CARACTERIZAÇÃO DE ESTIMADORES PARA UTILIZAR EM
PROPULSORES ELETROMECÂNICOS
Caroline Luft
Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ - como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática.
Manuel Martín Pérez Reimbold Orientador
Ijuí, RS, Brasil Março, 2017
CARACTERIZAÇÃO DE ESTIMADORES PARA UTILIZAR EM
PROPULSORES ELETROMECÂNICOS
Caroline Luft
Dissertação de Mestrado apresentada em março, 2017
Manuel Martín Pérez Reimbold Orientador
“É graça divina começar bem. Graça maior persistir na caminhada certa. Mas graça das graças é não desistir nunca”
Agradecimentos
À Deus pela vida, força, fé e serenidade.À minha família por acreditar em meu sonho e apoiar para que se tornasse realidade. Ao meu professor orientador Manuel Martín Pérez Reimbold, pela orientação, pelos ensinamentos, paciência e compreensão ao longo dessa caminhada.
À UNIJUI e ao GAIC, pela oportunidade e infraestrutura para realização dessa pesquisa. Aos professores do mestrado em modelagem matemática pelo incentivo e ensinamentos.
Aos colegas do Mestrado, pela amizade e trocas de experiências.
À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) pela bolsa de estudos concedida para realização dessa pesquisa.
À todas as pessoas que de alguma forma fizeram parte dessa conquista.
RESUMO
As aeronaves do tipo multirrotor são investigadas pela percepção tridimensional, a mobilidade, a estabilidade de voo e baixo custo de construção. Vários tipos de controladores vêm sendo utilizados para garantir a estabilidade da mesma. Cabe destacar o controlador adaptativo, cujo desempenho é definido por um identificador que lhe precede e monitora simultaneamente o processo a controlar. A especificação dos parâmetros do identificador permite estabelecer critérios de conexão entre controlador e o próprio identificador. Portanto, o objetivo deste trabalho de investigação é propor uma metodologia para especificar o identificador e constatar se este atende aos requisitos do controlador adaptativo quando utilizado no controle de propulsores eletromecânicos. O projeto de identificadores é associado às técnicas de modelagem matemática caixa preta, portanto, a metodologia a ser usada consiste em: testes para a coleta de dados, definição da estrutura do modelo, escolha da ordem do modelo, estimação dos parâmetros e validação do modelo. Os identificadores a ser investigados são os métodos de gauss-newton, gauss-newton adaptado, levenberg-marquardt, mínimos quadrados não lineares e gradiente de descida. Por fim, pela comparação da simulação do modelo com os dados da plataforma e a análise residual, o modelo é validado. Diante disso, conclui-se que os modelo propostos são capazes de descrever as características do sistema de propulsão eletromecânico, porém o que apresentou melhor resultado foi o método de gauss-newton adaptado e poderá contribuir para novas técnicas de controle.
Palavras chave: Controle Adaptativo, Modelagem Matemática Caixa Preta, ARMAX,
ABSTRACT
Multi-rotor aircraft are investigated by three-dimensional perception, mobility, flight stability and low construction cost. Several types of controllers have been used to ensure the stability of the controller. It is important to highlight the adaptive controller, whose performance is defined by an identifier that precedes and simultaneously monitors the process to be controlled. The specification of the parameters of the identifier allows establishing connection criteria between controller and the identifier itself. Therefore, the objective of this research is to propose a methodology to specify the identifier and verify if it meets the requirements of the adaptive controller when used in the control of electromechanical propellers. The design of identifiers is associated with black box mathematical modeling techniques, so the methodology to be used consists of: tests for data collection, model structure definition, model order selection, parameter estimation and model validation. The identifiers to be investigated will be by the methods of gauss-newton, adapted gauss-newton, levenberg-marquardt, non-linear least squares and descent gradient. Finally, by comparing the simulation of the model with the platform data and the residual analysis, the model is validated. Therefore, it is concluded that the proposed models are capable of describing the characteristics of the electromechanical propulsion system, but the one that presented the best result was the adapted gauss-newton method and could contribute to new control techniques.
Keywords: Adaptive Control, Mathematical Modeling Black Box, ARMAX, Identification of
Lista de Abreviaturas
Siglas Inglês Português
ACF Autocorrelation function Função de Autocorrelação AIC Akaike's Information Criterion Critério de Informação de
Akaike AR Autoregresive AutoRegressivo
ARMA AutoRegressive Moving
Average
AutoRegressivo Média Móvel
ARX AutoRegressive Exogenous inputs
AutoRegressivo com Entradas Exógenas
ARMAX AutoRegressive Moving
Average Exogenous inputs
AutoRegressivo Média Móvel com Entradas Exógenas
ARIMA AutoRegressive Integrated
Moving Average
AutoRegressivo Integrado Média Móvel
ARIMAX AutoRegressive Integrated
Moving Average Exogenous inputs
AutoRegressivo Integrado Média Móvel com Entradas
Exógenas
ARIX AutoRegressive Integrated
Exogenous inputs
AutoRegressivo Integrado com Entradas Exógenas BJ Box Jenkins Box Jenkins
BLDC Brushless Direct Current Corrente Contínua sem
escovas DC Direct Current Corrente Contínua
D Duty cicle Ciclo de trabalho EP Percent error Erro Percentual ESC Eletronic Speed Controler Controlador Eletrônico de
Velocidade
FT Transfer Function Função de Transferência
GAIC Group Industrial Automation
and Control
Grupo de Automação Industrial e Controle LS Least Squares Mínimos Quadrados
MA Moving Average Média Móvel PC Personal Computer Computador pessoal PWM Pulse Width Modulation Modulação por Largura de
Pulso
RPM Rotation Per Minute Rotações Por Minuto
RMSE Root Mean Square Error Raiz do Erro Quadrático
Médio
SISO Single Input Single Output Saída simples de entrada
Lista de Símbolos
Siglas Significado 𝑅 Resultante Aerodinâmica 𝑇 Empuxo 𝐹 Força Resistiva 𝑉𝑅 Velocidade resultante𝑉0 Velocidade de voo da aeronave (translação)
𝑉𝑡 Velocidade tangencial da pá (rotação)
𝛼 Ângulo de ataque do aerofólio
Φ Ângulo de deslizamento da pá
𝛽 Ângulo geométrico da pá
𝑇𝑂𝑁 Tempo que a carga é mantida ativa
𝑇𝑂𝐹𝐹 Tempo que a carga está desativada
𝑙 Corrente consumida pelos motores
𝑉 Velocidade de rotação
𝑁 Comprimento do registro dos dados disponíveis
𝑛𝑎, 𝑛𝑏, 𝑛𝑐, … , 𝑛𝑑 Graus dos polinômios A, B, C, D 𝐴(𝑞), 𝐵(𝑞), 𝐶(𝑞), 𝐷(𝑞)𝑒 𝐹(𝑞) Polinômios arbitrários
p, d, q, r Ordem do modelo
𝐻(𝑞) Função de transferência do processo.
𝐺(𝑞) Função de transferência do ruído.
