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c˜

ao entre grafos e matr´

oides

Manoel Lemos

Departamento de Matem´atica, Universidade Federal de Pernam-buco, Cidade Universit´aria, Recife, Pernambuco, 50740-540, Brazil

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O autor ´e apoiado tamb´em pelo CNPq (projetos no. 476224/04-7 e 301178/05-4) e FAPESP/CNPq (projeto no. 2003/09925-5).

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CAP´ıTULO 1

Grafos

1. Defini¸c˜ao

Em um distrito de uma grande cidade americana, que não revelarei o nome, uma companhia telefônica desejava substituir os cabos convencionais de sua malha por cabos de fibra ótica. Na figura a seguir, representamos uma pequena parte desta rede, visando apenas auxiliar a argumenta¸cão subseqüente.

Note que esta malha telefônica é composta de nós e de cabos e que cada cabo liga dois nós. Felizmente existe uma estrutura combinatória que modela perfeitamente esta rede, a saber: um grafo. Formalmente, um grafo G é uma tripla (V, E,I), onde V e E s˜ao conjutos finitos eI ⊆ V × E satisfaz

(1.1) 1≤ |{v ∈ V : (v, e) ∈ I}| ≤ 2,

para qualquer e ∈ E. Os elementos de V e E são chamados respectivamente de vértices e arestas do grafo G. Diremos que uma aresta e é incidente a um vértice v no grafo G quando (v, e)∈ I. A condi¸cão (1.1) nos diz apenas que cada aresta do grafo G ´e incidente a um ou dois vértices. Uma aresta incidente a exatamente um v´ertice de G é dita um la¸co. Denotaremos os conjuntos V, E e I respectivamente por V (G), E(G) eI(G).

Tradicionalmente, para facilitar a compreen¸cão, representa-se um grafo no plano da seguinte forma: cada vértice corresponte a um ponto e cada aresta a uma linha poligonal cont´ınua finita cujos extremos representam os vértices inciden-tes a esta aresta. A figura acima é a representa¸cão de um grafo com 10 vértices e 15 arestas — são 30 as incidências entre vértices e arestas. A descri¸cão de tal grafo utilizando conjuntos, que é trivial para um computador, torna-se confusa para o ser humano: um verdadeiro emaranhado de letras. Caso não acredite no que foi escrito neste parágrafo, para o grafo representado na figura acima, rotule cada vértice por uma letra, cada aresta por um número e escreva o conjunto das incidências. Qual das descri¸cões é a sua favorita? Claro, para grafos com muitos vértices e ares-tas, qualquer uma das duas representa¸cões é inútel para o ser humano. Apenas o computador consegue lidar com tais criaturas.

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4 1. GRAFOS

2. Caminhos e conectividade

Em um grafo G, um caminho γ ´e uma seqüˆencia v0, e1, v1, e2, v2, . . . , vn−1, en, vn, onde v0, v1, v2, . . . , vn são v´ertices de G, e1, e2, . . . , en s˜ao arestas de G e, para i ∈ {1, 2 . . . , n}, os vértices de G incidentes com ei s˜ao vi−1 e vi. Diremos que n ´

e o comprimento de γ, que ´e denotado por|γ|. Chamaremos v0 e vn de v´ertices terminais de γ e v1, v2, . . . , vn−1 de v´ertices interiores. Diremos que γ liga v0 a

vn ou que ´e um v0vn-caminho. O conjunto de v´ertices e arestas do caminho λ s˜ao respectivamente V (λ) ={v0, v1, v2, . . . , vn} e E(λ) = {e1, e2, . . . , en}.

Dois tipos de caminhos receberão aten¸cão especial nestas notas: quando os v´ertices v0, v1, . . . , vn são dois a dois distintos, diremos que o caminho ´e simples; e quando v0= vn,|V (λ)| = |E(λ)| = n, chamaremos o caminho de circuito.

Observe que, no exemplo que motivou a introdu¸cão do conceito de grafo, que foi a malha telefônica, uma liga¸cão telefônica entre dois nós percorre um caminho. As arestas e e f de um grafo G são ditas em paralelo quando e e f s˜ao ambas incidentes a v´ertices u e v, com u̸= v, e e ̸= f. Um grafo G é dito simples quando não possui la¸cos e nem arestas em paralelo. Note que o grafo representado na figura anterior ´e simples. Em um grafo simples, quando uma aresta e ´e incidente aos v´ertices u e v, descrevemos esta situa¸c˜ao por e = uv. Em outras palavras, uma aresta pode ser vista como um par de vértices, isto é, o rótulo que é dado as arestas pode ser dispensado neste caso. Por esta razão, para maioria dos autores os grafos são sempre simples, pois estes podem ser definidos de forma mais elegante, evitando a rela¸cão de incidência. Perde-se pouco restringindo-se ao estudo de grafos simples, já que a maioria dos problemas podem ser modelados com estes grafos. Contudo, não escolhemos esta abordagem, tendo em vista que a contra¸cão de uma aresta, opera¸cão que virá a ser definida nestas notas, pode originar arestas em paralelo. Na representa¸cão de um grafo simples, pelas considera¸cões feitas neste parágrafo, não há a necessidade de rotular suas arestas, já que estas podem ser descritas a partir dos vértices que lhes são incidentes.

a b d c e g f i j h

Em um grafo simples, um caminho pode ser visto apenas como uma seqüência de vértices, em que quaisquer dois consecutivos estão ligados por uma aresta, já que listar esta aresta não acrescenta nenhuma informa¸cão, pois é única. No grafo representado na figura acima, adf gcdej é um aj-caminho — as v´ırgulas tamb´em foram eliminadas desta seqüência. Note que este caminho não é simples. Podemos facilmente obter um aj-caminho simples eliminando do caminho os v´ertices que estão entre dois v´ertices iguais, obtendo o caminho adej. Este processo funciona com qualquer caminho em qualquer grafo. Isto ´e, quando existe um uv-caminho em um grafo G, existe um uv-caminho simples em G. Por exemplo, tome o uv-caminho de menor comprimento.

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3. GRAFOS MINIMALMENTE CONEXOS 5

O grafo que representa a malha telefônica do distrito em questão tem uma propriedade muito importante: ´e conexo, isto ´e, para quaisquer dois de seus vértices, existe um caminho que os liga. Em outras palavras, é poss´ıvel realizar uma liga¸cão telefônica entre quaisquer dois nós da rede. Em geral, define-se uma rela¸cão binária no conjunto dos v´ertices de um grafo G da seguinte forma: para vértices u e v de G, u ∼ v se e somente se existe um uv-caminho em G. Não é dif´ıcil mostrar que esta rela¸cão é de equivalência. Conseqüentemente, o conjunto de vértices do grafo G fica particionado em algumas classes de equivalência, digamos V1, V2, . . . , Vm. Observe que o grafo G é conexo quando m = 1. Note que qualquer aresta de G ´e incidente apenas a vértices pertencentes a uma única destas classes de equivalência. Portanto, existe uma parti¸c˜ao E1, E2, . . . , Em para as arestas de G, onde Ei é o conjunto de arestas de G que s˜ao incidentes apenas a v´ertices em Vi. Seja Gio grafo que possui Vi e Ei como respectivamente conjunto de vértices e de arestas tendo como rela¸cão de incidência I(G) ∩ [Vi× Ei]. Isto é, Gi tem a incidˆencia herdada de G. Diremos que G1, G2, . . . , Gm s˜ao as componentes conexas de G. Note que cada componente conexa de G ´e um grafo conexo. Em muitos problemas, pode-se mostrar que é poss´ıvel chegar a sua solu¸cão, considerando apenas as componentes conexas do grafo. Portanto, esta primeira decomposi¸cão de um grafo, tem um papel muito importante no desenvolvimento da teoria. Mais a frente, consideramos outras decomposi¸cões, que são mais sofisticadas.

3. Grafos minimalmente conexos

Voltemos ao problema original: substituir os cabos convencionais da malha te-lefônica por cabos de fibra ótica. Para telefonia, podemos considerar que os cabos de fibra ótica tem capacidade infinita para realizar liga¸cões. Por esta razão, é sufi-ciente substituir apenas alguns cabos, de forma que a nova malha composta apenas por cabos de fibra ótica seja conexa — minimalmente conexa, pois a companhia desejava gastar o m´ınimo com a mudan¸ca.

Primeiro, iremos esclarecer o que significa um grafo ser minimalmente conexo. Seja e uma aresta de um grafo G. Denotamenos por G\e o grafo tendo respectiva-mente V (G) e E(G)− e como conjunto de vértices e arestas e a incidência herdada de G. Diremos que G\e foi obtido de G removendo-se a aresta e. Caso f seja um aresta de G diferente de e, ´e f´acil concluir que (G\e)\f = (G\f)\e. Isto é, a ordem em que removem-se as arestas de um grafo não ´e relevante. Quando X ⊆ E(G), digamos X ={e1, e2, . . . , en}, definimos G\X como (· · · ((G\e1)\e2)· · · )\en, e

di-remos que G\X foi obtido a partir de G após a remo¸cão do conjunto X de arestas — note que a ordem em que as arestas foram removidas não tem relevância. Um grafo H é chamado de subgrafo de G quando existe X ⊆ E(G) tal que H = G\X. Por defini¸c˜ao, todo subgrafo de G tem o mesmo conjunto de vértices que G. Um grafo conexo G é dito minimalmente conexo quando G\e não é conexo, para toda aresta e de G.

Portanto, a companhia desejava encontrar no grafo conexo, que representa a sua malha telefônica, um subgrafo que fosse minimalmente conexo. O próximo resultado caracteriza tais grafos. Uma árvore ´e um grafo conexo sem circuitos.

