Cap11 Sec8

(1)

Capítulo 11

Sequências e Séries

Infinitas

(2)

11.8 Séries de Potências

Nesta seção aprenderemos sobre: séries de potências testando-as para convergência ou

(3)

SÉRIES DE POTÊNCIAS

Uma série de potências é uma série da forma:

Onde:

x é uma variável.

c_n’s são constantes chamadas coeficientes da série. 2 3 0 1 2 3 0

...

n n n

c x

c

c x

∞ =

= +

+

∑

Equação 1

(4)

Para cada x fixado, a série (1) é uma série de

constantes que podemos testar quanto a

convergência ou divergência.

Uma série de potências pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros

valores de x.

(5)

A soma da série é uma função

cujo domínio é o conjunto de todos os x para

os quais a série converge.

Observe que f se assemelha a um polinômio. A única diferença é que f tem infinitos termos.

2

0 1 2

( )

...

_n n

...

f x

= +

c

c x

+

c x

+ +

c x

+

(6)

Por exemplo, se tomarmos c_n = 1 para todo n,

a série de potências se torna a série geométrica

que converge quando –1 < x < 1 e diverge quando |x| ≥ 1. 2 0

1 ...

...

n n n

x

∞ =

= + +

+ +

+

∑

(7)

Em geral, a série da forma

é denominada:

Série de potências em (x – a)

Série de potências centrada em a Série de potências em torno de a

2 0 1 2 0

(

)

n

(

)

(

)

...

n n

c x

a

c

c x

a

c x

a

∞ =

−

= +

− +

−

+

∑

Equação 2 SÉRIES DE POTÊNCIAS

(8)

Observe que, ao escrever o termo

correspondente a n = 0 nas Equações 1 e 2, adotamos a convenção de (x – a)0 _{= 1}

mesmo quando x = a.

(9)

Observe também que, quando x = a, todos os termos são 0 para

n

≥

1.

Assim a série de potências (2) sempre converge quando x = a.

(10)

Para quais valores de x a série é convergente?

Usamos o Teste da Razão. Se fizermos a_n denotar o

n-ésimo termo da série, então a_n = n!xn_.

0

!

n n

n x

∞ =

∑

EXEMPLO 1 SÉRIES DE POTÊNCIAS

(11)

(

)

(

)

1 1

1 !

lim

!

lim

1

n n n n n n n

n

x

a

n x

n

x

+ + →∞ →∞ →∞

+

=

+

= ∞

(12)

Pelo Teste da Razão, a série diverge quando

x ≠ 0.

Então, a série dada converge apenas quando

x = 0.

(13)

Para quais valores de x a série

converge?

(

)

1

3

n n

x

n

∞ =

−

∑

(14)

Seja a_n = (x – 3)n_/n. Então, quando

n

→ ∞

EXEMPLO 2 SÉRIES DE POTÊNCIAS 1 1 ( 3) 1 ( 3) 1 3 3 1 1 n n n n a x n a n x x x n + + ₌ − _⋅ + − = − → − +

(15)

Pelo Teste da Razão, a série dada é :

Absolutamente convergente, e portanto convergente, quando |x – 3| < 1.

Divergente quando |x – 3| > 1.

(16)

Agora,

De modo que a série converge quando 2 < x < 4.

E divergerge quando x < 2 ou x > 4.

3

1

1 3 1

2

4 x

− < ⇔ − < − < ⇔ < <

x

(17)

O Teste da Razão não fornece informação quando |x – 3| = 1.

Assim, devemos considerar x = 2 e x = 4 separadamente.

(18)

Se colocarmos x = 4 na série, ela se tornará Σ 1/n, a série harmônica, que é divergente.

Se colocarmos x = 2, a série é Σ (–1)n_{/n, que}

converge pelo Teste da Série Alternada

Então a série dada converge para 2 ≤ x < 4.

(19)

Veremos que o principal uso de uma série de potências é que ela fornece uma maneira de representar algumas das mais importantes

funções que aparecem na matemática, na física e na química.

