micro1prova3 1 2020SOL

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Solu¸c˜ao da Terceira Prova de Microeconomia 1 – 1o _{semestre de 2020}

Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia Bras´ılia, 3 de dezembro de 2020

Dura¸c˜ao da prova: 120 minutos

Quest˜ao 1 (25 pontos): Responda Verdadeiro ou Falso (justifique sucintamente):

a) (5 pontos) Produtividades marginais decrescentes implicam isoquantas negativamente incli-nadas.

S: Falso. A inclina¸cão de uma isoquanta é o negativo da rela¸cão das produtividades marginais dos dois insumos. Se essas produtividades marginais forem positivas, a inclina¸cão da iso-quanta será negativa. Se as produtividades marginais forem decrescentes, então a isoquanta será convexa com rela¸cão à origem. As produtividades marginais serão positivas se a fun¸cão de produ¸cão for estritamente crescente, ou seja, se ao aumentarmos um insumo, a produ¸cão aumentar.

b) (5 pontos) Retornos decrescente de escala implicam que as elasticidades do produto de todos os insumos devem necessariamente ser menores do que um.

S: Verdadeiro. A elasticidade ido produto de um insumo xi´e calculada como εi = (xi/f (x))×

(∂f (x)/∂xi). Se a fun¸cão de produ¸cão apresentar retornos decrescentes de escala, então todos

os seus fatores devem apresentar elasticidade do produto menor do que um (e somando menos do que um). Lembrando os exerc´ıcios 2 e 3 da nota de aula 15, vimos que a elasticidade de escala local µ(x ´e igual `a soma de todas as elasticidades-produto µi(x). Logo µ(x) < 1 implica

que µi(x) < 1 para todo insumo i (implica um pouco mais, como µi(x) > 0,

P

iµi(x) < 1.

c) (5 pontos) Se a fun¸c˜ao de produ¸c˜ao for especificada como q = 4K0,5_L0,5 _{e os pre¸cos dos}

insumos forem wL= 2 e rK = 4, ent˜ao podemos afirmar que o custo m´edio e o custo marginal

de produzir qualquer quantidade q do bem final ser˜ao iguais.

S: Verdadeiro. Como a fun¸cão de produ¸cão apresenta retornos constantes de escala, o teorema visto na nota de aula 17, que relaciona fun¸cões de produ¸cão homogêneas e fun¸cões custo, garante que fun¸cão custo associada a esta fun¸cão de produ¸cão homogênea linear tem a forma c(q) = c(1) × q, onde c(1) denota o custo de se produzir uma unidade do bem q. Logo, custo marginal e custo médio são constantes e iguais a c(1).

d) (5 pontos) Se a fun¸cão de produ¸cão de uma firma é q = 200√L, onde L denota a quantidade de insumo variável, cujo pre¸co é igual a R$ 4,00, então o n´ıvel ótimo de insumo L é 5 unidades se o pre¸co do bem vendido pela firma for igual a R$ 1.

S: Falso. A quantidade ´otima ´e encontrada igualando o valor da produtividade marginal de L com o seu pre¸co: 100L−1/2= 4. Logo, L∗ = 625.

e) (5 pontos) Se o mercado de um bem é competitivo, a igualdade entre o pre¸co e o custo marginal é condi¸cão necessária para a maximiza¸cão dos lucros de uma firma neste mercado.

S: Verdadeiro. Em um mercado competitivo, a receita marginal de uma firma é igual ao pre¸co do bem. Logo, a igualdade entre o pre¸co e o custo marginal é exatamente condi¸cão necessária para a maximiza¸cão de lucros da firma.

Questão 2 (25 pontos): A fun¸cão de produ¸cão de uma firma que utiliza um único insumo é f (L) = 20L − L2_{. Suponha que o pre¸co do produto que a firma vende ´}_{e R$ 1,00 e denote por w o}

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a) (5 pontos) Calcule e ilustre graficamente o produto médio e o produto marginal do insumo L. A rela¸cão entre o produto médio e o produto marginal é esperada? Justifique.