Proposiç˜ao 1.1. As seguintes afirma¸cões sobre um grafo G são equivalentes: (i) G é minimalmente conexo.

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6 1. GRAFOS

Esta proposi¸cão segue imediatamente do próximo resultado à respeito de um grafo conexo.

Lema 1.2. Seja G um grafo conexo. Se e ∈ E(G), então G\e é desconexo se e somente se e não está em nenhum circuito de G.

Demonstrac¸˜ao. Sejam v e w os v´ertices de G incidentes a e. Note que v = w quando e for um la¸co. Primeiro mostraremos que,

(1.2) para cada u∈ V (G), existe um uv-caminho ou um uw-caminho em G\e. Seja λ um caminho de menor comprimento de G tendo como vértices terminais u e algum u′ em{v, w}. Pela escolha de λ, λ é simples e V (λ) ∩ {v, w} = {u′}. Em particular, e̸∈ E(λ). Isto é, λ é um caminho de G\e. Portanto (1.2) segue.

Por (1.2), as seguintes afrima¸cões são equivalentes: (i) G\e é conexo;

(ii) v e w est˜ao na mesma componente conexa de G\e; (iii) existe vw-caminho simples em G\e;

(iv) existe circuito em G contendo e.

A ´ultima equivalˆencia segue porque um uv-caminho simples pode ser completado

a um circuito adicionando-se a aresta e.

Pela proposi¸cão anterior, a companhia desejava encontrar um subgrafo do grafo conexo, que representa a malha telefônica, que fosse uma árvore — tal subgrafo é chamado de árvore geradora. Um exemplo de ´arvore geradora do grafo representado na figura anterior é mostrado na próxima figura.

a b d c e g f i j h

Como um grafo conexo possui várias árvores geradoras, a companhia tinha várias op¸cões para fazer a escolha daquela que iria utilizar para trocar os cabos que são representados por suas arestas por fibra ótica. O que fez a companhia? Estimou o custo de substituir cada cabo de sua malha por fibra ótica. De todas as árvores geradoras do grafo conexo que modela a sua malha, desejava escolher aquela que tivesse custo m´ınimo, isto ´e, cuja soma dos custos de substituir os cabos representados por cada uma de suas arestas fosse m´ınimo. Mais uma vez a companhia teve sorte, já que um bom algoritmo para realizar esta tarefa era conhecido.

4. ´Arvores geradoras com custo m´ınimo

Para um grafo G, diremos que uma fun¸c˜ao c : E(G) −→ R+ _´_{e um custo. O}

custo de um subgrafo H de G ´e definido como c(H) = ∑

e_∈E(H) c(e).

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4. ´ARVORES GERADORAS COM CUSTO M´INIMO 7

A seguir será apresentado uma simplifica¸c˜ao do algoritmo de Prim [27] para encon-trar uma árvore geradora possuindo custo m´ınimo em um grafo conexo. Para um grafo G, quando X⊆ E(G), denotamos o subgrafo G\(E(G) − X) de G por G|X. Algoritmo Guloso (primeira versão).

Entrada: um grafo conexo G e uma fun¸c˜ao custo c. Sa´ıda: uma ´arvore geradora T de G com custo m´ınimo.

(1) Escolha v´ertice v de G e fa¸ca V :={v} e E := ∅. (2) Se V = V (G), ent˜ao fa¸ca T := G|E e pare.

(3) Sen˜ao escolha aresta e de G incidente a um v´ertice em V e outro em V (G)− V possuindo custo m´ınimo. Fa¸ca V := V ∪ w e E := E ∪ e, onde w∈ V (G) − V ´e incidente a e. Volte para a segunda etapa.

Na vers˜ao de Prim [27] deste algoritmo, para cada v´ertice em V (G)− V é guardado o valor da aresta de menor custo ligando este v´ertice a um de V . Estes valores s˜ao atualizados em cada etapa. Quando G possui n vértices e m arestas, o custo do algoritmo de Prim ´e O(n2). Como o custo de qualquer algoritmo para tal problema ´e pelo menos O(m), j´a que o custo de cada aresta tem de ser analisado pelo menos uma vez pelo algoritmo, este custo não pode ser melhorado em geral, pois um grafo simples pode ter até(n₂)arestas. Kruskal [10] propˆos algoritmo para este problema cujo custo ´e O(m log m) que ´e prefer´ıvel para grafos com poucas arestas. Para um discussão detalhada sobre tais algoritmos, consulte o excelente livro de Gibbons [8]. a b d c e g f i j h 4 4 4 5 6 4 5 6 6 4 9 8 5 6 9

Vamos analisar o que ocorre quando aplicamos este algoritmo no grafo ilustrado acima, cujo custo está indicado ao lado de cada aresta. Primeiro escolhemos um vértice, para come¸carmos a ´arvore, digamos i. De todas as arestas incidentes a i, escolhemos a de menor custo, que ´e ij para colocarmos em E. Ap´os esta etapa, V = {i, j} e E = {ij}. Agora de todas as arestas incidentes a um vértice em {i, j} e outro fora, escolhemos a de menor custo, que é ih. Fazemos V = {i, j, h} e E ={ij, ih}. Escolhemos sucessivamente as arestas ig e gc. Neste momento V = {c, g, i, j, h} e E = {gc, ig, ij, ih}. Agora o algoritmo nos dá duas escolhas: podemos adicionar cb ou cd ao conjunto E, digamos cd. Mais uma vez temos duas escolhas, podemos adicionar da ou db, digamos da. Neste instante V = {a, c, d, g, i, j, h} e E ={da, cd, gc, ig, ij, ih} e temos duas op¸cões, colocamos ab ou db em E, digamos db. Agora V (G)− V = {e, f} e podemos adicionar a E uma das três arestas: de, df ou gf , digamos df . Por fim, temos de incluir a aresta ef em E. Logo E ={ef, df, db, da, cd, gc, ig, ij, ih}, como ilustrado na figura a seguir.

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8 1. GRAFOS a b d c e g f i j h 4 4 5 6 4 4 8 5 6

Quando aplicamos o Algoritmo Guloso ao grafo da figura anterior, durante várias de suas etapas, haviam mais de uma op¸cão para a escolha da aresta para adicionar a árvore. Conseqüentemente existem várias árvores geradoras com custo m´ınimo neste grafo. Mais a frente, analisaremos que rela¸cões existem entre estas ´

arvores.

A companhia telefônica aplicou este algoritmo para encontrar uma árvore gera-dora com custo m´ınimo. Achou tal árvore e substituiu apenas os cabos correspon-dentes as arestas desta árvore geradora por fibra ótica. Ficou bastante satisfeita com o resultado, pois economizou muito para ter sua rede de fibra ótica, até que em um certo dia, uma outra companhia realizando uma obra cavou a rua e. . . bingo! Cortou um dos cabos de fibra ótica da malha. Conseqüentemente uma parte do distrito não conseguia se comunicar com a outra, e pior, uma parte do distrito não conseguia fazer chamadas externas, tendo em vista que a central telefônica ficava na outra parte. Pânico na companhia, que necessitava substituir o mais rápido poss´ıvel o cabo que foi cortado. Depois deste incidente, a companhia propôs vários proble-mas, que discutiremos mais a frente, visando tornar sua rede mais segura, isto é, tornado-a mais conexa, após a substitui¸cão de alguns outros cabos convencionais, que encontravam-se desativados, por cabos de fibra ótica. Antes de discutirmos estes problemas, falaremos mais um pouco sobre o Algoritmo Guloso. Para isto, necessitamos de mais informa¸cões sobre árvores, que virão a seguir.

Definimos o grau de um vértice v de um grafo G, que será denotado por dG(v), como sendo o número de arestas incidentes a este vértice — sendo que cada la¸co que lhe é incidente contribui com dois para seu grau. Um v´ertice v de uma ´arvore T é dito terminal quando dT(v) = 1, isto é, v ´e incidente a uma única aresta. Em geral, uma árvore possui muitos vértices terminais:

Lema 1.3. Se T é uma árvore com pelo menos dois vértices, então T possui pelo menos dois vértices terminais.

Demonstraç˜ao. Seja γ o caminho simples de maior comprimento em T . Note que|λ| ≥ 1. Vamos mostrar que dT(v) = 1 quando v é um v´ertice terminal de γ. Suponha que dT(v) > 1 e seja e uma aresta incidente a v que n˜ao est´a em γ. Se w ´e o outro v´ertice de G incidente a e, então w ´e um v´ertice de γ, senão γ, e, w ou w, e, γ seria um caminho simples em T com maior comprimento que γ. Se γ′ é o subcaminho de γ tendo w e v como v´ertices terminais, ent˜ao γ′, e, w ou w, e, γ′ é um circuito de T ; uma contradi¸c˜ao. Logo e não existe e dT(v) = 1. A existência de vértices terminais nas árvores nos permite gerá-las indutiva-mente: uma ´arvore com n v´ertices é obtida a partir de uma ´arvore com n− 1 vértices adicionando-se um vértice e uma aresta incidente ao novo vértice e a al-gum dos n− 1 vértices da árvore inicial. Usando-se esta constru¸cão, mostra-se

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4. ´ARVORES GERADORAS COM CUSTO M´INIMO 9

indutivamente que, para qualquer ´arvore T :

(1.3) |E(T )| = |V (T )| − 1.

Na verdade, a identidade acima caracteriza as ´arvores na fam´ılia de grafos conexos, a saber:

Proposiç˜ao 1.4. Se G é um grafo conexo, então |E(G)| ≥ |V (G)| − 1, com igualdade se e somente se G é uma árvore.