Lista de Tabelas
2.1 Características físicas dos componentes da plataforma ... 25
4.1 Vantagens e desvantagens do método de Gauss-Newton ... 44
5.1 Parâmetros do modelo armax (7,5,4) para o método de Gauss-Newton ... 52
5.2 Parâmetros do modelo armax (7,5,4) para o método de Gauss-Newton Adaptado ... 52
5.3 Parâmetros do modelo armax (7,5,4) para o método de Levenberg-Marquardt ... 53
5.4 Parâmetros do modelo armax (7,5,4) para o método de Mínimos Quadrados Não lineares ... 53
5.5 Parâmetros do modelo armax (7,5,4) para o método de Gradiente de Descida ... 53
5.6 Ajuste aos dados da plataforma para cada um dos métodos ... 54
5.7 Raiz do Erro Quadrático Médio (RMSE) para cada um dos métodos ... 58
B.1 Progresso das estimativas dos parâmetros do modelo armax (7,5,4) para o método de Gauss-Newton ... 69
B.2 Progresso das estimativas dos parâmetros do modelo armax (7,5,4) para o método de Gauss-Newton Adaptado ... 70
B.3 Progresso das estimativas dos parâmetros do modelo armax (7,5,4) para o método de Levenberg-Marquardt ... 72
B.4 Progresso das estimativas dos parâmetros do modelo armax (7,5,4) para o método de Mínimos Quadrados Não lineares ... 73
B.5 Progresso das estimativas dos parâmetros do modelo armax (7,5,4) para o método de Gradiente de Descida ... 75
Lista de Figuras
1.1 Diagrama de blocos para o problema de estimação ... 15
2.1 Sistema de propulsão eletromecânico ... 20
2.2 Força resultante no aerofólio da pá de uma hélice ... 21
2.3 Motor Brushless DC ... 21
2.4 Representação das três fases da corrente fornecida pelo ESC ... 22
2.5 Forma da onda PWM ... 23
2.6 Motor brushless e sensor óptico ... 24
2.7 Plataforma experimental ... 25
3.1 Etapas da identificação de sistemas ... 29
3.2 Diagrama de blocos do modelo paramétrico – expressão geral ... 31
5.1 Dados para estimação do modelo: (a) saída e (b) entrada ... 49
5.2 Dados para validação do modelo: (a) saída e (b) entrada ... 50
5.3 Gráfico da ACF gerado no matlab ... 50
5.4 Gráfico da PACF gerado no matlab ... 51
5.5 Gráfico do modelo estimado ARMAX (7,5,4) e dos dados medidos pelo método de Gauss-Newton ... 54
5.6 Gráfico do modelo estimado ARMAX (7,5,4) e dos dados medidos pelo método de Gauss-Newton Adaptado ... 55
5.7 Gráfico do modelo estimado ARMAX (7,5,4) e dos dados medidos pelo método de Levenberg -Marquardt ... 55
5.8 Gráfico do modelo estimado ARMAX (7,5,4) e dos dados medidos pelo método de Mínimos Quadrados Não lineares ... 56
5.9 Gráfico do modelo estimado ARMAX (7,5,4) e dos dados medidos pelo método de Gradiente de Descida ... 56
5.10 Gráfico do erro pelo método de Gauss-Newton ... 57
5.11 Gráfico do erro pelo método de Gauss-Newton Adaptado ... 57
5.12 Gráfico do erro pelo método de Levenberg-Marquardt ... 57
5.13 Gráfico do erro pelo método de Mínimos Quadrados Não lineares ... 58
5.14 Gráfico do erro pelo método de Gradiente de Descida ... 58
A.1 Comandos utilizados para estimar o modelo pelo método de Gauss-Newton ... 67
A.3 Comandos utilizados para estimar o modelo pelo método de Levenberg-Marquardt ... 67 A.4 Comandos utilizados para estimar o modelo pelo método de Mínimos Quadrados Não lineares ... 68 A.5 Comandos utilizados para estimar o modelo pelo método de Gradiente de Descida ... 68 C.1 Comandos utilizados para validar o modelo pelo método de Gauss-Newton ... 77 C.2 Comandos utilizados para validar o modelo pelo método de Gauss-Newton Adaptado ... 77 C.3 Comandos utilizados para validar o modelo pelo método de Levenberg-Marquardt ... 77 C.4 Comandos utilizados para validar o modelo pelo método de Mínimos Quadrados Não lineares ... 78 C.5 Comandos utilizados para validar o modelo pelo método de Gradiente de Descida ... 78
SUMÁRIO
1 Introdução ... 15 1.1 Considerações Iniciais ... 15 1.2 Motivação ... 16 1.3 Objetivos ... 17 1.3.1 Objetivo Geral ... 17 1.3.2 Objetivos Específicos ... 17 1.4 Método e Validação ... 17 1.5 Expectativas ... 17 1.6 Estrutura do Documento ... 182. O Sistema Propulsor Eletromecânico ... 19
2.1 Introdução ... 19
2.2 Princípio de Funcionamento do Sistema de Propulsão Eletromecânico ... 20
2.3 A Hélice ... 20
2.4 Motor BLDC (Brushless Direct Current) ... 21
2.5 O ESC – Eletronic Speed Controler ... 22
2.6 Plataforma de Testes... 23
3. Modelagem e Identificação de Sistemas ... 26
3.1 Introdução ... 26
3.1.1 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos ... 27
3.1.2 Estágios para Modelagem e Identificação de Sistemas ... 28
3.2 Modelos Paramétricos de Entrada-Saída ... 30
3.2.1 Modelo ARX... 32
3.2.2 Modelo ARIX... 32
3.2.1 Modelo ARMAX ... 32
3.2.2 Modelo ARIMAX ... 33
3.3 Determinação da Ordem do Modelo ... 33
3.3.1 A Função de Autocorrelação (ACF) e a Função de Autocorrelaçao Parcial (PACF) ... 33
3.4.1 Modos de Estimação de Parâmetros ... 36
3.4.2 Características de um bom estimador ... 36
3.5 Validação do Modelo ... 37
3.5.1 Métodos Subjetivos – Simulação e Analise Residual ... 38
3.5.2 Métodos Quantitativos – Indicadores Estatísticos ... 38
4. Estimadores ... 40
4.1 Introdução ... 40
4.2 Método de Gauss-Newton ... 41
4.3 Método de Gauss-Newton Adaptado ... 44
4.4 Método de Levenberg- Marquardt ... 46
4.5 Método de Mínimos Quadrados Não lineares ... 47
4.6 Método de Gradiente de Descida ... 48
5. Resultados e Discussões ... 49
5.1 Coleta de Processamento do Conjunto de Dados do Sistema ... 49
5.2 Análise das Funções de AutoCorrelação (ACF) e a Função de AutoCorrelação Parcial (PACF) ... 50
5.3 Estimação de Parâmetros ... 51
5.4 Validação do Modelo ... 54
Conclusões do Trabalho ... 60
Proposições para Trabalhos Futuros ... 61
Referências Bibliográficas ... 62
A Comandos utilizados para a estimação do modelo ... 67
B Progresso das estimativas dos parâmetros para cada método ... 69
Capítulo 1
Introdução
1.1 Considerações Iniciais
O foco desta dissertação é a Teoria de Estimação. De modo geral, a Teoria de Estimação foi desenvolvida com o seguinte propósito: dados os valores de um sinal observado (ou sinal medido), deseja-se estimar os valores de um outro sinal (sinal desejado) que não pode ser diretamente acessado ou está adulterado por ruídos e/ou perturbações, [44].
Destaca-se que, na solução do problema de estimação, deve existir uma relação (ou modelo) entre o sinal medido e o desejado, e também haver algum critério para que o sinal desejado seja o estimado. Desse modo, é preciso escolher um critério que se adapta com o modelo ou vice-versa. O problema de estimação é ilustrado resumidamente na figura 1.1, onde o 𝑥 é o sinal que se deseja estimar; o 𝑦 é o sinal medido a partir da planta; 𝑤 é o ruído de entrada (desconhecido), 𝑒 é a minimização da variância do erro (diferença entre 𝑧 e 𝑥), e 𝑧 são os parâmetros,[44].
Na figura 1.1, o problema de estimação consiste em projetar um estimador a partir das medidas 𝑦, que seja capaz de fornecer parâmetros 𝑧, próximos de 𝑥 para diversas realizações de 𝑦. O problema também pode ser visto como uma minimização da variância do erro de estimação 𝑒, definido como a diferença entre 𝑧 e 𝑥, [44].
1.2 Motivação
Nesta dissertação, almeja-se fazer a estimação dos parâmetros de um modelo ARMAX. Há pelo menos dois motivos para se conhecer os parâmetros de um modelo, a saber:
Ter conhecimento dos estados para a obtenção do controle do sistema. Como exemplo, um engenheiro eletricista precisa saber as correntes elétricas de um motor com o objetivo de se controlar sua rotação.
Ter conhecimento sobre os estados do sistema. Um engenheiro eletricista que conhece os parâmetros de um sistema de potência pode prevenir falhas.
Geralmente, em problemas de estimação atribui-se que o modelo da planta é conhecido com exatidão. Contudo, modelos utilizados na engenharia não fornecem o sistema real como um todo e sim aproximações. Esta diferença entre a planta real e o seu modelo aparece por diversos fatores, e.g. [44],
Alterações repentinas dos parâmetros do sistema;
Situações não modeladas: não-linearidades e comportamentos dinâmicos, não considerados ou meramente desconhecidos, bem como uma incerteza peculiar, devido aos procedimentos adotados para a identificação do sistema;
Retardos, ou atrasos, não incluídos no modelo;
Mudanças no ponto de equilíbrio (ponto de operação); Ruídos de sensores;
Perturbações não previstas.
Por estes motivos, os estimadores devem ser projetados de maneira a não degradar seu desempenho na presença destas imperfeições e alterações do modelo.
É cada vez mais notória dentre as formas de estimação, a utilização dos Mínimos Quadrados, que é uma técnica de otimização matemática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados. Entretanto, para cada tipo de problema, a eficácia do ajuste do modelo pretendido aos dados depende de uma boa escolha do método a aplicar. Assim, tem-se dúvidas quanto a quantidade de técnicas e quais são; a melhor técnica e mais rápida dentre os métodos; se tem o mesmo desempenho, efeito, duração independentemente do número de parâmetros, entre outras, a serem apresentados mais adiante nesta dissertação.
