dUCAÇÂO QERAL
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(OBSERVAÇÂO E EXPERIENCIA) P E L O P R O F E S S O R H E I T O R T j Y R A D A S I L V A PRIMEIRA EDIÇÂOJGctv
L l « ' r a r l a E d i t e r a L c l t c R l b c l r oRUA BETHENCOUR E DA SiLVA. IS. 1? e 19 (Wlgi Saoto Aotonlo)
RUA TREZE DE MAIO, 74 e 76 R I O D E J A N E I R O
1 9 2 3
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TODOS OS DIREITOS RESERVADOS
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A MlNHÀ^lRMA
" J S d u c a ç a o 6 a a r t e d e c u l t i v a r u m a p c r f e i t a e l é g i t i m a h a r m o n i a e n t r e o e s p l r i t o e a s
c o u s a s . "
U a c o k .
A Bibliotlieca de Educaçâo Gérai destina-se principalmente ao e n s i n o e l e m e n t a r ( p r i m a r i o , p r o fi s s i o n a l e s e c u n d a r i o ) d e n o s s o
p a i z .
Ella serà constituida por ginipos ou séries de volumes, que serâo manuaes didacticos e guias ou cadernos para trabalhos praticos de
todas as materias que, como por exemple as sclenciae physicas e
n a t u r a e s , c o m p o r t e m u m a p a r t e e x p e r i m e n t a l .
Esses volumes, quer de um, quer de outro grupo, embora sob a responsabilidade pessoal dos respectives autores, obedecerào em conjuncto a uma orientaçâo geral unica, com os caracteristicos da obra que a Bibliotheca se propSe a realizar em nosso meio escolar
e s o c i a l .
Taes caracteristicos serilo fundamentalniente os seguiutes:
sim-plificar os programmas, empregar linguugem correcta mas sempre
extremamente facil, dar ao ensino um cunho essencialmente
nacio-nal e objectivo, fazer a inducçào predominar sobre a deducgao,
substitulndo a memoria das palavras pela dos factos, tentar melhorar
q u a n t o p o s s i v e l a p a r t e m a t e r i a l d o H v r o , p r o c u r a n d o t o r m i - l o
a t t r a l i e n t e .
Como OS livros de ensino elementar da Bibliotheca nâo se des-tinam apeuas aos alumnos das escolas primarias, profissionaes e
ae-' )
Cy
cundarias, mas tambem aos adultos das classes populares que queirani
melhorar sua instrucçâo, e aperfelcoar os conhecimentos de sua pro-fissâo, nâo se deve extranhar que o piano da Bibllotheca exceda os
limites dos programmas d'aquellas escolas e contenha tudo que possa
ser util a esta ultima classe de leltores.
O escopo principal da Bibliotheca é portante concorrer para que o ensino elementar adquira uma feiçâo objectiva e caracteristica-mente brasileira, de modo a servir em todas as classes e em todas
as profissôes para proporcionar aos que per elle tiverem passado, urn conhecimento mais perfeito do ambiente em que vivem e uma
malor capacidade de acçào pratica.
So assim, nâo se Umltando apenas ao aprendizado da leitura e da escripta, que é urn meio e nâo um tim. o ensino elementar serâ benetieo âs classes populares, que nelle verao o caminho mais seguro de meihorar as suas condiçôes de existencia. De outro modo,
elle apenas concorrerâ para augmentar o numéro dos incapazes e
d o s r e v o l t a d o s .
A Victoria sobre o analphabétisme que, de facto assim entendida,
rranstormarâ o Brasil, serâ ganha, menos decretando leis de
in-struccao obr.gatorla, que poderâo tlcar no papel, do que Incntindo
n o p o v o a c o n v i c ç a o d a v a n t a g e m o u p t p r - î . x ., ' " S ® ' " t e r a e m i n s t r u i r - s e . f o r n e
-cendo-lhe o que 1er com agrado e proveito.
I N T R O D U C Ç Â O
A c r e a n c a n S o é u m m e r o o r g a n i s m e r e c e
p t o r ; c o n v e n i e n t e m e n t e e s t i m u l a d a , e l l a é c a
-p a z d e a c h a r e d e s c o b r i r m u l t a s c o u s a s . - S é r i a
um grande erro deisar perder o enseio que
off e r e c e o e n s i n o d a G e o m e t r i a p a r a e x e r c l t a r -I h e a a c t i v i d a d e d o p e n s a m e n t o p o r m e l o d a p r o p r i a i n v e s t i g a ç a o .
J . P a l a u V e r a .
0 pequeno livre que aqui se apresenta é um compendio a mais,
pqrém um compendio que tem a pretençâo de insinuar no ensino da
Geometria elementar, a adopçâo de novos méthodes, aconselhados
hoje em todos os modernos livres de pedagogia, mas ainda nâo seguiclos geralmente uo Brasil.
A exposigâo da materia estâ feita segundo o criterio que jâ foi
denominado dos circulas concentricos, e que consiste em seguir, em vez de uma ordem por assim dizer linear aberta, outra em que se fornece a principio um conhecimento superficial de toda a materia e se volta depois a cada parte, uma segunda e mesmo uma terceira
vez, para estudà-la com maior minucia.
Obedecendo a essa orientaçâo, nâo se faz primeiramente o estudo (la Geometria plana para sô depois abordar o da Geometria no
espaço. Ao menos no ensino elementar, nâo parece racional
seme-Iliante ordem: é évidente que existem em Geometria plana nume-rosas questôes multo mais complexas do que outras de Geometria no espaço, e a tendencia moderna deve ser a de abolir essa divisâo
J O
Um fio de barbante, um traço de lapis représentant Knltas.
As Iinhas sao formadas por pontos. (Fig. 3)
A ideia de ponto nos
v e m d o s c o r p o s m e n o r e s —
q u e p o d e m p s a p r e c i a r p e l o s F i g . 3
olhos qu pelo tacto, e que nos nâo distinguimos uns dos outros
senao pela d.fferença de suas posiçôes no espace : un, grâo dé
frionge,Ttr ' ' insecto voando
s u a s u p " e r « t f ° ™ a n t a
F i f f . 4
F l i f .
^ O
Essas faces se encontram formando linhas que se rb=
arestas e as arestas se encontram em pontos oue 1 u "
v e r t i c e s . c h a m a m
A linha pode, portanto, ser o pnmnf^^
duas superficies e o ponto p6de ser "iZ TT"T
2) unhas As iinbas podem serZ «Z'
"-bante bam!
i
1 1
As arestas do dado sâo linhas rectas,
. . . . F i x a n d o d o i s p o n t o s d e
^ u m a l i n h a e f a z e n d o - a g > *
-rar, se for recta, ficarâ
sem-P i f f . 6
pre na mesma posiçâo, se fôr curva, nnidarâ de posiçâo.
F i e . 1
Dois pontos bastam para dcterminar a posiçâo de îitiia
l i i i l i a r e c t a .
Entre dois pontos n â o s e p o d e t r a ç a r mais de unia linha re
c t a .
. A l i n h a r e c t a é a caminho mais curto en
tre dois pontos dodos. Para traçar a linha
recta emprega-se a ré
gna (Fig. 6) ou uin
cordel em que se tenha
p a s s a d o • g i z ; é e s t e o p i e . s processo usado pelos carpinteiros (Fîg. 7).
Para marcar no châo imia linha recta de grande cornpri-mento (alinhacornpri-mento recto) basta empregar 3 balisas. (Fig. 8)
F i g . 1 0
As linhas curvas têm itm lado interne A (concavidade)
e iim lado externo B (convexidade) (Fig. 9).
A curva que volta
para o mesmo lado, ora a concavidade, ora a
convexidade, chama-se
sinitosa. (Fig. 10).
O instrumento de
desenho que serve para
o traçado de cur\-as chama-se curja francesa (Fig. 11).
F i g . 1 2
F i g . 1 3
A linha formada por pedaços des rectas chama-se quehrada
(Fig. 12) e a que é formada por curvas e rectas chama-se mixta
(Fig. 13).
3) Superficies —As superficies pôdem ser planas ou
c m v a : ^
-Superficies planas ou pianos: a de um espelha de avnmriu.
a d e u n i a m e s a . e t c .
Superficies curvas: a de uma manga de vidro, a de um fiinil. a da casca de um ovo. etc. (Fig.s. 14. 15 e lô'l.
. i: 'îif'-i
I l
F i « . 1 4 i - ' i g . l i i K i f ; . i r .Conhece-.•^e que uma superficie é plana quando sobre ella se pôde encostar uma regua em qualquer direcçâo. (Fig. 17). F' isso que
fa-/ . e m o s p e d r e i r o s para verificar se paredes estâo bem • (irsnnpniadas.
