lista4 2019.1

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Algebra Linear - UFPE - 2019.1

Lista de exerc´ıcios 4

COMENT ´ARIOS

(1) Lembre que todos os resultados sobre espa¸cos vetoriais que foram obtidos são automaticamente válidos em qualquer espa¸co vetorial, seja ele Rn, Pn, Mm×n(R), C0([a, b]; R), .... .Isto é devido ao

simples fato de que tais resultados foram obtidos fazendo-se uso apenas das propriedades das opera¸cões que são comuns a todos esses espa¸cos: as opera¸cões de soma e de multiplica¸cão por escalar.

Da mesma forma, qualquer resultado sobre produto interno obtido fazendo-se uso exclusivo das propriedades que o definem vale indiscriminadamente em espa¸cos vetoriais munidos de quaisquer produtos interno. Por exemplo, a desigualdade de Cauchy-Schwartz quando aplicada ao Rnmunido do produto interno canˆonico nos diz que

|x1y1+ · · · + xnyn| ≤ (x21+ · · · + x2n)

1/2_{· (y}2

1 + · · · + yn2) 1/2

enquanto que a mesma desigualdade, quando aplicada ao produto interno hf, gi =Rb

af (t)g(t)dt no

espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas definidas em [a, b], nos fornece a desigualdade sobre integrais Z b a f (t)g(t)dt ≤ hZ b a [f (t)]2dt i1/2 ·h Z b a [g(t)]2dt i1/2

(2) Um esclarecimento sobre o produto interno hf, gi =R_abf (t)g(t)dt

O produto interno dado pela integral permite introduzir a seguinte no¸c˜ao de distˆancia ||f − g|| = h

Z b

a

[f (t) − g(t)]2dt i1/2

entre fun¸cões cont´ınuas definidas em [a, b]. Por outro lado, a área compreendida entre os gráficos de f e g é igual aR_ab|f (t) − g(t)|dt. Com o aux´ılio da desigualdade de Cauchy-Schwartz para integrais, ´

e poss´ıvel mostrar que

||f − g|| ≥ √ 1 b − a

Z b

a

|f (t) − g(t)|dt.

Portanto: tão menor será a área entre os gráficos de f e g quanto o for a distância ||f − g|| entre f e g.

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No exerc´ıcio 7 desta lista mostra-se que as fun¸c˜oes

1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), ... , cos(mx), sin(mx), ... s˜ao duas a duas ortogonais com respeito ao produto interno

hf, gi = Z π

−π

f (t)g(t)dt.

Uma fun¸cão que é uma combina¸cão linear das 2m + 1 primeiras fun¸cões acima é dita um polinômio trigonométrico de ordem m. Logo, um polinômio trigonométrico de ordem m é uma fun¸cão do tipo

p(x) = a0+ a1cos(x) + b1sin(x) + · · · + amcos(mx) + bmsin(mx).

Se estivermos interessados em encontrar entre todos os polinômios trigonométricos de ordem m o que melhor aproxima uma dada fun¸cão cont´ınua f : [−π, π] → R, no sentido de minimizar a distância ||f − p||, devemos projetar f ortogonalmente sobre o subespa¸co Wm de C0([−π, π]; R)

formado por todos os polinômios trigonométricos de ordem m, isto é, sobre Wm = Ger

h

1, cos(x), sin(x), ..., cos(mx), sin(mx) i

.

Denotando por φ0 = 1, φ1= cos(x), ψ1 = sin(x),..., φm= cos(mx), ψm = sin(mx), por serem duas

a duas ortogonais estas fun¸c˜oes formam uma base ortogonal para Wm, da´ı

Proj_W_m(f ) = hf, φ0i hφ0, φ0i φ0+ hf, φ1i hφ1, φ1i φ1+ hf, ψ1i hψ1, ψ1i ψ1+ · · · + hf, φmi hφm, φmi φm+ hf, ψmi hψm, ψmi ψm.

Portanto, o polinômio trigonométrico de ordem m que está mais próximo de f será pm(x) = a0+ a1cos(x) + b1sin(x) + · · · + amcos(mx) + bmsin(mx)

onde os coeficientes a0, a1, b1, ..., am, bm s˜ao dados por

a0 = hf, φ₀i hφ₀, φ0i = 1 2π Z π −π f (x)dx ak= hf, φki hφk, φki = 1 π Z π −π f (x) cos(kx)dx , bk= hf, ψki hψk, ψki = 1 π Z π −π f (x) sin(kx)dx.

Estes coeficientes foram introduzidos por Joseph Fourier no estudo da propaga¸cão do calor e são, em sua homenagem, chamados de coeficientes de Fourier da fun¸cão f . O Teorema de Fourier, estudado no cálculo 4, afirma que se f for derivável em [−π, π], e se f (−π) = f (π), então fazendo m → ∞ obtem-se f (x) = a0+ ∞ X k=1 (akcos(kx) + bksin(kx)).