1.3 Objetivos
Nesta seção são apresentados os objetivos deste trabalho. Para melhor compreensão, encontram-se divididos em Objetivo Geral e Objetivos Específicos, detalhados a seguir.
1.3.1 Objetivo Geral
O objetivo geral deste trabalho visa estudar as diferentes metodologias (usando os conceitos de mínimos quadrados) para identificar os parâmetros de um modelo matemático a ser usado no controle de propulsores eletromecânicos.
1.3.2 Objetivos Específicos
Para alcançar o objetivo geral, alguns objetivos específicos são necessários: Analisar os algoritmos dos estimadores propostos para estudo.
Verificar o desempenho de cada estimador.
Identificar qual o melhor método para o problema em questão.
1.4 Método e Validação
Propor uma metodologia que permita analisar os métodos da literatura, juntamente com seu algoritmo, e depois aplicar num conjunto de dados e verificar se a especificação está correta. Se os resultados forem próximos está validado.
1.5 Expectativa
São expectativas deste trabalho:
Contribuir para o enriquecimento da literatura de identificação de sistemas, especialmente na análise de dados para a escolha da representação do modelo;
Obter um melhor método de estimação para um modelo ARMAX de um propulsor eletromecânico.
1.6 Estrutura do Documento
Este trabalho está organizado conforme a estrutura a seguir:
No Capítulo 2 caracteriza-se o sistema de propulsão eletromecânico. Inicialmente, descreve-se o funcionamento do sistema de propulsão eletromecânico e, em seguida, individualmente os componentes do mesmo. Por fim, aborda-se a plataforma de testes utilizada neste trabalho.
No Capítulo 3 aborda-se a modelagem matemática e identificação de sistemas. Primeiramente, faz-se um estudo da modelagem e das etapas da identificação. Seguindo, realiza-se um estudo dos principais modelos paramétricos, e a determinação da ordem do modelo. Por fim, descreve-se sobre o algoritmo de estimação de parâmetros e os métodos de validação.
No Capítulo 4 refere-se ao estudo dos estimadores para o modelo ARMAX. Apresenta o método de Gauss-Newton, Gauss-Newton Adaptado, Levenberg-Marquardt, Mínimos Quadrados Não lineares e Gradiente de Descida.
No Capítulo 5 refere-se aos resultados deste trabalho. E por fim, relata-se as conclusões, bem como as contribuições e sugestões para futuros trabalhos.
Capítulo 2
O Sistema Propulsor Eletromecânico
2.1 Introdução
Propulsão é o procedimento usado para modificar o estado de movimento ou de repouso de um corpo em relação a um dado sistema de referência. Este procedimento utiliza variadas fontes de energia, por exemplo, a energia das ligações químicas moleculares, a energia elétrica armazenada em baterias ou proveniente de painéis solares, a energia nuclear de reações de fissão nuclear e a energia do decaimento de radioisótopos, [12].
Um corpo pode ser acelerado através de fontes que foram transportadas junto com ele, ou seja, fontes de energia internas, por exemplo, em combustíveis armazenados em tanques, ou por fontes externas, como é o caso da pressão de radiação solar. Os meios de propulsão são utilizados para mover multirrotores, trens, veículos espaciais, automóveis, submarinos, navios, etc,[12].
O sistema de propulsão eletromecânico desenvolvido em multirrotores é composto por uma hélice, por um motor elétrico de corrente contínua brushless e por um controlador de velocidade ESC (Eletronic Speed Controler), e para um bom funcionamento deste conjunto, é necessário um controle dos movimentos do multirrotor. Com isso, é necessário ter clareza no seu funcionamento além de conhecer os parâmetros envolvidos para, em seguida, criar controles de movimentos mais eficientes. Neste capítulo se expõe os componentes deste sistema, a plataforma de testes e alguns trabalhos relacionados a este estudo.
Este capítulo está dividido como segue. Na Seção 2.2 aborda-se o princípio de funcionamento do sistema de propulsão eletromecânico. Na seção 2.3 trata-se da caracterização e funcionamento da hélice utilizada no sistema. Na seção 2.4 caracteriza-se o motor elétrico brushless e sua funcionalidade. Na seção 2.5 relata-se o que é ESC e quais são as suas funções no sistema. Por fim, na Seção 2.6 caracteriza-se a plataforma de testes e descreve-se seu funcionamento.
2.2 Princípio de funcionamento do sistema de propulsão eletromecânico
O sistema de propulsão eletromecânico é composto de três segmentos: O gerador PWM (Modulação por largura de pulso - Pulse Width Modulation), o controlador de velocidade ESC e o conjunto motor - hélice como se observa na figura 2.1, [45].
O gerador de PWM tem o compromisso de enviar um sinal de tensão para o ESC, onde ao receber este sinal, o fraciona em três outros sinais, geralmente trapezoidais e defasados entre si em 120°. Estes sinais amplificados energizam os enrolamentos do motor brushless de forma comutativa gerando um campo eletromagnético entre o enrolamento energizado e os imãs permanentes e assim, acontece a rotação do motor. No eixo do motor está conectada uma hélice que, ao girar, movimenta a aeronave. A energia para este funcionamento é proporcionada por uma bateria, [45].
Figura 2.1 Sistema de propulsão eletromecânico, [45].
A seguir apresenta-se, as características significativas de cada componente do sistema de propulsão eletromecânico.
2.3 A Hélice
As hélices são responsáveis pela propulsão da aeronave. Ela pode ser tratada como um aerofólio rotativo que no tempo de sua rotação gera um movimento do ar em forma helicoidal, reagindo aerodinamicamente como um aerofólio convencional, e assim gerando uma forma aerodinâmica resultante, [20]. Deste modo, a escolha da hélice é de extrema importância e está ligada diretamente a eficiência do conjunto Motor – Hélice, [18].
Ao examinar a resultante aerodinâmica, uma das parcelas conhecida como empuxo (força propulsiva) é decomposta na direção do voo. As hélices são fabricadas e agregadas em uma estrutura central conhecida como cubo da hélice como mostra a figura 2.2, [31].
Figura 2.2: Força resultante no aerofólio da pá de uma hélice, [31].
2.4 Motor BLDC (Brushless Direct Current)
Em multirrotores, geralmente para a propulsão são utilizados motores de corrente contínua sem escovas denominados Motores Brushless. Eles são considerados motores síncronos, ou seja, o rotor é constituído somente de imãs permanentes polarizados o que não necessita de nenhuma alimentação nem de escovas. O estator responsável pelo movimento é composto por bobinas que irão produzir o campo magnético, [41]. A figura 2.3 apresenta os componentes da estrutura do motor brushless.
Figura 2.3: Motor brushless DC, [45].
Visto que o motor funciona sem escovas, há eliminação das comutações mecânicas entre um enrolamento e a fonte de tensão (comparado a um motor de corrente continua comum), fazendo com que diminua a interferência eletromagnética gerada pelo motor, além da não existência do centelhamento, [6].
As características vistas anteriormente são de grande importância nesse tipo de aeronave. É significativo que os motores não produzam amplos ruídos pelo fato do circuito
eletrônico de controle estar próximo a estes. Além disso, com a não existência de centelhamento faz com que o rendimento do motor aumente, proporcionando uma maior autonomia de voo e poupando assim as baterias, [6].
A sustentação da aeronave é de responsabilidade o conjunto motor-hélice. Para que seja possível alcançar voo, a força total exercida pelos quatro motores utilizados deve ser maior que o peso da aeronave. Velocidade do motor e tamanho da hélice utilizada são os dois fatores que determinam a escolha do motor, onde esta combinação resulta no peso máximo que o motor conseguirá sustentar, [6].
Em todo o procedimento de desenvolvimento de um multirrotor, como a decolagem, a estabilidade da aeronave em voo, a realização de manobras e o pouso, é necessário um bom sistema de controle da aeronave, [6].
As técnicas de controle lineares e não lineares são dependentes de um modelo preciso da dinâmica do multirrotor. Assim, no projeto de sistemas de controle de voo, os algoritmos de controle adaptativos são de grande interesse, pois tem enorme capacidade de aprimorar a confiabilidade e o seu desempenho, e também de lidar com perturbações externas, imprecisões de modelagem e incertezas de parâmetros aerodinâmicos, [3].
2.5 O ESC - Eletronic Speed Controler
O ESC é um dispositivo que determina a velocidade de rotação do motor, e é responsável por absorver grande parte da potência fornecida pela bateria, com o propósito de alimentar os motores. Assim, ao serem construídos, para evitar a perda da energia da bateria, devem possuir uma boa eficiência energética, [18].
