04 parametrizacao de curvas

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Parametriza¸c˜

ao de Curvas no Espa¸co

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão

Disciplina: C´alculo Diferencial e Integral 3 Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke

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Parametriza¸c˜

ao de Curvas no Espa¸co

Curvas C no espa¸co podem ocorrer como trajetórias de corpos em movimento. Essa e outras aplica¸cões motivam as representa¸cões paramétricas com um parâmetro t, que pode ser o tempo ou alguma outra grandeza.

~r(t) = [x (t), y (t), z(t)] = x (t)~i + y (t)~j + z(t)~k

(3)

Uma curva simples é aquela que não tem pontos múltiplos, ou seja, não tem pontos nos quais a curva se intercepta ou toca a si mesma. Circunferências e hélices são exemplos de curvas simples.

Exemplo

Esboce a imagem da seguinte equa¸cão paramétrica e determine a equa¸cão correspondente.

x = 1 + 3t y = 2 + t

Exemplo

Determine ao menos duas parametriza¸c˜oes para a seguinte equa¸c˜ao:

y = 1 + 2x

(4)

Exemplo

Determine uma representa¸cão paramétrica para a equa¸cão da circunferência.

x2+ y2 = 4, z = 0

(5)

Exemplo

Determine uma representa¸cão paramétrica para a equa¸cão de uma elipse genérica.

x2 a2 +

y2

b2 = 1, z = 0

(6)

Exemplo

Determine a representa¸cão paramétrica de uma reta que passa pelo ponto A = [3, 2] com inclina¸cão 1.

(7)

Exemplo

Determine a representa¸cão paramétrica da hélice circular apresentada na figura abaixo.

(8)

Exerc´ıcio

Encontre uma representa¸c˜ao param´etrica das seguintes curvas.

1. C´ırculo de raio 3, centro (4, 6)

2. Reta passando por (5, 1, 2) e (11, 3, 0)

3. Reta passando por (2, 0, 4) e (−3, 0, 9)

4. Reta y = 2x + 3, z = 7x

5. C´ırculo y2+ 4y + z2 = 5, x = 3

6. Elipse x2+ y2= 1, z = y

7. Reta passando por (a, b, c) e (a + 3, b − 2, c + 5)

8. Interse¸c˜ao de x + y − z = 2, 2x − 5y + z = 3

9. C´ırculo 0,5x2+ y2= 1, z = y

10. H´elice x2+ y2 = 9, z = 4 tg−1(y /x )

(9)

Respostas: 1. ~r(t) = [4 + 3 cos t, 6 + 3 sen t] 2. ~r(t) = [5 + 3t, 1 + t, 2 − t] 3. ~r(t) = [2 − t, 0, 4 + t] 4. ~r(t) = [t, 3 + 2t, 7t] 5. ~r(t) = [3, −2 + 3 cos t, 3 sen t]

6. ~r(t) = [cos t, sen t, sen t]

7. ~r(t) = [a + 3t, b − 2t, c + 5t]

8. ~r(t) = [13₇ − 4t, 1

7 − 3t, −7t]

9. ~r(t) = [√2 cos t, sen t, sen t]

10. ~r(t) = [3 cos t, 3 sen t, 4t]

(10)

Exerc´ıcio

Que curvas s˜ao representadas pelas express˜oes a seguir?

11. ~r(t) = [2 + r cos 4t, 6 + r sen 4t, 2t]

12. ~r(t) = [4 − 2t, 8t, −3 + 5t]

13. ~r(t) = [2 + cos 3t, −2 + sen 3t, 5]

14. ~r(t) = [t, t2, t3]

15. ~r(t) = [√cos t, √sen t, 0] (“Curva de Lam´e”)

16. ~r(t) = [cosh t, senh t, 0]

17. ~r(t) = [t, 1/t, 0]

18. ~r(t) = [1, 5 + t, −5 + 1/t]

19. Mostre que, quando se faz t = −t∗, inverte-se a orienta¸c˜ao de ~r(t) = [a cos t, a sen t, 0]

(11)

Respostas:

11. H´elice em (x − 2)2+ (y − 6)2 = r2

12. Reta que passa por (4, 0, −3) na dire¸c˜ao (−2, 8, 5)

13. C´ırculo (x − 2)2+ (y + 2)2= 1, z = 5

14. Curvas no espa¸co com preje¸c˜oes y = x2 e z = x3 nos planos xy e xz, respectivamente.

15. x4+ y4= 1

16. Hip´erbole x2− y2 _{= 1, z = 0}

17. Hip´erbole xy = 1

18. Hip´erbole x = 1, (y − 5)(z + 5) = 1

(12)

Exerc´ıcio

21. Utilizando um software computacional, represente graficamente as seguintes curvas, mais complicadas.

(a) ~r(t) = [2 cos t + cos 2t, 2 sen t − sen 2t] (hipocicl´oide de Steiner)

(b) ~r(t) = [cos t + k cos 2t, sen t − k sen 2t] com k = 10, 2, 1, 1₂, 0, −1₂ , −1

(c) ~r(t) = [cos t, sen 5t] (uma curva de Lissajous)

(d) ~r(t) = [cos t, sen kt]. Para quaisquer k’s ela ser´a fechada?

(e) ~r(t) = [R sen ωt + ωRt, R cos ωt + R] (cicl´oide).

(13)

Tangente a uma Curva

A próxima ideia é fazer a aproxima¸cão de uma curva por linhas retas, o que leva às tangentes e à defini¸cão de comprimento. Uma tangente é uma linha reta que toca uma curva. A tangente a uma curva simples C num ponto P de C é a posi¸cão limite de uma reta L passando por P e por um ponto Q de C com Q aproximando-se de P ao longo de C .

(14)

O vetor tangente a C em P ´e dado por: ~r0(t) = lim

∆t→0

[~r(t + ∆t) − ~r(t)] ∆t

O vetor unitário correspondente é o vetor tangente unitário ~u = ~r

0 |~r0_| A reta tangente `a C em P ´e dada por

~q(w ) = ~r + ~r0w

Exemplo

Encontre a tangente `a elipse x 2 4 + y

2 _{= 1 em P : (}√_2, √_2/2).

(15)

Comprimento de uma Curva

O comprimento de uma curva ´e dado pelo limite da soma dos comprimentos dos fragmentos de linhas de n cordas, com n sendo um n´umero cada vez maior e o comprimento de todos os

fragmentos tendendo a zero.

l = Z b

a √

~r0_{· ~r}0_dt

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Exerc´ıcio

Dada uma curva C : ~r(t), encontre um vetor tangente ~r0(t), um vetor tangente unit´ario ~u(t) e a reta tangente de C em P. Esboce a curva e a tangente. 22. ~r(t) = [t, t2_{, 0], P : (2, 4, 0)} 23. ~r(t) = [5 cos t, 5 sen t, 0], P : (4, 3, 0) 24. ~r(t) = [3 cos t, 3 sen t, 4t], P : (3, 0, 8π) 25. ~r(t) = [cosh t, senh t], P : (5/3, 4/3) Respostas: 22. ~r0= [1, 2t, 0], ~u = (1 + 4t2)−12_{[1, 2t, 0] e ~}_{q = [2 + w , 4 + 4w , 0]}

23. ~r0= [−5 sen t, 5 cos t, 0], ~u = [− sen t, cos t, 0] e ~

q = [4 − 3w , 3 + 4w , 0]

24. ~r0= [−3 sen t, 3 cos t, 4], ~u = [−0,6 sen t; 0,6 cos t; 0,8] e ~

q = [3, 3w , 8π + 4w ]

25. ~r0= [ senh t, cosh t], ~u = (cosh 2t)−12_{[ senh t, cosh t] e} ~

q = [5/3 + 4w , 4/3 + 5w ]

(17)

Exerc´ıcio

Encontre o comprimento e esboce a curva.

26. H´elice circular ~r(t) = [2 cos t, 2 sen t, 6t] de (2, 0, 0) `a (2, 0, 24π)

27. Caten´aria ~r(t) = [t, cosh t] de t = 0 `a t = 1

28. Hipocicl´oide ~r(t) = [a cos3_{t, a sen}3_{t], comprimento total} Respostas:

26. l = 4π√40

27. l = 1,175

28. l = 6a