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EXERC´ICIOS

1. Mostre que a seguinte regra define um produto interno em R2:

< x1 y1 , x2 y2 > = 2x1x2− x1y2− x2y1+ 2y1y2

2. Mostre que o Teorema de Pitágoras: Se u e v são dois vetores ortogonais num espa¸co vetorial V munido de um produto interno , então

||u − v||2 = ||u||2+ ||v||2.

Qual a interpreta¸cão geométrica desta igualdade no caso em que o espa¸co em questão é o R2 munido do produto escalar?

3. Mostre que em qualquer espa¸co vetorial munido de um produto interno vale a identidade do paralelogramo:

||u + v||2+ ||u − v||2 = 2(||u||2+ ||v||2).

Qual a interpreta¸cão geométrica desta igualdade no caso em que o espa¸co em questão é o R2 munido do produto escalar?

4. Dados quaisquer dois vetores u, v em um espa¸co vetorial munido de um produto interno, mostre que os vetores ||u||v + ||v||u e ||u||v − ||v||u s˜ao ortogonais.

5. Seja W o subespa¸co de R4 gerado pelos vetores     1 0 −1 2     ,     1 1 1 0     ,     2 1 0 2     .

(a) Encontre uma base ortonormal para W.

(b) Encontre o vetor de W que est´a mais pr´oximo do vetor v =     1 1 0 −2     .

(c) Quem ´e o complemento ortogonal W⊥?

6. Estenda os dois vetores ortogonais     1 −1 1 −1     ,     1 1 1 1   

 a uma base ortogonal de R

4_.

7. Com respeito ao produto interno

hf, gi = Z π

−π

f (t)g(t)dt

no espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas C0([−π, π]; R), mostre que as fun¸c˜oes 1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), ... , cos(mx), sin(mx), ...

(4)

8. Seja A o subespa¸co afim de R4 _{dado pelo conjunto solu¸}_c˜_{ao do sistema linear}   1 0 −1 1 2 1 0 −1 3 1 −1 0       x y z w     =   2 1 3  .

(a) Encontre A e descreva o subespa¸co vetorial W que ´e paralelo a A. (b) Encontre o vetor x de A que tem menor norma.

9. Com respeito ao produto interno de P3 dado por hf, gi =

R1

−1f (t)g(t)dt :

(a) Ache uma base ortogonal para o subespa¸co W = {a0+a1t+a2t2+a3t3 : a0= a2 e a1 =

a3}.

(b) Encontre o polinômio de W que está mais próximo do polinômio p(t) = 1 + 2t − t2+ t3. (c) Descreva o complemento ortogonal W⊥. Encontre uma base (qualquer) para W⊥. (d) Encontre o polinômio do subespa¸co afim A = {a0 + a1t + a2t2 + a3t3 : a0 − a2 =

1 e a1− a3= −1} de menor norma.

10. Com respeito ao seguinte produto interno do espa¸co vetorial C0([−1, 1], R) (espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas definidas em [−1, 1])

hf, gi = Z 1

−1

f (t)g(t)dt, (1)

calcule o polinômio de grau no máximo 2 que está mais próximo da fun¸cão f (x) = |x|. Lembrete: Se W é o subespa¸co de C0([−1, 1], R) formado pelas fun¸cões que são polinomiais de grau no máximo 2, isto é, W = Ger[1, x, x2], então o problema pede que se encontre o vetor de W que está mais próximo de f .

11. Considere o sistema linear A · x = b, onde A =     1 0 1 1 0 1 2 1     e b =     1 2 1 0     .

(a) Verifique que este sistema n˜ao possui solu¸c˜ao.

(b) Encontre o vetor de Im(A) que est´a mais pr´oximo de b.

(c) Use (b) para encontrar o(s) vetor(es) x ∈ R2 que minimiza(m) o valor de ||A · x − b||.

12. Considere o sistema linear A · x = b, onde A =   1 0 2 1 1 0 3 1 4  e b =   1 1 0  .

(a) Verifique que este sistema n˜ao possui solu¸c˜ao.

(b) Encontre o vetor de Im(A) que est´a mais pr´oximo de b.

(c) Use (b) para encontrar os vetores x ∈ R3 que minimizam o valor de ||A · x − b||. (d) Entre os vetores encontrados em (c), qual o de menor norma?

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13. Mostre que operadores ortogonais preservam distˆancias: ||T (u) − T (v)|| = ||u − v||.