O funcionamento do ESC está fundamentado na criação de três sinais defasados em 120º que irão alimentar as três fases do motor conforme a figura 2.4.
Figura 2.4: Representação das três fases da corrente fornecida pelo ESC, [18].
A partir desta alteração, no interior do motor se forma um campo magnético que gira segundo o sinal aplicado a cada uma das fases. Com isso, o aumento da velocidade de rotação fica subordinado ao nível de rapidez com que é feita a troca do campo magnético, assim como, o sentido de rotação está ligado com o sentido de giro do campo magnético. O encarregado do controle de velocidade é um microcontrolador, que ao receber o sinal PWM (Pulse Width
Modulation) de entrada, o defasa em três sinais. O controle através do PWM é realizado pela
variação da potência aplicada em função do tempo. A figura 2.5 apresenta a forma de um pulso PWM, [10].
Figura 2.5: Forma da onda PWM, [10].
Na figura 2.5 observa-se que o período do sinal é dividido em ON e OFF. O sinal pulso é originado a partir de um interruptor ou de um dispositivo capaz de abrir e fechar o circuito. O período consiste no pulso, que é o tempo em que a carga é mantida ativa (TON) (interruptor
O estudo das características de cada componente do sistema de propulsão auxilia na escolha dos mesmos para a construção da plataforma de testes. Na seção que segue será descrita a plataforma experimental desenvolvida para este trabalho e a caracterização dos componentes utilizados, [45].
2.6 Plataforma de testes
Para que aconteça a modelagem via Identificação de Sistemas, é crucial obter dados que reproduzem o comportamento do processo real.
Para atingir este objetivo no sistema em estudo, foi construída para os testes e coleta de dados, uma plataforma onde utilizou-se os componentes descritos anteriormente nesse capítulo. Esta plataforma foi construída com a colaboração dos alunos bolsistas do curso de engenharia elétrica do laboratório GAIC (Grupo de Automação Industrial e Controle), localizado no DCEEng (Departamento de Ciências Exatas e Engenharias) da UNIJUÍ (Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul).
Com a finalidade de obter uma rotação é utilizado um sensor óptico apresentado na figura 2.6, e que assim, o sinal de velocidade de rotação e a geração de uma onda quadrada são capturados. A onda quadrada se remete para um conversor, transformando-a em um sinal analógico, que muda linearmente segundo a frequência da onda. Por meio de um sinal analógico, é feita a conversão para RPM (Rotações Por Minuto), sendo convertida em Hertz e em seguida em RPM, [44].
Figura 2.6: Motor brushless e sensor óptico, [10].
Na extremidade do braço, há o motor brushless da marca Turnigy, modelo 2830 de 1000 kv. A hélice utilizada tem as dimensões de 9 x 3.8’’’.
Para o controle e a aquisição dos dados, foi desenvolvido um software, que permite o controle dos dados em forma gráfica e tabulada, de forma a armazená-los e posteriormente imprimir relatórios em um arquivo .txt das variáveis envolvidas no ensaio experimental.
Além do software, foi construída a plataforma como mostra a figura 2.7 que é composta por um console de controle e uma gangorra. O console de controle é um dispositivo eletrônico que faz a ligação entra a gangorra, o computador e o usuário, e sua função é verificar e adquirir dados como a corrente consumida pelos motores (I), a velocidade de rotação (V) e, o que controla a velocidade do motor conhecido como Duty cycle (D) do PWM. A gangorra, dá a ideia de uma alavanca, onde os motores são colocados em suas extremidades. Estes motores podem ter maior ou menor potência elétrica em função, de ao longo do braço da estrutura, pode ser deslocado o suporte do motor. A tabela 2.1 apresenta as características físicas dos componentes da plataforma.
Tabela 2.1: Características físicas dos componentes da plataforma, [10].
Figura 2.7: Plataforma Experimental, [29].
Componente Características
Motor Marca Turnigy, modelo 2830/1000kv
Hélice Dimensões: 9x3.8’
Sensor óptico TC RT5000
ESC marca: RedBrick 24ª
Sensor de Corrente marca: Lem, LA25N P
Bateria Litio Ion polímero
Com a plataforma construída, é possível obter os dados necessários para este trabalho, e assim modelar o sistema, por meio da teoria que é apresentada no capítulo a seguir.
Capítulo 3
Modelagem Matemática e Identificação de Sistemas
3.1 Introdução
Partindo-se do pressuposto que não se pode controlar algo que não é conhecido, a modelagem e a identificação de sistemas são importantes recursos no controle automático de processos. A identificação de sistemas se propõe a obter e construir modelos matemáticos que expliquem a relação de causa e efeito entre os dados amostrados das variáveis de entrada e saída. Segundo [1] “A identificação de sistemas é a área do conhecimento que estuda e desenvolve técnicas e algoritmos para obter (identificar) modelos de sistemas dinâmicos a partir de dados gerados pelo próprio sistema”.
Um modelo de um sistema ou planta industrial é definido resumidamente, como uma simplificação da realidade, de forma, a melhorar a compreensão a seu respeito. No sistema a ser identificado são realizadas medições chamados de dados, onde, estes são gerados por meio de testes em amostras feitas no próprio sistema. Esses testes compreendem os ensaios realizados e tem como objetivo excitá-lo de maneira a garantir a permanência de algumas características presentes nos dados, [1]. Obtido um modelo, este deve ser capaz de repetir e reproduzir respostas semelhantes àquelas fornecidas pelo sistema, quando encadeado às mesmas excitações, [36]. Vale lembrar que um modelo pode não ser o único, podendo-se por meio de diferentes expressões matemáticas expressarem a relação entre a entrada (excitação) e a saída (resposta).
Há várias formas e técnicas de se obter modelos matemáticos de sistemas reais e se classificam em três grupos: modelagem caixa branca, modelagem caixa preta e modelagem caixa cinza. Na modelagem caixa branca também conhecida como modelagem pela física ou natureza do processo ou modelagem fenomenológica ou conceitual, é preciso conhecer bem o sistema a ser modelado. Além disso, devemos entender as relações matemáticas e princípios físicos que descrevem os fenômenos envolvidos, [1]. Na modelagem caixa preta, não é necessário ter nenhum conhecimento a respeito do sistema que é trabalhado e nem das leis físicas. Na modelagem caixa cinza, não exige conhecimento da física, mas se utiliza de conhecimentos que não estejam disponíveis nos dados medidos, o que resulta em modelos mais representativos e significativos, [8]. Em muitos casos, por razões de objetivos ou dificuldades técnicas, é necessário utilizar-se de métodos de identificação para se obter modelos que descrevem o comportamento de sistemas, [25] e [41].
Conforme [8], os modelos matemáticos podem ser usados desde o projeto até a operação de plantas, incluindo estudos de viabilidade econômica de processos industriais, com algumas importantes aplicações, tais como:
projeto de equipamentos, processos e plantas e seus respectivos sistemas de controle;
pré-operação e operação de plantas, proporcionando seleção de ajustes e projeto de leis de controle;
otimização das condições operacionais de plantas, para melhor utilização de recursos disponíveis”.
Nesta seção algumas considerações básicas acerca da identificação de sistemas dinâmicos são apresentadas. Algumas das principais representações de modelos lineares são detalhadas para sua posterior utilização no estudo de estimadores.
3.1.1 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
No dia a dia, pode-se observar uma grande variedade de sistemas dinâmicos, como, por exemplo, sistemas biológicos, físicos, civis, sociais, econômicos, mecânicos, elétricos, químicos, aeroespaciais, de transporte, de equipamentos, entre outros, [29]. Um sistema é chamado dinâmico quando o valor atual da saída depende do valor atual da entrada, e também dos valores passados da entrada e da saída, [18]. Ao contrário dos sistemas estáticos, os dinâmicos, se utilizam de valores passados e são descritos geralmente por equações diferenciais quando o sistema é continuo, e por equações diferenças, quando o sistema é discreto, [1]. No entanto, um sistema é dito estático quando os valores passados não afetam o valor atual do sistema. Em princípio, todo sistema real é dinâmico, entretanto quando a variação da característica dinâmica é tão acentuada, a desconsideramos e a forma mais adequada é modelar o sistema como sendo estático.
Mas, o que é um modelo matemático? Segundo [1], “um modelo matemático de um sistema real é um análogo matemático que representa algumas das características observadas em tal sistema”.
