Empacotamento em quadráticas

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EMPACOTAMENTO

EM

QUADR ´

ATICAS

Campinas 2012

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BIBLIOTECA DO INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA - UNICAMP

Flores Callisaya, Hector,

F663e FloEmpacotamento em quadráticas / Hector Flores Callisaya. – Campinas, SP : [s.n.], 2012.

FloOrientador: José Mario Martínez Pérez.

FloTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Flo1. Empacotamento de esferas. 2. Teoria dos reticulados. 3. Equações quadráticas. 4. Programação não-linear.

5. Lagrange, Funções de. I. Martínez Pérez, José Mario, 1948-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em inglês: Packing on quadrics Palavras-chave em inglês: Packing spheres Lattice theory Quadratic equations Nonlinear programming Lagrangian functions

Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Doutor em Matemática Aplicada Banca examinadora:

José Mario Martínez Pérez [Orientador] Ernesto Julián Goldberg Birgin

Gabriel Haeser

Lúcio Tunes dos Santos Sandra Augusta Santos

Data de defesa: 16-03-2012

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

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Agradecimentos

Agrade¸co ào minha mãe Ramona C., meu pai Luis E., por todo o apoio que me deram nessa jornada, mesmo que eu não esteja com eles.

Ao meu orientador, J. M. Mart´ınez, pelas excelentes ideias que transmitiu ao longo desses anos.

Aos coautores de partes desse trabalho, Ernesto, Henrique, e Mart´ınez novamente. `

A Sandra por ter lido cuidadosamente a versão preliminar desse texto e feito in´ u-meras corre¸cões e comentários que melhoraram infinitamente a qualidade desse trabalho.

Agrade¸co aos meus irm˜aos, Favio, Eduarda, Dora, a meus sobrinhos. Aos meus amigos de curso, em especial Kelly e Roberta.

Finalmente, ´a CAPES, pelo apoio financeiro fundamental para a reliza¸c˜ao deste trabalho.

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Neste trabalho, serão propostos modelos matemáticos para problemas de empacotamento não reticulado de esferas em regiões limitadas por quadráticas no plano e no espa¸co.

Uma técnica para construir representa¸cões ou parametriza¸cões será in-troduzida, mediante à qual será poss´ıvel encontrar um sistema de de-sigualdades que determinam o empacotamento de um número fixo de esferas. Desta forma, resolvemos o problema de empacotamento de es-feras através de uma sequência de sistemas de desigualdades.

Finalmente, para obter resultados eficientes, minimizaremos a fun¸cão de sobreposi¸cão, usando o método do Lagrangiano Aumentado.

Palavras-chave: Empacotamento de esferas, Teoria de reticulados, Equa¸cões quadráticas, Programa¸cão não linear, Fun¸cões de Lagrange.

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In this work, we will propose mathematical models for not latticed pac-king of spheres problems in regions bounded by quadratic in the plane and in the space.

A technique to construct representations or parameterizations will be introduced, by which it will be possible to find a system of inequalities which determine the packing of a fixed number of spheres. Thus, we solve the problem of packing spheres through a sequence of systems of inequalities.

Finally, to obtain effective results, we will minimize the overlay function using the Augmented Lagrangian Method.

Key-words: Packing spheres, Lattice theory, Quadratic equations, Nonlinear programming, Lagrangian functions.

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Resumo vii

Abstract ix

Introdu¸c˜ao 1

1 Empacotando Bolas em Regi˜oes Arbitr´arias 3

1.1 Problema. . . 3

1.2 Conceitos Fundamentais. . . 4

1.3 Algoritmo para encontrar uma solu¸c˜ao . . . 9

1.4 r-N´ucleo de uma regi˜ao. . . 11

1.5 Exemplos. . . 13

1.6 Empacotamento esf´erico reticulado . . . 20

1.7 Limitante inferior para np(R, r) . . . 22

2 Empacotando em Seçcões Cônicas 25 2.1 _{No Plano R}2 _{. . . .} ₂₈ 2.1.1 Elipse . . . 28 2.1.2 Interseçcão de Elipses . . . 36 2.1.3 Parábola . . . 39 2.2 _{No espa¸co R}3 _{. . . .} ₄₆ 2.2.1 Cone . . . 47 2.2.2 Elipsóide . . . 52 xi

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2.2.3 Parabol´oide . . . 58

2.3 Minimizando o Contˆeiner . . . 62

2.3.1 Minimizando a ´area da elipse . . . 63

2.3.2 Menor elipse de focos fixos que cont´em np discos . . . 65

2.3.3 Minimizando a tampa da par´abola . . . 66

2.3.4 Minimizando a altura do cone . . . 68

2.3.5 Minimizando a altura do cilindro com base elipsoidal . . . 68

3 Resultados Computacionais e Aplica¸cões 71 3.1 Método Numérico . . . 71

3.2 M´etodos para resolver factibilidade . . . 73

3.2.1 M´etodo 1 (Met-1) . . . 74

3.2.2 M´etodo 2 (Met-2) . . . 75

3.2.3 Rein´ıcios (MS-T) . . . 75

3.3 Empacotando num contˆeiner fixo . . . 76

3.4 Testes num´ericos . . . 78

3.4.1 Elipse . . . 79

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Neste trabalho, o principal objetivo é resolver o problema de empacotamento de bolas sem sobreposi¸cão num contêiner arbitrário. Almejamos encontrar a posi¸cão dos centros das bolas que garante que estejam contidas no contêiner.

Nos problemas de empacotamento clássico, os contêineres são politopos ou esfe-ras. Existem muitos algoritmos e heur´ısticas para encontrar o maior número de itens que se podem colocar dentro destes contêineres. Apresentamos neste trabalho modelos ma-temáticos para empacotar itens num contêiner irregular, por exemplo: elipse, parábola, interse¸cão de elipses, elipsoide, cone, etc.

No capitulo um, são estudados os conceitos básicos de empacotamento, empaco-tamento esférico, número de empacotamento, e o núcleo de um contêiner, este último é muito importante nos problemas de empacotamento de c´ırculos (esferas) em regiões arbi-trárias, pois determinar este conjunto por meio de equa¸cões algébricas resolve o problema de empacotamento de discos (esferas).

No cap´ıtulo dois, apresentamos o conceito de fun¸cão representa¸cão ou parametri-za¸cão, que é um auxiliar para calcular a distância de um ponto à fronteira. Consideramos regiões que se podem formar a partir das seçcões cônicas: elipse, parábola, interseçcão de elipses, etc.

Finalmente no cap´ıtulo trˆes determinamos as vantagens e desvantagens dos m´ e-todos apresentados nos cap´ıtulos um e dois, fazendo os experimentos num´ericos.

Os gr´aficos apresentadas no trabalho s˜ao feitos usando os softwares Algencan [ABMS07] e Pov Ray [POV].

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Lista de Nota¸

c˜

oes

Aqui inclu´ımos uma lista de nota¸c˜oes usadas ao longo deste trabalho • N — o conjunto dos n´umeros naturais;

• R — o conjunto dos n´umeros reais;

• Rn_{— o espa¸co euclidiano de dimens˜}_{ao n (com produto interno euclidiano e a norma}

correspondente);

• #(I) — cardinalidade do conjunto I;

• x1, . . . , xn — coordenadas do elemento x ∈ Rn;

• hx, yi — produto interno euclidiano entre x ∈ Rn _{e y ∈ R}n_{, i.e., hx, yi =} Pn

i=1xiyi;

• |x| — norma euclideana de x ∈ Rn_;

• |x|∞ — norma-infinito de x ∈ Rn, definida pelo m´aximo dos valores absolutos de

coordenadas de x, i.e., |x|∞ = maxi=1,...,n|xi|;

• B[x, r] = {y ∈ Rn_| _{|y − x| ≤ r};}

• B(x, r) = {y ∈ Rn_| _{|y − x| < r};}

• S[x, r] = {y ∈ Rn_| _{|y − x| = r};}

• d(x, X) = infy∈X|x − y|;

• int(X) — o interior do conjunto X; • ∂X— fronteira do conjunto X;

• nccpu — tempo em segundos para empacotar nc itens;

• cputt — tempo total em segundos;

• cputr — tempo usado em segundos para encontrar o n´umero de itens do reticulado contidos no contˆeiner.

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Empacotando Bolas em Regi˜

oes

Arbitr´

arias

Este cap´ıtulo é dedicado à contextualiza¸cão e apresenta¸cão da teoria de empacotamento. Citaremos a importância e os conceitos básicos. Existem muitos trabalhos nesta área por exemplo: [T´64, Zon99, Sto83, Pac, MM03, Cen, BS08].

1.1 Problema.

O problema de empacotamento de objetos consiste em distribuir objetos em um contˆeiner R, isto ´e num subconjunto R do espa¸co, de modo que:

• dois itens quaisquer deste arranjo n˜ao podem ocupar o mesmo espa¸co; • este arranjo de objetos ocupe o maior espa¸co poss´ıvel de R.

O caso onde os itens são retângulos de mesmo tamanho e R um contêiner convexo descrito por desigualdades foi estudado em [BL10, BMMR06], e o caso onde os itens são discos ou bolas e R um contêiner circular ou retangular foi estudado em [T´64, BS08, Xav07]. Nosso objetivo é empacotar discos ou esferas em contêiners arbitrários, para isto formalizaremos o conceito de contêiner.

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1.2 Conceitos Fundamentais.

Adotamos a linguagem usada em [Lim81] para descrever os conceitos de empacotamento. Definimos formalmente o conceito de contˆeiner como:

Defini¸c˜_{ao. 1.2.1. Seja R ⊂ R}n, dizemos que R é uma região se satisfaz as seguintes condi¸cões:

1. R ´e fechado e limitado, 2. R possui int(R) conexo.

Os problemas de empacotamento consistem em reconhecer se um objeto pode ser introduzido em um contˆeiner, respeitando o espa¸co que ocupam os demais objetos e a parede do contˆeiner, esta ideia pode ser formalizada da seguinte maneira.

Defini¸c˜ao. 1.2.2. Um empacotamento numa regi˜_{ao R ⊂ R}n ´e uma fam´ılia (Bλ)λ∈Λ de

subconjuntos Bλ ⊂ Rn compactos integr´aveis tais que:

1. int(Bα) ∩ int(Bβ) = ∅ para todo α, β ∈ Λ, α 6= β

2. S

λ∈ΛBλ ⊂ R.

onde Λ ´e um conjunto de ´ındices.