Demonstraç˜ao. Observe que todo grafo conexo G possui uma ´arvore gera-dora e conseqüentemente pelo menos |V (G)| − 1 arestas, por (1.3). Quando G possui exatamente este número de arestas será igual a esta árvore geradora. Voltemos a discussão sobre o Algoritmo Guloso. Primeiro buscaremos uma raz˜ao para o nome. Considere um grafo conexo G com uma fun¸cão custo c. O Algoritmo Guloso encontra a ´arvore geradora de G com custo m´ınimo. Seja M um n´umero real maior que o custo de qualquer aresta de G. Observe que d(e) = M − c(e), para e ∈ E(G), define uma outra fun¸cão custo para G. Note que uma ´

arvore geradora T tem custo m´ınimo com rela¸c˜ao a d se e somente se T tem custo m´aximo com rela¸c˜ao c, pois

d(T ) = ∑ e∈E(T )

d(e) = M|E(T )| − ∑ e∈E(T )

c(e) = M (|V (G)| − 1) − c(T ), onde a última igualdade segue de (1.3). Logo o Algoritmo Guloso também pode ser utilizado para encontrar árvores geradoras de custo máximo. Ao aplicarmos o Algoritmo Guloso para a fun¸c˜ao custo d, na segunda etapa, ao escolhermos uma aresta com o custo d m´ınimo, na verdade estamos escolhendo uma aresta com o custo c m´aximo. Isto é, para encontrarmos uma árvore geradora com custo máximo, basta substituirmos a palavra m´ınima por máxima na segunda etapa do algoritmo. Da´ı a razão do seu nome: em cada etapa, o algoritmo escolhe a aresta com maior custo, isto é, é guloso.

A segunda questão diz respeito a corretura do algoritmo. Por que sempre obtemos uma árvore com custo m´ınimo? Necessitamos uma demonstra¸cão de que isto sempre ocorre. Antes disto, apresentaremos um lema que nos permite obter ´

arvores geradoras de um grafo conexo que est˜ao pr´oximas de uma determinada ´

arvore geradora, isto é, são obtidadas a partir desta árvore geradora adicionando-se uma aresta e removendo-se outra. O lema tem duas partes: na primeira, escolhe-se a aresta que vai ser adicionada; e na segunda, a que vai ser removida. Seja H um subgrafo de um grafo G e e uma aresta de G. Denotamos por H +e ao subgrafo de G obtido a partir de H adicionando-se a aresta e. Formalmente, H +e = G|[E(H)∪e].

Lema 1.5. Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G. Então: (i) Se e∈ E(G) − E(T ) e f é uma aresta de G no circuito de T + e, então

(T\f) + e ´e uma ´arvore geradora de G.

(ii) Se f ∈ E(T ) e e é uma aresta de G incidente a vértices de cada uma das componentes conexas de T\f, então (T \f) + e é uma árvore geradora de G.

Demonstração. (i). Pela Proposi¸c˜ao 1.4, T + e n˜ao é uma árvore e con-seqüentemente cont´em um circuito. Se f pertence a este circuito, então (T +e)\f = (T\f) + e é conexo. Pela Proposi¸cão 1.4, (T \f) + e é uma árvore geradora de G, pois ´e um subgrafo conexo de G com o mesmo número de arestas que T .

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10 1. GRAFOS

(ii) Observe que T\f possui duas componentes conexas, digamos T1 e T2. Se e ´e

incidente a um v´ertice de T1e outro de T2, ent˜ao (T\f) + e ´e conexo e

conseqüen-temente, pela Proposi¸cão 1.4, é uma ´arvore geradora de G. Demonstração da corretura do Algoritmo Guloso. Suponha que i-nicialmente o Algoritmo Guloso tenha escolhido o v´ertice v0 para adiconar a V

e que na n-´esima etapa tenha adiconado o v´ertice vn a V e a aresta en a E. Portanto, imediatamente ap´os a n-ésima etapa, V e E ser˜ao iguais respectivamente a{v0, v1, v2, . . . , vn} e {e1, e2, . . . , en}. Por indu¸cão em n, mostraremos que o grafo Gn tendo como conjunto de vértices e arestas respectivamente{v0, v1, v2, . . . , vn} e{e1, e2, . . . , en} e a incidência herdada de G é uma árvore. Este é o caso quando n = 0. Suponha que n ≥ 1 e que Gn−1 seja uma ´arvore. Como Gn é obtido a partir de Gn₋₁ adicionando-se o v´ertice vne a aresta enligando vn a um vértice de Gn₋₁, segue-se que Gn´e conexo. Note que Gné uma ´arvore, pois Gn₋₁não contém circuitos e en n˜ao pertence a nenhum circuito de Gnvisto que Gn\en não é conexo. Conseq¨uentemente, o resultado final T do Algoritmo Guloso ´e uma árvore, que será geradora, j´a que o algoritmo para quando V = V (G). Necessitamos mostrar agora que o custo de T ´e m´ınimo.

Escolha o maior inteiro m tal que existe uma árvore geradora de G com custo m´ınimo T′ tal que Em ⊆ E(T′). Mostraremos que m = n. Suponha que m < n. Pela escolha de m, em+1 ̸∈ E(T′). Pela Proposi¸c˜ao 1.4, T′ + em+1 não é uma ´

arvore. Logo T′+ em+1 contem um circuito C. Como em+1 ´e uma aresta de C incidente a um v´ertice de Vm e a um v´ertice de V (G)− Vm, existe uma aresta e de C diferente de em+1 que é incidente a um v´ertice de Vm e a um vértice de V (G)− Vm. Conseq¨uentemente e estava dispon´ıvel para escolha pelo Algoritmo Guloso na (m + 1)-ésima etapa. Como o algoritomo escolhe em+1, segue que

(1.4) c(em+1)≤ c(e).

Pela Proposi¸c˜ao 1.5(i), T′′= [T′+ em+1]\e ´e uma ´arvore geradora de G. Como T′ tem custo m´ınimo, temos que

c(T′)≤ c(T′′) = [c(T′) + c(em+1)]− c(e) = c(T′) + [c(em+1)− c(e)]. Conseq¨uentemente, c(em+1)≥ c(e). Por (1.4), c(em+1) = c(e). Logo c(T′) = c(T′′) e T′′ também é uma ´arvore geradora de G com custo m´ınimo. Chegamos a uma contradi¸c˜ao, pela escolha de m, já que Em+1 ⊆ E(T′′). Logo m = n. Portanto, T′ = T e T tem custo m´ınimo. Com isto, mostramos a corretura do Algoritmo

Guloso.

5. Outra vers˜ao do Algoritmo Guloso

Por fim, apresentaremos uma outra versão do Algoritmo Guloso. Para tal, faz-se necessário mais uma defini¸c˜ao. Uma floresta ´e um grafo sem circuitos. Note que cada componente conexa de uma floresta é uma árvore.

Algoritmo Guloso (segunda vers˜ao). Entrada: um grafo G e uma fun¸c˜ao custo c.

Sa´ıda: uma floresta F de G tal que cada componente conexa de F ´e uma ´arvore geradora de uma componente conexa de G com custo m´ınimo.

(1) Fa¸ca F := G\E(G) e E := ∅. (2) Se E = E(G), ent˜ao pare.

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6. O GRAFO DAS ´ARVORES GERADORAS 11

(4) Se F + e ´e uma floresta, fa¸ca F := F + e. (5) Volte para a segunda etapa.

Demonstraç˜ao. Considere uma componente conexa H de G. Seja T a flo-resta cujas componentes conexas também s˜ao de F satisfazendo V (T ) = V (H). Observe que T existe porque V (T′)⊆ V (H) ou V (T′)∩ V (H) = ∅, para toda com-ponente conexa T′ de F . Como T é um subgrafo de H, T ser´a uma árvore geradora de H se e somente se T for conexa. Suponha que T n˜ao ´e conexa. Seja T′ uma componente conexa de T . Como H é conexo, existe aresta e de H incidente a um v´ertice em V (T′) e outro em V (H)− V (T′), digamos em V (T′′), onde T′′ é uma outra componente conexa de T . Se K é a componente conexa de T + e contendo e, ent˜ao K\e tem T′e T′′como componentes conexas. Logo e n˜ao pertence a nenhum circuito de T + e. Portanto, T + e ´e uma floresta. Chegamos a uma contradi¸cão. Conseq¨uentemente T ´e uma ´arvore geradora de H.

Escolha ´arvore geradora T′ de H com custo m´ınimo tal que |E(T ) △ E(T′)| seja o menor poss´ıvel. Se T = T′, ent˜ao T tem custo m´ınimo. Podemos assumir que T ̸= T′. Pela Proposi¸c˜ao 1.4, existe e ∈ E(T ) − E(T′). Pela Proposi¸cão 1.6, existe e′ ∈ E(T′)− E(T ) tal que (T \e) + e′ e (T′\e′) + e s˜ao árvores geradoras de H. Como o Algoritmo Guloso escolheu e em vez de e′ segue que c(e)≤ c(e′), já que (T\e) + e′ é uma ´arvore geradora de H. Como T′ tem custo m´ınimo,

c((T′\e′) + e) = [c(T′)− c(e′)] + c(e) = c(T′) + [c(e)− c(e′)]≥ c(T′) e da´ı c(e)≥ c(e′). Conseq¨uentemente c(e) = c(e′) e (T′\e′) + e ´e uma árvore gera-dora de custo m´ınimo de H com mais arestas em comum com T ; uma contradi¸cão. Logo T ´e uma ´arvore geradora de H e a segunda vers˜ao do Algoritmo Guloso está

correta.

