Uma análise comparativa de elementos finitos para flexão de placas

P R O G R A M A D E P Õ S - G R A D U A Ç A O E M E N G E N H A R I A M E C Â N I C A U M A A N Á L I S E C O M P A R A T I V A D E E L E M E N T O S F I N I T O S P A R A F L E X Ã O D E P L A C A S D I S S E R T A Ç Ã O S U B M E T I D A A U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A N T A C A T A R I N A P A R A O B T E N Ç Ã O DO G R A U DE " M E S T R E E M E N G E N H A R I A " EBILSOM M A S SIQPEIKA FLORIANÓPOLIS., M A R Ç O DE, 1984

U M A A N Ã L I S E C O M P A R A T I V A D E E L E M E N T O S F I N I T O S P A R A F L E X Ã O D E P L A C A S E D I L S O N D I A S S I Q U E I R A E S T A D I S S E R T A Ç Ã O FOI J U L G A D A A D E Q U A D A P A R A O B T E N Ç Ã O DO T l T U L O DE " M E S T R E E M E N G E N H A R I A " E S P E C I A L I D A D E E N G E N H A R I A M E C Â N I C A E A P R O V A D A , E M S U A F O R M A F I N A L P E L O P R O G R A M A DE P Õ S - G R A D U A Ç A O B A N C A E X A M I N A D O R A : C L Õ f T S S P E ^ J I E - B Â K C E L L O S flENTADOR éz.— í Sl^ERB C L Õ V I S S f E R B DE B A R ^ E T I Ü S (Ph.D.) P R E S I D E N T E L UI Z T E I X E I R A DCnT/ALLE P E R E I R A (M.Sc.)

A G R A D E C I M E N T O S Ã U n i v e r s i d a d e F e d e r a l do C e a r a p o r t er p r o p o r c i o n a d o a r e a l i z a ç ã o d e st e t r a b a l h o . Ao P r o f e s s o r B a r c e l l o s p e l a o r i e n t a ç ã o . A t od o s que c o n t r i b u i r a m c o m a p o i o e s u g e s t õ e s p a r a o d e s e n v o l v i m e n t o d e s t a p e s q u i s a .

Í N D I C E I N T R O D U Ç Ã O 1.1 - G e n e r a l i d a d e s 01 1.2 - R e v i s ã o b i b l i o g r á f i c a 02 1.3 - D e f i n i ç ã o do p r o b l e m a 06 1.3.1 - I n t r o d u ç ã o 06 1.3.2 - C o n c e i t o s 08/ 1.3.3 - S e l e ç ã o dos e l e m e n t o s 16 1.4 - I m p l e m e n t a ç ã o c o m p u t a c i o n a l 18 D E S E N V O L V I M E N T O D OS E L E M E N T O S S E L E C I O N A D O S 2.1 - I n t r o d u ç ã o 20 2.2 - M o d e l o dos d e s l o c a m e n t o s 22 2.2.1 - S e l e ç ã o dos e l e m e n t o s 22 2.2.2 - F o r m u l a ç ã o do e l e m e n t o Q L R / S 25 2 .2.3 - F o r m u l a ç ã o do e l e m e n t o C L N 30 2. 2.4 - F o r m u l a ç ã o do e l e m e n t o H E T E R O S I S de H U G H E S e C O H E N 31 2.2.5 - F o r m u l a ç ã o do e l e m e n t o T1 34 2.3 - M o d e l o h í b r i d o 41 2.3.1 - S e l e ç ã o dos e l e m e n t o s 41 2.3.2 - F o r m u l a ç ã o do e l e m e n t o QH 3 41 2.4 - M o d e l o m i s t o 52 2.4.1 - S e l e ç ã o dos e l e m e n t o s 52 2 .4.2 - F o r m u l a ç ã o do e l e m e n t o P L A T₈H (₈a) 52 R E S U L T A D O S 3.1 - I n t r o d u ç ã o 56 3.2 - S o l u ç ã o a n a l í t i c a 57 3,. 2.1 - V a l o r e s a n a l í t i c o s 57 3 .2.2 - C o n d i ç õ e s de c o n t o r n o 59 3.3 - R e s u l t a d o s 61 3.4 - C o m e n t á r i o s 82

4 - C O N C L U S O E S E S U G E S T Õ E S 4.1 - I n t r o d u ç ã o ₈₆ 4.2 - C o n c l u s õ e s ₈₆ 4 .3 - S u g e s t õ e s 91 A P Ê N D I C E S 92 A - E l e m e n t o D K Q 93 B - E l e m e n t o DK T 100 C - F a m í l i a de Q u a d r i l á t e r o s I s o p a r a m ê t r i c o s c o m I n c l u s ã o da E n e r g i a de D e f o r m a ç ã o C i s a l h a n t e 102 D - E l e m e n t o A-9 105 E - U m a F a m í l i a de E l e m e n t o s H í b r i d o - t e n s õ e s c o m I n t e g r a ç ã o N u m é r i c a 114 F - E l e m e n t o UH 118 G - U m a F a m í l i a de E l e m e n t o s M i s t o s c o m I n c l u s ã o d a E n e r g i a de C i s a l h a m e n t o 127 H - F u n ç õ e s de I n t e r p o l a ç ã o 129 I - I n t e g r a ç ã o N u m é r i c a p e l a Q u a d r a t u r a de G a u ss 133 J - F l u x o g r a m a do P r o g r a m a de G e r e n c i a m e n t o 134 vi B I B L I O G R A F I A

S I M B O L O G I A 1 - S i n a i s e c o n v e n ç õ e s / -+ I n t e g r a ç ã o f -»■ I n t e g r a ç ã o f e c h a d a Z ■-»- S o m a t ó r i o P r o d u t o i n t e r n o [A] M a t r i z , onde A e o n o m e da m a t r i z [n] R e f e r ê n c i a , onde n e o n ú m e r o d a r e f e r ê n c i a . D e t e r m i n a n t e de u m a m a t r i z T [ ] T r a n s p o s t o de u m a m a t r i z { } ->■ V e t o r colu na • |_ J -* V e t o r l inha T j_ J T r a n s p o s t o de u m v e t o r l i n h a T { } T r a n s p o s t o de u m v e t o r c o l u n a Cn.m) -»■ N u m e r a ç ã o das e q u a ç õ e s , o n d e n e m são n ú m e r o s w, - » - A v í r g u l a i n d i c a d e r i v a d a p a r c i a l , ou seja: X o X 2 - S í m b o l o s A ->■ Ã r e a {a} -* V e t o r de v a r i á v e i s n o d a i s M a t r i z de p r o p r i e d a d e s e l á s t i c a s de f l e x ã o M a t r i z de p r o p r i e d a d e s e l á s t i c a s de c i s a l h a m e n t o E M o d u l o de e l a s t i c i d a d e l o n g i t u d i n a l ( Y o u n g ) [E] M a t r i z de p r o p r i e d a d e s é l á s t i c a s de f l e x ã o e: c i s a l h a m e n p ;f] N to {F } -*■ V e t o r forças c o r t a n t e s G -y M ó d u l o de e l a s t i c i d a d e trrarasversal

v i i i h [ J ]

| J |

[K]

F * 1

N L [M] N.i { Q }

q

s .

_i s., t t u , v , w V X , Y , Z x , y , z a ô {₆} e Ê v

n

-v S e m i - e s p e s s u r a da p l a c a ( t / 2 ) M a t r i z j a c o b i a n a -*■ D e t e r m i n a n t e da m a t r i z j a c o b i a n a M a t r i z de r i g i d e z p a r a u m e l e m e n t o (flexão e c i s a l h a m e n to) M a t r i z de r i g i d e z de f l e x ã o p a r a u m e l e m e n t o -> M a t r i z de r i g i d e z de c i s a l h a m e n t o p a r a u m e l e m e n t o C o m p r i m e n t o do lado de u m a p l a c a q u a d r a d a V e t o r m o m e n t o s f l e t o r e s e t o r s o r e s -> F u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o l a g r a n g e a n a s (i = 1, 2,...,n) V e t o r c a r g a n o d a l C a r g a d i s t r i b u í d a t r a n s v e r s a l F un ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o s e r e n d i p i t y ( i = 1, 2 ,...,n) C o o r d e n a d a s r e t a n g u l a r e s ( s i s t e m a local) -> E s p e s s u r a da p l á c a -+ D e s l o c a m e n t o s V o l u m e -> C o o r d e n a d a s r e t a n g u l a r e s ( s i s t e m a global) C o o r d e n a d a s r e t a n g u l a r e s ( s i s t e m a local) F a to r de c o r r e ç ã o p a r a t e n s õ e s c i s a l h a n t e s t r a n s v e r s a i s -*■ Op er a d o r , i n d i c a v a r i a ç ã o -*■ V e t o r d e s l o c a m e n t o s D e f o r m a ç õ e s ( x , y , z) D e f o r m a ç õ e s no p l a n o (x-y) -> C o o r d e n a d a s i s o p a r a m é t r i c a s R o t a ç ã o no p l a n o (y-z) R o t a ç ã o no p l a n o (x-z) R a z ã o de P o i s s o n F u n c i o n a l

o -+ T e n s õ e s (x , y , z) ã T e n s õ e s no p l a n o ( x - y ) {(j)} + V e t o r d e f o r m a ç õ e s c i s a l h a n t e s íx) V e t o r d e f o r m a ç õ e s de f l e x ã o 3 - E l e m e n t o s A C M ( R - 12) A- 9 CQ C L N ,C L R ,C S N ,C S R D K Q D K T H5 H9 H C T ( L C C T - 9) H C R H E T E R O S I S H S M HT L H 3 ,L H 4 ,L H 5 ,L H 1 1 L O R A M _i MR'24 ( P L A T₈ (₈a) ) A d in i, C l o u g h a nd M e l o s h ( R e c t a n g l e - 12 de g r e e s - o f - f r e e d o m ) . T r i a n g l e - 9 d e g r e e s - o f - f r e e d o m C ub ic Q u a d r i l a t e r a l C- Cu b i c , L - L a g r a n g i a n , S - S e r e n d i p i t y , N - N o r mal, R - R e d u c e d . Q u a d r i l a t e r a l D i s c r e t e K i r c h h o f f Q u a d r i l a t e r a l D i s c r e t e K i r c h h o f f T r i a n g l e H y b r i d - s t r e s s 5 - p a r a m e t e r . Q u a d r i l a t e r a l H y b r i d - s t r e s s 9 - p a r a m e t e r . Q u a d r i l a t e r a l Hsie h, C l o u g h a n d T o c h e r ( L i n e a r C u r v a t u r e C o m p a t i b l e T r i a n g l e - 9 d e g r e e s - o f - f r e e d o m ) H y b r i d - s t r e s s C o n f o r m i n g R e c t a n g l e Q u a d r i l a t e r a l , Q u a d r a t i c , L a g r a n g i a n an d S e r e n d i p i t y H y b r i d - s t r e s s M o d e l T r i a n g l e H y b r i d - s t r e s s T r i a n g l e L i n e a r H y b r i d - s t r e s s . Q u a d r i l a t e r a l L O c k h e e d R o b i n s o n and A s s o c i a t e s . Q u a d r i l a t e ral M el o s h . R e c t a n g l e M o d i f i e d H e l l i n g e r - R e i s s n e r P r i n c i p l e , 24 d e g r e e s - o f - f r e e d o m , ₈- p a r a m e t e r . Q u a d r i l a t £ ral