O conjunto Bλ ´e chamado de componente da fam´ılia, item ou objeto. A figura

1.1 ilustra um empacotamento. R Bα Bβ Bγ Figura 1.1: Empacotamento em R.

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Consideremos a condi¸cão de sobreposi¸cão no empacotamento, isto é; int(Bα) ∩ int(Bβ) = ∅, ∀α, β ∈ Λ. (1.1) Suponhamos que A(Bα) = Z Bα dA > 0, ∀α ∈ Λ, (1.2)

então (1.1) pode ser descrito em termos da área de interse¸cão dos itens Bα e Bβ, isto é

int(Bα) ∩ int(Bβ) = ∅ ⇐⇒ A(Bα∩ Bβ) = 0, ∀α, β ∈ Λ. (1.3)

De fato: (⇐) Dados α e β, suponhamos que int(Bα) ∩ int(Bβ) 6= ∅, ent˜ao existe

p ∈ int(Bα) ∩ int(Bβ), logo existe δ1 > 0 tal que B(p, δ1) ⊂ Bα e δ2 > 0 tal que

B(p, δ1) ⊂ Bβ. Seja δ = min{δ1, δ2}, ent˜ao B(p, δ) ⊂ Bα∩ Bβ, consequentemente

0 < Z B(p,δ) dA ≤ Z Bα∩Bβ dA 6= 0. (1.4)

(⇒) Reciprocamente, suponhamos A(Bα∩ Bβ) > 0 ent˜ao exite um bloco S em Bα∩ Bβ

com volume n˜ao zero A(S) 6= 0, ent˜ao exite p ∈ int(S). Assim int(Bα) ∩ int(Bβ) 6= ∅.

A equivalência (1.3) é muito importante pois se pode determinar a sobreposi¸cão de dois itens calculando a área da interse¸cão dos itens, ver figura 1.2

R Bα

Bβ

Figura 1.2: Sobreposi¸c˜ao de triˆangulos em R, A(Bα∩ Bβ) > 0.

Suponhamos que Bα∩ (Rn− R) seja integr´avel para cada α, ent˜ao

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Defini¸cão. 1.2.3. Seja (Bλ)λ∈Λ um empacotamento na região R. O empacotamento é

chamado de empacotamento r´ıgido se para cada α e β em Λ existe uma transforma¸c˜ao r´ıgida Tα,β : Rn−→ Rn tal que

Tα,β(Bα) = Bβ. (1.6)

A transforma¸cão Tα,β também é conhecida como deslocamento, pois

geometrica-mente representa o deslocamento do objeto Bα em Bβ, isto é, Bβ é uma cópia de Bα.

Portanto todos os objetos tˆem a mesma forma: retangular, circular, etc., contidas na regi˜ao R. A figura 1.3 ilustra um empacotamento r´ıgido.

Consideremos o problema de empacotar discos ou esferas em uma regi˜ao arbitr´ a-ria. A este tipo de problema chamamos de empacotamento esf´erico, mais formalmente temos:

Defini¸c˜ao. 1.2.4. Seja (Bλ)λ∈Λ um empacotamento r´ıgido em R, se cada componente

da fam´ılia é uma bola fechada, o empacotamento é chamado de empacotamento esférico em R.

O problema de empacotamento esférico consiste em distribuir o maior número poss´ıvel esferas de mesmo raio r em R. A figura 1.3 ilustra um empacotamento esférico.

R Bα

Bβ

Bγ

Figura 1.3: Empacotamento esf´erico R.

Uma transforma¸cão r´ıgida é a composi¸cão de uma transla¸cão e uma transforma¸cão ortogonal, isto é:

T (x) = x1+ U x, (1.7)

onde U ´e uma matriz n × n que satisfaz; Ut_{U = I}

n e x1 ∈ Rn, da´ı obtemos que:

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Seja (Bλ)λ∈Λum empacotamento esférico, então pela defini¸cão de empacotamento temos que [ λ∈Λ int(Bλ) ⊂ R; (1.9) então X λ∈Λ A(int(Bλ)) ≤ Z R dA (1.10)

por (1.8) temos que A(Bα) = A(Bβ) = A(Bλ0); da´ı obtemos

#(Λ) A(Bλ0) ≤

Z

R

dA, (1.11)

para λ0 fixo, logo

#(Λ) ≤ A(R)

A(Bλ0)

. (1.12)

Da´ı conclu´ımos que se (Bλ)λ∈Λ é um empacotamento esférico na região R que

contém um número finito de objetos, então o empacotamento pode ser escrito como uma fam´ılia finita de subconjuntos de R . Nas seguintes se¸cões serão estudadas técnicas para encontrar um empacotamento com cardinalidade #(Λ) máxima.

Dada uma região R, desejamos caracterizar os centros das bolas por meio de fun-¸cões reais tais que elas satisfa¸cam as condi¸co˜es de empacotamento. Primeiro, a distância do centro da bola à fronteira da região é maior que o raio da bola, se e somente se a bola está contida na região. Isto pode ser formalizado no seguinte lema.

Lema. 1.2.1. Seja R uma regi˜ao e r > 0, ent˜ao

Bα[xα, r] ⊂ R ⇐⇒ d(xα, ∂R) ≥ r e xα ∈ R. (1.13)

Demonstra¸cão. (=⇒) Suponhamos que Bα = B(xα, r) ⊂ R, então por defini¸cão xα ∈

R. Para provar que d(xα, ∂R) ≥ r, provemos por contradi¸c˜ao, isto ´e suponhamos que

d(xα, ∂R) < r. Como R é compacto então a fronteira ∂R de R também é compacto, da´ı

existe um y ∈ ∂R tal que |xα− y| = |d(xα, ∂R)| < r logo y ∈ int(Bα) da´ı y ∈ int(R).

Absurdo! pois int(R) ∩ ∂R = ∅.

(⇐=) Suponhamos tamb´em por absurdo, que xα ∈ R, d(xα, ∂R) ≥ r e Bα 6⊂ R.

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int(Rn_{− R). Seja [x}

α, x] o segmento que une xα com x, naturalmente o segmento de reta

[xα, x] ´e conexo.

Seja ωR : Rn −→ R definido por

ωR(z) = d(z, R) − d(z, (Rn− R)). (1.14)

Note que ωR ´e cont´ınua, em particular no segmento [xα, x], e

ωR(xα) = d(xα, R) − d(xα, (Rn− R)) = −d(xα, (Rn− R)) ≤ 0, (1.15)

pois xα∈ R ⇔ d(xα, R) = 0.

ωR(x) = d(x, R) − d(x, (Rn− R)) = d(x, R) > 0, (1.16)

pois por hip´_{otese temos que x ∈ (R}n _{− R) ⇔ d(x, R}n − R) = 0. Pela conexidade do segmento [xα, x], por (1.15), (1.16), e aplicando o teorema do valor intermedi´ario temos

que existe y ∈ [xα, x] tal que ωR(y) = 0, logo d(y, R) = d(y, (Rn− R)) = 0. Isto acontece

se e somente se y ∈ ∂R, e y 6= x pois x ∈ int(Rn_{− R) Da´ı}

r ≤ d(xα, ∂R) ≤ d(xα, y) < d(xα, x) ≤ r.

que ´e absurdo. Logo conclu´ımos que B[xα, r] ⊂ R.

A segunda condi¸cão, muito importante num empacotamento é: “dois objetos não podem ocupar o mesmo espa¸co ”, a qual pode ser descrita por uma desigualdade, mostrada no seguinte lema:

Lema. 1.2.2. Seja R uma regi˜_{ao, m ∈ N e (B}α)mα=1 um empacotamento esf´erico de raio

r em R, ent˜ao temos a seguinte equivalˆencia

int(Bα) ∩ int(Bβ) = ∅ ⇐⇒ |xα− xβ| ≥ 2r, α 6= β. (1.17)

Demonstra¸c˜ao. Provemos a contra rec´ıproca isto ´e:

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Observa¸cão. 1.2.1. Também podemos obter o mesmo resultado usando (1.3), isto é A(B(xα, r) ∩ B(xβ, r)) = 0 ⇐⇒ |xα− xβ| ≥ 2r, ∀α 6= β. (1.19)

Conhecendo que uma bola Bα ´e completamente determinada por seu centro e

raio, e usando (1.13) e (1.17), podemos caracterizar as equa¸c˜oes que determinam o empa-cotamento em R.

1.3 Algoritmo para encontrar uma solu¸

c˜

ao

Até agora mostramos que qualquer empacotamento esférico é uma fam´ılia finita de sub-conjuntos de R. Pelos lemas 1.2.1 e 1.2.2 o problema de empacotar num contêiner é equivalente a encontrar solu¸cões de um sistema não linear de desigualdades.

Dados uma regi˜ao R e r > 0, definimos a seguinte sequˆencia de conjuntos;

Ω1(R, r) = {x ∈ Rn; x ∈ R, d(x, ∂R) ≥ r} . (1.20) e para k = 2, 3, 4, ... Ωk(R, r) =    (x1, . . . , xk_{) ∈ R}n k xi _{∈ R,} _{∀i = 1, . . . , k,} d(xi_{, ∂R) ≥ r,} _{∀i = 1, . . . , k,} d(xi_{, x}j_{) ≥ 2 r,} _{i < j.}    . (1.21)

Por simplicidade denotamos por Ωk o conjunto Ωk(R, r).

Cada elemento de Ωk determina um empacotamento de k componentes ou itens

na região R. Isto motiva o seguinte esquema iterativo, no qual cada itera¸cão consiste na resolu¸cão, para cada k > 0, do sistema que determina Ωk.

Definiremos um algoritmo bastante geral para encontrar um empacotamento na regi˜ao R,

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Algoritmo. 1.3.1. Dados R uma regi˜_{ao em R}n _{(n = 2, 3), e r > 0.}

1. Fa¸ca k = 1.

2. Se Ωk(R, r) = ∅ parar. Em caso contr´ario, calcular xk ∈ Ωk(R, r).

3. Tomar k := k + 1 e retornar ao passo 2.

Teorema. 1.3.1. O algoritmo 1.3.1 est´a bem definido.