Qual a diferen¸ca existente entre estas duas versões do Algoritmo Guloso? Na primeira vers˜ao, em cada etapa, o grafo G|E tem uma única componente que tem arestas, enquanto na segunda vers˜ao, T = G|E pode ter várias componentes conexas possuindo arestas.

6. O grafo das ´arvores geradoras

O próximo resultado será fundamental para compreender um pouco melhor as árvores geradoras com custo máximo ou m´ınimo em um grafo conexo. Será utilizado para construir uma árvores cujo conjunto de vértices é a fam´ılia das árvores geradoras de um grafo conexo.

Proposic¸˜ao 1.6. Sejam T1 e T2 ´arvores geradoras de um grafo conexo G.

Se e1 ∈ E(T1)− E(T2), ent˜ao existe e2 ∈ E(T2)− E(T1) tal que (T1\e1) + e2 e

(T2\e2) + e1 s˜ao ´arvores geradoras de G.

Demonstrac¸˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 1.4, T2+ e1 cont´em um circuito C. Sejam

T₁′ e T₂′ as componentes conexas de T1\e1. Como e1 ´e uma aresta de C incidente

a um v´ertice de T1′ e a outro de T2′, segue-se que C possui uma outra aresta e2

incidente a um v´ertice de T1′ e a outro de T2′. Logo (T1\e1) + e2 ´e uma ´arvore

geradora de G, pelo Lema 1.5(ii). Observe que (T2\e2) + e1 também é uma árvore

(12)

12 1. GRAFOS

A um grafo conexo G podemos associar um grafo simples TG tendo como vértices as ´arvores geradoras de G e no qual dois vértices T1 e T2 estão ligados

por uma aresta se somente se |E(T1)△ E(T2)| = 2. A Proposi¸c˜ao 1.6 nos diz

que o grafo TG ´e conexo. Mais ainda, quando T1 e T2 são vértices deTG, existe um T1T2-caminho emTG de comprimento |E(T1)− E(T2)| — que é o m´ınimo dos

comprimentos dos T1T2-caminhos emTG.

O número de árvores geradoras de um grafo conexo geralmente é exponencial quando comparado ao número de vértices ou arestas. Conseqüentemente o grafo das árvores geradoras é gigantesco quando comparado com o grafo que o originou, na maioria das vezes. Vamos fazer um exemplo. Seja Gn o grafo representado na figura abaixo possuindo n + 1 vértices e 2n arestas, para um inteiro positivo n. As arestas deste grafo estão rotuladas para facilitar a descri¸cão das árvores geradoras.

a1 a2 a3 an

b1 b2 b3 bn

. . .

Observe que um subgrafo T de Gn ´e uma ´arvore geradora de Gn se e somente se |E(T )∩{ai, bi}| = 1, para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}. Podemos definir uma bije¸c˜ao entre V (TGn) e{0, 1}

n_{da seguinte forma: para uma ´}_{arvore geradora T de G}

nassocie um vetor vT = (v1, v2, . . . , vn) de {0, 1}n tal que, para todo i∈ {1, 2, . . . , n}, vi = 0, quando ai ∈ E(T ), e vi = 1, quando bi ∈ E(T ). Note que T1T2 ∈ E(TGn), para

T1, T2∈ V (TGn), se e somente se vT1e vT2diferem em exatamente uma coordenada.

Isto ´e, esta bije¸c˜ao induz um isomorfismo entreTGn e o cubo Cn de dimens˜ao n.

(O cubo Cn tem como v´ertices{0, 1}n _{e dois destes v´}_{ertices s˜}_{ao ligados por uma} aresta se e somente se diferem em uma ´unica coordenada.)

Para um grafo H e V ⊆ V (H), seja E o conjunto de arestas de H que são incidentes apenas a v´ertices em V . Denotamos por H[V ] ao grafo que tem V e E como conjunto de v´ertices e arestas respectivamente e [V × E] ∩ I(H) como rela¸cão de incidênica, isto é, herda a incidˆencia de H.

Aplicaremos a Proposi¸c˜ao 1.6 a duas ´arvores geradoras T1 e T2 de um grafo

conexo G que possuem custo m´ınimo. Observe que

c(T1)≤ c((T1\e1) + e2) = c(T1) + [c(e2)− c(e1)]

e conseq¨uentemente c(e1)≤ c(e2). De maneira an´aloga, mostra-se que c(e2)≤ c(e1)

e da´ı c(e1) = c(e2). Portanto, (T1\e1) + e2 e (T2\e2) + e1 s˜ao ´arvores geradoras

com custo m´ınimo. LogoTG[Amin] ´e um grafo conexo, onde Amin ´e o conjunto de ´

arvores geradoras de G possuindo custo m´ınimo. O mesmo ocorre caso fa¸camos a restri¸cão deTG ao conjunto de árvores com custo máximo.

Ao particionar-se o conjunto de árvores geradoras de um grafo conexo em classes de acordo com o custo, várias quest˜oes naturais sugem. Kano [9] propˆos quatro cojecturas, das quais apenas uma foi solucionada por Mayr e Plaxton [19]. Seja C1, C2, . . . , Cma seqüência crescente de todos os poss´ıveis custos das árvores gerado-ras de um grafo conexo G. Uma árvore com custo C1ou Cmpossui respectivamente

custo m´ınimo ou m´aximo. A conjectura de Kano solucionada por Mayr e Plaxton foi a seguinte:

(13)

7. BUSCA EM LARGURA 13

Teorema 1.7. Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G tal que c(T ) = C1. Se i ∈ {1, 2, . . . , m}, então existe árvore geradora T′ de G tal que

c(T′) = Ci e|E(T ) − E(T′)| ≤ i − 1.

Contudo as três outras ainda estão em aberto. Enunciaremos apenas mais uma, já que não queremos introduzir mais nota¸cão e quebrar o fluxo da narrativa.

Conjectura 1.8. Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G tal que c(T ) = Ci. Se j ∈ {1, 2, . . . , i}, então existe árvore geradora T′ de G tal que c(T′) = Cj e |E(T ) − E(T′)| ≤ i − 1.

O leitor interessado nas duas outras conjecturas de Kano pode consultar o artigo original de Kano [9] ou o de Mayr e Plaxton [19], onde ´e apresentada mais uma conjectura cuja veracidade implica todas as conjecturas de Kano, a saber:

Conjectura 1.9. Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G tal que c(T ) = Ci. Se j ∈ {1, 2, . . . , m}, então existe árvore geradora T′ de G tal que c(T′) = Cj e |E(T ) − E(T′)| ≤ max{i, j} − 1.

Estas conjecturas s˜ao as melhores poss´ıveis como veremos a seguir. Associe um custo as arestas de Gn de forma que c(bi)− c(ai) = 1, para todo i∈ {1, 2, . . . , n}. Seja Tmin a ´arvore geradora de Gn satisfazendo E(Tmin) ={a1, a2, . . . , an}. Se T ´

e uma ´arvore geradora de Gn, ent˜ao

c(T ) = c(Tmin) +|E(T ) − E(Tmin)|.

Neste caso m = n + 1 e n˜ao ´e poss´ıvel substituir max{i, j} − 1 por uma fun¸c˜ao menor na Conjectura 1.9.

7. Busca em largura

Encerraremos este cap´ıtulo sobre grafos apresentado um outro algoritmo clássico também tendo como sa´ıda uma árvore geradora de um grafo conexo. O algoritmo mune esta árvore com uma fun¸cão que, para cada vértice, associa a distância deste a um vértice fixo do grafo. Primeiro, definiremos a no¸cão de distância entre vértices de um grafo. A distância entre os vértices u e v de um grafo G ´e definida como:

dG(u, v) = min{|λ| : λ ´e um uv-caminho de G}.

Observe que dG(u, v) =∞ quando u e v estão em diferentes componentes conexas de G. Note que esta distˆancia possui as propriedades usuais de qualquer fun¸cão distância.

Busca em largura.

Entrada: um grafo G e um v´ertice v de G.

Sa´ıda: uma árvore geradora T da componente conexa H de G contendo v; e uma fun¸c˜ao f satisfazendo f (u) = dG(u, v), para todo u∈ V (G). (1) Fa¸ca V :={v}, E := ∅, f(v) := 0 e f(u) := ∞, para todo u ∈ V (G) − v. (2) Inicie com uma lista de vértices possuindo um único elemento, que ´e v. (3) Retire o primeiro v´ertice u da lista.

(4) Para cada vizinho w de u em G tal que f (w) =∞ fa¸ca: V := V ∪{u}, E := E∪ {e}, f(w) := f(u) + 1 e adicione w ao final da lista, onde e ´e uma aresta de G incidente a u e a w.

(14)

14 1. GRAFOS

(6) Pare retornando a ´arvore T = (V, E,I), onde I = I(G) ∩ [V × E], e a fun¸c˜ao f .

8. Exerc´ıcios

(1) A seguinte defini¸c˜ao para um circuito em um grafo G possui um erro sutil. Um caminho v0, e1, v1, e2, v2, . . . , vn−1, en, vn ´e um circuito quando v0= vn e v1, v2, . . . , vn s˜ao dois a dois diferentes.

(a) Vocˆe ´e capaz de detectar a falha?

(b) Caso tenha respondido afirmativamente o primeiro item, corrija esta defini¸c˜ao.

(2) Mostre que, para um grafo G, ∑ v∈V (G)

dG(v) = 2|E(G)|.

Conclua que G possui um n´umero par de v´ertices de grau impar. (3) Mostre que um grafo simples G:

(i) N˜ao possui simultaneamente um v´ertice de grau 0 e outro de grau |V (G)| − 1.