X M R 2 4 A ( P L A T 8 ( 6 a ) ) M R 1 8 + M R 1 8 A P L A T 8 H ( 5 a , ₆a, ₈a) + Q - 1 9 -»■ QH1 ,QH2 ,QH3 ,QH4 -* Q L R / S ■+ Q L R , Q L N , Q S R , Q S N + Q U A D 4 -> Q U S 4 ( L R ) + R18 -»■ R24 + SRI + T1 ' + U H M o d i f i e d H e l l i n g e r - R e i s s n e r P r i n c i p l e , 24 d e g r e e s - o f - f r e e d o m , ₆- p a r a m e t e r . Q u a d r i l a t e ral M o d i f i e d H e l l i n g e r - R e i s s n e r P r i n c i p l e , 18 d e g r e e s - o f - f r e e d o m , ₆- p a r a m e t e r . T r i a n g l e M o d i f i e d H e l l i n g e r - R e i s s n e r P r i n c i p l e , 18 d e g r e e s - o f - f r e e d o m , 4 - p a r a m e t e r . T r i a n g l e M o d i f i e d H e l l i n g e r - R e i s s n e r P r i n c i p l e ( H E T ER O SIS), 24 d e g r e e s - o f - f r e e d o m , 5 - 6 - 8 - p a r a m e t e r . Q u a d r i l a t e r a l Q u a d r i l a t e r a l - 19 d e g r e e s - o f - f r e e d o m Q u a d r a t i c H y b r i d - s t r e s s . Q u a d r i l a t e r a l Q u a d r a t i c L a g r a n g i a n R e d u c e d / S e l e c t i v e Inte gration. Q u a d r i l a t e r a l Q - Q u a d r a t i c , L - L a g r a n g i a n , S - S e r e n d i p i t y , R - R e d u c e d , N - N o r m a l . Q u a d r i l a t e r a l Q u a d r i l a t e r a l 4 - n o d e Q u a d r i l a t e r a l S e r e n d i p i t y 4 - n o d e ( L i n e a r R e d u ced) H e l l i n g e r - R e i s s n e r P r i n c i p l e , 18 d e g r e e s - o f - f reedom. T r i a n g l e H e l l i n g e r - R e i s s n e r P r i n c i p l e , 24 d e g r e e s - o f - freedom. Q u a d r i l a t e r a l S e l e c t i v e R e d u c e d I n t e g r a t i o n . T r i a n g l e F o u r - n o d e B i l i n e a r I s o p a r a m e t r i c E l e m e n t Q u a d r i l a t e r a l U n i v e r s a l H y b r i d E l e m e n t . T r i a n g l e

.R E S U M O

N e s t a s t rê s u l t i m a s d é c a d a s , o d e s e n v o l v i m e n t o e a p e r f e i ç o a m e n t o de e l e m e n t o s f in i t o s p a r a p r o b l e m a s de f l e x ã o de p i a cas t e m si d o u m a m e t a c o n s t a n t e de m u i t o s p e s q u i s a d o r e s . No e n t a n to, a p e s a r dos e s f o r ç o s , a i n d a n ã o se d i s p õ e de u m e l e m e n t o ideal.

0 o b j e t i v o d e s t e t r a b a l h o ê s e l e c i o n a r d e n t r e t o d a s es /■ tas f o r m u l a ç õ e s e x i s t e n t e s , e as q u a i s t e v e - s e a c e s s o e c o n h e c i m e n t o , u m ou a l g u n s e l e m e n t o s que a p r e s e n t e m o m e l h o r c o m p o r t a m e n to q u a n d o u t i l i z a d o s em u m p r o g r a m a de e l e m e n t o s f i n i t o s p a r a a p l i c a ç ã o geral. I n i c i a l m e n t e são e s t a b e l e c i d o s a l g u n s r e q u i s i t o s , os q u a i s s e r v e m de b a s e p a r a u m a p r ê - s e l e ç ã o dos e l e m e n t o s . A sele^ ção f i n a l é f e i t a apõs a i m p l e m e n t a ç ã o c o m p u t a c i o n a l de seis ele m e n t o s , b a s e a d o s n a t e o r i a de p l a c a de M i n d l i n e c o n s i d e r a d o s co mo os m a i s p r o m i s s o r e s . P a r a e s t a s e l e ç ã o , apõs t e r e m sido obt_i dos os r e s u l t a d o s n u m é r i c o s p a r a p l a c a s f i n a s e s e m i - e s p e s s a s , ê f e i t o u m e s t u d o c o m p a r a t i v o , o nd e se v e r i f i c a b a s i c a m e n t e os se g u i n t e s a s p e c t o s : c o n v e r g ê n c i a e m f u n ç ã o do n ú m e r o de g raus de li b e r d a d e e x i g i d o s p e l a d i s c r e t i z a ç ã o , s e n s i b i l i d a d e à d i s t o r ç ã o da m a lh a, p r e s e n ç a de m o d o s f a l s o s de e n e r g i a e e f i c i ê n c i a c o m p u t a c i o n a l .

x i i

A B S T R A C T

In the last t h i r t y y e a r s , the d e v e l o p m e n t and i m p r o v e m e n t of the f i n i t e e l e m e n t t e c h n i q u e for the p l a t e b e n d i n g p r o b l e m has r e c i e v e d a c o n s t a n t e f f o r t of m a n y s t u d i e s . In s p it e of this, a p e r f e c t e l e m e n t is. not a c h i e v e d yet.

The m a i n p u r p o s e of this w o r k is to c h o o s e a m o n g se v e ral f o r m u l a t i o n s , one or m o r e e l e m e n t s t h a t ha s the b e s t b e h a v i o r w h e n u s e d in a g e n e r a l p u r p o s e f i n i t e e l e m e n t p r o g r a m .

A f i rs t s e l e c t i o n of the e l e m e n t s is b a s e d in s om e r e q u i r e m e n t s p r e v i o u s l y set up. For the f i n a l one, six e l e m e n t s are s t u d i e d , b a s e d on the M i n d l i n ' s t h e o r y of p l a t e s . W i t h the n u m e r i c a l r e s u l t s o b t a i n e d for t h i n a n d t h i c k p l a t e s , a c o m p a r a t ^ ve s t u d y is m a d e and the f o l l o w i n g a s p e c t s are a n al ys ed : c o n v e r g e n c e v e r s u s n u m b e r of f r e e d o m d e g r e e s r e q u i r e d for d i s c r e t i z a tion, the m e s h d i s t o r t i o n s e n s i b i l i t y , the s p u r i o u s zero e n e r g y m o d e p r e s e n c e and c o m p u t a t i o n a l e f f i c i e n c y .

C A P Í T U L O 1 I N T R O D U Ç Ã O 1.1 - G e n e r a l i d a d e s A a n á l i s e p o r e l e m e n t o s f i n i t o s p a r a p r o b l e m a s de fie x ã o de p l a c a s t e m sido b a s t a n t e e x p l o r a d a , e isto se c o m p r o v a pe la e x i s t ê n c i a de i n ú m e r a s f o r m u l a ç õ e s a r e s p e i t o d es te as su n to . Q u a n t o aos e l e m e n t o s , p o d e - s e a f i r m a r que m u i t o s f u n c i A o n a m b e m p a r a u m a d e t e r m i n a d a s i t u a ç a o , p o r e m n a o s a t i s f a z e m p a r a o u t r o s casos. A l g u n s são i n d i c a d o s p a r a u m a a p l i c a ç ã o geral p o r a p r e s e n t a r e m u m c o m p o r t a m e n t o s a t i s f a t õ r i o n a m a i o r i a dos t e s t e s r e a l i z a d o s . No en ta n t o , a i n d a n ã o se d i s p õ e do e l e m e n t o i d ea l p a ra a p l i c a ç ã o em u m p r o g r a m a de e l e m e n t o s f i n i t o s p a r a us o geral. 0 o b j e t i v o a tual ê s e l e c i o n a r u m e l e m e n t o p a r a proble^ m a s de f l e x ã o de p l a c a s f i n as e e s p e s s a s , s u b m e t i d a s a u m c a r r e g a m e n t o e st á t i c o . Es te e l e m e n t o d e v e a p r e s e n t a r a m e l h o r p e r f o r m a n c e n u m c o n j u n t o global, mas n ã o n e c e s s a r i a m e n t e p a r a todos os c a s o s e s p e c í f i c o s , po is são n o t ó r i a s as d i f i c u l d a d e s p a r a se a t i n g i r al^ g u m a s m e t as . C o n s e q ü e n t e m e n t e tal e l e m e n t o n ã o s er á n e n h u m a p a n a c eia. U m e l e m e n t o f i n i t o deve, e m p r i m e i r o lugar, c o n v e r g i r p a r a a s o l u ç ã o e x a t a do p r o b l e m a , p o i s i st o g a r a n t e que a s o l u ç ã o da e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l que r e ge o p r o b l e m a e s t á b e m r e p r e s e n t a d a p e l a d i s c r e t i z a ç ã o . No ca so e s p e c í f i c o de f l e x ã o de pla ca s, r e l a c i o n a - s e a s e g u i r os r e q u i s i t o s b á s i c o s d e s e j á v e i s p a r a o e l e m e n to a se r s e l e c i o n a d o , ou seja: a) A c o n v e r g ê n c i a d e v e ser r á p i d a e m o n o t ô n i c a ; b) -A e n e r g i a de c i s a l h a m e n t o d e v e e s t a r inclusa;

02 c) Não d e v e a p r e s e n t a r o f e n ô m e n o de t r a v a m e n t o c k i n g " ) ; d) D ev e dar b o n s r e s u l t a d o s t a m b é m p a r a t en s õ e s ; e) Não d e v e a p r e s e n t a r m o d o s f a l s o s de en er g i a ; f) De v e ser r o t a c i o n a l m e n t e e t r a n s l a c i o n a l m e n t e r i a n t e ; g) D ev e ser c o m p a t í v e l e c o m p l e t o ( c o n f o r m e ) ; h) De ve ser p o u c o s e n s í v e l ã d i s t o r ç ã o da malh a; i) D ev e ser c o m p u t a c i o n a l m e n t e e f i c i e n t e . N e s t e trabalho, a n a l i s a - s e u m a s é r i e de e l e m e n t o s , t r a - s e os r e s u l t a d o s n u m é r i c o s da i m p l e m e n t a ç ã o c o m p u t a c i o n a e l e m e n t o s m a i s p r o m i s s o r e s e f a z - s e a s e l e ç ã o dos m e l h o r e s e tos d e n t r o dos r e q u i s i t o s a c i m a ci t ados.