Demonstra¸cão. Suponhamos que Ωk 6= ∅, então existe uma sequência finita de pontos

(x1_{, x}2_{, . . . , x}k_{) que pertence a Ω}

k, cujas componentes satisfazem `as equa¸c˜oes:

xi ∈ R para todo i ∈ {1, ..., k} (1.22)

d(xi, ∂R) ≥ r para todo ∀i ∈ {1, ..., k} (1.23)

d(xi, xj) ≥ 2 r para todo i < j ∈ {1, ..., k} (1.24) As equa¸cões (1.22) e (1.23), pela proposi¸cão são 1.2.1 é o mesmo que dizer que a bola B(xi_{, r) est´}_{a contida na regi˜}_{ao R para todo i = 1, . . . , k. A equa¸c˜}_{ao (1.24) pela proposi¸c˜}_ao

(1.2.2), diz que a interse¸c˜ao B(xi_{, r) ∩ B(x}j_{, r) = ∅. Da´ı conclu´ımos que a fam´ılia de bolas}

B(x1, r), . . . , B(xk, r) forma um empacotamento. Para mostrar que ´e um empacotamento r´ıgido esf´erico, definimos Ti,j(x) = x + (xj − xi) que satisfaz T (B(xi, r)) = B(xj, r). Isto

mostra que a sequência gerada pelo algoritmo 1.3.1 é um empacotamento r´ıgido esférico. Pela equa¸cão (1.12) temos que só existe um número finito de pontos xi _{gerados pelo}

algoritmo.

Como a sequência gerada pelo algoritmo é finita, denotamos o número máximo de pontos xi _{gerado pelo algoritmo por n}

p(R, r), o qual ´e determinado pelo contˆeiner R e

pelo raio da esfera r.

Defini¸cão. 1.3.1. Chama-se número de empacotamento ao número máximo k tal que Ωk(R, r) 6= ∅ para a região R e denotamos por np(R, r).

(25)

O n´umero de empacotamento tem a seguinte propriedade:

Ωnp(R,r) 6= ∅ e Ωnp(R,r)+i = ∅, para todo i = 1, . . . (1.25)

e pela equa¸c˜ao (1.12), temos

np(R, r) ≤

A(R) A(Bλ0)

. (1.26)

A rela¸cão (1.26) é muito importante, pois nos dá uma cota superior para o n´ u-mero de empacotamento np(R, r). Esta propriedade pode ser usada para melhorar nosso

algoritmo 1.3.1.

Achar np(R, r) é dif´ıcil, pois não é fácil verificar computacionalmente quando o

conjunto Ωk(R, r) é vazio, uma vez que np(R, r) é solu¸cão do problema de otimiza¸cão

max k sujeito a Ωk(R, r) 6= ∅, (1.27)

Note-se que se x∗ _{∈ R}n k _´_{e uma solu¸c˜}_{ao do problema (1.28).}

min x F = k X i=1 max{0, r2− d(xi_{, ∂R)}2_}2 _(1.28) Sujeito a: xi _{∈ R, i = 1, . . . , k} 4 r2− d(xi_{, x}j₎2 _{≤ 0,} _{i < j.}

com F (x∗) = 0, então x∗ ∈ Ωk(R, r). Porem, a fun¸cão objetivo F em (1.28) não

´

e expl´ıcita, pois (1.28) contem o problema de calcular d(xi_{, ∂R), o qual n˜}_{ao permite o}

c´alculo do gradiente de F , mas pode ser resolvido usando m´etodos sem derivada como: [EMP11, Pow09, NM65].

1.4 r-N´

ucleo de uma regi˜

ao.

Seja B[x, r] uma bola centrada em x de raio r > 0, no algoritmo geral 1.3.1. Precisamos calcular a distância do centro da bola à fronteira da região R para determinar se a bola está contida em R. Mas isso é resolver outro problema de minimiza¸cão, isto é:

min

(26)

e verificar que a solu¸c˜ao y∗ de (1.29) satisfaz `a desigualdade:

d(x, y∗) ≥ r, (1.30)

Note no algoritmo geral 1.3.1, que não é fundamental determinar a solu¸cão do problema (1.29). Por exemplo, se R for um retˆ_{angulo no plano, isto R = [a, b] × [c, d] ⊂ R}2_,

o problema de empacotamento na região R é equivalente a encontrar uma distribui¸cão (uniforme) de pontos no retângulo

[a + r, b − r] × [c + r, d − r] ⊂ R2, como se mostra na figura 1.4.

R

Kr(R)

r

Figura 1.4: R = [a, b] × [c, d], Kr(R) = [a + r, b − r] × [c + r, d − r].

Assim como no caso do quadrado, podemos determinar primeiro um subconjunto de R cujos elementos têm distância à fronteira maior que r.

Defini¸c˜_{ao. 1.4.1. Seja R ⊂ R}n _{(n = 2, 3) uma regi˜}_{ao, chamamos de r-N´}_{ucleo de R ao}

conjunto

Kr(R) = {x ∈ R | d(x, ∂R) ≥ r} . (1.31)

Portanto Ωk(R, r) pode ser descrito por:

Ωk(R, r) = (x1, . . . , xk_{) ∈ R}k n xi ∈ Kr(R), ∀i = 1, . . . , k d(xi_{, x}j_{) ≥ 2 r,} _{i < j} . (1.32)

Determinando primeiro o núcleo de uma região R por meio de inequa¸cões, pode-mos reduzir as inequa¸cões que determinam o empacotamento em R.

(27)

1.5 Exemplos.

Apresentamos exemplos nos quais podemos determinar de forma expl´ıcita o conjunto Kr(R) para algumas regi˜oes simples.

Exemplo. 1.5.1. (Esferas numa esfera). Um exemplo cl´assico e muito estudado ´

e o problema de empacotar c´ırculos em um c´ırculo [Pac, Sto83]. Deseja-se encontrar o número máximo de c´ırculos num c´ırculo maior, neste caso é poss´ıvel calcular o r−núcleo para empacotar c´ırculos de raio r. De fato; seja R = B[x0_{, ρ], isto ´}_{e uma bola fechada}

centrada no ponto x0 _{e raio ρ, que naturalmente ´}_{e compacto com fronteira ∂R = S[x}0_{, ρ].}

Pela defini¸c˜ao de r−n´ucleo temos que determinar o conjunto:

Kr =x ∈ B[x0, ρ] | d(x, S[x0, ρ]) ≥ r . (1.33)

Caso.- 1 Suponhamos que 0 ≤ r ≤ ρ, ent˜ao

Kr =x ∈ B[x0, ρ] | |x − x0| ≤ ρ − r .

De fato, seja x ∈ Kr e x 6= x0 ent˜ao x ∈ B[x0, ρ] e d(x, S[x0, ρ]) ≥ r, consideremos o

ponto y0 = x0+ ρ_|x−xx−x00_|. Como |y

0_{− x}0_{| = ρ temos que y}0 _{∈ S[x}0_{, ρ], tamb´}_{em temos que}

os pontos x0, x e y0 s˜ao colineares, logo pela desigualdade triangular temos

ρ = |y0 − x0_{| = |y}0_{− x| + |x − x}0_|. _(1.34)

Seja y ∈ S[x0_{, ρ] ent˜}_ao

|y − x0_{| ≤ |y − x| + |x − x}0_{| para todo y ∈ S[x}0_{, ρ],} _(1.35)

mas |y − x0| = ρ para todo y ∈ S[x0_{, ρ], ent˜}_ao

ρ ≤ |y − x| + |x − x0| para todo y ∈ S[x0, ρ]. Usando a defini¸c˜ao de d(x, S[x0_{, ρ]) temos}

ρ ≤ d(x, S[x0, ρ]) + |x − x0| (1.36)

Como y0 ´e um ponto da fronteira que satisfaz a igualdade (1.34) e a rela¸c˜ao (1.36) con-clu´ımos que

(28)

da´ı

ρ = r + |x − x0|

se e somente se ρ − r ≥ |x − x0_{|. Logo x ∈ B[x}0_{, ρ − r] ou K}

r ⊂ B[x0, ρ − r].

Reciprocamente, seja x ∈ B[x0_{, ρ − r]. Fazendo a mesma an´}_{alise temos que}

ρ = d(x, S[x0, ρ]) + |x − x0| e por hipótese temos que |x − x0| ≤ ρ − r, então ρ = d(x, S[x0, ρ]) + |x − x0| ≤ d(x, S[x0_{, ρ]) + ρ − r} isto é r ≤ d(x, S[x0, ρ]). Finalmente temos Kr = B[x0, ρ − r].

O racioc´ınio ´e representado na figura 1.5.

R x0 Kr(R) ρ x y0 y r ρ − r Figura 1.5: R = B[x0_{, ρ],} _K r(R) = B[x0, ρ − r].

Caso.- 2 Suponhamos que r > ρ e Kr 6= ∅, ent˜ao existe x ∈ B[x0, ρ] tal que a

bola B[x, r] ⊂ B[x0_{, ρ]. mas isto ´}_{e absurdo, pois se y}1 _{= x}0_{+ r} x−x0

|x−x0_| ent˜ao y1 ∈ B[x0, r] e

y1 _{6∈ B[x}0_{, ρ]. Conclu´ımos que}

(29)

Deste modo Ωk pode ser descrito por um n´umero finito de desigualdades: Ωk=    (x1, . . . , xk_{) ∈ R}k n d(xi_{, x}0_{) ≤ ρ − r,} _∀i, d(xi_{, x}j_{) ≥ 2 r,} _{i < j,} ∀i, j ∈ Ik = {1, ..., k}    . (1.38)

Lembrando a equivalˆencia 0 < a ≤ b ⇐⇒ a2 _{≤ b}2_{. Ω}

k pode escrito da seguinte forma

Ωk=    (x1, . . . , xk_{) ∈ R}k n |xi_{− x}0_|2 _{≤ (ρ − r)}2_, _∀i, |xi_{− x}j_|2 _{≥ (2 r)}2_, _{i < j,} ∀i, j ∈ Ik = {1, ..., k}    . (1.39)

Se R = {(x, y) | x2+ y2 ≤ 25} e raio r = 1, o n´umero de empacotamento ´e np ≈ 19, com

a configura¸c˜ao ilustrada na figura 1.6.

Figura 1.6: ρ = 5, r = 1, np ≈ 19.