S e u m a r e c l a
tiver dous pontoî> s o b r e u m p i a n o ,
i i e r t e n c e r â t o d a a
1 5
1 4
Fixando dons pontos A e B, de um piano., pode-se fazê-lo
g"yrar em torno da recta que liga esses dous pontos. Se, porém,
pe ■ fixar um terceiro ponto C, que nao esteja em linha recta
com aquelles, o
pla-/
fi x e .
n o fi c a r a
(Fig. 4).
Trcs pontos nao em linha recia bas-fam para detcrminar a p o s i ç à o d e u m
l-'or ires pontos
piano.
r r>
T-'iff. 18
noo cm linha recia so se pôdc facer passar um piano.
1 oda figura que pode ser trat^ada em um piano chama-se
figura plana. Fx. : o contorno de uiua face de um dado. Fig. 18),
Do mesmo modo que as linhas,
as superficies curvas tém concavi-Kie. ill dade e convexidade. (Fig. 19).
B X K R C I C I O S
1- -DÔ exemiilos diversos de corpos. superficies, iinhas, pontos,
1 rectas, pianos, figuras planas.
2 Quantas faces tern um dado? 3 —Quantas arestas, quantos vertices?
4— Quantas arestas se encontram em cada vertice?
5- A quantas faces pertence cada areata? 6,—Dê:exemplo de uma linha curva. 7 — Dê exemplo de uma superficie curva.
C A P I T U L O . I I
D I M E N S Ô E S — M E D I D A S
F i g . 2 0
4) Dimensoes — A extensâo de um corpo, como uma caixa, por ex., pode ser medida em 3 direcçôes: comprimcnto ■
(AB), largura (BC), altura ou espessura (BF) (Fig. 20).
A espessura cha-A B m a - s e a s v e z e s p r o f u n -d i -d a -d e . A s m e d i d a s , d o P comprimento, da largu ra e da espessura cha-mam-se diniensoes. As superficies, co
mo por ex. a face da tampa de uma caixa, so podem ter duas- dimensoes : compri mcnto e largura.
As linhas so tern comprimpnto.
%
5) Medidas —Para se medir uma linha é preciso
compa-ra-Ia com um comprimento conhecido. Esse comprimento é a
uiiidade de medida. No Brasil a unidade é o metro, que vale
pouco menos de 5 palmos.
O metro se divide em 10 decimetros (dm), em 100 cen-timetros (cm) ou em 1.000 millimetros (mm). Essas divisoes
chamam-se submultiplos do metro.
1 dccimctro sc escreve 0,1 m.
1 ccntimctro sc cscrevc 0.01 m.
1 niillimetro sc cscrevc 0,001 m.
Os multiplos do metro, formados reunindo as iinidades de 10 em 10, sâo:
Decametre = 10 metros. Hectometre = 100 metros.
Kilometro = 1.000 metros. JMyriametro = 10.000 metros.
Entre as medidas antigas eram usadas no Brasil :
Palmo = 22 centimetros. Vara = 1 metro e 1 decimetro.
Braça = 2 metros e 2 decimetros. Legua = 6.600 metros.
As principaes medidas inglezas tern os valores seguintes: ~
Pollegada (inch) = 0,0254 m. Pé (foot)= 0,304S m.
Jarda (yard) =0,9144 m. Milha (mile) = 1.609 m.
O instrumente de desenho que serve para medir pequenas
distancias chama-se duplo decimetro (Fig. 21); o que serve
lilt llil
l!i! !iii]ll[l]
\ p & W
-ip ..
y û , / / / ^ /4 ~ / ] y ' - y y
P l f f . 2 1 - U - M - L U I U
/ 10 " £W
para medir grandes distancias é uma fita de panne ou de aco
que se chama trcm (Fig. 22).
Os carpinteiros usam o metro articulado de madeira
(Fig. 23) e OS alfaiates a fita metrica de couro.
F i g . 2 3
P i g . 2 4
Para tomar o comprimento de linlias de um desenho
pô-de-se empregar o compassé divisor (Fig. 24).
E X E R C I C I O S
1 Mostre as dimensoes deste livro. 2 Mostre as dimensoes desta sala. 3 Meça as dimensoes desta caixa.
4 Meça o comprimento e a largura desta sala.
g Trace uma recta, meça o sen comprimento com o duplo decimetro.
6 — Idem com o divisor.
1 Trace uma recta de 65 millimetros.
8 —Trace uma recta que deva ter 90 millimetros. Verifique. Mar que um ponto no meio. Verifique com o duplo decimetro. 9 Trace uma recta qualquer. Avalie o seu comprimento. Verifique.
1 8
10 Divida, d simples vista, uma recta em très partes eguaes.
V e r i fi q u e .
ll--Empregue nessa operaçâo o divisor.
Marque no terrene o comprimento de 10 passos sens. Sleça esse comprimento com uma trena; divida por 10 para achar o
comprimento medio de seu passe.
13 Contande e numéro de passos, meça a distancia entre dous
pontes marcados no terreno.
C A P I T U L O I I I
A N G U L O S
6) Angulos — Quanclo duas rectas se encontram, formam
iim angulo.As rectas cliamam-se lados e o ponto de encontre, vcrtice
do angulo,
AB e AC sao os lados do angulo ABC ou angulo a (Fig. 25).
F i g . 2 5
2 6 F i g . 2 7
As duas pernas de um compasso, as duas laminas de uma
tesoura, os dois ponteiros de um relogio formam angulos,
(Figs. 24, 26 e 27).
1 0
Abrindo mais ou menos um compasso, comprehende-se que
0 angulo p6de augmentât on diminuir.
A grandeza do angulo depende, portante, apenas da aber-tura dos lados: angulo a é maior do que angulo b: (a > b).
(Fig. 28).
Dous angulos sao eguaes quan-do, pondo o verticè do primeiro sobre o vertice do segundo, se pôde fazer cada lado do primeiro ficar
sobre um lado do segundo.
O instrumento de carpinteiro
que serve para riscar angulos de
qualquer abertura chama-se suta.
(Fig. 29).
Quando dous angulos tern o mesmo vertice e um lado
com-mum, chamam-se adjacentes. Ex.: a e 6 sao adjacentes (Fig. 30).
A recta que divide um angulo ao meio chama-se bissc-ctrh. (Fig. 31).
a
F i g . 2 8
F i g . 2 9
F i g . 3 0
Para obter a bissectriz, basta recortar o angulo em papel e
c z
Seja a recta AB e outra OX tiracla de urn ponto de A13.
Ellas formam dous angulos adja
centes deseguaes e o angulo da
esquerda a é maior do que o da
direita b. (Fig. 32).
Se se fizer a recta OX
gy-f'lr em torno de O, da direita para ^ esquerda, o angulo b ira au-•v. gmentando e o angulo a dimi-miindo, ate que esses dous
an-gulos fiquem eguaes, quanclo OX estiver „a posiçâo OC.
( F î g . 3 3 ) . ^ ^
Nessa posiçâo, os dous angulos a' e 6' chamam-se a,uj„los
rectos, e se d.z que a recta OC é perpendicular a AB
Os angulos das faces de unt dado sâo todos rectos.
. / \
b 0
F i e . 3 3
/ J
Quando OS dous angulos adjacentes sâo deseguaes, se diz
que a recta OX é obliqua a AB (Fig. 32).
O angulo h, inenor do que o angulo recto, chama-se agudo e o angulo a, maior, obtuso. Os angulos agudos e obtusos cha mam-se angulos obliques.
O instrumento de carpinteiro que serve para traçar angulos
rectos chama-se csquodro (Fig. 34).
P6de-se substituir o esquadro por urn papel com duas dobras
perpen-d i c u l a r e s .
Todos OS angulos rectos sâo eguacs.
7) Propriedade dos angulos.
1 — O conjunto dos angulos forma-dos em torno de um ponto e do mesmo
lado de uma recta équivale a 2 angulos rectos (Fig. 35).
2 — O conjunto dos angulos forma-dos em torno de um ponto équivale a 4 angulos rectos (Fig. 36).
P i g . 3 C
3 — Quando duas rectas se cruzam, formam 4 angulos que
2 2 2 3
c — d;a e h, c e d sao clmmados angnlos oppostos pclo
vcrtice. (Fig. 37).
Se, porém, uni desses angulos é recto, todos os •+ o.
serao. (Fig. 38).
Dous angulos cujo
con-junto vale iim angulo recto
chamam-se complancnlarcs.
Ex.: cerf (Fig. 35).
C C \ CL b d / ?■ F i p . 3 S
rf (Fig. 37).
d a d o ; - - 3 F i g . 3 7Eons angulos cujo
con-J"nto vale dous angulos re
ctos chamam-se suppU.ncntarcs. Ex. : a e
E X E R C I C I O S
OS angulos rectos ha em cada face de um
-Quantos em cada vertice V
—Quantos ao todo ?
S —f^i'estas sao perpendicularea a uma aresta ?
faces de "m '
c — D a d o e g u a e s ?