Os modelos ajudam na percepção de como o sistema é, ou como queríamos que ele fosse permitindo em determinados condições de operação, mudar a estrutura ou o comportamento do sistema. Quanto mais precisas estas condições, mais próximo da realidade vai ser o modelo. É importante neste momento lembrar dois pontos fundamentais:
Um modelo sendo matemático ou não, ele sempre será uma aproximação de apenas algumas características do sistema real em uma determinada faixa de operação;
Não há um único modelo de um sistema, mas é correto falar sobre a existência de diversos modelos com propriedades e desempenhos variados, e a reprodução de certas características depende necessariamente dos objetivos para os quais o modelo está sendo desenvolvido.
Há diversos modelos matemáticos existentes como, por exemplo: modelos lineares ou não lineares, modelos variantes ou invariantes no tempo; modelos determinísticos ou estocásticos; modelos contínuos ou discretos; modelos a parâmetros concentrados ou a parâmetros distribuídos, modelos monovariáveis ou multivariáveis, que são escolhidos de acordo com o problema de modelagem e identificação em questão, [32].
No entanto, esses tipos de modelos matemáticos possuem diferentes formas de representação: por meio de uma equação diferencial; por meio de uma equação a diferença; por meio de uma função de transferência; por meio de uma equação de estado; por meio de modelos paramétricos. A escolha de uma determinada representação depende dos objetivos para os quais o modelo será aplicado.
3.1.2 Estágios para Modelagem e Identificação de Sistemas
A construção de um modelo utilizando as técnicas de identificação não é tão trivial visto que o processo de identificação de sistemas não é apenas a execução de um algoritmo de estimação de parâmetros sobre determinadas amostras (ou dados) e a validação do modelo. Vai demandar também do projetista (“modelador”) o cumprimento de certas etapas (ou estágios) que estão associadas à formulação do problema, ao propósito e escopo do modelo e ao que se conhece sobre o próprio sistema e sobre o modelo. Juntas, estas determinam a elaboração de um plano (ou projeto) de ações para definir os principais procedimentos de modelagem para o sistema a ser estudado. Este plano de ações é chamado de Projeto de Experimento, [18].
Esse projeto de experimento, conforme [1] se divide em diversas etapas: a) testes dinâmicos e coletas de dados, b) escolha da representação matemática a ser usada, c) determinação da estrutura do modelo, d) estimação de parâmetros, e) validação do modelo (Figura 3.1). As ações do projeto de experimentos são consideradas essenciais, e sucintamente são relacionadas a seguir, porém sem uma discussão em detalhes.
Figura 3.1: Etapas da Identificação de Sistemas, [30].
a) Testes dinâmicos e coleta de dados:
Nesta etapa, são obtidos os dados experimentais do sistema a ser identificado, o que é de grande importância à escolha dos sinais de excitação, a execução do teste e a escolha do tempo de amostragem para não ocorrer problemas, [1].
b) Escolha da representação matemática a ser usada
Nesta etapa, é feita a escolha de qual modelo matemático vai ser utilizado para a descrição do sistema. Essa escolha deve ser embasada no conhecimento do processo de identificação e no conhecimento do próprio sistema a ser identificado.
A escolha da representação matemática a ser usada é considerada uma das etapas mais importantes no processo de identificação de sistemas, isso se deve ao fato que os modelos matemáticos são utilizados para descrever as propriedades de um sistema, e assim há uma relação do modelo a ser identificado com os dados experimentais, [1].
c) Determinação da estrutura do modelo
Nesta etapa, no caso de modelos lineares, são determinados a quantidade de pólos e de zeros, e o atraso puro de tempo do sistema, [1].
Em modelos não lineares, é preciso verificar e determinar a quantidade de termos dos modelos polinomiais, pois há um crescimento no número de termos de acordo com a não linearidade.
d) Estimação de parâmetros
Segundo [1], esta etapa tem início com a escolha do algoritmo a ser utilizado.
Também são estimados os parâmetros da estrutura matemática escolhida, responsável pelo comportamento do sistema dinâmico a ser identificado.
e) Validação do modelo
Nesta última etapa, deve-se verificar se este modelo apresenta as características de interesse do sistema original. Para isso é importante comparar os modelos entre si e verificar qual é o melhor modelo. Esta comparação é certamente muito subjetiva e o resultado dependerá da aplicação pretendida para o modelo e da quantidade de informação disponível sobre o sistema original, [1].
A verificação e a validação do modelo são feitas ao se comparar as saídas do modelo com as respostas do sistema real para um conjunto de sinais de entrada, [32].
3.2 Modelos Paramétricos de Entrada- Saída
Como foi mencionado anteriormente, um modelo matemático de um sistema é uma representação deste sistema. Com o objetivo de representar melhor o comportamento dinâmico de um processo, existem diversas formas de se construir estruturas para os modelos matemáticos, [18]. Por exemplo, em sistemas dinâmicos lineares, a função de transferência por meio da razão de dois polinômios, relaciona a entrada com a saída do processo. Nas diversas técnicas de identificação de sistemas dinâmicos lineares, uma estrutura bastante utilizada para a modelagem é o modelo paramétrico de entrada-saída.
Os modelos paramétricos são frequentemente representados no domínio do tempo discreto. Sua estrutura e forma como é montada pode se levar em conta a presença de ruído nos dados. Assim, os modelos paramétricos apresentam na mesma estrutura duas parcelas: uma parcela que relaciona a informação unicamente dos dados de entrada e de saída; e outra parcela, devido a característica dinâmica associada ao ruído. Assim, na mesma estrutura tem-se a repretem-sentação de dois “submodelos” dentro de um só. Um modelo devido a parte chamada determinística, que não leva em conta o ruído, e a outra parte, que representa o próprio modelo do ruído.
Tais modelos podem ser escritos por meio da expressão geral a seguir, [11]:
𝑦(𝑘) = 𝑞−𝑑 𝐵(𝑞−1)
𝐴(𝑞−1) 𝑢(𝑘 − 1) +
𝐶(𝑞−1)
𝐷(𝑞−1)𝐴(𝑞−1) 𝑒(𝑘), (3.1) parte determinística modelo do ruído
em que,
𝑦(𝑘) é a saída do processo no instante atual 𝑘; 𝑢(𝑘) é o sinal de entrada no instante atual 𝑘;
𝑞−1 representa o operador atraso unitário tal que 𝑢(𝑘)𝑞−1= 𝑢(𝑘 − 1); 𝑑 é o retardo ou tempo morto, em múltiplos do período de amostragem (d ≥ 0);
𝑒(𝑘) é um ruído, por hipótese, branco, gaussiano, com média zero e variância 𝜎2.
Os polinômios A(𝑞−1), B(𝑞−1), C(𝑞−1) e D(𝑞−1), são definidos como:
𝐴(𝑞−1) = 1 + 𝑎1𝑞−1+ 𝑎2𝑞−2+ … + 𝑎𝑛𝑎𝑞 −𝑛𝑎 𝐵(𝑞−1) = 𝑏 0+ 𝑏1𝑞−1+ 𝑏2𝑞−2+ … + 𝑏𝑛𝑏𝑞−𝑛𝑏 𝐶(𝑞−1) = 1 + 𝑐1𝑞−1+ 𝑐2𝑞−2+ … + 𝑐𝑛𝑐𝑞 −𝑛𝑐 𝐷(𝑞−1) = 1 + 𝑑 1𝑞−1+ 𝑑2𝑞−2+ … + 𝑑𝑛𝑑𝑞−𝑛𝑑 (3.2)
onde 𝑛𝑎, 𝑛𝑏 , 𝑛𝑐 e 𝑛𝑑 são os graus dos polinômios A(𝑞−1), B(𝑞−1), C(𝑞−1) e D(𝑞−1),
respectivamente, [41].
É visível que existe um atraso natural de uma unidade do período de amostragem entre a saída e a entrada do sistema. Isto se deve ao fato do modelo discreto utilizar durante o processo de amostragem da entrada, o zero-order holder. O zero-order holder até que se tenha uma resposta no instante atual 𝑘 mantém o valor da entrada anterior em (𝑘 − 1), [41].
Figura 3.2: Diagrama de blocos do modelo paramétrico – expressão geral, [36].
3.2.1 Modelo ARX
O modelo paramétrico autorregressivo com entradas externas (em inglês
Auto-Regressive with eXogenous inputs (ARX)) para um Sistema Linear, Invariante no Tempo,
caso monovariável ou SISO (em inglês Single Input Single Output), é definido a seguir, [42]: 𝑦(𝑘) = 𝑞−𝑑 𝐵(𝑞−1) 𝐴(𝑞−1) 𝑢(𝑘 − 1) + 1 𝐴(𝑞−1) 𝑒(𝑘), (3.3) ou ainda, 𝐴(𝑞−1)∆𝑦(𝑘) = 𝑞−𝑑 𝐵(𝑞−1)∆𝑢(𝑘 − 1) + 𝑒(𝑘), (3.4)
onde neste caso, 𝑛𝑎= 𝑛, 𝑛𝑏 ≤ 𝑛, 𝑛𝑐 = 0, e 𝑛𝑑= 1.