Exemplo. 1.5.2. (Esferas num politopo). Outro caso muito estudado [BMR05, MFP03] é quando é R um poliedro convexo e limitado, isto é, um politopo. Suponhamos que R é descrito como a seguinte região

R = x ∈ Rn hai_{, xi ≤ b} i ∀i ∈ Im = {1, ..., m} . (1.40)

Afirmamos que o n´ucleo Kr(R), ´e:

Kr(R) = x ∈ Rn hai_{, xi ≤ b} i− r |ai| ∀i ∈ Im = {1, . . . , m} . (1.41)

(30)

De fato, seja x ∈ Kr, ent˜ao d(x, ∂R) ≥ r. Como R ´e um politopo, podemos

calcular a proje¸cão Pi(x) onde Pi é a proje¸cão no hiperplano hx, aii = bi. Definimos a

curva αi(s) = x + s a

i

|ai_|, como a

i _´_{e perpendicular ao hiperplano, ent˜}_{ao a curva intercepta}

perpendicularmente o hiperplano, e existe si tal que αi(si) = Pi(x) isto ´e:

bi = hαi(si), aii = hx + si ai |ai_|, a i_i = hx, aii + sih ai |ai_|, a i_i = hx, aii + si|ai| ≥ hx, ai_{i + r|a}i_|

pois a curva ´e parametrizada pelo comprimento de arco s. Finalmente conclu´ımos que x tem que satisfazer a desigualdade

hx, ai_{i ≤ b}

i− r|ai| para todo i = 1, . . . , m. (1.42)

Para a rec´ıproca, ´e suficiente observar que os hiperplanos hx, ai_{i = b}

i− r|ai| e hx, aii = bi

são paralelos, e a distância entre eles é r.

Deste modo Ωk neste caso pode ser descrito por um n´umero finito de

desigualda-des. Ωk=          (x1, . . . , xk_{) ∈ R}k n hxi_{, a}p_{i ≤ b} i− r|ap|, d(xi_{, x}j_{) ≥ 2 r,} ∀i, j ∈ Ik = {1, ..., k}, ∀p ∈ Im = {1, ..., m}.          . (1.43)

Lembrando a equivalˆencia 0 < a ≤ b ⇐⇒ a2 _{≤ b}2_{, Ω}

k pode ser escrito da seguinte forma

Ωk=          (x1, . . . , xk_{) ∈ R}k n hxi_{, a}p_{i ≤ b} i− r|ap|, |xi_{− x}j_|2 _{≥ (2 r)}2_, ∀i, j ∈ Ik = {1, ..., k}, ∀p ∈ Im = {1, ..., m}.          . (1.44)

(31)

Consideremos o caso espec´ıfico de um politopo de 5 lados, descrito por R =                (x, y) ∈ R2 3x ≤ 15, 3x √ 2 + 5y √ 2 ≤ 15, −3√3x 2 + 5y 2 ≤ 15, 3x 2 − 5√3y 2 ≤ 15, 3√3x 2 − 5y 2 ≤ 15,                , (1.45) e ilustrado na figura 1.7. Figura 1.7: R, r = 1, np ≈ 20.

Exemplo. 1.5.3. O Cilindro circular.- Dados ρ > 0 e L > 0, definimos o conjunto R = x = (x1, x2, x3) ∈ R3 (x1)2+ (x2)2 ≤ ρ2, 0 ≤ x3 ≤ L, . (1.46)

Usando os mesmos argumentos dos exemplos 1.5.1 e 1.5.2 podemos mostrar que o r−n´ucleo de R dado em (1.46) ´e o seguinte conjunto

Kr(R) = x = (x1, x2, x3) ∈ R3 (x1)2+ (x2)2 ≤ (ρ − r)2, r ≤ x3 ≤ L − r, . (1.47)

(32)

Figura 1.8: R, Kr(R).

Ent˜ao, o conjunto Ωk pode ser escrito da seguinte forma

Ωk=          (x1, . . . , xk_{) ∈ R}3 k (xi₁)2+ (xi₂)2 ≤ (ρ − r)2_, r ≤ xi 3 ≤ L − r, |xi_{− x}j_|2 _{≥ (2 r)}2_, ∀i, j ∈ Ik= {1, ..., k},          . (1.48)

Para ρ = 2 e L = 7 o número de empacotamento para r = 1 é np ≈ 8 com a representa¸cão

gr´afica ilustrada na figura 1.9.

Figura 1.9: R : ρ = 2, L = 7 r = 1, np ≈ 8.

Para ρ = 5 e L = 2 o n´umero de empacotamento para r = 4₅ ´e np ≈ 30 com a

seguinte representa¸c˜ao gr´afica ilustrada na figura 1.10.

Exemplo. 1.5.4. Elipse.- Seja a ≥ b, definimos R como a regi˜ao com fronteira ∂R = E , onde E ´e uma elipse.

R =nx = (x1, x2) ∈ R2 (x1)2 a2 + (x2)2 b2 ≤ 1, o . (1.49)

(33)

Figura 1.10: R : ρ = 5, L = 2, r = 4₅, np ≈ 30.

Calcular o r−núcleo neste caso não é fácil, pois o r−núcleo de uma elipse não ´

e uma elipse, mas ∂R é suave, e R é convexa. Isto nos permite aproximar ∂R por retas tangentes obtendo um politopo com infinitos lados. Pelo exemplo 1.5.2 podemos determinar o núcleo de R usando infinitas retas, isto é:

R = nx = (x1, x2) ∈ R2 (x1)2 a2 + (x2)2 b2 ≤ 1, o , (1.50) = x = (x1, x2) ∈ R2 x1b cos(t) + a sin(t) x2 ≤ a b ∀t ∈ [0, 2 π], . (1.51)

Da´ı o n´ucleo de R pode ser calculado usando o desenvolvimento do exemplo 1.5.2, logo

Kr(R) =    x = (x1, x2) ∈ R2 b cos(t) x1+ a sin(t) x2 ≤ a b − rp(b cos(t))2_{+ (a sin(t))}2_, ∀t ∈ [0, 2 π],    . (1.52) r Kr(R) R Figura 1.11: R, Kr(R).

(34)

O conjunto Ωk pode ser escrito como: Ωk =              (x1, . . . , xk_{) ∈ R}3 k b cos(t) xi₁+ a sin(t) xi₂ ≤ a b − rp(b cos(t))2_{+ (a sin(t))}2_, ∀t ∈ [0, 2 π], |xi_{− x}j_|2 _{≥ (2 r)}2_, ∀i, j ∈ Ik= {1, ..., k},              . (1.53)

Para reconhecer se um ponto esta no r−núcleo temos que avaliar infinitas de-sigualdades, mas computacionalmente isto é imposs´ıvel. No capitulo dois construiremos uma representa¸cão do plano que permita calcular o r− núcleo explicitamente.

1.6 Empacotamento esf´

erico reticulado

O problema do empacotamento esférico em reticulados procura basicamente os reticulados que proporcionam a maior densidade em suas dimensões. Embora este problema tenha sido estudado por vários matemáticos, até agora, só se conhece o resultado para dimensões até 8 e para dimensão 24 [CS99].

Defini¸c˜ao. 1.6.1. Seja B = {u1_{, . . . , u}m_{} um conjunto linearmente independente de}

vetores de Rn. Um reticulado no Rn com gerador B, consiste do conjunto das combina¸c˜oes inteiras desses m vetores, ou seja

Lm(0) =u ∈ Rn|u = s1u1+ . . . + smum, si ∈ Z . (1.54)

Notemos que o reticulado é um conjunto discreto no subespa¸co de dimensão m gerado por B. Dizemos também que Lm _´_{e um reticulado de dimens˜}_{ao m contido em R}n

Defini¸c˜ao. 1.6.2. Dados um reticulado Lm _{no R}n _{com conjunto de geradores B, o}

conjunto de pontos Pm

i=1siui ∈ Rn para os quais 0 ≤ si ≤ 1 ´e chamado de dom´ınio

fundamental do reticulado L associado ao conjunto de geradores B.

Defini¸c˜ao. 1.6.3. Dados um reticulado Lm _{no R}n _{com conjunto de geradores B e o} L um

ponto no Rn_{, o reticulado afim ´}_{e o conjunto:}

(35)

Exemplo. 1.6.1. Consideremos o reticulado padr˜ao do plano, ou seja L2 _{= Z}2_{. Temos}

v´arios geradores para tal reticulado. Por exemplo B = {(1, 0), (0, 1)} ´e um conjunto de geradores para L2.

Figura 1.12: L2 _{= Z}2.

Exemplo. 1.6.2. Para o caso n = 2 o teorema de Lagrange e Thue [Zon99] afirma que o reticulado hexagonal gerado por Br = {2 r(1, 0), r (1,

√

3)}, o qual denotamos por L2_r(0, 0), ´

e o que proporciona o mais denso empacotamento de esferas de raio r (reticulado e n˜ao reticulado) em R2_{, ilustrado nas figuras 1.13 e 1.14.}

2r

Figura 1.13: Reticulado L2_r gerado por Br.

Figura 1.14: Empacotamento Reticu-lado em R2_.

Exemplo. 1.6.3. Em 1611, J. Kepler fez a conjectura de que o mais denso empacota-mento de esferas (reticulado e n˜_{ao reticulado) em R}3 _{tem densidade de centro 1/}√_32.

Carl F. Gaus em 1831 provou parcialmente a conjectura mostrando que esse ´e o maior valor para densidade de centro quando se considera apenas empacotamentos reticulados. Em 1998, Thomas Hales anunciou uma prova da conjectura de Kepler pelo m´etodo de

(36)

exaustão, que envolve verifica¸cão de muitos casos individuais usando cálculos computaci-onais complexos. A prova de Haless foi avaliada como 99% correta. Para maiores detalhes sobre a conjectura de Kepler ver [Zon99].

O reticulado gerado por Br = {

√

2 r(1, 1, 0),√2 r(0, 1, 1),√2 r(1, 0, 1)}, o qual denotamos por L3

r, ´e ilustrado nas figuras 1.15 e 1.16

Figura 1.15: Reticulado L3

r gerado por

Br.

Figura 1.16: Empacotamento reticulado em R3_.

1.7 Limitante inferior para n

_p

(R, r)

Na pratica, come¸car empacotando desde k = 1 (k n´umero de itens) no algoritmo 1.3.1 n˜ao ´

e uma boa escolha computacionalmente, pois ´e mais razo´avel tentar construir um limitante inferior. Para isto aproveitamos os empacotamentos reticulados com maior densidade: no plano R2 _{e no espa¸co R}3_.

Sejam R um contˆeiner e r > 0, definimos

n#(R, r, oL) = #(Lnr(oL) ∩ Kr(R)). (1.56)

Isto ´e, o n´umero de discos do reticulado Ln

r que est˜ao contidos no contˆeiner R, logo pela

defini¸c˜ao de n´umero de empacotamento temos

0 ≤ n#(R, r, oL) ≤ np(R, r). (1.57)

(37)

Algoritmo. 1.7.1. Dados R uma regi˜_{ao em R}n _{(n = 2, 3), o}

L∈ Rn, e r > 0.