1.2 - R e v i s ã o b i b l i o g r á f i c a A m a i o r i a dos a r t i g o s que v e r s a m s o b re e l e m e n t o s de f l e x ã o de p l a c a s t r a z e m e s t u d o s c o m p a r a t i v o s e n t r e o e l e m e n t o p r o p o s t o e o u t r o s e l e m e n t o s já p u b l i c a d o s . T a m b é m e x i s t e m t r a b a l h o s e x c l u s i v a m e n t e c o m p a r a t i v o s , e n f o c a n d o os s e g u i n t e s a sp e c t o s : c o n v e r g ê n c i a e m f u n ç ã o do r e f i n o da m a l h a ou do n ú m e r o de gr aus de l i b e r d a d e ex ig i d o s , e c o n v e r g ê n c i a c o m o e s f o r ç o c o m p u t a c i o n a l .

A s e g u i r são c i t a d o s a q u e l e s e l e m e n t o s que f o r a m consi. d e r a d o s c om o os m e l h o r e s p o r o c a s i ã o dos r e f e r i d o s estud os .

C L O U G H e T O C H E R ^ 2 ^ f i z e r a m u m dos p r i m e i r o s e s t u d o s c o m p a r a t i v o s de que se t e m c o n h e c i m e n t o . F o r a m a n a l i s a d a s p l a c a s r e t a n g u l a r e s e q u a d r a d a s , p o r u m a s é r i e de e l e m e n t o s t r i a n g u l a r e s e r e t a n g u l a r e s , onde f i c o u e v i d e n c i a d a a s u p e r i o r i d a d e dos e l e m e n tos r e t a n g u l a r e s e m r e l a ç ã o aos t r i a n g u l a r e s , sob o a s p e c t o de

("lo

i n v a

m o s

1 do s

c o n v e r g ê n c i a c o m o r e f i n o da m a l h a . Os m e l h o r e s e l e m e n t o s fora m, r e s p e c t i v a m e n t e , o r e t â n g u l o M de M E L O S H , o r e t â n g u l o A C M ( R - 1 2 ) de A D I N I , C L O U G H e M E L O S H e o t r i â n g u l o H C T ( L C C T - 9 ) de H S I E H , C L O U G H e TOCHER. N e s t e e s t u d o f i c o u c o m p r o v a d a a m a i o r flexibiljl dade dos e l e m e n t o s n ã o c o m p a t í v e i s , M e ACM, e m r e l a ç ã o ao e l e m e n to c o m p a t í v e l HCT. T o d o s e s t e s e l e m e n t o s são f o r m u l a d o s p e l o mode^ lo dos d e s l o c a m e n t o s .

r ₄1

A B E L fez. t a m b e m u m t r a b a l h o c o m p a r a t i v o , v e r i f i c a n do a e f i c i ê n c i a c o m p u t a c i o n a l de u m a s e r i e de doze e l e m e n t o s ; e n tre e l e s o ACM, M e HCT. Isto foi f e i t o v e r i f i c a n d o a c o n v e r g ê n

2 - - _ c ia e m f u n ç a o do p r o d u t o NB , o n d e N e o n u m e r o de e q u a ç õ e s a l g e 2 - -b r i c a s e - B e a l a r g u r a da -b a n d a do s i s t e m a g l o -b a l e l e v a d a a p o t e n ci a de 2. A B E L c o n c l u i u que os m e l h o r e s e l e m e n t o s eram, r e s p e c t ^ v e m e n t e , o M de ME LO S H , o CQ de F R A E I J S D E V E U B E K E e o Q-19 de C L O U G H e FELIPPA. Os e l e m e n t o s CQ e Q - 1 9 s ã o ' f o r m u l a d o s p e l o m o d e lo dos d e s l o c a m e n t o s . Eles são c o m p a t í v e i s , cú bi c o s , quadrilãte^ ros e são f o r m a d o s p e l a j u n ç ã o de q u a t r o t r i â n g u l o s . ₀ e l e m e n t o n ã o c o m p a t í v e l M m o s t r o u n o v a m e n t e a su a m e l h o r c o n v e r g ê n c i a e m r e l a ç ã o aos e l e m e n t o s c o m p a t í v e i s . D i s c o r d a - s e aqui da m a n e i r a co mo ê f e i t a es ta c o m p a r a ç ã o , p o i s o t e m p o de c o m p u t a ç ã o p a r a f o r m a ção da m a t r i z de r i g i d e z do e l e m e n t o n ã o é c o n s i d e r a d o , e s a b e - s e que, se p o r exemp lo , for n e c e s s á r i a i n t e g r a ç ã o n u m é r i c a , u m a g r a n d e p a r c e l a de tempo s er á d e s p e r d i ç a d a n e s s a etapa.

C O O K ^ ^ f o r m u l o u do is e l é m e n t o s p e l o m o d e l o h í b r i d o - t e n s õ e s C " h y b r i d - s t r e s s " ) , os e l e m e n t o s H5 e H9, e os c o n s i d e r o u co mo os m e l h o r e s p a r a p r o b l e m a s de f l e x ã o de pla c as . E st es e l e m e n tos são q u a d r i l á t e r o s , c o m d o z e g r a u s de l i b e r d a d e , e são f o r m a dos p e l a j u n ç ã o de q u a t r o t r i â n g u l o s , t e n d o i n c l u s o o e f e i t o de c i s a l h a m e n t o . Nada, poré m, foi a s s e g u r a d o s o b r e o f e n ô m e n o de t r a

04

v a m e n t o , b e m como q u a n t o a p r e s e n ç a de m o d o s f a l s o s de e n e r g i a . 0 H 5 , o m e l h o r dos dois, que u s a u m a p o l i n o m i a l i n c o m p l e t a p a r a r e p r e s e n t a ç ã o do c a m p o de t e n s õ e s , ê n ã o i n v a r i a n t e , p o r t a n t o de ve ser f o r m u l a d o n u m s i s t e m a local de c o o r d e n a d a s . R O B I N S O N e H A G G E N M A C H E R ^ , e m t r a b a l h o ma is r e c e n t e , f o r m u l a r a m p e l o m é t o d o de e q u i l í b r i o u m q u a d r i l á t e r o com d o z e g r a u s de li be r d a d e , t e n d o i n c l u s o o e f e i t o de c i s a l h a m e n t o . O e le m e n t o , c h a m a d o de LORA, t a m b é m é c o n s i d e r a d o p o r seus a u t o r e s co mo o m e l h o r e l e m e n t o p a r a f l e x ã o de p l a c a s , i n f e l i z m e n t e , a r e f e r ê n c i a n ã o traz m a i o r e s d e t a l h e s s o b r e a f o r m u l a ç ã o da m a t r i z de r i g i d e z do e le m e n t o , e os r e s u l t a d o s a p r e s e n t a d o s são a p e n a s p a r a d e s l o c a m e n t o s . V e r i f i c a - s e t a m b é m que, e m b o r a o e f e i t o de c i s a l h a m e n t o e s t e j a incluso, n a d a foi di to s o b r e o f e n ô m e n o de t r a v a m e n to. r 411 *

H E R R M A N N J d e s e n v o l v e u p e l o m o d e l o mis t o, u m dos pr_i m e i r o s e l e m e n t o s t r i a n g u l a r e s , c o n s i d e r a n d o as d e f o r m a ç õ e s c i s a l h a n t e s t r a n s v e r s a i s ( T e o r i a de R e i s s n e r ) . E n t r e t a n t o , p o s t e r i o r e s e s t u d o s f e i to s p o r B R O N e D H A T T c o m p r o v a r a m que este e l e m e n t o d i v e r g e da s o l u ç ã o e x a t a do p r o b l e m a , p a r a a l g u m a s s i t u a ç õ e s e m que fo i testado. M u i t o s e s f o r ç o s t ê m sido f e i t o s e m b u s c a de u m e l e m e n to s i m p l e s e e f i c i e n t e . Ci ta -s e, p o r e x e m p l o , a l g u n s • e l e m e n t o s t r i a n g u l a r e s c o m no v e graus de l i b e r d a d e c o m o o A - 9 ^ ^ , S R I ^ ^ e H S M ^ e e os q u a d r i l á t e r o s c o m d o z e graus de l i b e r d a r _{3 11}

de m a i s p e s q u i s a d o s sao o QUS4 e suas v e r s õ e s ( R e f e r e n c i a s 39 37 e 3Q1

e 40), e o e l e m e n t o Q U A D 4 de M a c N E A L ’ J . A l g u n s d e s t e s £ l e m e n t o s são e m p r e g a d o s e m p r o g r a m a s de u s o g e r a l, c om o é o c a s o do Q U S 4 e do Q U A D 4 , p o r s e r e m s i m p l e s e ef ic ie nt es . Porém, a m a i o r i a do s e l e m e n t o s a c i m a c i t a d o s a p r e s e n t a m p r o b l e m a s tais c o m o a

p r e s e n ç a de m o d o s f a l s o s de e n e r g i a , i n v a r i â n c i a e d e p e n d ê n c i a de a j u s t e de p a r â m e t r o s p a r a e s t a b i l i z a ç ã o da m a t r i z de r ig id ez .

