Desenho Linear ou elementos de Geometria pratica popular, 8ª edição,1882.

1

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DESENH

.

O LINEAR

• OU 81.EMENTOS DE

GEO

M

ETRIA Pl1ATIC.A

POPULAR

"'

.

()),.a aµprC1v11àa para as e11colll8 primarias do Disll ictu Feúer3/.

e de varios E11tados

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HO LINEAR

OU ELEMENTOS DB

GE

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ETR

IA P

R

A

TICA

eeguidos de algumna noções de

AGRIMENSURA, STEREOMETRIA E

ARCHITECTURA

para uso das

Escolas primarias

e

normaes, dos Lyceus e Colleglos.

dos Cursos de adultos,

e em geral dos artistas e operarias em qualquer ramo de Industria

1 •• PELO

D~ ABILIO CESAR BORGES, e.uú.o Oll IUCABUBAI,

U·OIRECTOll GERAL 005 ESTUDOS DA PROVIKCL\ DA BAHIA, Elt·11E118RO DO

CONSELHO SUPERIOR OE IKITllUCÇÃO DA c4aTs, IOCIO EP'PECTIVO DO INSTITUTO HISTORICO E GEOGRAP!llCO Bll.UILElll01ECOllllll:SPOKDll:KTE

DAS IOCIEDADSI OEOGRAPBICAI OS PAll111 OS BllUXELLU 1: 011

DUENOI ATRES, 04 SOCIEDADE DOS AlllGOI DA lKITllUCÇÃO POPULAR DE lllONTSVIDEO, DA SOCIEDADE PARlllllKH

PARA ~ESEKVOLVIBEHTO DA INITllUCÇÁO PllUlO,U.,. rUNDADOll DA SOCll!DAD& PaOPAOADOU. DA

INBTRUCÇÁO DO IUO OZJ41fll:IRO, DO COLLIOIO AllU.10 DO l>llTRICTO PliD!llAL 1 DO

OI 8AUACllU1 ITC.

-PARTE

.

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..

PROLOGO

DA

.

SEGUNDA EDICÃO

DA

,_

1

PARTE

..

J

f

Allendándo ás 90nsatas Ob90rvações de muitos pro· fessores, e de alguns Collegas educadores e Insps· ctores de instrucção,-sobre ser o meu compendio Je Geometria Popular extenso demais para ter a conve -niente applicação no geral das escolas, e ser nellas profusamente distribuído, visto como nas mesmas escolas só poderia ser regularmente utilisada a pri-meira metade delle, resolvi dar sob o titulo de Primeira Parte um

~

x

tracto

da obra exclusivamente apropriado ás escolas primarias de todos os gráos, o qual, pelo seu preço intimo, podasse facilmente penetrar até nas escolas das mais longinquas e menos favorecidas aldeias, promovendo no espírito do povo a mais salutar e proveitosa disciplina.

Tão necessario é o estudo da arithmetica paraas mais

commu~s

transacções da vida, como o da geo-metria para o desenvolvimento e para a tempera da

- 'fl

-Fol esta convicção que me Induziu a publicar a

Geometria Pratica Popular; e é ainda a mesma con-viCQão quo me leva a dar esta segunda edição da pri

-meira parte da mesma.

E a este respeito folgo de consignar aqui as seguintes

palavras do dislincto pedagogista oriental D• Jacobo Varela, extrahidas da sua importantlssima dissertação

lida no Congresso Pedagogico de Buenos Aires : « A geometria dá á mente do alumno um elevado

conceito da applicabilidade das th.eorias scientiflcas,

encaminhando-a e habituando-a ã raciocinação metho

-dica e logica, desapaixonada e tranquilla, que conduz a um eftelto util. »

Para mais desenvolvimentos sobre as vantagens

deste ensino, ainda com meninos analphabetos, envio o leitor ã introducção da primeira edição.

Rio de Janeiro, Julho de 1882. Barão de Mácabubas.

•

1

INTRODUCÇÃO

I

O livro que ora o1Iereoo ao povo brasileiro é pro-ducto de uma convicção que data já de corca de vinte

dous annos, isto é, desde que comecei a estudar as questões relativas ao ensino da mocidade; convicção

que tem sempre crescido e se fortalecido mais e mais

com a propria experiencia, e com e conhecimento das conquistas feitas pela sciencia pedagogica nos paizes mais adiantados.

Já em 1856, quando direclor geral dos estudos d~ Província da Bahia, em um projecto de lei de

reor-ganisação do ensino provincial, que me incumbiu de formular

t

então Presidente daquella Provincia ·

Dr Alvaro Tiberio de Moncorvo e Lima, de honrosa

_memoria, e que foi pelo mesmo apresentado á respe

-ctiva Assembléa legistauva, consignava eu, com a

rehabilitação geral do professorado primaria, a obri-gação positiva do ensino do desenho linear ou geome-trico em todas as escolas publicas, tanto das cidades como das villas e aldêas.

Depois, em 1857, no relatorio que apresentei ao E:rmº S• Cons•. Canean11ão do Slnimbú, lllustre sue)(

•

- TIIl

-· dfS· d . . t -0 da Provinc1a,

cessor d'aquelle na a mmts raça pa aar · eia de se pro 0 corri longamente sobre a conventen

pelo povo o ensino do desenho. Collegio

t

~

Gy · B I · e a final no

Depois no mnasio a iiano, .

1

.á ao

Abílio dei o maior desenvolvimento possive ' l rne -desenho propriamente dito, já ao desenho

.g:

~ruc­

tríco (1), fundamento essencial dºaqn:lle,

~·

n.a 1

~

como

cii

o

primaria,

di

sc

lplina

a

meu vel' .Lc1o

prrn

c

~~~a'

s facil

~ualquer

das que a consULucm; mais do que lareêe e dá .,

~

. tT . a porque esc !ll de }pí'ender, além de u 1

1

s

~1m

' enri uecendo-o co .

e

_m

_{pera ao espírito sem fatigadl-o,usualqe constante apl·}

·d· oxactas e facu

num

e

ro

s

i

ss

imas

I eas , ' ao nos meninos a

r

e d

espcr~an render.

p/i

cnç5o

pr

a

ica

,

-

ortanto

o

gosto

de

apdiscipulos,

dad

o

d

u

ob

se

rv

a

ç

a

o

,

o

~

ee

m

colhido

me~s

babotos, d.o A_{s vantagens que s proprios ana p a arnbt·}

· tenros, 0 1 raro-mo a

ainda •>S roais h georoetrico, eva ai difTus50 n cstuclo do

d

~

sen

ºoncorrer para sua gerarecimcntodo cionar a gloria

~e

c azão principal do appos alfectos de

Brasil : e esta e a r si me não cegam de proveito, presente livro, que, manuseado com gran familias. compilador, ha de se_r mo nas officinas e

_ni~

e adultos tanto nas escola.s,

:r~irão

facilmente

men~~je

ignorar,

porque n'e1le serns que ninguem

ae~e

dos os generos em muitas cou:i~~as e operados em o

sobretudo os a~ de industria.

. rando 11110

desenhar em S ico, e l\

os estabelecim.ontos ~zo desenho geom:::os. É o (1) Em ambo:i118 _{todas asd}

f

t

~~~:

_{os aolidos}

g;

o

m~~

_{casas de} paredes da~ ~in modelos o s eacolaa e em to as

ambos dotei e em toda• a

~ue deveria fazer-s •

edue&1>lo.

.

.

•

Sei que o ensino do desenho lineac. acha-se co nsi-gnado nos regulamentos da instrucção publica, sinau

ia todas, de quasi todas as Províncias do lmperi : Joas sei igualmente, e ninguem o ignora, CJUC na genr

-ralidade das escolas tal ensino se não dá absolut ·

mente, ou é dado sem os fructos desejados, seja porqu ·

a maior parto dos

m

es

tr

es

n

ão

possuo os habililaçõo

:-necessarias, seja porque aos habilitados fallece a d

edi-cação e o convencimento da importancia de scmelhants ensino, seja emfim (e esta é a principal causa), porquo

carecem as escolas de compendios apropriados e em profusão.