1. Calcular n#(R, r, oL).

2. Fa¸ca k = n#(R, r, oL) + 1.

3. Se Ωk(R, r) = ∅ parar. Em caso contr´ario, calcular xk ∈ Ωk(R, r).

4. Tomar k := k + 1 e retornar ao passo 3.

Ilustramos na seguinte sequencia os passos do algoritmo nas figuras: 1.17, 1.18, 1.19, 1.20.

Figura 1.17: Reticulado L2

1/2(oL) gerado

por B1/2.

Figura 1.18: N´umero de pontos do reti-culado no n´ucleo n#= 75.

(38)

(39)

Empacotando em Sec¸

c˜

oes Cˆ

onicas

O problema de empacotamento pode ser formulado como um problema de otimiza¸cão, e em alguns casos como um sistema de inequa¸cões expl´ıcitas, por exemplo quando o contêiner é um c´ırculo 1.5.1 ou politopo 1.5.2. Mas se o contêiner for uma elipse o modelo matemático não é trivial, pois é preciso representar o plano maneira que seja fácil calcular a distância do centro da bola ao bordo do contêiner.

Para calcular o número máximo de itens (discos ou esferas) que o contêiner admite usamos o algoritimo 1.7.1, mas neste algoritmo precisamos verificar a desigualdade

d(x, ∂R) ≥ r, (2.1)

a qual se reduz a resolver outro problema de otimiza¸cão, da´ı a dificuldade de formular tudo como um só problema de otimiza¸cão.

No caso de empacotamento esférico numa região poliedral limitada ou esférica, o problema resolve-se calculando todos os pontos de R que satisfazem (2.1), isto é calculando o núcleo da região.

Em particular, se a regi˜ao ´e dada por

R =_{x ∈ R}n g(x) ≤ 0 , (2.2)

onde g : Rn−→ R é uma aplica¸cão diferenciável, então a fronteira de R é o conjunto

∂R =x ∈ Rn g(x) = 0 . (2.3)

(40)

Defini¸c˜_{ao. 2.0.1. Seja g : R}n _{−→ R uma fun¸cão diferenciável, dizemos que c ∈ R é um}

valor regular de g quando não existem pontos cr´ıticos de g no n´ıvel c, ou seja, ∇g(x) 6= 0 para todo x ∈ g−1(c). Quando c é um valor regular de g, diz-se que o n´ıvel c é regular. Quando existem pontos cr´ıticos x tais que ∇g(x) = 0, dizemos que c é um n´ıvel critico de g.

Suponhamos que 0 seja um valor regular de g, então o teorema de fun¸cão impl´ıcita garante que g−1(0) é uma superf´ıcie (se n ≥ 3), ou uma curva (se n = 2).

Pelo lema 1.2.1 temos que a bola Bα centrada em xα e de raio r, est´a contida na

região R se e somente se a rela¸cão (2.1) é satisfeita. Como a região R é compacta então sua fronteira ∂R = g−1(0) é compacta, logo existe yα ∈ ∂R tal que satisfaz as equa¸cões

de Lagrange

xα− yα = λ ∇g(yα), (2.4)

g(yα) = 0. (2.5)

O vetor ∇g(yα) ´e perpendicular ao conjunto de n´ıvel g−1(0) = ∂R, onde yα ´e tal

que g(yα) = 0. De fato, seja η : (−, ) −→ g−1(0) tal que η(0) = yα e η(t) ∈ g−1(0) = ∂R,

para todo t ∈ (−, ). Ent˜ao

0 = (g ◦ η)0(0) = dg(η(0)) η0(0) = h∇g(yα), η0(0)i, (2.6)

ver figura 2.1.

Pelas equa¸c˜oes (2.4) e (2.5), podemos calcular xα conhecendo yα e λ usando a

fórmula (2.4) sob certas condi¸cões para R, isto é, podemos representar cada ponto de R por (yα, λ).

Na realidade, desejamos representar os pontos de R, em algum sistema referencial onde seja fácil calcular a distância do ponto xα à fronteira.

Defini¸c˜_{ao. 2.0.2. Sejam R ⊂ R}n_, _{U ⊂ R}m _{e H : U −→ R uma aplica¸c˜}_{ao cont´ınua.}

Dizemos que o par (H, U ) é uma representa¸cão do conjunto R se H é sobrejetora, isto é, H(U ) = R.

(41)

xα yα = η(0) g(x) < 0 ∇g(yα) η0(0) g(y) = 0 r Figura 2.1: Regi˜ao R : g(x) ≤ 0.

Exemplo. 2.0.1. Seja R = {(x, y) | x2+ y2 ≤ 1} o disco unitário, isto é R = B[0, 1] ⊂ R2, então as aplica¸cões:

φ : U = [0, 2 π] × [0, 1] ⊂ R2 _{−→ R}2_, _{φ(t, s) = (s cos(t), s sin(t)),} _(polar)

H : U = S[0, 1] × [0, 1] ⊂ R3 −→ R2_{, H(q, s) = s q}

s˜ao representa¸c˜oes de R, pois

φ([0, 2 π] × [0, 1]) = B[0, 1],

H(S[0, 1] × [0, 1]) = B[0, 1]. Ilustramos estas ideias na figura 2.2.

Logo, com este novo sistema de coordenadas é fácil calcular a distância de um ponto da B[0, 1] à fronteira S[0, 1]. No caso, se p ∈ B[0, 1] então existe (q, s) ∈ S[0, 1] × [0, 1] tal que p = H(q, s), pois H é sobrejetora, logo a distância é dada por: d(p, S[0, 1]) = d(H(q, s), q) = |q(1 − s)|

(42)

o R 1 p = φ(t, s) r q = φ(t, s) ∈ ∂R Figura 2.2: Regi˜ao R : g(x) ≤ 0.

2.1 _{No Plano R}

2

Nesta seçcão analisamos o problema de empacotamento esférico numa região plana, cuja fronteira é uma seçcão cônica, isto é: elipse, c´ırculo, parábola ou uma combina¸cão destas seçcões cônicas. Calcular a distância de um ponto à fronteira ainda nestes casos não é trivial, mas para cada região é poss´ıvel construir uma representa¸cão ou um sistema de coordenadas onde seja fácil calculá-la.

A ideia geométrica é deformar um ponto q ∈ ∂R em p ∈ R tal que d(q, p) = d(p, ∂R), isto pode ser feito usando um conceito semelhante à homotopia.

2.1.1 Elipse

Defini¸c˜ao. 2.1.1. Uma elipse, E , de focos f1 e f2 ´e o conjunto do plano que consiste de

todos os pontos p cuja soma das distˆancias a f1 e f2 ´e igual a uma constante 2 a > 0,

maior do que a distˆancia entre os focos 2c ≥ 0.

No caso, em que f1 = (−c, 0), f2 = (c, 0) e p = (x, y) obtemos a equa¸c˜ao da

elipse: E : b2_x2 _{+ a}2_y2 _{= a}2_b2_{, onde b =} √_a2_{− c}2_{. Neste caso a equa¸c˜}_{ao ´}_{e conhecida}

como forma canˆonica da elipse de centro na origem e reta focal coincidente com o eixo x. Seja E a regi˜ao definida por:

E =(x, y) ∈ R2 b2x2+ a2y2− a2b2 ≤ 0 , (2.7) a qual tem como fronteira a elipse E , isto ´e: ∂E = E .

(43)

Para (x, y) ∈ ∂E, definimos as aplica¸c˜_{oes o : ∂E −→ R}2 _{e r : ∂E −→ R por} o(x, y) = 1 − b 2 a2 x, 0 (2.8) e r(x, y) = r x2 b 4 a4 + y 2_. _(2.9) c1 c2 (x, y) r(x, y) (x, y0) (u, v) o(x, y) E _∂E (u, v) (a, 0) = c3 c0 = (−a, 0) (0, b) (0, −b) Figura 2.3: Regi˜ao E.

Na figura 2.3 ´e poss´ıvel acompanhar graficamente as aplica¸c˜oes definidas em (2.8) e (2.9), onde a primeira representa o centro e a segundo o raio de um disco contido em E, como se observa na figura.

O seguinte lema é muito importante, pois será utilizado para construir as equa¸cões que descrevem um empacotamento esférico em E, isto é, para garantir as condi¸cões sob as quais os discos estão contidos na região E.

Lema. 2.1.1. Seja (x, y) ∈ ∂E, ent˜ao 1. B[o(x, y), r(x, y)] ⊂ E,

2. o(x, y) = o(x0, y0) ⇒ x = x0, y = ±y0.

Demonstra¸c˜ao. Seja (u, v) ∈ B[o(x, y), r(x, y)] ent˜ao d((u, v), o(x, y)) ≤ r(x, y)

(44)

d((u, v), o(x, y))2 ≤ r(x, y)2 u − x " 1 − b a 2#!2 + v2 ≤ x2 b a 4 + y2, u2− 2ux " 1 − b a 2# + x2 " 1 − b a 2#2 + v2 ≤ x2 b a 4 + y2, u2 − 2ux " 1 − b a 2# + x2− 2x2 b a 2 + x2 b a 4 + v2 ≤ x2 b a 4 + y2, u2 − 2ux " 1 − b a 2# + x2− 2x2 b a 2 + v2 ≤ y2, u2− 2ux " 1 − b a 2# + x2− x2 b a 2 + v2 ≤ x2 b a 2 + y2, u2− 2ux " 1 − b a 2# + x2 " 1 − b a 2# + v2 ≤ b2_, u2+ x2− 2ux " 1 − b a 2# + v2 ≤ b2_, u2+ x2− 2ux " 1 − b a 2# + u2 " 1 − b a 2# − u2 " 1 − b a 2# + v2 ≤ b2_, u2− u2 " 1 − b a 2# + x2− 2ux " 1 − b a 2# + u2 " 1 − b a 2# + v2 ≤ b2_, u2 b a 2 + x2− 2ux + u2 " 1 − b a 2# + v2 ≤ b2_, u2 b a 2 + (x − u)2 " 1 − b a 2# + v2 ≤ b2_, u2 b a 2 + v2 ≤ b2_,

(45)

finalmente

u2b2+ v2a2 ≤ a2_b2_.

Da´ı conclu´ımos que (u, v) ∈ E, isto ´e:

B[o(x, y), r(x, y)] ⊂ E.