7 Mostro ache o sou comidemento e o sen
angulo TP Ponteiros de um relogio formando
« - A que outras hT
ras OS ponteiros formam um angulo recto •
9 — A's 10 boras e sis 4 horas, o angulo dos ponteiros é mener ou m a l o r d o q u e u m r e c t o ? 1 0 — Q u e p o s i ç â o t ê m e n t r e s i a s b i s s e c t r i z e s d e d o u s a n g u l o s a d j a c e n t e s s u p p l e m e n t a r e s ? P o r q u e ? 1 1 — E a s b i s s e c t r i z e s d e d o u s a n g u l o s o p p o s t o s p e l o v e r t i c e ? C A P I T U L O I V P O S I Ç Ô E S D E R E C TA S E P L A N O S E N T R E S I 8) Posiçoes de rectas entre si — Ouando uma recta
en-contra outra seni se inclinar mais para um lado do que para outre, isto é, formando com ella angulos rectos, diz-se que ellas
sao pcrpcndicularcs entre si. (Fig. 38.)
Ex.: os dous braços de uma cruz. (Fig. 39.)
CD é perpendicular a AB, tam-b e m A B é p e r p e n d i c u l a r a C D
( A B J _ C D ) .
Qiiando uma recta é
pcrpeudi-cnlar a outra, essa outra tambcm 0 é
â prhncira.
Quando os dous angulos formados sâo deseguaes, um é agudo e outre obtuso, CD pende mais para nm lado
do que para outro e as duas rectas se
dizem obliquas entre si (CD \ AB) F i s . 3 9 ( F i g . 3 7 ) .
Tra<;ando dims perpendiciilares AB e CD a iima mesma
recta EI*, AB e CD nâo poderâo encontrar-se por mais que
se prolonguem. (Fig. 41.)
AB e CD chamam-se parallclas. (AB | | CD.)
Dims rectas paralielas cstâo
sempre no mesmo piano. E' o que
succédé com dims arestas oppostas
de cada face de um dado (Fig- 4),
que estfio aml)as no mesmo ])lano e sac perpendiciilares a mcsma recta. Ex.: os degraiis de uma
es-- cada de mâo (Fig. 42), as juntas
das taboas de um assoalho (Fig. 7),
03 varoes de uma grade (Fig. 43).
Dims rectas situadas no mes
mo piano e nâo paralielas
cha-F i g - . 4 0
m am-se convergentes. (Fig. 44).
Duas rectas paralie las ou convergentes sem
pre determinam um piano.
Dims rectas AB e CD
(Fig. 40) podem porem,
nâo ser imrallelas nem
convergentes, desde que
nao estejam . no mesmo
piano (dcsviadas).
Duas curvas podem
tambem ser paralielas
A
£ f P
Î
quando conservam entre si a mesma distancia. Ex. : os doits trilhos de uma linha de bondes ou de estrada de ferro (Fig. 45).
F i g : . 4 2 F i s . 4 2 .
Os instrumentos de desenho com que se traqam rectas per pendiciilares e paralielas chamam-se esquadros (Figs. 46 e 47),
P o d e m - s e m a r c a r r e c t a s
perpendiciilares e paralielas,
apcnas dobrando uma folha
de papel.
A . A
F i g . 4 4
9) Posiçoes de uma re cta e um piano — Em uma folha de papel F traça-se uma
r e c t a A B . C o l l o c a - s e u m l a
pis com a ponta em G e perpendicular a AB. Elle pode occupar varias posiçôes, sempre formando com AB 2 angulos rectos. Traça-se uma segunda recta CD. Se agora se quizer obrigar o
2 0
lajjis a ser ao mesnio tempo perpendicular a AB e a CD, elle so
podera occiipar iima unica posiçâo.
Diz-se entao que elle é lycrt>cndîcHlar ao piano P (Fig. 48).
T ^ . — P i g . 4 0
Fie. i-o — E. Ferro Corcovaâo — riq.
Em um dado, cada arpcf-, a ^ ...
Dostas- as aresf-i^ 1 Perpendicular a duas faces
op-postas, as arestas lateraes de umn rni\-n - ...
f t m c i o e à t a m p a . p e r p e n d i c u l a r e s a o
^ Pam que uma recfa seja perpendicular a mn piano é
suffi-nente que ella seja perpendicular n // -
H iff uiKular a duas recfas desse piano.
M
A linha OL perpendicular a P, sera perpendicular a todas
as rectas traçadas em P passando por O.
Quando a recta encontra o piano e nâo llie é perpendicular, chama-se obliqua ao piano. Ex. : os lados da escada de mac e a parede (Fig. 42), as pernas de um cavallete e o châo (Fig. 40).
A £ F a \ ' • / y y y 'c M \
\
\ D •L ^ 7. r c D \ p r e . r : F i e . 4 SQuando, por um ponto de uma perpendicular ao piano se
tira uma perpendicular a primeira, esta ultima recta sera paral-Icla ao piano ; por mais que se prolongue nunca o encontra. E' o que succédé com a travessa em relaçâo ao piano do chao.
(Fig. 49).
Se uma recta parallela a um piano vier a ter um ponto sobre 0 piano, ficara contida nelie.
10) Posiçôes de dous pianos entre si — Quando dous
pianos se cortam, a intersecçâo é sempre uma recta.
Se 0 segundo piano encontra o primeiro, sem se inclinar mais para um lado do que para oiitro, elles sâo perpendiculares entre si (Fig. 50). Ex.: a parede de uma sala e o soalho, duas
1'iff. ID Campo do Club Pluminenso Tlio.
Ouando o segundn piano se inclina mais para uni lado do
que jiara outre, elles sâo obliquos entre si. Ex.: o châo e uma
rampa de subîda (Fig. 51).
Qiiando, depois de con-struida uma recta AB per
pendicular a uni piano P, por
um ponto della se tira um se-gundo piano que tambem seja
jierpendicular a ella, os dous pianos seràd parallelos entre si (Fig. 52). Por mais que se
.prolonguem, esses pianos nuiica'se encontram.
F i f f . 5 0(
I
Ex.: duas paredes oppostas de uma sala; duas faces
oppos-t a s d e u n i d a d o . • 4 IS F i f f . 5 1 F i s . 5 2 E X E R C I C I O S 1 — D ê e x e m p l e s d e r e c t u s p e r p e i u l i c u l a r e s e p a r a l l e l a s , e m u m d a d o , e m u m a s a l a , e m u m a m e s a . 2 — I d e m d e r e c t a s p e r p e n d i c u l a r e s , p a r a l l e l a s e o b l i q u a s a p i a n o s .
3 — Idem de dous pianos perpendiculares, obliquos e. parallelos
e n t r e s i .
4 — Mostro como se podem obter rectas perpendiculares e parallelas
p o r m e i o d a d o b r a g e m d e p a p e l .
5 —Quando é que uma recta é perpendicular a uni plauo? Quando
é parallela ?
6 — Trace très rectas de forma que se cortem em très pontos; em
d o u s p o n t o s : e m u m p o n t o .
7 — Trace uma recta AB=:'8 cm. Levante uma perpendicular em A: AC = 3 cm. e era B outra: BD = 9 cm. Ligue G e D. Meça
C D . F a ç a e s t e e x e r c i c i o c o m i n s t r u m e n t o s e a m à o l i v r e .
8 — Trace AB = 10 cm. Levante a perpendicular BC = G cm. Trace
por C uma parallela CD a AB e egual a 3 cm. Ligue A a D s meça AD. Faça este exercicio com instrumentos e mào livre.
3 0 9 — C o m o s e m e t l e a d i s t a n c i a d e u m p o u t o a u m a r e c t a ? E a u m p i a n o ? 1 0 — P o r q u e u m p i a n o f i c a c o m a p o s i ç â o d e t e r m i n a d a , q u a n d o s e d â o : u m a r e c t a e u m p o n t o f d r a , d u a s p a r a l l e l a s , o u d u a s c o n v e r g e n t e s ? C A P I T U L O V P O S I Ç Ô E S D E R E C TA S E P L A N O S E M R E L A Ç Â O A T E R R A 11 ) R o c l n v e r t i c a l — P i a n o v e r t i c a l — r U i n f k ) I c i u k j o n i
lima ponta um peso para esticci-lo, chama-se fio tic finiino. (Fig. 53).
» r
F i g . 5 3
F i g . 5 4
A direcçâo de um fio de prumo esticado pelo
repouso, é que se chama vertical.
E' nessa direcçâo que cahem os corpos.
p e s o e e m
Uma recta e um piano parallèles ao fio de prumo cliamam-se recta vertical, e piano vertical. Ex.: as quinas e as paredes de
u m a c a s a .
E' por meio do fio de prumo que os pedreiros verificam se os muros e paredes estâo verticaes (Fig. 54).