No intuito de communicar a todos minha convicção

de. que o

~e

se

nho

geometrico, por sobre ser uma disci -phna fac1l de ensinar e de aprender, ê de incont

es-tavel necessidade para os progressos geraes de um povo, trasladarei para aqui algumas das notas

lenho tomado. nas minhas leituras sobre este

i

n

t

e~~

~

sante

conhec~mento

,

que, de alguns annos a est:i

parte, as naçoes civilisadas, grandos e pequcn ...

empenham, como que ã fi as, se

povos. ~ por a, em propagar pelos

l

o

.

ons1no do desenho geometrico pôde e d

çar ao mesmo tempo que ₀ d . . eve come

-. a escripta · pois a fi

geometr1cas não são mais d.f. . 1 s guras

• lottras do alphabeto E t d 1 flce1s de traçar do que as . _ · o os os corpos que d.

meninos nao apresentam l' h ro eam os

Podem desenhar sobre a 1

~

~s

e superficies que elles Tambern nos pai ar osia ou sobre o papel?

. , zes em que m . d.

tnstrucção popular . h . ais a iantada vai a

Particular do ensin' 0 ₁ OJe 0 desenho linear um ramo e os jardins da

in~ae

e.montar, ?esde as salas de asyJo

nc1a, até as escolas de adultos . . ,

•

-·

-

_{cú lições} das cousas,

admiravelmente ydlavra é impo

-prostaodo-s8 licações que a p b dido e

Ppre as exp compre en

porque su sendo si bem timoso da

tente para dar i e,. d 'um auxiliar pros

te ensina o,

razoavelmen !emento naturat. . meninos

. t e seu comp . deveriam os . escr1p

ª

.

escola primaria ripta, isto e,

Ao deixar a d enho como de esc . de linhos t _{to de es . t por meio . ta} saber ao . déa ou um obJeC o eio da escr1 p

escrever uma 1 bom fazei-o por m .

como sa t nte

sombras, . não e .

:b

st

r

a

c

l•

•.rdin~;~

·

Não

ba

menino loq::nro

cerebr~:

Cousa singu lhe passam pe o ingenu

idéas que um desaz sidade

desenhar as - rabiscadas com urna neces ez de Estas idéas sao tendencia

r~a~ ~envolver ~m

vparLe que attesta umaducação deveria ºLace na IDa1or

1 que a e te acon .

natura ' infelizmen s me

n1-suffocar, como 'o abstrncta;

e

p~

es

t

a

cn

o

. ta na d s se . ros

d_{os casos. . ma escr1p . força o ' primei} bo e u to e so 1 e os se!ll

O desen tra gos ' aosin ios, riacn ue tão a con armente

p

se

occup

~

objectos

n

os

q lin bas, vitlg ertamente figuras

~os

se cocn·

fazer asda escrlptn,

~o

em traçaraswma. nao ('urvaS· traços nstrangimen uaes, eID ª.:baf: rectas e er mais

tanto conhecidos,

o~ ~.

sinão de

l~nes

a es..,r,e; chega' "

seus co roo a oscr p aprendem porque na

- co que b ndo r

poem. a sorLe

~

o:rnpre e forma

Dn

xnes~

bem, nao

o

o escrevem· ve pensar eIDtrat11 de u Illeno bar com ,·o se de não se bios; o desen , arias na coxno s e sa s rlaJXl a olas prlro s asslID JiLterato 1omonto

Nas esc Jll

tndustrl

a:

1ii

g

rapboes~

s

10arn

os : par coro

artistas ne xnesIDªª de que se Is dlfficil), d 0_{as JDO 0 ll>ll}

- lf

-a leitura e com a escripta, qulzeramos que tambem

aos meninos se onsinasse a ler um desenho, isto é, a comprehender o sontido dos caracteres figurativos de que o mesmo se compõe, e a escrevcl-o, isto é, a repro

duzir por si proprios esses mesmos caracteres reunidos

diversamente para exprimir um objecto, como escrevem uma palavra por meio das lettras do alpbabéto.

Parà se chegar a este resultado é indispensan!l

proscrever de uma maneira absoluta a copia machinul de modelos, como se pratica actualmente, e substiluil·a

por uma copia inlelligente, que leva pouco a pouco o

discipulo a exprimir suas proprias idéas.

O que se diria de uma escola em que o mestre, para

ensinar o calculo, so lembrasse de mandar copiar pelos discípulos paginas e paginas de problemas já reso l-vidos?

Poderiam deixar os discipulos de tomar-se de tedio,

e até de adio, por um trabalho que instinctivamente sua consciencia lhes bradaria ser, além de brutamente material, de lodo vão?

O melhor processo que se pódo empregar para in·te

-r

ess~

r

.Pr,Qmptamonte, não um sómente, porém todos

os d1sc1pulos de uma classe, consiste em

~o

executar

em grande no quadro preto os traços das figuras de sorLe que aquelles que devem fazei-as depois

vej~

m

··

n'as traçar

p

re

viam~nte

pelos mestres.' '

. 0

. modelo se desenvolve assim diante dos olhos dos

d~sc1pulos

i o professor chama a áttenção dos seus

ou-vm~

es

.para os pontos mais interessantes; excita-lhes a

~uri?

si

d

~de,

e provoca entre elles a emulação pelas xphcaooes. e pelas interrogações a um e a outro.