(20)

Em particular, a soma da série de potências no próximo exemplo é chamada função de Bessel, em homenagem ao astrônomo

alemão Friedrich Bessel (1784-1846), e a

função dada no Exercício 35 é outro exemplo de uma função de Bessel.

De fato, essas funções surgiram

primeiramente quando Bessel resolveu a

(21)

Desde aquela época, essas funções têm sido aplicadas em muitas situações físicas

diferentes, incluindo:

A distribuição de temperatura em uma placa circular.

A forma de uma membrana vibrante.

(22)

Observe quão bem o modelo gerado por

computador (que envolve funções de Bessel e funções cosseno) ajusta a fotografia de

uma membrana de borracha vibrando.

(23)

Encontre o domínio da função de Bessel de ordem 0 definida por:

2 0 ₂ ₂ 0

( 1)

( )

2 ( !)

n n n n

x

J x

n

∞ =

−

=

∑

EXEMPLO 3 FUNÇÃO DE BESSEL

(24)

Seja a_n = Então 2 2 2

( 1)

2 ( !)

n n n

x

n

−

EXEMPLO 3 FUNÇÃO DE BESSEL 1 2( 1) 2 2 1 2( 1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( !) . 2 [( 1)!] ( 1) 2 ( !) . 2 ( 1) ( !) n n n n n n n n n n n n a x n a n x x n n n x + + + + + + − = + − = +

(25)

Então, pelo Teste da Razão, a série dada converge para todos os valores de x.

Em outras palavras, o domínio da função de Bessel J₀ é: (-∞,∞) = R

EXEMPLO 3 FUNÇÃO DE BESSEL

(26)

Lembre-se de que a soma de uma série é igual ao limite da sequência das somas parciais.

Assim, quando definimos a função de Bessel no Exemplo 3 como a soma de uma série,

queremos dizer que, para todo número real x,

0

( )

lim

n

( )

n

J x

s x

→∞

=

2

( 1)

i i n

x

−

∑

FUNÇÃO DE BESSEL

(27)

As primeiras somas parciais são:

0 2 1 2 4 2 2 4 6 3 2 4 6 8 4 ( ) 1 ( ) 1 4 ( ) 1 4 64 ( ) 1 4 64 2304 ( ) 1 4 64 2304 147, 456 s x x s x x x s x x x x s x x x x x s x = = − = − + = − + − = − + − + FUNÇÃO DE BESSEL

(28)

A Figura mostra os gráficos dessas somas parciais, que são polinômios.

Todas são aproximações para a função J₀. Mas observe que as

aproximações se tornam melhores

quando mais termos são incluídos.

(29)

Esta Figura mostra um gráfico mais completo da função de Bessel

.

(30)

Para as séries de potências que vimos até agora, o conjunto de valores de x para os

quais a série é convergente tem sempre sido:

Um intervalo [um intervalo finito para a série geométrica e a série no Exemplo 2];

O intervalo infinito (-∞, ∞) no Exemplo 3; Um ponto x = 0, como no Exemplo 1.

9 O teorema a seguir, demonstrado no

(31)

Para uma dada série de potências existem apenas três possibilidades:

I. A série converge apenas quando x = a.

II. A série converge para todo x.

III. A série converge para todo x / |x – a| < R

e diverge se |x – a| > R. 0 ( )n n n c x a ∞ = −

∑

Teorema 3 SÉRIES DE POTÊNCIAS

(32)

O número R no caso (iii) é chamado raio de convergência da série de potências.

Por convenção, o raio de convergência é R = 0 no caso (i) e R = ∞ no caso (ii).

(33)

O intervalo de convergência de uma série de potências é aquele que consiste em todos os valores de x para os quais a série

converge.

(34)

No caso (i) o intervalo consiste em apenas um único ponto a.

No caso (ii) o intervalo é(-∞, ∞).

No caso (iii) observe que a desigualdade |x – a| < R pode ser reescrita como

a – R < x < a + R.