12) Piano horizontal — Recta horizontal —A superficie
da agua tranquilla, de um lago', por ex., forma o que se chama
0 plana do hor.iconte. Chama-se horizonte a linha onde parece
que 0 cell encontra a superficie da agua tranquilla.
P i g . 5 5 — E n t r a d a d a B a r r a — R i o .
A superficie do oceano ou mesmo de um grande lago, é curva porque a Terra é curva, mas a'pequena porçâo dessa su perficie que a nossa vista pode alcançar deve ser considerada como um piano (Fig. 55).
Oualquer piano parallelo ao piano do horizonte chama-se l^lano horizontal.
Qualquer recta parallela ao piano do horizonte é uma
r e c t a h o r i z o n t a l .
Î
F i f f . 5 C
P i e r. 5 7
^recta vertical é perpendicular ao pia
no horizontal, e vice-versa, o piano horizon tal é perpendicular a recta vertical (Fig. 56).
O instrumento que serve para verificar
se os pianos e as rectas estâo horizontaes ofl de nival, é o nivcl do bolha dc ar
(Fig. 57).
13) Rectas e pianos inclinados — Quando as rectas e os pianos nâo sâo, nem verticaes nem horizontaes, chamam-se in clinados. Ex. : a corda de um mastro ; as pernas do um cavallete ; uma prancha mais alta num extremo do que noutro, como a que é usada para facilitar os saltos nos circos e cliamada tram-polim (Fig. 51).
E X E R C I C I O S
1 — M o s t r e n a s a l a a s r e c t a s e o s i ^ l a n o s h o r i z o n t a e s e v e r t i c a e s . 2 — Q u e n o m e s e d â d s u p e r f i c i e d a a g u a t r a n q u i l l a ?
3 — Que posiçâo tern o châofimentado para o exercicio de patinaçâo? 4 — Indique os pianos e rectas horizontaes, verticaes e inclinadoï
e m s u a e a r t e i r a .
5 — Que posiçâo tem o piano de uma porta fechada ? E aberta ?
. j
6 — Colloque um dado sobre a mesa. Nessa posiçâo, quantas arestas s â o v e r t i c a e s ? Q u a n t a s h o r i z o n t a e s ? Q u a n t a s f a c e s s â o h o r i zontaes e quantas sâo verticaes?
7 — S e g u r e u m d a d o d e m o d o q u e 4 a r e s t a s f i q u e m h o r i z o n t a e s e
a s o u t r a s i i i c l i n a d a s .
8 — Segure um dado de modo que todas as arestas fiquem inclinadas. 9 — Que posiçâo têm os ponteiros de um relogio as S horas?
10 — A que horas o ponteiro pequeiio estd horizontal? Que posiçâo
t e m n e s s e m o m e n t o o p o n t e i r o g r a n d e ?
11 — Dons pianos horizontaes podem se encontrar? E dons verticaes?
1 2 — P o d e u m p i a n o h o r i z o n t a l c o r t a r u m v e r t i c a l ?
13 — Que especie de linha é a intersecçâo de dons pianos verticaes?
14 — Quantas rectas verticaes se pôdem tlrar de um ponto? Quantas
h o r i z o n t a e s ? Q u a n t a s i n c l i n a d a s ?
15 — Quantas horizontaes pôdem ser traçadas por um ponto de um
p i a n o v e r t i c a l ? E d e u m p i a n o h o r i z o n t a l ?
16 — Quantas verticaes pôdem ser traçadas'por um ponto de um
p i a n o v e r t i c a l ? E d e u m h o r i z o n t a l ?
17 —Em um piano inclinado, quai é a recta de maior inclinaçào que
s e p ô d e t i r a r ?
18 —Como se pôde verificar isso fazendo cahir gottas d'agua sobre
u m p i a n o i n c l i n a d o ?
19—Quai é a, linha de maior declive em um terreno inclinado?
20 —A recta horizontal de um piano inclinado que posiçâo tem em
relaçâo d intersecçâo desse piano corn um horizontal?
21 —Em uma casa, quaes sâo os pianos horizontaes, quaes os ver
t i c a e s e q u a e s o s i n c l i n a d o s ?
C A P I T U L O V I
C U B O •
14) Descripçâo — Construcçâo — O corpo que tem a
forma de dado chama-se cubo (Fig. 58). Ha muitos objectes
3 4 3 5
com a forma de cubo: pesos para papel, dados para jogo de
paciencia, caixas, etc. Todas as faces do cubo sao cgnaes.
Cada lima tem 4 lados, que sao as arestas do cubo, e estas
se encontram 3 a 3, em pontos que sao os vertices. O cubo tem
6 faces, 12 arestas e 8 vertices. Cada face é parallela a tima das
outras e perpendicular as demais. Cada aresta é perpendicular a
duas faces oppostas.
. A S I Z C P F i e . 5 9 F i g . 5 8 As arestas sao 4 a 4, parallelas entre si. As faces do cubo
chamam-se qiiadrados.
Sao figuras de 4 la
d o s
e g u a e s
e
4
a n g u l o s
j L
rectos, portanto
tam-bem eguaes entre si.
Pode-se construir
urn cubo em cartao,
de-senhando os 6 qiiadrados eguaes que representam as faces, como
mostia a figura. O traqado ficara mais simples empregando-se
papel quadriculado. As pequenas tiras que excedem dos qua- ,-j t
drados sao necessarias para a collagem.
Recorta-se depois a figura com uma tesoura, on melhor, com canivete e regua, dobra-se pelas linhas pontilhadas e col-lam-se as faces que se devem encontrar (Fig. 59).
E X E R C I C I O S
1 Multiplicando o numéro de faces pelo de lados de cada face, 0 (lue é precise fazer para achar o numéro de arestas ?
2 — JIultiplicando o numéro de faces pelo numéro de angulos de cada face, o que é precise fazer para achar o numéro de vertices
d o c u b o ?
3 — Sao eguaes ou nâo as faces de um cubo ?
4 — Como se pôde verificar isso ?
5 — Todas as arestas sao eguaes ? 6 — Todas as faces sao quadradas ?
7 _-A quantas faces uma face é parallela ? 8 —A quantas é perpendicular ?
9 A quantas arestas uma aresta é parallela ?
1 0 Quantas arestas sao encontradas perpendicularmente por uma
a r e s t a ?
1 1 Quantas faces podem ao mesmo tempo, ser postas
liorizon-t a l m e n liorizon-t e ?
1 2 Quantas arestas podem ser postas ao mesmo tempo
liorizon-t a l m e n liorizon-t e ? E v e r liorizon-t i c a l m e n liorizon-t e ?
C A P I T U L O V I I
P A R A L L E L I P I P E D O
15) Descripçâo — Construcçâo — O corpo que tem a
forma de uni tijolo, de um caixote, de um pan de sabâo, de um
As suas faces sâo 6, cada uma com 4 lados e 4 angulos
rectos, mas nâo so as faces sâo eguaes apenas 2 a 2j como
tam-liU
Fie. GO —Palacio do Cattete — Rio.
bem, em cada face, os lados sâo eguaes apenas 2 a 2. Essas
faces chamam-se rcctangïdos. As arestas sâo
ain-/
da 12, eguaes e
paral-, lelas 4 a 4.
P6de-se construir
urn parallelipi])edo
des e n h a n d o o des 6 r e c t a n
-giilos, eguaes 2 a 2,
como représenta a
fi-gura, recortando, dobrando pelas linhas e collando (Figs. 61 e 62.)
l ' i g - . G i l
E X E R C I C I O S
1 — As faces do parallelipipedo sâo quadrados ?
2 — Se nâo, que differença ha entre ellas e os quadrados ?
F i s : . G l
C A P I T U L O V I I I
Q U A D R I L AT E R O S (noçôes)
16) Parallélogramme — Losange — Trapezie — Dia-gonaes — Ja se conhece o rectangulo e o quadrado. Imaginando
y s - m u r n r e c t a n g u l o t e n d o o s
4 lados formados por
/ ■ p e ç a s d e m a d e i r a o u
/
de ferro, com pinos
nos vertices, pode-se
desarticular essa figu ra, que toma entao outra forma.
Os lados continuam a ser, 2 a 2 eguaes e parallelos,
mas OS angulos sâo 2 agudos e 2 obtusos.
3 8
Essa figura chama-se parallclogrmmno (Fig. 63)
F i g , G 4
Se se desarticiilar urn quadrado, a figura résultante
cha-ma-se îosango (Fig. 64). A bandeira nacional contem um
lo-sango amarello dentro de um rectangulo verde (Fig. 65).
F i g . G G F i g . 6 5
Quando a figura tiver apenas 2 lados parallelos chama-se
trapezio (Fig. 66).
3 1 )
Os dous lados parallelos chamam-se bases do trapezio
A B e C D s a o b a s e s .
C
<
F i g . G T j y
F i g . 6 S
Se OS dous lados nao parallelos forem eguaes, tem-se
o trapccio isosceles: AC=BD
(Fig. 67).