Chegam assim oa discípulos com pouca fadiga 1· ... formar esJDO araoão

óD'l do ID corno

por 10 (•eo>

-

~

~~~~...:~~~~~~~~~

.1111

. ....

....__

._ 111

-receber .

lillll rcorrldo, a

0 caminno pe ₀ lhes foraID

quasi sem perce~ore~U\'idOS as lições qu f Q

polos olbos. 0

P

~

~

s

₀ pela palavra.. . to· rofessor _de radas 1>ola Jfllago trico, diz o d1st1uc . p de paris,

(( O <loiJeu!Jo

~

~

º~s

e

d

a

escola

po

l

yt

oc

h

n1

~~

1i

dade

tão

foaonho do mac no. tornado de uma ~ l todos

M. T1·onquoy, se tem t do ensino publico em

g eral que deve fazer par e

' · dos·

os grãos. . cre1wentes da in

«

Diante das exigencias sempre_ das artes, que

d mechanica e . s o

t

r

Ja

dOS progressos a . . matberoaLICa ' r

'

,

-

com

as

setenc1as . :- indispen

toe

m co

nnoxao

d

sonho geomºtrico

e

t

a

~º

artista e

oon

i

w

c

1

ro

o

nto

do.

e n

o

architeclo como do Illundo.

g

enh

o

1

ro

e

ao homero desen·

save

l ao

e

n

.

til pelo menos, stranho ao

io. e eu ' t mente e

ao

ope:ar

d

e

r

se

r

comple a tempo. "enbeiroi

qul

~

i~

ªe

º

n~

industrial

i:

::

ºlin

g

u

age

m~:

:

:

r

t7

a língua·

vo . ue o desen elle deveri

«Dizem q d·zer-se que cias

. Is justo • Illstan

s

~~a

:O~odo

mundo. » é em muitas circo nte

e

co~

g Em verdade o

d

;

~se

nb~

r uma idéa claraIIle os

o

lbºs

,

o unico meio de expoao espírito

f

a

lland~

\ão

farl

_

a

precisão, porque chegauma longa

explicac~o

coIIl

fac1

·

e muitas vezes

~ ~ue

·

rop

e

rf

e

it

a

meute

,

ser reparada, bender srnao 1 • menos P

coropre

t

dido pela intelligenc1a ente feita. toP•

Hd

a

d

e e

n

en . da que toscaID . IIl aos

ma flgu1

·

a

a

in

d ensino

e

d

i

an

te

d

o

u

.

su erintendente o ssiIIl : cotllº

M.

P

bilbr1c

~

,

d/189

4

exprime-se.; desenho, feita' eu

r

e

l

a

tor10

firo

e

a

utilidad~

o ui to

iIIl.Per

olbª

-no s

tureza

,

o

# inda sao ID

pa•Z-·

cJll

« A

na

1 educaçao,

a

iados neste

roser

.

ramo l

a

didos

e

aprec

arte de p

um ebeD mo uma

mente coropr o deilepbo co

•• ireraJmente

- J:III

-mediocre utilidade pratica, permittida sómente aos

estudantes a quem resta algum tempo depois de uma instrucção su fficiente nas cousas mais uteis.

u Si recentemente se teem feito nesta cidade esfor

-ços para espalhar o conhecimento do desenho, é por

-que começa-se, mas começa-se apena.s, a considerai-o

como um ramo essencial da educação geral em todos os grãos, e como a base de toda instrucção technica ou industrial.

u Começa-se a perceber que elle é uma cousa util em todas as especies de trabalho e em to as as con -'dições da vida; que constitua uma linguagem mais

propria a representar aos olhos os objectos do que o fariam as palavras ainda as mais bem escolhi'das; que é o melhor meio de desenvolver a faculdade da obser

-vação, e de crear o gosto do bello na natureza e nas

obras d'arte; que é indispensavel ao archite~to, ao gravador, ao esculptor, ao mechanico e aos operarios

em geral; que emfim dá ao olho e á mão uma educa

-ção de que todos teem necessidade.

<< O desenho, dizia Pestalozzi, é um auxiliar muito util para se ensinar a escripta ; elle será para os mes

-tres um meio excellente de tornar suas lições mais claras, e compensará largamente, facilitando o estudo das outras materias, o tempo que se lhe tiver consa-grado.

«Como a importancia do desenho, tanto para o de

-senvolvimento das f~culdades humanas, quanto para

o progresso industrial, torna-se de dia em dia melhor comprehendido, seu ensino irá encontrando menos opposição.

-XIT-I

productos das n\anufacturas teem augmentaao prod_I·

glosamenlo de valor, graças ao syslema de educaçao

artistica alll inaugurado ba vinte cinco anilos. D

·1 Os homens mais competentes na industria estão accordes em reconhecer que o Massachussetts não póde manter sua categoria como Estado manufoclu·

reiro, si não favorecer a cullu ra do desen-ho em todas as escolas publicas. »

M. Walter Smith insiste muilo sobre a conveniencia de encarregar os professores ordinarios das lições

do desenho. Os disciputos crêem diflicilmente na

sua

prop~ia

aptidão para um conhecimento, que seu

me~tre

nao poude adquJrir em gráo sufficienle para

ens1nal·o.

Mui~o

sem razão tem-se julgado que era preciso ser·

se. artista par>\ ensinar o desenho, quando se não

exige, nem um orador para ensinar rhetorica, nem um

acrobata para ensinar gymnastica. Convém considerar

0

desen~o

como uma linguagem, que exprime nossas percepçoes por meio de linhas, sombras e côres, do

mesmo modo por que as exprimimos por meio de

pala-vras e phrazes.

O desenho é em d d . •

1

. • . ver

ª

e, a muitos respeitos uma

ingua · hngua d fó '

J' 'h a rma, tendo sómente duas letlras

- a in a recta e a linha curva - .

como se combinam 1 que se combrnam

os c~racteres alphab ti

lavras escriptas. e cos nas pa·

Ra entretanto esta difteren .

palavra escripta suggere

0 noça. • - ao passo que a Qbjecto, o desenho apresenta

0 me e

~

pensamento do

O desenho e a escri t proprio objecto.

P a Procedem da f ul·

dada, a faculdade da i 't _ · mesma ac

mi açao · e o desenho, mal•

t do que a escrtpta. -3 por simples em seus elemen os . . .

d acquisiçfto m:11s fac11.

Isso mesmo e uma l do accrescenta o

Tem sido amplamenlc demons ra ' d experimentado professor, que toda pessoa que apr:~u:

a escripla póde aprender o desenho; e que os conhecimentos se prestam mutuo apoio : o successo

em uma é indicação certa do successo no outro.

O unico meio de tornar geral a instrucção no desen.ho Industrial diz M. Waller Smith, e estender sua ln· fl uencia

s~bre

todos os produclos, é

ensin~r

o desenho

elementar a todos os meninos sem excepç~o . .

Para apor!eiçoar o gosto em um povo. e

m1s~er

des-envolver o amor do bello no espirit.o da infa.nc1a. Este

é com effeito o unico meio de modificar sériamente o estado in tellectual de um paiz; e os cursos de adultos não serão jamais efficazes, sinão quando.

n

'

~lles_

se

tratar de completar ou desenvolver uma pr1me1ra ~ns­

trucção, isto é, de construir sobre fundamentos

solida-mente assentados.

u O desenho geometrico é a unica ba_se verdac!eira

do desenho arlistico ou industrial.

e< Um b<tm systema de desenho, ainda quando não

tem por fim sinão o rosultado artistico, deve tomar a geometria por guia desde o principio até o fim.

e< Tal tem sido a pratica dos maiores mestres e das

melhores escolas da Europa: pratica que tem a sane·

cão official da França e•da Inglaterra.

»

A educação do ol}\o e da mão, o desenvolvimento do

gosto pelo habito do desenho, adquirido desde as

pri-meiras idades nos jardins da infancia, diz M. Thomaz

Richeson, presidente do Board of directors da cidade