(35)

Quando x é uma extremidade do intervalo, isto é, x = a ± R, qualquer coisa pode

acontecer:

A série pode convergir em uma ou ambas as extremidades ou divergir em ambas as

extremidades.

Nestes casos, devemos investigar o

comportamento da série nestes extremos.

(36)

Então, no caso (iii) existem quatro possibilidades para o intervalo de convergência: (a – R, a + R) (a – R, a + R] [a – R, a + R) [a – R, a + R] SÉRIES DE POTÊNCIAS

(37)

Resumimos aqui o raio e o intervalo de

convergência para cada um dos exemplos já considerados nesta seção.

(38)

Em geral, o Teste da Razão (ou algumas

vezes o Teste da Raiz) deve ser usado para determinar o raio de convergência R.

Os Testes da Razão e da Raiz sempre falham quando x é uma extremidade do intervalo de convergência;

Assim, as extremidades devem ser estudadas

(39)

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: 0

( 3)

1

n n n

x

n

∞ =

−

+

∑

(40)

Seja Então,

( 3)

n n

/

1

n

a

= −

x

n

+

EXEMPLO 4 SÉRIES DE POTÊNCIAS 1 1 1 ( 3) _. 1 ( 3) 2 1 3 2 n n n n n n a x n a _n x n x n + + + ₌ − + − + + = − +

(41)

Pelo Teste da Razão, a série dada converge se 3 |x| < 1 e diverge se 3 |x| > 1.

Então, ela converge se |x| < ⅓ diverge se |x| > ⅓.

Isso significa que o raio de convergência é

R = ⅓.

(42)

Sabemos que a série converge no intervalo (-⅓, ⅓).

Mas devemos agora testar a convergência nas extremidades desse intervalo.

(43)

Se x = -⅓, a série torna-se:

Esta diverge.

Use o Teste da Integral ou simplesmente

observe que ela é uma p-série com p = ½ < 1.

1 3 0 0

( 3) (

)

1

1 ...

1

2

3

4

n n n

n

∞ ∞ = =

−

=

+

=

+

∑

(44)

Se x = ⅓, a série é:

Esta converge pelo Teste da Série Alternada.

1 3 0 0

( 3) ( )

( 1)

1

n n n n

n

∞ ∞ = =

−

=

+

∑

(45)

Portanto a série de potências dada converge quando -⅓ < x ≤ ⅓.

Assim, o intervalo de convergência é (-⅓, ⅓].

(46)

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: 1 0

(

2)

3

n n n

n x

∞ + =

+

∑

(47)

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Se a_n = n(x + 2)n_/3n+1_{, então:} quando n → ∞ EXEMPLO 5 SÉRIES DE POTÊNCIAS 1 1 1 2 ( 1)( 2) 3 . 3 ( 2) 2 2 1 1 3 3 n n n n n n a n x a n x x x n + + + + + + = + + + ⎛ ⎞ = +_⎜ _⎟ → ⎝ ⎠

(48)

Usando o Teste da Razão vemos que a série converge se |x + 2|/3 < 1 e diverge se |x + 2|/3 > 1.

Assim ela converge se |x + 2| < 3 e diverge se |x + 2| > 3.

Então, o raio de convergência é R = 3.

(49)

A desigualdade |x + 2| < 3 pode ser escrita como –5 < x < 1.

Assim, testamos a série nas extremidades –5 e 1.

(50)

Quando x = –5, a série é:

Esta diverge pelo Teste para Divergência. (–1)n_{n não converge para 0.}

1 1 3 0 0

( 3)

( 1)

3

n n n n n

n

∞ ∞ + = =

−

=

−

∑

(51)

Quando x = 1, a série é:

Esta também diverge pelo Teste para Divergência. 1 1 3 0 0

(3)

3

n n n n

n

∞ ∞ + = =

=

∑

(52)

Então, a série converge apenas quando –5 < x < 1.

De modo que o intervalo de convergência é (–5, 1).