S e u m d o s l a d o s n a o
parallelos for perpendicular as bases, a figura chama-se trapezia rectangulo (Fig. 68).
Toda a figura de 4 lados rectos chama-se quadrilatero. (Fig. 69).
A recta que liga os dous vertices oppostos de um quadri
latero chama-se diagonal. AD é uma diagonal.
E X E R C I C I O S
1 — Em que se parece um quadrado com um rectangulo? 2 — Em que se parece um quadrado com um losango ? 3 — Em que différé um quadrado de um rectangulo? 4 — Em que différé um quadrado de um losango ?
5 — Corte um pedaço de barbante. Amarre nelle 4 nos corrediços.
Ponha o barbante sobre a mesa em forma de quadrado, de modo
que os nos Eiquem nos vertices. Mude a forma de quadrado para
a forma de losango.
6 -Vlude a forma de quadrado para a forma de rectangulo. Podem
os nos l'icar à mesma distanela ? Mude a forma de rectangulo para a forma de parallelogrammo. Podem os nos ficar à mesma
d i s t a n c i a ?
Ponha o barbante em forma de trapezio qualquer, de trapezio
rectangulo, de trapezio isosceles.
C A P I T U L O I X
P R I S M A T R I A N G U L A R
17) Descripçâo — Construcçào — Tome um
parallelipi-pedo, de sabâo, per exemple. Cortando-o ao meio com nma faca,
de modo que o corte passe por diias arestas oppostas, A e C.
elle fica dividido eni dous corpos eguaes que se chamam pris
mas triangulares.
Pie. 70
Observando as bases, vê-se que cada uma délias é nietade
do quadrado que ser\'ia de base ao parallelipipedo e que allas
ficaram divididas ao meio pelas rectas AC e BD
Qualquer dessas rectas é uma diagonal e as duas figuras
em que ellas dividiram o quadrado, chamam-se tnangulos. Essas duas faces do prisma, parallelas entre si, chamam-se
bases. As outras 3 faces sâo faces lafcracs. As faces lateraes
sâo rectangulos. A distancia entre as duas bases, ou o
compri-mento das arestas lateraes' chama-se altiira.
O nome de prisma se applica tambem aos cubos e
paralle-lipij^edos que iâ se conhecem. As bases sâo entâo quadrados ou
rectangulos. Esses prismas chamam-se quadrangulares,
em-quanto que os primeiros se chamam triangulares (big. 70).
Em um prisma A / C 1 . _ / / £ C a \ :7^ » u F i f f . 7 1 triangular as 3 ares t a s l a t e r a e s s â o eguaes e parallelas. A s a r e s t a s s â o ao todo 9, as faces 5 e o s v e r t i c e s 6 . Si 0 prisma ti r e r s i d o c o r t a d o c o -m o m e t a d e d e u m parallelipipedo de
base quadrada, duas
f a c e s l a t e r a e s s â o eguaes e a terceira é maior do que as d u a s . P ô d e s e c o n s -t r i i i r u m p r i s m a
4 3 4 3
oiitros, très rectangulos e clous triangulos, recortando, dobrando e collando em seguida (Fig. 71).
E X E R C I C I O S
1 — Como serâ precise construir dous prismas triangulares para que
f o r m e m u m c u b o ?
2 — As faces lateraes de um prisma triangular sao parallelas entre
s i ? E a s b a s e s ? E a s a r « s t a s ?
3 — Que é precise para que duas faces lateraes sejam eguaes ?
4 — As arestas das bases sâo perpendiculares às faces lateraes ?
5 — Em um parallelipipedo podem-se escolber para servir de bases,
duas faces quaesquer ? E em um prisma triangular ?
7 — Construa em cartâo um prisma triangular com as medidas
se-guintes: base, um triangulo tende para lades de angulo recto
A B = B P = 4 c m . ; a l t u r a B C = 9 c m .
C A P I T U L O X
T R I A N G U L O S
(noçôes)
18) Classificaçâo — O triangulo que jâ se conhece foi obtido cortando ao meio por uma diagonal, um rectangulo ou um quadrado. Elle tem um angulo recto e dous agudos.
Cha-A
ma-se triangulo rectangulo. E' a forma que tern os esquadro.s de
desenho (Fig. 46).
F i g . 7 2
Se se cortar um
parallelogram-mo por uma diagonal, ficarao
for-mados dous triangulos quaesquer
(triangulos obUquangulos) (Fig.
72). Os très angulos de qualquer
delles serao obliquos.
Se se cortar por uma diagonal
um losango, ficarao formados dous
triangulos obliquangulos com dous
F i g . 7 4
F i g . 7 3
lados eguaes cada um (triangulos isosce
les) (Fig. 73). Ex.:
t e s o u r a d e t e l h a d o (Fig. 74), frontao (Fig. 75). G l a d o d i f f é r e n t e d o s o u t r o s c h a m a - s e b a s e . O s dous angulos da ba se sâo eguaes.
Se a base fôr eçual aos outres lados, isto é, se o triangulo
Fiff. 75 —Bibliotheca Nacional — Rio.
F i e : . 7 7 F i g , 7 8
tambem egitaes. Ex. : uma tripeça (Fig. 76).
O trianguio cujos 3 lados sâo différentes chama-se scaleno
(Fig. 77).
Em todo triangulo, qualquer lado é menor do que a somma
d o s o u t r o s d o n s .
Em um triangulo rectangiilo o lado opposto ao angulo recto
chama-le hypothcnusa. Os lados que forniam o angulo recto
chamam-se cathctos: a = hypothenusa ; b e c = cathet0S'
(Fig. 78).
E X E R C I C I O S
1 Uni triangulo rectaiigulo pôde aer equilatero ? Pôde ser isos
celes ? Pode ser scaleno ? .
2 — E um triangulo obtusangulo ? 3 — E um triangulo acutaUgulo ?
4 Quai é o maior lado de um .triangulo rectangulo ?
5 — E de um obtusangulo ?
6 — E de um acutangulo ?
C A P I T U L O X I
P Y R A M I D E Q U A D R A N G U L A R
19) Descripçâo — Construcçâo — Existem no Egypto ha milhares de annos, construcçôes colossaes de pedra com a forma
representada na figura. Essa forma se chama pyramide. A maior pyramide do E)gypto lem 160 m. de altura (Fig. 79).
A face em que ellai assentam ou base, é um quadrado, e o
4 0
As faces lateraes sâo 4 triangulos isosceles eguaes tendo
toclos urn vertice comnuim, que é o vertiV. T
( F i g . 8 0 ) , V e n i c e d a p y r a m i d e
i ? i e . 7 9
As arestas lateraes sâo tambem 4, e eguaes entre si. ■
A distancia do vertice ao piano da base, tomada sobre uma
perpendicular a ella, é a altiira.
F i f f . S O F i g - . S I
Riscando um quadrado no chao, traçando as duas
diago-naes, enterrando um mastro no ponto em que ellas se cruzam
cravando 4 estacas nos vertices do quadrado, ligando com
cor-/ A
1
l'y.4
-i'
4 7(las a ponta do mastro a essas quatro estacas e cobrindo tudo
com panno de lona,
t e m - s e u m a b a r r a c a
de campo com a for
m a m a i s o u m e n o s
d e u m a p y r a m i d e
(Fig. 81).
Esse pyramide, tendo por base um
quadrado, chama-se quadrangular.
P o d e s e c o n s
-truir uma pyramide
desenhando um qua
drado e 4 triangulos isosceles eguaes, co-mo co-mostra a figura, recortando, dobrando e collando o cartâo
(Fig. 82).
E X E R C I C I O S
1 — Quantas faces tem ao todo, incluindo a base, uma pyramide
q u a d r a n g u l a r ?
2 — Q u a n t a s a r e s t a s a o t o d o ?
3 — Quantos vertices ?
4 — Qual delles se chama especialmente vertice da pyramide ? 5 — Que posiçâo têm as faces lateraes em relaçâo â base ? 6 — Que posigao têm as arestas lateraes em relaçâo â base ?
7 — E em relaçâo âs arestas da base ?
8 — Quando a base da pyramide é um quadrado e o vertice é tomado sobre a perpendicular â base, tirada no ponto de cruzamento das diagonaes, que sâo as faces lateraes umas das outras ?
9 —Construir em cartâo uma pyramide tendo por base um quadrado de lado 4 cm. e por faces lateraes triangulos isosceles eguaes.
C A P I T U L O X I I
C Y L I N D R O
(noçôes)
20) Descripçâo — O corpo que tern a forma cle um lapis,
de nm rolo de madeira, de uma columna on de
um cano de ferro, com
a m e s m a g r o s s u r a e m
todo o comprimento, chama-se cylindro de re-voliiçào ou
simplesmen-te cylindro (Figs. 83
e 8 4 ) .