B A T O Z e T A H A R ^ a p r e s e n t a r a m o e l e m e n t o D K Q ( D i s c r e t e K i r c h h o f f Q u a d r i l a t e r a l ) e f i z e r a m u m e s t u d o c o m p a r a t i v o c o m ou t r o s d e z e s s e t e e l e m e n t o s ; e n t r e eles, o H 5 , H9, LORA, M, ACM, Q U A D 4 e Q-19. S o m e n t e p l a c a s f in as f o r a m t e s t a d a s , e em a l g u n s ca sos de d e f l e x õ e s f o r a m m o s t r a d o s r e s u l t a d o s p a r a os e l e m e n t o s L O R A e Q U A D 4 , os q u a i s se m o s t r a r a m s u p e r i o r e s ao DKQ.. Nos d e m a i s c a s o s , i n c l u s i v e p a r a t e n s õ e s e m a l h a d i s t o r c i d a , on de o e l e m e n t o L O R A n ã o e n t r o u na c o m p a r a ç ã o , o D K Q a p r e s e n t o u b o n s r e s u l t a d o s e m r e l a ç ã o aos d e m a i s e l e m e n t o s . A c r e d i t a - s e q ue o e l e m e n t o funcõ. o n e b e m p a r a p l a c a s b a s t a n t e finas, p o i s a e n e r g i a c i s a l h a n t e t r a n s v e r s a l ê d e s p r e z a d a p e l a s s u p o s i ç õ e s de K i r c h h o f f . BATOZ, B A T H E e L E E - W I N G ^ f i z e r a m u m e s t u d o do e l e m e n to t r i a n g u l a r D K T ( D i s c r e t e K i r c h h o f f T r i a n g l e ) e o c o m p a r a r a m c o m o u t r o s e l e m e n t o s t r i a n g u l a r e s . N e s t e e s t u d o f o r a m c o n s i d e r a d o s co m o m e l h o r e s os e l e m e n t o s D K T e H S M ( H y b r i d - S t r e s s M o d e l ) . C o n v é m m e n c i o n a r que o D K T e o D K Q são c o m p a t í v e i s , f o r m u l a d o s p e l o m o d e lo do s d e s l o c a m e n t o s e, a s s i m como o HSM, b a s e i a m - s e na t e o r i a de p l a c a de Kir ch ho f f. Uma s érie de q u a d r i l á t e r o s i s o p a r a m é t r i c o s , b a s e a d o s n a t e o r i a de p l a c a de M i n d l i n e c o m e s t u d o s do f e n ô m e n o de t r a v a

r

1

8

1

m e n t o f o r a m a p r e s e n t a d o s p o r v ã r i o s a u t o r e s : H U G H E S e C O H E N ; S P I L K E R [ 1 1 ’ 1 2 ’ 1 3 ’1 4 6 1 5 ] ; PUGH, H I N T O N e Z I E N K I E W I C Z [3Í ; L E E e W O N G ^ ^ ; e H U G H E S e T E Z D U Y A R ^ 3 ^ . Os m e l h o r e s e l e m e n t o s in d i c a d o s p o r e stes a u t o r e s são: QLR, CLR, CLN, QH1 , QH3., H E T E R O S I S , T1 e P L A T₈H. Como s e r ã v i st o, os e l e m e n t o s c i t a d o s aqui s e r ã o ob j e t o d e s t e e s t u d o e, p o r t a n t o , m a i o r a t e n ç ã o s e r ã d a d a n o d e c o r r e r de t o d a e s t a e x p o s i ç ã o .

06 Nos a p ê n d i c e s d e s t e t r a b a l h o p o d e r ã o ser e n c o n t r a d o s d e t a l h e s da f o r m u l a ç ã o de a l g u n s e l e m e n t o s que c o n s t a m d e s t a revi. são, b e m co mo de o u t r o s que n ã o f o r a m m e n c i o n a d o s . 1.3 - D e f i n i ç ã o do p r o b l e m a 1.3.1 - I n t r o d u ç ã o Os e l e m e n t o s f i n i t o s p a r a p r o b l e m a s de f l e x ã o de p i a cas são f o r m u l a d o s b a s i c a m e n t e d e n t r o de d oi s grupos: os b a s e á d o s n a t e o r i a de p l a c a de K i r c h h o f f e os b a s e a d o s n a t e o r i a de p l a c a de M i n d l i n , d e p e n d e n d o , r e s p e c t i v a m e n t e , da a u s ê n c i a ou d a p r e s e n ça do e f e i t o das d e f o r m a ç õ e s c i s a l h a n t e s t r a n s v e r s a i s . Os e l e m e n tos que u s a m a t e o r i a de K i r c h h o f f , f o r m u l a d o s do P r i n c í p i o da E n e r g i a P o t e n c i a l M í n i m a ( m o d e l o dos d e s l o c a m e n t o s ) , d e v e m s a t i s f a zer a c o n t i n u i d a d e C₁ no c o n t o r n o e n t r e e l e m e n t o s . Isto c a u s a p r o b l e m a s de c o m p a t i b i l i d a d e , que p a r a s e r e m s o l u c i o n a d o s , e x i g e m p o l i n o m i a i s de o r d e m m a i o r do que a d e s e j a d a p a r a as f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o . C o n s e q ü e n t e m e n t e m a i o r n ú m e r o de v a r i á v e i s n o d a i s ou m a i o r n ú m e r o de n o d o s p o r e l e m e n t o são e x i g i d o s , o que a u m e n t a o n ú m e r o de e q u a ç õ e s a l g é b r i c a s a s e r e m s o l u c i o n a d a s e, e m g e ra l , o e l e m e n t o t o r n a - s e m a i s rígido. T a m b é m p o d e ser a f i r m a d o que o a u m e n t o no n ú m e r o de g raus de l i b e r d a d e p o r n o d o exige , n o r m a l m e n t e r q u e se a dote d e r i v a d a s n o r m a i s c o m o g r a u s de l i b e r d a d e . E is to t r a z c o m p l i c a ç õ e s p a r a a e s p e c i f i c a ç ã o das c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o . B ATOZ e o u t r o s ^ e e m r e c e n t e s t r a b a l h o s , m o s t r a r a m q u e e s t e r e q u e r i m e n t o de c o n t i n u i d a d e C₁ p o d e ser . r e l a x a d o , s e m p r o b l e m a s de c o n f o r m i d a d e , ao u s a r u m a f o r m u l a ç ã o p e l a T e o r i a D i s c r e t a de K i r c h h o f f ( " D i s c r e t e K i r c h h o f f T h e o r y " ) , p o r é m , e s t a f o r m u l a ç ã o d e s p r e z a a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o c i s a l h a n t e t r a n s v e r sal e o e l e m e n t o n ã o f u n c i o n a p a r a p l a c a s e s p e s s a s .

O u t r a m a n e i r a de r e l a x a r e s t e r e q u i s i t o de c o n t i n u i d a - -* — r 221 + de C₁ é u t i l i z a r o m o d e l o h í b r i d o - t e n s õ e s de P I A N₁ J ou o h í b r i d o - d e s l o c a m e n t o s ( " h y b r i d - d i s p l a c e m e n t " ) de T O N G ^ 2 3 ^. Por o u t r o lado, os e l e m e n t o s b a s e a d o s n a t e o r i a de r Q 1 M i n d l i n r e q u e r e m a p e n a s c o n t i n u i d a d e C°, m e s m o p a r a f o r m u l a ções a p a r t i r do P r i n c í p i o da E n e r g i a P o t e n c i a l M í n im a. E n t r e t a n to t ê m u m i n c o n v e n i e n t e , que é u m a t e n d ê n c i a ao f e n ô m e n o de t r a v a m e n t o . É i m p o r t a n t e s a l i e n t a r que o t r a v a m e n t o ê p r o v o c a d o p e l a n ã o a d e q u a ç ã o de f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o que n ã o são c a p a z e s de r e p r e s e n t a r , e x a t a m e n t e , a r e s t r i ç ã o de e n e r g i a de :: c i s a l h a m e n t o t r a n s v e r s a l n ula, q u a n d o a p l a c a ê t o m a d a b a s t a n t e fina. P U G H , H I N T O N e Z I E N K I E W I C Z [3] s o l u c i o n a r a m o p r o b l e m a do t r a v a m e n t o , u t i l i z a n d o i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a p a r a a r i g i d e z de f l e x ã o e c i s a l h a m e n t o e m e l e m e n t o s i s o p a r a m ê t r i c o s , b a s e a d o s no m o d e l o dos d e s l o c a m e n t o s . A i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a ou a r e d u z i d a / s e r ₂₁ - -l e t i v a , o nd e so a r i g i d e z de c i s a l h a m e n t o e s u b - i n t e g r a d a , t r a z e m c o n s e q ü ê n c i a s i n d e s e j á v e i s , tais c o m o m o d o s fa ls o s de e n e r g i a ( Sp u r i o u s Z e r o - E n e r g y M o d e ) . Do s e l e m e n t o s b a s e a d o s no m o d e l o dos d e s l o c a m e n t o s , t e o r i a de p l a c a de M i n d l i n e u t i l i z a n d o i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a ou i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a / s e l e t i v a , s o m e n t e o H E T E R O S I S de H U G H E S e C O H E N ^ ^ e o C S R C A p ê n d i c e C ) , n ã o a p r e s e n t a m m o d o s fal sos de en er gi a . O u t r a s m a n e i r a s de e l i m i n a r o p r o b l e m a de t r a v a m e n t o ê u t i l i z a r o f u n c i o n a l p a r a o P r i n c í p i o M o d i f i c a d o de H e l l i n g e r - R e i s s n e r , d e n t r o da f o r m u l a ç ã o m i s t a de L E E e W O N G ^ ^ , ou o f u n c i o n a l h í b r i d o , b a s e a d o no P r i n c í p i o da E n e r g i a C o m p l e m e n t a r Modi­ fic ad a, u t i l i z a d o p o r S P I L K E R e o u t r o s ^ ^ ’ ^ e . Nes^ tas f o r m u l a ç õ e s , o c o n t r o l e de t r a v a m e n t o e dos m o d o s f a l s o s de e n e r g i a ê f e i t o e m f u n ç ã o do c a m p o de t e n s õ e s ou d e f o r m a ç õ e s a se