Apresentamos agora uma fun¸cão representa¸cão para a elipse, em que cada ponto p da região E é representado por três números reais (x, y, s), onde (x, y) ∈ E e s ∈ [0, 1] ´

e um parâmetro que indica o grau de afastamento do ponto (x, y) à fonteira ∂E. Seja a aplica¸cão H : ∂E × [0, 1] −→ E definida por

H(x, y; s) = (σ(s) x, s y) , (2.10) onde σ(s) = 1 + (s − 1) b 2 a2 .

A aplica¸cão H é uma representa¸cão da região E. De fato, pela defini¸cão H é polinomial logo uma fun¸cão cont´ınua, assim só falta mostrar que H é sobrejetora.

Seja (u, v) ∈ E. Temos que mostrar que existe (x0, y0, s0) ∈ ∂E × [0, 1] tal que

H(x0, y0, s0) = (u, v). Isto ´e, temos que resolver o sistema de equa¸c˜oes

σ(s) x = u, (2.11) s y = v, (2.12) x2 a2 + y2 b2 = 1, (2.13)

nas vari´aveis x, y e s.

Sem perda de generalidade, suporemos a > b.

Caso. 1. Suponhamos e v 6= 0 ent˜ao s 6= 0 e y 6= 0, da´ı substituindo as equa¸c˜oes (2.11),(2.12) em (2.13) obtemos (b u s)2+ (a v σ(s))2 = (a b s σ(s))2, (2.14) ou −b 2_s2_(a2_{+ b}2_{(s − 1))}2 a2 + v2_(a2_{+ b}2_{(s − 1))}2 a2 + b 2_s2_u2 _{= 0.} _(2.15)

(46)

Resolver diretamente (2.15) é muito dif´ıcil pois é um polinômio de grau 4 em s. Usaremos o teorema de valor intermediário para garantir que o sistema (2.11)-(2.13), tem pelo menos uma solu¸cão.

Seja φ : [0, 1] −→ R, definida como

φ(s) = (b u s)2+ (a v σ(s))2− (a b s σ(s))2. (2.16) A aplica¸c˜ao φ ´e cont´ınua no seu dom´ınio e tem as seguintes propriedades

1. φ(0) = 1 − b_a22 > 0,

2. φ(1) = (b u)2 _{+ (a v) − (a b)}2 _{≤ 0.}

pelo teorema do valor intermedi´ario conclu´ımos que existe s0 ∈ (0, 1] tal que φ(s0) = 0.

Para obter x, y basta substituir s por s0 nas equa¸c˜oes (2.11) e (2.12).

Caso. 2. Suponhamos que a (1 −_ab22) ≤ u ≤ a e v = 0, isto ´e o ponto se localiza

no segmento [c2, c3] (ver figura 2.3). Ent˜ao o ponto (u, 0) pertence ao segmento de reta

que liga os pontos (a (1 − b2

a2), 0) e (a, 0), e H(a, 0, s) ´e uma curva que liga estes pontos,

logo existe s0 ∈ [0, 1]. Similarmente se c0 = −a ≤ u ≤ −a (1 − b

2

a2) = c1, neste caso basta

considerar H(−a, 0, s).

Caso. 3. Suponhamos −a (1 − _ab22) ≤ u ≤ a (1 −

b2

a2) e v = 0, isto ´e o ponto se

localiza no segmento [c1, c2], (ver figura 2.3) ent˜ao −aσ(0) ≤ u ≤ aσ(0) se e somente se

−a ≤ u σ(0) ≤ a se e somente se u2 σ(0)2 ≤ a2, σ(0) x = u, (2.17) 0 y = 0, (2.18) x2 a2 + y2 b2 = 1. (2.19)

Substituindo (2.17) na equa¸c˜ao (2.19) obtemos

y2 = b 2 a2 a2− u 2 σ(0)2 . (2.20)

Por hip´otese a2 ₋ u2

(47)

y. x0 = u σ(0), y0 = ± s b2 a2 a2₋ u 2 σ(0)2 , s0 = 0.

Na figura 2.4, ilustramos geometricamente que a distância entre p ∈ E e ∂E pode ser calculada usando a representa¸cão H, pois p = H(q, s) para algum (q, s) ∈ ∂E × [0, 1]. Observamos que a bola B[p, d(p, q)] ⊂ E e q ∈ ∂E, da´ı d(p, ∂E) = d(H(q, s), q), isto é, podemos descrever o ponto p em termos da fronteira de E mais um parâmetro adicional s, o qual permite calcular d(p, ∂E).

c1 c2 q o(q) r(q) E ∂E p

Figura 2.4: d(p, ∂E) = d(H(q, s), ∂E) = d(H(q, s), q).

Corol´ario. 2.1.1. Seja p ∈ E, ent˜ao existe (q, s) ∈ ∂E × [0, 1] tal que H(q, s) = p e d(p, q) = d(p, ∂E).

Demonstra¸cão. Seja p ∈ E. Como a aplica¸cão H é sobrejetora, então existe (q, s) ∈ ∂E × [0, 1] tal que H(q, s) = p. Pelo lema 2.1.1 temos que B[o(q), r(q)] ⊂ E, da´ı pelo lema 1.2.1 temos que

o(q) ∈ E, d(o(q), ∂E) ≥ r(q).

Pela defini¸cão de H, temos que p é um ponto no segmento de reta que liga os pontos q e o(q), isto é q, p, o(q) são colineares, logo

(48)

ent˜ao

B[p, d(p, q)] ⊂ B[o(q), r(q)] ⊂ E. Da´ı

B[p, d(p, q)] ⊂ E ⇐⇒ p ∈ E, d(p, ∂E) ≥ d(p, q), o ponto q ∈ ∂E portanto

d(p, q) = d(p, ∂E). (2.22)

Do corolário 2.1.1 podemos obter uma fórmula para calcular a distância de um ponto p ∈ E à fronteira ∂E. Isto resolve o problema de empacotar discos de mesmo raio numa elipse.

O problema de empacotamento esférico pode ser descrito por um sistema finito de equa¸cões não lineares, diferenciáveis usando as novas coordenadas (x, y, s).

Na desigualdade

d(p, ∂E) ≥ r

usando a fun¸cão de representa¸cão H, substituimos p por H(q, s), isto é

d(H(q, s), ∂E) = d(H(q, s), q) (2.23)

e assim obtemos um método para calcular a distância à fronteira da região E, a qual permite calcular o núcleo de E.

H(q, s) ∈ Kr(E)⇐⇒    q ∈ ∂E 0 ≤ s ≤ 1, d(q, H(q, s)) ≥ r. (2.24) Da´ı Ωk=              (H(q1, s1), . . . , H(qk, sk)) ∈ Rk 3 q ∈ ∂E, d(H(qi, si), qi) ≥ r, d(H(qi, si), H(qj, sj)) ≥ 2 r, i 6= j 0 ≤ si ≤ 1, ∀i, j ∈ Ik = {1, ..., k},              . (2.25)

(49)

Para simplificar definimos o conjunto Ωk =                      H((xi, yi, si))kj ∈ R k 3 b2(xi)2+ a2(yi)2 = a2b2, (si − 1)2 h (xi₎2 b a 4 + (yi₎2i_{≥ r}2_, (σ(si)xi− σ(sj)xj)2+ (siyi− sjyj)2 ≥ (2 r)2 0 ≤ si ≤ 1, ∀i, j ∈ Ik = {1, ..., k}, σ(s) = 1 + (s − 1) _ab2.                      . (2.26) Exemplo. 2.1.1. Seja r = 1, e E1 = (x, y) ∈ R2| x 2 25+ y2 9 ≤ 1 (2.27) Usando o solver algencan [ABMS07], calculamos o n´umero de empacotamento np obtendo

np ≈ 11. A configura¸c˜ao obtida ´e ilustrada na figura 2.5.

Figura 2.5: r = 1, np ≈ 11.

Para r = 1₂ e E1 calculamos o n´umero de empacotamento np obtendo np ≈ 47 e

a configura¸cão obtida é ilustrada na figura 2.6. Para r = 1, e E2 = (x, y) ∈ R2| x 2 64+ y2 4 ≤ 1 (2.28) obtivemos np ≈ 11 com a seguinte configura¸cão da figura 2.7.

(50)

Figura 2.6: r = 1₂, np ≈ 47.

Figura 2.7: r = 1, np ≈ 11.

2.1.2 Intersec¸

c˜

ao de Elipses

Consideremos o problema de empacotar discos num contêiner formado pela interseçcão de duas ou mais elipses. Para resolver o problema podemos usar duas fun¸cões auxiliares constru´ıdas sob o mesmo racioc´ınio da se¸cão anterior.

Sejam E e F duas elipses centradas nos pontos pE e pF, com ˆangulo de rota¸c˜ao

θE e θF com respeito ao eixo x respectivamente, como se mostra na figura 2.8.

Para construir uma representa¸cão, isto é, uma fun¸cão auxiliar, definimos explici-tamente a aplica¸c˜_{ao T : R}2 _{−→ R}2 dada por:

T (p) = p0+ G(θ) p (2.29)

onde G é a matriz de rota¸cão no sentido anti-horário, definida por:

G(θ) = cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ)

(51)

F pF R O θF = 0 E pE θE Figura 2.8: R = E ∩ F.

Suponhamos conhecida a equa¸cão canônica E0 e F0 das elipse E e F , então po-demos definir as representa¸cões ¯HE : ∂E0 × [0, 1] −→ E e ¯HF : ∂F0× [0, 1] −→ F de E e

F respectivamente, dadas como ¯

HE(qE0, s_E0) = p_E0+ G(θ_E0)H_E0(q_E0, s_E0), H¯_F(q_F0, s_F0) = p_F + G(θ_F0)H_F0(q_F0, s_F0).

As aplica¸cões ¯HE e ¯HF são sobrejetoras, pois T é uma aplica¸cão bijetora e HE, HF é

sobrejetora.

Seja p ∈ E ∩ F, ent˜ao existem (qE0, s_E0) ∈ ∂E0× [0, 1] e (q_F0, s_F0) ∈ ∂F0 × [0, 1]

tais que: ¯ HE(qE0, s_E0) = p (2.31) e ¯ HF(qF0, s_F0) = p. (2.32)

Ent˜ao, pelas equa¸c˜oes (2.31) e (2.32), obtemos a seguinte igualdade: ¯

HE(qE0, s_E0) = ¯H_F(q_F0, s_F0). (2.33)

A equa¸cão (2.33) obriga o ponto p a ficar na interse¸cão das elipses E e F , logo será adicionada em nosso sistema de equa¸cões que determinam o empacotamento na interse¸cão.