A sua superficie é f o r m a d a d e u m a parte curva que se chama superficie
cy-lindrica e de dua-s fa ces planas, parallelas
e eguaes, que sao as
b a s e s .
I
I
V; I 4■I
.-i-ï F i g . S 4 — M o n u m e n t o B a r r o s o — R i o .Essas bases sao figuras planas limitadas per contornos em
curva, que se chamam circulas.
Uma regua pode encostar em uma
superficie cylindrica apenas em uma
di-rec(;ao (Fig. 85). Quando a regua
esti-ver nessa posiçâo, tomando sobre ella
a distancia entre as diias bases, tem-se
a altura do cylindro. A recta traçada
sobre a superficie ao longo da regua, é
perpendicular as duas bases.
F i g . 8 5 E X E R C I C I O S
1 por que se ûiz que é curva a supen'icie lateral de um cylindro ? 2 — Quaes sao as bases de um cylindro ?
3 Como se chama a curva ue contorno dessas bases?
•1 — Que é altura ?
C A P I T U L O X l i l C I R C U L O
21) Traçado da curva — Crava-se no chao uma estaca c
nella se amarra um cordel (Fig. 86). Prendendo uma segunda
estaca na ponta do cordel e fazendo-a mover em volta da
pri-meira, com o cordel sempre esticado, fica traçada no chao uma
curva fechada que se chama circula.
O ponto onde foi cravada a primeira estaca é o centra do
5 0
Assim se poclem traçar canteiros de jardim.
F i g . s e ,
F i g . 8 8
Este mesmo traçado se pode fazer no papel com iim alfi-nete e um fio de linha.
As moedas, as rodas dos car
res, os mostradores dos relogios,
o s a n n e i s , e t c . , sâo figuras cir-culares (Figs.
Fig. 90 87^ 88, 89 e 90).
E' essa, como se vin, a forma
das bases dos cylindres.
Todos os pontes do cîrculo
têin a mesma distancia até o centre
(sâo equidistanfcs do centre).
N'a mesmo circule todos os raios sâo eguacs.
5 1
Chama-se coinpasso o instrumento de desenho com que se traça o circule (Fig. 91). Pôde-se traça-Io tambem no papel
F J g . 9 1
F i g . 9 2 •
com um alfinete, e um carlâo onde se tenham feito dois furos (Fîg. 92).
22) ^Npmenclaturaj;^-A distancia que vae
do centre a um ponto qualquer da curva
chama-se raio (CA = raio) (Fig. 93).
Qualquer pedaço do circulo chama-se arco
(A M B = arco).
A recta que liga os extremos do arco cha-ma-se corda (AB = corda).
A corda que passa pelo centro chama-se diamctro
(AD = diametro).
Todos os diametros sâo eguaes, porque cada um é egual ao
dobro do raio.
0 diamctro é a maior de fadas os cordas.
Esta propriedade serve para acliar por meio de um corde! o centro de um circulg jâ traçado.
O diametro divide ao meio o circulo: dobrando a figura
por um diametro, uma das partes recobre a outra. Cada metade
cante (SE = seccante), a que toca em um so ponto chama-se
tangenie (NT = tangente).
F i s . 9 3
O espaço compreliendido entre um arco e a corda respectiva
chama-se scgmento. (Ex.: KML). (Fig. 94).
O espaço coniprehendido entre o arco e os ralos que vac
ter aos extremos do arco, chama-se sector. (Ex.: FCG)
E X E R C I C I O S
1 — Dti exemples de objectos com forma circular.
2 — Mostre na figura um ralo, uma corda, ura arco, um diametro.
3 — Que relaçâo têm entre si os diametros de um mesmo circulo .
4 — Que relaçâo ha entre o raio e o diametro ?
5 — Que relaçâo ha entre o diametro e uma corda qualquer ?
g. Eni uma roda de automovel ou de carro, quaes sâo as paites
que se chamam raios ?
i
C O N E
(noçôes)
23) Descripçâo — Despejando por um funil areia grossa em um piano aspero. ella ficarâ com uma superficie curva e o
corpo com essa forma chama-se coic (le rc^'oluçrio ou
sim-, p l e s m c n t e c o u c .
F i e r. 9 c F i s . 9 7 '
95 —AvenidaRlo Branco-Rlo.
Essa forma 6 empregada em edificios (Fig. 95).
IgLialmente têm forma conica os cartuchos e apagadores de vêlas, etc. (Figs. 96 e 97). Ha montanhas que se assemelham a cones (Fig. 98). A superficie total de um cone é formada de uma parte curva (superficie ronica), e de uma face plana que é a base. Essa base é limitada por um circulo (Fig. 99).
Assentada a base em um piano hori/contal, o poiito mais
alto do cone chama-se vcrticc. A distancia vertical do vcrtice
P i f f . 1 0 0
até â base, c a altiira do cone ; é o comprimento da perpendicular
tirada do vertice sobre a base.
Uma rcgua pode encostar em iima superficie conica apenas em algumas direcçôes, sempre passando pelo vertice (Fig. 100).
B X E R C I C I O S
l_Por que se diz que é curva a superficie lateral de um cone ?
2 Que é base do cone ?
3 — Que é altura ?
C A P I T U L O X V
' " " E S P H E R A
(noçôks)
24) Nomenclatura — O corpo que tem a forma de uma
bola de bilhar ou de borracha e quasi a de uma laranja,
cha-O
-ma-se esphcra (Fig. 101).
1
■E \ '
■ r ■]--
... \
A superficie da esphera ou superficie espherica é curva em
todos OS sentidos. Isso se pode verificar observando que uma regua ou um piano, nella nâo pode encostar senâo em um uiuco ponto, qualquer que seja a posiçâo em que se colloque.
Todos OS pontos da superficie espherica tern a mesma
dis-tancia (sao equidistantes) do centro C. Essa disdis-tancia CA, ou
CF é o raio. AB e EF sao diamctros da esphera (Fig. 102).
Todos OS diametros e todos os raios sao eguaes entre si.
O diametro é o dobro do raio. •
A Terra tem mais ou menos a forma de uma esphera. Os
pontos N e S sâo os polos norte e sul.
A recta NS é o cixo. O circule ABEF perpendicular ao
eixo, é o cquador.
Os circulos como NESF chamam-se meridlanos. Elles
pas-sam todos pelos polos e os sens pianos contem o eixo.
Em qualquer ponto da superficie da Terra reconhece-se
a direcçâo do meridiano (NS) pelo nascer e pelo occaso do
Sol ou com auxilie da bussola (Fig. 103).
Os circulos, como o equador e os meridianos, cujos pianos
passam pelo centro chamam-se circulos maximos.
Os circulos, como os tropicos e os circulos polares, arctico
e antarctico, cujos pianos nâo passam pelo centro chamam-se
circulos menores (ML).
Todos OS circulos menores perpendiculares ao eixo cha
mam-se paralleloSj po-rque sâo parallèles ao equador (Fig. lO-^)*
A porçâo de superficie que fica limitada por um ou por
dous parallelos chama-se cona. No primeiro caso chama-se tarn
bem calotte.
■'À
Na Terra ha zonas torridas, temperadas e frigidas.
A superficie espherica nâo pode ser, como a cylindrica e
a conica, desenvolvida em um piano.
F i f f . 1 0 1
F l f f . 1 0 3
E X E R C I C I O S
1 — Que é eixo ? 2 — Que sâo polos ?
3 — Q u e é e q u a d o r, m e r i d i a n o , p a r a l l è l e ? 4 — Que é zona ?
C A P I T U L O X V I
CORPOS DE REVOLUÇÂO
25) Geraçâo — Fazendo mover rapidamente no escuro
uma pequena chamma, como por ex. : a ponta de um bastâc acceso, ella nos da a impressao de uma linha; fazendo mover
5 8 5 9
Ù
lima linha como iima barbatana, ella nos dâ a impressâo de iinia superficie.
Fazendo mover uma figura plana, ella nos da a impressâo
de um corpo.
P6de-se observar-este ultimo facto no movlmento do cha^
mado pendulo conico on rcgulador de bolas que ha nas machinas a vapor e serve para regular o movimento, diminuindo ou au-gmentando a entrada do vapor no cylindro. Quando um regu-lador esta em movimento rapido, elle nos da a impressâo de
um cone (Fig. 105).
F i g . 1 0 6 F i g . I O C
Assim, certos corpos geometricos que sâo chamados corpos
de revolnçâo, podem ser considerados como produzidos pelo movimento de rotaçâo de uma figura plana em torno de
u m a r e c t a .
Sâo très os principaes corpos de revoluçâo:
J O cylindro, que se pôde considerar como produzido
pelo gyro de um rectangulo em torno de um de seus
(Fig. 106).
l a d o s
S
' f
As porçôes de piano geradas por AIî e CD sâo as hases, BD é o dxo, e AC é a gcratriz da superficie cylindrica. O
com-primcnto de AC ou BD é a altiira.