08 r e m e s c o l h i d o s , 1 . 3 . 2 - C o n c e i t o s C o m e n t a - s e s obre a l g u n s t e r m o s que t ê m si do a q u i m e n c i o n a d o s , p o r r e p r e s e n t a r e m u m a p a r c e l a de f u n d a m e n t a l i m p o r t â n c i a p a r a e s t e t ra ba lh o. a) F e n ô m e n o de t r a v a m e n t o ( " l o c k i n g " ) - E um a e x c e s s i v a r i g i d e z n a s o l u ç ã o do p r o b l e m a q u a n d o a p l a c a ê t o m a d a b a s t a n t e f in a, o u seja, q u a n d o a e s p e s s u r a da p.laca t e n d e a zero. S e r i a in t e r e s s a n t e saber, s e m a d e v i d a i m p l e m e n t a ç ã o c o m p u t a c i o n a l , se o e l e m e n t o t e m t e n d ê n c i a a t r a v a m e n t o . D e s t a forma , a l g un s a u t o r e s d e f i n e m u m í n di c e de r e s t r i ç ã o p a r a m e d i r a t e n d ê n c i a m a i o r o u me r ₂ 41 n o r ao f e n o m e n o . H U G H E S e M A L K U S J d e f i n e m o " C o n s t r a m t I n d e x " (Cl) c o m o s e n d o a h a b i l i d a d e do e l e m e n t o a c o m o d a r a r e s t r i ç ã o de e n e r g i a de c i s a l h a m e n t o t r a n s v e r s a l nu la. 0 Cl ê c a l c u l a d o p a r a u m a m a l h a Nx:N, c o m dois lados a d j a c e n t e s i d e a l m e n t e e n g a s t a d o s , e d a d o p e l a eq uação: n , - n, d = D - n (₁ .₁) N C o n d e n ^ ê o n ú m e r o t otal de g raus de l i b e r d a d e na m a l h a NxN, n^ ê o n ú m e r o de graus de l i b e r d a d e s o br e os d o i s l a do s e n g a s t a d o s , n c é o n ú m e r o de r e s t r i ç õ e s i m p o s t a s ao e l e m e n t o q u a n d o a e s p e s s u r a t e n d e a zero, e N e o n ú m e r o de e l e m e n t o s n u m a d ir e ç ã o . Especifi_ c a n d o m e l h o r , p a r a o caso de u m e l e m e n t o M i n d l i n - d e s l o c a m e n t o s ( " M i n d l i n - d i s p l a c e m e n t " ) , ao se f a z e r u m a i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a da m a t r i z de r i g i d e z de c i s a l h a m e n t o , t e m - s e d u a s r e s t r i ç õ e s ( d u a s d £ f o r m a ç õ e s c i s a l h a n t e s ) e m c a d a p o n t o de i n t e g r a ç ã o , logo n c ê i. g u a l a d u a s v e z e s o n ú m e r o de p o n t o s de i n t e g r a ç ã b u t i l i z a d o s . P a r a a m e s m a s i t u a ç ã o e m que foi d e f i n i d o o Cl, S P I L K E R ^ ^ d e f i n i u o RCI ( R o t a t i o n a l C o n s t r a i n t Index) p a r a ele

m e n t o s h í b r i d o - t e n s õ e s , c o m a d i f e r e n ç a de so u t i l i z a r os g r a u s de l i b e r d a d e de ro tação. Ou seja: n₀d ” n₀b „ ri RCI = ---₂---- “ n e c (1.2) N o n d e n Q ^ é o n ú m e r o total de g r au s de l i b e r d a d e de r o t a ç ã o n a m a lha NxN, n Qk ê o n ú m e r o de g ra us de l i b e r d a d e de r o t a ç ã o s o b r e os d o i s lados e n g a s t a d o s e ng ê o n ú m e r o de r e s t r i ç õ e s de r o t a ç ã o p a r a o e l e m e n t o q u a n d o a e s p e s s u r a da p l a c a t e n d e a zero. E s t a s r e s t r i ç õ e s são o b t i d a s p o r e x a m e das e q u a ç õ e s de E U L E R p a r a o f u n c i o n a l no l i mi te (i -*■0) e c o r r e s p o n d e , p a r a o c a s o de e l e m e n t o s h í b r i d o - t e n s õ e s , a: , ( Y'xz “V ■dA = 0 (1.3) - _{y z .} o n d e o e Y são, r e s p e c t i v a m e n t e , t e n s õ e s e d ç f o r m a ç õ e s , 6 i n d i c a v a r i a ç ã o e A ê a á re a do el em e n t o . P a r a os e l e m e n t o s c i t a d o s n a s r e s p e c t i v a s r e f e r ê n c i a s , e s t e s í n d i c e s f u n c i o n a m r e l a t i v a m e n t e bem, p o r e m , t e s t a d o s p a r a o u t r o s e l e m e n t o s , não se e n c o n t r a a c o e r ê n c i a d e s e j a d a , p o i s e m g e r a l são m u i t o p e s s i m i s t a s (ver A p ê n d i c e s C e E ) . b) M o d o s falso s de e n e r g i a ( S p u r i o u s Z e r o - E n e r g y M o d e ) - C o r r e s p o n d e ao n ú m e r o de a u t o - v a l o r e s n u l o s , e x c e d e n t e s a q u e l e s que r e p r e s e n t a m os m o v i m e n t o s de c o r p o r í g i d o , e e s t ã o a s s o c i a d o s a a u t o - v e t o r e s nã o nulos. F i s i c a m e n t e , s i g n i f i c a que o e l e m e n t o p o d e se d e f o r m a r de u m a m a n e i r a d i f e r e n t e d a q u e l a que s e r i a a es p e r a d a , a s s i m como sua m a t r i z de r i g i d e z n ã o a p r e s e n t a p o s t o ("rank") c or re to . 0 p r o b l e m a do m a u c o n d i c i o n a m e n t o da m a t r i z de r i g i d e z

10

n u m é r i c a r e d u z i d a ou s e l e t i v a / r e d u z i d a .

r ₉1 _

Z I E N K I E W I C Z₁ 1 a f i r m a que c o m i n t e g r a ç a o r e d u z i d a p o d e s u r g i r s i n g u l a r i d a d e e m [K] e que n ã o ê d i f í c i l p r o v a r que e m al^ guns c a s o s tal s i n g u l a r i d a d e n ã o e x i s t a . P a r a u m a m a l h a de u m ele m en t o , [K] d e v e se r s i n g u l a r se o n u m e r o de v a r i á v e i s n o d a i s des c o n h e c i d a s e x c e d e o n ú m e r o de r e l a ç õ e s i n d e p e n d e n t e s , s u p r i d a s em t od os os p o n t o s de i n t e g r a ç ã o . C o m b a s e n e s t a a f i r m a ç ã o , d e f i n e -se u m i n d i c a d o r de s i n g u l a r i d a d e , S = N - n r (1.4) P a r a e l e m e n t o s b a s e a d o s no m o d e l o dos d e s l o c a m e n t o s , N é o n u m e ro de v a r i á v e i s n o d a i s d e s c o n h e c i d a s , n é o n ú m e r o de p o n t o s de i n t e g r a ç ã o p a r a o e l e m e n t o e r ê o n ú m e r o de r e l a ç õ e s .i n d e p e n d e n tes p o r p o n t o de i n t e g r a ç ã o , ou seja, o n ú m e r o de d e f o r m a ç õ e s u s a das n a f o r m a ç ã o da m a t r i z de r i g i d e z a se r i n t e g r a d a . O c o r r e r á s i n g u l a r i d a d e se S é p o s i t i v o . È i m p o r t a n t e o b s e r v a r que o c á l c u lo de S p o d e ser g e n e r a l i z a d o p a r a u m a m a l h a q u a l q u e r . P U G H e o u t r o s ^ ^ u s a m t a m b é m e st e ín d i c e co m o i n d i c a d o r de t r a v a m e n t o , c u jas a p l i c a ç õ e s são m o s t r a d a s no A p ê n d i c e B. Z I E N K I E W I C Z c o n c l u i que a i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a p o d e d a r o r i g e m a m o d o s f a l s o s de e n e r g i a e a s i n g u l a r i d a d e da m a t r i z de r i g i d e z g l o ba l, p a r a u m a d e t e r m i n a d a m a l h a . A s i n g u l a r i d a d e n o r m a l m e n t e d e s a p a r e c e c o m a r e u n i ã o dos e l e m e n t o s , p o ré m, os m o d o s f a l s o s de e n e r g i a e s t ã o r e l a c i o n a d o s à c o m p a t i b i l i d a d e de f o r m a s dos a u t o - v e t o r e s , a s s o c i a d o s a a u t o - v a l o r e s n u l o s do e l e m e n t o , e p o d e m n ã o d e s a p a r e c e r c o m a r e u n i ã o dos e l e m e n t o s . B I C A N I C e H I N T O N ^ ^ f i z e r a m u m a p e s q u i s a s ob re m o d o s f a l s o s de e n e r g i a e m e l e m e n t o s i s o p a r a m é t r i c o s b i d i m e n s i o n a i s de q u a t r o , o i t o e n o v e n od o s , que são m u i t o u t i l i z a d o s p a r a f l e x ã o

de p l a c a s . T r a n s c r e v e - s e , a s eguir, a l g u n s r e s u l t a d o s d e s t a pes^ q u is a, p a r a u m m a i o r e s c l a r e c i m e n t o s o b r e o a s s u n t o . A i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a ou r e d u z i d a / s e l e t i v a ê u t i l i z a d a n o r m a l m e n t e p a r a e v i t a r o p r o b l e m a de t r a v a m e n t o e m e l e m e n t o c o m e f e i t o de c i s a l h a m e n t o in cluso. P a r a e s t e e l e m e n t o , e x p l i c i t a - s e sua e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o e m duas p a r c e l a s , E, = i ( a } T {a} (1.5) E 2 = 2{ a } T [K s] íaí (1 .6)

o nd e E.j e E₂ são, r e s p e c t i v a m e n t e , a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o de fie x ã o e de c i s a l h a m e n t o , p^TJ e |*KsJ são, r e s p e c t i v a m e n t e , as matri_ zes de r i g i d e z de f l e x ã o e de c i s a l h a m e n t o , e {a} é o v e t o r das v a r i a v e i s nod ai s. D e f i n i d o s jT_p"j e pvsJ e s e 'n ê o n ú m e r o de p o n tos p a r a i n t e g r a r c o m p l e t a m e n t e a r i g i d e z e m u m a d i r e ç ã o , são es t a b e l e c i d o s os s e g u i n t e s t i p o s de i n t e g r a ç ã o : 1. C o m p l e t a , se n x n p o n t o s f o r e m u t i l i z a d o s p a r a inte^

p r a r i V : e p s ]