(ii) Possui pelo menos dois v´ertices com o mesmo grau. Sugest˜ao: Use o princ´ıpio da casa dos pombos.

(4) Descreva todos os grafos simples com exatamente um par de v´ertices pos-suindo o mesmo grau.

Sugestão: Quando |V (G)| > 2, existe vértice v de G tal que dG(v) ∈ {0, |V (G)| − 1} e o grafo obtido a partir da remo¸cão de v juntamente com todas as arestas que lhe são incidentes possui exatamente um par de vértices possuindo o mesmo grau.

(5) Para um grafo G, quando V (G) ={v1, v2, . . . , vn} e dG(v1) ≤ dG(v2)≤

· · · ≤ dG(vn), diremos que dG(v1), dG(v2), . . . , dG(vn) ´e a seqüência de graus de G. Pode existir um grafo simples possuindo cada uma das se-guintes seqüências de graus:

(i) 1,1,2,2,3,4,5,5,6,6. (ii) 0,1,2,3,4,5,6,6,6,9. (iii) 1,2,2,3,3,3,4,6,9,9.

(6) Construa todos os grafos conexos, a menos de isomorfismo, possuindo a seguinte seq¨uˆencia de graus 3,3,3,3,3,3.

(7) Seja e uma aresta de um grafo conexo G. Mostre que G\e possui no m´aximo duas componentes conexas.

(8) Mostre que cada uma das seguintes propriedades caracteriza uma árvore: (i) Cada par de vértices está ligado por um único caminho simples. (ii) Um único novo circuito é criado ao adicionarmos uma nova aresta

incidente a qualquer par de seus v´ertices. (9) O grau m´ınimo de um grafo G ´e definido como

δ(G) = min{dG(v) : v∈ V (G)}.

Quando δ(G) ≥ 2 e G ´e simples, mostre que G possui um circuito de comprimento pelo menos δ(G) + 1.

Sugest˜ao: Considere os vizinhos de um v´ertice terminal de um caminho simples de comprimento m´aximo em G.

(15)

8. EXERC´ICIOS 15

(10) O grau m´aximo de um grafo G ´e definido como ∆(G) = max{dG(v) : v∈ V (G)}.

Mostre que toda ´arvore T , com pelo menos dois v´ertices, possui pelo menos ∆(T ) v´ertices de grau 1.

Sugest˜ao: Considere todos os caminhos simples de comprimento m´aximo tendo v como v´ertice terminal, onde v satisfaz dT(v) = ∆(T ).

(11) Demonstre o seguinte teorema de Euler, que foi estabelecido no que é hoje considerado o primeiro artigo em teoria dos grafos [7]: Para um grafo conexo G, as seguites afirma¸cões são equivalentes:

(i) O grau de todo v´ertice de G ´e par.

(ii) Existe um caminho fechado em G utilizando cada aresta de G exa-tamente uma ´unica vez.

(12) Mostre que as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes para um grafo conexo G:

(i) Existe um caminho utilizando cada aresta de G exatamente uma vez. (ii) Existem no m´aximo dois v´ertices com grau impar em G.

(13) Mostre que o número de arestas com determinado custo é um invariante para as árvores geradoras com custo m´ınimo em um grafo ponderado. Esta propriedade vale para as árvores geradoras com um custo fixo? (14) Que adapta¸cões têm de ser feitas na primeira versão do Algoritmo Guloso,

inclusive na sa´ıda, para que este possa receber como entrada um grafo qualquer.

(15) Sejam T1 e T2 ´arvores geradoras de um grafo conexo G. Mostre que

d_T_G(T1, T2) =|E(T1)− E(T2)|.

(16) Mostre que o algoritmo busca em largura cumpre o que promete.

(17) Um grafo G ´e dito bipartido quando existe uma parti¸cão{A, B} de V (G) tal que toda aresta de G ´e incidente a um v´ertice de A e a outro de B. Mostre que um grafo é bipartido se e somente se não possui circuito de comprimento impar.

(18) Para um grafo simples G que n˜ao possui triângulos, isto é, circuitos de comprimento três, encontre um limite superior ótimo, em termos de |V (G)|, para |E(G)|. Caracterize os grafos que atingem tal limite. (19) Seja G um grafo possuindo um circuito C e seja λ um caminho cujos

v´ertices terminais est˜ao em C. Mostre que G possui um circuito de com-primento pelo menos√2|λ|.

(20) Mostre que o número de ´arvores geradoras do grafo completo Kn com n vértices ´e nn−2_{. (Um grafo ´}_{e dito completo quando for simples e para cada} par de vértices existe uma aresta que é incidente a ambos os vértices do par.)

Sugest˜ao: Mostre que existe uma bije¸c˜ao entre a fam´ılia de ´arvores ge-radoras de Kn e{1, 2, . . . , n}n−2_.

(16)

(17)

CAP´ıTULO 2

Matr´

oides

O Algoritmo Guloso é extremamente eficiente, pois em cada uma de suas eta-pas, usa apenas informa¸cões locais para escolher a aresta a ser adicionada à árvore geradora que está sendo criada. Que outros problemas também podem ser re-solvidos usando uma adapta¸cão deste algoritmo? Nesta se¸cão, iremos responder esta questão, introduzindo uma outra estrutura combinatória, que será chamada de matróide.

Seja E o conjunto de arestas de um grafo G. Considere a seguinte fam´ılia de subconjuntos de E:

(2.1) I = {I ⊆ E : G|I ´e uma floresta}.

Note queI possui as seguintes propriedades: (I1) ∅ ∈ I; e

(I2) se J⊆ I e I ∈ I, ent˜ao J ∈ I.

Diremos que I ∈ I é maximal com respeito a ordem de inclusão ou simplesmente maximal quando não existe J ∈ I tal que I ( J.

Para qualquer fam´ılia de subconjuntos de um conjunto finito E satisfazendo (I1) e (I2) e fun¸c˜ao custo c : E −→ R, pode-se considerar a seguinte vers˜ao do Algoritmo Guloso:

Algoritmo Guloso (terceira vers˜ao).

Entrada: uma fam´ıliaI de subconjuntos de E satisfazendo (I1) e (I2); e uma fun¸c˜ao custo c : E−→ R.

Sa´ıda: um elemento maximal B deI. (1) Fa¸ca I :=∅ e C := ∅.

(2) Se C = E, ent˜ao pare e retorne B, onde B := I.

(3) Sen˜ao escolha aresta e∈ E − C com custo m´aximo e fa¸ca C := C ∪ e. (4) Se I∪ e pertence a I, fa¸ca I := I ∪ e.

(5) Volte para a segunda etapa.

No caso em que I é definida como em (2.1), a terceira versão do Algoritmo Guloso é obtida da segunda substitu´ındo-se na terceira etapa a palavra “m´ınimo” por “máximo”. Portanto, a sa´ıda da terceira versão do Algoritmo Guloso é um elemento maximal B de I com custo máximo, pelas considera¸cões feitas na se¸cão anterior.

Estabeleceremos que a sa´ıda B da terceira vers˜ao do Algoritmo Guloso é ma-ximal emI. Argumentaremos por contradi¸cão. Suponha que B ( J, para algum J ∈ I. Escolha f ∈ J − B. Quando, na etapa (3) do Algoritmo Guloso e assumiu o valor f , na etapa seguinte e não foi adicionando ao conjunto I e da´ı I∪ f não

(18)

18 2. MATR ´OIDES

pertence aI. Mas

I∪ f ⊆ B ∪ f ⊆ J; uma contradi¸c˜ao por (I2).

Em geral, quando E ´e um conjunto finito e I é uma fam´ılia de subconjuntos de E, diremos que (E,I) é uma matróide M quando I satisfaz (I1), (I2) e

(I3) para qualquer fun¸c˜ao custo c : E −→ R, a sa´ıda da terceira versão do Algoritmo Guloso é um elemento maximal deI possuindo custo máximo. Denotamos E e I respectivamente por E(M) e I(M). Os membros de E(M) e I(M) são chamados respectivamente de elementos de M e independentes de M.

Quando I é definido como em (2.1), denotamos a matróide (E, I) por M(G). Uma matr´oide M é dita gráfica quando existe um grafo G tal que M = M (G). Nem todas as matróides são gráficas, como veremos a seguir.

Sejam r e n inteiros tais que 0≤ r ≤ n. Se E = {1, 2, . . . , n} e I é a fam´ılia de subconjuntos de E com no máximo r elementos, ent˜ao I satisfaz (I1) e (I2). ComoI também satisfaz (I3), tem-se que (E, I) é uma matróide, sendo denotada por Ur,n— a sa´ıda do Algoritmo Guloso ´e o r-subconjunto de E possuindo o maior custo. Note que U2,4 não é uma matróide gráfica.

Diremos que um conjunto de arestas X de um grafo G é um emparelhamento de G quando dG|X(v)≤ 1 para todo vértice v de G. Em outras palavras, quando X n˜ao contém arestas diferentes incidentes com o mesmo vértice. Para um grafo G, a fam´ılia

I = {X ⊆ E(G) : X ´e um emparelhamento de G}

satisfaz (I1) e (I2). Contudo, esta fam´ılia n˜ao satisfaz (I3), como veremos no pr´oximo exemplo. Seja G o grafo representado na figura a seguir, com custos indicados ao lado de cada aresta.

9 1

8 8

Observe que o Algoritmo Guloso, quando aplicado a fam´ılia dos emparelhamentos do grafo com custo acima, primeiro escolhe a aresta de custo 9 e depois a de custo 1, obtendo um emparelhamento com custo 10. Contudo, o emparelhamento formado pelas duas arestas com custo 8 possui custo máximo que é 16. Portanto, o Algoritmo Guloso nem sempre funciona para esta fam´ılia e (I3) n˜ao é satisfeita.