2 — O couc, que se pôde considerar como produzido pelo gyro de um triangulo rectangulo em torno de um de seus
ca-thctos (Fig. 107).
A porçâo de piano gerada por BC é a base, AC é o cixo e,
AB é a gerafriz da superficie conica. O comprimento de AC é a
a l t u r a .
3 — A esphcra, que pôde ser considerada como produzida jielo gyro de um semi-circulo em torno de um diametro. AB é
o cixo; A e B sâo os polos da esphera. O ponto C é o centro da esphera (Fig. 108).
F i s . 1 0 7 F i g . 1 0 0
As peças de madeira ou de metal que pôdem ser feitas no torno sâo corpos de revolnçâo (Fig. 109).
As superficies das cupulas ou dos zimborios de igrejas e grandes edificios sâo geralmente superficies de revoluçâo
Ujïf I - ^ ^ Ji- 'î ? 1 111 ^
■ iJs ^ ^ 'I w 3i' i2 3Éih vi t L - -i i ''
Fiff. 110 — Hotel Central — Rio.
E X E R C I C I O S
1 Que 6 corpo cle revoluçâo ?
2 Que é superficie de revoluçâo ?
3 — Como é gerado o cylindre de revoluçâo ?
4 E o cone de revoluçâo ?
sIcoL'^pMrmover-se uma figura plana sem gerar um corpo f
I I P A R T E
C A P I T U L O X V I I . M E D I D A D O S A N G U L O S
26) Formaçâo dos angulos — O angulo de duas rectas
OA e OB pode ser considerado como formadd pelo movimento
de rotaçâo de OB em torno de O (Fig. 111).
Diz-se que a recta OB esta
d o t a d a d e u m m o v i m e n t o d e r o t a
-çâo porque todos os sens pontos
d e s c r e v e m c i r c u l e s e m t o r n o d e
um ponto (centre de rotaçâo). Esse ponto O pode ser considera do como o pé de um eixo de ro taçâo no piano da figura.
A' medida que OB gyra da direita para a esquerda, o an
gulo AOB vae augmentando. Elle é a principio agudo ou menor
do que um recto, torna-se egual a um recto quando OB coin
cide com OD, fica depois obtuse como AOE, passa em seguida a valer 2 rectos quando OB coincide com OF, depois 3 rectos
quando OB chega a OG e finalmente 4 rectos, quando OB chega
( j 1 2
A cada angulo recto corresponde imi quarto dc circulo on
qnadrantc, ao angulo agudo corresponde urn arco mcnor do que
um quadrante e ao angulo obtuso urn arco maior.
Si doits angulos AOB e BOC forcm eguaes, dobrando a
figura pela linha OB, a recta OA cahe sobre OC porque os
angulos sâo eguaes e como os raios OA e OC sâo eguaes, o
ponto A cahe em C; isto é: dons angulos eguaes com o vcrticc
110 centra dc um circulo corrcspondcm a arcos tanibcm eguaes
(arco AB = arco BC).
Os angulos como AOB com o vertice no centro, chamam-se
angulos ccntracs.
27) Medida dos angulos — Dividindo o conjCincto de 4
angulos rectos formados em torno de 0, ém 360 angulos eguaes,
o circulo fica tambem dividido em 360 arcos eguaes.
F i f f . 1 1 2
Cada um desses angulos ou desses arcos se chama um
grail (!'').
c : t
Cada grau se divide em 60 minutos (') e cada minuto em
60 segundos (").
O circulo inteiro tern portante 360®, o semicirculo 180® e
0 quadrante 90®.
O angulo recto tem 90®.
Os angulos agudos tern menos de 90®, e os obtusos mais
de 90®.
0 angulo de 27® 33' 54" se le: -vinte e sete gratis, trinta
e très minutos e cincoenta e quatro segundos.
A somma de doits angulos coniplcmcntarcs é egual a 90®.
Ex. : 37® e 53®.
A somma de dois angulos supplc-mcntares-è egual a 180®. Ex.: 150®
e 30®.
O instrumento de desenho que
serve para medir angulos ou para c o n s t r u i - l o s c o m i t m v a l o r d a d o ,
chama-se iransfcrtdor (Fig. 112). O angulo AOB tem 60®, o
an-Fiff. 113 gulo AOC tem 140®.
A figura que représenta as principaes direcçôes ou rumos
do liorizonte chama-se rosa dos ventes (Fig. 113).
B X E R C I C I O S
1 —Quantos graus tem o angulo descripto pelo ponteiro grande em 1 hora, em 3 horas e em 5 horas ?
2 —Um homem caminha para o none (N) ; de que angulo deve elle niudar a sua direcçâo afim de caminliar para nordeste (NE),
para o sul (S), para noroeste (NO), para sudoeste (SO)?
6 4
4 — Quai é o complemento de 38° 54' ? E o supplemento ?
5 — Marque coin o transferidor um angulo de 55°, de 60°, de 120°.
6 — Meça com o transferidor um angulo dado.
7 — Marque augulos que â simples vista pareçam ter 30°, 45°, 60°.
V e r i fi q u e c o m o t r a n s f e r i d o r .
C A P I T U L O X V I I I
O B L I Q U A S E PA R A L L E L A S .
28) Perpendiculares e obliquas—Por um ponto qualqiter
fnmado sohrc unia rccta scmprc se pôdc îcvantar uma perpen
dicular c sô uma (Fig. 33).
/
F i g . I l l . . I
(Diz-se que a perpcndi- ; /
diciilar é /dz/(z«Wc. quando é ti- . •. \ '• ! / r a d a d e u m p o n t o d a r e c t a p a r a ; / /
fora.)
Comprehende-se que
qual-quer outra recta tirada por O
teria que inclfnar-se mais para a direita ou mais para a es-querda de AB.e portante séria obliqua.
I / /
V I '
r
F i g . 1 1 5
O ponto 0 cliaina-se pc da perpendiciilar.
Quando sc quer traqar no terrene uma recta perpendicular a outra, emprega-se o instrumente chamado csquadro do agri-mcnsor (Fig. 114), que tem nas faces fendas ou janellas, de
modo a permittir marcar alinhamentos perpendiculares.
Seja AB uma recta, C um ponto fora. Dobrando a figura
por AB, C calie em C. Desdobranclo, ligando C a C, a recta
CC corta AB de modo que os angulos 1 e 2 se recobrem e
portante sâo eguaes. Assim CC é perpendicular a AB.
(CC _L AB) (Fig. 115).
r
Nao se pôde traçar por
C outra perpendicular a AB. Logo: de um ponto fora de uma recta scmprc sc pôde baixar ump. perpcndicidar e
s ô u m a .
(Diz-se que a perpendi cular é haixada quando é ti
rada de um ponto fora da recta.)
AB é uma recta traçacla
no châo; CD é um mastro
vertical; CE, CF, CG sâo cordas que servem para segurar o
F i s . n e D j \ • j ^ mastro (Fig. 116). O comprimento do m a s t r o C D ( p e r pendicular a AB) é menor do que o de
qualquer clas cordas que sâo obliquas a AB. A corda CG que
esta amarrada em um ponto mais afastado de D, é a maior.
« 7
P6cle-se provar isso, dobraiulo a figura por AB, niarcanclo
o ponto C em que cahe C, e clesdobrando de novo (Fig.
115)-Ligando C com D, E, F, G e H, vê-se immediatamente que
CEC é maior do que CC, e portanto que CD, que é metade de
CC é mener do que CE, que é metade de-CEC. Dobrando a
figura por CC ve-se que CE = CF.
C " B a i x a n d o d e « f t
pouto fora de mna re cta, a perpendicular e varias obliquas, a lie
nor de todas é a per-l A 1 p e n d i c u l a r , e a o b l i q u a que mais se afasla é
a m a i o r .
J ? r
F i g . 1 1 8
29) Parallèles — Por um ponto fora de
n m a r e c t a s e m p r e s e
pode iraçar uma parallcla e so uina (Fig. 117).
Duas rectas perpendiciilares a uma tcrceira sào parallelas
entre si (Fig. 41).
D u a s r e c t a s p a - : /
r a l l c l a s t e r n a s m e s - ^
mas perpcndicnlares.
S e E F é p e r p e n d i c u l a r j r
a AB, tambem o sera a CD (Fig. 41).
Duas rectas, nma perpendicular e uma obliqua a nma tcr
ceira sào obliquas entre si (Fig. 118).
Duas rectas parallelas a nma icrccira sào parallelas entre j/"(Fig. 119).
Quando nma recta corta duas parallelas, ficam fonnados
S angulos que sào eguacs ou snpplcmentares dons a doiiS (Fig. 120).
A recta 2 pôde ser
c o n s i d e r a d a c o m o s e n
-do uma das posiçôes da recta 1 que se des-locoii por 'iim
movi-mcnto de translaçào, o
ponto M indo
collocar-s e e m N .