S: O produto m´edio P M e(L) e o produto marginal P M g(L) s˜ao: P M e(L) = 20 − L e PM g(L) = 20 − 2L

Então para todo L > 0, P M e(L) > P M g(L). Essa rela¸cão é esperada, pois já que como o produto médio é decrescente, então o produto marginal tem que ser menor do que o produto médio. 6 -P M g, -P M e L @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @_@ A A A A A A A A A A A A A A A_A P M g P M e 20

b) (5 pontos) Qual a condi¸c˜ao de primeira ordem para a maximiza¸c˜ao de lucros no caso em que L > 0?

S: Lembrando que p = 1, o problema de maximiza¸c˜ao de lucros dessa firma ´e: max

L≥0 20L − L

2_{− wL}

A CPO deste problema ´e 20 − 2L − w = 0.

c) (5 pontos) Para que valor ou valores de w o n´ıvel ótimo de L será zero? Para que valor ou valores de w o n´ıvel ótimo de L será 10?

S: Se w = 20, vemos pela CPO que o n´ıvel ótimo de L é zero. Qualquer valor de w maior que 20 fará com que a firma não produza, ou seja, que L∗ = 0. Usando novamente a CPO, temos que o n´ıvel ótimo de L será 10 se w = 0.

d) (5 pontos) Encontre a fun¸cão de demanda incondicional, a fun¸cão de oferta e a fun¸cão lucro. S: Resolvendo a CPO obtida na solu¸cão do item b), encontramos a demanda ótima pelo insumo, L∗ = 10 − w/2. A fun¸cão de oferta é: q = 20L − L2 = 200 − 10w − 100 + 10w −w 2 4 = 100 − w2 4

A fun¸cão lucro é obtida substituindo as fun¸cão de demanda e de oferta no lucro da firma: π∗ = p × q − w × L = 100 −w 2 4 − 10w + w2 2 = 100 − 10w + w2 4 = (10 − w/2) 2

e) (5 pontos) Encontre a derivada da fun¸cão lucro com rela¸cão a w. Qual a rela¸cão dessa derivada com a demanda pelo insumo L? Justifique porque a rela¸cão encontrada é esperada.

S: A derivada da fun¸cão lucro com rela¸cão a w é −(10 − w/2), ou seja, é igual a −L∗. Este resultado é esperado, pelo lema de Hotelling.

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Questão 3 (25 pontos): Suponha um mercado competitivo e considere a fun¸cão de produ¸cão: f (x1, x2) = √ x1 + √ x2

a) (5 pontos) Qual o retorno de escala dessa tecnologia? Calcule a elasticidade de substitui¸c˜ao associada.

S: É fácil notar que a fun¸cão de produ¸cão é homogênea de grau 0,5: f (tx1, tx2) = √ tx1+ √ tx2 = t1/2( √ x1+ √ x2) = t1/2f (x1, x2)

Logo a tecnologia apresenta retornos decrescentes de escala, j´a que f (tx) = t1/2_{f (x) < tf (x),}

para todo t > 1. Os dois produtos marginais s˜ao: f1(x1, x2) = 1 2x −1/2 1 e f2(x1, x2) = 1 2x −1/2 2 Portanto, |T T S12(x1, x2)| = f1(x1, x2) f2(x1, x2) = x2 x1 1/2 ⇒ ln x2 x1 = 2 ln f1(x1, x2) f2(x1, x2)

O que resulta em:

σ12 =

d ln(x2/x1)

d ln (|T T S12|)

= 2 .

b) (5 pontos) Usando o m´etodo de Lagrange, encontre as demandas condicionais e a fun¸c˜ao custo associada.

S: O Lagrangeano desse problema ´e:

L = w1x1+ w2x2+ λ (q − √ x1+ √ x2) As CPO s˜ao: (x1) : w1 = 1 2x −1/2 1 (x21) : w2 = 1 2x −1/2 2 (λ) : q =√x1+ √ x2

Dividindo a primeira CPO pela segunda, obtemos: x₂ x1 1/2 = w1 w2 ⇒ x2 = w₁ w2 2 x1

Substituindo essa rela¸c˜ao para x2 na terceira CPO, obtemos:

q =√x1+ √ x2 = √ x1 + w1 w2 √ x1 = 1 + w1 w2 √ x1 = w1+ w2 w2 √ x1

Logo, temos que:

x1(w1, w2, q) = w2 w1+ w2 2 q2, e, portanto, a demanda condicional do insumo 2 ´e:

x2(w1, w2, q) = w1 w1+ w2 2 q2.