-2. R e d u z i d a / s e l e t i v a , se (n- 1) x( n- 1) p o n t o s f o r e m utji. l i z a d o s p a r a i n t e g r a r e n x n P ara j^fj • 3. R e d u z i d a , se (n-1)x(n-1) p o n t o s f o r e m u t i l i z a d o s p a ra i n t e g r a r e • A d e t e r m i n a ç ã o dos m o d o s f a l s o s de e n e r g i a v e m da s o l u ção do p r o b l e m a de a u t o - v a l o r e s , C [K] + $ [ I ] ) { y } = (A + 3 ){y} (1.7) ou [K* ]{y } = À * { y } (1.8)

onde [K] = pC^J + > 6 ê a d i c i o n a d o p a r a t o r n a r [K] p o s i t i v a d e f i n i d a ( c a s o e x i s t a s i n g u l a r i d a d e ) e os a u t o - v a l o r e s r e a i s sã o 12 a u t o - v a l o r e s c o r r e s p o n d e n t e s a t rê s p o s s í v e i s m o v i m e n t o s de c o r p o r ígido. C o m i n t e g r a ç ã o c o m p l e t a e r e d u z i d a / s e l e t i v a n ã o f o r a m en c o n t r a d o s m o d o s fal so s de e n e r g i a , m a s p a r a i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a f o r a m e n c o n t r a d o s a u t o - v a l o r e s n u l o s , a s s o c i a d o s a a u t o - v e t o r e s n ã o n u l o s . t r i ç õ e s no c o nt or no , a p r e s e n ç a de m o d o s f a l s o s de e n e r g i a , s e n d o d oi s m o d o s p a r a o e l e m e n t o e q u a t r o n o d o s , u m p a r a o e l e m e n t o de o it o n o d o s e três p a r a o e l e m e n t o de n o v e nodos. No caso de u m e l e m e n t o de p l a c a , d e v e r ã o e x i s t i r t r ê s A F i g u r a 1.1 m o s t r a , p a r a e l e m e n t o s i so l a d o s , s e m re s (a) (b) O (c) F i g u r a 1.1 - A u t o - v a l ó r e s n u l o s e m e l e m e n t o s ' i s o l a d o s c o m i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a , a) E l e m e n t o de q u a t r o n o d o s ; b) E l e m e n t o de o it o „ n o d o s ; c) E l e m e n t o de n o v e n o d o s ( t a m a n h o do el e m e n t o 1 *0 x1 ,0 ; E= 2, 0 ; v=0,0 ; G =1,0).

Os m o d o s falsos " h o u r g l a s s i n g " o u " k e y s t o n i n g " p a r a o e l e m e n t o de q u a t r o n o d o s e o m o d o " E s c h e r " p a r a o e l e m e n t o de no ve n o d o s são m o s t r a d o s n a F i g u r a 1.2. Foi u t i l i z a d a u m a m a l h a 2x2 c o m u m n ú m e r o de r e s t r i ç õ e s , tal que s o m e n t e os m o v i m e n t o s de cor p o r í g i d o s e j a m evita do s. 0 e l e m e n t o s e r e n d i p i t y (oito n o d o s ) n ã o a p r e s e n t a m o d o s f a l s o s c o m a r e u n i ã o dos e l e m e n t o s , m e s m o se r e s t r i ç õ e s n ã o f o r e m i m p o s t a s , d e v i d o a i n c o m p a t i b i l i d a d e de f o r m a s a s s o c i a d a s a a u t o ­ v a l o r e s n u l o s ( F i g u r a 1.1(b), tal c om o a f i r m o u Z I E N K I E W I C Z . (a) F i g u r a 1.2 - M o d o s f a l s o s de e n e r g i a c o m i n t e g r a ç ã o re duzida. a ) H o u r g l a s s i n g p a r a e l e m e n t o s de q u a t r o nodo s; b) E s c h e r p a r a e l e m e n t o s de n ov e n o d o s ( t a m a n h o da m a l h a 2 }0x2*0; E=2',4; v = 0 ,2 ; G=1 ,0) . c) I n v a r i â n c i a - 0 e l e m e n t o é d i t o i n v a r i a n t e q u a n d o sua m a t r i z de r i g i d e z p u d e r ser o b t i d a e m s i s t e m a s locais de c o o r

14 r 151 s e m qu e a s o l u ç ã o do p r o b l e m a s o f r a a l t e r a ç õ e s . S P I L K E R J mos tr a que, no c a s o do m o d e l o h í b r i d o - t e n s õ e s , u t i l i z a n d o f o r m u l a ç ã o i s o p a r a m ê t r i c a , i n v a r i â n c i a ê a s s e g u r a d a s o m e n t e se p o l i n o m i a i s c o m p l e t a s f o r e m u t i l i z a d a s p a r a r e p r e s e n t a r o c a m p o de . t e n s õ e s . r _{1 1} No m o d e l o dos d e s l o c a m e n t o s , B R E B B I A J di z qu e o e l e m e n t o p o d e se t o r n a r n ã o i n v a r i a n t e se t e r m o s a d i c i o n a i s n ã o s i m é t r i c o s fo r e m i n t r o d u z i d o s a p o l i n o m i a i s c o m p l e t a s , que r e p r e s e n t a m o c a m p o r ₂ 5 26 ₂ 71 de d e s l o c a m e n t o s . C O O K 1- ’ •* m o s t r a c o m o t r a n s f o r m a r u m e l e m e n t o h í b r i d o - t e n s õ e s , n ã o i s o p a r a m é t r i c o e n ã o i n v a r i a n t e , e m u m e l e m e n t o i n v a r i a n t e , a t r a v é s da f o r m u l a ç ã o da m a t r i z de rig^i dez do e l e m e n t o , n u m s i s t e m a .local de c o o r d e n a d a s , g i r a n d o e m se g u i d a t o d a a r i g i d e z p a r a o s i s t e m a g lo b a l . S e g u n d o S P I L K E R ^ ^ . o q u e C O O K fez n ã p p o d e ser f e i t o p a r a e l e m e n t o s i s o p a r a m é t r i c o s , p o i s n e s t e caso, a e s c o l h a de u m , s i s t e m a .local n ã o ê única.

d) C o m p a t í v e l e c o m p l e t o ( c o n f o r m e ) ^ ^ - No c a s o do mo d e l o dos d e s l o c a m e n t o s , u m e l e m e n t o ê d i t o c o n f o r m e , se as f u n ç õe s de i n t e r p o l a ç ã o p a r a os d e s l o c a m e n t o s a s s e g u r a r e m completici. d a d e e c o m p a t i b i l i d a d e . A c o m p l e t i c i d a d e é a s s e g u r a d a se t o do s os m o v i m e n t o s de c o r p o r í g i d o e todos os p o s s í v e i s e s t a d o s de d e f o r m a ç ã o c o n s t a n t e e s t i v e r e m incl us os . A c o m p a t i b i l i d a d e s e r á as se g u r a d a se e x i s t i r c o m p a t i b i l i d a d e de d e s l o c a m e n t o s e suas d e r i v a das, de u m a o r d e m m e n o r que a m á x i m a d e r i v a d a e x i s t e n t e nas r e l a ç õ e s d e f o r m a ç ã o - d e s l o c a m e n t o s . Ou seja, é n e c e s s á r i o que os d e s l o c a m e n t o s e sjias d e r i v a d a s , i n c l u s i v e a d e r i v a d a n o r m a l , s o b r e u m l ad o ou face do e l e m e n t o , s e j a m u n i c a m e n t e d e f i n i d o s em t e r m o s dos d e s l o c a m e n t o s e suas d e r i v a d a s nos p o n t o s n o d a i s l o c a l i z a d o s s o m e n t e s o b r e a q u e l e lado ou face. Como j á foi dito, os e l e m e n t o s n ã o c o m p a t í v e i s são m e n o s r í g i d o s , p o r é m a c o n v e r g ê n c i a é n ã o m o n o t ô n i c a , e is to traz p r o b l e m a s de i n c e r t e z a na s o l u ç ã o do p r o