-XVI-eon.i>1atados pelo ensino do desenho elementar na!I escolas do primeiro gráo, e do desenho industrial nat do segundo (grammar school), bastarão para fazer uma revolução nas manufacluras de nosso paiz; e poderão d'aqui a alguns annos elevar de modo notavel o valor dos productos nacionaes.

Muito longe poderia eu ir ainda nestas reflexões

s~bre

a grande utilidade dó ensino do desenho, mas nao devendo alongar demais esta introducção, encerro

-ª

trans~revendo

as seguintes notãveis palavras de

M. Bou1sson no_ seu importante relalorio ao governo

fdra

_e

₁

nch~z

_{p ta:} á respeito da Exposição universal de

Pbila-« Ê preciso que F ·

até a or - a rança defenda sua preeminonc1a g . a nao contestada nas artes. Elia dispõe de

re-cursos immensos d

Prim . b , que eve fecundar por um ensino ario em concebido.

<1 Entre nós como t d

ex:ceUentes pr~fes por 0

ª

parte, não basta possuir possuir bons

curs~~res

bespeciaes de desenho; não basta todos os r>receptores e e

~a~

escolas : é necessario que habilitados

a

dar

a

t da 0

as as

preceptoras estejam

· 0 a popul

-ensmo do desenho. açao escola.· o primeiro

« A França, que depois das

gou-se ao trabalho com suas desgraças entre-dedicar-se com igual al'duma energia notava! deve

or ao e . ,

retemperar suas forças producliv ns1no do desenho, e

« Por meio de um ensino e as nas fontes da arte. abrem-se duas estradas:

um~

ral da arte do desenho volvimento do gosto e da

hn~

.

u~

favorece

0 desen

outra, que torna o povo capaz d thdade artlsticas

suas fórmas diversaa. 6 _ªPreclar

0 b _{e 11 o} ' _em

- J'.vt.

-« Criam se deste modo a um tempo a ofJerta e a .

procura; lavra-se o campo, e planta-se a semente, quu

dará a messe futura; faz-se o audilorio e o orador; -o publico que julga, e o artista que produz. »

Agora duas palavras sobre o pensamento que pre sidiu ao plano deste livro.

Compondo-o determinadamente para servir á dif· fusão do ensino do desenho geometrico, e para com o mesmo levar por toda parte noções geraes das scien-cias e artes que a ello se prendem, laes como a cosmo

-graphill, a agrimensura, a stcreome.tria e a architec

-cura, distribui methodica e gradualmente as matarias, de modo que podasse o livro ao mesmo tempo convir ás escolas primarias e normaes, aos lyceus e collegios,

e emflm a todos quantos - homens o senhoras, indus-triaes, commerciantes, lavradores, operarios, etc. -não llavendo recebido uma instrucçiio primaria com-pleta, desejarem instruir-se por si mesmos, indepen

-dentemente de mestres, nestas matarias tão interes

-san.tes e de tanta utilidade pratica em todas as posições

soc1aes.

A

pri~t>íra

par_te é . destlnaaa aos dous primeiros annos da mstrucçao primaria; e a segunda e os dous primeiros capitulas da iercefra aos terceiro e quarto annos da mesma instrucção.

A terceira e quarta partes cabem particularmente n_as escolas normaes, e em geral nas classes secunda -r1a.s dos institutos de educação, quer publico's, quer prrvados.

Em fim, no desenvolvimento do livro procurei seguir quanto coube em minhas forças, uma marcha

natural

~

mente progressiva, procedendo passo a passo, subindo

- X'flll

-docemente, como por degráos lnsensivels, das ldéas

mais simples ás mais complicadas, e usando sempre de

uma linguagem calculadamente concisa, singela e • i> clara, de modo que qualquer pessoa do povo, sabendo

apenas ler, podesse no mesmo encontrar uma inst

ru~-ção facil em cousas, como eu acima disse, de tanta uti·

tidade pratica em todas as posições socit1es. Parla, dezembro de 1878.

&BILIO CESAR Bonass.

"·~ '·

I

Sr•. Engenheiro D' André Reboüças, e litterato José de Bessa e Menezes, de Lisboa,

SOBRE ESTE LIVRO

Rio de Janeiro. 7 de Fevereiro do t879.

1llm0

• Sr. Dr. 'Abilio Cesar Borges._

Meu caro amigo. Saúde, etc.,

Recebi e ll com a maior satisfação o bello livrinho que enviou-me, com o lilulo de Desenho linear, ou Ele-rr~entos de geometria pratica populatr, seguido de algu· mas noções de agrimensura, stereometria e architec

-lura.

- l l l l

-brasileira; com i;erteza é o mais Importante, e o que vai produzir maiores beneficios á educação popular.

Necessitamos educar esta nação para o trabalho; éstamos cansados de ouvir discursos. Já vai, merc• de Deus, passando o período da verbiagem; necessita -mos restiLuir á sciencia positiva, á agricultura e á in-dustria lls talentos, que se esterilisavão nas egoisUcas

. lutas que denomlnavão - política.

Seu livrinho será um grànde gula da infancia para as provincias da industria e do trabalho em geral. Faço

c~rdiaes

votos para que os Elementos de geo·

metria

pratica popular ainda tenhão muitos irmãos

igualmente

uteis

á mocidade brasileira, que já tanto lhe deve.

Creia-me sempre afleiçoado patrJcio e amigo -,indri Rebouças,

"

- l lHI

-Rio de Jan ,Iro, 9 Oe Fcrert'i ro de iS79.

Jlllfl.O Sr. IJr. André Reboucas. Meu caro amigo,

Quando ao seu autorisado julzo submetli o meu ll

-vrinho, ou porque me

ce

gav

~

o amor proprio, ou

porque me não m\lntia a consciencía, d'elle tinha eu jà

opinião tal, que quasi contava com os seus applausos;

mas, confesso, muito longe estava de esperar que o

meu amigo levasse a sua generosidade até o ponto de

me escrever aquella preciosa carta, que é uma

v

er

d

a-deira patente, garantidora do successo do livrinho. pois bem sei, e sabem-no todos, da severidade do

se

~

caracter de cidadão e de homem da sciencia e d

esqui 1 - · , a sua

d - vança,_ s nao repugnancia, em fazer recommen

-açoes de favor em cousas do ensino. Aperto-lhe a mão agradecido e sub

particular estima e distiocta

co~sideraç~~~evo-me

com Seu amigo affectuoso e obrigadissimo

'

~BlLIO

e.

BonG2s. ' lb l'. S. - A propoalto do

0

a~

·

qu

e

leia a carta innta

q~

e\

rne disse do sen Andrézinbo Peçl)..

eaa~

g

:

de Lisboa, na q11a1 se IXle '\!,ºllco recebi_ de_ nrn..

ill

~

s

tr

ad

o

lJleu caro Amo· e J[lmo Sfitr. !Jr. Abílio Cesar Borges,

Da parte de V. S•. recebi o livro de sua

composi~ão

- Desenho Linear ou Elementos de 6eometria Pratica

popular - enriquecido de lisongeira dedicatoria,

t~nto

mais para agradecer, que não a J·ustificando meri.tos correspondentes, me ó segura fiança 0 da instrnc

• tiva

amisade e sympathia que livea fortuna de inspirar-lhe, e tão largamente do lodo o coração lhe retribuo.

Precioso livrinho ó este de que me fez possuidor 1 E dobradamente estimavel é elle, e Jhe·são

devida.~

honras e festas de boa vinda, que raríssimos no Brasi são os seus similares.

Porque?

Engenho, exceUencia de aptidões, atfectuoso sentf· manto pelo berço natal, nada ahi falta. ·

Todos os brasileiros se·extazião na contemplação do

immenso gigante a cujos pés corre o Prata e banha a

cabeça no Amazonas 1

E justo desvanecimento é esse no Olho amante,

que vê as rasgadas proporções da patria, as suas infindas inexbauriveis campinas, os eeus aureos rios-mares, as suas altivas serranias topetando os astros 1

Eu mesmo. - effeitos porventura do rne11 entranhado

o •

d ·cios me corrcrao os

:imor por essa terra, on e propt d