2. Caracterizando os independentes de uma matr´oide

Assumindo-se (I1) e (I2), a pr´oxima proposi¸c˜ao estabelece que (I3) e (I3)’ são equivalentes. Em outras palavras, na defini¸cão de matróide poder´ıamos ter solicitado que a fam´ılia de independentes satisfizesse (I1), (I2) e (I3)’. Como a propriedade (I3)’ ´e mais f´acil de ser verificada que (I3), o pr´oximo resultado será utilizado para comprovar que certas fam´ılias consistem nos independentes de uma matróide.

Proposiç˜ao 2.1. Seja I uma fam´ılia de subconjuntos de um conjunto finito E satisfazendo (I1) e (I2). Ent˜ao (E,I) é uma matróide se e somente se

(19)

2. CARACTERIZANDO OS INDEPENDENTES DE UMA MATR ´OIDE 19

(I3)’ para quaisquer I e J pertencentes a I tais que |I| < |J|, existe e ∈ J − I tal que I∪ e pertence a I.

Para a demonstra¸cão desta proposi¸cão, o seguinte lema será necessário: Lema 2.2. Seja I uma fam´ılia de subconjuntos de um conjunto finito E satis-fazendo (I3)’. Ent˜ao todos os elementos maximais de I possuem a mesma cardi-nalidade.

Demonstraç˜ao. Sejam I e J elementos de I maximais com rela¸cão a ordem de inclusão. Queremos mostrar que |I| = |J|. Suponha que |I| ̸= |J|, digamos |I| < |J|. Por (I3)’, existe e ∈ J − I tal que I ∪ e é um elemento de I; uma contradi¸c˜ao a maximalidade de I. Logo |I| = |J| e o resultado segue. Demonstração da Proposiç˜ao 2.1. Suponha que (E, I) seja uma matr´oide. Mostraremos que (I3)’ ´e satisfeita. Escolha um n´umero real ϵ tal que 0 < ϵ≤ |J|−1. Considere a seguinte fun¸cão custo:

c(e) =    1 + ϵ se e∈ I 1 se e∈ J − I 0 se e∈ E − (I ∪ J)

Aplicando-se o Algoritmo Guloso `a fam´ıliaI e ao custo c encontra-se um elemento B deI possuindo custo m´aximo, pois I satisfaz (I3). Observe que

(2.2) I⊆ B,

pois os elementos de I possuem o maior custo e I ∈ I. Mostraremos que

(2.3) B∩ (J − I) ̸= ∅.

Suponha que (2.3) ´e falsa. Por (2.2), tem-se que B = I ∪ X para algum X ⊆ E− (I ∪ J). Logo

c(B) = (1 + ϵ)|I| + 0|X| = |I| + ϵ|X| < |I| + 1 ≤ |J| ≤ c(J) ≤ c(B′), onde B′ ´e um elemento maximal deI contendo J; uma contradi¸c˜ao ao fato de B ter custo m´aximo. Logo (2.3) vale. Escolha e∈ B ∩ (J − I). Por (2.2), tem-se que I∪ e ⊆ B e da´ı I ∪ e ∈ I, por (I2). Logo (I3)’ vale.

Agora assuma (I3)’. Para mostrarmos que (E,I) é uma matróide, temos de verificar apenas a veracidade de (I3), já que (I1) e (I2) valem, por hip´otese. Aplicando-se o Algoritmo Guloso à fam´ıliaI e ao custo c, escolhe-se os elementos e1, e2, . . . , en de sua sa´ıda B nesta ordem. Seja B′ um elemento maximal deI com custo m´aximo. Como B e B′são elementos maximais deI, temos que |B| = |B′| = n, pelo Lema 2.2. Podemos assumir que B′={f1, f2, . . . , fn} e

c(f1)≥ c(f2)≥ · · · ≥ c(fn). Vamos mostrar que

(2.4) c(ei)≥ c(fi), para todo i∈ {1, 2, . . . , n}.

Por (I3)’, existe fj ∈ {f1, . . . , fi}−{e1, . . . , ei−1} tal que {e1, . . . , ei−1, fj} pertence a I. Como o Algoritmos Guloso escolheu ei em vez de fj na i-´esima vez que executou o passo (3), temos que c(ei) ≥ c(fj). Mas c(fj) ≥ c(fi), pois j ≥ i. Conseq¨uentemente c(ei)≥ c(fi) e (2.4) ´e verdadeira. Logo

(2.5) c(B) = n ∑ i=1 c(ei)≥ n ∑ i=1 c(fi) = c(B′)≥ c(B).

(20)

20 2. MATR ´OIDES

Conseq¨uentemente vale a igualdade em (2.5). Portanto B tamb´em tem custo

m´aximo, como desej´avamos mostrar.

Da igualdade em (2.5), conclu´ımos que vale a igualdade em (2.4) para todo i∈ {1, 2 . . . , n}. Portanto, o número de elementos com determinado custo pertencente a um elemento deI possuindo custo máximo é invariante. Mais precisamente, se B e B′ são elementos deI com custo máximo e γ é um número real, então

|{e ∈ B : c(e) = γ}| = |{e ∈ B′_{: c(e) = γ}_}|.

Utilizaremos a Proposi¸c˜ao 2.1 para introduzir outros exemplos de matr´oides. Seja A uma matriz m× n com entradas em um corpo k. Podemos ver as colunas de A como vetores em km_{, digamos c}

1, c2, . . . , cn. Considere E ={1, 2, . . . , n} e I = {I ⊆ E : {ci: i∈ I} ´e linearmente independente em km}.

Observe thatI satisfaz (I1) e (I2). Agora estabeleceremos que I satisfaz (I3)’. Seja I e J membros deI tais que |I| < |J|. Cosidere o subespa¸co V de km gerado por {ci : i∈ I ∪ J}. Observe que dimkV ≥ |J|. Como qualquer base de V tem cardinalidade dimkV e todo conjunto de vetores linearmente independente em V pode ser completado a uma base de V usando elementos de {ci : i ∈ I ∪ J}, em particular {ci : i ∈ I}, existe j ∈ J − I tal que {ci : i∈ I} ∪ {cj} é linearmente independente in k. Logo (I3)’ ´e satisfeita porI. Portanto, (E, I) é uma matróide, pela Proposi¸cão 2.1, e ser´a denotada por Mk[A]. Este exemplo justifica o nome dado por Whitney em [36] a esta estrutura combinat´oria. Mais ainda, deixa claro a razão para chamar os elementos deI de independentes.

Aproveitando este exemplo e utilizando a analogia com Álgebra Linear, vamos introduzir mais nomeclatura. Seja M = (E,I) uma matróide. Os elementos maxi-mais deI são ditos bases de M. Pela Proposi¸cão 2.1 e Lema 2.2, todas as bases de M possuem a mesma cardinalidade, conhecida como o posto de M e denotada por r(M ). Diremos que um subconjunto de E é dependente em M quando n˜ao pertence a I. Agora estenderemos a terminologia de grafos para matróides. Os dependen-tes minimais, com rela¸cão a ordem de inclusão, s˜ao chamados de circuitos de M . Quando M = M (G), para algum grafo G, C é um circuito de M se e somente se C é o conjunto de arestas de um circuito de G. Diremos que e∈ E(M) é um la¸co de M quando{e} ∈ C(M). Elementos distintos e e f de M são ditos em paralelo quando{e, f} ∈ C(M). Denotaremos por B(M) e C(M) respectivamente a fam´ılia das bases e dos circuitos de M .

Diremos que matr´oides (E,I) e (F, J ) são isomorfas quando existe uma bije¸cão ψ : E −→ F tal que, para todo I ⊆ E, I ∈ I se e somente se ψ(I) = {ψ(e) : e ∈ I} ∈ J . Uma matróide M é linearmente repesentável sobre o corpo k quando existe uma matriz A com entradas em k tal que M e Mk[A] s˜ao isomorfas. Por exemplo, U2,4 é linearmente representável sobre todos os corpos com exce¸cão deZ2.

Seja K uma extens˜ao do corpo k. Para um subconjunto finito E de K, consi-deramos a seguinte fam´ılia:

I = {I ⊆ E : I ´e algebricamente independente sobre k}.

Tem-se que I satisfaz (I1), (I2) e (I3)’. Por esta razão (E, I) é uma matróide. Toda matr´oide M que é isomorfa a (E,I) é dita algebricamente representável so-bre o corpo k. Observando que as independˆencias linear e algébrica possuem as mesmas propriedades, van der Waerden [34] chegou de maneira independente aos

(21)

3. A FUNC¸ ˜AO POSTO 21

axiomas introduzidos por Whitney [36] para matr´oides. Na verdade, tanto Whit-ney quanto van der Waerden utilizaram um axioma equivalente a (I3) e (I3)’, que apresentaremos a seguir:

Proposiç˜ao 2.3. Seja I uma fam´ılia de subconjuntos de um conjunto finito E satisfazendo (I1) e (I2). Ent˜ao (E,I) é uma matróide se e somente se

(I3)” para qualquer X⊆ E, os elementos de I contidos em X e maximais com rela¸c˜ao a ordem de inclus˜ao possuem a mesma cardinalidade.

Demonstração. Pela Proposi¸cão 2.1 ´e suficiente monstrar que (I3)’ e (I3)” são equivalentes. Assuma (I3)’. Sejam I e J elementos de I contidos em X e maximais com rela¸cão a ordem de inclusão. Suponha que |I| ̸= |J|, digamos |I| < |J|. Por (I3)’, existe e ∈ J − I tal que I ∪ e ∈ I. Uma contradi¸cão a maximalidade de I, pois I∪ e ⊆ I ∪ J ⊆ X. Logo |I| = |J| e (I3)” segue.