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A fun¸c˜ao custo ´e igual a: c(w1, w2, q) = w1x1(w1, w2, q) + w2x2(w1, w2, q) = w1 w2 w1+ w2 2 q2+ w2 w1 w1+ w2 2 q2 = w1w 2 2+ w2w12 (w1+ w2)2 q2 = w1w2(w1+ w2) (w1 + w2)2 q2 = w1w2 w1+ w2 q2

c) (5 pontos) Derive a fun¸c˜ao de oferta q(p, w1, w2) dessa firma, caracterizando essa fun¸c˜ao de

modo completo.

S: A oferta da firma pode ser encontrada resolvendo o problema: max q≥0 pq − w1w2 w1+ w2 q2

A CPO na condi¸c˜ao usual pre¸co igual a custo marginal, que define a oferta ´otima da firma: p = CM g(q) = 2 w1w2 w1+ w2 q

Observe que a CSO ´e satisfeita: c00(q) = 2 w1w2

w1+w2

> 0. Portanto, temos que a oferta da firma ´e: q(p, w1, w2) = 1 2 w₁+ w2 w1w2 p

d) (5 pontos) Suponha que w1 = 1, w2 = 1, p = 10. Encontre a quantidade ofertada do bem pela

firma e calcule o lucro/preju´ızo da firma.

S: Usando a fun¸cão de oferta derivada na solu¸cão do item c), obtemos que a quantidade ofertada é: q(10, 1, 1) = 1 2 1 + 1 1 × 1 × 10 = 10 Como c(1, 1, 10) = (1/2) × 102 _{= R$ 50, ent˜}_{ao o lucro da firma ´}_e:

π(10, 1, 1) = 10 × 10 − 50 = R$ 50 .

e) (5 pontos) Resolva o problema de maximiza¸cão de lucros de modo direto. Compare a fun¸cão de oferta obtida aqui com a fun¸cão de oferta obtida na sua solu¸cão do item c). Como elas se comparam?

S: O problema que queremos resolver ´e: max

x1,x2

p(√x1+

√

x2) − w1x1− w2x2

As CPO desse problema resultam em: (x1) : p 2√x1 = w1 (x2) : p 2√x2 = w2

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Então as demandas ótimas são x∗₁ = p2_/4w2 1 e x

∗

2 = p2/4w22. Substituindo na fun¸c˜ao de

produ¸c˜ao, obtemos:

q =px∗₁ +px∗₂ = p 2w1 + p 2w2 = 1 2 1 w1 + 1 w2 p = 1 2 w1+ w2 w1w2 p ,

exatamente a mesma fun¸cão oferta obtida na solu¸cão do item c). Isso é esperado, já que estamos resolvendo o mesmo problema, maximiza¸cão de lucros, e calculando nos dois itens a oferta da firma que maximiza esse lucro, só que por caminhos distintos.

Questão 4 (25 pontos): Suponha que o mercado de um bem é descrito pela fun¸cão de demanda qD(p) = 3.500 − 25p. Suponha que a tecnologia de produ¸cão desse bem é dada pela fun¸cão de

produ¸cão descrita na questão 3 e que os pre¸cos dos insumos são w1 = 2, w2 = 2.

a) (5 pontos) Considere primeiro uma an´alise de curto prazo, em que o insumo x2 est´a fixo em

¯

x2 = 100 para toda firma no mercado e que existam 100 firmas no mercado. Determine o pre¸co

e a quantidade de equil´ıbrio desse mercado no curto prazo.

S: Observe que como o insumo 2 está fixo em 100 unidades, podemos encontrar a demanda condicional de curto prazo do insumo x1 usando a restri¸cão do problema de minimiza¸cão de

custo:

q =√x1+

√

100 ⇒ x1 = (q − 10)2

Logo, a fun¸c˜ao custo de curto prazo ´e:

c(q) = 2 × (q − 10)2+ 2 × 100 = 2q2− 40q + 400 Ent˜ao a oferta da firma ´e dada por:

p = CM g(q) = 4q − 40 ⇒ q = p 4+ 10 Como existem 100 firmas no mercado, a oferta de mercado qS(p) ´e:

qS(p) = 100 X j=1 p 4 + 10 = 25p + 1000

Igualando a demanda de mercado `a oferta de mercado, obtemos:

qD(p∗) = qS(p∗) ⇒ 3.500 − 25p∗ = 25p∗+ 1.000 ⇒ p∗ = 50

A quantidade de equil´ıbrio ´e obtida substituindo o pre¸co de equil´ıbrio seja na oferta ou na demanda de mercado, o que resulta em q∗ = 2.250.

b) (5 pontos) Calcule o excedente do consumidor, a quantidade ofertada de cada firma e o lucro de cada firma, para o item a).