melhores annos da vida, - ás vezes, attentan o no

passado scism~ndo no precipite revolutear do mundo

e da

so~i

e

d

ado

no descambar successivo dos velhos

lmperios e o

s:u

resurgir constante, nem

se~p

r

e

no

· e v·1..,.orosas naçoes com

mesmo conl1nenle, em novas b •

fórmas e aspil·ações civilisadoras dilTerentes, ve10,

-em longinquo porvir é certo,·mas envolto em luz, ~ o

Brasil grande na extensão, população, commerc10, industria, artes, scicncias,

e

principalmente grande

pelo patriotismo de seus filhos, dar por sobre as A

n-tilhas a mão á União Americana, dous colossos num

colosso, realisando a fraternisação das raças saxonia e

latina, levando á humanidade inteira a sua benellca

e irresistivel iníluei:icia.

Encantadora visão 1 li

Mas é fado nosso - devanear, sonhar maravilhas

alcançaveis, e nada Lentar afim de converter o phanta

-zioso imaginar em realidade palpavel.

Porque, meu amigo, de animo decidido, obreiros do

pro~re~s~,

não correm os brasileiros a seguir-lhe 0 patr1ohco ex9mplo, encaminhando já a patria aos altos

e sorridentes destinos que a aguardam?

São aquelles livrinhos a mais possante alavanca P

erguer 0 _{· t . ara}

g1gan e, o mais poderoso meio de encurtar o

~

:~agç~a~~~

0

:ef~elia

entre 0 _{luctuoso estado presente e}

uro.

Bem haja o meu ami

instrucção do go, que comprehendendo ser a os desertos e

:r~::c~~~ol~vatnta

as nações,

~ovoando

dito th erra os seus mais recon

- lllelJl

... a'Vl - -o

do

IJO

tic•s

• a retleJª dJd&C

lhe a rnadur Ibe obras

is e consag!'a- otTertando· e11tos

ju von '. no os tudo, s l'.llo.!P 1osº encanec1do 1 valor. los gostoso eu preO . t·n1_{avo . pe do s} de mes I amigo 1 'Lura I· . o roeu rn a e1 jCe Bem baJª cionou co si é

~

. a e propor encJa, si9ªº' q

ue lil prefer

"

e"Pº

llro.

· ho dar a de da tbes0

1ivr1n . . que neJle. ·rnpJícida d deirO 9ber N

_~

-o se1 ao ou a s1 ver a do s .. do metbodo livrinho um ramos rít1º' Ienc1a. é ser aquelle . i1 todos os reanças,

/uotor'

que sei

~

·r no Bras nce das e. bB se do eu v1 ao alca da aun

Quan tos assim Jisação

0 pos ₃ rea

11uJllaD ntar com uull

•

a

CO p,SBD

piarei se co btos

-o ₁ nada

or

0 ..

visa . . de nós 1 Portuga , erão faV g1.1D' Mas, ai . como em tal; e rner?c veniuras n seJ1l No Brasil,

v

e

rnarn

e

~

que so ·tores·:·

-

o

dO

o infl

º"º

.

gi°

s brasileiros.: os com ele1da

e

Je1

0

t~rOº

'

sem s estad1s a dous gra aJ algum. seJJJ orP

Laes ao eleioão

d~

inteJlectu jnorias .. : ctB·" e s9 daro da -o de cuJtIYO .taoão ás m Jeioão d1re syste.!P graduaoa do represeo ta.das, da e J quantos

dan resen

-0 se

teroo, inorJas

r

e

~

uição, e pa

-nero ll'.l na constJt r-se

desvios - a gasta r·

,. ? - arao ues

.cna1s eceJXJ nao. . o. conUnU a.6.dl de q u.!P Não Jller dito am1g , .dlentos, e.dlente ·go

eu eru oro arma jmpun jnJO'.ll

verá, l)'.l l)'.lilbóeS C S não pisem• JJ18S, esse as, O'.lJl

jlbóes e

pa

r

agua~~tas

do Brasi_J: as en&ranboadores

- xxvn

-das ·fronteiras, - a lgnorancla, - engendradora de todos os vlcios, de todos os males, campeará livre -rnente .sem ninguem tentar siquer espantal-a 1

E, no entanto, era combatendo-a que melhor se PI'o -Yava o amor da Uberdade, o amor da patria, o amor de si mesmo; pois inda contra o Inimigo externo é o en -sino do povo mais. poderosa arma que as metralhadoras

e as couraças. ' .

Não importa l

: Trabalhar educando o povo não é só promover a

fe-hcldade da patria, é recommendar-se ás bençãos, aos ªPplausos da posteridade. Avante 1

Tenha fé; o seu livrinho ha de fazer caminho.

E, - eu que lhe entretecêra corôas e cantára hymnos, si bymnos soubera cantar e corôas entretecer -- deixe-me dizer-lh'o já : nada ha novo na sua obra, e n'ella é tudo novo.

Nada ha novo, porque todas aquellas figuras são velhas, conhecldlssimas, e o que escreveo é a rape·

lição do que jã cem Tezes fol dito; e é tudo novo, para brasnelros e portuguezes ao menos, pela simpllcidade com que o pensamento se enuncia, a natural successão das figuras e a exacta demonstração do exemplo leyando-me l1eo a dizer, acabada a leitura <;lo formoso Uvrlnho: - não ba mala necessidade de professorei de desenho Unear 1

R assim 6.

Tenho aqul um menino, tneu parente, principiando Os 11eu1 es\udo1 de lns\ruc9ão prlmarl•, e dei-lhe os

El~,

de Geometria Pratica popul<1r para Ot ler

ll'.l os e . s f)or Jbe ro awea

entiD jpVJª eJo, que gfoarfo•

g o das seu s ue o• 1wa

p~Ill

Lápo

f~q

---

~---

-

~

~

~~--

~---

-

----

~---que es

1 ~err

l)'.13 li vezes

- llVIJI

-ucos attentamente e estudar com vagar. Passados P0

dias, perguntei-lhe :

- Leu?

- Li, sim senhor, mas só estudei até o melo do

211 _parte.

- E entendeu bem?

- Ora, quem não entende aquillo f

deu· Abri o livro, e fiz-lhe algumas perguntas. Respon me perfeitamente.

r

ro 8

Muni-o dos precisos iQstrumentos; dei-lhe o IV

cos

pedi-lhe a reproducção de algumas figuras. Em P00

0

.

minutos, lendo, movendo a regoa e o compasso, da

0

me as figuras pedidas, feitas pelo processo indicado D

livro 1

Mais bri14ante prova das vantagens de um metbodº não a teve inda ninguem f

Mas, o Cabo das Tormentas não foi dobrado á

P

~

0

•

. . ·ia

me1ra tentativa; os fios telegraphicos que enfeJ . . hoje o mundo não são o resultado de rapido

en~ª

1

~

nem a estatua de Moysés sabiu acabada de um Jªc das mãos de Miguel Angelo.

fs· Nada haverá, pois, no seu importante e provett09

s

slmo livrinho a ampliar no texto serão as melbOf8 todas as definições, correctas todas'as figuras neobuIJlª

' JoS estará deslocada, nada ganhará com alguns exemP mais, nada absolutamente haverá a alterar em ooV89 edições?

Peza.r tenho eu que me falleça competencla pars resolver taes questões, o que grato lhe f6ra, aUents ll

-

xxm-modestia que muito o merlto lhe realça,

.

ª

sob~etudo

porque com isso melhor lhe provára a maior estima e '\ mais alta consideração com que sou

De V. S•.

A migo certo e admirador sincero

Jod DE BESSA s MENEzu.

Ueboa, 6 cJe Janeiro de 1879.

..

..

..

•

•

DESENHO LINEAR

ou

..

GEOMETRICO

-.

-..

PRIMEIRA PARTE

l!lol ~ l i NOÇÕES PRELIMINARES

Desenho linear, tambem chamado geometrico, é a arte de representar por meio de linhas os contor

-nos das superficies e dos corpos.

..

Divide-se em :

Desenho linear de figuras planas, quando trata da representação das figuras das superficies planas; e

Desenho linear de sotiaos, quando trata da repre sentação das fórmas ou das figut'as dos corpos no espaço .

Espaço é a extensão indefinida ou illimitada que abrange o universo, onde se acham todos os corpos

A extensão.geomelrica tem tres dimensões; a saber· r.omprimento, largura e altura ou espessura.

Corpo é tudo quanto occupa uma extensão

limi-tada, e é impenetravel. ' ,

Todo corpo tom pois as tres dimensões da extensão. Os corpos existem na natureza em tres estados: a oaber:

de 2 de

