tipo B : Herdada uherd =

U(padrao) k onde,

U(padrao) : Incerteza expandida herdada do padrão; k : coeficiente de sensibilidade.

(104)

13.4.4. Avaliação da Incerteza tipo B : Limites de variação u= base 2 √ 3 = 2a 2 √ 3 = a √ 3 Exemplo: Resolução. u(res)= Res 2 √ 3

(105)

13.4.5. Avaliação da Incerteza tipo B : Limites de variação (triangular) u= base 2 √ b = 2a 2 √ b = a √ b

13.5. Incerteza Combinada

(106)

uc = v t _n X i=1 ∂ f ∂xi !2 ×_u2_(x i) onde, ∂ f

∂xi : Representa a derivada parcial da equação de medição em relação à xi, ou seja, o coeficiente de

sensibilidade;

u(xi) : Incerteza padrão da i-ésima fonte de incerteza.

Se f (x)= ±x1±x2±. . . ± xj for linear temos:

uc= q u2_(x 1)+ u2(x2)+ . . . + u2(xj)

13.6. Incerteza Expandida

U= k × uc

A norma ISO GUM ver. 95 recomenda a utilização da equação de Welch-Satterwaite para calcular os graus de liberdade, baseado nos graus de liberdade de cada fonte de incerteza.

(107)

υe f f = _u c uA 4 νA onde,

νA: representa os graus de liberdade do tipo A

k : tabela t-student comυe f f graus de liberdade e 95% de confiança.

Para contribuições da incerteza tipo A, consideramos como graus de liberdade o número de leitura menus 1 vezes o número de pontos de calibração. Para os graus de liberdade referente a contribuições da incerteza tipo B, vamos considerarυi igual a infinito.

13.7. Comprovação Metrológica - Equipamento de Medição

Determinar o erro máximo permissível.

EMP= menor tolerancia medida

(108)

Critério:

maxi{|Ti |+U(i)} ≤ EMP (26)

A comprovação metrológica no caso em que o EMP é função das leituras é discutido abaixo.

(109)

a = 0, 01 b = 0, 01