(52)

Finalmente, descrevemos as equa¸cões que determinam o empacotamento, neste caso um ponto p é descrito em fun¸cão de quatro variáveis (qE0, s_E0, q_F0, s_F0) :

Ωk =                                ( ¯HE(qEi0, s_E0_i))k_i=1∈ Rk 2 qi_E0 ∈ ∂E0, d( ¯HE(qiE0, s_E0_i), qi E0) ≥ r, d( ¯HE(qiE0, s_E0_i), ¯H_E(qi E0, s_E0_i)) ≥ 2 r, 0 ≤ sE0_i ≤ 1, qi F0 ∈ ∂F0, d( ¯HF(qFi0, s_F0_i), qi F0) ≥ r, 0 ≤ sF0_i ≤ 1, ¯ HE(qiE0, s_E0_i) = ¯H_F(qi F0, s_F0_i), ∀i, j ∈ Ik = {1, ..., k},                                . (2.34)

Supondo que as equa¸c˜oes canˆonicas das elipses E e F sejam: E0 : x 2 a2 + y2 b2 ≤ 1, F 0 : x 2 c2 + y2 d2 ≤ 1, (2.35)

podemos reescrever o sistema (2.34) , onde a ≥ b e c ≥ d :

Ωk =                                                H((xi, yi, si))kj b2(xi_E0)2+ a2(y_Ei0)2 = a2b2, (sE0_i− 1)2 h (xi_E0)2 b_a 4 + (yi_E0)2 i ≥ r2_, (σ(sE0_i)xi E0 − σ(s_E0_j)xj E0)2+ (s_E0_iyi E0 − s_E0_jyj E0)2 ≥ (2 r)2 0 ≤ sE0_i ≤ 1, d2(xi_F0)2 + c2(y_Fi0)2 = d2c2, (sF0_i− 1)2 h (xi F0)2 d c 4 + (yi F0)2 i ≥ r2_, 0 ≤ sF0_i ≤ 1, ∀i, j ∈ Ik= {1, ..., k}, σE0(s_E0_i)xi E0− σ_F0(s_F0_i)xi F0cos(θ_E0 − θ_F0)− sF0_iyi

F0sin(θ_E0 − θ_F0) = cos(θ_E0)(y0

F) + sin(θE0)(y0 F), sE0_iyi E0 − σ_F0(s_F0_i)xi F0sin(θ_E0 − θ_F0)− sF0_iyi

F0cos(θ_E0 − θ_F0) = − sin(θ_E0)(y0

F) + cos(θE0)(y0 F),                                                . (2.36) onde σE(s) = 1 + (s − 1) a b 2 e σF0(s) = 1 + (s − 1) d c 2 .

(53)

Exemplo. 2.1.2. Sejam as elipses E e F , centradas em pE = (3, 2) e pF = (3, 1) com

equa¸c˜oes canˆonicas E0 : x2

(√17)2 + y2 22 = 1 e F 0 _: x2 52 + y2 22 = 1, e rota¸c˜ao θE = arctan1₄ e

θF = 0 respectivamente, logo as matrizes de rota¸c˜ao s˜ao:

GE(θE) = 4 √ 17 − 1 √ 17 1 √ 17 4 √ 17 ! , GF(θF) = 1 0 0 1 . (2.37)

A configura¸c˜ao para r = 1₂ ´e mostrada na figura 2.9.

Figura 2.9: r = 1

2, np ≈ 16.

Exemplo. 2.1.3. Sejam as elipses E e F , centradas em pE = (2,7₂) e pF = (3, 1) com

equa¸c˜oes canˆonicas E0 : x₅22 +

y2 12 = 1 e F 0 _: x2 52 + y2 22 = 1, e rota¸c˜ao θE = π₂ e θF = 0

respectivamente, neste caso o n´umero de empacotameno ´e aproximadamente np ≈ 9. A

configura¸c˜ao ´e mostrada na figura 2.10.

Usando as equa¸cões (2.36), podemos empacotar discos de mesmo raio numa in-terse¸cão de n elipses arbitrárias. Mostramos isto no seguinte exemplo.

Exemplo. 2.1.4. Sejam as elipses E1, E2 e E3, centradas em pE1 = (0, 3), pE2 =

(−3₂,3 √ 3 2 ) e pE3 = (− 3 2, − 3√3

2 ) com equa¸cões canônicas E 0 1 : x2 52 + y2 42 = 1 e E 0 2 : x2 52 + y2 32 = 1 e E₃0 : x₆22+ y2 32 = 1, e rota¸cão θE1 = 0, θE2 = 2 π 3 e θE2 = 4 π

3 respectivamente. Da´ı o n´umero

de empacotamento ´e np ≈ 14, com a configura¸c˜ao da figura 2.11.

2.1.3 Par´

abola

Nesta subse¸cão consideramos o problema de empacotamento esférico numa região plana limitada inferiormente por uma parábola , e limitada superiormente por uma reta.

(54)

Pri-Figura 2.10: r = 1₂, np ≈ 9.

Figura 2.11: r = 1₂, np ≈ 14.

meiro definimos formalmente uma par´abola.

Defini¸cão. 2.1.2. Sejam l uma reta no plano e f um ponto no plano não pertencente a l. A parábola, P, de diretriz l e foco f é o conjunto que consiste de todos pontos p do plano que são equidistantes do ponto f e da reta l.

P = _{p ∈ R}2 | d(p, f ) = d(p, l) . (2.38)

O número 2 ρ = d(f, l) é o parâmetro da parábola. A forma canônica da parábola em rela¸cão ao sistema de coordenadas oxy é a equa¸cão

(55)

e o contˆeiner ser´a descrito por: R = (x, y) ∈ R2 4 ρ y ≥ x2_, xa + by ≤ c . (2.39)

Para resolver o problema do empacotamento esf´erico definimos o conjunto auxiliar P = {(x, y) ∈ R2_| _{4 ρ y ≤ x}2_},

cuja fronteira ´e uma par´abola, e aplica¸c˜_{ao o : ∂P −→ R}2 definida como:

o(x, y) = (0, y + 2 ρ). P x y o(q) P : 4 ρ y≥ x2 ax + by = c R ∂R q p (u, v) Figura 2.12: R descrita em (2.39)

Na figura 2.12 observa-se que o disco centrado em o(q) e raio d(q, o(q)) está contido no conjunto P e intercepta á fronteira no ponto q. Isto mostra que a distância entre o(q) e ∂P é exatamente d(q, o(q)). Um disco com centro p no segmento qo(q) e raio menor que d(q, p) está contido no conjunto P. Mais formalmente temos:

Lema. 2.1.2. Seja q ∈ ∂P ent˜ao 1. B[o(q), d(q, o(q))] ⊂ P.

(56)

2. Se o(x, y) = o(x0, y0) ent˜ao y = y0 e x = ±x0.

Demonstra¸c˜ao. Sejam q = (x, y) e (u, v) ∈ B[o(q), d(q, o(q))], ent˜ao d((u, v), o(q)) ≤ d(q, o(q))

se e somente se

d((u, v), o(q))2 ≤ d(q, o(q))2_,

u2+ (v − (y + 2ρ))2 ≤ x2+ (y − (y + 2p))2, u2+ v2− 2v(y + 2ρ) + (y + 2ρ)2 _{≤ x}2_{+ (2ρ)}2_,

u2+ v2− 2v(y + 2ρ) + y2_{+ 4ρy + (2ρ)}2 _{≤ x}2_{+ (2ρ)}2_.

Como q ∈ ∂P ent˜ao 4ρy = x2, e assim

u2+ v2− 2vy − 4vρ + y2 _{≤ 0}

u2− 4vρ + (v2− 2vy + y2) ≤ 0 u2 − 4vρ + (v − y)2 _{≤ 0}

u2− 4vρ ≤ 0, (2.40)

pois (v − y)2 ≥ 0. Finalmente a desigualdade (2.40) mostra que B[o(q), d(q, o(q))] ⊂ P.

Gostar´ıamos de ter um sistema de coordenadas, pelo menos do contêiner, que nos permitisse o cálculo da distância de um ponto p à fronteira ∂P, para determinar se um disco está nele ou não. Usando o lema 2.1.2, isto é poss´ıvel, pois dado um ponto p ∈ P este pode ser escrito em fun¸cão de três parâmetros (x, y, s) onde (x, y) ∈ ∂P e s ∈ [0, 1].

Seja

H : ∂P × [0, 1] −→ P, (2.41)

definida como

(57)

A aplica¸cão H é uma representa¸cão do conjunto P. De fato H é uma aplica¸cão cont´ınua e é sobrejetora.

Seja (u, v) ∈ P. Mostremos que existe (x0, y0, s0) ∈ ∂P×[0, 1] tal que H(x0, y0, s0) =

(u, v). Isto ´e equivalente a resolver o sistema:

s x = u, (2.43) y + 2 ρ (1 − s) = v, (2.44) x2 = 4 ρ y. (2.45) A equa¸c˜ao (2.43) ´e equivalente a s2x2 = u2. (2.46) Substituindo (2.45) em (2.46) obtemos s24 ρ y = u2, (2.47)

isolando y da equa¸c˜ao (2.44) e substituindo em (2.47) obtemos

s24 ρ (v − 2 ρ (1 − s)) = u2. (2.48)

Novamente para mostrar que existe um n´umero real no intervalo [0, 1], fazemos uso do teorema do valor intermedi´ario.

Seja a fun¸c˜_{ao auxiliar φ : [0, 1] −→ R definida como}

φ(s) = s24 ρ (v − 2 ρ (1 − s)) − u2, (2.49)

a fun¸c˜ao φ ´e cont´ınua e satisfaz: 1. φ(0) = −u2 _{≤ 0,}

2. φ(1) = 4 ρ v − u2 ≥ 0,

pois, por hip´otese (u, v) ∈ P. Logo conclu´ımos pelo teorema de valor intermedi´ario que existe s0 ∈ [0, 1] tal que φ(s0) = 0. Obtido o valor de s substitu´ımos em (2.43),(2.44) ou

(2.45) para calcular os valores de x0 e y0.

Corol´ario. 2.1.2. Seja p ∈ P, ent˜ao existe (q, s) ∈ ∂P × [0, 1] tal que H(q, s) = p e d(p, q) = d(p, ∂P).