14. Determine explicitamente o operador linear T : R3 → R3 _{que corresponde a uma rota¸}_c˜_{ao de}

ˆ

angulo π/3 em torno do eixo orientado gerado pelo vetor u = √1 2   1 0 1  . Obs.:Explicitamente significa expressar T na forma

T   x y z   =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     x y z  .

15. Sejam π1 e π2 os planos de R3 de equa¸c˜oes x + z = 0 e x + y = 0, respectivamente.

(a) Calcule os operadores de reflex˜ao Refπ1 : R

3 _{→ R}3 _{e Ref} π2 : R

3 _{→ R}3_.

(b) Calcule a composi¸c˜ao Refπ1 ◦ Refπ2.

(c) Verifique que Refπ1 ◦ Refπ2 é uma rota¸cão espacial e calcule os eixo e ângulo desta

rota¸c˜ao.

16. Seja Refπ : R3 → R3 o operador linear correspondente `a reflex˜ao ortogonal em torno de um

plano π pela origem.

(a) Mostre que det(Refπ) = 1. Dica: Este cálculo é rápido se você considerar [Refπ]BB com

B = {v1, v2, v3} tal que {v1, v2} ´e base de π e v3 ´e base de π⊥.

(b) Seja agora π0 um segundo plano pela origem. Por que a composi¸c˜ao Refπ0◦ Ref_π : R3→

R3 ´e um operador ortogonal?

(c) Use (a) e (b) e o Teorema de Euler para concluir que o resultado de compor duas reflexões Refπ e Refπ0 é uma rota¸cão.

Nota: O Teorema de Euler afirma que todo operador ortogonal T : R3 → R3 _com

determi-nante 1 ´e uma rota¸c˜ao.

17. Seja V um espa¸co vetorial munido de um produto interno h, i. Fixado um vetor qualquer b ∈ V, mostre que o seguinte operador linear T : V → V ´e autoadjunto:

T (v) = h v , b i b.

18. Denotemos por C_2π∞(R, R) o espa¸co vetorial formado pelas fun¸cões f : R → R que possuem derivadas de todas as ordens e que são periódicas de per´ıodo 2π, isto é, f (x + 2π) = f (x) para todo x. Considere o operador linear dado pela derivada segunda

D2 : C2π∞(R, R) → C ∞

2π(R, R), D2(f ) = f00.

(a) Com respeito ao produto interno em C_2π∞(R, R) dado por hf, gi =

Z π −π

f (x)g(x)dx,

mostre que o operador D2 é autoadjunto. (Sugestão: Use integra¸cão por partes duas

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(b) Mostre que as seguintes fun¸c˜oes de C_2π∞(R, R),

1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), ... , cos(mx), sin(mx), ... s˜ao autovetores de D2. Quais s˜ao os autovalores associados?

(c) Por quˆe (a) e (b) implicam que as fun¸c˜oes

1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), ..., cos(mx), sin(mx), ... s˜ao duas a duas ortogonais?

19. Sejam B = {v1, v2, v3} uma base de R3 e Q : R3 → R a forma quadr´atica tal que

Q(v) = x2+ 3y2− z2+ 8xy , se [v]B =   x y z  .

(a) Mostre que U = {v1+ v2, v1− v2, 2v3} ´e uma base de R3.

(b) Se [v]U =   ˜ x ˜ y ˜ z  , calcule Q(v).

Obs.: A base {v1, v2, v3} não é necessariamente a canônica.

20. Calcule os eixos principais da seguinte qu´adrica central e identifique-a: x2₁+ x2₂+ x2₃− 4x1x2− 4x1x3− 4x2x3 = 1

21. Para cada qu´adrica abaixo, encontre uma matriz ortogonal [mij]3×3 e n´umeros a1, a2, a3 tais

que a mudan¸ca de coordenadas   x1 x2 x3   =   m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33     ˜ x1 ˜ x2 ˜ x3  +   a1 a2 a3   (?)

coloque a qu´adrica em sua forma normal. Identifique a qu´adrica. (a) −2x2₁+ 6x2₂+ 6x2₃+ 2x2x3+ x1+ x2+ x3= 1. (b) x2₁+ x2₂+ x2₃− 2x₁x2− 2x1x3+ 2x2x3+ √ 3 x1+ √ 2 x2+ √ 6 x3= 1.

Nota: Mediante uma mudan¸ca de coordenadas da forma (?), toda qu´adrica

a11x2+ a22x22+ a33x23+ 2a12x1x2+ 2a13x1x3+ 2a23x2x3+ b1x1+ b2x2+ b3x3 = c

se reduz a uma das seguintes formas (ditas formas normais) λ1x˜21+ λ2x˜22+ λ3x˜23 = d

λ1x˜21+ λ2x˜22 = µ ˜x3, λ1, λ2, µ 6= 0