-definidas, Solfdos os quaes leem fõrmas proprlas e

11staveis pela grande cohesão de suas moleculas ;d ou

. . d bilida e

LiqUtdos, os quaes, por causa_ a

_?1º

fór!Ilas

pouca cohesão das suas moleculas, nao tee~

5

vasos proprias ou estaveis, e tomam sempre as 0

que os contêm; tre·

b·1·dade ex

Gazosos, os quaes, em virtude da mo 1 1 ias, e ma de suas moleculas não leem formas pr~prlivrcs tendem sempre a occupar maior espaço, quan

°

ou abandonados a si mesmos (1).

o !iD'.lll9 Superficie é o exterior de um corpo, ou

entre o corpo e o espaço indefinido que o cerca. . As superficies só leem duas das dimensões da exten

são ; isto é, comprimento e largwra. 1JJ3

Assim dizemos a superficie de uma taboa, de u

bóia, de uma garrafa, etc. das

A_s superficies podem ser planas, curva.s, quebra emixtas. ·

Planas, si se lhes póde applicar uma linha recta eJJl qualquer sentido e em toda a súa"extensão.

Curvas 8• - Ih ta elll

todos ' I .nao se es póde applioar uma rec os sentidos e em toda a sua extensão. .

l Quebradas, quando &ão com"ostas de duas ou D1ª15

,p anaa. I:'

Mixtaa, quand

1 as e uma ou .... _{... s} 81 _curvas.

°

comnPstas de uma ou mais p an '

Todas as superflcles

-Todas as linhas são

ijªºi

limitadas por linhas.

O espaço, a superfic· m ~a~as por·pontos.

dos ou estudados sob

~o~ª

linha podem ser considera· s Pontos de vista diflerentee : (1) O deauho linear &6 ..

•-111 01 que apre1entam

~

~:~r!!_

••tudo doe 80lidoa, pd Pro"riu.

..:.. 3

-Em relação á forma ou aspecto que apresentam, Isto

ó, em relação á figura; e .

Em relação á sua grandeza real ou valor effecttuo, isto é, em relação á sua extensão.

Figura, portanto, é a forma q~e affectam ou ~pr·e­

sentam o espaÇo, a superfi,cie e a lmha.

Para se designar a e}-tensão do espaço emp~ega-se o nome de volume.

Para se designar a extensão da superficle

emprega-se o nome de area.

Para se designar a extensão ·da linha emprega-se o

nome de comprimento. " •

-A geometria é a parte das mathematicas que estu~a a medida indirecta da extensão, isto é, dos

compn-mentos das linhas, das areas da$ superficiu, e dos

uolumes dos espaços.

Os instrumentos que commummente se empregam

no desenho linear são-a 'tegoa, o té, a curtia franceza, 0

esquadro, o tira-linhas, o compasso, e o transferidor.

~·

='

'lba-llnllaa

-

"

-Traiuferldot. QUESTIONA.RIO O que é desenho linear? Que outro nome tem? O que é desenho de figuras pl:lnaaf solidos? O quo é espaço?

Quantas dimensões tem o espaço? Bm quantos estados existem os corpos? O que é um corpo solido?

liquido? - .· - gazoeo?

Quantas dimensões teom os corpos?

O que é eupcrficll!'? .

Qua11lae d\moneõcs leem aa.

11u orfid\ee? O que é eup!}rficle plana? P curya? Quebrada? mixta? Quaca oe Instrumento 11 0 inllrt'(pdos no de11enhc

-

s

-CAPITULO D() PONTO B DAS Ll~llAS E:.! GEl\AL

Os elemeutos das figuras planas são o ponco e a~

linhas.

Os elemet1Los das figuras dos corpos no espaço sf10

o ponto, as linhas e as superficics.

Ponto geometrico não tem di~c~são . algnma. porém figul'a·se por um. pequeno vosl1g10 fc1l~ c~m a

ponta de um instrumento sobre aualauor sup01 fic1e.

O ponto é o elemento da linha.

Linha 6 uma serie de ponlos em qualquer direcção.

..

,.,,,.,.,. -···-~·;.•

.,.

..

.

.·

(

,...

.

.

·

-

··

\)

/ ,

..

.

.

/

...

.

·,··.

··

.

.

····--~..._., ... .,

.~·-As linhaa teem uma só das dimensões da extensão.

que é o comprimento : não leem larguru, nem espcs

•u

r

a..

As linhas podem ser representadas no desenho gco·

llletrico de tres modos : - por um traço cheio, por um t_llornes raço pontu.a_de do

e

por um

t

ra

~~o

interrompido, d'onde

o

·

t:~eiu

...

..

Pontudu

-

-

--

6

-.

··

...

-

...

-·

"

-

-

...

..

,

'

,

,

'

,

__

-

-

,

,

lnterrompidaa

Quanto. á direcção de seus pontos, ou á sua nalll

reza, as linhas são rectas ou curvas.

Linb - . 6g11elll

. as rectas suo aquellas CUJOS pontos s •'

iodo~ invariavelmente a mesma direcção; c0010

seguintes:

Linhas curva on~

mudam lodos 8 são aquellas cujos P •'

•eguinLea : constantemente de direcção colll0

_,_

Quanto á sua composição as linhas podem ser que-bradas, mixtas, sinuosas e revcrsa.s.

Linhas quebradas são formadas de duas ou mais reclas; como as seguintes.:

Linhas .mlxtas são formaaas <te uma ou mais rectas e uma ou mais curvas; como as seguintes:

Linhas sinuosas são as formadas de curvas re· guiares igu~es e no mesmo plano; como as seguintes :

b Linhas reversas ou de dupla w·r11atwra são tam

-e~m formadas deourvas i~uaes e regulares, mas todas

83 _Ca-rolhasPlanos differente_. s; como a rosca ou belice de um

li:~

linhas podem ser determinadas, indeterminadas,

Lt

adas e illimitada.s.

Por nhas det~rminadas são as que se designam

8

-·o

teelll

d s eão as que na

Linhas indetermina

ª

designação alguma. mpriPleolD

t m um co

Linhas limitadas as que ee

definido ou marcado. _ m colllPrl

. ue nao tee

Linhas. illimitadas -as q - ontG!

mento marcado . . cortam, os P.

ut

·

Quando du11s ou mais hnhas s; pontos de ,,.

em que se cortam são denomina os

çecçáo.

oo

são pontos de intersecção.

1 .,

. ~

Entre dous pontos dados n&o se po ·de Lraser tra c ar GJ qa t1

de Uma linha

r~cta,

entretanto que podero

0 na figtl

das

li~has

e as em mero illimitado i com

11eguinte -: ·

~

~»

É

. h recetJ

por leso que tambem se diz que a lm a

termina a '1\enor distancia entre dous pontos·

tlt

---- 9

QtJBSTIOl'fABIO Quaos são os elementos das figuras?

- - linhas?

O que é ponto geometrico?

Como se .figura o ponto geometrico?

O que é linha?

...

Quantas dimensões tem a linha?

Do quantos modos se podem apresentar as linhas?

O que é linha recta? curva? quebro.da? mixta? sinuosa? reversa? limitada1 illimitada? determinada? - indeterminada 1

•

E - - ponto cJo intcts«cção 7

ntre dous ponto11 dados quao\as rectae ee podem traçar?

- - curvas se podem traçar?

•.

-1

...

,.. •

-_r

Quadro synoptlco das UnhltS·

•

. ~

As l.Q(eu PODKU: Bll:I\ :

j

Chelu.

-Pontuada.. Inteuompldaa. Reeta•.

cun

..

.

Quebrad9' Mi1tu. Sinuo•U Reversu, Llmitadu. llUmltadH. Dotorminadu Indeterminada.a _.._..::.

'

CAPITULO II

POSIÇÕES DAS LINHAS Posições das linhas rectas.

Posição de uma linha recta é o sentido da sua

direc-ção relativ~mente á superficie da terra ou a outra linha.

Dous pontos bastam para determinar a posição de

uma recta •

. Toda recta, quer no espaço, quer em um plano, ~ode occupar tres posições : - harisontal, 'Vertical e

inclinada.

llorisontal é a recta que segue a direcção da su-perficie da agua tranquilla; e é por isso tambem

cba-rnada linha de nivel.

A linha seguinte, EF, está em posição horiscmtal

ou de nivel.

E F

p '1'ertical é a recta que segue a direcção do fio a rumo, ou da queda de um corpo; como a seguinte :

::;tfi!..1 •

a;no.:: ·:

1 · . , . . 1

'

• • ~ 1 1 ~ J 1

.

1 neDI

Inclinada é aquella qQe pão é horisonLa '