S: Como o pre¸co que faz com que a demanda de mercado seja zero é ¯p = 140, então o excedente do consumidor é dado pela área do triângulo com altura 140 − 50 = 90 e base 2.250, logo:

EC = 90 × 2250

2 = R$ 101.250

Como a fun¸cão de oferta de cada firma é q = p/4 + 10 e o pre¸co é R$ 50, então cada firma oferta q = 50/4 + 10 = 22,50 unidades (eese valor pode ser determinado também dividindo a quantidade de equil´ıbrio, 2.250, pelo número de firmas, J = 100). O custo de produ¸cão dessas 22,50 unidades é c(22,5) = 2 × (22,5 − 10)2_{+ 2 × 100 = 312,50 + 200 = 512,50. Finalmente, o}

lucro de cada firma ´e:

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6 -Pre¸co Quantidade Curva de Oferta @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @@ Curva de Demanda 2.250 s 140 50 EC = 101.250

c) (5 pontos) Considere agora uma an´alise de longo prazo, em h´a livre entrada e sa´ıda de firmas, mas que uma determinada rigidez de mercado impede que o insumo 2 seja modificado (ou seja, continue assumindo que ¯x2 = 100 para toda firma). Determine o pre¸co de equil´ıbrio.

S: Na solu¸cão do item a), vimos que a oferta de cada firma é dada por q = p/4 + 10. A fun¸cão lucro é portanto: π(p) = p ×p 4+ 10 − 2 ×p 4+ 10 − 10 2 + 2 × 100 = p 2 8 + 10p − 200 Para que o lucro seja zero, o pre¸co tem que ser tal que:

p2

8 + 10p − 200 = 0 ⇒ p

2_{+ 80p − 1600 = 0}

A solu¸cão positiva dessa equa¸cão de segundo grau é R$ 16,57 (a outra raiz dessa equa¸cão de segundo grau é negativa e portanto desconsiderada). Outro modo de resolver é calculando a quantidade que minimiza o custo médio de produ¸cão, CM e(q) = 2q − 40 + 400/q. A CPO do problema de minimiza¸cão do custo médio, 2 − 400/q2_min = 0, resulta em qmin =

√

200 = 10√2, o que resulta no equil´ıbrio de longo prazo em p = CM g(10√2) = CM e(10√200) ≈ 16,57 (observe que a CSO desse problema ´e satisfeita para um m´ınimo).

d) Arredonde o pre¸co de equil´ıbrio encontrado no item c) para o menor inteiro mais pr´oximo (ou seja, se, por exemplo, p = 103,45, assuma que p = 103). Da´ı determine a quantidade e o n´umero de firmas de equil´ıbrio e calcule o novo excedente do consumidor.

S: Temos ent˜ao que p = R$ 16. A quantidade de equil´ıbrio ´e qD(16) = 3.500 − 25 × 16 = 3.100

unidades. Como a esse pre¸co cada firma produz q = 16/4 + 10 = 14, então o número de firmas no mercado é 3.100/14 ≈ 221. O excedente do consumidor agora é dado pelo triângulo de altura 140 − 16 = 124 e base 3.100:

EC0 = 124 × 3.100

2 = 192.200

e) Discorra, se poss´ıvel e sucintamente, o que ocorreu com o bem-estar de todos os participantes desse mercado no longo prazo.

S: Primeiro, observe que o bem-estar dos consumidores aumentou, medido pelo excedente do consumidor. Quanto as firmas, para as que estavam no mercado, o seu bem-estar caiu, já que o lucro dessas firmas foi a zero. Porém, o número de firmas aumentou, passando de 100 para 221 firmas. As firmas entrantes criaram bem-estar, pois foram essenciais para o aumento do bem-estar dos consumidores. É poss´ıvel mostrar que o bem-estar geral aumentou com o aumento do tamanho do mercado.