b l em a. É i m p o r t a n t e r e s s a l t a r que os e l e m e n t o s i s o p a r a m ê t r i c o s r ₉ e ₁ 91 t e m c o m p a t i b i l i d a d e g a r a n t i d a e) M o d e l o de e l e m e n t o s f i n i t o s - A b a s e do m é t o d o de e l e m e n t o s f i n i t o s c o n s i s t e em d i v i d i r u m s ó l i d o e m e l e m e n t o s dis e r e t o s , a s s u m i n d o a s e g u i r u m c a m p o de t e n s õ e s e / o u d e s l o c a m e n t o s d e n t r o de c a d a e l e m e n t o ou no c o n t o r n o e n t r e eles. A a p l i c a ç ã o dos p r i n c í p i o s v a r i a c i o n a i s r e s u l t a n u m s i s t e m a de e q u a ç õ e s a l g é b r i c a s , c u j as i n c ó g n i t a s p o d e m ser os d e s l o c a m e n t o s n o d a i s e / o u t e n s õ e s no da is . D e s t a f o rm a s u r g i r a m d i v e r s o s m o d e l o s . 0 m o d e l o dos d e s l o c a m e n t o s é d e d u z i d o do P r i n c í p i o da E n e r g i a P o t e n c i a l M í n i m a e ê b a s e a d o n a a d o ç ã o de u m c a m p o de des l o c a m e n t o s c o nt ín u o, e m todo o só li do . ₀ m o d e l o de e q u i l í b r i o é d e d u z i d o do P r i n c í p i o da E n e r g i a C o m p l e m e n t a r M í n i m a e ê b a s e a d o e m u m c a m p o de t e n s õ e s em e q u i l í b r i o , que é a s s u m i d o e m t o d o o só lido. 0 m o d e l o h í b r i d o - t e n s õ e s ( " h y b r i d - s t r e s s " ) u s a o P r i n c í p i o da E n e r g i a C o m p l e m e n t a r M o d i f i c a d a e a s s u m e u m c a m p o de t e n s õ e s e m e q u i l í b r i o d e n t r o de c a d a e l e m e n t o , e, e m a d i çã o, d e s l o c a m e n tos c o m p a t í v e i s são a d m i t i d o s s o b r e o c o n t o r n o e n t r e e l e m e n t o s . U m s e g u n d o m o d e l o h í b r i d o ê o h í b r i d o - d e s l o c a m e n t o s ( " h y b r i d - d i s p l a c e m e n t " ) , que é b a s e a d o no P r i n c í p i o da E n e r g i a P o t e n c i a l M o d i f i c a d a e a s s u m e u m e q u i l í b r i o de e s f o r ç o s ao l o n g o do c o n t o r n o e n tre e l e m e n t o s e é a d m i t i d o u m c a m p o de d e s l o c a m e n t o s c o n t í n u o e m c a d a e l e m e n t o . P a r t i n d o do P r i n c í p i o V a r i a c i o n a l de R e i s s n e r obtem - se. o m o d e l o misto , o nd e é a s s u m i d o u m c a m p o de d e s l o c a m e n t o s c o n t í n u o e m to do o s ó l i d o e u m c a m p o de t e n s õ e s p a r a c a d a e l e m e n t o . r *z o i R e c e n t e m e n t e , D A Y e Y A N G a p r e s e n t a r a m u m n o v o m o d e l o m i s t o , b a s e a d o n o P r i n c í p i o da E n e r g i a P o t e n c i a l e no P r i n c í p i o da E n e r gia C o m p l e m e n t a r , onde são a s s u m i d o s c a m p o s de t e n s õ e s e d e s l o c a m e n t o s n o i n t e r i o r de c a d a e l e m e n t o .

16 Na T a b e l a 1.1 e s tã o r e s u m i d o s os m o d e l o s de e l e m e n t o s f i n i t o s p a r a a p l i c a ç ã o e m u m s o l i d o c o n t í n u o . 1.3.3 - S e l e ç ã o d o s _ e l e m e n t o s C o n h e c i d o s os p ' o b l e m a s e s o l u ç õ e s , e p e l o que foi e x p o s t o , p o d e - s e c o n c l u i r qu^ os e l e m e n t o s que m a i s se a p r o x i m a m do p r o c u r a d o e l e m e n t o de a p l i c a ç ã o geral sã o a q u e l e s que t ê m i n c l u s o o e f e i t o de c i s a l h a m e n t o t r a n s v e r s a l , p o r t a n t o s e r ã o e s c o l h i d o s p a r a u m e s t u d o m a i s d e t al ha do . T o d o s os e l e m e n t o s que s e r ã o s e l e c i o n a d o s a s e g u i r sã o i s o p a r a m ê t r i c o s e b a s e a d o s na t e o r i a de p l a c a de M i n d l i n . r ₃

₁

No m o d e l o dos d e s l o c a m e n t o s sa o e s c o l h i d o s o Q L R , C L N [ 3 ] , t 1 [37] e o H E T E R O S I S [18^ . 0 Q L R ( Q u a d r a t i c L a g r a n g i a n R e d u c e d ) e o C L R ( C u b i c L a g r a n g i a n R e d u c e d ) são os m e l h o r e s r e p r e s e n t a n t e s da f a m í l i a dos e l e m e n t o s c o m i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a , a p r e s e n t a d o s n a R e f e r ê n c i a [3]. De vi d o ao e l e v a d o n ú m e r o de m o d o s fal^ sos de e n e r g i a qu e o Q L R ap re s e n t a , p o d e - s e f a z e r u m a p e q u e n a m o d i f i c a ç ã o , ou seja, s u b - i n t e g r a r a p e n a s a r i g i d e z de c i s a l h a m e n to. C o m isto, o n ú m e r o de m o d o s f a l so s é d i m i n u í d o e m a n t i d a a au s ê n c i a de t r a v a m e n t o . 0 Q L R p a s s a r a a ser c h a m a d o de Q L R / S ( Q u a d r a t ic L a g r a n g i a n R e d u c è d / S e l e c t i v e ) . 0 C L R ( C u b i c L a g r a n g i a n R e d u c e d ) e C L N ( C u b i c L a g r a n g i a n Normal) a p r e s e n t a m r e s u l t a d o s semelhantes,, m a s é p r e f e r i d o o C L N p o r não a p r e s e n t a r m o d o s falsos, e m b o r a e l e a p r e s e n t e u m a l ev e t e n d ê n c i a a t r a v a m e n t o ( A p ê n d i c e C ) . 0 H E T E R O S I S u s a i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a e seleti va , tal c o m o o QLR/S, p o r e m c o m a v a n t a g e m de n ã o a p r e s e n t a r m o d o s f alsos. 0 T1 é u m dos e l e m e n t o s de p l a c a m a i s s i m p l e s , não a p r e s e n t a m o d o s f a l s o s e, m e s m o u s a n d o i n t e g r a ç ã o c o m p l e t a , nã o a p r e s e n t a t r a v a m e n t o . No m o d e l o híbrido- t e n s õ e s as m e l h o r e s f o r m u l a ç õ e s fo N

11

Í

111

r a m o QH1 J e QH3 . A c o n v e r g e n c i a do QH1 e b e m s u p e r i o r a

00 hO -J CO O I—í z h-i te co o w S w ►J w M Q CO O l-q w P O co o p o I—i Pá < p ta PQ < H Pá PQ P Oi w w P LO W O O I—I g O u m o < p PQ 1—1 <!_P S O u w Q CO w o_Uo I—I

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o o £ Pá w H X w CO ►—I w > *<_1—1 Pá < > CO O o w p S w < P ’ u O O 2 CO w o < < Q Q <

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1—1 1—1 X X O Ö Pá Pá pL, p< < < < < Q (= ) < <

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1—t 1—I X X O O Pá p á Ph Ph < < < H < X W > 6 W < O Ü' 1—I X o Pí Ph < < < H . H < < X X W w •H *r 3 E-s W CO a> 5-1 Ö co I o o I—I P á PQ CO o H 2 W S < u o ,-3 CO w o < % X w < < H í—> < < X X ftí m ■< p X o Pá Ph < Ë P3 P á ' PQ V—I P t—I P O' w < P x o Pá p < < p

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I—I x o P á P < < < < P P P <

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(—1 1—1 i—i X X X O o o p á Pá p á Cu Ph . Ph < < < •r—1 - r i •H *r D d > CO G w <í-iL> O CO I o p I—I P á PQ V—( X CO H O CO z w ■H < P x o pá P-I < < p < s l-H X o Pá Ph < < < P p < < S ■2 1—1 t-H X ■ X o o Pá , Pá P k Ph < < o H CO Pá CO CO h—( M Pá < P < S I—I X o Pá Pl < < H < X W < E-h. < Xi w > > e e w w o E-i CO s -< >-m >~ < P 10 CL) IO tf) Pl (D H </1 cti O 5h O Ph. </) O -M n (D e aJ O o r H t/) <D P O Pl 5h O -P d O u CO <D e 3 rH o > + >

18 do Q H 3 , p o r e m , co mo o QH1 nã o e i n v a r i a n t e e o QH3 o é, r e c o m e n d a - se o Q H 3 . E no m o d e l o m i s t o f o r a m s e l e c i o n a d o s os e l e m e n t o s P L A T₈(₈a ) [16í e P L A T₈H (₈a ) [1 6 ] . 0 P L A T₈H (₈a) foi o p r e f e r i d o d e v i do o P L A T8(8a) ser l i g e i r a m e n t e i n f e r i o r q u a n t o ao f e n ô m e n o de t r a v a m e n t o . P a r a o P L A T₈H (₈a) foi s e l e c i o n a d a a v e r s ã o ₈a, p o i s as v e r s õ e s 5à e ₆a, e m b o r a a p r e s e n t e m u m m e l h o r c o m p o r t a m e n to p a r a m a l h a d i s t o r c i d a , a p r e s e n t a m m o d o s f a l s o s de e ne rg i a . C om o u m e s t u d o c o m p a r a t i v o e n t r e e s t e s e l e m e n t o s a i n d a n ão c o n s t a n a l i t e r a t u r a d i s p o n í v e l , ê o b j e t i v o do p r e s e n t e t r a b a lho e f e t u á - l o . Suas f o r m u l a ç õ e s e s t ã o d e t a l h a d a s no p r ó x i m o c a p í t ul o e os r e s u l t a d o s n u m é r i c o s da i m p l e m e n t a ç ã o c o m p u t a c i o n a l es tão m o s t r a d o s , c o m p a r a d o s e c o m e n t a d o s e m c a p í t u l o s p o s t e r i o r e s . Co m isto f e m - s e c o n d i ç õ e s de e s c o l h e r o m e l h o r e l e m e n t o , d e n t r e estes, c o n s i d e r a d o s aqui como os m a i s p r o m i s s o r e s p a r a u m a a p l i c a ção geral. 1.4 - I m p l e m e n t a ç ã o C o m p u t a c i o n a l A i m p l e m e n t a ç ã o foi r e a l i z a d a no c o m p u t a d o r ^ I B M 4341 da U n i v e r s i d a d e F e d e r a l de S a n t a C a t a r i n a . A c o m p u t a ç ã o foi f e i t a e m p r e c i s ã o a r i t m é t i c a d u p l a e o s i s t e m a de a l o c a ç ã o d i n â m i c a da m e m ó r i a foi u t i l i z a d o p a r a à r m a z e n a m e n t o e m a n i p u l a ç ã o dos d ad o s . Os p r o g r a m a s f o r a m e l a b o r a d o s e m l i n g u a g e m F O R T R A N IV e u m f l u x o g r a m a b á s i c o e a p r e s e n t a d o no A p ê n d i c e J. P r i n c i p a l m e n t e na p a r t e de s o b r e p o s i ç ã o da m a t r i z de r i g i d e z , c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o e s o l u ç ã o do s i s t e m a de e q u a ç õ e s , f o r a m u t i l i z a d a s s u b r o t i n a s do P r o g r a m a p a r a A n á l i s e de M e i o s Con t í n u o s L i n e a r e s , S I M E L F ( S i s t e m a M o d u l a r de E l e m e n t o s F i n i t o s ) , da r ₃₂₁ U n i v e r s i d a d e F e d e r a l de S a n t a C a t a r i n a . P a r a u m m a i o r e s c l a r e

ci me n t o , p o d e - s e a d i a n t a r que a s o l u ç ã o p o r b a n d a do s i s t e m a de e q u a ç õ e s , r e a l i z a d a p e l a s u b r o t i n a IMB, u t i l i z a o P r o c e s s o de El_i m i n a ç ã o de Gauss. Q u a n t o ao c a l c u l o de a u t o - v a l o r e s e a u t o - v e t o

•-

r

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res, foi u t i l i z a d o o m é t o d o de J a c o b i . A s u b r o t i n a p a r a i n v e r são de m a t r i z e s foi o b t i d a p o r t r a n s f o r m a ç ã o da " f u n c t i o n " [291 S I M U L que u s a o m e t o d o de p i v o t a ç a o total.