3.2.2 Modelo ARIX
O modelo paramétrico autorregressivo integrativo com entradas externas (em inglês
Auto-Regressive Integrated with eXogenous inputs (ARIX)) é semelhante a definição do
modelo ARX. A eliminação do erro de regime ao degrau no projeto do controlador se deve a introdução da ação integral, mas para tanto deve-se fazer 𝑑1 = −1 no polinômio 𝐷(𝑞−1).
Neste caso, 𝐷(𝑞−1) é representado pela letra ∆. Deste modo tem-se, [42]:
𝑦(𝑘) = 𝑞−𝑑 𝐵(𝑞−1) 𝐴(𝑞−1) 𝑢(𝑘 − 1) + 1 ∆𝐴(𝑞−1) 𝑒(𝑘), (3.5) ou ainda, 𝐴(𝑞−1)∆𝑦(𝑘) = 𝑞−𝑑 𝐵(𝑞−1)∆𝑢(𝑘 − 1) + 𝑒(𝑘), (3.6)
3.2.3 Modelo ARMAX
Seguindo o mesmo raciocínio dos modelos vistos anteriormente, o modelo autorregressivo média móvel com entradas externas (em inglês Auto-Regressive Moving
Average with eXogenous inputs (ARMAX)), neste caso, tem-se que 𝑛𝑎= 𝑛, 𝑛𝑏≤ 𝑛, 𝑛𝑐 > 0, e
𝑛𝑑= 0, que resulta no seguinte modelo, [42]:
𝑦(𝑘) = 𝑞−𝑑 𝐵(𝑞−1) 𝐴(𝑞−1) 𝑢(𝑘 − 1) + 𝐶(𝑞−1) 𝐴(𝑞−1) 𝑒(𝑘), (3.7) ou ainda, 𝐴(𝑞−1)𝑦(𝑘) = 𝑞−𝑑 𝐵(𝑞−1)𝑢(𝑘 − 1) + 𝐶(𝑞−1)𝑒(𝑘). (3.8)
3.2.4 Modelo ARIMAX
O modelo autorregressivo integrativo média móvel com entradas externas (em inglês
Auto-Regressive Integrative Moving Averange with eXogenous inputs (ARIMAX)), neste caso, tem-se
que 𝑛𝑎= 𝑛, 𝑛𝑏≤ 𝑛, 𝑛𝑐 > 0, e 𝑛𝑑= 0, para um SLIT, caso SISO, é definido a seguir, [42]:
𝑦(𝑘) = 𝑞−𝑑 𝐵(𝑞−1) 𝐴(𝑞−1) 𝑢(𝑘 − 1) + 𝐶(𝑞−1) ∆𝐴(𝑞−1) 𝑒(𝑘), (3.9) (9 ou ainda, 𝐴(𝑞−1)∆𝑦(𝑘) = 𝑞−𝑑 𝐵(𝑞−1)∆𝑢(𝑘 − 1) + 𝐶(𝑞−1)𝑒(𝑘), (3.10)
3.3 Determinação da Ordem do Modelo
Esta fase é de extrema importância, pois permite determinar a estrutura do modelo.
São encontrados na literatura diversos métodos, entretanto, neste trabalho apurou-se a metodologia de Box e Jenkins (1970). Tal método baseia-se no uso da Função de Autocorrelação (ACF), para definir o grau do polinômio média móvel, e a Função de Autocorrelação Parcial (PACF), para definir o grau do polinômio autorregressivo, que será explorada nas seções seguintes.
3.3.1 A Função de Autocorrelação (ACF) e a Função de Autocorrelação
Parcial (PACF)
Definir a ordem do modelo é feito a partir da função de Autocorrelação Parcial (PACF),
parte AR (Autorregressivo) do modelo, e a Função de Autocorrelação (ACF), parte MA (Médias Móveis). De modo geral, estes testes têm como finalidade investigar a relação entre as variáveis defasadas e as variáveis posteriores, com a utilização de diferentes intervalos de defasagem, [5].
De acordo com [13], por meio da função de autocorrelação, é possível comparar as propriedades básicas de uma série temporal1, visto que ela não é influenciada pelas
unidades de medida. Desta forma, a função de autocorrelação de uma série estacionaria é definida como: 𝜌(𝑘) =𝛾(𝑘) 𝛾(0) (3.11) Onde 𝛾(𝑘) = ∑𝑘−1𝑡=1(𝑌𝑡−𝑦̅𝑘) (𝑌𝑡+1−𝑦̅𝑘) 𝑘 (3.12) e 𝛾(0) = ∑𝑘−1𝑡=1(𝑌𝑡−𝑦̅𝑘)2 𝑘 (3.13)
que é a variância dos 𝑘 primeiros elementos da série.
Segundo [4], se porventura seja estacionária a série temporal gerada de um processo estocástico, a média 𝑦̅, neste caso a média amostral, e a variância 𝜎2 podem ser calculadas
da seguinte maneira: 𝑦̅ = 1 𝑁 ∑ 𝑦𝑡 𝑁 𝑡=1 (3.14) 𝜎2 = 1 𝑁 ∑ (𝑦𝑡− 𝑦̅) 2 𝑁 𝑡=1 (3.15)
onde 𝑁 é o tamanho da amostra. É necessário no mínimo 50 observações para o cálculo da função de autocorrelação, [4].
Uma sequência de correlações entre (𝑦𝑡 𝑒 𝑦𝑡−1), (𝑦𝑡 𝑒 𝑦𝑡−2), (𝑦𝑡 𝑒 𝑦𝑡−3) e assim sucessivamente, é denominada função de autocorrelação (ACF) onde são mantidos
constantes os efeitos intermediários de defasagem. O diagrama que reproduz a ACF dispõe de limites de significância estatística, porém se as defasagens ultrapassarem esse limite, as autocorrelações são consideradas significativamente diferentes de zero. É importante ressaltar que a ordem da parte MA (Médias Móveis) que faz parte da ACF é a mais alta defasagem com autocorrelação significativa. De forma análoga, a escolha da ordem da parte AR (Autorregressivo) do modelo, usa-se a função de Autocorrelação Parcial (PACF).
Para a PACF, se considera um processo AR(k) de tal forma que ∅𝑘𝑘 seja o último coeficiente, logo:
𝜌𝑗 = ∅𝑘1𝜌𝑗−1+ ∅𝑘2𝜌𝑗−2+ ⋯ + ∅𝑘𝑘𝜌𝑗−𝑘, 𝑗 = 1,2, … , 𝑘 (3.16) Segundo [20], a partir de (3.16) obtêm-se as seguintes equações de Yule-Walker
[ 1 𝜌1 𝜌2 ⋯ 𝜌𝑘−1 𝜌1 1 𝜌1 … 𝜌𝑘−2 ⋮ 𝜌𝑘−1 𝜌𝑘−2 𝜌𝑘−3 ⋯ 1 ] [ ∅𝑘1 ∅𝑘2 ⋮ ∅𝑘𝑘 ] = [ 𝜌1 𝜌2 ⋮ 𝜌𝑘 ] (3.17)
Seja 𝑘 = 1, 2, 3, …, tem-se de forma geral: ∅𝑘𝑘 = |𝑃𝑘∗|
|𝑃𝑘| (3.18)
onde 𝑃𝑘 é a matriz de autocorrelação e 𝑃𝑘∗ é a matriz 𝑃𝑘 com a última coluna substituída pelo
vetor de autocorrelações. Segundo [28], a função de autocorrelação parcial pode ser enunciada como a quantidade ∅𝑘𝑘 tomada em função de 𝑘.
Segundo [7], a PACF também considera a sequência de correlações, porém os efeitos de defasagem anteriores não são mantidos. O diagrama é apresentado equivalentemente ao da ACF, e a escolha da ordem é realizada do mesmo jeito, optando-se pela mais alta defasagem com autocorrelação parcial significativa. São iguais o primeiro valor da ACF e da PACF.
Por meio do estudo da ACF e PACF, se obtém a representação do modelo a ser utilizada, que pode ser um AR, ARMA, ou MA, assim como a ordem a ser utilizada. O próximo passo é estimar os seus parâmetros.
3.4 Estimação de Parâmetros
Uma melhor compreensão das características de um sistema é a modelagem matemática via estimação de parâmetros. Os parâmetros são de grande importância na análise e compreensão do comportamento dinâmico, pois a partir de sinais de entrada e saída do sistema sob investigação, é possível descrever diversas propriedades como, por exemplo, estabilidade e controlabilidade, [41].