verlical; como a seguinte :

i

i

1

1

' • 1 \ ... -~""4·•~·,_., .• , .. , .... todos o! Todas as superl:lcies, todos os planos 6 _ualquel

corpos, menos os es.phericos, occupam sempre q

d' estas posições.

Posições das linbás curvas.

d,.

'ders ·

As linhas curvas leem posições, mas consl rtllr'

de oulro modo, isto é, segundo a direcção do abe Assim são ellas concavas ou convexas. ~ Li _{. nha curva concava é aquella cuja}

_ª

bert"

_.

esta voltada para o observador; com«> a seguinte .

- t3

-Linha curva convexa é

aquella cuja abertura stã voltada em sentido contrario ao do observador como a seguinte : l

~~

_•

•

·'-r

/

_-

..

.J-I

....

_"

'lli~res

Pontos pelo menos são precisos para se deter

-1' ar n posição de uma curva.

C~da

curva tem um lado concavo e outro convexo. 'Oe:i;id:a-se ponto de inflexão o ponto em que a con

lice. e de

~ma

linha se muda em concavidade, e versa; como nas curuas sinuosas.

~BC

Q~8TI01'ARIO

O que é posição de

~a

linha recta? nnlnat • pofÍ'

Quantos pontos são necessarios · par a 8e dete

ção de uma rccta? ta?

Quantas po11ições póde occupar uma rec O que é recla horisontal?

• vertical? f

- inclinada? . _ linhU oul"'., Como eão conl!idP.tadas as poe1çoes d&e

O que é linha cr,ncava?

J

•

- convexa? ·

0ar • P ·

Quantos pc>ntos são precisos para se detorrm dfl

ção de uma curva? vidad

8

Como se chamam os pontos em que a

co~cª-ver,_?

"1ba.s sinuosas se muda em convexidade e vice

•

..

•

- t5 - .

CAPITULO lJl -, POSIÇÕES RELATIVAS DAS LINBU

Consideradas relativamente umas ás outras, as rcc

-JS podem ser perpendiculares, obliquas, parallelas,

quidislarzrcs, convergentes e dilm·gentes.

_Perpendicular é a recla que, encontrando outr:i,

:~o

se inclina nem para um nem para outro lado

esta; como nas figuras seguintes :

r

B

e

p,~'•las

figuras as Ires rectas denominadas AB são C end1culares ás denominadas DC.

ticaf~::m n~o con~und~r

a perpendicular com a

ver-a Prutno ta nao tem

Ja~a1s

outra direcção além da do fio

Oblt,

e aquella pode estar em todas as direcções.

~

e

Para

:~:oªJecta

que, encontrando outra,

inclina-ª

mesma

i

como

nas

figuras seguintes:

M ,

~·~~

.

~

.

~ N E /W\

ºhlt esta, tlguraa aa t

- i6

-Parallelas são duas ou mais linhas quo estaodo

no mesmo plano _{, so} . _po d _{om prolongar indefinid:lln}' _eP te _•

sen,:i que se encontrem· jamais· como nas figuras 98

gu1ntes: '

Todos os pontos de te

~os de outra seco uma das parallelas relativa~efl Equidi'st · nservam sempre a igual distancia.

antes sã t JaS

que se acham a igual df res .ou mais linhas paralle

- Con" stancia umas das ontras ;

ergentes sã d8

ponLos lli!Jorentes d.º. as roctas que partindo na figura soguinie s:e ir1gem todas para um só; cotJJº

M

/!

,

O ponto para que a

ponto de convergencia. 1 linhas

convergem chama sO

-

Divergen

tes

são duas ou mais linhas rectas que partem de um ponto pnra direcções dilierentes; com0

. na figura seguinte :

de

º/

011_{to do que parlem cslas linhas chama se ponto} < ivergcncia.

As ·

qu rectas conve1·genles se tornam divergentes,

Vi ando prolongadas além de ponto de ·convergencia e

ce."ersa.

t'a:esta figura o ponto d'intersocção pqde ser cons

ide-' 0 ao mesmo tempo de conver(fencia e de divergencia,

A

~

.

--- D

______

:::;

=n

<::

_

--

--e

-n

be modo que as linltas converycntcs e divergentes

repr·es~ntam em figura a mesma cousa; disLinguindo·

se a penas pelos pon los que forem considerados ·de

lt- • -18 - 1

• É assim que, si considerarmos varias linhas dirl.

grndo-se para o mesmo ponto ellas serão

convergenUS

i

e si pelo t . . • s111ss

linh' . con rar10, considerarmos estas me de h as parltndo do dito ponto para aquelles de ou

aviam parlido, passarão a ser divergentes.

Q11R8TI01u.mó

. Relativament ₈₈r tJ

rectas 7 e umas àa outras, eomo podel'.ll Oqueé t

E r~c

ª

perpendicular ? m que d1Cfere a p dº

o

que é

r

h hlº crpen 1cular da vertlcal? O in a o iqua?

Aa que são rectas parallelaa 7 curvas lambem d

o

que são

r

h po _ei;n ser parallelaa?

- . m as equidistantes 7

O que é - convergentes ? ponto de .

O que são linhas d~onvergenc1a? O que é o ivergentes? Aa linhasp c:U~ de divergencia?

1

o

ergentes se d tell

ponto de conv po em tornar divergen d di·

•Maenoi•P ereencia tarnbem 1e póde tornar .,

Quadro synoptlco das posições das Unhas.

Horiaontaea. Vertioae1. lnollnadaa. Concava1. As LINHAS QUANTO • RUA Perpendioulares. POSIÇÃO PODBU SER : Obliquai.

Parallelail. Equldl11tante111. IJC'overgente1. Divergente..

" A ngulo é a extensão superficial ou o plano com prehendido entre duas linhas que se encontram; como

nas figuras seguintes : •

Vertiee do angÚlo é o ponto em que as duas lin1.J115

se encontram.

..

Lados do angulo são as dua

1. h

8

in as que o f aro

, Abertura do angulo é a ma· orm ·, entre os dous lados. torou menor inclinação

' Para ee designar um angu1₀ b t

leUra no Hu vertice. Asaim dir.ai:~,ª. 00llocar-₈₈ uma

\

\

O angulo O angulo O angulo

. Para se designarem os lados de um angulo são pre·

cisas lres leltras uma no 'Vertice e uma em um ponto

;1unlquer de

cad~ lad

~

Assim é que no angulo seguinte ªmos o lado AB e o la<lo AC.

'

Para se distinguirem os angulos entre si, ,havendo ltlais do um no mesmo ponto, deve cada um d elles ser

enunciado pelas tres lelLras, dizendo-se sempre a d~

,.erlice em segundo togar. E assim que

i;

fi1'iul~ se &uinto toremos os tres angulos MAG, GA ' e ·

1 D

.,'\ -. depende do com

-A d ,. dos angulos nao roalor ou menor

q, gran ez.,. im da !d

Prirnen lo de sous lados, º1a:os são !Ddefin os .

. l rque os

- 22

-AssJm é que, dos tres seguintes, o angu lo CEB é maior que 0 angulo DEB, e este o:iaior que o angulo AEB.

I> CJ _A •

-·

B r Os angulos pod . ·

reza. de seu11 1 d em ser considerados quanto á a os,.ª quanto á sua grande::a.

Dos angulos qua t á

n

°

natureza de seus lados. Quanto á natureza d _{1 d}

rectilineos curnil' os ~

?

9 _{podem os angulos ser}

• ineos e mixtilineos

Angulos rectili - ·

rectas; como 08 segu~~~~ sao os formados da lin bal'

• p

AL_C

Â.nguloa OUrvilineos

-curvas.

ªª

0 _{os formados de linhas}

Angulos mi:x.tUtne

-recta e uma ena na. ~/ sao

º'

forrnados de uma

-

23-Os angulos curvilineos e mi:Itilineos tomam as de-nominações de concavos, con'llexos e concavos con11exos,

segundo são concavas ou convexas as linhas que os

formam.

Curvilineo concavo, quando a~coocavidade dos

lados 6 para dentro do angulo; como no seguinte :

e

..

Curvilineo convexo, quando a conc?vidade dos lados é para fóra do angulo; como no segutnte :

. Curvillneo concavo-convexo, qu_ando um

t Para fora; como lado é concavo para dentro e ou ro

ftf ixtUtneo OOllC&TO :

Mlxtillneo convexo :

/

Dos angulos quanto á sua grandeza. Os angulos quanto á eua

rectos, agudos e obtusos. grandeza dividem-se elll

Angulo recto é aquell