20 C A P Í T U L O 2' D E S E N V O L V I M E N T O D O S E L E M E N T O S S E L E C I O N A D O S 2.1 - I n t r o d u ç ã o No d e s e n v o l v i m e n t o que se segu e, as e q u a ç õ e s e s t ã o s i m ças de c o r p o, e f e i t o de t e m p e r a t u r a e f o r ç a s de m e m b r a n a n a o e_s tão p r e s e n t e s . A t e o r i a de p l a c a , b a s e p a r a f o r m u l a ç ã o d e s t e s e l e m e n tos, ê a t e o r i a de M i n d l i n , o nd e é a s s u m i d o que: a) As d e f l e x õ e s são p e q u e n a s ; b) R e t a s n o r m a i s â s u p e r f í c i e m é d i a da p l a c a , a n t e s da d e f o r m a ç ã o , p e r m a n e c e m r et a s , ma s n ã o n e c e s s a r i a m e n te n o r m a i s a ela d e p o i s da d e f o r m a ç ã o ; c) T e n s õ e s n o r m a i s à s u p e r f í c i e m é d i a são d e s p r e z a d a s . As m a t r i z e s de p r o p r i e d a d e s e l á s t i c a s s e r ã o c i t a d a s lo go a g or a, p o i s são as m e s m a s p a r a t odos os e l e m e n t o s . - M a t r i z de p r o p r i e d a d e s e l á s t i c a s de fle x ão , r i g i d e z :

r 1

V

0 1

p l i f i ç a d a s p a r a m a t e r i a i s i s o t r õ p i c o s e h o m o g ê n e o s . T a m b é m as for 3 v 0 ₍2 _.1 ₎ 2 - M a t r i z de p r o p r i e d a d e s e l á s t i c a s de c i s a l h a m e n t o , r i gidez: 0 1 (2 .2)

o n d e , E G v t a - M a t r i z de p r o p r i e d a d e s e l á s t i c a s de fle:xâo e c i s a l h a m e n t o , f l e x i b i l i d a d e : - V 0 0 0 - V 0 0 0 :i 0 0 0 2(1 + v) 0 0 ( SI MÉ TRICA) 2(:i+v) 0 2 (1+v) m o d u l o de e l a s t i c i d a d e l o n g i t u d i n a l ->■ m o d u l o de e l a s t i c i d a d e t r a n s v e r s a l '-*■ r a z ã o de P o i s s o n -> e s p e s s u r a da p l a c a -> f a t o r de c o r r e ç ã o que c o n s i d e r a a d i s t r i b u i ç ã o n ã o u n i f o r m e de t e n s õ e s c i s a l h a n t e s t r a n s v e r s a i s ; ê t o m a d o n a R e f e r ê n c i a [₈] c o m o v a l o r de 6/5. F i g u r a 2,1 - G e o m e t r i a do e l e m e n t o e s e n t i d o das, r o t a ç õ e s e d e f l e x õ e s n o n o d o g e n é r i c o i.

22 t o d o s os e l e m e n t o s e a F i g u r a 2.1 m o s t r a as o r i e n t a ç o e s a d o t a d a s , o n d e w é o d e s l o c a m e n t o t r a n s v e r s a l , ₀ é a r o t a ç ã o no p l a n o y-z e ₀ ê a r o t a ç ã o no p l a n o x-z.

y

2.2 - M o d e l o dos d e s l o c a m e n t o s 2.2.1 - S e l e ç ã o dos e l e m e n t o s V á r i o s e l e m e n t o s são, a p r i n c í p i o , p r ê - s e l e c i o n a d o s pa ra a i m p l e m e n t a ç ã o , p o r s a t i s f a z e r e m , c o m d e s t a q u e , a l g u n s dos re q u e s i t o s de u m e l e m e n t o p a r a f l e x ã o de p l a c a s . E s t e s e l e m e n t o s são: Q U S 4 ^ 3 ^ ( L R - A p ê n d i c e C ) , D K Q ^ ^ ( A p ê n d i c e A), D K T (Apêndi. ce B ) , A - 9 [ 3 0 ] (Apên di ce D), Q U A D 4 [ 5 ] , T1 [37] , H E T E R O S I S[18] ’

r 5

1

S R I L J e u m a f a m í l i a de e l e m e n t o s l a g r a n g e a n o s e s e r e n d i p i t y c o m i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a ^ 3 ^ ( A p ê n d i c e C ) .

0 QUS4 ê c o n s i d e r a d o p o r seus a u t o r e s c o m o u m dos m a i s s i m p l e s e e f i c i e n t e s e l e m e n t o s p a r a f l e x ã o de p l a c a s , E u m quadr_i lã te r o , i s o p a r a m ê t r i c o , line ar , t e m q u a t r o n o d o s e do ze g r a u s de l i b e r d a d e , i n cl ui a e n e r g i a de c i s a l h a m e n t o e u s a i n t e g r a ç ã o n u m e r i c a r e d u z i d a / s e l e t i v a . E m d e c o r r ê n c i a da i n t e g r a ç ã o r e d u z i d a , a m a t r i z de r i g i d e z do e l e m e n t o não t e m p o s t o c o r r e t o , e d o is m o d o s f a l s o s de e n e r g i a são e x i b i d o s , u m m o d o " h o u r g l a s s i n g " e u m m o d o f3ii de t o r ç a o no plano. H U G H E S e T H O M A S J a p r e s e n t a m u m a m a n e i r a de e l i m i n a r o m o d o " h o u r g l a s s i n g " , que ê m o s t r a d a a seguir. C o m b as e na F i g u r a 2.1, a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o c i s a l h a n t e da p l a c a é e x p r e s s a por: + ₆y_{) 2} + (w 'y " ex ) 2] d x d y _{C 2 ' 41} 0 m o d o " h o u r g l a s s i n g " e e l i m i n a d o se, ao i n vê s de s u b - i n t e g r a r to da a e x p r e s s ã o (₂.4), c o m o é a p r o p o s t a i n i c i a l do e l e m e n t o , s e j a

e u m a s u b - i n t e g r a ç ã o p a r a o r e s t a n t e dos ter m os . 0 s e g u n d o m o d o falso, p o r é m , so s e r á e l i m i n a d o p o r res t r i ç ã o dos m o v i m e n t o s de c o r p o r í g i d o , a t r a v é s de c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o . f u n c i o n a b e m p a r a p l a c a s finas, m a s n ã o e b o m p a r a p l a c a s espe^s sas. E l i m i n a n d o o m o d o " h o u r g l a s s i n g " o c o r r e o i nv e r s o , ou seja, u m b o m c o m p o r t a m e n t o p a r a p l a c a s e s p e s s a s , m a s não s a t i s f a z p a r a p l a c a s fi na s . Po r o u t r o lado, se for f e i t a u m a i n t e g r a ç ã o t o t a l da e n e r g i a de c i s a l h a m e n t o , r e s u l t a d o s i n a c e i t á v e i s s e r ã o o b t i d o s p a r a p l a c a s finas, e m b o r a o c o m p o r t a m e n t o p a r a p l a c a s e s p e s s a s se ja bom. P o r isto, c o n c l u i - s e que o Q U S4, a p r i n c í p i o , nã o d ev e ser i n d i c a d o p a r a uma a p l i c a ç ã o geral , p o i s q u a l q u e r que s e j a a i n t e g r a ç ã o , a p r e s e n t a r a p r o b l e m a s .

ja, i n t r o d u z i n d o u m a m a t r i z de e s t a b i l i z a ç ã o p a r a a r i g i d e z do e l e m e n t o . E n t r e t a n t o , d e v i d o a d e p e n d ê n c i a de t a i s p a r â m e t r o s , ju_l g a - s e que o e l e m e n t o não é id eal p a r a u m a a p l i c a ç ã o geral. No me s mo c a s o e s t a o e l e m e n t o QUÂD 4, que t a m b é m d e p e n d e de a j u s t e de pa r â m e t r o s .

c i s a l h a m e n t o (2.4). E n t r e t a n t o , tal p r o c e d i m e n t o t o r n a não invari^ a nt e a m a t r i z de r i g i d e z do e l e m e n t o . Conseqüentemente', o s i s t e m a l oc al de c o o r d e n a d a s do e l e m e n t o d e v e t e r a m e s m a o r i e n t a ç ã o do s i s t e m a g l o ba l. P o r t a n t o , p a r a c a d a p o s i c i o n a m e n t o da p l a c a e m re S e m a e l i m i n a ç ã o do m o d o " h o u r g l a s s i n g " , o e l e m e n t o B E L Y T S C H K O e T S A Y ^ ^ r e s o l v e r a m o p r o b l e m a de m o d o s f a l s o s de e n e r g i a no QUS4 a t r a v é s de a j u s t e de p a r â m e t r o s , o u se; P R A T H A P e V I S W A N A T H ^ ^ t a m b é m e l i m i n a r a m os m o d o s fal sos de e n e r g i a do QUS4, f a z e n d o u m a i n t e g r a ç a o 1x2 do t e r m o 2x1 do t ermo c o r r e s p o n d e n t e s â e n e r g i a de