Como visto, anteriormente, uma vez escolhida a estrutura do modelo que representará o sistema, o passo seguinte é a determinação dos parâmetros do mesmo, o que será feito por meio da estimação.
Em [1] encontra-se outra explanação para este conceito:
“[...] suponha que estejam disponíveis medições de duas grandezas x e y. Tais variáveis estão relacionadas da seguinte forma y = f(x). Uma situação comum ocorre
quando a função f(.) é caracterizada por um vetor de parâmetros 𝜃. Nesse caso
diz-se que f(.) é parametrizada por 𝜃 e tal relação pode ser explicitamente representada
escrevendo-se y = f(x, 𝜃). O problema de estimação de parâmetros consiste em
estimar 𝜃 a partir de um conjunto de medidas de x e y, ou seja, a partir de {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁}
e {𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑁}. ([1], p.53).”
É importante lembrar que a escolha de f (na verdade de uma aproximação de f(.), representada por 𝑓̂(. )), depende impreterivelmente do comportamento dos dados medidos de x e y. Utilizando-se de dados de entrada e saída amostrados a uma taxa apropriada, o objetivo de um estimador de parâmetros é obter a melhor estimativa 𝜃̂ para o vetor 𝜃, por meio da escolha adequada de 𝑓̂(. ).
3.4.1 Modos de Estimação de Parâmetros
Os estimadores de parâmetros podem ser utilizados de dois modos: estimação off-line e estimação on-line. No modo de estimação on-line, os dados do processo são manuseados a cada instante o que significa que a cada atualização disponibilizada, o algoritmo de estimação deve ser executado. No modo de estimação off-line, não há restrições de tempo, pois fica disponível um conjunto completo de dados tratados.
Segundo [8], nos dois modos, os dados podem ser utilizados em batelada se os parâmetros forem estimados de uma só vez, a partir do conjunto de medidas, ou de forma recursiva onde a cada momento que os dados do processo são disponibilizados, o vetor de parâmetros for atualizado.
3.4.2 Características de um bom estimador
Uma amostra de (X1, X2,..., Xn) variáveis aleatórias que representa uma característica de
interesse de uma população, e considere θ um parâmetro que queremos estimar, [32].
Um estimador T= g(X1, X2,..., Xn), do parâmetro θ é qualquer função das observações
da amostra, [32].
Em [32], foram encontradas algumas características para descrever um bom estimador como não-tendenciosidade, consistência, eficiência e suficiência. Porém, existem diversos
estimadores e ainda não sabemos se essas propriedades valem para todos, quais são suas limitações e seus critérios.
a) Não-Tendenciosidade
Um estimador T é dito não-tendencioso (ou justo, ou não viciado, ou não viesado) se sua média for o próprio parâmetro que se pretende estimar, ou seja, E(T) = 𝜃 para todo 𝜃 . Se for diferente, então T é considerado “viciado”, [36].
b) Consistência
Uma sequência de estimadores (Tn) é consistente (ou coerente) se para qualquer
quantidade muito pequena 𝜖 > 0, existe a probabilidade de que o desvio absoluto entre Tn e 𝜃
seja menor que 𝜖 tendendo para 0 quando o número de observações “n” tende ao infinito, isto é, P{|Tn – 𝜃| > 𝜖} 0, quando n ∞, [36].
c) Eficiência
Se T e T’ são dois estimadores não viesados de um mesmo parâmetro 𝜃, diremos que T é mais eficiente (ou preciso) que T’ se V(T) < V(T’) ,[36].
Essa propriedade nos auxilia na aproximação das estimativas ao seu valor esperado.
d) Suficiência
Um estimador é suficiente se contém as informações necessárias referentes ao parâmetro por ele estimado.
Em outras palavras, T = T(X1, X2,..., Xn) é dito suficiente para o parâmetro desconhecido
𝜃, quando a distribuição condicional de X1, X2,..., Xn dado T é independente de 𝜃 , [36].
Neste trabalho, estuda-se os estimadores de mínimos quadrados e seus diferentes métodos para sistemas não lineares, como se pode ver no capítulo 4.
3.5 Validação do modelo
Por meio da estimação de parâmetros, é encontrado um modelo. Entretanto, é preciso verificar se este modelo é válido ou não para a finalidade desejada. Assim, este problema é resolvido pela validação do modelo que é a última etapa da identificação de sistemas, e tem como objetivo, examinar, avaliar e aceitar ou não o modelo em questão. Para [19], alguns aspectos devem ser levados em conta:
1. O modelo representa de forma satisfatória os dados observados?
2. O modelo é suficientemente bom para o seu propósito de uso?
3. O modelo descreve o sistema real?
É importante lembrar que nenhum modelo será capaz de representar totalmente um sistema real. Entretanto, ele deve absorver as características de suma importância para a aplicação que se deseja fazer, [1]. Com o propósito de verificar a validade e qualidade do modelo, há os métodos subjetivos, a simulação gráfica e a análise residual, e também, os métodos quantitativos, que são indicadores estatísticos, que estão descritas nas próximas subseções.
3.5.1 Métodos Subjetivos- Simulação e Análise Residual
A simulação visa verificar se o modelo reproduz adequadamente ao longo do tempo os dados observados. Para isso, é feita a comparação gráfica entre a dinâmica dos dados observados e a simulação do modelo obtido. A fim de realizar tal procedimento é necessário um cuidado básico: os dados utilizados para validar o modelo não devem ser os mesmos utilizados para estimar o modelo. Em caso de ter apenas um único conjunto de dados, será preciso dividir a amostra em dois subconjuntos, [1].
Sabe-se que a maioria dos sistemas reais são não lineares, o que pode gerar diferenças no momento de obter os dados em diferentes condições utilizados para a identificação e para a sua validação. Com isso, deve ser levado em conta que o sistema deve ser operado de forma semelhante para a obtenção de ambos conjuntos de dados de estimação e validação, [1].
Outro mecanismo subjetivo é a análise residual. Este mecanismo informa se os parâmetros do modelo identificado foram ou não estimados de forma correta, e tem como vantagem, apresentar os aspectos do modelo, em relação aos dados, de forma visual, [1]. O ponto de partida é a definição do vetor de resíduos 𝑒 = 𝑦 − 𝜑𝜃̂, onde 𝑦 são os dados medidos; 𝜑, é o vetor de regressores e 𝜃̂ é o vetor de parâmetros estimados. Assim, os resíduos são as diferenças entre os dados observados em cada um dos instantes e os valores estimados pelo modelo.
3.5.2 Métodos Quantitativos- Indicadores Estatísticos
Os métodos quantitativos propiciam um índice numérico de comparação, com isso, o erro é quantificado, possibilitando a avaliação da eficiência do modelo encontrado, [1]. Entre os critérios usuais, destaca-se o Erro Percentual (EP) e a Raiz do Erro Quadrático Médio (RMSE).
O Erro Percentual (EP) tem como objetivo, medir a percentagem de erro entre os dados estimados e reais, e é definido por:
𝐸𝑃 = 100 (𝑦𝑘−𝑦̂𝑘
𝑦𝑘 ), (3.19) onde 𝑦𝑘 é o dado obtido da plataforma e 𝑦̂𝑘 é o dado estimado, ambos para o instante de tempo 𝑘. Um erro positivo aponta que o valor estimado é menor que o valor real, ocorrendo de forma contrária para um erro negativo.
Outro indicador é a Raiz do Erro Quadrático Médio (Root Mean Square Error- RMSE) que tem como escopo, quantificar o erro obtido na previsão. O índice RMSE calcula os desvios em relação aos valores observados da variável 𝑦, ou seja, as diferenças entre o valor de referência 𝑦𝑘 e sua respectiva estimativa 𝑦̂𝑘 prevista pelo modelo para a k-ésima amostra, sendo 𝑁, o número de amostras. Logo, RMSE representado pela equação (3.20) mede o erro em uma unidade de medida coerente com os dados reais.
𝑅𝑀𝑆𝐸 = √1
𝑁∑(𝑦𝑘− 𝑦̂𝑘)
2 (3.20)
Quanto menor for o valor de RMSE, melhor será considerado o modelo, [35]. Com o uso dos conhecimentos apresentados é feita a modelagem matemática e a validação do modelo.
Capítulo 4
Estimadores
4.1 Introdução
O problema de mínimos quadrados não linear traduz-se em resolver 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑓(𝑥) ≡ 1
2 ‖𝑟(𝑥)‖2
2 (4.1)
em que x = [𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛]𝑇, 𝑚 > 𝑛, e a função residual 𝑟: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑚, dada por 𝑟(𝑥) = 𝑀(𝑥, 𝑡) − 𝛽
é não linear nos parâmetros 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 por via da função modelo 𝑀(𝑥, 𝑡), [33].