Agora suponha que (I3)” ´e verdadeira. Sejam I e J pertencentes aI tais que |I| < |J|. Sejam I′ _{e J}′ _{elementos de}_{I contidos em I ∪ J e maximais com rela¸cão} a ordem de inclus˜ao tais que I⊆ I′ e J ⊆ J′. Por (I3)”,|I′| = |J′|. Como J ⊆ J′, temos que|I′| ≥ |J| > |I|. Como I ⊆ I′, temos que I′− I ̸= ∅. Escolha e ∈ I′− I. Observe que e∈ J −I, pois I′⊆ I ∪J. Por (I2), I ∪e pertence a I e (I3)’ vale. Até o momento, apresentamos três defini¸cões equivalentes de matróides, a sa-ber: (E,I) é uma matróide quando I é uma fam´ılia de subconjuntos do conjunto finito E satisfazendo: (I1); e (I2); e (I3) ou (I3)’ ou (I3)”. Como a fam´ılia dos conjuntos independentes de uma matróide fica completamente determinada quando se conhece a fam´ılia das bases ou dos dependentes ou dos circuitos desta matróide, é poss´ıvel obter axiomas para definir matróides através dos circuitos, das bases ou dos dependentes. Várias maneiras equivalentes para definir matróides estão presentes nos exerc´ıcios. Portanto, divirtam-se checando estas equivalências.

Agora apresentamos uma conjectura de Mason [15] a respeito do n´umero de conjuntos independentes em uma matróide que possuem determinada cardinalidade. Conjectura 2.4. Para uma matróide M , seja in =|{I ∈ I(M) : |I| = n}|. Se n∈ {1, 2, . . . , r(M) − 1}, então:

i2_n≥ in−1in+1. 3. A fun¸c˜ao posto

Para uma matr´oide M , definimos o posto de X ⊆ E(M) em M como sendo a cardinalidade de um elemento deI(M) contido em X e maximal com rela¸cão a ordem de inclusão. Pela Proposi¸cão 2.3, o posto está bem definido. Denotamos o posto de X em M por rM(X) ou, quando n˜ao gerar d´uvida, apenas por r(X). Note que a fun¸cão posto é limitada, pois

0≤ r(X) ≤ |X|, para todo X⊆ E(M), e ´e crescente, isto ´e,

r(X)≤ r(Y ),

quando X⊆ Y ⊆ E(M). A fun¸c˜ao posto possui a seguinte propriedade que ´e muito especial, chamada de submodularidade.

(22)

22 2. MATR ´OIDES

Proposiç˜ao 2.5. Seja M uma matróide. Se X e Y são subconjuntos de E(M ), então

r(X∩ Y ) + r(X ∪ Y ) ≤ r(X) + r(Y ).

Demonstrac¸˜ao. Sejam I e J independetes maximais com rela¸c˜ao a ordem de inclus˜ao contidos respectivamente em X∩ Y e X ∪ Y tais que I ⊆ J. Observe que (2.6) |X ∩ J| + |Y ∩ J| = |(X ∪ Y ) ∩ J| + |(X ∩ Y ) ∩ J| = |J| + |I|.

Por defini¸c˜ao, o lado direito de (2.6) ´e igual a r(X∪ Y ) + r(X ∩ Y ). Como X ∩ J e Y ∩ J s˜ao independentes, por (I2), contidos em respectivamente X e Y , tem-se que o lado esquerdo de (2.6) ´e menor ou igual a r(X) + r(Y ). O resultado segue

destas duas observa¸c˜oes.

4. Exerc´ıcios

(1) Determine todos os valores de r e n para os quais Ur,n´e gr´afica.

(2) Determine todos os valores de r e n para os quais Ur,n ´e bin´aria, isto ´e, linearmente represent´avel sobreZ2.

(3) Caracterize quando U2,n´e linearmente represent´avel sobre um corpo k.

(4) Para um grafo G, mostre que

rM (G)(X) =|V (G)| − ω(G|X),

para todo X⊆ E(G), onde ω(H) denota o n´umero de componentes cone-xas de um grafo H.

(5) Seja A uma matriz com entradas em um corpo k. Descreva os la¸cos e os elementos em paralelo de Mk[A].

(6) Caracterize quando um elemento ´e um la¸co ou um par de elementos est˜ao em paralelo em uma matr´oide M em termos da:

(i) Fam´ılia de independentes de M . (ii) Fam´ılia de bases de M .

(iii) Fun¸c˜ao posto de M . (7) Considere a seguinte matriz:

A =   10 01 00 11 01 10 11 0 0 1 1 1 1 0  

A matr´oide de fano F7´e definida como MZ2[A]. Descreva todos os corpos

k tais que F7´e isomorfa a Mk[A]. Alguma das Mk[A] ´e gr´afica?

(8) Seja A uma matriz sobre um corpo k. Mostre que Mk[A] = Mk[B] quando B é obtidada a partir de A atrav´es uma seqüência de opera¸cões descritas a seguir:

(i) Multiplica¸c˜ao de uma linha por uma constante diferente de zero. (ii) Permuta¸c˜ao de duas linhas.

(iii) Soma de uma linha com um m´ultiplo de uma outra.

(iv) Elimina¸c˜ao de uma linha nula (desde que a matriz A possua pelo menos duas linhas).

(v) Multiplica¸cão de uma coluna por uma constrante direrente de zero. (vi) Permuta¸cão de duas colunas (desde que os rótulos destas as

(23)

4. EXERC´ICIOS 23

(9) Utilizando os exerc´ıcios 7 e 9, mostre que para toda matr´oide M linear-mente represnt´avel sobre um corpo k tal que r = r(M )≥ 1, existe uma matriz A com entradas em k tal que M ´e isomorfa `a Mk[A] e:

(i) A = [Ir|B], onde Ir´e a matriz identidade r× r.

(ii) O primeiro elemento n˜ao-nulo de cada coluna de B, caso exista, ´e igual a 1.

(iii) O primeiro elemento n˜ao-nulo de cada linha de B, caso exista, ´e igual a 1.

(10) Utilizando o exerc´ıcio anterior, caracterize os corpos para os quais F7 ´e

linearmente represent´avel.

(11) Sejam M1 e M2matr´oides sobre o mesmo conjunto E. Mostre que:

(i) (E,I(M1)∪ I(M2)) pode n˜ao ser uma matr´oide.

(ii) (E,I(M1)∩ I(M2)) pode n˜ao ser uma matr´oide.

(12) SejaI uma fam´ılia de subconjuntos de um conjunto finito satisfazendo as propriedades (I1) e (I2). Mostre que (E,I) ´e uma matr´oide se e somente seI satisfaz um dos seguintes propriedades:

(I3)(3) para quaisquer I e J pertencentes a I tais que |I| = |J| − 1, existe e∈ J − I tal que I ∪ e pertence a I.

(I3)(4) para quaisquer I e J pertencentes a I tais que |J − I| = 2 e |I − J| = 1, existe e ∈ J − I tal que I ∪ e pertence a I.

(Foi Nakasawa [22] que mostrou a equivalˆencia entre estes axiomas.) (13) Seja E um conjunto finito e r : 2E _{→ Z. Mostre que r ´e a fun¸c˜ao posto}

de alguma matr´oide se e somente se r satisfaz as seguintes propriedades: (R1) 0≤ r(X) ≤ |X|, para todo X ⊆ E.

(R2) r(X)≤ r(Y ), para todo X ⊆ Y ⊆ E.

(R3) r(X) + r(Y )≥ r(X ∪ Y ) + r(Y ∩ X), para todo X, Y ⊆ E. Mais ainda, quando (R2) e (R3) valem, mostre que (R1) ´e equivalente a seguinte propriedade:

(24)

(25)

CAP´ıTULO 3

Fechados

Seja M uma matr´oide. Para X ⊆ E(M), considere a seguinte fam´ılia de subconjuntos de E(M ):

FX={Y ⊆ E(M) : X ⊆ Y e r(Y ) = r(X)}.

A uni˜ao dos elementos da fam´ılia FX ´e chamada do fecho de X em M , sendo denotada por clM(X). Isto ´e,

clM(X) = ∪ Y∈FX

Y.

Iniciaremos a se¸cão mostrando algumas propriedades usuais para uma fun¸cão fe-cho que, naturalmente, não são suficientes para caracterizar as fun¸cões fecho das matróides.

Lema 3.1. Seja M uma matr´oide. Se X ⊆ E(M), ent˜ao: (i) X⊆ clM(X).

(ii) r(X) = r(clM(X)).

(iii) clM(Y )⊆ clM(X), quando Y ⊆ X. (iv) clM(clM(X))) = clM(X).

Demonstraç˜ao. Oberve que (i) segue pois X ∈ FX. Para mostrar (ii) ´e sufi-ciente estabelecer queFXé fechado com respeito a união de elementos e, portanto, clM(X)∈ FX. Suponha que Z, W∈ FX. Pela submodularidade:

(3.1) 2r(X) = r(Z) + r(W )≥ r(Z ∪ W ) + r(Z ∩ W ). Como X⊆ Z ∩ W e a fun¸c˜ao posto ´e crescente, temos que

(3.2) r(X)≤ r(Z ∩ W ) ≤ r(Z ∪ W ).

Portanto as desigualdades têm de ser igualdades em (3.1) e (3.2). Conseq¨ uente-mente Z∪ W ∈ FX. Isto é,FXé fechado com respeito a união de elementos, como pretendiamos demonstrar.