(58)

Demonstra¸cão. Seja p ∈ P, como a aplica¸cão H é sobrejetora temos que existe (q, s) ∈ ∂P × [0, 1] tal que H(q, s) = p. Pelo lema 2.1.2 temos que B[o(q), r(q)] ⊂ P, onde r(q) = d(q, o(q)). Da´ı pela lema 1.2.1 temos que

o(q) ∈ P d(o(q), ∂P) ≥ r(q).

Pela defini¸cão de H, p é um ponto no segmento de reta que liga os pontos q e o(q), isto é q, p, o(q) são colineares, assim

d(o(q), p) + d(p, q) = r(q), (2.50) ent˜ao B[p, d(p, q)] ⊂ B[o(q), r(q)] ⊂ P, da´ı B[p, d(p, q)] ⊂ P ⇐⇒ p ∈ P, d(p, ∂) ≥ d(p, q). O ponto q ∈ ∂P ent˜ao d(p, q) = d(p, ∂P). (2.51)

O corolário 2.1.2 proporciona um método para calcular a distância de um ponto p = H(H(q, s)) à fronteira do conjunto P, o qual resolve o problema de empacotamento esférico:

d(H(q, s), ∂P) = d(H(q, s), q). (2.52)

Nossa região R tem fronteira formada por uma parte de ∂P e a reta L : ax+by = c. Suponhamos r > 0, então o ponto p ∈ Kr(R) se e só se d(p, ∂P) ≥ r e d(p, L) ≥ r. O

ponto p na nova representa¸cão é descrito por p(q, s) = H(q, s), um ponto q ∈ ∂P e um parâmetro s. Da´ı H(q, s) ∈ Kr(R) ⇐⇒          q ∈ ∂P, 0 ≤ s ≤ 1, d(q, H(q, s)) ≥ r, hH(q, s), (a, b)i ≤ c − r√a2_{+ b}2_. (2.53)

(59)

Logo podemos escrever as equa¸c˜oes que caracterizam um empacotamento de np

discos na regi˜ao R usando a equivalˆencia (2.53):

Ωk =                  (H(xi, yi; si))ki (xi)2 = 4 ρ yi, a sixi+ (yi+ 2 ρ (1 − si)) b ≤ c − r √ a2_{+ b}2_, r2 ≤ (1 − si)2((xi)2+ (2 ρ)2), (2 r)2 ≤ [(sixi− sjxj)2+ (yi− yj+ 2 ρ (sj − si))2], i < j 0 ≤ si ≤ 1. ∀i, j ∈ Ik = {1, . . . , k}                  . (2.54) O conjunto Ωkdescrito em (2.54) determina um empacotamento de k discos em R.

Para encontrar o número máximo de discos em R determinamos a sequência de conjuntos Ωk para k = 1, . . . até encontrar Ωk = ∅.

Exemplo. 2.1.5. Sejam ρ = 1₄ e a = 1, b = 0 e c = 7, então, resolvendo o sistema (2.54) para k = 1, . . . podemos calcular o número de empacotamento np para a região R.

Primeiro para r = 1 o n´umero de empacotamento ´e np ≈ 4, (ver figura 2.13) e para r = 1₂

o n´umero de empacotamento ´e np ≈ 22 (ver figura 2.14).

R = (x, y) ∈ R2 y ≥ x2_, y ≤ 7 (2.55) P : y ≥ x2 y = 7 Figura 2.13: r = 1, np ≈ 4 P : y ≥ x2 y = 7 Figura 2.14: r = 1₂, np ≈ 22

(60)

Exemplo. 2.1.6. O contêiner não necessariamente tem que ser convexo, no seguinte exemplo a região R é não convexa, neste exemplo a parte superior da região é parte de uma circunferência. No cap´ıtulo 1 mostramos que é fácil calcular a distância de um ponto a uma curva esférica ou reta. Seja a região R dada por:

R =    (x, y) ∈ R2 y ≥ x2_, y ≤ 9, x2+ y2 ≥ 9    . (2.56)

Para r = 1₂ o n´umero de empacotamento ´e np ≈ 19, ver figura 2.15.

P : y ≥ x2

Figura 2.15: r = 1₂, np ≈ 19.

2.2 No espa¸

_{co R}

3

Nesta se¸cão nosso objetivo é resolver o problema de empacotamento esférico num contˆ ei-ner tridimensional R, não necessariamente poliedral ou esférico, isto é, dadas k esferas gostar´ıamos de saber se é poss´ıvel empacotar em R as k esferas.

Seja R uma regi˜_{ao em R}3 _{definida por uma fun¸c˜}_{ao g : R}3 _{−→ R, diferenci´avel,}

isto ´e:

R = {q ∈ R3 | g(q) ≤ 0}.

Suponhamos que a bola B[p, r] está contida em R, e intercepta ∂R pelo menos num ponto q0, então q0 é uma solu¸cão para o problema,

min

(61)

Da´ı o vetor gradiente ∇g(q0) ´e perpendicular `a superf´ıcie ∂R, e paralelo ao vetor q0 − p.

Logo é razoável construir um sistema de coordenadas em R, onde seja poss´ıvel aproximar sua fronteira transversalmente e onde seja fácil calcular a distância do ponto p à fronteira.

2.2.1 Cone

Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana Π (delimitada por uma curva suave, a base).

Consideremos R =    (x, y) ∈ R2 α2_x2_{+ α}2_y2 _{≤ β}2_z2_, a x + b y + c z ≤ d, a0x + b0y + c0z ≥ d0,    . (2.57)

O problema de empacotamento esférico em R pode ser resolvido usando dois métodos: calculando explicitamente o núcleo de R, ou construindo um sistema de coor-denadas onde seja fácil calcular a distância de um ponto do sólido à fronteira dele.

Definimos o conjunto auxiliar

C =_{(x, y, z) ∈ R}3 _| _α2_x2_{+ α}2_y2 _{≤ β}2_z2 _. _(2.58)

Seja a aplica¸c˜_{ao o : ∂C −→ R}3 definida como

o(x, y, z) = (0, 0, z γ) (2.59)

onde γ =1 + β_α2.

Seja r : ∂C −→ R definida por

r(x, y, z) =pη (η + 1) |z|, (2.60)

onde η = β_α22.

As ideias geométricas para construir uma parametriza¸cão na qual seja fácil cal-cular o núcleo de R são similares aos casos anteriores: elipse e parábola.

O lema seguinte é muito importante, pois é muito útil para obter uma fórmula para calcular a distância de um ponto do sólido à fronteira.

(62)

Lema. 2.2.1. Seja q ∈ ∂C, ent˜ao

B[o(q), r(q)] ⊂ C. Demonstra¸c˜ao. Seja p = (u, v, w) ∈ B[o(q), r(q)], ent˜ao

d(p, o(q))2 ≤ r(q)2_, _(2.61)

u2+ v2+ (w − zγ)2) ≤ η (η + 1) |z|2, u2+ v2+ (w − z(1 + η))2) ≤ η |z|2+ η2|z|2_,

u2+ v2+ (w − z)2 − 2wηz + 2 z2_{η + (η z)}2 _{≤ η |z|}2_{+ η}2_|z|2_,

como (w − z)2 _{≥ 0, e simplificando obtemos}

u2+ v2− 2wηz + z2η ≤ 0, u2+ v2+ w2η − 2wηz + z2η ≤ w2η,

u2+ v2+ (w − z)2− w2_{η ≤ 0,}

finalmente como (w − z)2 ≥ 0, ent˜ao

u2+ v2− w2_{η ≤ 0,} se, e s´o se, α2u2+ α2v2− β2w2 ≤ 0, pois η = _αβ. Definimos H : ∂C × [0, 1] −→ C por H(x, y, z, s) = (s x, s y, z (γ + s (1 − γ))). (2.62)

A aplica¸cão H é cont´ınua, e afirmamos que H é uma representa¸cão do conjunto C de-finido em (2.58) pois é sobrejetora, De fato; seja (u, v, w) ∈ C. Mostremos que existe (x0, y0, z0, s0) ∈ ∂C × [0, 1] tal que H(x0, y0, z0, s0) = (u, v, w). Isto é equivalente a

mos-trar que o sistema a seguir sempre tem pelo menos uma solu¸c˜ao

s x = u, (2.63)

s y = v, (2.64)

(γ + s (1 − γ)) z = w, (2.65)

(63)

Multiplicando a equa¸c˜ao (2.66) por s2 _obtemos

α2(x s)2+ α2(y s)2 = β2(zs)2. (2.67)

Substituindo as equa¸c˜oes (2.63), (2.64) na equa¸c˜ao (2.67) obtemos

α2u2+ α2v2 = β2z2s2. (2.68)

Multiplicando a equa¸c˜ao (2.68) por (γ + s (1 − γ))2 temos

(γ + s (1 − γ))2(α2u2+ α2v2) = β2((γ + s (1 − γ)) z)2s2. (2.69) Usando a equa¸cão (2.65) na equa¸cão (2.69), obtemos um polinômio em s,

(γ + s (1 − γ))2(α2u2+ α2v2) = β2w2s2. (2.70) Mostremos que existe um número real s no intervalo [0, 1] que satisfa¸ca a equa¸cão (2.70). A existência de s é garantida pelo teorema do valor intermediário, da seguinte forma:

Seja φ : [0, 1] −→ R definida como

φ(s) = (γ + s (1 − γ))2(α2u2+ α2v2) − β2w2s2. (2.71) A fun¸c˜ao φ ´e cont´ınua no seu dom´ınio e satisfaz:

1. φ(0) = γ2_(α2_x2_{+ α}2_y2_{) ≥ 0,}

2. φ(1) = α2u2+ α2v2− w2_β2 _{≤ 0, pois (u, v, w) ∈ C.}

Pelo teorema do valor intermedi´ario conclu´ımos que existe s0 ∈ [0, 1] tal que φ(s0) = 0.

Note que ξ(s) = γ + s (1 − γ) 6= 0 para todo s ∈ [0, 1], pois ξ(s) é uma fun¸cão decrescente, e ξ(0) = γ ≥ ξ(1) = 1. Se s = 0 então 0 = u, 0 = v e z = _ξ(0)w . Se s 6= 0 então s = s0, x0 = u s0 , y0 = v s0 , z0 = w (γ + s (1 − γ)). Logo a fun¸cão H é sobrejetora.

Usando a representa¸cão H podemos obter uma fórmula para calcular a distância de um ponto p ∈ C à fronteira ∂C.