São exemplos deste caso os seguintes modelos: 𝑀(𝑥, 𝑡) = 𝑥1(1 + 𝑒−𝑥1𝑡), 𝑐𝑜𝑚 𝑥 = [𝑥 1, 𝑥2]𝑇 𝑒 𝑡 ∈ 𝑅; 𝑀(𝑥, 𝑡) = 1+𝑥1𝑡 𝑥1𝑥3+𝑥2, 𝑐𝑜𝑚 𝑥 = [𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] 𝑇 𝑒 𝑡 ∈ 𝑅; 𝑀(𝑥, 𝑡) = 𝑥1𝑥3𝑡1 (1+𝑥1𝑡1+𝑥2𝑡2), 𝑐𝑜𝑚 𝑥 = [𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ]𝑇 𝑒 𝑡 ∈ 𝑅2.
Três tipos de problemas de mínimos quadrados não lineares são possíveis identificar: os de resíduo nulo, os de pequeno resíduo e os de grande resíduo. Estas nomeações diz respeito com o valor de 𝑟(𝑥) no minimizante 𝑥∗. Um problema é de resíduo nulo se 𝑟(𝑥∗) = 0, e o modelo 𝑀(𝑥, 𝑡) em causa adapta-se exatamente aos dados 𝛽. Um problema é de grande resíduo se 𝑟(𝑥∗) é grande em comparação com o valor próprio de menor módulo de 𝐴(𝑥∗)𝑇𝐴(𝑥∗)
onde 𝐴(𝑥) é a matriz que contém as primeiras derivadas de 𝑟(𝑥) em ordem a 𝑥, [33].
É de grande importância diferenciar estes tipos de problemas, pois a eficácia do ajuste do modelo pretendido aos dados depende de uma boa escolha do método a aplicar, [33].
O problema de mínimos quadrados não linear está associado com o problema de resolução de sistemas de equações não lineares e é um caso de otimização em 𝑅𝑛. Entretanto, não deve ser tratado como um problema de otimização genérico, e sim, devem levar em conta a estrutura especial para cada um dos métodos recomendados à solução deste tipo de problema, [33].
Vale lembrar que os métodos básicos para a resolução de problemas de mínimos quadrados não lineares requerem informação relativa às derivadas de 𝑟(𝑥), [33].
Na literatura são encontrados diversos métodos para resolver problemas de mínimos quadrados não lineares. Entretanto, como neste trabalho utiliza-se o modelo ARMAX, os métodos que se adequam a este modelo é o gauss-newton, gauss-newton adaptado, levenberg-marquardt, mínimos quadrados não lineares e gradiente de descida, como é apresentado a seguir.
4.2 Método de Gauss-Newton
Se a parte 𝑆 da matriz das segundas derivadas de 𝑓 for desprezada, as equações iterativas ficam com a seguinte aparência, [33]:
(𝐴𝑘𝑇 𝐴𝑘) ∆𝑘= −𝐴𝑘𝑇 𝑟𝑘 (4.2) com 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘+ ∆𝑘.
Estas equações correspondem à aproximação de 𝑟(𝑥) por um modelo linear. Seja 𝐿𝑘(𝑥) uma aproximação linear a 𝑟(𝑥), centrada em 𝑥𝑘, 𝐿𝑘(𝑥) = 𝑟(𝑥𝑘) + 𝐴(𝑥𝑘)(𝑥 − 𝑥𝑘), [33].
Desta forma, o problema (4.1) é aproximado por 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 1
2 ‖𝐿𝑘(𝑥)‖2
2 (4.3)
e adotando que 𝐴(𝑥𝑘) tem característica completa ao longo das colunas, a solução de (4.2) é
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘− (𝐴(𝑥𝑘)𝑇 𝐴(𝑥
𝑘))−1 𝐴(𝑥𝑘)𝑇𝑟(𝑥𝑘), (4.4)
que é justamente a equação (4.1).
Geralmente, através da fatorização 𝑄𝑅 da matriz 𝐴(𝑥), é resolvido pela equação (4.2), [9].
O método iterativo obtido a partir da aplicação da equação (4.2) chama-se método de Gauss-Newton.
A seguir apresentam-se propriedades de extrema importância para a direção de Gauss- Newton, [33]:
1. O vetor ∆𝑘 é invariante a transformações lineares da variável independente 𝑥.
2. Se 𝑥𝑘 não for um ponto estacionário, então ∆𝑘 é uma direção de descida, ou seja, existe 𝛼 > 0 e suficientemente pequeno tal que 𝑓(𝑥𝑘+ 𝛼∆𝑘) < 𝑓(𝑥𝑘).
A primeira propriedade é, visivelmente, necessária. E a segunda propriedade mostra que tendo 𝑥𝑘 como um ponto não estacionário de 𝑓, então 𝐴𝑘𝑇𝑟𝑘 ≠ 0, e a decomposição dos valores
singulares de 𝐴𝑘, pode ser utilizada para provar que ∆𝑘 é uma direção de descida.
Definição 4.1 Uma direção ∆𝑘 diz-se de descida relativamente à função 𝑓(𝑥), no ponto 𝑥𝑘, se
∇ 𝑓 (𝑥𝑘)𝑇 ∆ 𝑘< 0.
É possível notar que a diferença entre o método de Gauss-Newton e o método de Newton se restringem à matriz 𝑆(𝑥), que consiste em ignorar as segundas derivadas de 𝑟(𝑥), e sabendo que o método de Newton tem convergência quadrática em certas condições, as propriedades
e o sucesso do método de Gauss-Newton dependem da importância do termo 𝑆(𝑥) em cada
situação. Isto é emitido pelo Teorema 4.2 e Corolário 4.1, [9].
Teorema 4.2 Seja 𝑟 ∶ 𝑅𝑛 → 𝑅𝑚 e seja 𝑓(𝑥) = 1
2 𝑟(𝑥)
𝑇 𝑟(𝑥) uma função duas vezes
continuamente diferenciável num conjunto aberto convexo 𝐷 ⊂ Rn. Assuma-se que 𝐴(𝑥) é
contínua à Lipschitz, com constante 𝛾, em 𝐷, com ‖𝐴(𝑥)‖2 ≤ 𝛼 para todo o 𝑥 ∈ 𝐷, e existe um 𝑥∗ ∈ 𝐷 e λ, σ ≥0,tais que 𝐴(𝑥∗)𝑇 𝑟(𝑥∗) = 0, em que λ é o menor valor próprio de 𝐴(𝑥∗)𝑇 𝐴(𝑥∗), e
‖(𝐴(𝑥) − 𝐴(𝑥∗))𝑇 𝑟(𝑥
∗)‖2 ≤ σ ‖𝑥 − 𝑥∗‖2 (4.5)
para todo o 𝑥 ∈ 𝐷. Se σ < λ, então para qualquer 𝑐 ∈ (1,σλ), existe um 𝜀 > 0 de tal modo que para todo o 𝑥0 ∈ 𝑁(𝑥∗, 𝜀), a sucessão gerada pelo método de Gauss-Newton 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘−
(𝐴𝑘𝑇 𝐴𝑘)−1 𝐴𝑘𝑇 𝑟𝑘, 𝑘 = 0,1, … é bem definida, converge para 𝑥∗, e obedece a ‖𝑥𝑘+1− 𝑥∗‖2 ≤
𝑐𝜎 λ ‖𝑥𝑘− 𝑥∗‖2+ 𝑐𝛼𝛾 2λ ‖𝑥𝑘− 𝑥∗‖2 2 e ‖𝑥 𝑘+1− 𝑥∗‖2 ≤ 𝑐𝜎+λ 2λ ‖𝑥𝑘− 𝑥∗‖2 < ‖𝑥𝑘− 𝑥∗‖2.
Corolário 4.1 Sejam verdadeiras as hipóteses do Teorema 4.2. Se 𝑟(𝑥∗) = 0, então existe um 𝜀 > 0 tal que para todo o 𝑥0 ∈ 𝑁 (𝑥∗, 𝜀), a sucessão {𝑥𝑘} gerada pelo método de Gauss- Newton
é bem definida e tem convergência quadrática para 𝑥𝑘.
Com o Teorema 4.2 e o Corolário 4.1, observa-se que tanto o método de Gauss-Newton, como o Método de Newton, se há 𝑆(𝑥∗) = 0, então eles tem convergência quadrática local, o que ocorre quando 𝑟(𝑥) é linear ou se está diante de um problema de resíduos nulos. Se 𝑆(𝑥∗)