Agora estabelecemos (iii). Ser´a suficiente motrar que, para todo Z ∈ FY, Z∪ X ∈ FX. Mais uma vez, por submodularidade, temos que:

(3.3) r(X) + r(Y ) = r(X) + r(Z)≥ r(X ∪ Z) + r(X ∩ Z). Como Y ⊆ X ∩ Z e a fun¸c˜ao posto ´e crescente, conclu´ımos que:

(3.4) r(X∪ Z) ≥ r(X) e r(X ∩ Z) ≥ r(Y ).

Conseq¨uentemente as desigualdades em (3.3) e (3.4) s˜ao, na realidade, igualdades. Logo X∪ Z ∈ FX e (iii) segue.

(26)

26 3. FECHADOS

Observe que (iv) é uma conseqüência da seguinte inclusão

(3.5) FclM(X)⊆ FX.

Suponha que Z∈ FclM(X). Por defini¸c˜ao, clM(X)⊆ Z e r(clM(X)) = r(Z). Por (i)

e (ii), conclu´ımos respectivamente que X⊆ Z e r(X) = r(Z). Logo (3.5) segue. A próxima proposi¸cão será muito importante ao longo deste texto. Nela carac-terizamos os elementos da matróide que pertencem ao fecho de um conjunto. Como todo conjunto está contido em seu fecho, será suficiente caracterizar apenas àqueles elementos do fecho que não pertencem ao conjunto em questão.

Proposiç˜ao 3.2. Seja e um elemento de uma matróide M . Se X⊆ E(M)−e, então as seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(i) e∈ clM(X). (ii) r(X∪ e) = r(X).

(iii) e∈ C ⊆ X ∪ e, para algum circuito C de M.

Demonstrac¸˜ao. Primeiro mostraremos que (i) implica (ii). Como e ∈ clM(X), existe Z∈ FX tal que e∈ Z. Observe que

(3.6) r(X)≤ r(X ∪ e) ≤ r(Z),

pois a fun¸c˜ao posto ´e crescente. Por defini¸c˜ao, r(Z) = r(X). Conseq¨uentemente todas as desigualdades se tornam igualdades em (3.6). Em particular, r(X∪ e) = r(X) e (ii) segue.

Agora estabeleceremos que (ii) implica (iii). Seja I um conjunto independente maximal contido em X. Por defini¸cão do posto, r(X) =|I|. Logo I é um conjunto independente maximal contido em X∪ e, pois r(X ∪ e) = r(X) < |I ∪ e|. Portanto, I∪ e é um dependente de M e existe circuito C de M tal que C ⊆ I ∪ e ⊆ X ∪ e. Note que e∈ C, já que I é independente. Logo (iii) segue.

Para finalizar a demonstra¸cão desta proposi¸cão, é suficiente estabelecer que (iii) implica (i). Por submodularidade,

r(X) + r(C)≥ r(X ∪ C) + r(X ∩ C). Observe que X∪ C = X ∪ e e X ∩ C = C − e. Portanto,

r(X) + r(C)≥ r(X ∪ e) + r(C − e).

Como C ´e circuito de M , temos que r(C) = r(C− e) = |C| − 1. Logo r(X)≥ r(X ∪ e).

Como a fun¸c˜ao posto ´e crescente, temos que r(X∪ e) = r(X). Conseq¨uentemente

X∪ e ∈ FX e (i) segue.

No caso em que M = Mk[A], para alguma matriz A com entradas em um corpo k, (iii) nos diz que a coluna indexada por e ´e uma combina¸c˜ao linear das colunas indexadas por X.

Para uma matr´oide M , diremos que X ⊆ E(M) ´e um conjunto fechado de M quando clM(X) = X. Note que E(M ) ´e um conjunto fechado de M . Mostraremos que:

Lema 3.3. A interse¸cão de conjuntos fechados de uma matróide M é um con-junto fechado de M .

(27)

2. HIPERPLANOS 27

Demonstração. ´E suficiente estabelecer que X∩Y é um conjunto fechado de M , quando X e Y são conjuntos fechados de M . Argumenaremos por contradi¸c˜ao. Suponha que X∩ Y não é um conjunto fechado de M. Portanto, existe

e∈ clM(X∩ Y ) − (X ∩ Y ). Pela Proposi¸c˜ao 3.2(iii),

e∈ C ⊆ (X ∩ Y ) ∪ e,

para algum circuito C de M . Observe que e ̸∈ X ou e ̸∈ Y , digamos e ̸∈ X. Como C ⊆ X ∪ e, conclu´ımos, pela Proposi¸c˜ao 3.2(i), que e ∈ clM(X) = X; uma

contradi¸c˜ao e o resultado segue.

Rota [29] fez a seguinte conjectura a respeito do n´umero de fechados com determinado posto em uma matr´oide.

Conjectura 3.4. Para uma matróide M , seja fn o número de fechados com posto n. Se n∈ {1, 2, . . . , r(M) − 1}, então

fn≥ min{fn₋₁, fn+1}.

A conjectura segunte gereraliza a conjectura de Rota [29] para matr´oides com posto 3. Foi formulada por Mason [15] e ficou conhecida como a conjectura dos pontos, linhas e planos.

Conjectura 3.5. Se M é uma matróide de posto 3, então f₂2≥ 3

2f1f3.

A ´ultima conjectura foi estabelecia por Seymour [31] para matr´oides binárias. Mais precisamente, Seymour [31] demonstrou que esta conjectura vale quando, para todo X⊆ E(M) tal que |X| = 5, M|X não é isomorfa a U2,5.

2. Hiperplanos

Um hiperplano de uma matróide M é um conjunto fechado H tal que r(H) = r(M )− 1. Os hiperplanos são os conjuntos fechados de M maximais com respeito a estarem propriamente contidos em E(M ) — veja os exerc´ıcios. Os hiperplanos desempenham um papel fundamental no estudo das matróides. No próximo lema apresentamos uma caracteriza¸cão dos hiperplanos.

Lema 3.6. Seja M uma matróide. Se H⊆ E(M), então as seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(i) H ´e um hiperplano de M .

(ii) H = clM(B− e), para algum elemento e de alguma base B de M. Demostraç˜ao. Primeiro estabeleceremos que (i) implica (ii). Seja I um con-junto independente maximal contido em H. Observe que H ∈ FI. Portanto, H⊆ clM(I). Como o fecho é uma fun¸cão crescente, temos que clM(I)⊆ clM(H) = H. Conseq¨uentemente H = clM(I). Se e∈ E(M) − H, então, pela Proposi¸cão 3.2(ii),

r(I∪ e) > r(I) = |I| = r(H) = r(M) − 1. Logo B = I∪ e ´e uma base de M e (ii) segue.

Agora vamos mostrar que (ii) implica (i). Pelo Lema 3.1(ii), r(H) = r(B− e) = |B − e| = |B| − 1 = r(M) − 1.

(28)

28 3. FECHADOS

Pelo Lemma 3.1(iv),

clM(H) = clM(clM(B− e)) = clM(B− e) = H

e H é fechado. Logo H é um hiperplano de M e (i) segue. No próximo lema, que possui um análogo na teoria dos grafos, caracterizamos todas as bases de uma matróide que estão próximas a uma base fixa. Na pri-meira parte do lema, escolhemos o elemento para adicionar à base e, na segunda, o elemento para retirar da base.

Lema 3.7. Seja B uma base de uma matróide M . Se f ∈ B e e ∈ E(M) − B, então (B− f) ∪ e é uma base de M se e somente se

(i) f pertencente a um circuito de M contido em B∪ e; ou (ii) e pertencente ao complemento do hiperplano H = clM(B− f).

Demonstraç˜ao. Primeiro estabeleceremos (i). Seja C um circuito de M tal que f ∈ C ⊆ B ∪ e. Pela Proposi¸cão 3.2(iii), conclu´ımos que f ∈ clM((B− f) ∪ e). Logo B⊆ clM((B− f) ∪ e). Portanto, como a funão posto é crescente,

(3.7) |B| = r(B) ≤ r(clM((B− f) ∪ e)).

Pelo Lemma 3.1(ii),

(3.8) r(clM((B− f) ∪ e)) = r((B − f) ∪ e) ≤ |(B − f) ∪ e| = |B|.

Logo as desiguladades em (3.7) e (3.8) s˜ao igualdades. Conseq¨uentemente (B−f)∪e ´

e uma base de M .

Agora nos resta mostrar (ii). Pela Proposi¸c˜ao 3.2(ii),

r(M ) =|B| = |(B − f) ∪ e| ≥ r((B − f) ∪ e) > r(B − f) = |B| − 1.

Logo (B− f) ∪ e ´e uma base de M e o resultado segue.

A próxima proposi¸cão é também conhecida como o “axioma da troca para bases”.

Proposic¸˜ao 3.8. Sejam B1 e B2bases de uma matr´oide M . Se e1∈ B1− B2,

ent˜ao existe e2∈ B2− B1 tal que

(B1− e1)∪ e2 e (B2− e2)∪ e1

s˜ao bases de M .

Demonstrac¸˜ao. Pelo Lema 3.7(i), temos de escolher e2pertencente a um

cir-cuito C contido em B2∪e1. Pelo Lemma 3.7(ii), e2tem de pertencer ao

complemen-tar do hiperplano H = clM(B1−e1). Como e1̸∈ H, ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 3.2(iii),

|C − H| ≥ 2, j´a que e1∈ C − H. Portanto, existe

e2∈ C − (H ∪ e1)⊆ C − ((B1− e1)∪ e1) = C− B1.