camente perpendiculàres. e que tem os lados recipro

-que o lado AS é perpe' ~~mio na figura seguinte, etn

versa. n icu ar ao lado CB, e ·vice·

_

..-....

__. B C

Angulo agudo é aquelle

reciprocamente, e tem a abert CUJos lados são obliquo

guio recto; como na figura segurai menor que a do ₈₁₁ unte:

.&~a

o

- 2f>

-Angulo obtuso é aquollo em que os lados são

tambom reciprocamente obliquos, mas tem a abertura

maior que a do angulo reclo; como o seguinte :

;-o

Relativamente uns aos outros os angulos podem

ser: complementar~. supplementa,res, adjacentes, oppos

tos 1lerticalmente e oppustos pelas abertur~.

A.ngulos complementares são aqueUes que

reunidos, ou sommados, dão um recto; como na figura

seguinte, em que os angulos BAC e CAD são comple

-mentares, porque reunidos dão o angulo recto BAD.

9

·

.A

L

D

·

!ementares são os que somma

-Angulos sup~ d s rectos · como na figura se

-do _~· "d dao ou •

ou reuni os, los são supplementare!l, porque

gumte em que os angu · ~ ' somm;dos $fão dous rectos. - , --___.

1

- !6 - •

A.ngulos ad. .

commum, sendo Jo~centes são os que teem um Jado

figura seguinte os andous exteriores : assim é que na

porque teem ₀ Jad gulos CDB e CDA são adjacentes

o co.mmum CD. f

~o

p

•

•

•

Angulos oppost

~:[tices, são dous an:u~o verticalmente, ou pelos

seg~f :~Jongamento

dos

Ja~~

udm dos quaes é formado

e. . s o outro; como na figura

Anguios

que leem suasºPPostos Pelas

na figura segui~~erturas defronte aberturas são os

angulo P e

0 e, em que 0 a uma

fal

outra como

respectb~s

abe~~guJo

N

oppos~gulo

·

o

é

oppo~to

ao

ras. ao angulo M pelas

..

- 27

-qu Duas rectas perpendiculares, cortando-se, formam

q atro angulos reclos; como na figura seguinte. em

quet os angulos _{ua ro rectos.} AOC, BOC, BOD e DOA são Lodos

t Logo a somma de todos os anguloe existentes em

orno de um ponto é igual a quatro rectos; como na

figura seguinte, em que todos os angulos que se acham

em torno do poDto O equivalem aos quatro rectos

"Pontuados.

/;:

I

!

.Doue

00 mate anguloe de lados parallelo! elo todos

iguaes entre si, quando suas aberturas estao no

mes-mo sentido ou em 1entldos oppo1tos; como 011 H·

28 N Q

l\Ai\)~:1~

1

Dous angulo t d

lados differ · t s en

°

~s aberturas voltadas pa~a

guaes, aind:n es, que nao sejam oppostos, são desJ

-os seguintes : que seus lad-os sejam paralleJos i coroo

•

Esses angulos são supplementares.

..

.

,,

A

~

₉

f---,,

'

m 29-QUKBTIOl'fAB.10

g

que é angulo ?

0 que é vcrtice de um angulo? 0 que são lados de um angulo?

e

que é abertura de um angulo?

C Omo BC designa um angu)o isolado?

C amo BC designam CS lados de um aogulo?

rn °mo se designam os angulos, havendo mais de um no esmo ver tice?

lat

g?ranqeza dos angulos depende do comprimento dos

Os .

ge que dependo a grandeza dos angulos?

1 d amo se dividem os angulos segundo a natureza dos

a os? ·

O que é angulo rec1iÍineo? curvilineo? mixtilineo 7 .

O que é angulo coHcavo? convexo? concavo-convexo? gome se dividem o., angulos segundo sua grandeza? • que é angulo rec co? agudo? obtuso?

O que são anguloe oomplel1Uln tares e supplementares 'i

g

que são angu!os .,djacentes?

que são angulos :>ppostos?

Duas rectas" que s• cortam perpendicularmente que an-gulos formam?

1'odos os anguloe que ao façam em torno de um ponto

quantos t âlem ?

D _{oua ou} reo os v _{mais ano u} 101 de lados parallelos o que são entre si?

p . ( a medida doa angulo111

Ouaaro synoptico aos angulos.

08 ANGOLOS PODEM SER :

Rectilineos. Ourvillneos.

Mixtillneos.

Curvilineos concavos.

Curvllineos convexos.

Curviline'os conoavo-conves:o9 Reotoa. Agudos. Obtusos.

..

· Complementares. Supplementares, Adjacentes. Oppostoa verticalmente. Oppostoa pela.a aberturas.

,•

•

..

- 3i -CAPITULO V DOS POLYGON08

li J:1olygono é uma porção de plano ou superficie milada por linhas rcctas ou curvas.

Do mesmo modo que os angulos, podem os

polygó-c.os ser rec til i 11 cos curvilineos e mixtilineos; como os seguintes : '

Chamam-se lados do polygono as rectas ou curvas

que o limitam. ·

Perimetro ou contorno do polygono é

ª

somma

das linhas que limitam sua superficie." . . ll 0 ârea _Perimet do polygono é a porção de superfic1e contida

ro. - d signados pelo

Ordinariamente os polygonos sao . e

1 nu _{mero de seus lados.} A _ss1m · é que dizemos -_d po _· Y &on d d . olygono de quatro lados, e cmco, d o _{e sei·} e _d tres Ia os, _{· lados e} P t _e., etc _{· .}

._ s, ezese1s ' que teem nomes espec1aes ·

nlas ha doze polygonos e são _{. os segu10} · tes · _.

8oae1gono, ou polygono d• 9 lado• ~'llngulo ou pol•gooo do 3 lados. / Decagono, ou - to

-\l"ll. · ' , , _ u

-i> ldntatero, ou

-6 _ Bndec1gooo, oa - tt _

1 _te~gono, tntagono, 00 - 6 _ Dodeo.agooo, ou - ₁₅ _ 10 - ₇ _ Peatadecagono, ou - tO

lftpttgoao 011 - ₈ _ lco101oao, 011

Octo • -

·z

.

"

l sono,

º"

~ ddeID ser eqin ateros, equtungu os, Os polygonos fa,,.es, eswellados,, inscriptos e

cir-regulares, i,,.regu curnscripto1.

- 32

-- d os lados

Polygono equilatero é o que tem to os

.guaes. d

5

os

Polygono equiangulo é o que tem io 0

a ngulos iguaes.

1 dos e

Polygono regular é o que tem todos os

ª

lodos os angulos iguaes.

1

ulll

Polygono irregular é o que tem todos ou

ª

g

dos lados e angulos desiguaes. 't da • !iDll 8

Polygono estrellado é toda superflc1e

por angulos salientes e reintrantes. . uaes,

SJ os angulos e lados são respectivamente

~g

uaes, chama-se potygono estrellado regulM; si de.sigas : potygono estrell,Jido irregular; taes são os seguwt

Pol~gonos

inscriptos são aquelles que

te~~

os vertioes dos seus angulos em uma circumfereno1a ' como os seguintes :

·- 33

-PoJ!gon·os c1rcumscriptos são aquelles cujos fados sao tarigen tos a uma circumferencia; ·como os

soguJntes : · ·

s ?s angulos dos polygonos ou são

IT'eintrant~

ou

alientes, como se vêem nos estrellados. ·

. ângulos reintrantes são os

q~e

k1em os

ver-lices para dentro do polygono .

. .4.ngulo salientes oe que Lêem os vertices para fora .

. Diagonaes de um polygono são as linhas que

ltgaxn àous vertices do polygono, como na figura se

-~Uinte. E

··~

B I I I

/

/

,

/

e

.

_ô/

'

l> \

..

Q'Dll:BTIOlf~O

O que e polygono ? onos 7

Quanto ~ eeua lados, como pode!J' ser os poly~eobarn ou

Como ee chamam aa rectas ou curvae que

limltnm os polygonos?

O que é perimetro de um polygono?

ar~ ? ,

Como se designam os polygonoe? ,

Quantos po!ygonoa teem nomes particulares?

Quaee os nomes de taes polygonos?

O que é polygono equilatero?

aquiangulo?

regular? Irregular?

estrel lado?

Quantas especies ha de polygonoa e!Kc~ll3..::t•D: "' O que 6 polygono lnscripto 'f

, olroumscrirto Y

Olygonos • Quadro synopt1co dos P

Os l>OLYGONOS PODEM Reotillneos. Curvllineoa. Mixtilineoa.

•

-

-Equllateroa Equiangulos. Regularei. Irregulares Estrellados regulare11. Estrellndos irrcgulnreo. Inscriptoa.