D i z - s e q u e u m a
figura tem movimcnto
F I f f
de translaçào quando
todos os sens pontos descrevem caminhos eguaes e parallèles.
E X E R C I C I O S
1 — P o r u m p o n t o d a d o , q u a u t a s r e c t a s p e r p e n d i c u l a r e s s e p o d e m
b a i . x a r a u m a d a d a r e c t a ?
2 — P o r u m p o n t o d a d o s o l i r e u m a r e c t a , q u a n t a s r e c t a s p e r p e n d i c u l a r e s a e s s a r e c t a s e p o d e m l e v a n t a r ?
3 — Quantos pares de rectas parallelas se podem traçar por dous pontos dados ?
4 — Quantas rectas se podem tirar de um ponto para uma recta ?
Quai é a menor ?
5 — Ve r i f i c a r q u e r e l n ç a o t ê m e n t r e s i d o u s a n g u l o s d e l a d o s p a r a l
-leloa, quando as aberturas estâo voltaUas para o mesmo lado,
p a r a l a d o s o p p o s t o s e p a r a l a d o s d i v e r s e s . C — I d e m c o m a n g u l o s d e l a d o s p e r p e n d i c u l a r e s .
7 Que posiçâo têni entre si os cuibros de uni telhado? E as
ter-Ças? E as ripas?
8 Quai é a posicào dos caibros em relaçao as terças ?
C A P I T U L O X l ) ^ P R O B L E M A S
30) Problemas — a) Levantar uma perpendicular ao nieio
de uma recta AB. Todos os pontes da perpendicular sâo
eqtii-distantes de A e B,
C o m A c B c o m o c e n
-^ t r o s c c o m r a i e s e g u -^ c s ,
maiores do cpie a metade de
AB, . descrevem-se arcos,
c o r t a n d o - s e e m C e
CD é perpendicular ao nieio
de A B (Fig. 121).
eu G a distancia de C
a t é a r e c t a A B .Todos os pontes eqtn
distantes de A e B perten
c e m a C D .
b) Achat- um ponte q"e
e.steja a distancias deternii
nadas, m c n, de dons outils
pontes A e B.Com centro em A e raio m traqam-se dois arcos;
centre em B e raio n traçam-se outros dois arcos
. A / ■ J 3 D F i ! ? . i ; ; i O A . 3
Os pontes C e D satisfazem o problema.
c) Levantar uma perpendicular por um ponto qualqiier M
d e u m a r e c t a A B .
Marcam-se para um lado
e para outre de M diias dis
tancias eguaes ME e MF, e
em segiiida levanta-se uma perpendicular ao meio de EF
(Fig. 123).
d) Baixar de um ponto
C uma perpendicular sobre uma recta AB (Fig. 124).
Com centro em C, mar-cam-se por meio de um arco
que corte AB, dous pontos E e F equidîstantes de C. Levanta-se depois uma per-pendicular pelo meio de EF e es
ta recta passarà
por C, que é
eqiii-distante de E e F. J d J i J T D ' e) Dividir um angulo ao meio ou traqar a bis-sectriz (Fig. 125)
Todos os pontos da bissectriz sâo equidistantes das rectas
7 0
7 1
' C
Com centre em A traça-se iim arco DE ; Icvanta-se depois
nma perpendicular ao meio de DE, mcsmo sem traçar a corda
DE. Essa recta passara por A.
Todos OS pontos equidistantes das rectas
AM e AN pertencem a bissectriz que, como se
sabe, pode ser obtida
pela dobragem do papel. A bissectriz do an-gulo do vertice de um
triangulo isosceles é
perpendicular ao meio da
base. Por essa razao o
nivel de pedreiro (Fig.
1 2 6 ) m o s t r a q u e o p l a - • p
n o e m q u e a s s e n t a m o s F i s . 1 3 4
pes esta horizontal quando o fio de prumo tirado do vertice
a I X - y ' F i e . 1 2 5 F i e . 1 2 B « t o • ^ ^ ,
estiver na direcçâo da liissectriz, isto c, cobrir o traço do meio
da travessa. i
'y
\
C A P I T U L O X X P R O P R I E D A D E S D A S C O R D A S . TA N G E N T E S P r o b l e m a s31) Propriedades das cordas — A pcrpcndiculor ao meio
de uma corda passa polo ccutro do circtdo — Prolongando-se
a perpendicular CD ao meio da corda AB, ella passara pelo
centro 0 do circulo, porque este ponto é èquidistante de A e
de B (Fig. 127). ,
F i e . 1 2 8 F i e . 1 2 7
A parte CD da perpendicular ao meio da corda
chama-se flécha.
A recta tangente a um circulo é perpendicular ao raio
C A
que vae ter ao ponto de tangcncia ou de contacfo. AT
(Fig. 128).
Marcando em um circulo dous arcos eguaes, as cordas cor-respondentes tambem sâo eguaes, e vice-versa.
Si AEB = CFD, tambem ; AB = CD (Fig. 129).
Duas cordas parallelas entre si, limitam dons arcos egiiaes
AC = BD (Fig. 130).
F i e r . 1 3 0
O raie de iim circule cabe nelle 6 vezes conio corda; isso
permitte traçar o ornato chamado rosacea (Fig. 131).
A
S J ?
F I K " . 1 3 2
f
P i f ? . 1 3 1
O raio é portante egual a corda, que corresponde ao aiigi'^^
ou ao arco de 60", que é 1/6 do circulo.
32) Problemas — a) Por um ponte G fora de uma recta AB, traçar uma parallela a AB.
Corn centre em um ponto qualquer D de AB traça-se um
semi-circuio passando por C. Toma-se a abertura CF e mar-ca-se um arco egual EG. Liga-se G com C. (Fig. 132).
b) Construir sem transferidor uni angulo h egual a outre a. Com centre em A e raie qualquer traça-se um arco LM.
Traça-se uma recta BX e com centre em B, traça-se com o
m e s m o r a i o u m a r c o N Y. To m a s e a a b e r t u r a L M e m a r
-ca-se NG = LM. Liga-se B a G : angulo h = angulo a
(Fig. 133). c ) D i v i d i r u m angulo recto em 3 parte eguaes. C o m c e n t r e e m A e raio qualquer traça-se um qua-drante DE (Fig. 134). Com o mes m o r a i o e c e n t r e em D marca-se o ponto F, corn
cen-F l f ? . 1 3 3 . _
tro em E e mes
mo raio marca-se o ponto G. Ligam-se os pontes F e G ao
v e r t i c e A .
d) Achar o centro de um circulo.
Marcam-se 3 pontos quaesquer A, B, C sobre a curva e
levantam-se as perpendiculares DE e FG ao meio das duas
7 4
O ponto de encontre das perpendiciilares é o centre
d o c i r c u l e . / >
/
/ / P i e r . 1 3 4 F l f f . 1 3 5 X * i B • l o tEste problema é o mesme que o de traçar uni circulo
pas-sando per 3 pontes A, B e C, que nae estejam em linha recta.
e) Traçar a tangente a um
circulo por um
ponto dado sobre
e l l e .
Liga-se A ao
centre C e
levan-ta-se por A uma
recta AT Per
pendicular a AC.
é a tangente
(Fig-
128)-Para ligar por uma curva dous ^Lar
estrada de ferre, como AX e BY, per ex.. e centre
um arco de circulo tangente a ambos. E' bastante q
F i e . 1 3 6
T,
escolhido esteja sobre a bissectriz do angule ACE. As distan-cias CE e CF serao eguaes. Caminliando no sentido da flecha, E se chama poulo dc cnrz'a e F ponlo dc tangente. A cur\'a sera tante melhor ou mais aberta quanto maior for o raie do circulo Fig. 136).
E X E R C I C I O S
1 — Construit sem transferidor angulos de 30", 45", 60®, 120" e 135". 2 — Duplicado um arco, duplica a corda correspondante ?
3 — Que vantagem ha em tomar os pontos de curva e de tangente
0 mais afastados possivel da intersecçâo dos dous alinhamentbs
rectos de estrada de ferro, quando se quer ligâ-los por um arco
d e c i r c u l o ?
C A P I T U L O X X I
NOÇÂO DE AREA. EQUIVALENCIA
Origem da Geometria
33) Unidades de area. Equivalencia — Sçja uma figura
plana qualquer, um rectangulo por exemple.
A medida do espaço que ella occupa no piano chama-se area.
Se se comparam as faces de dous cubes, um maior do que
outre, ve-se que ellas têm areas différantes porque uma cabe
dentro da outra.
Para se medir uma area é precise compara-la com outra
^rea conhecida, que sera a unidade de medida.
Chama-se decimetro qnadrado (dm') um quadrado que tern iiui decimetre de lade (Fig. 137).
Em um decimetro quadrado cabem 100 centimteros